Toán rời rạc ứng dụng trong tin học

G] & J NHÀ XUẤT/BẢN GlÁCXm JC VIỆ PGS TS ĐỖ ĐỨC GIÁO • • Tái lần thứ hai NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM Công ty cổ phần Sách Đại học • Dạy nghề - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam giữ công bố tác phẩm 14 - 201 l/CXB/102 - 2075/GD Mã số : 7B705y - DAI J lờ i nối đau Dê nâng cao chất lượng giảng dạy học tập môn Toán rời rạc cho sinh viên học viên ngành Công nghệ thông tin ngành khoa học tự nhiên, biên soạn cuôh Toán rời rac ứng dung tin hoc gồm: Phần I Kiến thức bổtrỢ; - - Phần II Logic ứng dụng; - Phần III Dồ thị ứng dụng; - Phần IV Ngôn ngữ hình thức Cuốn Toán rời rac ứng dung tin hoc trình bày vân dề toán học nhất, lại thiết yếu cần thiết m uôh có dược kiến thức tin học vững Cuốn sách giúp người học hiểu dược lý thuyết thấu dáo, rèn luyện tư khoa học, k ỹ tính toán khả vận dụng toán học vào giải vân dề, kích thích niềm say mê học tập từ nâng cao k ỹ thực hành, tư sáng tạo học môn học SỞ chuyên ngành Công nghệ thông tin Cuốn sách bô ích cho việc ôn thi tu vén sinh sau dại hoc ngành Công nghệ thông tin dược tô chức hàng năm Ở Đại học Quốc gia Hà Nội Tác giả chân thành cảm ơn bạn dồng nghiệp dã dộng viên tác giả biên soạn sách Cuốn sách xuất lần dầu, nôn khó tránh khỏi thiếu sót hình thức củng nội dung Vì vậy, tác giả m ong nhận dược góp ý bạn dọc dê sách ngày tốt Mọi góp ý xin gửi về: Công ty Cô phần Sách Dại học Dạy nghề: 25 Hàn Thuyên Hà Nộ i TÁC GIẢ TOÁN RỜI RẠC ỨNG DUNG TRONG TIN HOC MỤC LỤC V LỜI NÓI ĐẦU Phẩn I KIẾN THỬC B ổ TRỢ Chương CÁC KHÁI NIỆM c BẢN CỦA THUẬT TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỆ Q UY §1 Khái niệm thuật toán 1.1 Thuật toán 1.2 Các đặc trưng thuật toán 1.3 Ngôn ngữ thuật toán 10 1.4 Độ phức tạp thuật to n .13 §2 Phương pháp đệ quy 19 BÀI T Ậ P 29 Chương CÁC PHƯƠNG PHÁP Đ Ế M 33 §1 Tập hợp biểu diễn tập hợp trênmáy tính 33 1.1 Các phép toán tập hợp 33 1.2 Các tính chất tập hợp 34 1.3 Lực lượng tập h ợp .34 1.4 Tích Đề-các tập hợp lực lượng n ó 35 1.5 Biểu diễn tập hợp máy tính 35 §2 Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp 37 2.1 Hoán vị chình hợp 37 2.2 Tổ hợp định lý nhị thức 38 §3 Các quy tắc đếm 43 3.1 Quy tắc cộng 43 3.2 Quy tắc nhân 44 3.3 Một số toán đếm kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhâ n 45 §4 Nguyên lý chuồng chim bồ câu 52 4.1 Nguyên lý chuồng chim bổ c ả u 52 4.2 Nguyên lý Dirichlet 52 4.3 Các ví d ụ 53 Chương QUAN HỆ 57 §1 Quan hệ biểu diễn quan h ệ 57 1.1 Quan hệ ví dụ quan hệ 57 1.2 Phương pháp biểu diễn quan hệ 57 1.3 Tính chất quan h ệ 60 §2 Cung đường đố thị quan h ệ 63 2.1 Định nghĩa 63 2.2 Tính chất 63 §3 Quan hệ ngược quan hệ hợp thành 64 3.1 Quan hệ ngược 64 3.2 Quan hệ hợp thành 65 MỤC L Ụ C _ • • §4 Quan hệ tương đương 66 4.1 Định nghĩa quan hệ tương đương 66 4.2 Phản hoạch tương đương lớp tương đương trẽn tập hợp 67 §5 Bao đóng bắc cáu quan hệ .70 5.1 Bao đóng bắc cấu quan hệ 70 5.2 Xác định bao đóng bắc cầu quan h ệ 70 §6 Thuật toán xác định bao đóng bắc cầu quan h ệ 73 BÀI TẬP : 74 Phán II LOGIC VÀ ỨNG DỤNG Chưưng LOGIC MỆNH ĐỂ .78 §1 Các phép toán công thức 78 1.1 Định nghĩa phép toán đại số mệnh đ ề 78 1.2 Định nghĩa công thức lỏgic mệnhđ ể 79 1.3 Công thức đồng cốngthức đống .80 1.4 Bảng công thức đồng 80 1.5 Bảng công thức 81 1.6 Luật đối ngẫu 81 1.7 Luật thay th ế 82 1.8 Luật kết lu ậ n i 83 §2 Điếu kiện đống (hằng đúng), điều kiện đồng sai (hằng sai) 83 2.1 Tuyển hội sơ cấp 83 2.2 Dạng chuẩn tắc tuyển chuẩn tắc hội 84 2.3 Thuật toán nhận biết đúng, sai thực công thức lôgic mệnh đ ề 85 §3 Các quy tắc suy diễn lôgic mệnh đ ề 86 3.1 Các quy tắc suy diễn 87 3.2 Ví dụ minh hoạ việc áp dụng quy tắc suy d iễ n 88 Chương LOGIC VỊ TỪ 102 §1 Định nghĩa vị từ 102 §2 Khái niệm công thức nhau, đồng s a l .104 §3 Ý nghĩa vị từ theo lý thuyết tập hợp 106 3.1 Vị từ 106 3.2 Mờ rộng cho vị từ n ngô i 107 §4 Dạng chuẩn tắc hội dạng chuẩn tắc tuyển công thức 108 4.1 Bảng công thức đồng lôgic vị từ cấp 110 4.2 Thuật toán tìm DCTH DCTT công thức A lôgic vị từ cấp 111 §5 Vấn đề tính giải 113 §6 Nguyên lý quy nạp 118 §7 Quy tắc suy diễn lôgic vị từ cấp 124 7.1 Các lượng từ mệnh đề có lượng từ 124 7.2 Một số quy tắc suy diễn lôgic vị từ 124 7.3 Một sỏ ví dụ áp dụng 125 BÀI TÂP ! , 129 TOÁN RỜI RẠC ỨNG DỤNG TRONG TIN HOC Chương HỆ TOÁN MỆNH Đ Ể 140 §1 Hệ toán mệnh đ ề 141 1.1 Xây dựng hệ toán mệnh đề 141 1.2 Các định nghĩa hệ toán mệnh đ ề 142 1.3 Một số ví dụ định lý 143 §2 Các tinh chất hệ toán mệnh đế 144 §3 Định lý tương đương 152 §4 Quan hệ Logic mệnh đề hệ toán mệnhđ ề 169 §5 Tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ, tính độc lập củahệ toán mệnh đé 180 5.1 Tính phi mâu thuẫn hệ toán mệnh đ ề .180 5.2 Tính đầy đủ hệ toán mệnh đ é .180 5.3 Tính độc lập hệ toán mệnh đ ề 181 Phẩn III ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Chương LÝ THUYẾT Đ ổ T H Ị 189 §1 Định nghĩa đồ thị, biểu diễn đồ thị số dạng đồ thị thường g ặ p 189 1.1 Định nghĩa đố thị 189 1.2 Biểu diễn đổ th ị 190 1.3 Một số dạng đồ thị thường gặp 193 §2 Một số thuật ngữ tính chất đố th ị 195 2.1 Một số thuật ngữ dồ th ị .195 2.2 Một số tính chất đồ th ị 197 §3 Số ổn định trong, số ổn định nhân đố th ị 200 3.1 Sô ổn định tron g 200 3.2 Số ổn định 200 3.3 Nhân đồ thị 201 3.4 Thuật toán tìm số ổn định 202 §4 Sắc sô đô th ị 204 4.1 Sắc số đố thị đầy đ ủ 204 4.2 Sắc số đồ thị chu trình độ dài lẻ 204 Quan hệ sắc số số ổn định .205 4.4 Sắc số đố thị có chu trình 206 4.5 Sắc số đồ thị đơn đổ thị đơn phàn đôi 206 4.6 Bài toán tô màu đố 207 §5 Chu trình Euler đường Euler .208 5.1 Chu trình Euler 208 5.2 Thuật toán tìm chu trình Euler 212 5.3 Đường Euler 213 5.4 Thuật toán tim đường Euler 214 §6 Chu trình Hamilton đường Hamilton 214 6.1 Chu trình Hamilton 214 6.2 Đường Hamilton 216 §7 Đường ngắn đổ th ị 218 7.1 Đường ngắn đồ thị không trọng s ố 218 7.2 Đường ngắn đồ thị có trọng s ố 219 MỤC LỤC _ _ §8 Một số tính chất đố thị phảng 224 8.1 Khái niệm diện hữu hạn diện vô hạn đố thị phảng 224 8.2 Chu sô' đò thị .225 8.3 Công thức Euler 226 BÀ T Ậ P 226 Chương §2 §3 §4 §5 §6 BAI CÂYVÀ ỨNG DỤNG CỦA C Â Y 239 1.1 Cây 1.2 Rừng 241 1.3 Cây có gốc 241 1.4 Cây m - phàn, m - phản đẩy đủ nhị phản 242 Một số tính chất 243 ứng dụng 246 3.1 Cày tìm kiếm nhị phân toán 247 3.2 Cây định bàrtoán 248 3.3 Các mã tiền tố toán 249 Các phương pháp duyệt cày 252 4.1 Hệ địa phổ dụng 252 4.2 Thuật toán duyệt câ y .253 Cây toán x ế p 258 5.1 Thuật toán xếp nhị nguyên 258 5.2 Thuật toán xếp kiểu b ọ t 259 5.3 Thuật toán xếp kiểu hoà nhập 261 Cày khung đổ th ị : 266 6.1 Cây khung đố thị trọng s ố 266 6.2 Cây khung đổ thị có trọng s ố 275 T Ậ P 282 Phấn IV NGÔN NGỮ HỈNH THỨC Chương VĂN PHẠM VÀ NGÔN NGỮ SINH BỞI VĂN PHAM 298 §1 Khát niệm chung ngốn ngữ .298 1.1 Bảng chữ c i 298 1.2 Xâu ký tự 299 1.3 Ngôn ngữ 299 §2 Văn phạm ngôn ngữ sinh văn phạm .300 2.1 Định nghĩa văn phạm .300 2.2 Ngôn ngữ văn phạm 301 §3 Phản loại văn phạm chomsky 302 §4 Một số ví dụ văn phạm 304 §5 Một số tính chất văn phạm 308 BAI TẬP 314 Chương 10 ÔTÔMAT HỮU HẠN VÀ NGÔN NGỬ-ĐOÁN NHẬN CỦA N Ó 319 §1 Ôtômat hữu hạn (Finite Automata - FA) 319 1.1 Định nghĩa ôtômat hữu hạn 319 _ TOÂN RỜI RẠC ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC 1.2 Phương pháp biểu diễn ôtômat hữu hạn 320 1.3 Sự tương đương ôtômat đơn định không đơn định 327 §2 Ngôn ngữ quy biểu thức quy 328 2.1 Ngôn ngữ quy 328 2.2 Biểu thức q u y 329 2.3 Thuật toán Thompson 329 2.4 Tính chất ngôn ngữ quy 331 2.5 Quan hệ ôtômat hữu hạn ngôn ngữ quy 332 BÀI T Ậ P 335 Chương 11 ÔTÔMAT ĐẨY XUỐNG ĐOÁN NHẬN NGÔN NGỮ PHI NGỮ CẢNH 345 §1 Văn phạm phi ngữ cảnh dẫn xuất n ó 345 1.1 Định nghĩa văn phạm phi ngữ cảnh quy tắc ký h iệu 345 1.2 Cây dẫn xuất đầy đủ văn phạm phi ngữ cảnh 346 1.3 Sự nhập nhằng ngôn ngữ phi ngữ cảnh 349 §2 Giản lược văn phạm phi ngữ cảnh : 350 2.1 Ký hiệu có ích ký hiệu thừa 350 2.2 Các A- quy tắc (a xâu rỗng) 352 2.3 Các quy tắc đơn .353 §3 Văn phạm chuẩn Chomsky 354 §4 Ôtỏmat đẩy xuống (Pushdown Automata) 356 4.1 Ôtômat đẩy xuống 357 4.2 Ngôn ngữ đoán nhận PA 360 §5 Phương pháp phân tích tất định lớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh 366 5.1 Phản tích tất định .366 5.2 Các hàm FIRST, FOLLOW 369 5.3 Điều kiện để văn phạm phi ngữ cảnh không nhập nhằng không đệ quy trái 371 BÀI T Ậ P 374 Chương 12 MÁY TURING KHÔNG ĐƠN ĐỊNH ĐÀN HỔI ĐOÁN NHẬN NGÔN NGỮVẢN PHẠM 391 §1 Máy Turing đơn định 391 §2 Máy Turing không đơn định đàn h ố i 393 2.1 Mô tả hoạt động máy Turing đơn định không đàn h i 393 2.2 Mô hình máy băng 397 §3 Sự tương đương máy Turing không đơn định đàn hổi văn phạm Chomsky .' 