Bài đọc 7. Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh - 2nd ed., Chương 6: Các phân phối chọn mẫu

Kết quả của một cuộc điều tra những sinh viên năm thứ nhất vào năm 1993 (“Freshman Statistics (Số liệu Thống kê Sinh viên năm thứ nhất),” 1994) cho thấy rằng 86% số sinh viên năm nhất [r]

C

C HH ƯƯ ƠƠ NN GG

C

CÁÁCC PPHHÂÂNN PPHHỐỐII CCHHỌỌNN MMẪẪUU

Về chương

Trong chương trước, thảo luận số biến số ngẫu nhiên hữu dụng phân phối xác suất chúng Trong tình chọn mẫu thực tế, thường không chọn mẫu giá trị x Thay vào đó, chọn mẫu gồm n giá trị sau sử dụng giá trị để tính tốn số liệu thống kê ví dụ trung bình mẫu độ lệch chuẩn Rồi sử dụng những số liệu thống kê để suy lượng dân số được chọn mẫu Mục tiêu chương nghiên cứu số số liệu thống kê hữu ích phân phối xác suất chúng Sau giải thích sao, điều kiện tổng quát, tất số liệu thống kê sở hữu phân phối xác suất mà ước lượng xấp xỉ đường cong chuẩn tắc Trong chương tiếp sau, chúng ta trình bày cách thức mà số liệu thống kê chọn mẫu phân phối chúng sử dụng để suy lượng dân số chọn mẫu

NGHIÊN CỨU ĐIỂN HÌNH

CHỌN MẪU RULÉT Ở MONTE CARLO

Bạn muốn thử sử dụng đơi tay đánh bạc mà chịu rủi ro bị thua bạc nào? Bạn làm điều cách mơ qui trình đánh bài, thực lần đặt cược tưởng tượng quan sát kết Nếu bạn phải lặp lặp lại nhiều lần việc mơ này, bạn xem cách thức mà lần thắng bạn thay đổi bạn phải chơi “thực sự”

phối tương ứng biến số mà quan sát theo thời gian hoạt động chế tạo Bằng cách lặp lại mô việc cung ứng giao hàng tính tốn hàng tồn kho hàng ngày cho số lượng lớn ngày (một chọn mẫu điều xảy ra), bạn quan sát cách thức hoạt động hàng tồn kho hàng ngày nhà máy Thủ thuật Monte Carlo đặc biệt có giá trị làm cho nhà chế tạo có khả thấy cách thức hàng tồn kho hàng ngày hoạt động số thay đổi định thực cách thức cung ứng hàng hay khía cạnh khác hoạt động mà kiểm sốt

Trong báo có nhan đề, “The Road to Monte Carlo (Con đường đến thủ thuật Monte Carlo)”, Daniel Seligman lưu ý kỷ thuật Monte Carlo sử dụng rộng rãi trường kinh doanh nhằm nghiên cứu việc hoạch định vốn, kế hoạch hàng tồn kho, quản lý dịng tiền, dường chưa có sử dụng qui trình để nghiên cứu xem làm tốt đến đâu phải đánh bạc Monte Carlo

Để tiếp tục thực ý nghĩ này, Seligman lập trình máy tính cá nhân để mơ trị chơi rulét Rulét bao gồm vịng quay mà viền chia thành 38 Ba mươi sáu ô đánh số từ đến 35 sơn xen kẽ màu đỏ đen Hai cịn lại sơn màu xanh đánh số 00 Để chơi trò này, bạn đặt cược khoản tiền vào hay nhiều Vịng quay xoay trịn di chuyển dừng lại Một bóng rơi vào kho vịng quay để số thắng Nếu bạn đặt tiền vào số đó, bạn thắng khoản tiền cụ thể Ví dụ, bạn đặt cược vào số 20, tỷ lệ cược ăn 35 Nếu vịng quay khơng dừng bạn, bạn thua khoản tiền cược Seligman định xem cách mà số tiền thắng cược (hay thua cược) hàng đêm ông ta ông ta đặt cược USD lần quay vịng quay lặp lại qui trình 200 lần đêm Ông ta lặp lại việc 365 lần, qua mơ kết 365 đêm sịng bạc Khơng ngạc nhiên chút biết trung bình “thắng cược” đêm tốn 1.000 USD tiền đánh khoản thua bạc trị giá 55 USD, số tiền bình quân lần thắng mà nhà giữ lại Điều ngạc nhiên theo Seligman thay đổi mức “số tiền thắng cược” hàng đêm Bảy lần số 365 đêm, bạc khơng có thật thua tổng cộng 1.000 USD tiền cược, ông ta thắng khoản lớn 1.160 USD lần Một trăm năm mươi mốt lần thua vượt số 250 USD

