Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Học sinh xác định được vectơ chỉ phương và điểm nào đó thuộc đường thẳng khi cho trước phương trình.. Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình chính tắc và ng[r]

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Phương trình đường thẳng:

 Cho đường thẳng  qua điểm M x y z0



0; ;0 0



nhận vectơ a 



a a a1; ;2 3





với 2

1

a a a  làm vectơ phương Khi  có phương trình tham số :





0

0

0

;

x x a t y y a t t z z a t

  



  



   



 Cho đường thẳng  qua điểm M x y z0



0; ;0 0



nhận vectơ a 



a a a1; ;2 3





sao cho a a a 1 làm vectơ phương Khi  có phương trình

tắc :

0

1

x x y y z z

a a a

  

 

II. Góc:

1 Góc hai đường thẳng:

1

 có vectơ phương a 1

2

 có vectơ phương a2

Gọi  góc hai đường thẳng 1 2 Ta có:

1

1

cos

a a

a a

                            

  

2 Góc đường thẳng mặt phẳng:  có vectơ phương a



 

 có vectơ phương n

Gọi  góc hai đường thẳng  ( ) Ta có: sin

a n

a n

 

  

 





III. Khoảng cách:

1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng :  qua điểm M0 có vectơ phương a





,



a M M,

d M

a

 

 

 

   



2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:

1

 qua điểm M có vectơ phương a1



2

 qua điểm N có vectơ phương a2



2



1

, , =

,

a a MN d

a a

 

 

 

 

 

  

 

IV. Các dạng toán thường gặp:

1 Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm phân biệt A B,

Cách giải: Xác định vectơ phương  AB

 2 Đường thẳng  qua điểm M song song với d

Trong trường hợp đặc biệt:

 Nếu  song song trùng bới trục Ox  có vectơ phương a  i



1;0;0



 

 Nếu  song song trùng bới trục Oy  có vectơ phương a  j



0;1;0



 

 Nếu  song song trùng bới trục Oz  có vectơ phương a  k



0;1;0



 

Các trường hợp khác  có vectơ phương a ad  

, với ad 

vectơ phương d

3 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M vng góc với mặt phẳng

 



Cách giải: Xác định vectơ phương  a n

 

, với n vectơ pháp tuyến

 



4 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M vng góc với hai đường thẳng d d1, (hai đường thẳng không phương)

Cách giải: Xác định vectơ phương  a a a1, 2

  

, với a a1,

 

vectơ phương d d1,

5 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M vng góc với đường thẳng d song song với mặt phẳng

 



Cách giải: Xác định vectơ phương  a a nd, 

                                         

, với ad



vectơ phương d, n vectơ pháp tuyến

 



6 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A song song với hai mặt phẳng

   

 ,  ; (

   

 ,  hai mặt phẳng cắt nhau)

Cách giải: Xác định vectơ phương  a n n, 

  

, với n n ,  vectơ pháp tuyến

   

 , 

7 Viết phương trình đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng

 



 



Cách giải:

 Lấy điểm , cách cho ẩn số tùy ý

 Xác định vectơ phương  a n n, 

  

, với n n ,  vectơ pháp tuyến

   

 , 

8 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A cắt hai đường thẳng





1, 1,

d d A d A d 

Cách giải: Xác định vectơ phương  a n n1, 2

  

, với n n1,

 

vectơ pháp tuyến mp A d



, 1



,mp A d



, 2



9 Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng

 

 cắt hai đường thẳng d d1,

Cách giải: Xác định vectơ phương  a AB

 

, với

 

 

1 ,

A d   B d  

Cách giải:

 Xác định B d

 Viết phương trình đường thẳng  qua A B,

11. Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A, vng góc với d1

và cắt d2, với A d Cách giải:

 Xác định B d2

 Viết phương trình đường thẳng  qua A B,

12. Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A, cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng

 



Cách giải:

 Xác định B d

 Viết phương trình đường thẳng  qua A B,

13. Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng

 

 cắt vng góc đường thẳng d

Cách giải:

 Xác định A d 

 



 Đường thẳng  qua A có vectơ phương  ,

d

a a n   

, với ad 

vectơ phương d, n vectơ pháp tuyến

 



14. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm A đường thẳng dvà mặt phẳng

 

 , nằm

 

 vng góc đường thẳng d (ở dkhơng vng góc với

 

 )

Cách giải:

 Xác định A d 

 



 Đường thẳng  qua A có vectơ phương  ,

d

a a n   

, với ad 

vectơ phương d, n vectơ pháp tuyến

 



15. Viết phương trình đường thẳng  đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d d1,

Cách giải:

 Xác định A d B1,  d2 cho

1

AB d AB d

  

 

 Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm A B,

16. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d cắt hai đường thẳng d d1,

Cách giải:

 Xác định A d B1,  d2 cho AB a, d  

phương, với ad 

vectơ phương d

 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm Avà có vectơ phương ad a

 

17. Viết phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng

 

 cắt hai đường thẳng d d1,

 Xác định A d B1,  d2 cho AB n, 

 

phương, với n vectơ pháp tuyến

 



 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm Avà có vectơ phương ad n

 

18. Viết phương trình  hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng

 



Cách giải : Xác định H   cho AH ad

 

,với ad 

vectơ phương d

 Viết phương trình mặt phẳng

 

 chứa d vng góc với mặt phẳng

 



 Viết phương trình đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng

 



 



19. Viết phương trình  hình chiếu song song d lên mặt phẳng

 

 theo phương d'

Cách giải :

 Viết phương trình mặt phẳng

 

 chứa d có thêm véc tơ phương u d'

 Viết phương trình đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng

 



 



B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Học sinh xác định vectơ phương điểm thuộc đường thẳng cho trước phương trình

2 Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình tắc ngược lại

3 Học sinh lập phương trình tắc phương trình tham số Học sinh tìm hình chiếu, điểm đối xứng

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :

2 3

x t

y t

z t

   

      

d’:

6 ' ' '

x t

y t

z t

   

      

Xét mệnh đề sau:

(I) d qua A(2 ;3 ;1) có véctơ phương a



2;2;3



(II) d’ qua A’ (0;-3;-11) có véctơ phương a ' 2;2;9





(III) a a ' không phương nên d khơng song song với d’ (IV) Vì               a a; '  AA ' 0 nên d d’ đồng phẳng chúng cắt nhau Dựa vào phát biểu trên, ta kết luận:

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d có phương

trình tham số

3

x t

y t

z t

  

  

   

Phương trình tắc đường thẳng dlà?

A.x 2  y z B.

1

x y z

 



C.

1

x y z

 

  D.

2

1

x y z

 



Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  có phương trình tắc

2

x y z

 

 Phương trình tham số đường thẳng  là?

A.

3

x t

y t

z t    

  

  

B.

2 3

x t

y t

z t    

  

  

C.

3

x t

y t

z t   

      

D.

3

x t

y t

z t   

      

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng

2

:

2

x y z

d     

 Đường thẳng d qua điểm M có vectơ phương ad



có tọa độ là:

A.M



2; 1;3 ,



a d  



2;1;3



B M



2; 1; , 



ad 



2; 1;3 





C.M



2;1;3 ,



a d 



2; 1;3 



D M



2; 1;3 ,



ad 



2; 1;  





Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng

2

:

1

x t

d y t

z t

   

  

   

Đường thẳng d qua điểm M có vectơ phương a d có tọa độ là: A.M



2; 2;1 ,



a d 



1;3;1



B M



1; 2;1 ,



a  d



2;3;1





C.M



2; 2; , 



a d 



1;3;1



D M



1; 2;1 ,



a d



2; 3;1 





Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau là phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M 



2;3;1



có vectơ phương a 



1; 2;2



?

A.

3

x t

y t

z t

   

  

   

B.

1 2

x t

y t

z t

   

  

   

C.

1 2

x t

y t

z t

   

  

   

D.

2

x t

y t

z t

  

       

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình tắc  đường thẳng qua hai điểm A



1; 2;5



và B



3;1;1



?

A.

2

x y z

 

 B.

3 1

1

x y z

 



C.

2

x y z

 

 D.

1

3 1

x y z

 

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC có



1;3;2 ,





2;0;5 ,





0; 2;1



A  B C  Phương trình đường trung tuyến AM tam giác

A.

2

x y z

 

  B

1

2

x y z

 



C.

2

x y z

 

 D.

2

1

x y z

 



Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác , ABC với



1;4; ,





2;4;3 ,





2;2; 1



A  B C  Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với BC

A.