399 Phụ lục MỘT s ố ĐỂ THI TUYỂN TÀI LIỆU s in h s a u đ i h ọ c (ĐHQGHN) 401 THAM KHẢO 407 PHẦN I KIẾN THỨC BỔ TRỢ _ ■ C hư ơn g C Á C KHÁI NIỆM C O BẢN CỦA THUẬT TOÁN VÀ PHƯONG PHÁP ĐỆ QUY §1 KHÁI NIỆM THUẬT TOÁN 1.1 Thuật toán Thuật toán khái niệm quan trọng toán học Nói đến thuật toán nói đến dãy quy tắc, nhằm xác dinh dãy thao tác đôi tượng, cho sau số hữu hạn bước thực thao tác, ta đạt dược mục tiêu cần làm 1.2 Các độc trưng thuột toán - Tính dừng: Sau số hữu hạn bước thuật toán phái dừng - Tính xác dinh: Ở bước, thao tác phải rõ ràng, không gây nên nhập nhằng Nói rõ hơn, điểu kiện hai xử lý thực bước thuật toán phái cho kết - Tính hiệu quá: Trước hết thuật toán phải dúng đắn, nghĩa sau dưa liệu vào thuật toán hoạt dộng đưa kết mong muốn - Tính phổ dụng: Thuật toán giải toán lớp toán Cụ thuật toán có thê có đầu vào liệu khác miên xác định - Yếu tố vào ra: Đối với thuật toán có đối tượng vào (input) đối tượng (output) 394 TOÁN RỜI RẠC ỪNG DỤNG TRONG TIN HỌC 2) Máy Turing đơn định có băng vào, máy Turing không đơn định lại làm việc hai bãng: băng gọi bãng vào băng gọi băng làm việc Trên băng vào ghi từ xuất phát mà trình làm việc không thay đổi, ký hiệu đọc lần Toàn cồng việc lai máy làm việc băng thứ hai 3) Tính đàn hồi băng làm việc (băng thứ 2) thể hiện: - "Tính co lại băng làm việc": Trong xóa ký hiệu ô làm việc, máy hủy bỏ ô này, cho hai ố cạnh lại trờ thành hai ô kề - "Tính dãn bàng làm việc": Giữa hai ô thuộc băng làm việc, máy lập thêm ô ghi ô ký hiệu cần dùng ích lợi cúa "tính đàn hồi" chỗ cho phép mô hình hoá văn phạm máy có thê thực vòng quanh mà khỏng cần chuyên dịch toàn nội dung băng Đế hiểu xâu sắc lý thuyết văn phạm người ta phải thông qua lý thuyết máy Turing, đồng thời nghiên cứu văn phạm máy Turing phương tiện kỹ thuật tiện lợi Vì lý dó ta cần xây dựng máy Turing không dơn định với băng làm việc dàn hồi Định nghĩa 5: Máy Turing không dơn định với bãng làm việc dàn hổi gồm có: 1) Hai băng hữu hạn dược chia thành ố Một băng gọi "băng vào" bàng gọi "băng làm việc" 2) Hai báng chữ V, w gọi tương ứng báng chữ vào bảng chữ làm việc Các phần tứ chúng dược gọi cách tương ứng "ký hiệu vào" "ký hiệu làm việc" 3) Các ký hiệu #, * ký hiệu biên phải € V u w , # gọi ký hiệu biên trái, * gọi Đặt V' = V u {#, *} W' = w u {#} 4) Đầu dọc vào đáu dọc làm việc chuyển dịch báng vào băng làm việc tương ứng P h n I V NGỒN NGỮ HÌNH THỨC 395 5) Tập hữu hạn trạng thái Q = {qh qn), lấy phần tử q, gọi trạng thái ban đầu, tập Q0 e Q gọi tập trạng thái kết thúc 6) Chương trình làm việc cúa máy gồm lệnh từ V' u W i j Q u {T, p, ->} Cụ thể gồm năm lệnh có dạng sau đây: (i) qua -> qp; (ii) Aq„ -» qp; (iii) qa -> Aqp; (iv) qu -» qpT; (v) q« -» qpP Ở a e V', A Ễ w , qa qp € Q Giải thích nội dung năm lệnh trên: Mỗi lệnh thực số hoạt động phụ thuộc vào yếu tô sau đây: - Trạng thái máy bắt đầu thực lệnh; - Các ký hiệu đọc bới đầu đọc; - Vị trí đầu đọc làm việc Cụ thể, vế trái lệnh có ký hiệu qa, vế phải có ký hiệu qp chuyển từ trạng thái qư sang trạng thái qp, đồng thời với làm việc trường hợp sau đây: + Trường hợp lệnh dạng (i): qưa —> qp Nếu a * chuyên dầu đọc sang phải ô, ô dọc có ghi ký hiệu a Nếu a * dọc vào đầu dọc làm việc giữ nguyên chỗ + T r o n g trư n g h ợ p (ii); Aqa -> qp Nếu ô làm việc dọc có ghi ký hiệu A húy bỏ ô chuyển đầu đọc sang ô nằm sát bên trái ô vừa bị hủy (tính co lại cùa băng làm việc) + Trong trường hợp (iii): qư -> Aqp Lập thêm ô sát bên phải ô làm việc đọc ghi ô ký hiệu A, đầu đọc chuyển đến ô (tính dãn băng làm việc) + Trường hợp (iv): qa -» qpT Chuyển đầu dọc làm việc phía trái ô, không biên trái # TOÁN RỜI RẠC ỨNG DUNG TRONG TIN HỌC 396 + Trường hợp (v): qa -> qpP Chuyển đầu đọc làm việc phía phái ô, không biên phải # Ta gọi tập hợp hoạt động bước làm việc máy Do tính không đơn định mà thời điểm máy sử dụng cho nhiều lệnh khác nhau, thực lệnh, dó phải chọn lệnh số lệnh (lấy lệnh để làm việc) Định nghĩa (Trạng thái toàn phần) Trạng thái toàn phần máy Turing không đơn định với