Cách chứng minh tiếp tuyến đường tròn và bài tập áp dụng

Bài 5 cho ta ý tưởng chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp một tam giác hoặc tiếp xúc với đường tròn mà tâm hoặc bán kính của nó xác định một cách khó khăn..[r]

CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN I.- MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

1 Phương pháp 1:

Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d) bán kính R (Phương pháp thường dung chưa biết giao điểm (d) (O) )

µBài tốn 1 : Cho đường trịn (O) đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến (O) (Ax, By nửa mặt phẳng bờ đt AB) Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D sao cho Ð COD = 900 Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O).

@Hướng dẩn giải

Vẽ OH CD H CD   Ta chứng minh OH = RO =

OB.

Tia CO cắt tia đối tia By E

Ta có: OAC OBF g c g  OC OE

Tam giác DEC có DO vừa đường cao vừa trung tuyến nên tam giác cân Khi DO đường phân giác

,

OH DC OB DEOH OB. Ta có OH CD OH, OB R O  CD tiếp xúc với (O) H.

2 Phương pháp 2:

Nếu biết đường thẳng (d) (O) có giao điểm A  Ta cần chứng minh minh OA d .

µBài tốn 2: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Đường trịn đường kính BH cắt AB D, đường trịn đường kính CH cắt AC E Chứng minh DE tiếp tuyến chung (I) (J)

H

E D O

A B

@Hướng dẩn giải

Để chứng minh DE tiếp tuyến của đường trịn tâm I đường kính BH ta chứng minh

IDDE hay Ð DOE = 90o

Vì D, E thuộc đường trịn đường kính BH HC nên ta có: ÐBDH

=ÐCEH = 900

 tứ giác ADHE hình chữ nhật Gọi O giao điểm AH DE, đó ta có OD = OH = OE = OA.

 ODH cân O ÐODH = ÐOHD Ta có IDH cân I ÐIDH = ÐIHO

 có: ÐIDO +ÐOHD =ÐIHD + ÐIHA = 900 ÐIDO = 900 ID  DE

Ta có ID DE D,  I  DE tiếp xúc với (I) D Chứng minh tương tự ta có DE tiếp xúc với (J) E.

µBài tốn 3: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Gọi I là trung điểm BC Chứng minh ID, IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

@Hướng dẩn giải

Gọi O trung điểm AH

Tam giác ADH vng D có DO trung tuyến nên ta có: AH

DO OA OH

Tam giác AEH vng E có EO trung tuyến nên ta có: AH

EO OA OH

.  OA = OD = OE, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Tam giác OAD cân O) ÐODA = ÐOAD (1)

O

E D

I H J

B

BDC vuông D có DI trung tuyến  BC

DI  IC

,  tam giác ICD cân I,  Ð IDC = ÐDIC (2)

H giao điểm hai đường cao BD CE  H trực tâm ABC,

AH BC F

Khi ÐOAD ICD  90o (2) Từ (1) , (2) (3) ta có

ÐODA + ÐIDC = ÐOAD +ÐICD = 900

Ta có OD DI D,  O  ID tiếp xúc với (O) D.

Chứng minh tương tự ta có IE tiếp xúc với (O) E (DPCM)

3 Phương pháp 3: Phương pháp trùng khít

Để chứng minh đường thẳng (d) tiếp tuyến (O) ta dựng đường thẳng (d’) tiếp tuyến (O) sau chứng minh (d) (d’) trùng Do (d) tiếp tuyến (O)

µBài tốn 4: (Ta chứng minh với phương pháp này.)

Cho đường trịn (O) đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến (O) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ đt AB) Trên Ax lấy điểm C,

trên By lấy điểm D cho Ð COD = 900 Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O).

@Hướng dẩn giải

Từ C vẽ tiếp tuyến CD’ đường tròn (O) (D’ thuộc By) tiếp xúc với (O) tiếp điểm H.

Ta có OC phân giác góc AOH (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Và OD’ phân giác góc BOH

F I

O H

D E

A

B C

H

D'

O

A B

C

Mà hai góc AOH BOH hai góc kề bù nên Ð OCD’ = 900

 ta có Ð COD’ = ÐCOD= 900 mà D, D’ thuộc By nên suy D D Vì CD’ tiếp tuyến (O)  CD tiếp tuyến (O)

µBài tốn 5: Cho tam giác ABC Tia Ax khác phía với AC đường thẳng AB thỏa

ÐxAB = ÐACB Chứng minh Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

@Hướng dẩn giải

Vẽ tia tiếp tuyến Ay đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (Ay phía với Ax đối với đường thẳng AB)

Khi ta có ÐyAB = ÐACB (góc tia tiếp tuyến dây góc nội tiếp chắn cung đó)

Mà ÐxAB = ÐACB ÐxAB =ÐyAB  Ax, Ay phía đường thẳng AB nên  Ax Ay Mà Ay tiếp tuyến (ABC)  Ax tiếp tuyến (ABC).

II.- NHẬN XÉT:

1 Phương pháp 1, tương đối quen thuộc hầu hết toán chứng minh tiếp tuyến dùng hai phương pháp suy trực tiếp từ định nghĩa tiếp tuyến Tuy nhiên hạn chế hai phương pháp ta phải biết tâm như

bán kính đường trịn

2 Phương pháp phương pháp hay hiệu quả, giúp ta giải tốn nhanh chóng gọn nhẹ Tuy nhiên khơng nhiều học sinh vận dụng thành thạo để chứng minh toán.

3 Bài cho ta ý tưởng chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường trịn mà tâm bán kính xác định một cách khó khăn Hạn chế phương pháp dựng tiếp tuyến, phải dựng thật hợp lí để chứng minh trùng khít dễ dàng hơn.

4 Tóm lại khơng có phương pháp hồn hảo áp dụng dễ dàng cho toán, chúng ta cần phải vận dụng linh hoạt phương pháp việc chứng minh một đường thẳng tiếp tuyến đường tròn.

y x

O A

III.- BÀI TẬP RÈN LUYỆN

µBài 1: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Ax, By hai tiếp tuyến (O) (Ax, By phía đường thẳng AB) Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho

2

1

4

AC BD AB

Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn (O)

µBài 2: Cho nửa đường trịn đường kính AB Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H trung điểm AM Đường thẳng qua H vng góc với AB cắt (O) C Đường trịn đường kính MB cắt CB I Chứng minh HI tiếp tuyến đường trịn đường kính MI.

µBài 3: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB C thuộc nửa đường trịn Vẽ

 

CH  AB HAB

M trung điểm CH, BM cắt tiếp tuyến Ax (O) P Chứng minh PC tiếp tuyến đường trịn (O).

µBài 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB M điểm đoạn OB Đường thẳng qua M vng góc AB M cắt (O) C D AC cắt BD P, AD cắt BC Q AB cắt PQ

tại I Chứng IC ID tiếp tuyến (O).

µBài 5. Cho tam giác AB cạnh a ngoại tiếp đường tròn (O) Trên cạnh AB AC lấy điểm M, N cho chu vi tam giác AMN a Chứng minh NM tiếp xúc với (O).

µBài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính BC (AB < AC) T điểm thuộc đoạn OC Đường thẳng qua T vng góc với BC cắt AC H cắt tiếp tuyến A của (O) P BH cắt (O) D Chứng minh PD tiếp tuyến (O).

µBài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác góc BAC cắt BC D cắt (O) M Chứng minh BM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.