Như chúng ta đã biết toán học là một môn khoa học nói chung, nhưng có vai trò rất quan trọng trong nhà trường. Đòi hỏi học sinh phải tích cực học tập, tự mình tìm ra kiến thức mới trên c[r]
(1)A ĐẶT VẤN ĐỀ
Như biết tốn học mơn khoa học nói chung, có vai trị quan trọng nhà trường Địi hỏi học sinh phải tích cực học tập, tự tìm kiến thức sở hướng dẫn giáo viên Học sinh phải phát huy tốt tính tích cực khơng học lý thuyết mà việc giải tập áp dụng vào thực tiễn
Là người trực tiếp dạy học Tốn 8, tơi có điều kiện nghiên cứu thấy rằng: Bài tốn tính diện tích đa giác mảng kiến thức rộng phần quan trọng chương trình Tốn THCS Các tốn có tính ứng dụng thực tế cao, phù hợp với mục đích việc dạy học tốn học toán gắn liền với việc giải vấn đề thực tế Qua thời gian dạy học đại trà nhận thấy điều sau: Mặc dù làm quen Tiểu học lên lớp em hướng dẫn kĩ cặn kẽ diên tích đa giác, gặp tốn cụ thể em cịn gặp nhiều khó khăn viêc tìm hướng giải Khi giải tốn nhiều học sinh chưa có kĩ không xác định phương pháp giải Xuất phát từ thực trạng nên thấy cần thiết phải nghiên cứu, tìm tịi, tích luỹ kiến thức để tìm phương pháp hiệu để hướng dẫn học sinh giải tốn diện tích số tốn liên quan đến diện tích để hướng dẫn học sinh số cách tính diện tích đa giác Chuyên đề chủ yếu hướng dẫn học sinh tính diện tích đa giác cách cắt ghép hình hay tìm cách chia đa giác cho thành phần tam giác đa giác đặc biệt từ dễ dàng giải tốn
B NỘI DUNG
I Các tính chất diện tích đa giác:
Nếu đa giác chia thành đa giác điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác
Các đa giác có diện tích
Hình vng có cạnh đơn vị dài diện tích đơn vị vng
Hai tam giác có chiều cao tỉ số diện tích tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao
Hai tam giác có chung cạnh tỉ số diện tích tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh
Tam giác cạnh a có diện tích 3a
(2)Những điểm cần ý sử dụng phương pháp diện tích để giải tốn:
Ta biết, biết độ dài số yếu tố hình ta tính diện tích hình công thức mà ta biết Ngược lại công thức tính diện tích cho ta quan hệ độ dài đoạn thẳng Sử dụng công thức tính diện tích hình giúp ta so sánh độ dài đoạn thẳng
Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng phương pháp diện tích, ta ý điểm sau :
- Xác định quan hệ diện tích hình
- Sử dụng cơng thức tính diện tích để biểu diễn mối quan hệ đẳng thức có chứa độ dài
- Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh
Khi giải tốn phương pháp diện tích ta cần nắm vững : + Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích hình
+ Sử dụng tính chất :
- Nếu hai tam giác có chiều cao tỉ số hai đáy tương ứng tỉ số hai diện tích Ngược lại, hai tam giác có đáy tỉ số hai chiều cao tương ứng tỉ số hai diện tích
- Nếu hai tam giác có chung đáy có diện tích đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song song với đáy
- Đường trung bình tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích tỉ lệ với :
- Đường trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích
- Ba tam giác có chung đỉnh trọng tâm tam giác đáy ba cạnh có diện tích
- Nếu tam giác hình bình hành có đáy chiều cao diện tích tam giác nửa diện tích hình bình hành