Quá nhiều cho Monte Carlo đánh bạc Mối quan tâm thủ thuật Monte Carlo việc sử dụng nghiên cứu hành vi số liệu thống kê chọn mẫu Bởi sử dụng số liệu thống kê chọn mẫu để suy tham số dân số, se muốn biết xem cách thức chúng vận hành việc chọn mẫu lặp lại Điều thực cách sử dụng thủ thuật Monte Carlo - chọn mẫu, quan sát giá trị số thống kê, sau lặp lặp lại qui trình nhiều lần

Trong chương khảo cứu đặc trưng số số thống kê hữu ích Trong Phần 6.6 lưu ý giá trị lần thắng cược đêm mô Seligman việc đánh bạc Monte Carlo thân số thống kê, tổng số tiền thắng thua cược cho 200 lần cược với USD lần Sau sử dụng kiến thức cách thức vận hành số tổng mẫu để định liệu Seligman quan sát thấy số không xảy lần thua cược lớn hay không

6.1 GIỚI THIỆU

Bằng cách mà áp dụng mơ hình xác suất vào thực tiễn số liệu thóng kê? Thơng thường, định loại hình phân phối xác suất phục vụ mẫu hình tình cho trước; giá trị tham số mà xác định cụ thể cách xác phân phối khơng sẵn có Trong tình trên, dựa vào mẫu để cung cấp thông tin tham số dân số chưa biết

Cách thức mà mẫu chọn gọi phương án chọn mẫu hay thiết kế thử nghiệm định số lượng thơng tin mẫu Ngồi ra, qua việc biết phương án chọn mẫu sử dụng tình cụ thể, định xác suất việc quan sát mẫu cụ thể Những xác suất cho phép đánh giá độ tin cậy hay tính tốt kết luận suy mẫu

Chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản phương án chọn mẫu sử dụng phổ biến mà

đó mẫu có độ lớn n có may chọn Ví dụ, giả định muốn chọn mẫu có độ lớn n = từ dân số gồm N = vật thể Nếu bốn vật thể xác định ký hiệu x1,x2,x3và x , có sáu cặp riêng biệt chọn: 4

Mẫu Các quan sát mẫu

1

2 1, x

x

2

3 1, x

x

3

4 1, x

x

4

3 2, x

x

5

4 2, x

x

6

4 3, x

x

Nếu mẫu gồm n = quan sát chọn số sáu mẫu có hội chọn, tức có xác suất 1/6, mẫu tạo gọi mẫu ngẫu nhiên đơn giản, hay đơn giản là mẫu ngẫu nhiên

Ta cho rằng*

số cách chọn mẫu gồm n yếu tố từ dân số bao gồm N yếu tố cho bởi:

)! ( ! ! n N n N CN n  

trong n! = n(n-1) (3) (2) (1) 0! = Ký hiệu N n

C đại diện cho số mẫu riêng biệt, khơng được xếp trật tự kích cỡ n chọn mà khơng có thay Khi N = n = 2, chứng tỏ có

6 ) )( ( ! ! ! 4

2   

C

các mẫu riêng biệt Nếu thực trưng cầu ý kiến 5.000 người dựa vào một mẫu có độ lớn n = 50, có 5000

50

C kết hợp khác 50 người mà chọn mẫu Nếu số kết hợp có hội ngang chọn trong phương án chọn mẫu, mẫu mẫu ngẫu nhiên đơn giản