bãng làm việc đàn hồi thứ tự (qa, x', x", X', X"), qa e Q, x' e (V')*, x" € (V')+, X' (W ')\ X" € (W')+, x'x" từ băng vào với x' phần nằm bên trái dầu đọc x" nằm bên phải đầu đọc X'X" từ viết bãng làm việc X' phần nằm bên trái đầu đọc làm việc, X" nằm bên phải đầu đọc làm việc Định nghĩa (Trạng thái toàn phần ban đáu kết thúc) - Trạng thái toàn phần có dạng (qMA , #x*, A , #) với X V dược gọi trạng thái toàn phần ban dầu, dây qi ký hiệu trạng thái ban dầu máy (gọi tắt là: X - trạng thái toàn phần ban dầu) - Trạng thái toàn phần có dạng (qf, #x, *, #, a ) với qf e Q0, X G V* gọi trạng thái toàn phần kết thúc (x - trạng thái toàn phần kết thúc) Định nghĩa 8: Nếu trạng thái toàn phần S' nhận dược từ trạng thái toàn phần s bàng cách áp dụng lệnh máy ta nói S' đạt dược trực tiếp từ s máy M (ký hiệu s I Ị= S', hay gọn s Ị=S') M tìịnh nghĩa 9: 1) Dãy trạng thái toàn phần c = (So, S|, , Sn) (n > 1) gọi tính toán máy M với i (i = 1, n ) ta có Sj_| Ị=Sị Số n gọi dộ dài tính toán c 2) Trong tính toán c trạng thái toàn phần Sn đạt từ trạng thái toàn phần So nên ta viết So ị- Sn Nói cách khác, tính toán (Vi = 1, n) ta nói So ị- Sn 3) Nếu tính toán bắt đầu nói tính toán X - tính toán X c = (So, S|, , Sn) mà Sj_| 1= s, - trạng thái toàn phần ban đầu ta Ph ấ n IV NGỒN NGỮHÍNH THỨC 397 4) Nêu tính toán bắt dầu bới X - trạng thái toàn phần ban đầu kết thúc X - trạng thái toàn phán kết thúc tính toán dó gọi X - tính toán dấy dú 5) [x, y) - tính toán tính toán bắt đầu X - trạng thái toàn phần ban dầu kết thúc bời trạng thái toàn phần có dạng (qf, #x, A, y) Chú ý: Từ cách định nghĩa ta có X - tính toán dầy dú [x, a ] - tính toán Định nghĩa 10: Nếu tồn X - tính toán đầy đủ máy M ta nói máy M đoán nhận từ X Tập từ mà máy M doán nhận gọi ngôn ngữ máy M ký hiệu L(M) Chú ý: - Trong trình X - tính toán biên ghi bên trái ô làm việc không bị triệt tiêu không xuất ô làm việc khác Vì lý dó, nói "trên băng làm việc ghi ký hiệu A" "băng làm việc triệt tiêu" có nghĩa băng làm việc ghi từ #A băng làm việc tất ô bị triệt tiêu (trừ ô có ghi ký hiệu #) - Một tính toán dẩy đủ bắt dầu kết thúc băng làm việc toàn từ vào phái dược dọc tận tính toán đầy dú Định nghĩa 11: (Mã tính toán) Nêu lệnh cúa máy đàn hồi M dặt tương ứng - với ký hiệu Cj Lập từ Cjj Cj2 Cjn, (Cjj (i = l , n ) ký hiộu đặt tương ứng với lệnh thực bước thứ i cùa tính toán c = (So, S|, , Sn) Khi dó từ Cjị Cj2 Cjn dược gọi mã tính toán c Chú ý: Mỗi tính toán c có dứng mã dược nhờ vào mã cúa trạng thái ban đầu c c khôi phục lại 2.2 Mô hình m áy bãng Định nghĩa 12: (Mô hình máy băng) Giả sử M máy Turing không đơn dinh đàn hồi với bảng vâo V, bảng làm việc w Ta gọi máy Turing đàn hồi M với bảng làm việc W' D V u w u |d} ( d í V ụ W) mô hình băng trực tiếp M [x, y] - tính toán cúa TOÁN RỜI RẠC ỨNG DUNG TRONG TIN HOC 398 máy M tồn trạng thái toàn phần (qf, A , #*, #x, dy) với qf e Q0 dạt dược từ trạng thái toàn phần (qI, A , #*, A , #xd) M Định lý I: Đôi với máy Turing không dơn định đàn hồi xây dựng mỏ hình băng trực tiếp Clúữig minh: Ta mô tả cách làm việc mô hình băng trực tiếp M M sau: Trong "khu vào" (bên trái d) "khu làm việc" (bên phái d) băng làm việc, máy M làm việc hoàn toàn máy M băng làm việc Nhưng M chuyển từ "bước vào" sang "bước làm việc" ngược lại đầu đọc M chuyển từ khu sang khu khác, dồng thời đánh dấu ô vừa đọc để có thê tìm dược ô quay trớ lại Với cách làm việc M ta thấy [x, y] - tính toán M suy (qj, A , #*, A , #xd) |- (qt, A , #*, #x, dy) M ngược lại Ví dụ: Nếu [x, y] - tính toán M có dạng: c = (So, s sn), Sq = (q,, s, Với X = (q2, #x', x"*, A, #y'), , A, #x*, A, *), Sn = (Qf, #x, * , A, *y) = x'x", ứng với s0 M ta có So M là: So = (q1( A , #*, A, #xd) Theo cách làm việc M, có So Ị= S| M M có So Ị= S, với S| = (q2, A , #*, #x', x"dy') Nếu M có Sị Ị= So M có Si Ị= §2 , S2 = (q3, #x'Xị", X2V , §2 = (q3, A , #*, A, y'y") với x'X|"x2" = X Khi #x’Xị", x2"dy'y"), Cuối M có Sn_| Sn mà Sn = (qf, #x, M ta có Sn-1 1= Sn với Sn = (qf, A, #*, #x, dy) Tóm lại M mô hình bãng trực tiếp M A, #y) 399 Phẩn ÍV NGÔN NGỮ HÌNH THỨC §3 Sự TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA MÁY TƯRING KHÔNG ĐƠN ĐỈNH ĐÀN Hổl VÀ VĂN PHẠM CHOMSKY Định nghĩa 13: Ta nói máy