- Nếu hai tam giác đồng dạng tỉ số diện tích chúng bình phương tỉ số đồng dạng
II CÁC CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CỦA CÁC ĐA GIÁC ĐẶC BIỆT: 1 Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật:
Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước
2 Cơng thức tính diện tích hình vng:
Diện tích hình vng bình phương cạnh
b
a
a a
S = a.b
(3)3 Cơng thức tính diện tích tam giác: a) Diện tích tam giác:
Diện tích tam giác nửa tích cạnh với đường cao ứng với cạnh
b) Diện tích tam giác vng:
Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng
4 Cơng thức tính diện tích hình thang:
Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao
5 Cơng thức tính diện tích hình bình hành:
Diện tích hình bình hành tích cạnh với đường cao ứng với cạnh
6 Cơng thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc:
Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc với nửa tích hai đường chéo
h a
h c
b a
h b
h a
S = 2
a.h
S = 2 1
a.b = 2 1
c.h
S = 2 1
(a+b).h
a
S = a.h
d2
d1
S = 2 1
(4)7 Cơng thức tính diện tích hình thoi
Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo
NỘI DUNG BÀI DẠY
TÍNH DIỆN TÍCH BẰNG CÁCH GHÉP HÌNH
Bài 1:
a) Hãy tính diện tích H1
b) Tính diện tích H2 dựa theo diện tích H1
a
a H1 H2 Bài 2:
a) Hãy tính diện tích H3
b) Tính diện tích H4 dựa theo diện tích H3
h
a
H3 H4
d2 d1
S = 2 1
d1.d2
(5)Bài 3:
Quan sát cách ghép hình trả lời câu sau: - Tính diện tích hình chữ nhật theo h a
- Tính diện tích hình chữ nhật theo S1,,S2
- Tính diện tích hình tam giác H5 theo S1,,S2
- Suy diện tích hình tam giác H5 theo h a
h
a H5
Bài 4:
Dùng đường cắt để ghép mảnh hình tam giác thành hình chữ nhật
h
a
h
(6)Bài 6: Bằng cách ghép thành hình:hình vng, hình chữ nhật, hình tam giác Hãy tính diện tích hình biết cạnh vuông m
H1 H2
H3
H4 AI TINH MẮT HƠN
Cho kích thước hình vẽ sau, tính diện tích phần tơ đậm
(7)Một mảnh đất hình vng có diện tích 900m2 Người chủ đất muốn làm con
đường hình bình hành hình vẽ, cho diện tích đường 1/6 diện tích mảnh đất Tìm vị trí cắm cọc N cạnh AB mảnh đất để làm đường
TRỊ CHƠI GHÉP HÌNH
Bài 1: Dùng mảnh ghép có sẵn ghép thành hình theo mẫu cho trước.
Bài 2: Cho hình vẽ bên, cắt thành mảnh để ghép lại thành hình vng
(8)A
D
E C B
6 m
4 m
H ì n h
Bài Người ta làm lối theo chiều dài chiều rộng sân bóng rổ hình chữ nhật hình sau Em tính chiều rộng x lối Biết lối có diện tích 129 m2, sân bóng rổ có chiều dài 26 m, chiều rộng 14 m.
Bài Một đường hình bình hành dự định cắt ngang ruộng hình chữ nhật với liệu cho hình sau Hãy tính diện tích phần đất canh tác cịn lại ruộng
Bài Ơng Tư dành miếng đất hình thang vng (xem hình 1) để trồng rau trồng hoa Phần diện tích tơ đậm có dạng hình chữ nhật để trồng rau, phần cịn lại để trồng hoa Tính diện tích trồng hoa biết diện tích đất trồng rau 60m2.
Bài Nhà bạn Nghi chuẩn bị lát gạch tầng ngơi nhà (gồm phịng khách phịng ăn) Phịng khách hình chữ nhật có kích thước 5m 6m, phịng ăn hình chữ nhật có kích thước 4,5m 4m Tiền gạch
lát phòng khách 300 000 đồng/m2; tiền gạch lát phịng ăn 200 000 đồng/m2 và
tiền cơng lát (tính vật liệu) 60 000 đồng/m2 Hỏi nhà bạn Nghi phải tốn tổng
cộng tiền để lát gạch hết tầng nhà?