ĐỊNH NGHĨA

Nếu mẫu gồm n yếu tố chọn từ dân số gồm N yếu tố cách sử dụng

phương án chọn mẫu mà trong số N

n

thì việc chọn mẫu cho ngẫu nhiên mẫu tạo rao mẫu ngẫu nhiên đơn

giản

Thật dễ hiểu ý nghĩa việc chọn mẫu ngẫu nhiên, khó khăn nhiều phải thật chọn mẫu ngẫu nhiên tình thực tế Một kiến thức khái niệm chọn mẫu ngẫu nhiên cần thiết cho số tình chọn mẫu chương này; nhiên, vấn đề việc chọn thật mẫu ngẫu nhiên trì hỗn đến Phần 14.2

6.2 CÁC PHÂN PHỐI CHỌN MẪU CỦA SỐ LIỆU THỐNG KÊ

Các thước đo mô tả sớ tính từ mẫu gọi số liệu thống kê Bởi giá trị số liệu thống kê mẫu khơng đốn trước thay đổi tùy theo mẫu, cho nên chúng biến số ngẫu nhiên có phân phối xác suất mà mô tả cách thức hoạt động của chúng việc chọn mẫu lặp lại Phân phối xác suất này, gọi phân phối

chọn mẫu số liệu thống kê, cho phép xác định độ tốt kết luận

suy số thống kê

ĐỊNH NGHĨA

Phân phối chọn mẫu số thống kê phân phối xác suất cho tất giá trị

khả dĩ số thống kê mà tạo mẫu ngẫu nhiên có độ lớn n rút cách lặp lặp lại từ lượng dân số

Ví dụ, giả định N = yếu tố dân số mô tả Phần 6.1, cho giá trị số x14,x22,x35 x41. Phân phối chọn mẫu cho trung bình mẫu, x ,

chọn ngẫu nhiên n = yếu tố với thay từ dân số tìm cách tính toán xcho số 16 mẫu này, trình bày Bảng 6.1 Do số mẫu có khả xảy ngang nhau, số 16 giá trị x có xác suất

16 / ) (x 

p Phân phối xác suất phân phối chọn mẫu xđược cho Bảng 6.2 vẽ đồ thị Hình 6.1

BẢNG 6.1 Tính tốn x cho 16 mẫu có độ lớn n =

Mẫu Các quan sát trong mẫu x Mẫu Các quan sát trong mẫu x

1 4, 4 5, 4.5

2 4, 10 4, 3.5

3 4, 4.5 11 5, 5

4 4, 2.5 12 5,

5 2, 13 1, 2.5

6 2, 2 14 1, 1.5

7 2, 3.5 15 1,

8 2, 1.5 16 1, 1

BẢNG 6.2 Phân phối chọn mẫu cho x

x p (x)

HÌNH 6.1 Phân phối chọn mẫu cho x

Phân phối xác suất xtrong Hình 6.1 đối xứng giá trị x=3, mà thực tế trung bình hay giá trị bình quân phân phối chọn mẫu này, vì:

3 16 16 , 16 16 , 16 1 ) ( ) (                                     

xp x

x E

khi sử dụng cơng thức trình bày Phần 3.6 Chúng ta lưu ý giá trị bình quân của x với μ, trung bình dân số, mà tính

3 4

1       

 x x x x



Trung bình mẫu, độ lệch chuẩn, trung vị, thước đo số khác tính từ giá trị mẫu sử dụng khơng để mơ tả mẫu mà để suy kết luận dạng ước lượng hay tiêu chuẩn tham số dân số tương ứng Tuy thế, phải biết được phân phối chọn mẫu số thống kê nhằm trả lời câu hỏi ví dụ như: Liệu số thống kê có ước lượng cách quán thấp hay cao giá trị tham số không? Liệu số thống kê có thay đổi so với tham số cạnh tranh khác, hữu ích đóng vai trị vật ước lượng?

