Học sinh xác định được vectơ chỉ phương và điểm nào đó thuộc đường thẳng khi cho trước phương trình.. Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình chính tắc và ng[r]
(1)CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Phương trình đường thẳng:
Cho đường thẳng qua điểm M x y z0 0; ;0 0 nhận vectơ a a a a1; ;2 3
với 2
1
a a a làm vectơ phương Khi có phương trình tham số :
0
0
0
;
x x a t y y a t t z z a t
Cho đường thẳng qua điểm M x y z0 0; ;0 0 nhận vectơ a a a a1; ;2 3
sao cho a a a 1 làm vectơ phương Khi có phương trình
tắc :
0
1
x x y y z z
a a a
II. Góc:
1 Góc hai đường thẳng:
1
có vectơ phương a 1
2
có vectơ phương a2
Gọi góc hai đường thẳng 1 2 Ta có:
1
1
cos
a a
a a
2 Góc đường thẳng mặt phẳng: có vectơ phương a
có vectơ phương n
Gọi góc hai đường thẳng ( ) Ta có: sin
a n
a n
III. Khoảng cách:
1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : qua điểm M0 có vectơ phương a
, a M M,
d M
a
2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:
1
qua điểm M có vectơ phương a1
2
qua điểm N có vectơ phương a2
2
1
, , =
,
a a MN d
a a
IV. Các dạng toán thường gặp:
1 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt A B,
Cách giải: Xác định vectơ phương AB
2 Đường thẳng qua điểm M song song với d
(2)Trong trường hợp đặc biệt:
Nếu song song trùng bới trục Ox có vectơ phương a i 1;0;0
Nếu song song trùng bới trục Oy có vectơ phương a j 0;1;0
Nếu song song trùng bới trục Oz có vectơ phương a k 0;1;0
Các trường hợp khác có vectơ phương a ad
, với ad
vectơ phương d
3 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với mặt phẳng
Cách giải: Xác định vectơ phương a n
, với n vectơ pháp tuyến
4 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với hai đường thẳng d d1, (hai đường thẳng không phương)
Cách giải: Xác định vectơ phương a a a1, 2
, với a a1,
vectơ phương d d1,
5 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng d song song với mặt phẳng
Cách giải: Xác định vectơ phương a a nd,
, với ad
vectơ phương d, n vectơ pháp tuyến
6 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A song song với hai mặt phẳng , ; ( , hai mặt phẳng cắt nhau)
Cách giải: Xác định vectơ phương a n n,
, với n n , vectơ pháp tuyến ,
7 Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng
Cách giải:
Lấy điểm , cách cho ẩn số tùy ý
Xác định vectơ phương a n n,
, với n n , vectơ pháp tuyến ,
8 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A cắt hai đường thẳng
1, 1,
d d A d A d
Cách giải: Xác định vectơ phương a n n1, 2
, với n n1,
vectơ pháp tuyến mp A d , 1,mp A d , 2
9 Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng cắt hai đường thẳng d d1,
Cách giải: Xác định vectơ phương a AB
, với
1 ,
A d B d
(3)Cách giải:
Xác định B d
Viết phương trình đường thẳng qua A B,
11. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vng góc với d1
và cắt d2, với A d Cách giải:
Xác định B d2
Viết phương trình đường thẳng qua A B,
12. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng
Cách giải:
Xác định B d
Viết phương trình đường thẳng qua A B,
13. Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng cắt vng góc đường thẳng d
Cách giải:
Xác định A d
Đường thẳng qua A có vectơ phương ,
d
a a n
, với ad
vectơ phương d, n vectơ pháp tuyến
14. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm A đường thẳng dvà mặt phẳng , nằm vng góc đường thẳng d (ở dkhơng vng góc với )
Cách giải:
Xác định A d
Đường thẳng qua A có vectơ phương ,
d
a a n
, với ad
vectơ phương d, n vectơ pháp tuyến
15. Viết phương trình đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d d1,
Cách giải:
Xác định A d B1, d2 cho
1
AB d AB d
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A B,
16. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d cắt hai đường thẳng d d1,
Cách giải:
Xác định A d B1, d2 cho AB a, d
phương, với ad
vectơ phương d
Viết phương trình đường thẳng qua điểm Avà có vectơ phương ad a
17. Viết phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng cắt hai đường thẳng d d1,
(4) Xác định A d B1, d2 cho AB n,
phương, với n vectơ pháp tuyến
Viết phương trình đường thẳng qua điểm Avà có vectơ phương ad n
18. Viết phương trình hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng
Cách giải : Xác định H cho AH ad
,với ad
vectơ phương d
Viết phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng
Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng
19. Viết phương trình hình chiếu song song d lên mặt phẳng theo phương d'
Cách giải :
Viết phương trình mặt phẳng chứa d có thêm véc tơ phương u d'
Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng
B KỸ NĂNG CƠ BẢN
1 Học sinh xác định vectơ phương điểm thuộc đường thẳng cho trước phương trình
2 Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình tắc ngược lại
3 Học sinh lập phương trình tắc phương trình tham số Học sinh tìm hình chiếu, điểm đối xứng
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :
2 3
x t
y t
z t
d’:
6 ' ' '
x t
y t
z t
Xét mệnh đề sau:
(I) d qua A(2 ;3 ;1) có véctơ phương a 2;2;3 (II) d’ qua A’ (0;-3;-11) có véctơ phương a ' 2;2;9 (III) a a ' không phương nên d khơng song song với d’ (IV) Vì a a; ' AA ' 0 nên d d’ đồng phẳng chúng cắt nhau Dựa vào phát biểu trên, ta kết luận:
(5)Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d có phương
trình tham số
3
x t
y t
z t
Phương trình tắc đường thẳng dlà?
A.x 2 y z B.
1
x y z
C.
1
x y z
D.
2
1
x y z
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình tắc
2
x y z
Phương trình tham số đường thẳng là?
A.
3
x t
y t
z t
B.
2 3
x t
y t
z t
C.
3
x t
y t
z t
D.
3
x t
y t
z t
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng
2
:
2
x y z
d
Đường thẳng d qua điểm M có vectơ phương ad
có tọa độ là:
A.M2; 1;3 , a d 2;1;3 B M2; 1; , ad 2; 1;3
C.M2;1;3 , a d 2; 1;3 D M2; 1;3 , ad 2; 1;
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng
2
:
1
x t
d y t
z t
Đường thẳng d qua điểm M có vectơ phương a d có tọa độ là: A.M2; 2;1 , a d 1;3;1 B M1; 2;1 , a d 2;3;1
C.M2; 2; , a d 1;3;1 D M1; 2;1 , a d 2; 3;1
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau là phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M 2;3;1 có vectơ phương a 1; 2;2 ?
A.
3
x t
y t
z t
B.
1 2
x t
y t
z t
C.
1 2
x t
y t
z t
D.
2
x t
y t
z t
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm A1; 2;5 và B3;1;1 ?
A.
2
x y z
B.
3 1
1
x y z
C.
2
x y z
D.
1
3 1
x y z
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC có 1;3;2 , 2;0;5 , 0; 2;1
A B C Phương trình đường trung tuyến AM tam giác
(6)A.