Bài Một miếng đất hình vng có diện tích diện tích hình chữ nhật, biết hình chữ nhật có chiều dài 48 m, chiều rộng m Hỏi cạnh miếng đất hình vng có độ dài ? (làm trịn đến chữ số thập phân thứ ba)
x
26m
14m
110m 130m
(9)Bài Mỗi hình vng lớn hình
vẽ bên có diện tích Tính hiệu diện tích phần tơ đậm hai hình vng lớn
Bài Một hình chữ nhật chia thành hình chữ nhật nhỏ đánh số 1, 2, 3, hình vẽ bên Biết diện tích hình nửa diện tích hình diện tích hình I diện tích hình Tính tỉ số diện tích hình với diện tích hình chữ nhật ban đầu
Bài Mỗi cạnh hình chữ nhật được
chia thành 2,3, đoạn hình vẽ Tính tỷ số diện tích tứ giác tạo đường nét liền với diện tích tứ giác tạo đường nét đứt
D E C
Bài Gọi E trung điểm cạnh CD
của hình vng ABCD Biết diện tích hình vng 144 cm2 Tính diện
tích phần tơ đậm
Bài 10 Một mảnh giấy hình chữ nhật chia thành bốn hình chữ nhật hình vẽ Biết diện tích ba hình chữ nhật số 6, 10, 15 hình chữ nhật thứ tư có diện tích lớn diện tích hình ba hình Tính diện tích mảnh giấy
Bài 11 Cho đường gấp khúc ABCDEF hình vẽ Biết AB = a AB = DE = EF =
2
3BC =
(10)Bài 12 Cho hình thang có độ dài hai đường chéo 3cm 5cm Độ dài đoạn nối
trung điểm hai đáy 2cm Tính diện tích hình thang
Bài 13 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm hai đường
chéo AC = 16cm, BD = 12cm Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 14 Cho hình thang ABCD (BC đáy nhỏ) Gọi I trung điểm CD Qua I
kẻ đường thẳng d song song với AB Kẻ AH BE vng góc với d Chứng minh
ABCD ABEH
S = S
Bài 15 Cho hình thang cân ABCD (AB// CD) có AC = 8cm, BDC = 45°.Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 16 Cho tam giác ABC Trên phần kéo dài cạnh AB, BC AC lấy điểm D, E, F (B nằm A D ; C năm B E ; A nằm C F) cho BD = AB ; CE = BC AF = AC Gọi s diện tích ABC Tính diện tích DEF theo s
B
C A
D
E F
Cách : Sử dụng tính chất diện tích
Xét ABE có AC trung tuyến (BC = CE) => SABC = SACE = s
=> SABE = SABC + SACE = 2s
AED có EB trung tuyến (AB = BD) => SABE = SBED = 2s
=> SAED = SABE + SBED = 4s
BCF có BA trung tuyến (AC = AF) => SABC = SBAF = s
CEF có EA trung tuyến (AC = AF) => SACE = SAEF = s
=> SCEF = SACE + SAEF = 2s
AFD có FB trung tuyến (AB = BD) => SDBF = SBAF = s
=> SAFD = SDBF + SBAF = 2s
SDEF = SAED + SAFE + SAFD = 4s + s + 2s = 7s
(11)Cách :
Kẻ BI AC EH CF
Chứng minh vuông BIC = vng EHC (Cạnh huyền góc nhọn) => BI = EH
Ta có AC = AF AC + AF = CF => CF = 2AC
=> SCEF = 2SABC = 2s (hai tam giác có cung đường cao
cạnh đáy CF CEF gấp hai lần cạnh đáy AC ABC) Tương tự ta chứng minh SADF = 2SABC = 2s
Và SBDE = 2SABC = 2s
Mà SDEF = SABC + SBED + SCFE + SAFD = s + 2s + 2s + 2s = 7s
Vậy SDEF = 7s
Bài 17 Cho hình vng ABCD cạnh a M, N trung điểm AD CD Nối BN CM cắt E Chứng minh diện tích hình vng ABCD gấp lần diện tích tam giác BEC
GT Hình vng ABCD có AB = BC = CD = DA = a Và AM = MD , NC = ND
KL SABCD = 5SBEC
Giải
H P
Q
E
M
N
A D
B C
Cách :
*Để chứng minh SABCD = 5SBEC Ta chuyển tính SBEC = a2