Phân phối chọn mẫu số thống kê suy tốn học hay ước lượng thực kinh nghiệm Những ước lượng thực nghiệm cách sử dụng kỹ thuật Monte Carlo mơ tả phần nghiên cứu tình tìm cách rút số lượng lớn mẫu có độ lớn n từ dân số xác định, tính tốn giá trị số thống kê cho mẫu, đưa vào bảng kết biểu đồ tần suất tương đối Khi số lượng mẫu lớn, biểu đồ tần suất tương đối ước lượng gần phân phối mẫu theo lý thuyết Nói cách khác, số số thống kê mà tổng hay trung bình giá trị

mẫu, định lý quan trọng mà giới thiệu phần cho phép chúng ta ước lượng xấp xỉ phân phối chọn mẫu chúng kích thước mẫu lớn

6.3 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ PHÂN PHỐI CHỌN MẪU CỦA TRUNG BÌNH MẪU

số chọn mẫu) độ lệch chuẩn với / n (Độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu số thông kê đôi lúc gọi sai số chuẩn số thống kê Vì độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu trung bình mẫu gọi sai số chuẩn

trung bình.) Nhưng đặc trưng quan trọng kết biến đến thống kê học

là Định lý Giới hạn Trung tâm Định lý này, mà áp dụng cho trung bình mẫu xlẫn giá trị

tổng mẫu 

 n

i i

x

1

, phát biểu kích thước mẫu n lớn, phân phối chọn mẫu trung

bình mẫu (khơng có giá trị tổng) sở hữu xấp xỉ phân phối chuẩn tắc Định lý Giới hạn Trung tâm phát biểu thức phần sau

Định lý Giới hạn Trung tâm

Nếu mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát rút từ dân số không chuẩn tắc với trung bình có hạn μ độ lệch chuẩn σ, n lớn, phân phối chọn mẫu trung bình mẫu xđược phân phối xấp xỉ chuẩn tắc với trung bình độ lệch chuẩn

 x 

n

x

  

Ước lượng xấp xỉ trở nên ngày xác n ngày lớn

Định lý Giới hạn Trung tâm trình bày lại để áp dụng cho giá trị tổng thước

đo mẫu,

  n

i i

x

1

mà, n trở nên lớn, có xu hướng sở hữu phân phối chuẩn tắc, chọn mẫu lặp lại, với trung bình nμ độ lệch chuẩn  n

Trung bình độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu x suy Định lý Giới hạn Trung tâm chứng minh toán học, chứng thực tế vượt tầm viết Tuy nhiên, trình bày số thực nghiệm Monte Carlo mà tạo thêm ủng hộ cho điều khẳng định

Hình 6.2 thể phân phối xác suất cho số x quan sát tung xúc xắc nhất Trung bình phân phối μ = 3.5, độ lệch chuẩn σ = 1.71 (được tìm Bài tập 3.51) Như vậy, Hình 6.2 phân phối theo lý thuyết dân số gồm lần tung xúc xắc - nghĩa là, phân phối quan sát có xúc xắc công tung tung lại số lần vô lớn

 Khi mẫu lặp lại có độ lớn n chọn ngẫu nhiên từ dân số có hạn với N yếu tố mà trung bình

chúng μ phương sai chúng σ2, độ lệch chuẩn xlà:

1   

N n N n

x

 

trong σ2 là phương sai dân số Khi N lớn so với độ lớn mẫu n, (N n)/(N1)là xấp xỉ Vì

n

x

HÌNH 6.2 Phân phối xác suất cho x, số xuất lần tung xúc xắc

Bây giả sử muốn ước lượng xấp xỉ phân phối chọn mẫu cho trung bình x một mẫu gồm n = quan sát chọn từ lượng dân số tung xúc xắc Chúng ta có ước lượng xấp xỉ cách thực thí nghiệm Monte Carlo Bước rút mẫu gồm n = thước đo từ lượng dân số cách tung xúc xắc năm lần quan sát số x = 3, 5, 1, Sau lặp lại trình chọn mẫu này, lần rút n = quan sát ghi nhận chúng, tổng cộng 100 mẫu Một trăm quan sát mẫu này, với giá trị tổng trung bình mẫu, ghi lại Bảng 6.3