4

1 x

y t

z t

  

  

   

B.

1 x

y t

z t

  

      

C

4

1 x

y t

z t

  

  

   

D.

1

4

1 x

y t

z t

  

  

   

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M



1;3;4



song song với trục hoành

A.

3

x t

y y

   

    

B.

3

x

y t

y

  

     

C.

3

x y

y t

  

     

D.

1

x y

y t

  

     

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 :

3

x t

d y t

z t

   

 

   

Phương trình tắc đường thẳng  qua điểm A



3;1; 1



song song với d là

A. 1

2

x y z

 

 B.

3 1

2

x y z

 



C. 2

3 1

x y z

 

 D.

2

3 1

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng :

2

x y z

d     

 Phương

trình tham số đường thẳng  qua điểm M



1;3; 4



song song với d

A.

1

x t

y t

z t

  



  

   

B.

1

x t

y t

z t

  



  

   

C.

1

x t

y t

z t

  



  

   

D.

1

3

4

x t

y t

z t

   

  

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng

 

P : 2x y z   0 Phương trình tắc của đường thẳng  qua điểm M 



2;1;1



vng góc với

 

P là

A. 1

2 1

x y z

 

 B.

2 1

2 1

x y z

 



C. 1

2 1

x y z

  D. 1

2 1

x y z

 

 

A.

2 x t y t z t            B. 2 x t y t z t            C. 2

5 x t y t z t            D. 2 x t y t z t           

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,phương trình đường thẳng  qua điểm



2; 1;3



A  vng góc với mặt phẳng



Oxz là.



A. x y t z          B. x y t z          C. x y t z          D x t y z t          

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có



2;1; ,





4; 1;1 ,





0; 3;1



A  B  C  Phương trình d qua trọng tâm tam giác

ABC vng góc với mặt phẳng



ABC là



A.

1 x t y t z t           B. 2 x t y t z t           C. 2

2 x t y t z t           D. 2 x t y t z t          

(ĐH D2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A



1;4;2



và



1;2;4



B  Phương trình d qua trọng tâm OAB vng góc với mặt

phẳng



OAB là



A. 2

2 1

x y z

 

 B.

2

2 1

x y z

 



C. 2

2 1

x y z

  D. 2

2 1

x y z

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có



0;1;2 ,





2; 1; ,





2; 3; 3



A B    C   Đường thẳng d qua điểm B vng góc

với mặt phẳng



ABC Phương trình sau khơng phải phương trình



đường thẳng d

A.

2 2 x t y t z t            B. 2 x t y t z t            C. 18 12 x t y t z t            D. 2 x t y t z t           

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng  qua điểm



2;1; ,



M  đồng thời vuông góc với hai vectơ a 



1;0;1



và b 



4;1; 1



A.

1

x y z

 

 B.

2

1

x y z

 



C.

1

x y z

 

  D.

1

2

x y z

 



(ĐH B2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A



1; 1;1 , 



B



1;2;3



và đường thẳng :

2

x y z

  

 Phương trình đường thẳng qua điểm A, đồng thời vng góc với hai đường thẳng AB 

A.

1 1

x y z

 

 B.

1 1

7

x y z

C. 1

7

x y z

 

 D.

1 1

7

x y z

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

2

:

2

x y z

d    



2

1

:

5

x t

d y t

z t           

Phương trình đường thẳng  qua điểm A



2;3; 1



vuông

góc với hai đường thẳng d d1,

A.

8

7 x t y t z t            B. 3

1 x t y t z t            C. x t y t z t            D. x t y t z t           

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P : 2x y 2z1 0 đường

thẳng :

2

x y z

  

 Phương trình đường thẳng d qua điểm B



2; 1;5



song song với

 

P vng góc với  là

A.

5

x y z

 

 B.

2

5

x y z

 



C.

5

x y z

 

  D.

5

2

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

 :x 2y2z 3 0 và

 

 : 3x 5y 2z1 0 Phương trình đường thẳng d qua điểm M



1;3; 1



, song song với hai mặt phẳng

   

 , 

A.

1 14

1 x t y t z t            B. 14

1 x t y t z t            C. x t y t z t            D. x t y t z t           

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 : 2x y 2z 0 Phương trình đường thẳng d qua điểm A



2; 3; 1 



, song song với hai mặt phẳng

  

 , Oyz



A. x t y z t           B.

3 x y t z t           C.

3 x y t z t           D. 2 x t y t z t          

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d giao tuyến hai mặt phẳng

 

 :x 3y z 0

 

 :x y z    4 0 Phương trình tham số đường thẳng d

A. 2 x t y t z t           B. 2 x t y t z t           C. 2 x t y t z t           D. 2 x t y t z t          

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng

 

 :x 2y z  1 0

 

 : 2x2y 3z 0 Phương trình đường thẳng

A. 1

8

x y z

  B. 1

8

x y z

 

C. 1

8

x y z

  D.

1

x y z

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

d    

 Phương trình đường thẳng  qua điểm A



2; 1; , 



vng góc với trục Ozvà d

A.

1 x t y t y           B. 2

3 x t y t y           C. 2 x t y t y          D. 2 x t y t y          

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P : 2x 3y5z 0 Phương trình đường thẳng  qua điểm A 



2;1; ,



song song với

 

P vng góc với trục tung

A. x t y y t           B. x t y y t           C. x t y t y t            D. x t y y t          

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  

S : x 1



2



y2



2



z 3



2 9 Phương trình đường thẳng d qua tâm mặt cầu

 

S , song song với

 

 : 2x2y z  0 vng góc với đường thẳng :

3 1

x y z

  



A.

2 x t y t z t            B.

3 x t y t z t            C.

2 x t y t z t            D. x t y t z t           

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t           

Hình chiếu

vng góc d lên mặt phẳng



Oxy



có phương trình là.

A x t y t z           B. x t y t z           C. x t y t z           D. x y t z         

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t           

Hình chiếu

vng góc d lên mặt phẳng



Oxz



có phương trình là.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 1,

4

x y z

d      mặt

thẳng

 

P : 3x5y z  0 Gọi d'là hình chiếu d lên

 

P Phương trình tham số d'

A. 62 25 61 x t y t z t          B. 62 25 61 x t y t z t          C. 62 25 61 x t y t z t          D. 62 25 61 x t y t z t         

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t           

Hình chiếu song

song d lên mặt phẳng



Oxz



theo phương :

1 1

x y z

  

  có phương

trình là: A x t y z t           B. x t y z t           C x t y z t           D x t y z t          

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1

1

x y z

d     



2

1

:

1

x t

d y t

z t           

Phương trình đường thẳng nằm

 

 :x2y 3z 0

cắt hai đường thẳng d d là:1,

A.

5 1

x y z

 

 B.

3

5 1

x y z

 

 

C.

5 1

x y z

 

  D.

8

1

x y z

 



(ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

2

:

1 1

x y z

  

 mặt phẳng

 

P x: 2y 3z 4 Phương trình tham số đường thẳng d nằm

 

P , cắt vng góc đường thẳng  là:

A.

1 3 x t y t z t            B. x t y t z t            C. 3 x t y t z t            D. x t y t z t           

(ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

2

:

2 1

x y z

d     



1 1

:

1

x y z

d     

 Phương trình đường thẳng  qua điểm A



1;2;3



vng góc với d1 cắt d2 là:

A.

1

x y z

 

  B.

1

1

x y z

 

 

C.

1

x y z

 

 D.

1

1

x y z

 

(ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

3

:

1

x t

d y t

z t

  

   

   

Phương trình tắc đường thẳng qua điểm A  



4; 2;4



, cắt vng góc với d là:

A.

4

x y z

 

  B.

4

3

x y z

 



C. 4

3

x y z

 

  D.

4

3

x y z

 



(ĐH A2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 3

:

1

x y z

d     

 mặt phẳng

 

P : 2x y  2z 9 Gọi A giao điểm d

 

P Phương trình tham số đường thẳng  nằm

 

P , qua điểm A vng góc với d là:

A.

1 x

y t

z t

  

  

   

B.

x t y z t

  

    

C.

4 x t y

z t

  

 

   

D.

1

x t

y z t

   

    

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A



1;2; 1



đường thẳng

3

:

1

x y z

d     Phương trình đường thẳng qua điểm A, cắt d song

song với mặt phẳng

 

Q x y z:    3 là:

A.

1

x y z

 

  B.

1

1

x y z

 

C.

1

x y z

 

 D.