Để tính diện tích tam giác BEC ta kẻ đường cao EH ứng với cạnh đáy BC (biết BC = a), ta tính EH theo a
+ Gọi P trung điểm BC Q trung điểm BE => PQ đường trung bình tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE
+ BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD CMD = BNC mà BCM = CMD (slt) => BCM = BNC
Có : MCD + BCM = 900 (góc hình vng ABCD)
Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM BN E
BQP = CEN (gcg) => PQ = NE (2)
(12)Ta có : BN = BQ + QE + EN = 5NE => NE = BN => CE = BN hay =
ECH ~ BNC (gg) => = = => EH = BC hay EH = a SBEC = BC.EH = a.a = a2 Mà SABCD = a2
Vậy SBEC = SABCD hay SABCD = 5SBEC
Cách :
Chứng minh BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD CMD = BNC mà BCM = CMD (slt) => BCM = BNC
Có : MCD + BCM = 900 (góc hình vng ABCD)
Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM BN E
Chứng mính CEN ~ BEC => =
2 BC CN = 2 a a
=> SCEN = SBEC
Kẻ đường chéo BD hình vng ABCD => SBCD = S HV/ABCD = a2
BCD có BN đường trung tuyến => SBCN = SBCD = a2 = a2
Mà SBCN = SBEC + SCEN = SBEC + SBEC = SBEC hay a2 = SBEC
=> 5SBEC = a2 , mà a2 = SABCD Do SABCD = 5SBEC
Cách :
+ Gọi P trung điểm BC Q trung điểm BE => PQ đường trung bình tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE
+ BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD CMD = BNC mà BCM = CMD (slt) => BCM = BNC
Có : MCD + BCM = 900 (góc hình vuông ABCD)
Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM BN E
BQP = CEN (gcg) => BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ = QE = CE Ta có BE = BQ + QE = CE + CE = 2CE
Trong vng BEC có BC2 = BE2 + CE2 = (2CE)2 + CE2 = 5CE2
=> CE =
BC
=
a
=
a
=> BE = 2CE =
a
BEC vuông E: SBEC = CE BE =
a
.2
a
= a2.
Mà SABCD = a2, nên SABCD = 5SBEC
Bài 18 Cho ∆ABC nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy điểm D cho diện tích ∆ABC diện tích∆ABD Gọi E giao điểm AB CD Chứng minh E trung điểm CD
A
C D
E
ABC ADB
S S ABC ABD có chiều
cao ứng với cạnh AB
SBCE SDBE DE = EC (Do có chiều cao ứng với cạnh DC)
(13)Bài 19.(HSG TPHCM 2017) Hình bên gồm hình vng giống hệt nhau, hình vng có diện tích cm2 Các điểm A, B, C, D đỉnh hình vng Điểm E nằm đoạn CD cho AE chai hình vng thành hai phần có diện tích Tính độ dài đoạn CE
Bài 20 Trong hình bên, I, J trung điểm các
cạnh hình vng với diện tích 144 cm2 400
cm2.Tính diện tích ∆ABC.
Bài 21 Cho ABCD hình bình hành có diện tích
174 cm2 Điểm E nằm hình bình hành cho
∆ECD có diện tích 28 cm2.Tính diện tích ∆ABE
Bài 22 Cho ABCD hình vuông.
E, F,G, H điểm cạnh AB, AD, BC CD Biết diện tích hình vng ABCD 120 cm2, tính diện tích phần tơ đậm.
Bài 23 Trong tam giác ABC, lấy điểm D,E
trên cạnh BC cho BD = DE = EC điểm F AC cho AF = FC Biết diện tích tam giác ABC 480 cm2, tính diện tích của
∆BGD; ∆AGJ
B
(14)Bài 24 Cho hình vng ABCD Hai điểm E, F thuộc cạnh CD DA
sao cho diện tích tam giác BCE, EDF ABF 21 cm2, 44 cm2 và
42 cm2 Tính diện tích tam giác BEF.