Biểu đồ tần suất tương đối cho 100 giá trị trung bình mẫu này, trình bày Hình 6.3, ước lượng xấp xỉ cho phân phối chọn mẫu cho trung bình xcủa mẫu ngẫu nhiên gồm n = lần tung xúc xắc Ước lượng xấp xỉ tốt (hình dạng biểu đồ cân đối hơn) lặp lại thủ thuật Monte Carlo số lần nhiều hơn, kết 100 lần lặp ại mẫu minh họa cho đặc trưng phân phối chọn mẫu trung bình mẫu Biểu đồ tần suaất tương đối giá trị trung bình 100 lần tung xúc xắc Hình 6.3 tập trung vào trung bình dân số, μ = 3.5 Bạn thấy Hình 6.3 khoảng (2x)mà x/ n 1.71/ 50.76) bao gồm hầu hết giá trị trung bình mẫu Ngạc nhiên hình dạng phân phối xác suất Thậm chí chỉ chọn mẫu gồm n = quan sát từ lượng dân số với phân phối xác suất hoàn toàn phẳng (Hình 6.2), phân phối giá trị trung bình mẫu Hình 6.3 có hình dạng gị tạo cho vẻ bề xấp xỉ chuẩn tắc

Hình 6.4 cho kết số thí nghiệm chọn mẫu Monte Carlo khác Chúng ta lập trình máy tính đển chọn mẫu ngẫu nhiên có độ lớn n = 2, 5, 10 25 từ số lượng dân số, lượng dân số thứ sở hữu phân phối xác suất chuẩn tắc, lượng thứ hai có phân phối xác suất đồng nhất, lượng thứ ba có phân phối xác suất lũy thừa âm Những phân phối xác suất dân số trình bày hàng Hình 6.4 Các in từ máy tính ước lượng xấp xỉ phân phối chọn mẫu giá trị trung bình mẫu xcho độ lớn mẫu n = 2, 5, 10, 25 thể hàng 2, 3, Hình 6.4

HÌNH 6.4 Các phân phối xác suất ước lượng xấp xỉ phân phối chọn mẫu

Hình 6.4 minh họa định lý quan trọng thống kê học lý thuyết Sự phân phối chọn mẫu

của giá trị trung bình mẫu xác phân phối chuẩn tắc (bỏ qua chứng), độ lớn mẫu nào, chọn mẫu từ lượng dân số mà sở hữu phân phối chuẩn tắc Trái lại, phân phối chọn mẫu xcho mẫu chọn từ lượng dân số có phân phối xác suất đồng lũy thừa âm có xu hướng ngày càng trở nên gần chuẩn tắc độ lớn mẫu n tăng từ n = đến n = 25, nhanh phân phối đồng chậm cho phân phối lũy thừa bị nghiêng lệch nhiều Nhưng lưu ý phân phối chọn mẫu xlà chuẩn tắc hay xấp xỉ chuẩn tắc độ lớn mẫu lớn n = 25 Kết gợi ý nhiều lượng dân số phân phối chọn mẫu xsẽ xấp xỉ chuẩn tắc độ lớn mẫu vừa phải Có ngoại lệ qui luật Do đó, chúng ta gán độ lớn mẫu phù hợp n cho ứng dụng cụ thể Định lý Giới hạn Trung tâm gặp phải ứng dụng sách

Các đặc trưng phân phối chọn mậu giá trị trung bình mẫu trình bày phần sau

Phân phối chọn Mẫu Giá trị Trung bình Mẫu x

1 Nếu mẫu ngẫu nnhiên gồm n thước đo chọn từ dân số có trung bình μ

độ lệch chuẩn σ, phân phối chọn mẫu giá trị trung bình mẫu x



x 

và độ lệch chuẩn

n

x

  

2 Nếu dân số sở hữu phân phối chuẩn tắc, phân phối chọn mẫu xsẽ chính xác phân phối chuẩn tắc, độ lớn mẫu n nào.

3 Nếu phân phối dân số khơng chuẩn tắc, phân phối mẫu xsẽ là, mẫu lớn, xẩp xỉ phân phối chuẩn tắc (theo Định lý Giới hạn Trung tâm) Hình 6.4 gợi ý phân phối chọn mẫu xsẽ xấp xỉ chẩun tắc đối với độ lớn mẫu nhỏ n = 25 cho phần lớn lượng dân số thước đo

VÍ DỤ 6.1 Giả định bạn chọn mẫu ngẫu nhiên gồm n = 25 quan sát từ lượng dân

số có trung bình μ = độ lệch chuẩn σ = 0.6

a Tìm xác suất xấp xỉ trung bình mẫu xsẽ thấp 7.9

b Tìm xác suất xấp xỉ trung bình mẫu xsẽ cao 7.9

c Tìm xác suất xấp xỉ trung bình mẫu xsẽ nằm khoảng 0.1 trung bình dân số μ =

Lời giải

a Không quan tâm đến hình dạng phân phối tần suất tương đối dân số, phân phối chọn mẫu xsẽ sở hữu trung bình x 8 độ lệch chuẩn