1

1

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

3

x y z

  

2

1

:

1

x y z

   Phương trình đường thẳng song song với

3

:

4

x

d y t

z t

  

  

   

cắt hai đường thẳng  1; là:

A.

x

y t

z t

  

      

B.

2

x

y t

z t

  

  

   

C.

2

x

y t

z t

  

  

   

D.

2

x

y t

z t

  

  

   

(ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

1

:

2 1

x y z

d    



1

:

3

x t

d y t

z

  

      

Phương trình đường thẳng vng góc với

A.

2 1

x y z

  B.

7

x y z  



C.

7

x y z

 

  D.

2

7

x y z  

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

1

x y z

d    

 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A



2;3; 1



cắt d B cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng

 

 :x y z   1 0

A.

1

x y z

 



B.

2 1

x y z  

C.

2

x y z

 

 

D.

5

x y z

 

 

3

1

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng  qua điểm



2;2;1



A  cắt trục tung B cho OB2OA

A.

2

x y z

 

  B.

6

2

x y z

 



C.

5

x y z

 

  D.

6

2

x y z

 



6

2

x y z

 

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm



1;1;2



B cắt đường thẳng :

1

x y z

d     

 C cho tam giác OBCcó

diện tích 83

A. 1

3

x y z

 

 

B.

2

x y z

 



C. 1

3

x y z

 

 

1

31 78 109

x y z

 



D. 1

31 78 109

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2

1 1

x y z

d     

 

2:

2

x t

d y

z t

  

 

   

Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng

1,

A. 2

x t

y t

z t

   

      

B. 3

x t

y t

z t

   

      

C.

2

x t

y t

z t

  

       

D.

3

x t

y

z t

   

     

(ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

: ,

2 1

x y z

d     mặt phẳng

 

P x y:   2z  A



1; 1;2



Đường thẳng

 cắt d

 

P M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng 

A. 1

2

x y z

  B. 1

2

x y z

 

C.

2

x y z

 

 D.

2

1

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1,

1

x y z

d     

 mặt cầu

  

S : x1



2



y3



2



z1



2 29 A



1; 2;1



Đường thẳng  cắt d

 

S lần lượt M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng 

A.

2

x y z

 



1

7 11 10

x y z

 



B.

2

x y z

 



1

7 11 10

x y z

 



C.

2

x y z

 



1

7 11 10

x y z

 



D.

2

x y z

 



1

7 11 10

x y z

 



(ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P x:  2y2z 0 hai điểm A



3;0;1 , 1; 1;3



B







Trong đường thẳng đi qua A song song với

 

P , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ có phương trình

A.

26 11

x y z

 

 B.

2

26 11

x y z

 



C.

26 11

x y z

 

 D.

2

26 11

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2 1

x y z

d     

 , mặt phẳng

 

P x y z:    2 Gọi M giao điểm d

 

P Gọi  đường thẳng nằm

 

P vng góc với d cách M khoảng 42 Phương trình đường thẳng 

A. 5

2

x y z

 



và

2

x y z

 



B. 5

2

x y z

 



C.

2

x y z

 

D.

2

x y z

 

2

x y z

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I



1;1;2



, hai đường thẳng

1

3

:

4

x t

y t

z

   

      

2: 2

1

x y z

   Phương trình đường thẳng d qua

điểm I cắt hai đường thẳng  1,

A. 1

1 1

x y z

 

 B.

1

x t

y t

z t

   

      

C. 1

1 1

x y z

 

 D.

1

1

2

x t

y t

z t

   

      

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1

2 1

x y z

d     ,

2

1

:

1

x y z

d     mặt phẳng

 

P :x y  2z 3 Gọi  đường thẳng

song song với

 

P cắt d d1, 2 hai điểm A B, cho AB  29 Phương trình tham số đường thẳng 

A :

3

x t

y t

z t

   

     

hoặc :

1 2

x t

y t

z t

  



  

   

B :

3

x t

y t

z t

   

     

C :

3

x t

y t

z t

   

     

D :

1 2

x t

y t

z t

  



  

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

2 1

x y z

d    



2

1 2

:

1

x y z

d     

 Gọi  đường thẳng song song với

 

P x y z:    0 cắt d d1, hai điểm A B, choAB ngắn Phương trình

của đường thẳng 

A.

12

5

9

x t

y

z t

  

  

   

B

5

9

x t

y

z t

     

   

  



C

5

9

x

y t

z t

    

    

  



D.

6

9

x t

y t

z t

     

  

 

  

 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

1

x y z

  

2

2 1

:

2 1

x y z

hai đường thẳng  1; A B, cho AB ngắn Phương trình

đường thẳng d

A.x  1 y 2 z B. 2

2 1

x y z

 

C x    1 y z D. 2

2 1

x y z

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2,

2 1

x y z

d     mặt phẳng

 

P : 2x y z   5 0 M



1; 1;0



Đường thẳng  qua điểm M, cắt d tạo với

 

P góc 300 Phương trình đường thẳng  là.

A. 2

1

x y z  



4

5

x y z

 

B. 2

1

x y z  



4

5

x y z

 

C. 1

1

x y z

 



1

23 14

x y z

 



D. 2

1

x y z  



4

5

x y z

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A



3; 1;1



, nằm mặt phẳng

 

P :x y z   0 , đồng thời tạo với :

1 2

x y z

   góc 450 Phương

trình đường thẳng d

A.

3 15

x t

y t

z t

   

  

   

B.

1

x t

y t

z    

  

  

C.

3 15

x t

y t

z t

   

  

   

D.

3 1

x t

y t

z    

  

  

3 15

x t

y t

z t

  



  

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm A



1; 1;2



, song song với

 

P : 2x y z   3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1

1 2

x y z

  

 góc lớn Phương trình đường thẳng d

A. 1

1

x y z

 

 B.

1

4

x y z

 



C. 1

4

x y z

  D. 1

1

x y z

 

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A 



1;0; 1



, cắt

1

1 2

:

2 1

x y z

  

 , cho góc d

3

:

1 2

x y z

  

 nhỏ

nhất Phương trình đường thẳng d

A. 1

2

x y z  

 B

1

4

x y z  

 C.

1

4

x y z

 

  D.

1

2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng 1: x t

d y t

z t

  

  

   

2

2 :

1 3

x y z

d   

 

1 1

:

5

x y z

d      Gọi  đường thẳng cắt d d d1, ,2

lần lượt điểm A B C, , cho ABBC Phương trình đường thẳng 

A. 2

1 1

x y z

  B.

1 1

x y z

  C

1 1

x y z

 

 D.

3

1 1

x y z

 

D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 8.4

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

B D D C A A C A A D A B A C D A A B

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :

2 3

x t

y t

z t

   

      

d’:

6 ' ' '

x t

y t

z t

   

      

Xét

mệnh đề sau:

(V) d qua A(2 ;3 ;1) có véctơ phương a



2;2;3



(VI) d’ qua A’ (0;-3;-11) có véctơ phương a ' 2;2;9





(VII) a a ' không phương nên d khơng song song với d’ (VIII)Vì               a a; '  AA ' 0 nên d d’ đồng phẳng chúng cắt nhau Dựa vào phát biểu trên, ta kết luận:

A Các phát biểu (I), (III) đúng, phát biểu (II), (IV) sai. B Các phát biểu (I), (II) đúng, phát biểu (III), (IV) sai. C Các phát biểu (I) đúng, phát biểu (II), (III), (IV) sai. D Các phát biểu (IV) sai, phát biểu lại đúng.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d có phương trình tham số

2

x t

y t

z t

  

  

   

Phương trình tắc đường thẳng dlà?

A.x 2  y z B.

1

x y z

 



C.

1

x y z

 

  D.

2

1

x y z

 

 Hướng dẫn giải

Cách 1:

d qua điểm A



2;0; 1



có vectơ phương a  d



1; 3;5



Vậy phương trình tắc d

1

x y z

 

 Cách 2:

2

3

3

1 1

5

x t

x t

y

y t t

z t z

t



    

 

 

  

 

    

  

 



Vậy phương trình tắc d

1

x y z

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  có phương trình tắc

3

2

x y z

 

 Phương trình tham số đường thẳng  là?

A.

3

x t

y t

z t    

  

  

B.

2 3

x t

y t

z t    

  

  

C.

3

x t

y t

z t   

      

D.