Bài 25 Cho ∆ABC có diện tích 24cm2 Gọi D trung điểm AB, E nằm
cạnh AC thỏa AE = 2EC, BE cắt CD F Tính diện tích tứ giác ADFE
Bài 26 Cho hình thang ABCD (BC đáy nhỏ) Gọi I trung điểm CD Qua I kẻ đường thẳng d song song với AB Kẻ AH BE vng góc với d Chứng minh
ABCD ABEH
S = S
Bài 27 Cho hình thang cân ABCD (AB// CD) có AC = 8cm, B C = 45°.Dµ Tính diện
tích hình thang ABCD
Bài 28 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm hai đường
chéo AC = 16cm, BD = 12cm Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 29 Cho tam giác ABC có diện tích S, đường trung tuyến AD, BE CF Gọi S’ diện tích tam giác có độ dài cạnh AD, BE CF
Chứng minh S’ = S
H G
E
D F
B
A
C
HD: Gọi G trọng tâm ABC, H trung điểm GC Chọn SGDH làm trung
gian Tính S’ = 9SGDH S = 12SGDH
Bài 30 Hình thang ABCD có đáy AB = b, CD = a (a > b) Đoạn thẳng MN song song với hai đáy, hai đầu đoạn thẳng thuộc hai cạnh bên chia hình thang thành hai phần có diện tích Chứng minh
MN2 =
HD: Gọi O giao điểm AD BC. Đặt S = SABNM = SMNCD MN = x
(15)a b
x
B
D C
O
A
M N
Bài 31 Cho tam giác ABC vuông cân A, đường cao AH đường phân giác BE Đường vng góc với BE E cắt cạnh BC G, cắt tia đối tia AB D Kẻ EF vng góc với BC Tính diện tích tam giác ABC, biết AD = 15 cm, HF = 20 cm
HD: Kẻ EN // BC, cắt AH M, cắt AB N ABC ~ ANE +Tính diện tích ANE
+Tính tỉ số đồng dạng hai tam giác ABC ANE Từ suy điều cần tìm
20 15
M N
G F
E
H C
A
B
D
Bài 32 Cho tam giác có độ dài cạnh BC = a, AC = b, AB = c
a - b = b - c G giao điểm đường trung tuyến I giao điểm đường phân giác tam giác cho Chứng minh GI // AC
M I
A
C B
E F
H K
G J
(16)I giao điểm ba đường phân giác trong, nên I tâm đường tròn nội tiếp ABC => IE = IF = IJ (IE, IF IJ khoảng cách từ tâm I đến cạnh tam giác hay IE = IF = IJ bán kính)
Ta có BH // GK (vì vng góc với AC) => = = (1) SABC = BH.AC = BH.b (2)
SABC = IE(AB + BC + CA) = (a + b + c).IE = 3b.IE (vì a + c = 2b) (3)
Từ (2) (3) => BH.b = 3b.IE <=> BH = 3IE <=> = (4) Từ (1) (4) => GK = IE
Tứ giác GKEI có GK = IE GK // IE (vì vng góc với AC) nên hình bình hành có GK EK nên hình chữ nhật
=> IG // EK hay IG // AC
Bài 33 Cho tam giác ABC vuông A, đường phân ghiác AD Vẽ DH vng góc với AB Đặt DH = d, AB = c, AC = b Chứng minh: = +
+ Sử dụng tính chất diện tích: Nếu đa giác chia thành đa giác nhỏ khơng có điểm chung trong, diện tích đa giác chia tổng diện tích đa giác chia
K H
D B
A
C
Bài 34 Cho tam giác ABC điểm M cạnh tam giác, cho SMBC = SMAB + SMAC Chứng minh M di động đoạn thẳng cố
định
Sử dụng tính chất diện tích tính chất hai tam giác có cạnh đáy, tỉ số hai diện tích băng tỉ số hai chiều cao
H
B C
A
F M
E
Bài 35 Cho góc xOy, tia Ot nằm góc Lấy điểm A cố định tia Ox, điểm B cố định tia Oy điểm C di động tia Ot Tia Ot cắt AB M Chứng minh SAOC = SBOC M trung điểm AB
(17)Sử dụng tính chất diện tích để chứng minh phần đảo lại : “Nếu SAOM = SBOM MA = MB.”
x y
M O
B
A
C
Bài 36 Cho tam giác ABC cân A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O trung điểm đường cao AH Các tia BO CO cắt cạnh AC AB D E Tính SADOE ?
