Toán rời rạc nguyễn đình cường

TỐN RỜI RẠC NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG BỘ MƠN KỸ THUẬT PHẦN MỀM KHOA CNTT-ĐHNT LÝ THUYẾT TỔ HỢP Kết hợp Các phép toán tập hợp 𝐴∪𝐵 ∪𝐶 =𝐴∪ 𝐵∪𝐶 Phần bù 𝐴∩𝐵 ∩𝐶 =𝐴∩ 𝐵∩𝐶 𝐴ҧ = 𝑥 ∈ X: 𝑥 ∉ 𝐴 Giao hoán Hợp A B 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ A hoặ𝑐 𝑥 ∈ 𝐵 𝐴∪𝐵 = 𝐵∪𝐴 𝐴∩𝐵 = 𝐵∩𝐴 A Phân bố B A ∪ (B ∩ C) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐴 ∪ 𝐶 Giao A B A ∩ (B ∪ C) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐴 ∩ 𝐶 Đối ngẫu 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ A 𝑣à 𝑥 ∈ 𝐵 𝐴𝑈𝐵 = 𝐴ҧ ∩ 𝐵ത A B 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴ҧ ∪ 𝐵ത Tích Đềcát tập hợp 𝐴×𝐵 = A B a, b |a ∈ A , b ∈ 𝐵 𝐴1 × 𝐴2 × ⋯ 𝐴𝑘 = ൛ 𝑎11 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑘 |𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 = 1,2, … , 𝑘} 𝐴𝑘 = 𝐴 × 𝐴 × 𝐴 … × 𝐴 𝑘 𝑙ầ𝑛 Quan hệ tương đương phân hoạch Đối xứng Phản xạ Tính chất vật lý hữu hình phần tử tập hợp Truyền ứng Nguyên lý cộng A 𝐴∪𝐵 = 𝐴 + 𝐵 B Một đồn vận động viên gồm mơn bắn súng bơi cử thi đấu nước ngồi Nam có 10 người Số vận động viên thi bắn súng kể nam nữ 14 Số nữ vận động viên thi bơi số nam vận động viên thi bắn súng Số nữ vận động viên thi bơi số nam vận động viên thi bắn súng Hỏi tồn đồn có người Trả lời : Tồn đồn có 10 + 14 = 24 người Nguyên lý cộng 𝑛1 = 10 𝑛2 = 20 𝑛3 = 30 𝑘=0 for 𝑖1 =1 to 𝑛1 𝑘 = 𝑘 + for 𝑖2 =1 to 𝑛2 𝑘 = 𝑘 + for 𝑖3 =1 to 𝑛3 𝑘 = 𝑘 + Giá trị 𝑘 sau đoạn chương trình thực Ngun lý nhân Có chuỗi kí tự có độ dài 10 chứa chữ A, B, bắt đầu 𝑛1 = 10 AAA ABA 𝑛2 = 20 𝑛3 = 30 𝑘=0 for 𝑖1 =1 to 𝑛1 for 𝑖2 =1 to 𝑛2 for 𝑖3 =1 to 𝑛3 𝑘 = 𝑘 + Các cấu hình tổ hợp đơn giản Chỉnh hợp lặp Định nghĩa Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các phần tử lặp lại • Tính số dãy nhị phân độ dài n, 1001000000100000000100000000001 Trả lời 2𝑁 • Tính số tập n-tập X= 𝑥1 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 Biểu diễn tập dãy nhị phân độ dài n b= 𝑏1 𝑏2 , ⋯ , 𝑏𝑛 Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các phần tử khơng lặp lại Các cấu hình tổ hợp đơn giản Hoán vị Định nghĩa Ta gọi hoán vị n phần tử cách xếp thứ tự phần tử • người đứng xếp thành hàng ngang để chụp ảnh Hỏi bố trí kiểu Giải Mỗi kiểu ảnh hốn vị người Từ nhận số kiểu ảnh bố trí 6! = 720 Tổ hợp Định nghĩa Tổ hợp chập 𝑘 𝑛 phần tử không kể thứ tự gồm 𝑘 thành phần khác lấy từ 𝑛 phần tử cho 𝐶𝑛𝑘 𝑛! = 𝑘! 𝑛 − 𝑘 ! ⋅ Có n đội bóng thi đấu vịng trịn Hỏi phải tổ chức báo nhiêu trận Giải Cứ đội có trận, từ suy số trận đấu số cách chọn đội từ n đội 𝐶𝑛2 = 𝑛(𝑛 − 1) 1 1 1 1 10 10 1 15 20 15 1 21 35 35 21 1 28 56 70 56 28 1 36 84 126 126 84 36 Các hệ số tam giác PASCAL Viết chương trình máy tính in tam giác PASCAL 𝑐𝑛0 + 𝑐𝑛1 + 𝑐𝑛2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑛 = 2𝑛 BÀI TỐN ĐẾM • Thường sử dụng ngun lý cộng ngun lý nhân Thí dụ Có cách xếp người thành hàng ngang cho A không đứng cạnh B Giải Xem A B chổ , ta có 4! =24 cách xếp Tồn có 5!=120 Cách xếp, từ nhận số cách xếp 120 – 48 = 72 A B X X X Hỏi có đường khác từ nút (0, 0) đến nút (n, m) for ⅈ = to 𝑛 𝑑𝑜 for 𝑗 = 𝑛 𝑑𝑜𝑤𝑛 𝑡𝑜 𝑖 𝑑𝑜 if a[j-1] > a[j] then Swap(a[j-1], a[j]); BÀI TOÁN ĐẾM Nguyên lý bù trừ 𝐴𝑈𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐴 ∩ 𝐵 Định lý 𝐴1 𝑈𝐴2 ∪ 𝐴3 … 𝐴𝑚 = 𝑁1 − 𝑁2 + ⋯ + −1 𝑛−1 𝑁𝑚 B Thí dụ Hỏi tập X={1, 2, , 10000} có số khơng chia hết cho số số 3, 4, 𝐴𝑖 = ൛𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝑐ℎ𝑖𝑎 ℎế𝑡 𝑐ℎ𝑜 𝑖 } , 𝑖 = 3, 4, 𝐴 ∪ 𝐴4 ∪ 𝐴7 Số lượng số cần đếm = 𝑋 − 𝐴3 ∪ 𝐴4 ∪ 𝐴7 𝑁1 = 𝐴3 + 𝐴4 + 𝐴7 = 10000 + 10000 𝑁2 = 𝐴3 ∩ 𝐴4 + 𝐴3 ∩ 𝐴7 + 𝐴4 ∩ 𝐴7 = 𝑁3 = 𝐴3 ∩ 𝐴4 ∩ 𝐴7 = 10000 3×4×7 = 119 = 𝑋 − (𝑁1 − 𝑁2 + 𝑁3 ) + 10000 10000 3×4 + =3333+2500+1428=7261 1000 3×7 + 1000 4×7 = 833 + 476 + 357=1666 Số lượng số cần đếm =10000 -7261+ 1666 -119=4286 Có xâu nhị phân bắt đầu 00 kết thúc 11 ... = n! ⋅