Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 3:Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.. Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCE[r]
Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC BÀI TỨ GIÁC NỘI TIẾP I.Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Định lí Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180° Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện 180° tứ giác nội tiếp đường tròn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tứ giác có tổng hai góc đổi 180° Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Tứ giác có đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Tứ giác có hai đinh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Chú ý: 1.Trong hình học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường trịn 2.Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính có số đo 900 3.Đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây 4.Nếu hai tiếp tuyến cắt điểm thì: + Điểm cách hai tiếp điểm + Đường thẳng nối từ điểm đến tâm phân giác góc tạo hai tiếp tuyến + Đường thẳng nối từ tâm đến điểm phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm II Các dạng tập Dạng Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng cách sau: Phương pháp 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối 1800 Minh họa: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chun đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Phương pháp 2: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối đỉnh nội tiếp đường trịn Minh họa: Phương pháp 3: Chứng minh từ hai đỉnh kề cạnh nhìn cạnh hai góc Minh họa: Phương pháp 4: Chứng minh cho bốn đỉnh tứ giác cách điểm Minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chun đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Cách 1: Phương pháp 2:Chứng minh đỉnh cách điểm OB’ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OB’ = OB = OC = r (1) Xét BC’C có : BC'C 900 (GT) Tương tự OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) (2) B, C’, B’, C (O; r) Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường trịn Cách 2: Phương pháp 3:Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lạ góc tứ giác nội tiếp Ta có: BB’ AC (giả thiết) BB'C 900 CC’ AB (giả thiết) BC'C 90 B’, C’ nhìn cạnh BC góc vng B’, C’ nằm đường trịn đường kính BC Hay tứ giác BC ' B ' C nội tiếp đường trịn đường kính BC Cách 3: Phương pháp phương pháp 4: Tứ giác có tổng góc đối 1800 Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Ta có: BB’ AC (giả thiết) BB'A 900 CC’ AB (giả thiết) CC'A 90 Xét ABB ACC có ABB AC C 900 BAC chung AB ' AC ' AB ' AB Vậy ABB AC C (g-g) AC ' AC AB AC AB ' AC ' Xét ABC ABC ta có BAC chung Vậy ABC AB AC ABC (c-g-c) AB 'C' ABC Tứ giác BC ' B ' C có góc ngồi đỉnh B ' góc đỉnh B Vậy tứ giác BC ' B ' C nội tiếp (Phương pháp 2) Để sử dụng theo phương pháp tứ giác BC ' B ' C có C ' BC C ' B ' C 1800 nên tứ giác BC ' B ' C tứ giác nội tiếp Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chun đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM CN cắt H Chứng minh tứ giác AMHN BNMC tứ giác nội tiêp Hướng Dẫn: Xét tứ giác AMHN có: AMH ANH 900 900 1800 ĐPCM Xét tứ giác BNMC có: BNC BMC 900 ĐPCM Bài 3: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: Học sinh tự chứng minh Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh PEDC tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: Ta có: AED (sđ AD + sđ MB ) sđ DM MCD DEP PCD 1800 PEDC nội tiếp Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc đường trịn Vẽ MH vng góc với BC H, vẽ MI vng góc với AC Chứng minh MIHC tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Ta có: MIC CHM 900 MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc vng) Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song đồng quy, tam giác đồng dạng Phương pháp: Sử dụng tính chât tứ giác nội tiếp Bài 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK AE K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh: a) Tứ giác AHCK tứ giác nội tiếp; b) AH.AB = AD2; c) Tam giác ACE tam giác cân Hướng Dẫn: a) Học sinh tự chứng minh b) ADB vuông D, có đường cao DH AD2 = AH.AB c) EAC EDC sđ EC, EAC KHC (Tứ giác AKCH nội tiếp) EDC KHC DF//HK (H trung điểm DC nên K trung điểm FC) ĐPCM Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Bài 2: Cho nửa (O) đường kính AB Lấy M OA (M khơng trùng o A) Qua M vẽ đường thẳng d vng góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nôi NB cắt (O) c Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ tiếp điểm, E A thuộc nửa mặt phẳng bờ d) Chứng minh: a) Bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn; b) NE2 = NC.NB; c) NEH NME (H giao điểm AC d); d) NF tiếp tuyến (O) với F giao điểm HE (O) Hướng Dẫn: a) Học sinh tự chứng minh b) NEC CBE sđ CE NEC NBE (g.g) ĐPCM c) NCH NMB (g.g) NC.NB = NH.NM = NE2 NEH NME (c.g.c) NEH EMN d) EMN EON (Tứ giác NEMO nội tiếp) NEH NOE EH NO OEF cân O có ON phân giác EON NOF NEO = NFO NFO NEO 900 ĐPCM Bài 3: Cho đường trịn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H a) Chứng minh tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị ữí điểm K c) Kẻ DN CB, DM AC Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng quy Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC a) HIB HKB 1800 Tứ giác BIHK nội tiếp b) Chứng minh được: AHI ABK (g.g) AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi) c) Chứng minh MCND hình chữ nhật từ ĐPCM Bài 4: Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường trịn (M, N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O; R) B C (AB < AC) Gọi trung điểm BC a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh AM2 = AB.AC c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chúng minh IE song song MC d) Chứng minh d thay đổi quanh quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC ln nằm đường trịn cô' định Hướng Dẫn: a) Chú ý: AMO AIO ANO 900 b) AMB MCB sđ MB AMB ACM (g.g) ĐPCM c) AMIN nội tiếp AMN AIN BE//AM AMN BEN BEN AIN Tứ giác BEIN nội tiếp BIE BNM Chứng minh được: BIE BCM IE//CM d) G trọng tâm MBC G MI Gọi K trung điểm AO MK = IK = AO Từ G kẻ GG'//IK (G' MK) GG ' MG MG ' IK AO không đổi (1) IK MI MK 3 MG ' MK G ' cố định (2) Từ (1) (2) có G thuộc ( G '; AO ) 3 Dạng 3: Chứng minh điểm thuộc đường tròn Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Phương pháp: Chỉ khoảng cách từ điểm tới tất điểm Lợi dụng tam giác vng có cạnh huyền chung Chứng minh đỉnh đa giác nằm đường trịn Sử dụng cung chứa góc Chứng minh tứ giác nội tiếp Bài 1:Cho hình thoi ABCD có góc A 600 , AB = a Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn Xác định tâm tính bán kính đường trịn theo a Hướng Dẫn: Gọi O giao điểm AC BD ta có OB = OD Do ABCD hình thoi nên ta có AC BD Ta có BAD 600 nên BAO 300 (tính chất đường chéo hình thoi) Tam giác ABO vng O có OB ABsinBAO OB a.sin 300 a Xét tam giác vng ABO có ABO BAO 900 ( hai góc phụ nhau) mà BAO 300 suy ABO 600 hay EBO 600 OE AB EB EA ( tính chất đường trung tuyến tam giác vuông E trung điểm AB Tam giác EOB tam giác cân E có EBO 600 nên tam giác EBO tam giác OE OB Chứng minh tương tự với tam giác vuông BOC, COD DOA ta có : OE OB OF OC OG OD OH Vậy điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn tâm O Bán kính OB a Bài 2:Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D Hình chiếu D lên BC E, điểm đối xứng E qua BD F Chứng minh điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn Xác định tâm O đường trịn Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Do DE BC DBE 900 Vì E F đối xứng với qua BD nên BD đường trung trực đoạn thẳng EF BF BE; DF DE BFD BED (c-c-c) BFD BED 900 Cách Gọi O trung điểm BD Xét tam giác vng ABD vng A có AO trung tuyến nên AO BD OB OD (1) 2 Tam giác vuông BFDvuông F có OF trung tuyến nên FO BD OB OD (3) Từ (1) (2) (3) OA OB OD OE OF Vậy điểm A, B, E, D, F nằm Tam giác vng BDE vng E có OE trung tuyến nên EO BD OB OD (2) đường tròn tâm O với O trung điểm BC Cách 2: + Tứ giác BADE có BAD DEB 1800 nên tứ giác BADE tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn trung điểm BD +Tứ giác BFDE có BFD DEB 1800 nên tứ giác BFDE tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn trung điểm BD Từ suy điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn tâm O với O trung điểm BC Bài 3:Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AB, AC Cát tuyến ADE không qua tâm O (D nằm A E) Gọi I trung điểm DE Chứng minh điểm O,B,A,C,I thuộc đường tròn Hướng Dẫn: Do AC AB tiếp tuyến nên OCA OBA 900 Do I trung điểm ED nên OI ED Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC (đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây cung) hay OID OIA 900 Gọi P trung điểm OA AO OP PA Xét tam giác vng OBA có BP đường trung tuyến nên BP AO OP PA Xét tam giác vng OIA có IP đường trung tuyến nên IP AO OP PA Vậy OP PA PC PI PB nên điểm O,B,A,C,I thuộc đường tròn Xét tamgiác vng OCA có CP đường trung tuyến nên CP III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho ΔABC nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCEF nội tiếp b) HA.HD = HB.HE = HC.HF Hướng Dẫn: a) Ta có ∠BEC = ∠BFC = 90o => điểm E, F thuộc đường trịn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp b) Vẽ đường trịn đường kính BC Xét ΔBHF ΔCHE có: +) ∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp chắn ) +) ∠FHB = ∠EHC(đối đỉnh) Suy ΔBHF ∼ ΔCHE (g.g) BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF (1) Chứng minh tương tự ta có: HA.HD = HB.HE (2) Từ (1) (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF Bài 2: Cho ΔABC nhọn, đường cao AH Các điểm M N hình chiếu vng góc H AB, AC Chứng minh rằng: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 ... miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Từ (1) (2) suy ra: ∠BPC = ∠BQC = 90 o => tứ giác BPQC nội tiếp đường trịn đường kính BC Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có ∠BAD = 90 o, có tâm O Gọi M, N, P hình chiếu... ngoan – học giỏi !! Trang 14 Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Ta có: CNH 90 0 (BN đường cao) CMH 90 0 (AM đường cao) CNH + CMH 90 0 90 0 =... 180o - (∠PMB + ∠NMD) Mà tứ giác CDNM nội tiếp đường trịn đường kính CD => ∠NMD = ∠NCD = 90 o - ∠CDN = 90 o - ∠ABC Lại có tứ giác BCMP nội tiếp đường trịn đường kính BC => ∠PMB = ∠PCB = 90 o - ∠ABC