Bài 37 Cho hbh ABCD có diện tích Gọi M trung điểm BC, AM cắt BD Q Tính diện tích MQDC ?
HD:
Hs cần nhận thấy SABCD = nên dễ dàng suy SBCD =
1 Để tính SMQDC phải thơng qua SBCD SBMQ
Do ta cần phải tìm mối quan hệ SBMQ với SBCD
Để tìm mối liên hệ ta phải xét xem Q nằm BD có vị trí đặc biệt khơng cách lấy thêm điểm N trung điểm
N
H
E D
O
C B
A HD:
Để tính diện tích tập học sinh phải nhận thấy S ABC biết nên ta cần
tìm mối quan hệ SADOE với SABC Lại có H
và O điểm đặc biệt đoạn AC, AH nên ta dễ dàng tìm mối quan hệ cách lấy thêm điểm N trung điểm DC
E Q
N M
D
A B
(18)Bài 38 Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh BC lấy M: BM = 5
BC Trên cạnh CD lấy N cho CN =
1 CD a) Tính SAMN theo SABCD
b) BD cắt AM P, BD cắt AN Q Tính SMNQP theo SABCD
Bài 39 Cho ABC có AB = 3; AC = 4, BC = Vẽ đường phân giác AD, BE, CF Tính diện tích tam giác DEF
Bài 40. Cho hình thang ABCD Biết độ dài hai đường chéo 5, độ dài đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy Tính diện tích hình thang ABCD
P E K N M D C B A
Bài 41 Cho hình thang ABCD, BC // AD Các đường chéo cắt O Chứng minh rằng: SOAB = SOCD
K H E F D C B A P Q H K D C B A N HD:
Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận phải sử dung tính chất 1: Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác ( tính cộng)
M
HD:- Để tính diện tích DEF ta phải tính SABC, SAEF, SBFD, SDFC
Học sinh dễ dàng tính SABC, SAEF
hai tam giác vng
- Để tính SBFD, SDFC cần phải kẻ thêm
đường cao Căn thêm vào giả thiết : có phân giác góc nên từ suy kẻ đường cao FH EK
(19)O
D A
C B
Bài 42 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P thứ tự trung điểm AB, BC, CD Chứng minh rằng: SMNP =
1 SABCD Q P N M D C A B
Bài 43 Cho hình chữ nhật ABCD Lấy M, N, P thuộc AB, BC, CD cho AM : MB = 1:2 ; BN : NC = 2:3 ; CP : PD = 3:4
Nối CM, DN chúng cắt điểm E Đường thẳng qua E song song với AB cắt AP F Đường thẳng BF cắt AD Q
a) Tính DQ : QA ?
b) Tính SPEQ theo SABCD ?
F I K Q S T E P N M D C B A
Bài 44 Cho tứ giác ABCD M N trung điểm AB, CD AN cắt DM P, CM cắt BN Q
Q P
M B
A
HD:
- Ta nhận thấy OAB OCD không chung đường cao không chung cạnh
- BAD CAD hai tam giác có chiều cao chung đáy AD
SBAD = SCAD đpcm
HD:
Ta có M, N, P trung điểm cạnh tứ giác ABCD Nếu ta lấy thêm Q trung điểm AD => MNPQ hình bình hành.Do SMNP =
1
SMNPQ
Ta nhận thấy SMNPQcó mối liên hệ với SABCD
(20)Chứng minh: SMPNQ = SADP + SBCQ
N
H I K