3

x t

y t

z t   

       Hướng dẫn giải

Cách 1:

 qua điểm A



3; 1;0



có vectơ phương a  



2; 3;1



Vậy phương trình tham số 

3

x t

y t

z t    

  

   Cách 2:

3

3 1

2 3

1 x

t

x y z y

t t

z t  

 



   

     

  

   

Vậy phương trình tham số 

3

x t

y t

z t    

  

  

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng :

2

x y z

d     

 Đường

thẳng d qua điểm M có vectơ phương a d có tọa độ là: A.M



2; 1;3 ,



a d  



2;1;3



B M



2; 1; , 



ad 



2; 1;3 





C.M



2;1;3 ,



a d 



2; 1;3 



D M



2; 1;3 ,



ad 



2; 1;  



 Hướng dẫn giải

d qua điểm M 



2;1;3



có vectơ phương a  d



2; 1;3



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng

2

:

1

x t

d y t

z t

   

  

   

Đường thẳng d

đi qua điểm M có vectơ phương a d có tọa độ là:

A.M



2; 2;1 ,



a d 



1;3;1



B M



1; 2;1 ,



a  d



2;3;1





C.M



2; 2; , 



a d 



1;3;1



D M



1; 2;1 ,



a d



2; 3;1 





Hướng dẫn giải

d qua M 



2;2;1



có vectơ phương a  d



1;3;1



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M 



2;3;1



có vectơ phương



1; 2;2



A.

3

x t

y t

z t

   

  

   

B.

1 2

x t

y t

z t

   

  

   

C.

1 2

x t

y t

z t

   

  

   

D.

2

x t

y t

z t

  

        Hướng dẫn giải

Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M 



2;3;1



có vectơ

chỉ phương a 



1; 2;2



2 2

x t

y t

z t

  

       

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình tắc  đường thẳng qua hai điểm A



1; 2;5



và B



3;1;1



?

A.

2

x y z

 

 B.

3 1

1

x y z

 



C.

2

x y z

 

 D.

1

3 1

x y z

 

Hướng dẫn giải

đi qua hai điểmAvà B nên có vectơ phương AB 



2;3; 4



Vậy phương trình tắc 

2

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC có



1;3;2 ,





2;0;5 ,





0; 2;1



A  B C  Phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC

A.

2

x y z

 

  B

1

2

x y z

 



C.

2

x y z

 

 D.

2

1

x y z

 

 Hướng dẫn giải

M trung điểm BC M



1; 1;3



AM qua điểm A 



1;3;2



có vectơ phương AM 



2; 4;1



Vậy phương trình tắc AM

2

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác , ABC với



1;4; ,





2;4;3 ,





2;2; 1



A  B C  Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với BC

A.

4

1 x

y t

z t

  

  

   

B.

1 x

y t

z t

  

      

C

4

1 x

y t

z t

  

  

   

D.

1

4

1 x

y t

z t

  

  

   

Hướng dẫn giải

Gọi d đường thẳng cẩn tìm.



0; 2; 4



2 0;1;2





BC 









Vì d song song với BC nên d có vectơ phương

a 



d



0;1;2



Vậy phương trình tham số d

4 x

y t

z t

  

  

   

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M



1;3;4



song song với trục hoành

A.

3

x t

y y

   

    

B.

3

x

y t

y

  

     

C.

3

x y

y t

  

     

D.

1

x y

y t

  

      Hướng dẫn giải

Gọi d đường thẳng cẩn tìm

Vì dsong song với trục hồnh nên d có vectơ phương a d   i



1;0;0



d qua M



1;3;4



có vectơ phương a d

Vậy phương trình tham số d

3

x t

y y

   

    

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 :

3

x t

d y t

z t

   

 

   

Phương trình

chính tắc đường thẳng  qua điểm A



3;1; 1



song song với d là

A. 1

2

x y z

 

 B.

3 1

2

x y z

 



C. 2

3 1

x y z

 

 D.

2

3 1

x y z

 

 Hướng dẫn giải

d có vectơ phương a   d



2;1; 2



Vì  song song với d nên  có vectơ phương a ad  



2;1;2



                           

 qua điểm A



3;1; 1



có vectơ phương a  



2;1;2





Vậy phương trình tắc  1

2

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng :

2

x y z

d     

 Phương

trình tham số đường thẳng  qua điểm M



1;3; 4



song song với d

A.

1

x t

y t

z t

  



  

   

B.

1

x t

y t

z t

  



  

   

C.

1

x t

y t

z t

  



  

   

D.

1

3

4

x t

y t

z t

   

  

   

Hướng dẫn giải

d có vectơ phương a  d



2; 1;3



Vì  song song với d nên  có vectơ phương a ad 



2; 1;3



                           

Vậy phương trình tham số 

1

4

x t

y t

z t

   

  

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng

 

P : 2x y z   0 Phương trình tắc của đường thẳng  qua điểm M 



2;1;1



vng góc với

 

P là

A. 1

2 1

x y z

 

 B.

2 1

2 1

x y z

 



C. 1

2 1

x y z

  D. 1

2 1

x y z

 

 

Hướng dẫn giải

 

P có vectơ pháp tuyến n  P



2; 1;1



Vì  vng góc với

 

P nên d có vectơ phương a nP 



2; 1;1



                           

 qua điểm M 



2;1;1



có vectơ phương a



Vậy phương trình tắc  1

2 1

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 :x 2y2z 0 Phương trình tham số đường thẳng d qua A



2;1; 5



vng góc với

 



A.

2

x t

y t

z t

  



  

   

B.

2

x t

y t

z t

  



  

   

C. 2

5

x t

y t

z t

   

  

   

D.

1 2

x t

y t

z t

   

  

    Hướng dẫn giải

 

 có vectơ pháp tuyến n 



1; 2;2





Vì d vng góc với

 

 nên d có vectơ phương a d  n 



1; 2; 2



d qua A



2;1; 5



có vectơ phương a   d



1; 2;2



Vậy phương trình tham số d 2

5

x t

y t

z t

  

   

   

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz,phương trình đường thẳng  qua điểm



2; 1;3



A  vng góc với mặt phẳng



Oxz là.



A.

x

y t

z

  

     

B.

x

y t

z

  

     

C.

1

x

y t

z

  

  

  

D

1

x t

y

z t

  

       Hướng dẫn giải



Oxz



có vectơ pháp tuyến j 



0;1;0



Vì  vng góc với



Oxz



nên  có vectơ phương a  j



0;1;0



                           

 qua điểm A



2; 1;3



có vectơ phương a 

Vậy phương trình tham số 

1

x

y t

z

  

  

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có



2;1; ,





4; 1;1 ,





0; 3;1



A  B  C  Phương trình d qua trọng tâm tam giác

ABC vng góc với mặt phẳng



ABC là



A.

1

x t

y t

z t

   

  

  

B.

2

x t

y t

z t

  



  

  

C. 2

2

x t

y t

z t

   

     

D.

2

x t

y t

z t    

      Hướng dẫn giải

Gọi Glà trọng tâm ABC, ta có G



2; 1;0



Gọi a d vectơ phương d









2; 2;3

2; 4;3

AB

AC

 

  









d d ,



6; 12; 12



1; 2; 2





d

a AB d AB

d ABC a AB AC

d AC a AC

  

   

             

 

 

                           

    

d qua G



2; 1;0



có vectơ phương a  d



1; 2; 2 



Vậy phương trình tham số d

1 2

x t

y t

z t

   

  

  

(ĐH D2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A



1;4;2



và



1;2;4



B  Phương trình d qua trọng tâm OAB vng góc với mặt

phẳng



OAB là



A. 2

2 1

x y z

 

 B.

2

2 1

x y z

 



C. 2

2 1

x y z

  D. 2

2 1

x y z

 

Hướng dẫn giải

Gọi Glà trọng tâm OAB , ta có G(0;2;2)









1;4;2

1;2;4

OA

OB



 





Gọi ad



vectơ phương d





d d ,



12; 6;6



2; 1;1





d

a OA

d OA

d OAB a OA OB

d OB a OB

  

   

           

 

 

                           

    

Vậy phương trình d 2

2 1

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có



0;1;2 ,





2; 1; ,





2; 3; 3



A B    C   Đường thẳng d qua điểm B vng góc

với mặt phẳng



ABC Phương trình sau khơng phải phương trình



đường thẳng d

A.

2 2

x t

y t

z t

  



  

   

B.

2 2

x t

y t

z t

  



  

   

C.

2 18 12

x t

y t

z t

  



  

   

D.