Turing không đơn định đàn hồi M vãn phạm G tương đương L(M) = L(G) Định lý 2: 1) Đôi với máy Turing khống đơn định đàn hồi xây dựng văn phạm tương đương với 2) Đối với văn phạm xây dựng máy Turing khống đơn định đàn hồi tương đương với Chứng minh: 1) Giả sử M máy không dơn định dàn hổi với bảng vào V Mị mỏ hình bãng trực tiếp M ta xây dựng M2 có hai trạng thái q', q" cho với từ X € V* trạng thái toàn phần (q", A , #*, A , #) đạt từ trạng thái toàn phần (q\ A , #*, A , #x), tức (q\ A , #*, A , #x) |(q", A , #*, A , #) X e L(M) Xây dựng văn phạm G = , V = V (bảng vào M), w := ( W W ) u Q u {I}, với w , Q tương ứng bảng làm việc, tập trạng thái M2, If! V u W u Q R gồm quy tắc I —> #q, #q' —> A quy tắc dược xác dịnh ứng với lệnh máy M2 Cụ thể M2 có lệnh dạng ôqa -> qp (ii) cho tương ứng với quy tắc qp -» qaô, lệnh dạng qa —> ỗqp (iii) cho ứng với quy tắc ỗqp -> q„, lệnh qu -> qpT (iv) cho ứng với quy tắc qpy -> yq« (y G W), lệnh qa —>qpp cho ứng với quy tắc yqp —> qay (y W) Như R cùa G gồm lệnh cùa M2 dạng ngược lại Rõ ràng với X G V* D = (I, C0|, (02, ( 0n_| , x) dẫn xuất đáy đủ X G chí M2 từ trạng thái toàn phần (q\ A , #*, A , #x) đạt dược từ trạng thái toàn phần (q", A , #*, A , #) (sở dĩ quy tắc G lệnh ngược M2, G mà dẫn từ M2 X lại triệt tiêu trình làm việc trên) X Nhưng M2 (q\ A , #*, L(M) Vậy L(M) = L(G) A, #x) 1=(q", A, #*, A, #) TOÁN RỜI RẠC ỨNG DUNG TRONG TIN HỌC 400 2) Giả sử G = văn phạm tùy ý Ta xây dựng máy Turing M sau: Bảng vào M V G Bảng làm việc Mlà V u w M làm việc sau: Nó ghi lên bảng làm việc từ vào, sau dó băng làm viộc thực dẫn xuất tùy ý văn phạm G với thứ tự ngược lại Nếu kết dẫn xuất ngược lại dừng lại ký hiệu cuối I máy M tự huý băng làm việc chuyển vào trạng thái kết thúc Trường hựp ngược lại, cho máy M không gặp trạng thái kết thúc Từ trình làm việc ta suy L(M) = L(G) Định lý chứng minh Chú ỷ: Từ định lý ta thấy lớp ngôn ngữ máy Turing không đơn định đàn hồi sinh trùng với lớp ngôn ngữ văn phạm sinh Phụ lục MỘT SỐ ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC (ĐHQGHN) M ôn thi: TOÁN RỜI RẠC - NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NẢM 2000 (Thời gian 180 phút) Câu 1:1 Hãy lập bảng giá trị công thức mệnh đế sau: ((P -> Q) -> R) -> s Hãy biến đổi tương đương để đưa công thức sau dạng: dấu tương đương (=); dấu kéo theo (->); không kể dấu lượng từ tuyển thành phẩn, mà thành phần lại hội công thức không chứa dấu tuyển (v ) dấu hội (a ): ~(Vx)P(x, y) = Q(y), dấu - chì toán tử phủ định Câu 2: Cho ngôn ngữ quy bàng chữ {0, 1}, gổm tất từ chứa ký hiệu 1 Hãy biểu diễn ngôn ngữ biểu thức quy Hãy tìm văn phạm tuyến tính sinh ngôn ngữ Hãy xác định ôtômat hữu hạn đoán nhận ngôn ngữ Câu 3: Cho ngôn ngữ phi ngữ cảnh L = {an0kbncmdmI n, m > 0, k > 0} Hãy tìm văn phạm phi ngữ cảnh sinh ngôn ngữL Hãy đưa dẫn suất chứng tỏ từ a302b3c2d2 sinh văn phạm vừa tim Câu 4: Định nghĩa cày khung nhỏ đồ thị liên thông có trọng số Mỏ tả bước làm việc thuật toán Prim tìm khung nhỏ đồ thị liên thông có trọng số Cho đổ thị G = liên $2000 thông cỏ trọng số (hình 1) Mỗi đỉnh i trung tâm máy tính (i = 1, 2, 3, 4, 5) Mỗi cạnh đường truyền thông thuê bao, trọng số cạnh tiến thuê bao hàng tháng (tính đôla) đường truyền thông biểu thị cạnh Hãy thiết kẽ lại mạng truyền thông $1600 nối trung tâm máy tính cho H inh tiền thuê bao hàng tháng tối thiểu Hãy tìm khung nhỏ qua cạnh nối đỉnh với trọng số cạnh $1600 đổ thị G = Câu 5:1 Mô tả bước làm việc thuật toán tìm khung cực đại đồ thị liên thông có trọng số, cày khung cực đại đồ thị liên thông có trọng số khung có trọng số lớn tất khung có trọng số đồ thị Tìm khung cực đại đổ thị cho phần câu TOÁN RỜI RẠC ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC 402 NĂM 2002 (Thời gian 180 phút) Câu :1 Cho công thức (Vx)P(x, 4) V (Vx)(3y)P(x,yj, với X e {1, 2, 3} Hãy biến đổi tương đương công thức thành công thức không lượng từ, mà có phép toán hội ( a ), tuyển (v ) phép phủ định (-) Riêng phép phủ định liên quan trực tiếp tới vị từ cụ thể trường {1, 2, 3} X {4, 5} Cho công thức A SE((3x)P(x) V (3x)Q(x) V (X -> (Y -> X))) -> (Vx)(P(x) V Q(x)) với P(x), Q(x) vị từ biến; X, Y mệnh đề sơ cấp Thực phép biến đổi tương đương sau A: a) Khử phép toán