2
x y z
B
1
2
x y z
C.
2
x y z
D.
2
1
x y z
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác , ABC với 1;4; , 2;4;3 , 2;2; 1
A B C Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với BC
A.
4
1 x
y t
z t
B.
1 x
y t
z t
C
4
1 x
y t
z t
D.
1
4
1 x
y t
z t
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M1;3;4 song song với trục hoành
A.
3
x t
y y
B.
3
x
y t
y
C.
3
x y
y t
D.
1
x y
y t
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 :
3
x t
d y t
z t
Phương trình tắc đường thẳng qua điểm A3;1; 1 song song với d là
A. 1
2
x y z
B.
3 1
2
x y z
C. 2
3 1
x y z
D.
2
3 1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng :
2
x y z
d
Phương
trình tham số đường thẳng qua điểm M1;3; 4 song song với d
A.
1
x t
y t
z t
B.
1
x t
y t
z t
C.
1
x t
y t
z t
D.
1
3
4
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng P : 2x y z 0 Phương trình tắc của đường thẳng qua điểm M 2;1;1 vng góc với
P là
A. 1
2 1
x y z
B.
2 1
2 1
x y z
C. 1
2 1
x y z
D. 1
2 1
x y z
(7)A.
2 x t y t z t B. 2 x t y t z t C. 2
5 x t y t z t D. 2 x t y t z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,phương trình đường thẳng qua điểm 2; 1;3
A vng góc với mặt phẳng Oxz là.
A. x y t z B. x y t z C. x y t z D x t y z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có 2;1; , 4; 1;1 , 0; 3;1
A B C Phương trình d qua trọng tâm tam giác
ABC vng góc với mặt phẳng ABC là
A.
1 x t y t z t B. 2 x t y t z t C. 2
2 x t y t z t D. 2 x t y t z t
(ĐH D2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;4;2 và 1;2;4
B Phương trình d qua trọng tâm OAB vng góc với mặt
phẳng OAB là
A. 2
2 1
x y z
B.
2
2 1
x y z
C. 2
2 1
x y z
D. 2
2 1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có 0;1;2 , 2; 1; , 2; 3; 3
A B C Đường thẳng d qua điểm B vng góc
với mặt phẳng ABC Phương trình sau khơng phải phương trình đường thẳng d
A.
2 2 x t y t z t B. 2 x t y t z t C. 18 12 x t y t z t D. 2 x t y t z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm 2;1; ,
M đồng thời vuông góc với hai vectơ a 1;0;1và b 4;1; 1
A.
1
x y z
B.
2
1
x y z
C.
1
x y z
D.
1
2
x y z
(ĐH B2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 1;1 , B1;2;3
và đường thẳng :
2
x y z
Phương trình đường thẳng qua điểm A, đồng thời vng góc với hai đường thẳng AB
A.
1 1
x y z
B.
1 1
7
x y z
(8)C. 1
7
x y z
D.
1 1
7
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
2
:
2
x y z
d
2
1
:
5
x t
d y t
z t
Phương trình đường thẳng qua điểm A2;3; 1 vuông
góc với hai đường thẳng d d1,
A.
8
7 x t y t z t B. 3
1 x t y t z t C. x t y t z t D. x t y t z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x y 2z1 0 đường
thẳng :
2
x y z
Phương trình đường thẳng d qua điểm B2; 1;5 song song với P vng góc với là
A.
5
x y z
B.
2
5
x y z
C.
5
x y z
D.
5
2
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng :x 2y2z 3 0 và : 3x 5y 2z1 0 Phương trình đường thẳng d qua điểm M1;3; 1 , song song với hai mặt phẳng ,
A.
1 14
1 x t y t z t B. 14
1 x t y t z t C. x t y t z t D. x t y t z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2x y 2z 0 Phương trình đường thẳng d qua điểm A2; 3; 1 , song song với hai mặt phẳng
, Oyz
A. x t y z t B.
3 x y t z t C.
3 x y t z t D. 2 x t y t z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d giao tuyến hai mặt phẳng :x 3y z 0 :x y z 4 0 Phương trình tham số đường thẳng d
A. 2 x t y t z t B. 2 x t y t z t C. 2 x t y t z t D. 2 x t y t z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng :x 2y z 1 0 : 2x2y 3z 0 Phương trình đường thẳng
(9)A. 1
8
x y z
B. 1
8
x y z
C. 1
8
x y z
D.
1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d
Phương trình đường thẳng qua điểm A2; 1; , vng góc với trục Ozvà d
A.
1 x t y t y B. 2
3 x t y t y C. 2 x t y t y D. 2 x t y t y
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 3y5z 0 Phương trình đường thẳng qua điểm A 2;1; , song song với P vng góc với trục tung
A. x t y y t B. x t y y t C. x t y t y t D. x t y y t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 12y22z 32 9 Phương trình đường thẳng d qua tâm mặt cầu S , song song với
: 2x2y z 0 vng góc với đường thẳng :
3 1
x y z
A.
2 x t y t z t B.
3 x t y t z t C.
2 x t y t z t D. x t y t z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
2
x t
d y t
z t
Hình chiếu
vng góc d lên mặt phẳng Oxy có phương trình là.
A x t y t z B. x t y t z C. x t y t z D. x y t z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
3
x t
d y t
z t
Hình chiếu
vng góc d lên mặt phẳng Oxzcó phương trình là.
(10)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 1,
4
x y z
d mặt
thẳng P : 3x5y z 0 Gọi d'là hình chiếu d lên P Phương trình tham số d'
A. 62 25 61 x t y t z t B. 62 25 61 x t y t z t C. 62 25 61 x t y t z t D. 62 25 61 x t y t z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
3
x t
d y t
z t
Hình chiếu song
song d lên mặt phẳng Oxz theo phương :
1 1
x y z
có phương
trình là: A x t y z t B. x t y z t C x t y z t D x t y z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1
1
x y z
d
2
1
:
1
x t
d y t
z t
Phương trình đường thẳng nằm :x2y 3z 0
cắt hai đường thẳng d d là:1,
A.
5 1
x y z
B.
3
5 1
x y z
C.
5 1
x y z
D.
8
1
x y z
(ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2
:
1 1
x y z
mặt phẳng P x: 2y 3z 4 Phương trình tham số đường thẳng d nằm P , cắt vng góc đường thẳng là:
A.
1 3 x t y t z t B. x t y t z t C. 3 x t y t z t D. x t y t z t
(ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
2
:
2 1
x y z
d
1 1
:
1
x y z
d
Phương trình đường thẳng qua điểm A1;2;3 vng góc với d1 cắt d2 là:
A.
1
x y z
B.
1
1
x y z
C.
1
x y z
D.
1
1
x y z
(11)(ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
3
:
1
x t
d y t
z t
Phương trình tắc đường thẳng qua điểm A 4; 2;4, cắt vng góc với d là:
A.
4
x y z
B.
4
3
x y z
C. 4
3
x y z
D.
4
3
x y z
(ĐH A2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 3
:
1
x y z
d
mặt phẳng P : 2x y 2z 9 Gọi A giao điểm d P Phương trình tham số đường thẳng nằm P , qua điểm A vng góc với d là:
A.
