Bài tập có đáp án chi tiết về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp hàm số môn toán của thầy trần văn tỏ | Toán học, Lớp 10 - Ôn Luyện

[r]

tìm giá trị lớn giá trÞ nhá nhÊt

của biểu thức phng phỏp hm s

Trần Văn Tỏ

(GV tổ toán tin – trường thpt đức hợp, hưng n) Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nội dung quan trọng kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm Trong chuyên đề tập trung vào ý tưởng sử dụng tính chất hàm số để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến số Phương pháp tỏ mạnh, hiệu quả, chặt chẽ tỏ có đường lối với bài tốn mà biểu thức có tính đối xứng, hốn vị vịng quanh,

I/ PHƯƠNG PHáP GIảI TOáN

1/ Biến đổi số hạng biểu thức đại lượng giống 2/ Đưa vào ẩn phụ t cách đặt t đại lượng chung ging ú

3/ Tìm điều kiện ràng buộc cho biến t, giả sử t thuộc D

4/ Xét hàm số f(t), t thuộc D hình thành tốn tương đương sau:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hµm sè f(t), t thuéc tËp D

5/ Dùng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN hàm số f(t) với t thuộc D

II/ Y£U CÇU Kü NĂNG GIảI TOáN

1/ Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng (a;b) đoạn [a;b]

2/ nh lý Vi-ét đảo PT bậc 2: Nếu 2 

4

S P vµ x y S

xy P

   



x, y

3/ Biến đổi biểu thức đối xứng kết hợp giả thiết đưa việc đánh giá biểu thức việc khảo sát hàm số miền D

4/ Đặt vấn đề tương đương với toán biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình

NhËn xét:

Điểm mấu chốt cách giải tìm hàm số f(t) với t thuộc D vµ P = f(t)

Trong trường hợp khơng thể xây dựng trực tiếp hàm số f(t) thỏa mãn P = f(t) với t thuộc D ta tìm hàm số f(t) thỏa mãn P f t t , D vi bi

toán tìm GTNN hµm sè f(t) tháa m·n P f t t , D với toán tìm GTLN

IIi/ thÝ dơ minh häa

 Thí dụ 1: Cho số thực dương x y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ

nhÊt cña biÕu thøc   

3

1

P

a b ab

Bài giải:

Ta cú: a3b3a b 33ab a b   1 3ab Do đó:   

1

1

P

ab ab

Theo BĐT Cơ si ta có: xy24xy, Với mi s dng x, y

Đặt t = ab ab2 4ab nên 14 0

ab ab Vậy toán trở thành:

Tìm giá trị nhỏ hàm số       

  

1 1

, 0;

1

P f t t

t t

Với đạo hàm  

 



    

 2

3 3

'

6

f t t

t t

Lập bảng biến thiên hàm số f(t) trªn   

 

1 0;

4

t 3

6

f’(t) - +

f(t)

+ ∞



VËy gi¸ trị nhỏ hàm f(t) 42 t=3

Do MinP = 3 khi ,  1 3 ;1 3

2 3

x y

      

    

  

   

 

   

 

hc 1 3 ;1 3

2 3

      

      

   

 

   

 

B×nh ln:

 Biểu thức P có tính đối xứng với x,y

 Trong bµi nµy ta tìm hàm số f(t) cho biểu thức P = f(t) víi t thuéc D

 Thí dụ 2: Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x  y z Tìm giá trị nhỏ

nhÊt cđa biĨu thøc P x y z 1

x y z

 

(Câu IV, Đề thi TS CĐ Kinh tế Kỹ thuật Cần Thơ, Khối A, năm 2006)

Bài giải:

ỏp dng BT Cơ-si cho số dương x, y, z ta có:

3

1x  y z xyz 0 (1) vµ

3

1 1

3

x yz xyz  xyz  (2)

Dấu “=” xảy BĐT (1) (2) xyz Do ta có đánh giá sau:

1 1

P x y z

x y z

      3 xyz3 +

3

3

XÐt hµm sè f t  3t t

  víi , 0;1

3 t xyz t 

 

Ta cã:  

3

' 0, 0;

3

f t t

t

          

B¶ng biÕn thiên hàm số f t 3t t

nửa khoảng 0;1



 

 

t

f’(t) -

f(t)

+ ∞

10

VËy giá trị nhỏ f(t) 10 t =

3 hay P f t 10

Do MinP = 10

xy z

B×nh luËn:

 Biểu thức P có tính đối xứng hốn vị vịng quanh với số x, y, z

 Trong ta tìm hàm số f t 3t t

  cho biÓu thøc

 ,

P f t tD (víi bµi toán tìm GTNN) cách dùng BĐT véc-tơ

 Thí dụ 3: Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  y z Tìm giá trị nhỏ

nhÊt cđa biĨu thøc: P x2 12  y2 12  z2 12

x y z

(Câu V, Đề thi tuyển sinh Đại học, Khối A, năm 2003)

Bài giải:

