Ước lượng hợp lí cực đại

1. Phương pháp hợp lí cực đại Định nghĩa 1.1. Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f(x, ), Î U. Hàm L(X/ ) = f(X 1 , )f(X 2 , ) … f(X n , ) được gọi là hàm hợp lí. Định nghĩa 1.2. Thống kê được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của nếu L(X/ (X) L(X/ ) với mọi . *(X) = được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của hàm tham số t( ). Ø Trường hợp một tham số. Để tìm ước lượng hợp lí cực đại, ta có thể sử dụng phương pháp tìm cực đại hàm L(X/ ) mà chúng ta đã từng quen biết. Ta biết rằng để cho hàm L(X/ ) có cực trị địa phương tại = điều kiện cần là . Giải phương trình này, tìm các nghiệm của nó sau đó ta xét dấu của đạo hàm hạng nhất hay hạng hai để tìm cực đại hàm L(X/ ). Ví dụ 1.3. Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối Poisson với tham số > 0. Tìm ước lượng hợp lí cực đại của . Giải. Phân phối của X i là P[X i = x i ] = ; x i = 0, 1, 2,… Hàm hợp lý => lnL(X, ) = (ln ) - n - ln => Vậy nếu => Ta lại có " . Vậy tại thì tức là hàm L(X, ) đạt cực đại. Từ đó suy ra là ước lượng hợp lý cực đại của . Ø Trường hợp tham số là một vectơ = ( 1 ,…, r ) Làm tương tự như trường hợp 1 tham số. Ta giải hệ phương trình (*) Giải hệ này ta tìm được Đặt . Nếu ma trận là xác định không âm thì tại = 0 hàm hợp lí L(X, ) đạt cực đại. Ví dụ 1.4. Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối chuẩn N(a; 2 ). Tìm ước lượng hợp lí cực đại của (a; 2 ). Giải. Ta có => Lnf(X i , a, 2 ) = => và Thay vào hệ (*) ta có => là ước lượng hợp lí cực đại của (a; 2 ). 2. Ước lượng khoảng Định nghĩa 2.1. Khoảng ( 1 (X), 2 (X)) được gọi là khoảng ước lượng của tham số với độ tin cậy 1 - nếu P[ 1 (X) < < 2 (X)] = 1- . Khoảng ( 1 (X), 2 (X)) được gọi là khoảng tin cậy. Giá trị 1- gọi là độ tin cậy. Hiệu 1 - 2 gọi là độ chính xác của ước lượng. Chú ý: Thông thường người ta chọn ( 1 , 2 ) sao cho là nhỏ nhất. a. Khoảng ước lượng của xác suất p trong phân phối nhị thức Giả sử k là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli. Giả thiết xác suất biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử là p. Xét xác suất; . với 1 - là độ tin cậy cho trước. Biến đổi ở vế trái của đẳng thức trên ta có Đặt x = và thay ở biểu thức dưới căn bậc hai p bằng thì (1) Mặt khác, theo Định lí Laplace ta có Trong đó Suy ra Từ đó ta có . Vậy nếu cho ta tính được và tra bảng phân phối chuẩn N(0;1) ta tìm được x . Từ (1) ta có . Biến đổi suy ra khoảng ước lượng cho p là Ví dụ 2.2. Trong đợt vận động bầu cử, phỏng vấn 1600 cử tri được biết 960 người trong số đó sẽ bỏ phiếu cho ứng cử viên A. Với độ tin cậy 95% , tối thiểu ứng cử viên A sẽ chiếm được bao nhiêu phần trăm phiếu. Giải. Ta có = và x =1,96. Thay vào công thức trên ta có Vậy với độ tin cậy 95%, tối thiểu ứng cử viên A chiếm được 57% số phiếu bầu của cử tri A. b. Khoảng ước lượng của kỳ vọng a trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a; 2 ). Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a; 2 ). • Trường hợp đã biết Xét xác suất P với 1 - là độ tin cậy đã cho. Ta có (2) Vì X 1 , X 2 ,…, X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn như nhau dạng N(a; 2 ) nên cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng E( ) = a và phương sai . Vì vậy có phân phối chuẩn kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1. Nếu đặt thì từ (2) ta suy ra và từ đó . Giải ta nhận được khoảng ước lượng của a là • Trường hợp chưa biết. Tương tự như trường hợp trên ta xét xác suất . Biến đổi vế trái (3) trong đó . Ta đã biết là độc lập với nhau; có phân phối chuẩn dạng N(0;1) và có phân phối 2 (n - 1) với n - 1 bậc tự do. Vì vậy = có phân phối Student với n - 1 bậc tự do. Nếu đặt thì từ (3) ta suy ra hay Vậy khoảng ước lượng của a với độ tin cậy 1 - là trong đó t tra ở bảng phân phối Student với n - 1 bậc tự do và mức ý nghĩa . Khi kích thước mẫu n thì phân phối xác suất của tiến tới phân phối chuẩn N(0; 1). Vì vậy với n > 30 (ta xem như kích thước mẫu lớn) ta xấp xỉ nó với phân phối chuẩn dạng N(0; 1) sao cho . Ví dụ 2.3. Quan sát chiều cao của 100 nam sinh viên trong một khoá học ta có chiều cao trung bình là với độ lệch mẫu S = 8,25 Chứng minh. Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng của chiều cao trung bình của nam sinh viên. Giải. Do n =100 khá lớn nên t được tra bảng chuẩn. Có t = 1,96. Từ đó • Khoảng ước lượng của phương sai 2 trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a; 2 ). Từ kết quả có phân phối 2 với n - 1 bậc tự do ta tìm khoảng ước lượng của 2 bằng cách sau: Tìm t 1 , t 2 sao cho P[t 1 £ <t 2 ] = 1 - . Ta có thể viết biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên dưới dạng Chọn t 1 , t 2 sao cho P[ 2 > t 1 ] = 1 - và P[ 2 > t 2 ] = . Khoảng ước lượng của 2 với độ tin cậy 1 - là Ví dụ 2.4. Để xác định chiều cao trung bình của các cây bạch đàn trong một khu rừng, tiến hành đo ngẫu nhiên 35 cây và thu được kết quả sau Chiều cao X (m) 6,5 – 7,0 7,0 – 7,5 7,5 – 8,0 8,0 – 8,5 8,5 – 9,0 9,0 – 9,5 Số cây (n i ) 2 4 10 11 5 3 Giả thiết chiều cao của các cây bạch đàn là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng cho phương sai DX. Giải. Ta có và . Tra bảng tìm được t 1 = = 16,8 và t 2 = = 47. Từ đó . hàm hợp lí. Định nghĩa 1.2. Thống kê được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của nếu L(X/ (X) L(X/ ) với mọi . *(X) = được gọi là ước lượng hợp lí cực đại. 0 hàm hợp lí L(X, ) đạt cực đại. Ví dụ 1.4. Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối chuẩn N(a; 2 ). Tìm ước lượng hợp lí cực đại của