1 x
y t
z t
B.
x t y z t
C.
4 x t y
z t
D.
1
x t
y z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;2; 1 đường thẳng
3
:
1
x y z
d Phương trình đường thẳng qua điểm A, cắt d song
song với mặt phẳng Q x y z: 3 là:
A.
1
x y z
B.
1
1
x y z
C.
1
x y z
D.
1
1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
3
x y z
2
1
:
1
x y z
Phương trình đường thẳng song song với
3
:
4
x
d y t
z t
cắt hai đường thẳng 1; là:
A.
x
y t
z t
B.
2
x
y t
z t
C.
2
x
y t
z t
D.
2
x
y t
z t
(ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1
:
2 1
x y z
d
1
:
3
x t
d y t
z
Phương trình đường thẳng vng góc với
(12)A.
2 1
x y z
B.
7
x y z
C.
7
x y z
D.
2
7
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d
Viết phương trình đường thẳng qua điểm A2;3; 1 cắt d B cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng :x y z 1 0
A.
1
x y z
B.
2 1
x y z
C.
2
x y z
D.
5
x y z
3
1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua điểm
2;2;1
A cắt trục tung B cho OB2OA
A.
2
x y z
B.
6
2
x y z
C.
5
x y z
D.
6
2
x y z
6
2
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
1;1;2
B cắt đường thẳng :
1
x y z
d
C cho tam giác OBCcó
diện tích 83
A. 1
3
x y z
B.
2
x y z
C. 1
3
x y z
1
31 78 109
x y z
D. 1
31 78 109
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2
1 1
x y z
d
2:
2
x t
d y
z t
Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng
1,
(13)A. 2
x t
y t
z t
B. 3
x t
y t
z t
C.
2
x t
y t
z t
D.
3
x t
y
z t
(ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
: ,
2 1
x y z
d mặt phẳng P x y: 2z A1; 1;2 Đường thẳng
cắt d P M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng
A. 1
2
x y z
B. 1
2
x y z
C.
2
x y z
D.
2
1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1,
1
x y z
d
mặt cầu S : x12y32z12 29 A1; 2;1 Đường thẳng cắt d S lần lượt M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng
A.
2
x y z
1
7 11 10
x y z
B.
2
x y z
1
7 11 10
x y z
C.
2
x y z
1
7 11 10
x y z
D.
2
x y z
1
7 11 10
x y z
(ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x: 2y2z 0 hai điểm A3;0;1 , 1; 1;3 B Trong đường thẳng đi qua A song song với P , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ có phương trình
A.
26 11
x y z
B.
2
26 11
x y z
C.
26 11
x y z
D.
2
26 11
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
d
, mặt phẳng P x y z: 2 Gọi M giao điểm d P Gọi đường thẳng nằm P vng góc với d cách M khoảng 42 Phương trình đường thẳng
A. 5
2
x y z
và
2
x y z
B. 5
2
x y z
C.
2
x y z
(14)D.
2
x y z
2
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I1;1;2 , hai đường thẳng
1
3
:
4
x t
y t
z
2: 2
1
x y z
Phương trình đường thẳng d qua
điểm I cắt hai đường thẳng 1,
A. 1
1 1
x y z
B.
1
x t
y t
z t
C. 1
1 1
x y z
D.
1
1
2
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1
2 1
x y z
d ,
2
1
:
1
x y z
d mặt phẳng P :x y 2z 3 Gọi đường thẳng
song song với P cắt d d1, 2 hai điểm A B, cho AB 29 Phương trình tham số đường thẳng
A :
3
x t
y t
z t
hoặc :
1 2
x t
y t
z t
B :
3
x t
y t
z t
C :
3
x t
y t
z t
D :
1 2
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
2 1
x y z
d
2
1 2
:
1
x y z
d
Gọi đường thẳng song song với P x y z: 0 cắt d d1, hai điểm A B, choAB ngắn Phương trình
của đường thẳng
A.
12
5
9
x t
y
z t
B
5
9
x t
y
z t
C
5
9
x
y t
z t
D.
6
9
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
:
1
x y z
2
2 1
:
2 1
x y z
(15)hai đường thẳng 1; A B, cho AB ngắn Phương trình
đường thẳng d
A.x 1 y 2 z B. 2
2 1
x y z
C x 1 y z D. 2
2 1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2,
2 1
x y z
d mặt phẳng
P : 2x y z 5 0 M1; 1;0 Đường thẳng qua điểm M, cắt d tạo với P góc 300 Phương trình đường thẳng là.
A. 2
1
x y z
4
5
x y z
B. 2
1
x y z
4
5
x y z
C. 1
1
x y z
1
23 14
x y z
D. 2
1
x y z
4
5
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A3; 1;1 , nằm mặt phẳng
P :x y z 0 , đồng thời tạo với :
1 2
x y z
góc 450 Phương
trình đường thẳng d
A.
3 15
x t
y t
z t
B.
1
x t
y t
z
C.
3 15
x t
y t
z t
D.
3 1
x t
y t
z
3 15
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm A1; 1;2 , song song với
P : 2x y z 3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1
1 2
x y z
góc lớn Phương trình đường thẳng d
A. 1
1
x y z
B.
1
4
x y z
C. 1
4
x y z
D. 1
1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A 1;0; 1 , cắt
1
1 2
:
2 1
x y z
, cho góc d
3
:
1 2
x y z
nhỏ
nhất Phương trình đường thẳng d
A. 1
2
x y z
B
1
4
x y z
C.
1
4
x y z
D.
1
2
(16)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng 1: x t
d y t
z t
2
2 :
1 3
x y z
d
1 1
:
5
x y z
d Gọi đường thẳng cắt d d d1, ,2
lần lượt điểm A B C, , cho ABBC Phương trình đường thẳng
A. 2
1 1
x y z
B.
1 1
x y z
C
1 1
x y z
D.
3
1 1
x y z
(17)D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 8.4
1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :
2 3
x t
y t
z t
d’:
6 ' ' '
x t
y t
z t
Xét
mệnh đề sau:
(V) d qua A(2 ;3 ;1) có véctơ phương a 2;2;3 (VI) d’ qua A’ (0;-3;-11) có véctơ phương a ' 2;2;9 (VII) a a ' không phương nên d khơng song song với d’ (VIII)Vì a a; ' AA ' 0 nên d d’ đồng phẳng chúng cắt nhau Dựa vào phát biểu trên, ta kết luận:
A Các phát biểu (I), (III) đúng, phát biểu (II), (IV) sai. B Các phát biểu (I), (II) đúng, phát biểu (III), (IV) sai. C Các phát biểu (I) đúng, phát biểu (II), (III), (IV) sai. D Các phát biểu (IV) sai, phát biểu lại đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d có phương trình tham số
2
x t
y t
z t
Phương trình tắc đường thẳng dlà?
A.x 2 y z B.
1
x y z
C.
1
x y z
D.
2
1
x y z
Hướng dẫn giải
Cách 1:
d qua điểm A2;0; 1 có vectơ phương a d 1; 3;5 Vậy phương trình tắc d
1
x y z
Cách 2:
2
3
3
1 1
5
x t
x t
y
y t t
z t z
t
Vậy phương trình tắc d
1
x y z
(18)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình tắc
3
2
x y z
Phương trình tham số đường thẳng là?