2 2

x t

y t

z t

  



  

Hướng dẫn giải









2; 2;

2; 4;

AB

AC

   

  





Đường thẳng d qua điểm B   



2; 1; 2



có vectơ phương





, 6; 18;12 6(1;3; 2) d

a AB AC        

                                      

Đáp án sai câu A

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng  qua điểm



2;1; ,



M  đồng thời vng góc với hai vectơ a 



1;0;1



và b 



4;1; 1



A.

1

x y z

 

 B.

2

1

x y z

 



C.

1

x y z

 

  D.

1

2

x y z

 

 Hướng dẫn giải

 qua điểm M



2;1; ,



có vectơ phương a a b,   



1;5;1



 

                                         

Vậy phương trình tắc 

1

x y z

 



(ĐH B2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A



1; 1;1 , 



B



1;2;3



và đường thẳng :

2

x y z

  

 Phương trình đường thẳng qua điểm A, đồng thời vng góc với hai đường thẳng AB 

A.

1 1

x y z

 

 B.

1 1

7

x y z

 

C. 1

7

x y z

 

 D.

1 1

7

x y z

 

Hướng dẫn giải

Gọi d đường thẳng cần tìm có vectơ phương ad





2;3; 2



AB  



 có vectơ phương a  



2;1;3









; 7;2;4

d

d d

a AB d AB

a AB a

d a a 



 



   

   

   

  

 

                           

    

Vậy phương trình tắc d 1

7

x y z

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

2

:

2

x y z

d    



2

1

:

5

x t

d y t

z t

   

      

Phương trình đường thẳng  qua điểm A



2;3; 1



vng

góc với hai đường thẳng d d1,

A.

8

7

x t

y t

z t

  

   

   

B.

2 3

1

x t

y t

z t

   

  

   

C.

2

3

1

x t

y t

z t

  



  

   

D.

2

3

1

x t

y t

z t

  



  

1

d có vectơ phương a 1



2;3; 1





2

d có vectơ phương a 2



1; 2; 2 





Gọi a  vectơ phương 





1

1

2 2

; 8;3;

d a a

a a a

d a a



 



  

   

     

   

  

 

                           

    

Vậy phương trình tham số 

2 3

x t

y t

z t

   

  

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P : 2x y 2z1 0 đường

thẳng :

2

x y z

  

 Phương trình đường thẳng d qua điểm B



2; 1;5



song song với

 

P vng góc với  là

A.

5

x y z

 

 B.

2

5

x y z

 



C.

5

x y z

 

  D.

5

2

x y z

 

 Hướng dẫn giải

 có vectơ phương a 



2; 1;3





 

P có vectơ pháp tuyến n P



2;1;2



Gọi ad



vectơ phương d

 





/ /

; 5;2;4

d P

d P

d

a n

d P

a a n

d a a 

 

 

 

    

   

  

 

                           

    

Vậy phương trình tắc d

5

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

 :x 2y2z 3

 

 : 3x 5y 2z1 0 Phương trình đường thẳng d qua điểm M



1;3; 1



, song song với hai mặt phẳng

   

 , 

A.

1 14

1

x t

y t

z t

   

  

   

B.

1 14

1

x t

y t

z t

  

   

   

C.

1

x t

y t

z t

  

       

D.

1

x t

y t

z t

  

        Hướng dẫn giải

 

 có vectơ pháp tuyến n  



1; 2;2



 

 có vectơ pháp tuyến n  



3; 5; 2 



d qua điểm M



1;3; 1



có vectơ phương ad               n n,  



14;8;1



Vậy phương d

1 14

1

x t

y t

z t

   

  

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 : 2x y 2z 0 Phương trình đường thẳng d qua điểm A



2; 3; 1 



, song song với hai mặt phẳng

A.

3

x t

y

z t

   

 

   

B.

3

x

y t

z t

  

  

   

C.

3

x

y t

z t

  

  

   

D. 2

x t

y t

z t

  

       Hướng dẫn giải

 

 có vectơ pháp tuyến n  



2; 1;2





Oyz có vectơ pháp tuyến



i 



1;0;0



d qua điểm A



2; 3; 1 



có vectơ phương ad               n i,  



0;2;1



Vậy phương d

3

x

y t

z t

  

  

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d giao tuyến hai mặt phẳng

 

 :x 3y z 0

 

 :x y z    4 0 Phương trình tham số đường thẳng d

A.

2

x t

y t

z t

   

     

B.

2

x t

y t

z t

  

  

   

C.

2

x t

y t

z t

   

 

   

D.

2 2

x t

y t

z t

  

       Hướng dẫn giải

Cách 1:

Đặt yt, ta có

4 2

x z t x t

x z t z t

   

 



 

    

 

Vậy phương trình tham số d

2

2

x t

y t

z t

  

       Cách 2:

Tìm điểm thuộc d, cách cho y 0

Ta có hệ



2;0;2



4

x z x

M d

x z z

  

 

   

 

  

 

 

 có vectơ pháp tuyến n 



1; 3;1





 

 có vectơ pháp tuyến n 



1;1; 1





d có vectơ phương ad n n;  



2;2;4



 

                                         

d qua điểm M 



2;0;2



có vectơ phương a d

Vậy phương trình tham số d

2

2

x t

y t

z t

  

      

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng

 

 :x 2y z  1 0

 

 : 2x2y 3z 0 Phương trình đường thẳng

d qua điểm (1; 1;0)M  song song với đường thẳng  là

A. 1

8

x y z

  B. 1

8

x y z

 

C. 1

8

x y z

  D.

1

x y z

 

 

 có vec tơ pháp tuyến n  



1; 2; 1 



( ) có vec tơ pháp tuyến n  



2; 2; 3



d qua điểm (1; 1;0)M  có vectơ phương ad               n n,  



8;1;6



Vậy phương trình d 1

8

x y z

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

d    

 Phương trình đường thẳng  qua điểm A



2; 1; , 



vuông góc với trục Ozvà d

A.

1

x t

y t

y

   

  

  

B.

2

3

x t

y t

y

  

      

C.

2

x t

y t

y

  

     

D.

2

x t

y t

y

   

  

   Hướng dẫn giải

Ozcó vectơ phương k 



0;0;1



d có vectơ phương a  d



2;1; 2



 qua điểm A



2; 1; , 



có vectơ phương a k a, d  



1;2;0



                                         

Vậy phương 

1

x t

y t

y

   

  

  

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P : 2x 3y5z 0 Phương trình đường thẳng  qua điểm A 



2;1; ,



song song với

 

P vng góc với trục tung

A.

2

1

3

x t

y

y t

  

  

   

B.

2

1

3

x t

y

y t

  

  

   

C.

2

1

3

x t

y t

y t

  

   

   

D.

2

1

3

x t

y

y t

  

  

   

Hướng dẫn giải

Oy có vectơ phương j 



0;1;0



 

P có vectơ pháp tuyến n  P



2; 3;5



 qua điểm A 



2;1; ,



có vectơ phương a               j n, P 



5;0; 2



Vậy phương 

2

3

x t

y

y t

  

  

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  

S : x 1



2



y2



2



z 3



2 9 Phương trình đường thẳng d qua tâm mặt cầu

 

S , song song với

 

 : 2x2y z  0 vng góc với đường thẳng :

3 1

x y z

  



A.

2

x t

y t

z t

   

  

   

B.

1

3

x t

y t

z t

  

   

   

C.

2

x t

y t

z t

   

  

   

D.

1

x t

y t

z t

   

  

    Hướng dẫn giải

 có vectơ phương a 



3; 1;1





 

 có vectơ pháp tuyến n  



2;2; 1



d qua điểm I



1; 2;3



có vectơ phương ad               a n,   



1;5;8



Vậy phương d

2

x t

y t

z t

   

  

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

   

  

   

Hình chiếu

vng góc d lên mặt phẳng



Oxy



có phương trình là.

A

1

x t

y t

z    

  

  

B.

1

1

0

x t

y t

z

  



  

  

C.

1

1

0

x t

y t

z

  

      

D.

0 x

y t

z   

  

   Hướng dẫn giải

Cho z 0, phương trình d'

1

x t

y t

z    

  

  

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t

   

  

   

Hình chiếu

vng góc d lên mặt phẳng



Oxz



có phương trình là.

A.

1

0

3

x t

y

z t

  

      

B. 0

x y

z t

  

     

C.

1

x t

y

z t

   

     

D.

1

3

x t

y

z t

   

 

   

Hướng dẫn giải

Cho y 0, phương trình d lên mặt phẳng



Oxz



1

x t

y

z t

   

     

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 1,

4

x y z

d      mặt

thẳng

 

P : 3x5y z  0 Gọi d'là hình chiếu d lên

 

P Phương trình tham số d' là

A.