kéo theo (-») b) Đưa phép toán phủ định (-) trực tiếp liên quan tới vị từ mệnh đề sơ cấp c) Đưa lượng từ V, lẽn đứng trước phép toán lôgic khác Câu 2: Phát biểu (không chứng minh) điều kiện cần đủ để đồ thị vỏ hướng có chu trình Euler Cho ví dụ minh họa Cho đồ thị hình cho công thức Euler r = e - V + 2, e số cạnh, V số đỉnh đồ thị đơn, phảng liên thông G, r số miến biểu diễn phảng G Tìm r có đồ thị cho hình Phát biểu thuật toán tìm đường ngắn từ đỉnh X đến đỉnh y đồ thị liên thông trọng số, độ dài đường từ đỉnh X đến đình y số cạnh có mặt đường Áp dụng thuật toán vừa phát biểu trên, đường ngắn từ đỉnh a đến đỉnh m đồ thị (hình 1) Có đường Cảu 3: Cho ôtômat hữu hạn trạng thái M với hàm chuyển trạng thái hình Tìm ngôn ngữ đoán nhận L(M) M Xây dựhg văn phạm quy G = cho ngôn ngữ sinh L(G) = L(M) (văn phạm quy văn phạm có tập quy tắc R = (A -> aB, D -> b I A, B, D € A; a, b € I I n A = }, A tập ký tự không kết thúc, £ tập ký tự kết thúc, I € A ký tự ban đầu văn phạm) Cho xâu co = xabcycdc Hãy xâu co văn phạm quy G sinh M đoán nhận xâu H ình 403 PHU LUC NĂM 2003 (Thời gian 180 p h ú t ) Câu :1 Cho công thức A = ((V*)F(x) ->(3xXP(x) a Q x ))) ->((VXXR(x ) -*F(x )) a (Vx)F(x )) V (X -> X ) Thực phép biến đổi tương đương sau A: a) Khử phép toán kéo theo (->) b) Đưa phép toán phủ định (-) trực tiếp liên quan tới biến mệnh đề X biến vị từ p, Q, R, F c) Đưa lượng từ V, lẽn trước phép toán logic A , V , d) Tìm dạng chuẩn tắc hội dạng chuẩn tắc tuyển A, từ viết dạng chuẩn tắc hội chuẩn tắc tuyển cùa A Cho vị từ P(x): "3 < X < 5"; Q(x): "x > 2" F(x): "x < 8" trường M = { , ,3 } a) Tim tập giá trị X trẽn trường M để công thức P(x )a Q(x )a F(x ) b) Tim giá tri bé X trẽn trường M để cỏngthứt (V x )P(x )-> (F ( x ) a Q( x )) a) Chì suy diễn đúng: X ,- > X X i- > X X 3->X ' Xĩ —> X b) Chuyển mô hình suy diễn dạng công thức tương đương Câu 2: Chứng tỏ rằng, đố thị có hai đình bậc lẻ hai đỉng bậc lẻ phải liên thông Cho mạng truyền thông hình Trong mạng truyến thông này, đỉnh trung tâm máy tính, cạnh nối hai đỉnh đường thuê bao trọng số cạnh tiền thuê bao phải trả hàng tháng hai trung tám máy tính tương ứng VỚI hai đỉnh Áp dụng thuật toán Prim để thiết kê lại mạng truyến thông cho hình 1, cho tiền thuê bao hàng tháng phải trả Xem mạng truyền thông đồ thị Tim số màu tối thiểu để tô màu đỉnh đố thị hình 1, cho hai đỉnh kề tô hai màu khác Câu 3: Cho ngôn ngữ phi ngữ cảnh L = { codcô I co € {a,b,c}‘ & ô) ảnh gương xâu co}, (ô nhận từ co cách viết theo thứ tự ngược lại Xây dựng văn phạm phi ngữ cảnh G = (đầy đủ theo định nghĩa) cho ngôn ngữ sinh L(G) = L Xây dựng ôtômat đẩy xuống (Pushdown Automata) M, cho ngôn ngữ đoán nhận L(M) = L(G) = L theo ngăn xếp rỗng, với L(M) ngôn ngữ đoán nhận ôtômat đẩy xuống M Cho hai xâu: co, = aababbccdccbbabaa co2 = ababbcccdcccbbabaa Chỉ co,cL(G) co,el_(PA), xâu co2ễ L(G) co2 Ể L(PA) Xây dựng cú pháp xâu co, văn phạm phi ngữ cảnh G cho TOÁN RỜI RẠC ỨNG DỤNG TRONG TIN HOC 404 NĂM 2004 {Thời gian 180 phút) Câu 1:1 Cho mô hình suy diễn logic vị từ: (Vx)(P(x)-»Q(x)) (3x)P(x) (Vx)(Q(x)->R(x)) (Vx)(S(x)-»R(x)) •••(3 X )S (X ) P(x), Q(x), R(x), S(x) vị từ biến sinh trường a) Viết công thức sở mô hình suy diễn (*) tìm dạng công thức sở b) Mô hình suy diễn có đúng’trên trường M không, áp dụng mô hình đó? Hãy diễn đạt định nghĩa giới hạn lim f(x) = L dạng x -* x M chuẩn tắc tuyển quy tắc suy diễn công thức vị từ Chỉ công thức (Vx)P(x) tương đương với công thức (3x)P(x) trường M = {a1f a2 an} Câu 2: Định nghĩa đố thị đơn, đố thị phẳng, khái niệm liên thông đổ thị vô hướng đổ thị có hướng Cho G = đổ thị đơn, phảng liên thông, có m cạnh, n đỉnh chu trình độ dài Chứng minh ta có m < 2n - n > 3 Cho đồ thị G = dạng Bằng cách áp dụng phẩn câu chứng minh đồ thị G = cho hình không phảng Câu 3: Cho văn phạm phi ngữ cảnh G = , với tập quy tắc sinh R = {I -► ala, I -> bib, I -» clc, I -» d} Hãy viết đẩy đù văn phạm G theo định nghĩa tìm ngôn ngữ sinh L(G) G Xây dựng vãn phạm phi ngữ cảnh chuẩn G' = Q(x)) (Vx)(Õ(x) a R(x)) (Vx)(R(x) V F(x)) (VxKF(x)vH(x)) (3x)H(x) _ ■••(3X)P(X) a) Viết công thức sở mỏ hình suy diễn (*) Công thức sở có không? Vì sao? b) Mô hình suy diễn o có không quy tắc áp dụng? 2.a) Hãy nêu ví dụ sống có vận dụng mô hình suy diễn sau: A vB A -* B Ã I _ • •B /.