A.
3
x t
y t
z t
B.
2 3
x t
y t
z t
C.
3
x t
y t
z t
D.
3
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Cách 1:
qua điểm A3; 1;0 có vectơ phương a 2; 3;1
Vậy phương trình tham số
3
x t
y t
z t
Cách 2:
3
3 1
2 3
1 x
t
x y z y
t t
z t
Vậy phương trình tham số
3
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng :
2
x y z
d
Đường
thẳng d qua điểm M có vectơ phương a d có tọa độ là: A.M2; 1;3 , a d 2;1;3 B M2; 1; , ad 2; 1;3
C.M2;1;3 , a d 2; 1;3 D M2; 1;3 , ad 2; 1;
Hướng dẫn giải
d qua điểm M 2;1;3 có vectơ phương a d 2; 1;3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng
2
:
1
x t
d y t
z t
Đường thẳng d
đi qua điểm M có vectơ phương a d có tọa độ là:
A.M2; 2;1 , a d 1;3;1 B M1; 2;1 , a d 2;3;1
C.M2; 2; , a d 1;3;1 D M1; 2;1 , a d 2; 3;1
Hướng dẫn giải
d qua M 2;2;1 có vectơ phương a d 1;3;1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M 2;3;1 có vectơ phương
1; 2;2
(19)A.
3
x t
y t
z t
B.
1 2
x t
y t
z t
C.
1 2
x t
y t
z t
D.
2
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M 2;3;1 có vectơ
chỉ phương a 1; 2;2
2 2
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm A1; 2;5 và B3;1;1 ?
A.
2
x y z
B.
3 1
1
x y z
C.
2
x y z
D.
1
3 1
x y z
Hướng dẫn giải
đi qua hai điểmAvà B nên có vectơ phương AB 2;3; 4 Vậy phương trình tắc
2
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC có 1;3;2 , 2;0;5 , 0; 2;1
A B C Phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC
A.
2
x y z
B
1
2
x y z
C.
2
x y z
D.
2
1
x y z
Hướng dẫn giải
M trung điểm BC M1; 1;3
AM qua điểm A 1;3;2 có vectơ phương AM 2; 4;1
Vậy phương trình tắc AM
2
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác , ABC với 1;4; , 2;4;3 , 2;2; 1
A B C Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với BC
A.
4
1 x
y t
z t
B.
1 x
y t
z t
C
4
1 x
y t
z t
D.
1
4
1 x
y t
z t
Hướng dẫn giải
Gọi d đường thẳng cẩn tìm.
0; 2; 4 2 0;1;2
BC
Vì d song song với BC nên d có vectơ phương a d 0;1;2
(20)Vậy phương trình tham số d
4 x
y t
z t
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M1;3;4 song song với trục hoành
A.
3
x t
y y
B.
3
x
y t
y
C.
3
x y
y t
D.
1
x y
y t
Hướng dẫn giải
Gọi d đường thẳng cẩn tìm
Vì dsong song với trục hồnh nên d có vectơ phương a d i 1;0;0 d qua M1;3;4 có vectơ phương a d
Vậy phương trình tham số d
3
x t
y y
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 :
3
x t
d y t
z t
Phương trình
chính tắc đường thẳng qua điểm A3;1; 1 song song với d là
A. 1
2
x y z
B.
3 1
2
x y z
C. 2
3 1
x y z
D.
2
3 1
x y z
Hướng dẫn giải
d có vectơ phương a d 2;1; 2
Vì song song với d nên có vectơ phương a ad 2;1;2
qua điểm A3;1; 1 có vectơ phương a 2;1;2
Vậy phương trình tắc 1
2
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng :
2
x y z
d
Phương
trình tham số đường thẳng qua điểm M1;3; 4 song song với d
A.
1
x t
y t
z t
B.
1
x t
y t
z t
C.
1
x t
y t
z t
D.
1
3
4
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
d có vectơ phương a d 2; 1;3
Vì song song với d nên có vectơ phương a ad 2; 1;3
(21)Vậy phương trình tham số
1
4
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng P : 2x y z 0 Phương trình tắc của đường thẳng qua điểm M 2;1;1 vng góc với
P là
A. 1
2 1
x y z
B.
2 1
2 1
x y z
C. 1
2 1
x y z
D. 1
2 1
x y z
Hướng dẫn giải
P có vectơ pháp tuyến n P 2; 1;1
Vì vng góc với P nên d có vectơ phương a nP 2; 1;1
qua điểm M 2;1;1 có vectơ phương a
Vậy phương trình tắc 1
2 1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng :x 2y2z 0 Phương trình tham số đường thẳng d qua A2;1; 5 vng góc với
A.
2
x t
y t
z t
B.
2
x t
y t
z t
C. 2
5
x t
y t
z t
D.
1 2
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
có vectơ pháp tuyến n 1; 2;2
Vì d vng góc với nên d có vectơ phương a d n 1; 2; 2
d qua A2;1; 5 có vectơ phương a d 1; 2;2
Vậy phương trình tham số d 2
5
x t
y t
z t
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz,phương trình đường thẳng qua điểm 2; 1;3
A vng góc với mặt phẳng Oxz là.
A.
x
y t
z
B.
x
y t
z
C.
1
x
y t
z
D
1
x t
y
z t
Hướng dẫn giải
Oxz có vectơ pháp tuyến j 0;1;0
Vì vng góc với Oxz nên có vectơ phương a j 0;1;0
qua điểm A2; 1;3 có vectơ phương a
Vậy phương trình tham số
1
x
y t
z
(22)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có 2;1; , 4; 1;1 , 0; 3;1
A B C Phương trình d qua trọng tâm tam giác
ABC vng góc với mặt phẳng ABC là
A.
1
x t
y t
z t
B.
2
x t
y t
z t
C. 2
2
x t
y t
z t
D.
2
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Gọi Glà trọng tâm ABC, ta có G2; 1;0 Gọi a d vectơ phương d
2; 2;3
2; 4;3
AB
AC
d d , 6; 12; 12 1; 2; 2
d
a AB d AB
d ABC a AB AC
d AC a AC
d qua G2; 1;0 có vectơ phương a d 1; 2; 2
Vậy phương trình tham số d
1 2
x t
y t
z t
(ĐH D2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;4;2 và 1;2;4
B Phương trình d qua trọng tâm OAB vng góc với mặt
phẳng OAB là
A. 2
2 1
x y z
B.
2
2 1
x y z
C. 2
2 1
x y z
D. 2
2 1
x y z
Hướng dẫn giải
Gọi Glà trọng tâm OAB , ta có G(0;2;2)
1;4;2
1;2;4
OA
OB
Gọi ad
vectơ phương d
d d , 12; 6;6 2; 1;1
d
a OA
d OA
d OAB a OA OB
d OB a OB
Vậy phương trình d 2
2 1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có 0;1;2 , 2; 1; , 2; 3; 3
A B C Đường thẳng d qua điểm B vng góc
với mặt phẳng ABC Phương trình sau khơng phải phương trình đường thẳng d
A.