Đánh giá P f t t , D cách dùng BĐT thức véc-tơ Với hai véc-tơ u v , bÊt kú ta cã: u v  u v

Dấu “=” xảy u v , hướng

Chän véc-tơ

    

 1  1  1

; , ; , ;

a x b y c z

x y z (chän số x, y, z

khác 0)

Ta cã:               

 

2

2 2

2 2

1 1 1

P x y z x y z

x y z x y z

áp dụng BĐT Cô-si cho số dương x, y, z ta có:

    

1 x y z xyz (1) vµ

3

1 1

3

xyz xyz  xyz  (2) Khi đó:

       

          

   

2

2

2 3

3

1 1

3

P x y z xyz

x y z xyz Đặt

 

 

2

3 , 0;1

9

t xyz t

 

     

 

9

9 , 0;

9

P t t

t

XÐt hµm sè f t 9t9

t víi

 

   0;

9

t Ta cã:        

 

2

9

' 0, 0;

9

f t t

t

Bảng biến thiên :

t

f’(t) -

f(t)

+ ∞

82

VËy gi¸ trị nhỏ f(t) 82 t =

9 hay P f t  82

Do MinP = 82

3 xy z

B×nh ln:

 BiĨu thøc P có tính chất hoán vị vòng quanh ẩn

Trong ta tìm hàm sè f t 9t9

t cho biÓu thøc

 ,

 ThÝ dô 4: Cho hai số thực khác không thỏa mÃn   2

3

xy xyx y xy Tìm giá trị lớn biểu thức A 13 13

x y

 

(Câu V, Đề thi tuyển sinh Đại học, Khối A, năm 2006)

Bài giải:

Đặt x y S

xy P

   



 víi ®iỊu kiƯn:

 

2 4 0

S P (*) Tõ gi¶ thiÕt  S, P 

Ta cã: SP = S2 – 3P  P = S S  

Tõ ®iỊu kiƯn (*), ta cã: S2 – 4P   S2 –



2

4S

S 3  S

2         S

S 



3   S

S  

3       S

S (*) (với S0 ) Khi đó, biểu thức trở thành:

A =

3

1



x y =

3 3



x y

x y =

2

3

(xy x)( y xy)

x y =

2 3

(xy) xy

x y =

2 2

(xy)

x y

 A =   

2 2         S S f S S

P , Víi S tháa ®iỊu kiÖn

3       S S

Ta cã: f S  S3 f' S   32 0

S S vµ

3       S S

Bảng biến thiên:

t - -3 +∞

f’(t) - -

f(t)

VËy < f(S) ≤ nªn < A ≤ 16

hay Giá trị lớn A 16 đạt x = y=

2

B×nh luËn:

 Biểu thức P có tính chất đối xứng ẩn

 Trong bµi nµy ta tìm hàm số f S S3

S vµ

 ,  ; 3 1; 

A f S S      (với toán tìm GTLN, Giá trị nhỏ nhất)

 Thí dụ 5: Cho x, y câc số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức

A = x12y2  x12y2  y2

Bài giải: Với hai véc-tơ u v , ta có: u  v  u v Dấu “=” xảy u v , cựng hng

Đặt véc-tơ a1x;y b,1x;y, ta cã:

x 12 y2 x 12 y2 1 x 1 x2  2y2

           DÊu b»ng x¶y

và véc-tơ hướng <=> 1- x = + x <=> x =

   

 

2 2 2

2

1 2

2 ,

A x y x y y y y

A y y f y y

            

       

Trường hợp 1:

Víi  

2 2

y  f y  y  y  

2

2

'

3

y

f y y

y

 

Bảng biến thiên:

y -∞

3

f’(y) - +

f(y)

+ ∞

2

Vậy giá trị nhỏ hàm số f(y) lµ 2 3khi y =

Trường hợp 2:

Víi y ≥  f(y) ≥ y ≥ > +

Kết luận: Giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A lµ 2 vµ chØ (x;y) =

(0;

3)

B×nh luËn:

 Biểu thức P có chứa tổng bậc hai biểu thức tổng bình phương nên đánh giá để tìm hàm số f(t) theo BĐT véc-tơ

 Trong bµi nµy ta tìm hàm số f(t) cho biểu thức P f t t , D (với

bài toán tìm GTNN) cách dùng BĐT véc-tơ

Có thể tìm hàm số f(y) phương pháp tọa độ mặt phẳng Oxy sau:

Chọn điểm M( 1-x; -y); N(1+x; -y) ta có: OM + ON ≥ MN Dấu “=” xảy - x = + x <=> x =

 Thí dụ 6: Cho x, y câc số thực dương thay đổi thỏa mãn: x + y = Tìm giá

trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc P =

1

x y

x  y

Bài giải:

áp dụng B§T sau: a b a b a, 0,b 0

b a    Tõ gi¶ thiÕt ta cã:

P = 1

1 1

x y x x

x x

x y x x



     

  