Ã b) Dùng phương pháp lập bảng phương pháp biến đổi tương đương để hai công thức (X A Y) —► X -> (Y - * Z) z đống Câu 3: 1.a) Định nghĩa khung đơn đố thị liên thông b) Dùng thuật toán "Tìm kiếm tối ưu theo chiều rộng" xác định khung thị (hình 1) cách chọn đỉnh làm gốc Nếu đổ thị đơn G = có |X| = n đỉnh |U| = m cạnh đồ thị bù G G =< X,ũ > có cạnh? (ở đây: u={(a, b) Ị (a, b) Ể U}) Chứng minh rằng: Điều kiện cấn đủ để đồ thị G = liên thông đồ có thành phần liên thông thị G = 406 TOÁN RỜI RẠC ỨNG DUNG TRONG TIN HOC NĂM 2007 (Thời gian 180 phút) Câu 1:1 Cho công thức logic vị từ: A * (Vx)(R,(x) -> p2(x)) A (Vx)(P3(x) -> p4(X)) A (VxKP^x) V p3(x)) -> (Vx)(P?(x) V p4 x)) trường M Hãy kiểm tra tính công thức A trường M hai phương pháp sau đây: a) Biến đổi tương đương b) Mô hình suy diễn Chỉ ví dụ cụ thể sống lĩnh vực toán học cò sử (Vx)P(x) dung mô hình suy diễn đăc biêt hoá phổ dung -— ỈLxlL (a phấn tử ••• P(a) trường M) Chứng minh: a) (V x )P(x ) a (Vx )Q(x ) = (V x )(P(x ) a Q(x )) trường M = {a, b} b) (3x)(3y)P(x,y) = (3y)(3x)P(x,y) trường M' = {a, b} X {c, d} Câu 2: 1.a) Cho đồ thị phân đôi đầy đủ Knm Với điều kiện m nthì đổ thị Knm có chu trình Hamitơn? Hãy chu trình Hamilton (nếu có) b) Chứng minh rằng, đổ thị đơn G = u> thoả mãn với X € X 2) ta có m(x) > - đồ thị G = liên thông Đồ thị bù đổ thị đơn G = ta định nghĩa đồ thị G=< x,ũ > vci u = {(a, b) I a, b € X (a, b) Ể U}) có a) Cho đổ thị đơn G = G = < x,u > có cạnh? |X| = n đỉnh ỊU| = m cạnh Hỏi đồ thị b) Cho đồ thị K33 Vẽ đồ thị bù đồ thị K33 Câu 3: Cho biểu thức quy: x((0^i )(0 u ))*x w y (0 u )*y a) Tìm ngôn ngữ chinh quy L biểu thức quy cho b) Xây dựng ôtômat M = (đáy đủ theo định nghĩa) cho ngôn ngữ đoán nhận cùa M L(M) = L phẩn a (không chứng minh) c) Xây dựng văn phạm quy G = cho ngôn ngữ sinh oởi văn phạm G L(G) = L(M) (không chứng minh) Số nguyên có dấu sô nguyên không dấu đặt trước dấj + dấu Dạng biên dịch BNF (Backus - Naur Form) dùng để định nghĩa số nguyên có dấu cho sau: := :- + I := I := I I I I I I I I I a) Chỉ văn phạm phi ngữ cảnh G = (đầy đủ theo định nghĩa) có dạng biểu diễn BNF cho b) Xây dựng cú pháp xâu co = +9987 văn phạm cảu a 407 PHỤ LỤC TÀI LIỆU T H A M K H Ả O C H ÍN H [I] Toán rời rạc ímg dụng Tin học (dịch từ : Me Graw - Hill Discrete Mathematics its Applications, 1994) NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2000 [2Ị Toán rời rạc cho nhà khoa học máy tính (tài liệu dịch từ : Discrete Mathematics for Computer Scientits) Khoa CNTT - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (ĐHQG Hà Nội), 1998 [3] Nguyễn Hữu Anh Toán rời rạc NXB Giáo dục, Hà Nội, 1999 [4] Nguyễn Vãn Ba Ngôn ngữ hình thức NXB Khoa học Kỹ thuật, Ha Nội 2002 Phan Đình Diệu Lý thuyết ôtômat thuật toán NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1977 Nguyền Hữu Ngự Lý thuyết dồ thị NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội, [5] [6] 2001 [7] Nguyền Tô Thành, Nguyễn Hữu Nghĩa Toán rời rạc NXB Giáo dục, Ha Nội, 1997 [8] Đặng Huy Ruận Lý thuyết dồ thị ứng dụng NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2000 Đặng Huy Ruận Lý thuyết ngôn ngữ hình thức ôtỏmat NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội, 2002 [9j [10] Đặng Huy Ruận Bảy phương pháp giải hài toán logic NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2002 [II] Đỗ Đức Giáo, Đặng Huy Ruận Vân phạm ngón ngừ hình thức NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1991 [12] Đỗ Đức Giáo Cơ sỏ toán lập trình NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1998 [13] Đỗ Đức Giáo Toán rời rạc NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội, 2004 [ 14] Đỗ Đức Giáo Hướng dẫn giải tập Toán rời rạc NXB Giáo dục, 2006 Chịu tráclì nhiệm xuất bản: Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ T R Ã N ÁI Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng bicn tập NGUYÊN (QUÝ THAO Tổ chức thảo chịu trách nhiệm nội dung: Phó Tổng biên tập NGÔ ÁNH TUYẾT Gnm đốc Cống ty CP Sách ĐH-DN NGÔ THỊ TH A N H BÌNH Biên tập nội dung sửa bàn in : ĐỖ H ũu PHÚ Thiết k ế mỹ thuật trình bày bìa : ĐINH XUÂN DŨNG Thiết k ế sách chế bản: ĐỖ PHÚ TOÁN RỜI RẠC ỨNG DỤNG TRONG TIM HỌC Mã sô: 7B705yl - DAI In 1.000 (QĐ: 01), khổ 16 X 24 cm In Công ty CP In Thải Nguyên Địa chỉ: 3hường Quang Trung, TP Thái Nguyên Số ĐKKb xuất : 14 - 2011/CXB/102 - 2075/GD In xong nộp lưu chiểu tháng năm 2011 [...]