2 2
x t
y t
z t
B.
2 2
x t
y t
z t
C.
2 18 12
x t
y t
z t
D.
2 2
x t
y t
z t
(23)Hướng dẫn giải
2; 2;
2; 4;
AB
AC
Đường thẳng d qua điểm B 2; 1; 2 có vectơ phương
, 6; 18;12 6(1;3; 2) d
a AB AC
Đáp án sai câu A
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm 2;1; ,
M đồng thời vng góc với hai vectơ a 1;0;1và b 4;1; 1
A.
1
x y z
B.
2
1
x y z
C.
1
x y z
D.
1
2
x y z
Hướng dẫn giải
qua điểm M2;1; , có vectơ phương a a b, 1;5;1
Vậy phương trình tắc
1
x y z
(ĐH B2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 1;1 , B1;2;3
và đường thẳng :
2
x y z
Phương trình đường thẳng qua điểm A, đồng thời vng góc với hai đường thẳng AB
A.
1 1
x y z
B.
1 1
7
x y z
C. 1
7
x y z
D.
1 1
7
x y z
Hướng dẫn giải
Gọi d đường thẳng cần tìm có vectơ phương ad
2;3; 2
AB
có vectơ phương a 2;1;3
; 7;2;4
d
d d
a AB d AB
a AB a
d a a
Vậy phương trình tắc d 1
7
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
2
:
2
x y z
d
2
1
:
5
x t
d y t
z t
Phương trình đường thẳng qua điểm A2;3; 1 vng
góc với hai đường thẳng d d1,
A.
8
7
x t
y t
z t
B.
2 3
1
x t
y t
z t
C.
2
3
1
x t
y t
z t
D.
2
3
1
x t
y t
z t
(24)1
d có vectơ phương a 1 2;3; 1
2
d có vectơ phương a 2 1; 2; 2
Gọi a vectơ phương
1
1
2 2
; 8;3;
d a a
a a a
d a a
Vậy phương trình tham số
2 3
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x y 2z1 0 đường
thẳng :
2
x y z
Phương trình đường thẳng d qua điểm B2; 1;5 song song với P vng góc với là
A.
5
x y z
B.
2
5
x y z
C.
5
x y z
D.
5
2
x y z
Hướng dẫn giải
có vectơ phương a 2; 1;3
P có vectơ pháp tuyến n P 2;1;2
Gọi ad
vectơ phương d
/ /
; 5;2;4
d P
d P
d
a n
d P
a a n
d a a
Vậy phương trình tắc d
5
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng :x 2y2z 3 : 3x 5y 2z1 0 Phương trình đường thẳng d qua điểm M1;3; 1 , song song với hai mặt phẳng ,
A.
1 14
1
x t
y t
z t
B.
1 14
1
x t
y t
z t
C.
1
x t
y t
z t
D.
1
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
có vectơ pháp tuyến n 1; 2;2
có vectơ pháp tuyến n 3; 5; 2
d qua điểm M1;3; 1 có vectơ phương ad n n, 14;8;1
Vậy phương d
1 14
1
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2x y 2z 0 Phương trình đường thẳng d qua điểm A2; 3; 1 , song song với hai mặt phẳng
(25)A.
3
x t
y
z t
B.
3
x
y t
z t
C.
3
x
y t
z t
D. 2
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
có vectơ pháp tuyến n 2; 1;2
Oyz có vectơ pháp tuyến i 1;0;0
d qua điểm A2; 3; 1 có vectơ phương ad n i, 0;2;1
Vậy phương d
3
x
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d giao tuyến hai mặt phẳng :x 3y z 0 :x y z 4 0 Phương trình tham số đường thẳng d
A.
2
x t
y t
z t
B.
2
x t
y t
z t
C.
2
x t
y t
z t
D.
2 2
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Đặt yt, ta có
4 2
x z t x t
x z t z t
Vậy phương trình tham số d
2
2
x t
y t
z t
Cách 2:
Tìm điểm thuộc d, cách cho y 0
Ta có hệ 2;0;2
4
x z x
M d
x z z
có vectơ pháp tuyến n 1; 3;1
có vectơ pháp tuyến n 1;1; 1
d có vectơ phương ad n n; 2;2;4
d qua điểm M 2;0;2 có vectơ phương a d
Vậy phương trình tham số d
2
2
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng :x 2y z 1 0 : 2x2y 3z 0 Phương trình đường thẳng
d qua điểm (1; 1;0)M song song với đường thẳng là
A. 1
8
x y z
B. 1
8
x y z
C. 1
8
x y z
D.
1
x y z
(26) có vec tơ pháp tuyến n 1; 2; 1
( ) có vec tơ pháp tuyến n 2; 2; 3
d qua điểm (1; 1;0)M có vectơ phương ad n n, 8;1;6
Vậy phương trình d 1
8
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d
Phương trình đường thẳng qua điểm A2; 1; , vuông góc với trục Ozvà d
A.
1
x t
y t
y
B.
2
3
x t
y t
y
C.
2
x t
y t
y
D.
2
x t
y t
y
Hướng dẫn giải
Ozcó vectơ phương k 0;0;1
d có vectơ phương a d 2;1; 2
qua điểm A2; 1; , có vectơ phương a k a, d 1;2;0
Vậy phương
1
x t
y t
y
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 3y5z 0 Phương trình đường thẳng qua điểm A 2;1; , song song với P vng góc với trục tung
A.
2
1
3
x t
y
y t
B.
2
1
3
x t
y
y t
C.
2
1
3
x t
y t
y t
D.
2
1
3
x t
y
y t
Hướng dẫn giải
Oy có vectơ phương j 0;1;0
P có vectơ pháp tuyến n P 2; 3;5
qua điểm A 2;1; , có vectơ phương a j n, P 5;0; 2
Vậy phương
2
3
x t
y
y t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 12y22z 32 9 Phương trình đường thẳng d qua tâm mặt cầu S , song song với
: 2x2y z 0 vng góc với đường thẳng :
3 1
x y z
A.
2
x t
y t
z t
B.
1
3
x t
y t
z t
C.
2
x t
y t
z t
D.
1
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
(27) có vectơ phương a 3; 1;1
có vectơ pháp tuyến n 2;2; 1
d qua điểm I1; 2;3 có vectơ phương ad a n, 1;5;8
Vậy phương d
2
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
2
x t
d y t
z t
Hình chiếu
vng góc d lên mặt phẳng Oxy có phương trình là.
A
1
x t
y t
z
B.
1
1
0
x t
y t
z
C.
1
1
0
x t
y t
z
D.
0 x
y t
z
Hướng dẫn giải
Cho z 0, phương trình d'
1
x t
y t
z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
3
x t
d y t
z t
Hình chiếu
vng góc d lên mặt phẳng Oxzcó phương trình là.
A.
1
0
3
x t
y
z t
B. 0
x y
z t
C.
1
x t
y
z t
D.
1
3
x t
y
z t
Hướng dẫn giải
Cho y 0, phương trình d lên mặt phẳng Oxz
1
x t
y
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 1,
4
x y z
d mặt
thẳng P : 3x5y z 0 Gọi d'là hình chiếu d lên P Phương trình tham số d' là
A.