62 25 61

x t

y t

z t

  

     

B.

62 25 61

x t

y t

z t

  

     

C.

62 25 61 x t

y t

z t

  

 

   

D.

62 25 61

x t

y t

z t

  

      Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi A d 

 

P





 





12 ;9 ;1 0;0;

A d A a a a

A P a A

    

d qua điểm B



12;9;1



Gọi H hình chiếu B lên

 

P

 

P có vectơ pháp tuyến n  P



3;5; 1



BH qua B



12;9;1



có vectơ phương a BHnP 



3;5; 1







 

12

:

1

12 ;9 ;1

78 186 15 113

; ;

35 35 35

186 15 183

; ;

35 35

x t

BH y t

z t

H BH H t t t

H P t H

AH

 

 

  

   

    

 

      

 

 

  

 



'

d qua A



0;0; 2



có vectơ phương a d'



62; 25;61





Vậy phương trình tham số d'

62 25 61

x t

y t

z t

  

 

   

Cách 2:

 Gọi

 

Q qua d vng góc với

 

P

d qua điểm B



12;9;1



có vectơ phương a  d



4;3;1



 

P có vectơ pháp tuyến n  P



3;5; 1



 

Q qua B



12;9;1



có vectơ pháp tuyến n Q               a nd, P  



8;7;11



 

Q : 8x 7y11z 22 0

 d' giao tuyến

 

Q

 

P

Tìm điểm thuộc d', cách cho y 0 Ta có hệ



0;0; 2



'

8 11 22

x z x

M d

x z y

  

 

   

 

  

 

'

d qua điểm M



0;0; 2



và có vectơ phương ad               n nP; Q 



62; 25;61



Vậy phương trình tham số d'

62 25 61

x t

y t

z t

  

 

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t

   

  

   

Hình chiếu song

song d lên mặt phẳng



Oxz



theo phương :

1 1

x y z

  

  có phương

trình là:

A

3

x t

y

z t

   

     

B.

0

x t

y

z t

   

     

C

1

0

5

x t

y

z t

  

      

D

3

x t

y

z t

   

Giao điểm d mặt phẳng



Oxz



: M0(5;0;5)

Trên

1

:

3

x t

d y t

z t

   

  

   

chọn M không trùng với M0(5;0;5); ví dụ:

(1; 2;3)

M  Gọi A hình chiếu song song M lên mặt phẳng



Oxz



theo

phương :

1 1

x y z

  

 

+/ Lập phương trình d’ qua M song song trùng với

1

:

1 1

x y z

  

 

+/ Điểm A giao điểm d’



Oxz



+/ Ta tìm A(3;0;1)

Hình chiếu song song

1

:

3

x t

d y t

z t

   

  

   

lên mặt phẳng



Oxz



theo phương

1

:

1 1

x y z

  

  đường thẳng qua M0(5;0;5) A(3;0;1) Vậy phương trình là:

3

x t

y

z t

   

     

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1

1

x y z

d     



2

1

:

1

x t

d y t

z t

   

  

   

Phương trình đường thẳng nằm

 

 :x2y 3z 0

cắt hai đường thẳng d d1, là:

A.

5 1

x y z

 

 B.

3

5 1

x y z

 

 

C.

5 1

x y z

 

  D.

8

1

x y z

 

 Hướng dẫn giải

Gọi d đường thẳng cần tìm

 Gọi A d 1

 







 





1 ;1 ;1

1 3; 2;

A d A a a a

A  a A

    

     

 Gọi B d 2

 







 





2 ; ;

1 2; 1;

B d B b b b

B  b B

             

 d qua điểm A



3; 2; 1 



có vectơ phương AB  



5;1; 1





Vậy phương trình tắc d

5 1

x y z

 

(ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

2

:

1 1

x y z

  

 mặt phẳng

 

P x: 2y 3z 4 Phương trình tham số đường thẳng d nằm

 

P , cắt vng góc đường thẳng  là:

A.

1 3

x t

y t

z t

   

  

   

B.

3

1

1

x t

y t

z t

  

       

C.

3

x t

y t

z t

  

       

D.

3

x t

y t

z t

  

        Hướng dẫn giải

Gọi M  

 

P



;2 ;



M   M  t  t t

 



3;1;1



M P  t  M 

 

P có vectơ pháp tuyến n  P



1;2; 3



 có vectơ phương a  



1;1; 1



Có





( )

, 1; 2; d P

d P d

d P a n

a n a

d a a 



   

 

    

  

                                

    

d qua điểm M 



3;1;1



có vectơ phương a d

Vậy phương trình tham số d

3

x t

y t

z t

  

       

(ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

2

:

2 1

x y z

d     



1 1

:

1

x y z

d     

 Phương trình đường thẳng  qua điểm A



1;2;3



vng góc với d1 cắt d2 là:

A.

1

x y z

 

  B.

1

1

x y z

 

 

C.

1

x y z

 

 D.

1

1

x y z

 

 

Hướng dẫn giải Gọi B d2









2 ;1 ;

;2 1;

B d B t t t

AB t t t

     

   



1

d có vectơ phương a 1



2; 1;1





1

1

d AB a

AB a t

   

 

                               

 qua điểm A



1;2;3



có vectơ phương AB   



1; 3; 5





Vậy phương trình 

1

x y z

 

(ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

3

:

1

x t

d y t

z t

  

   

   

Phương trình tắc đường thẳng qua điểm A  



4; 2;4



, cắt vng góc với d là:

A.

4

x y z

 

  B.

4

3

x y z

 



C. 4

3

x y z

 

  D.

4

3

x y z

 

 Hướng dẫn giải

Gọi  đường thẳng cần tìm Gọi B d









3 ;1 ; ;3 ;

B d B t t t

AB t t t

      

    



d có vectơ phương a  d



2; 1;4



d

d

d AB a

AB a t

   

 

                               

 qua điểm A  



4; 2;4



có vectơ phương AB 



3;2; 1





Vậy phương trình  4

3

x y z

 



(ĐH A2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 3

:

1

x y z

d     

 mặt phẳng

 

P : 2x y  2z 9 Gọi A giao điểm d

 

P Phương trình tham số đường thẳng  nằm

 

P , qua điểm A vng góc với d là:

A.

1 x

y t

z t

  

  

   

B.

x t y z t

  

    

C.

4 x t y

z t

  

 

   

D.

1

x t

y z t

   

     Hướng dẫn giải

Gọi A d 

 

P





 





1 ; ;3 0; 1;4

A d A t t t

A P t A

     

    

 

P có vectơ pháp tuyến n  P



2;1; 2



d có vectơ phương a   d



1;2;1



Gọi vecto phương  a  Ta có :





( )

, 5;0;5 P

P d d

P a n

a n a

d a a



 



    

 

  

  

                                

    

 qua điểm A



0; 1;4



có vectơ phương a 



5;0;5



Vậy phương trình tham số  x t y

z t

  

 

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A



1;2; 1



đường thẳng

3

:

1

x y z

d     Phương trình đường thẳng qua điểm A, cắt d song

song với mặt phẳng

 

Q x y z:    3 là:

A.

1

x y z

 

  B.

1

1

x y z

 

C.

1

x y z

 

 D.

1

1

x y z

 

 Hướng dẫn giải

Gọi  đường thẳng cần tìm Gọi B d









3 ;3 ;2 2;3 1;2

B d B t t t

AB t t t

   

   



 

Q có vectơ pháp tuyến n  Q



1;1 1



 

/ /

Q

Q

Q AB n

AB n t

  

 

   

 

 qua điểm A



1;2; 1



có vectơ phương AB   



1; 2; 1





Vậy phương trình 

1

x y z

 

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

3

x y z

  

2

1

:

1

x y z

   Phương trình đường thẳng song song với

3

:

4

x

d y t

z t

  

  

   

cắt hai đường thẳng  1; là:

A.

x

y t

z t

  

      

B.

2

x

y t

z t

  

  

   

C.

2

x

y t

z t

  

  

   

D.