... phộp so sỏnh thoỏt khi vũng lp Vy, khi X khụng cú mt trong bng thỡ tng sụ phộp so sỏnh trong thut toỏn ny l 2n + 2 Vy phc tp ca thut toỏn l 0(n) Xột bi toỏn trờn trong trng hp cỏc phn t trong bỏng dc sp theo th t tng dn Vớ d, tỡm s 19 trong bỏng lit kờ theo th t tng dn: 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 10 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22 Tng quỏt: Tỡm X trong bỏng lit kờ a,, a2, an vi d < a2 < < an ộ giỏi... chung trong nỳt thao tỏc; - Nỏt iu kin: Biu din bng hỡnh thoi, trong ú ghi iu kin cn kim tra trong quỏ trỡnh tớnh toỏn; - Nỳt khúi du, kt thỳc: Biu din bng hỡnh elip, the hin s bt u hay kt thỳc quỏ trỡnh; - Cung: Biu din bng on thng cú hng, dựng d ch dng di ca thut toỏn Cung Chng hn, gii phng trỡnh bc hai ax2 + bx + c = 0 (a * 0) ta mũ t thut toỏn bng phng phỏp s khi nh sau: TON RI RC NG DNG TRONG TIN. .. l a v b ể mi giai on ca thỳ tc X dc thay bng y v y c thay bi X mod y (l s d r trong phộp chia X cho y) Quỏ trỡnh ny dc lp li nu y * 0 v thut toỏn s dng khi y = 0 Giỏ tr ca X thi im ny l s d khỏc 0 cui cựng trong thỳ tc v chớnh l c s chung ln nht cn tỡm Đ2 PHNG PHP QUY quy l mt khỏi nim tn ti trong cuc sng, trong toỏn hc trong lp trỡnh quy cho mt phng phỏp ngn gn v sỏng sỳa e mụ tỏ cỏc dừi tng cng... xut hin trong quỏ trỡnh tớnh toỏn Cn lu ý cỏc thut ng dựng trong d phc tp thut toỏn thng gp: - phc tp 0( 1) gi l phc tp hng s - phc tp O(logn) gi l d phc tp lụgarit - phc tp O(n) gi l d phc tp tuyn tớnh - phc tp O(nlogn) gi l d phc tp nlogn.- - phc tp 0 (n b) gi l phc tp da thc - phc tp 0(bn) (b > 1) gi l d phc tp hm m - phc tp 0(n!) gi l phc tp giai tha TOAN RI RAC NG DNG TRONG TIN HC 16... DNG TRONG TIN HC if X = a, then location := i else location := 0 {location l chi s ca sừ hang bng X (location = 0 nu khụng tim thy x)} Lu ý: phc tp cựa thut toỏn tỡm kim nh phỏn trờn l O(logn) vỡ nú phi dựng ti 2[logn] + 2 phộp toỏn so sỏnh Nh vy, trong trng hp bỏng lit kờ c sp th t thỡ thut toỏn tỡm kim nh phõn tt hem thut toỏn tỡm kim tuyn tớnh ờ kt thỳc phn nv ta xột thờm thut toỏn Euclid Trong. .. theo vi giỏ tr tm thi, nu nú ln hn giỏ tr cc di tm thi thỡ t cc i tm thi bng s nguyờn dú Bc 3: Lp li burc 2 (nu cũn cỏc sụ nguyờn trong dóy) Bc 4: Dng khi khụng cũn s nguyờn no trong dóy Khi dú cc dai tm thi chớnh l sụ nguvụn lern nht trong dóy Mụ tỏ thut toỏn tỡm phn t ln nhỏt trong dóy hu hn: Procedure MAX(a,, a2, a : integer); max := a,; for i ;= 2 to n do if max < a, then max := a, {max l phn t hn... dc dựng cho mi phn t a, trong dóv tự phn t th hai tr di (i = 2, 3 n) Sau dú l phộp so sỏnh ra khúi vũng lp, nờn s phộp so sỏnh cn dựng tt c l 2(n - 1) + 1 di vi thut toỏn trờn Vy thut toỏn trờn cú d phc tp thi gian l O(n) (d phc tp tuyờn tớnh) Vớ d 13: Mụ t thut toỏn xỏc dinh v trớ ca mt phn t trong mt bỏng lit kờ sp th t Bi toỏn tỡm kim c phỏt biu nh sau: Xỏc nh v trớ ca X trong bng lit kờ cỏc phn... chp nhn c" nu cú th b sung phn t th j trong Tk vi t cỏch l phn t xk vo dóy X), x2, , xk_, xk - Nu k < n ta cn phỏi thc hin tip quỏ trỡnh trờn, tc l phi b sung tip phn t xk+1 vo dóy X, x2, , xk_| c dóy X, x2, , xk_|, xk Nh vy, nột c trng ca phng phỏp quay lui l ch cú c li gii ta phỏi i tng bc bng phộp th Khi mt bc la chn chp nhn cn ghi nh thụng tin cn thit v tin hnh bc tip theo Ngc li, khi khụng cú... Cho A l ma trn lụgic cp m l ma trn lụgic cp k X n X p, B l ma trn logic cp p X k v c Chng minh rng: A đ (B đ C) = (A B) c 9 gii bi toỏn tỡm trong dóy s ah a2, an mt phn t cú giỏ tr bng mt sụ cho trc, cú thờ ỏp dng thut toỏn sau: TON RI RC NG DUNG TRONGTIN HC 32 input: n v dóy s a1t a2, an; output: v tri phn t cú giỏ tr key hoc n + 1 nu khụng tỡm thy Function Linear-Search (a, n, key); begin i:=...10 "ON RI RAC NG DUNG TRONG TIN HOC 1.3 Ngụn ng thut oỏn - Ngụn ng dựng e miờu ta thut toỏn gi l ngụn ng thut toỏn - Thut toỏn thng dc mũ tỏ bng mt dóy cỏc lnh B x lý s thc hin cỏc lnh ú theo mt trt t nht dinh cho n khi góp lnh