62 25 61
x t
y t
z t
B.
62 25 61
x t
y t
z t
C.
62 25 61 x t
y t
z t
D.
62 25 61
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi A d P
12 ;9 ;1 0;0;
A d A a a a
A P a A
(28)d qua điểm B12;9;1
Gọi H hình chiếu B lên P
P có vectơ pháp tuyến n P 3;5; 1
BH qua B12;9;1 có vectơ phương a BHnP 3;5; 1
12
:
1
12 ;9 ;1
78 186 15 113
; ;
35 35 35
186 15 183
; ;
35 35
x t
BH y t
z t
H BH H t t t
H P t H
AH
'
d qua A0;0; 2 có vectơ phương a d' 62; 25;61
Vậy phương trình tham số d'
62 25 61
x t
y t
z t
Cách 2:
Gọi Q qua d vng góc với P
d qua điểm B12;9;1 có vectơ phương a d 4;3;1
P có vectơ pháp tuyến n P 3;5; 1
Q qua B12;9;1 có vectơ pháp tuyến n Q a nd, P 8;7;11 Q : 8x 7y11z 22 0
d' giao tuyến Q P
Tìm điểm thuộc d', cách cho y 0 Ta có hệ 0;0; 2 '
8 11 22
x z x
M d
x z y
'
d qua điểm M0;0; 2 và có vectơ phương ad n nP; Q 62; 25;61
Vậy phương trình tham số d'
62 25 61
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
3
x t
d y t
z t
Hình chiếu song
song d lên mặt phẳng Oxz theo phương :
1 1
x y z
có phương
trình là:
A
3
x t
y
z t
B.
0
x t
y
z t
C
1
0
5
x t
y
z t
D
3
x t
y
z t
(29)Giao điểm d mặt phẳng Oxz : M0(5;0;5)
Trên
1
:
3
x t
d y t
z t
chọn M không trùng với M0(5;0;5); ví dụ:
(1; 2;3)
M Gọi A hình chiếu song song M lên mặt phẳng Oxztheo
phương :
1 1
x y z
+/ Lập phương trình d’ qua M song song trùng với
1
:
1 1
x y z
+/ Điểm A giao điểm d’ Oxz
+/ Ta tìm A(3;0;1)
Hình chiếu song song
1
:
3
x t
d y t
z t
lên mặt phẳng Oxztheo phương
1
:
1 1
x y z
đường thẳng qua M0(5;0;5) A(3;0;1) Vậy phương trình là:
3
x t
y
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1
1
x y z
d
2
1
:
1
x t
d y t
z t
Phương trình đường thẳng nằm :x2y 3z 0
cắt hai đường thẳng d d1, là:
A.
5 1
x y z
B.
3
5 1
x y z
C.
5 1
x y z
D.
8
1
x y z
Hướng dẫn giải
Gọi d đường thẳng cần tìm
Gọi A d 1
1 ;1 ;1
1 3; 2;
A d A a a a
A a A
Gọi B d 2
2 ; ;
1 2; 1;
B d B b b b
B b B
d qua điểm A3; 2; 1 có vectơ phương AB 5;1; 1
Vậy phương trình tắc d
5 1
x y z
(30)(ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2
:
1 1
x y z
mặt phẳng P x: 2y 3z 4 Phương trình tham số đường thẳng d nằm P , cắt vng góc đường thẳng là:
A.
1 3
x t
y t
z t
B.
3
1
1
x t
y t
z t
C.
3
x t
y t
z t
D.
3
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Gọi M P
;2 ;
M M t t t
3;1;1
M P t M
P có vectơ pháp tuyến n P 1;2; 3 có vectơ phương a 1;1; 1
Có
( )
, 1; 2; d P
d P d
d P a n
a n a
d a a
d qua điểm M 3;1;1 có vectơ phương a d
Vậy phương trình tham số d
3
x t
y t
z t
(ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
2
:
2 1
x y z
d
1 1
:
1
x y z
d
Phương trình đường thẳng qua điểm A1;2;3 vng góc với d1 cắt d2 là:
A.
1
x y z
B.
1
1
x y z
C.
1
x y z
D.
1
1
x y z
Hướng dẫn giải Gọi B d2
2 ;1 ;
;2 1;
B d B t t t
AB t t t
1
d có vectơ phương a 1 2; 1;1
1
1
d AB a
AB a t
qua điểm A1;2;3 có vectơ phương AB 1; 3; 5
Vậy phương trình
1
x y z
(31)(ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
3
:
1
x t
d y t
z t
Phương trình tắc đường thẳng qua điểm A 4; 2;4, cắt vng góc với d là:
A.
4
x y z
B.
4
3
x y z
C. 4
3
x y z
D.
4
3
x y z
Hướng dẫn giải
Gọi đường thẳng cần tìm Gọi B d
3 ;1 ; ;3 ;
B d B t t t
AB t t t
d có vectơ phương a d 2; 1;4
d
d
d AB a
AB a t
qua điểm A 4; 2;4 có vectơ phương AB 3;2; 1
Vậy phương trình 4
3
x y z
(ĐH A2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 3
:
1
x y z
d
mặt phẳng P : 2x y 2z 9 Gọi A giao điểm d P Phương trình tham số đường thẳng nằm P , qua điểm A vng góc với d là:
A.
1 x
y t
z t
B.
x t y z t
C.
4 x t y
z t
D.
1
x t
y z t
Hướng dẫn giải
Gọi A d P
1 ; ;3 0; 1;4
A d A t t t
A P t A
P có vectơ pháp tuyến n P 2;1; 2 d có vectơ phương a d 1;2;1 Gọi vecto phương a Ta có :
( )
, 5;0;5 P
P d d
P a n
a n a
d a a
qua điểm A0; 1;4 có vectơ phương a 5;0;5
(32)Vậy phương trình tham số x t y
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;2; 1 đường thẳng
3
:
1
x y z
d Phương trình đường thẳng qua điểm A, cắt d song
song với mặt phẳng Q x y z: 3 là:
A.
1
x y z
B.
1
1
x y z
C.
1
x y z
D.
1
1
x y z
Hướng dẫn giải
Gọi đường thẳng cần tìm Gọi B d
3 ;3 ;2 2;3 1;2
B d B t t t
AB t t t
Q có vectơ pháp tuyến n Q 1;1 1
/ /
Q
Q
Q AB n
AB n t
qua điểm A1;2; 1 có vectơ phương AB 1; 2; 1
Vậy phương trình
1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
3
x y z
2
1
:
1
x y z
Phương trình đường thẳng song song với
3
:
4
x
d y t
z t
cắt hai đường thẳng 1; là:
A.
x
y t
z t
B.
2
x
y t
z t
C.
2
x
y t
z t
D.