2

x

y t

z t

  

  

    Hướng dẫn giải

Gọi  đường thẳng cần tìm Gọi A  1,B  2













1

1 ;2 ;1 ;2 ;

3 2; 2;

A A a a a

B B b b b

AB a b a b a b

      

     

         



d có vectơ phương a  d



0;1;1



/ /d AB a, d

 

 

phương  có số k thỏa AB ka d

3

2 2

2 2

a b a b a

a b k a b k b

a b k a b k k

       

  

  

                      

  

Ta có A



2;3;3 ;



B



2;2;2



 qua điểm A



2;3;3



có vectơ phương AB 



0; 1; 1 



Vậy phương trình  3

x

y t

z t

  

      

(ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

1

:

2 1

x y z

d    



1

:

3

x t

d y t

z

  

      

Phương trình đường thẳng vng góc với

 

P : 7x y  4z0 cắt hai đường thẳng d d là:1,

A.

2 1

x y z

  B.

7

x y z  



C.

7

x y z

 

  D.

2

7

x y z   Hướng dẫn giải

Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A d d B d d  1,  













1

2 ;1 ; 2 ;1 ;3

2 1; ;

A d A a a a

B d B b b

AB a b a b a

    

    

      



 

P có vectơ pháp tuyến n  P



7;1; 4



 

, p

d  P                AB n phương

 có số k thỏa AB kn p                            

2 2 1

0

5 4

a b k a b k a

a b k a b k b

a k a k k

        

  

  

           

       

  

d qua điểm A



2;0; 1



có vectơ phương a d  nP 



7;1 4



Vậy phương trình d

7

x y z  



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

1

x y z

d    

 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A



2;3; 1



cắt d B cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng

 

 :x y z   1 0

A.

1

x y z

 



B.

2 1

C.

2

x y z

 

 

D.

5

x y z

 

 

3

1

x y z

 

 Hướng dẫn giải





 





















1 ; 2 ;

3;6; , 1;3;

,

4 3; 6;4 , 5; 9;5

B d B t t t

B AB

t d B

t B AB



    

   

 



   

      

 





 qua điểm B có vectơ phương AB Vậy phương trình 

5

x y z

 

 

3

1

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng  qua điểm



2;2;1



A  cắt trục tung B cho OB2OA

A.

2

x y z

 

  B.

6

2

x y z

 



C.

5

x y z

 

  D.

6

2

x y z

 



6

2

x y z

 

 

Hướng dẫn giải





















0; ;0

0;6;0 , 2;4;

6

6 0; 6;0 , 2; 8; 1

B Oy B b

B AB

b

OB OA

b B AB

 

  

 

   

      

 





 qua điểm B có vectơ phương AB Vậy phương trình 

2

x y z

 



6

2

x y z

 

 

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm



1;1;2



B cắt đường thẳng :

1

x y z

d     

 C cho tam giác OBCcó

diện tích 83

A. 1

3

x y z

 

 

B.

2

x y z

 



C. 1

3

x y z

 

 

1

31 78 109

x y z

 



D. 1

31 78 109

x y z

 





















2 ;3 ;

2 ;3 ;

1;1;2

, 7; 5;1

2 3; 2;

1

, 4 31 78 109

2 ; ;

35 35 35 35

OBC

C d C t t t

OC t t t

OB

OB OC t t t

t BC

S OB OC

t BC



     

    



     

 

     



 

       

    

  





  

  



 qua điểm B có vectơ phương BC Vậy phương trình  1

3

x y z

 

 

1

31 78 109

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2

1 1

x y z

d     

 

2:

2

x t

d y

z t

  

 

   

Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng

1,

d d là.

A. 2

x t

y t

z t

   

      

B. 3

x t

y t

z t

   

      

C.

2

x t

y t

z t

  

       

D.

3

x t

y

z t

   

      Hướng dẫn giải

Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A d d B d1,  d2













1

2 ;1 ;2 ;3;

2; 2;

A d A a a a

B d B b b

AB a b a a b

    

   

      



1

d có vectơ phương a   1



1; 1; 1





2

d có vectơ phương a 2



1;0;1













1 1

2 2 2

0

2;1;2 ; 3;3;1

d d AB a AB a a

A B

d d AB a AB a b

 

   

   

   

   

    

  

                                                           

d qua điểm A



2;1;2



có vectơ phương a d  AB



1;2; 1



Vậy phương trình d 2

x t

y t

z t

   

      

(ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

: ,

2 1

x y z

d     mặt phẳng

 

P x y:   2z  A



1; 1;2



Đường thẳng

A. 1

2

x y z

  B. 1

2

x y z

 

C.

2

x y z

 

 D.

2

1

x y z

 

 Hướng dẫn giải



; ; 2



M d  M   t t t

A trung điểm MN  N



3 ; 2 t   t;2 t



 



3;2;4



N P  t  M

 qua điểm M



3;2;4



có vectơ phương a   AM 



2;3;2



Vậy phương trình  1

2

x y z

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1,

1

x y z

d     



mặt cầu

  

S : x1



2



y3



2



z1



2 29 A



1; 2;1



Đường thẳng  cắt d

 

S lần

lượt M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng 

A.

2

x y z

 



1

7 11 10

x y z

 



B.

2

x y z

 



1

7 11 10

x y z

 



C.

2

x y z

 



1

7 11 10

x y z

 



D.

2

x y z

 



1

7 11 10

x y z

 

 Hướng dẫn giải



2 ;1 ;1



M d  M t  t  t

A trung điểm MN  N



t; ;1  t t



 













2

1 4; 10;2 2;5;

6 14 20 10 14 22 20 2

; ; 7;11; 10

3 3 3

t MN

N S t t

t MN

       



        

     

  







 qua điểm A



1; 2;1



có vectơ phương a   MN

Vậy phương trình 

2

x y z

 



1

7 11 10

x y z

 



(ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P x:  2y2z 0 hai điểm A



3;0;1 , 1; 1;3



B







Trong đường thẳng đi qua A song song với

 

P , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ có phương trình

A.

26 11

x y z

 

 B.

2

26 11

x y z

 



C.

26 11

x y z

 

 D.

2

26 11

x y z

 

 Hướng dẫn giải

Gọi mặt phẳng

 

Q qua A 



3;0;1



song song với

 

P Khi đó:

 

Q x:  2y2z 1

Gọi K H, hình chiếu B lên , Q

 

Ta có d B



, 



BK BH Do AH đường thẳng cần tìm

 

Q có vectơ pháp tuyến n   Q



1; 2;2



BH qua B có vectơ phương a BHnQ 



1; 2;2







 

1

:

3

1 ; ;3

10 11

; ;

9 9

x t

BH y t

z t

H BH H t t t

H P t H

   

  

   

     

 

     

 

 qua điểm A 



3;0;1



có vectơ phương





26 11

; ; 26;11;

9 9

a AH    

 

                           

Vậy phương trình  : 26 11

x y z

  



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2 1

x y z

d     

 , mặt phẳng

 

P x y z:    2 0 Gọi M giao điểm d

 

P Gọi  đường thẳng nằm

 

P vng góc với d cách M khoảng 42 Phương trình đường thẳng 

A. 5

2

x y z

 



và

2

x y z

 



B. 5

2

x y z

 



C.

2

x y z

 



D.

2

x y z

 

2

x y z

 

Hướng dẫn giải Gọi M  d

 

P





 





3 ; ; 1 1; 3;0

M d M t t t

M P t M

      

    

 

P có vecttơ pháp tuyến n  P



1;1;1



d có vecttơ phương a  d



2;1; 1



 có vecttơ phương a a nd, P 



2; 3;1



  

                                      

Gọi N x y z



; ;



hình chiếu vng góc M , đó



1; 3;



MN x y z



Ta có:

 





2





2

2 11

2

1 42

42

MN a x y z

N P x y z

x y z

MN

 

     

 

     

 

 

    



 

                           

Giải hệ ta tìm hai điểm N



5; 2; 5 



N  



3; 4;5



Với N



5; 2; 5 



, ta có : 5

2

x y z

  



Với N  



3; 4;5



, ta có :

2

x y z

  



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I



1;1;2



, hai đường thẳng

1

3

:

4

x t

y t

z

   

      

2

:

1

x y z

   Phương trình đường thẳng d qua

điểm I cắt hai đường thẳng  1,

A. 1

1 1

x y z

 

 B.

1

x t

y t

z t

   

      

C. 1

1 1

x y z

 

 D.