XÐt hµm sè f x  x 1x x,  0;1 , ta cã: '  1 , 0;1

2

f x x

x x

  



  1 1 

' 0 /

2

2

f x x t m

x x

     

Bảng biến thiên f x x 1x x,  0;1 :

x

f(x)

2

1

Vậy giá trị lớn f(x) khoảng (0;1) x =

Do giá trị nhỏ A x = y =

2 B×nh ln:

 Biểu thức P có tính đối xứng

 Trong bµi nµy ta tìm hàm số f(t) cho biểu thức P f t t , D (với

bài toán t×m GTNN)

 Trong cho x > 0, y > nên giá trị lớn f(x) khoảng (0;1) tương ứng với giá trị nhỏ biểu thức A (chỉ xác định cặp (x;y)

 Thí dụ 7: Cho a, b,c số thực dương đôi khác thuc [0;2] Tỡm

giá trị nhỏ cđa biĨu thøc P =

 2  2  2

1 1

a b b c c a

 

 

Bài giải:

Vì vai trò a, b, c nên không giảm tính tổng quát, giả sử: 0ab c

Khi ú:

 

 

2

2

1

0

4

c a c a

c a

       



(1)

Dấu = xảy BĐT (2) vµ chØ c - a =

Ta l¹i cã:    

   

2

2

1

0 2

2

c b b c b b

c b b

         

 

(2)

DÊu “=”x¶y BĐT (2) c =

Mặt khác:

2

2

1

0 b a b b a b

b b a

       



(3)

Cộng vế với vế tương ứng BĐT (1), (2), (3) ta có:

P =

 2  2  2  2  

1 1 1

, 0;2

2

b b

a b b c c a b

     

   

XÐt hµm sè  

 2  

1 1

, 0;2

2

f b b

b b

   



, f' b  0 b1

Bảng biến thiên:

b f’(b) - +

f(b)

+∞ +∞

Vậy giá trị nhỏ cđa f(b) lµ

4 vµ chØ b =

Do MinP =

4 víi bé sèa b c; ;  0;1;2 hoán vị

Thí dụ 8: Cho a, b,c số thực không âm thỏa a b c Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc P = a2abb2b2bcc2c2caa2

Bài làm:

Không giảm tổng quát ta có thĨ gi¶ sư: 0ab c

Ta cã:  

 

2 2

2 2

0

a a b a ab b b

a a c a ac c c



     

 



 

    

 

 

, suy ra:

   2

2 2 2

3

P b c b bc c b c  b c bc

        

 

KÕt hỵp víi gi¶ thiÕt 3

0

a b c

b c a b c b c

a b c

   

       



Mặt khác, theo BĐT Cô-si, lại có: bc b c 3nên 9 * bc

  

Do đó: 2 

9 ,0

4

P b c bc bc

XÐt hµm sè   92 3 ,3 0;9

4 f t  t  t t  

Khảo sát hàm số , ta có bảng biến thiên sau:

t -

4 +∞

f’(t) - + -

f(t)

12

0

3

9      

VËy giá trị lớn P 12 (a;b;c) = (0;1;2) hoán vị chúng

 ThÝ dơ 9: Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n: x2 + y2 + z2 =

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt biÓu thøc: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz

Bµi lµm: Ta có :

2 2

( )( )

       

P x y z x y z xy yz zx

2 2

2 2 ( )

( )

2

      

       

 

x y z x y z

P x y z x y z

2

2 ( ) ( )

( ) ( )

2

        

          

   

x y z x y z

P x y z x y z

+) Đặt x +y + z = t, t  6(Bunhiacovxki), ta được: ( )

2  

P t t t

+) P t'( )0  t 2, P( 6) = 0; P( 2) 2 2; P( 2)2

IV/ Bµi tËp lun tËp – rÌn kü giảI toán

1) Cho x, y l số thực không âm thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn

và giá trị nhỏ biểu thức P = 3x + 3y

2) Cho x, y số thực không âm thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn

và giá trị nhỏ biểu thức P =

1

x y

y   x 

3) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 2 s inx s in x + s inx +1 y 

4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

 6 9  6 9 

6

x m

x x x x (*)

5) Với giá trị m bất phương trình sin3x cos3x m,x Đáp số: m  1

6) Cho hai số thực x, y thay đổi , khác thỏa mãn

  2

x y xy x y xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3

1

P

x y

 

(Trích đề thi ĐH, CĐ năm 2006, Khối A)

7) Cho hai số a, b khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức

4 2

4 2

a b a b a b

M

b a b a b a

 

      

 

8) Cho hai số x, y thỏa mãn 2

1

x y xy  Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = x4 y4 x y2

9) Cho hai số x, y thỏa mãn 2

x xy y  Tìm GTLN, GTNN (nếu có)

biểu thức A = x2 25xy 9y2

10) Tìm GTNN biểu thức T = x 2y 122x my 52

(Dựa theo ý đề thi ĐH GTVT HN năm 2000)

11) Xác định m để phương trình x  9x  x2 9x m có nghiệm./