2
x
y t
z t
Hướng dẫn giải
Gọi đường thẳng cần tìm Gọi A 1,B 2
1
1 ;2 ;1 ;2 ;
3 2; 2;
A A a a a
B B b b b
AB a b a b a b
d có vectơ phương a d 0;1;1 / /d AB a, d
phương có số k thỏa AB ka d
(33)3
2 2
2 2
a b a b a
a b k a b k b
a b k a b k k
Ta có A2;3;3 ; B2;2;2
qua điểm A2;3;3 có vectơ phương AB 0; 1; 1
Vậy phương trình 3
x
y t
z t
(ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1
:
2 1
x y z
d
1
:
3
x t
d y t
z
Phương trình đường thẳng vng góc với
P : 7x y 4z0 cắt hai đường thẳng d d là:1,
A.
2 1
x y z
B.
7
x y z
C.
7
x y z
D.
2
7
x y z Hướng dẫn giải
Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A d d B d d 1,
1
2 ;1 ; 2 ;1 ;3
2 1; ;
A d A a a a
B d B b b
AB a b a b a
P có vectơ pháp tuyến n P 7;1; 4
, p
d P AB n phương
có số k thỏa AB kn p
2 2 1
0
5 4
a b k a b k a
a b k a b k b
a k a k k
d qua điểm A2;0; 1 có vectơ phương a d nP 7;1 4 Vậy phương trình d
7
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d
Viết phương trình đường thẳng qua điểm A2;3; 1 cắt d B cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng :x y z 1 0
A.
1
x y z
B.
2 1
(34)C.
2
x y z
D.
5
x y z
3
1
x y z
Hướng dẫn giải
1 ; 2 ;
3;6; , 1;3;
,
4 3; 6;4 , 5; 9;5
B d B t t t
B AB
t d B
t B AB
qua điểm B có vectơ phương AB Vậy phương trình
5
x y z
3
1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua điểm
2;2;1
A cắt trục tung B cho OB2OA
A.
2
x y z
B.
6
2
x y z
C.
5
x y z
D.
6
2
x y z
6
2
x y z
Hướng dẫn giải
0; ;0
0;6;0 , 2;4;
6
6 0; 6;0 , 2; 8; 1
B Oy B b
B AB
b
OB OA
b B AB
qua điểm B có vectơ phương AB Vậy phương trình
2
x y z
6
2
x y z
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
1;1;2
B cắt đường thẳng :
1
x y z
d
C cho tam giác OBCcó
diện tích 83
A. 1
3
x y z
B.
2
x y z
C. 1
3
x y z
1
31 78 109
x y z
D. 1
31 78 109
x y z
(35)
2 ;3 ;
2 ;3 ;
1;1;2
, 7; 5;1
2 3; 2;
1
, 4 31 78 109
2 ; ;
35 35 35 35
OBC
C d C t t t
OC t t t
OB
OB OC t t t
t BC
S OB OC
t BC
qua điểm B có vectơ phương BC Vậy phương trình 1
3
x y z
1
31 78 109
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2
1 1
x y z
d
2:
2
x t
d y
z t
Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng
1,
d d là.
A. 2
x t
y t
z t
B. 3
x t
y t
z t
C.
2
x t
y t
z t
D.
3
x t
y
z t
Hướng dẫn giải
Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A d d B d1, d2
1
2 ;1 ;2 ;3;
2; 2;
A d A a a a
B d B b b
AB a b a a b
1
d có vectơ phương a 1 1; 1; 1
2
d có vectơ phương a 2 1;0;1
1 1
2 2 2
0
2;1;2 ; 3;3;1
d d AB a AB a a
A B
d d AB a AB a b
d qua điểm A2;1;2 có vectơ phương a d AB1;2; 1
Vậy phương trình d 2
x t
y t
z t
(ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
: ,
2 1
x y z
d mặt phẳng P x y: 2z A1; 1;2 Đường thẳng
(36)A. 1
2
x y z
B. 1
2
x y z
C.
2
x y z
D.
2
1
x y z
Hướng dẫn giải
; ; 2
M d M t t t
A trung điểm MN N3 ; 2 t t;2 t 3;2;4
N P t M
qua điểm M3;2;4 có vectơ phương a AM 2;3;2 Vậy phương trình 1
2
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1,
1
x y z
d
mặt cầu
S : x12y32z12 29 A1; 2;1 Đường thẳng cắt d S lần
lượt M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng
A.
2
x y z
1
7 11 10
x y z
B.
2
x y z
1
7 11 10
x y z
C.
2
x y z
1
7 11 10
x y z
D.
2
x y z
1
7 11 10
x y z
Hướng dẫn giải
2 ;1 ;1
M d M t t t
A trung điểm MN Nt; ;1 t t
2
1 4; 10;2 2;5;
6 14 20 10 14 22 20 2
; ; 7;11; 10
3 3 3
t MN
N S t t
t MN
qua điểm A1; 2;1 có vectơ phương a MN
Vậy phương trình
2
x y z
1
7 11 10
x y z
(ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x: 2y2z 0 hai điểm A3;0;1 , 1; 1;3 B Trong đường thẳng đi qua A song song với P , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ có phương trình
A.
26 11
x y z
B.
2
26 11
x y z
C.
26 11
x y z
D.
2
26 11
x y z
Hướng dẫn giải
(37)Gọi mặt phẳng Q qua A 3;0;1 song song với P Khi đó:
Q x: 2y2z 1
Gọi K H, hình chiếu B lên , Q Ta có d B , BK BH Do AH đường thẳng cần tìm
Q có vectơ pháp tuyến n Q 1; 2;2
BH qua B có vectơ phương a BHnQ 1; 2;2
1
:
3
1 ; ;3
10 11
; ;
9 9
x t
BH y t
z t
H BH H t t t
H P t H
qua điểm A 3;0;1 có vectơ phương
26 11
; ; 26;11;
9 9
a AH
Vậy phương trình : 26 11
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
d
, mặt phẳng P x y z: 2 0 Gọi M giao điểm d P Gọi đường thẳng nằm P vng góc với d cách M khoảng 42 Phương trình đường thẳng
A. 5
2
x y z
và
2
x y z
B. 5
2
x y z
C.
2
x y z
D.
2
x y z
2
x y z
Hướng dẫn giải Gọi M d P
3 ; ; 1 1; 3;0
M d M t t t
M P t M
P có vecttơ pháp tuyến n P 1;1;1 d có vecttơ phương a d 2;1; 1
có vecttơ phương a a nd, P 2; 3;1
Gọi N x y z ; ; hình chiếu vng góc M , đó
1; 3;
MN x y z
(38)Ta có:
2 2
2 11
2
1 42
42
MN a x y z
N P x y z
x y z
MN
Giải hệ ta tìm hai điểm N5; 2; 5 N 3; 4;5
Với N5; 2; 5 , ta có : 5
2
x y z
Với N 3; 4;5, ta có :
2
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I1;1;2 , hai đường thẳng
1
3
:
4
x t
y t
z
2
:
1
x y z
Phương trình đường thẳng d qua
điểm I cắt hai đường thẳng 1,
A. 1
1 1
x y z
B.
1
x t
y t
z t
C. 1
1 1
x y z
D.