1

1

2

x t

y t

z t

   

       Hướng dẫn giải

 Gọi

 

1 mặt phẳng qua I 1

 qua M1



3; 1;4



có vectơ phương a 1



1;2;0









1 2; 2;2

IM  



 

1 có vectơ pháp tuyến n1a IM1, 1 



4; 2; 6 



                                         

 Gọi



2



mặt phẳng qua I 2

 qua M 2



2;0;2



có vectơ phương a 2



1;1;2









2 3; 1;0

IM   





2



có vectơ pháp tuyến n2 a IM2, 2 



2; 6;2



                                         

 d qua điểm I



1;1;2



có vectơ phương ad n n1, 2  



40; 20; 20 



                                         

Vậy phương trình đường thẳng d

1 2

x t

y t

z t

   

      

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1

2 1

x y z

d     ,

2

1

:

1

x y z

d     mặt phẳng

 

P :x y  2z 3 Gọi  đường thẳng

A :

3

x t

y t

z t

   

     

hoặc :

1 2

x t

y t

z t

  



  

   

B :

3

x t

y t

z t

   

     

C :

3

x t

y t

z t

   

     

D :

1 2

x t

y t

z t

  



  

   

Hướng dẫn giải









1

1 ; ; ;2 ;

A d A a a a

B d B b b b

    

   

 có vectơ phương AB



b ;3 2a  b a b a ; 



 

P có vectơ pháp tuyến n  P



1;1; 2



Vì / / P

 

nên AB nP  b a  3.Khi AB 



a 3;a 3; 3



Theo đề bài:

















3;0;1 , 4; 2;

29

1 1; 2; , 2; 4; 3

A AB

a AB

a A AB

    

 

    

        

 





Vậy phương trình đưởng thẳng 

3

x t

y t

z t

  

      

1 2

x t

y t

z t

  



  

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

2 1

x y z

d    



2

1 2

:

1

x y z

d     

 Gọi  đường thẳng song song với

 

P x y z:    0 cắt d d1, hai điểm A B, choAB ngắn Phương trình

của đường thẳng 

A.

12

5

9

x t

y

z t

  

  

   

B

5

9

x t

y

z t

     

   

  



C

5

9

x

y t

z t

    

    

  



D.

6

9

x t

y t

z t

     

  

 

  

 Hướng dẫn giải









1

1 ; ; ; ;2

A d A a a a

B d B b b b

    

     

 có vectơ phương AB



b ;3a b a  2; 2 b a 4



 

P có vectơ pháp tuyến n  P



1;1;1



Vì / / P

 

nên AB nP               AB n P  0 b a  1.Khi AB 



a 1;2a 5;6 a







2





2





2

2

1

30 62

5 49

;

2 2

AB a a a

a a

a a

      

  

 

       

Dấu " " xảy 6; ;5 , 7;0;7

2 2 2

a  A   AB  

   



Đường thẳng  qua điểm 6; ;5 2 A  

  vec tơ phương u  d



1;0;1





Vậy phương trình là

5

x t

y

z t

     

   

  



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

1

x y z

  

2

2 1

:

2 1

x y z

   Đường thẳng d song song với

 

P x y:   2z 5 0 cắt hai đường thẳng  1; A B, cho AB ngắn Phương trình

đường thẳng d

A.x  1 y 2 z B. 2

2 1

x y z

 

C x    1 y z D. 2

2 1

x y z

 

Hướng dẫn giải Gọi A d  1,B d  2













 









1

2

1 ; 2 ; 2 ;1 ;1

2 3; 3;

/ /

5; 1;

2 27 3; P

A A a a a

B B b b b

AB a b a b a b

d P AB n b a

AB a a

AB a a

      

     

         

    

    

     



 





Dấu " " xảy a 2 A



1;2;2 ,



B



2; 1; 1 





3; 3; 3



AB    



d qua điểm A



1;2;2



có vectơ phương a  d



1;1;1



Vậy phương trình d x1 y 2 z

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2,

2 1

x y z

d     mặt phẳng

 

P : 2x y z   5 0 M



1; 1;0



Đường thẳng  qua điểm M, cắt d tạo với

 

P góc 300 Phương trình đường thẳng



A. 2

1

x y z  



4

5

x y z

 

B. 2

1

x y z  



4

5

x y z

C. 1

1

x y z

 



1

23 14

x y z

 



D. 2

1

x y z  



4

5

x y z

 

Hướng dẫn giải Gọi N  d



2 ; ;



N d  N  t t  t

 có vectơ phương MN  



1 ;1t   t; t



 

P có vectơ pháp tuyến n  P



2; 1; 1 



 





0 1;1

sin , 9 23 14 1

; ;

5 5

P

P

t MN

MN n d P

MN n t MN

    



 

 

    

    

  





 

  

 qua điểm M



1; 1;0



có vectơ phương a d  MN Vậy phương trình  1

1

x y z

 



1

23 14

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A



3; 1;1



, nằm mặt phẳng

 

P :x y z   0 , đồng thời tạo với :

1 2

x y z

   góc 450 Phương

trình đường thẳng d

A.

3 15

x t

y t

z t

   

  

   

B.

1

x t

y t

z    

  

  

C.

3 15

x t

y t

z t

   

  

   

D.

3 1

x t

y t

z    

  

  

3 15

x t

y t

z t

  



  

    Hướng dẫn giải

 có vectơ phương a  



1;2;2



d có vectơ phương a d 



a b c; ;



 

P có vectơ pháp tuyến n   P



1; 1;1



 

 

















 

0

2 2

2 2

;

, 45 cos , cos45

2 2

2

2 ; d P

d P a n b a c

d d

a b c

a b c

a b c a b c

     

    

 

 

 

     

                           

Từ

 

1

 

2 , ta có:14 30 0

15

c

c ac

a c

 

   

 



Với c 0, chọn a b 1, phương trình đường thẳng d

1

x t

y t

z    

  

  

Với 15a7c0, chọn a 7 c15;b8, phương trình đường thẳng d là

1 15

x t

y t

z t

  



  

   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm A



1; 1;2



, song song với

 

P : 2x y z   3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1

1 2

x y z

  

 góc lớn Phương trình đường thẳng d

A. 1

1

x y z

 

 B.

1

4

x y z

 



C. 1

4

x y z

  D. 1

1

x y z

 

 

Hướng dẫn giải

 có vectơ phương a  



1; 2;2



d có vectơ phương a d 



a b c; ;



 

P có vectơ pháp tuyến n  P



2; 1; 1 



Vì d/ /

 

P nên a d  nP               a nd P  0 2a b c   0 c2a b









2

2

2

5

cos ,

3

3

a b a b

d

a ab b

a ab b

 

  

 

 

Đặt t a b

 , ta có:









2

5

cos ,

3

t d

t t



 

 

Xét hàm số

 





2

5

5

t f t

t t

 

  , ta suy được:

 

1 max

5

f t f    

Do đó: max cos



,



1

27 5

a

d t

b

     

 

 

Chọn a 1 b5,c7

Vậy phương trình đường thẳng d 1

1

x y z

 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A 



1;0; 1



, cắt

1

1 2

:

2 1

x y z

  

 , cho góc d

3

:

1 2

x y z

  

 nhỏ

nhất Phương trình đường thẳng d

A. 1

2

x y z  

 B

1

4

x y z  

 C.

1

4

x y z

 

  D.

1

2

x y z   Hướng dẫn giải

Gọi M    d M



1 ;2 t  t; 2 t



d có vectơ phương a d  AM 



2t2;t2; 1  t



2

 có vectơ phương a  2



1;2;2









2

2

2 cos ;

3 14

t d

t t

 

Xét hàm số

 

2

6 14

t f t

t t



  , ta suy f t

 

f

 

0  0 t0 Do cos



,d



    0 t AM 



2;2 1



Vậy phương trình đường thẳng d 1

2

x y z  



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba đường thẳng 1:

1 x t

d y t

z t

  

  

   

2

2 :

1 3

x y z

d   

 

1 1

:

5

x y z

d      Gọi  đường thẳng cắt d d d1, ,2

lần lượt điểm A B C, , cho ABBC Phương trình đường thẳng 

A. 2

1 1

x y z

  B.

1 1

x y z

  C

1 1

x y z

 

 D.

3

1 1

x y z

 

 Hướng dẫn giải

Gọi A d B d C d 1,  2, 

Ta có: A a



;4 a; ,  a B b





;2 ; , b  b C





 1 ;1 ; 1c  c  c



Yêu cầu toán  A B C, , thẳng hàng AB BC

B

 trung điểm AC









1

4 2

0

1 2

a c b a

a c b b

c

a a c b

     

 

                 

 

Suy A



1;3;1 ,



B



0;2;0, ,



C 



1;1; 1



 qua điểm B



0;2;0,



có vectơ phương CB 



1;1;1





Vậy phương trình đường thẳng 

1 1

x y z