1
1
2
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Gọi 1 mặt phẳng qua I 1
qua M13; 1;4 có vectơ phương a 1 1;2;0
1 2; 2;2
IM
1 có vectơ pháp tuyến n1a IM1, 1 4; 2; 6
Gọi 2 mặt phẳng qua I 2
qua M 2 2;0;2 có vectơ phương a 2 1;1;2
2 3; 1;0
IM
2 có vectơ pháp tuyến n2 a IM2, 2 2; 6;2
d qua điểm I1;1;2 có vectơ phương ad n n1, 2 40; 20; 20
Vậy phương trình đường thẳng d
1 2
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1
2 1
x y z
d ,
2
1
:
1
x y z
d mặt phẳng P :x y 2z 3 Gọi đường thẳng
(39)A :
3
x t
y t
z t
hoặc :
1 2
x t
y t
z t
B :
3
x t
y t
z t
C :
3
x t
y t
z t
D :
1 2
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
1
1 ; ; ;2 ;
A d A a a a
B d B b b b
có vectơ phương ABb ;3 2a b a b a ;
P có vectơ pháp tuyến n P 1;1; 2
Vì / / P nên AB nP b a 3.Khi AB a 3;a 3; 3
Theo đề bài:
3;0;1 , 4; 2;
29
1 1; 2; , 2; 4; 3
A AB
a AB
a A AB
Vậy phương trình đưởng thẳng
3
x t
y t
z t
1 2
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
2 1
x y z
d
2
1 2
:
1
x y z
d
Gọi đường thẳng song song với P x y z: 0 cắt d d1, hai điểm A B, choAB ngắn Phương trình
của đường thẳng
A.
12
5
9
x t
y
z t
B
5
9
x t
y
z t
C
5
9
x
y t
z t
D.
6
9
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
1
1 ; ; ; ;2
A d A a a a
B d B b b b
có vectơ phương ABb ;3a b a 2; 2 b a 4 P có vectơ pháp tuyến n P 1;1;1
Vì / / P nên AB nP AB n P 0 b a 1.Khi AB a 1;2a 5;6 a
2 2 2
2
1
30 62
5 49
;
2 2
AB a a a
a a
a a
(40)Dấu " " xảy 6; ;5 , 7;0;7
2 2 2
a A AB
Đường thẳng qua điểm 6; ;5 2 A
vec tơ phương u d 1;0;1
Vậy phương trình là
5
x t
y
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
1
x y z
2
2 1
:
2 1
x y z
Đường thẳng d song song với P x y: 2z 5 0 cắt hai đường thẳng 1; A B, cho AB ngắn Phương trình
đường thẳng d
A.x 1 y 2 z B. 2
2 1
x y z
C x 1 y z D. 2
2 1
x y z
Hướng dẫn giải Gọi A d 1,B d 2
1
2
1 ; 2 ; 2 ;1 ;1
2 3; 3;
/ /
5; 1;
2 27 3; P
A A a a a
B B b b b
AB a b a b a b
d P AB n b a
AB a a
AB a a
Dấu " " xảy a 2 A1;2;2 , B2; 1; 1 3; 3; 3
AB
d qua điểm A1;2;2 có vectơ phương a d 1;1;1 Vậy phương trình d x1 y 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2,
2 1
x y z
d mặt phẳng
P : 2x y z 5 0 M1; 1;0 Đường thẳng qua điểm M, cắt d tạo với P góc 300 Phương trình đường thẳng
A. 2
1
x y z
4
5
x y z
B. 2
1
x y z
4
5
x y z
(41)C. 1
1
x y z
1
23 14
x y z
D. 2
1
x y z
4
5
x y z
Hướng dẫn giải Gọi N d
2 ; ;
N d N t t t
có vectơ phương MN 1 ;1t t; t P có vectơ pháp tuyến n P 2; 1; 1
0 1;1
sin , 9 23 14 1
; ;
5 5
P
P
t MN
MN n d P
MN n t MN
qua điểm M1; 1;0 có vectơ phương a d MN Vậy phương trình 1
1
x y z
1
23 14
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A3; 1;1 , nằm mặt phẳng
P :x y z 0 , đồng thời tạo với :
1 2
x y z
góc 450 Phương
trình đường thẳng d
A.
3 15
x t
y t
z t
B.
1
x t
y t
z
C.
3 15
x t
y t
z t
D.
3 1
x t
y t
z
3 15
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
có vectơ phương a 1;2;2 d có vectơ phương a d a b c; ;
P có vectơ pháp tuyến n P 1; 1;1
0
2 2
2 2
;
, 45 cos , cos45
2 2
2
2 ; d P
d P a n b a c
d d
a b c
a b c
a b c a b c
Từ 1 2 , ta có:14 30 0
15
c
c ac
a c
Với c 0, chọn a b 1, phương trình đường thẳng d
1
x t
y t
z
(42)Với 15a7c0, chọn a 7 c15;b8, phương trình đường thẳng d là
1 15
x t
y t
z t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm A1; 1;2 , song song với
P : 2x y z 3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1
1 2
x y z
góc lớn Phương trình đường thẳng d
A. 1
1
x y z
B.
1
4
x y z
C. 1
4
x y z
D. 1
1
x y z
Hướng dẫn giải
có vectơ phương a 1; 2;2 d có vectơ phương a d a b c; ;
P có vectơ pháp tuyến n P 2; 1; 1
Vì d/ / P nên a d nP a nd P 0 2a b c 0 c2a b
2
2
2
5
cos ,
3
3
a b a b
d
a ab b
a ab b
Đặt t a b
, ta có:
2
5
cos ,
3
t d
t t
Xét hàm số
2
5
5
t f t
t t
, ta suy được:
1 max
5
f t f
Do đó: max cos , 1
27 5
a
d t
b
Chọn a 1 b5,c7
Vậy phương trình đường thẳng d 1
1
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A 1;0; 1 , cắt
1
1 2
:
2 1
x y z
, cho góc d
3
:
1 2
x y z
nhỏ
nhất Phương trình đường thẳng d
A. 1
2
x y z
B
1
4
x y z
C.
1
4
x y z
D.
1
2
x y z Hướng dẫn giải
Gọi M d M1 ;2 t t; 2 t
d có vectơ phương a d AM 2t2;t2; 1 t
2
có vectơ phương a 2 1;2;2
2
2
2 cos ;
3 14
t d
t t
(43)Xét hàm số
2
6 14
t f t
t t
, ta suy f t f 0 0 t0 Do cos ,d 0 t AM 2;2 1
Vậy phương trình đường thẳng d 1
2
x y z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba đường thẳng 1:
1 x t
d y t
z t
2
2 :
1 3
x y z
d
1 1
:
5
x y z
d Gọi đường thẳng cắt d d d1, ,2
lần lượt điểm A B C, , cho ABBC Phương trình đường thẳng
A. 2
1 1
x y z
B.
1 1
x y z
C
1 1
x y z
D.
3
1 1
x y z
Hướng dẫn giải
Gọi A d B d C d 1, 2,
Ta có: A a ;4 a; , a B b ;2 ; , b b C 1 ;1 ; 1c c c
Yêu cầu toán A B C, , thẳng hàng AB BC
B
trung điểm AC
1
4 2
0
1 2
a c b a
a c b b
c
a a c b
Suy A1;3;1 , B0;2;0, , C 1;1; 1
qua điểm B0;2;0, có vectơ phương CB 1;1;1
Vậy phương trình đường thẳng
1 1
x y z