12 25

6 

 

n

x  

vậy) Vì thế, xác suất x thấp 7.9 ước lượng xấp xỉ với vùng tô đen bên phân phối mẫu chuẩn tắc Hình 6.5 Để tìm vùng này, cần tính tốn giá trị z tương ứng với x= 7.9 Giá trị z khoảng cách x= 7.9 x 8được thể độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu - nghĩa là,

tính theo đơn vị

12 25

6

 



n

x  

Như

83 12

0

     

x

x z

 

Từ Bảng Phụ lục II, tìm thấy vùng tương ứng với z = 0.83 0.2967 Vì thế,

2033 2967 )

(x    P

[Lưu ý phải sử dụng x (không phải σ) cơng thức z tìm vùng nằm bên phân phối chọn mẫu x, nằm phân phối chọn mẩu x.]

HÌNH 6.5 Xác suất x nhỏ 7.9 cho Ví dụ 6.1

b Sự kiện rằngxvượt 7.9 phần bù cho kiện rằngxnhỏ 7.9 Như vậy, xác suất xlớn 7.9

7967 2033 ) ( )

(x  P x    P

c Xác suất để choxnằm 0.1 μ = vùng tơ đen Hình 6.6 Chúng ta tìm phần (a) vùng nằm x=7.9 μ = 8.0 0.2967 Bởi vùng nằm đường cong chuẩn tắc x= 8.1 μ = 8.0 với vùng nằm giữax=7.9 μ = 8.0, cho nên:

5934 ) 2967 ( )

(  x   P

VÍ DỤ 6.2 Để tránh khó khăn với Hội đồng Thương mại Liên bang hay tổ

chức bảo vệ người tiêu dùng cấp địa phương hay tiểu bang, người đóng chai phải đảm bảo hợp lý chai 12 aoxơ thật chứa 12 aoxơ bia Để định liệu máy đóng chai có vận hành cách đáng hài lịng hay khơng, cơng nhân đóng chai chọn mẫu ngẫu nhiên mười chai tiếng đo lường lượng bia chai Trung bình x mười lần đo lượng bia chai sử dụng để định liệu có phải điều chỉnh lại lượng bia đưa vào chai máy bơm hay không Nếu kết ghi nhận cho thấy lượng bơm vào tính chai phân phối chuẩn tắc với độ lệch chuẩn 0.2 aoxơ, máy đóng chai thiết lập để tạo lần bơm trung bình chai 12.1 aoxơ, xác suất xấp xỉ trung bình mẫu xcủa 10 chai bia kiểm tra thấp 12 aoxơ bao nhiêu?

Lời giải Trung bình phân phối chọn mẫu trung bình mẫu xlà với trung bình dân số lần bơm bia vào chai - cụ thể là, μ = 12.1 aoxơ - độ lệch chuẩn (hay sai số chuẩn) củaxlà

063 10

2

 



n

x  

[Lưu ý: σ độ lệch chuẩn lượng dân số lần bơm bia vào chai, n số lượng chai mẫu này.] Bởi lượng bia bơm vào có phân phối chuẩn tắc, xcũng phân phối chuẩn tắc Cho nên phân phối xác suất x xuất thể Hình 6.7

HÌNH 6.7 Phân phối chọn mẫu x, trung bình n = 10 lần bơm bia vào chai,

Xác suất xsẽ thấp 12 aoxơ với (0.5 - A), A vùng nằm 12 trung bình μ = 12.1 Biểu diễn khoảng cách độ lệch chuẩn, có:

59 063

1 12 12

     

x

x z

 

Sau vùng A qua khoảng 12x12.1, tìm thấy Bảng Phụ lục II, 0.441

xác suất x thấp 12 aoxơ là:

056 0559 4441

) 12

(x  A    P

Vì thế, máy thiết lập để bơm lượng bình quân 12.1 aoxơ, lượng bơm trung bình x mẫu gồm mười chai thấp 12 aoxơ với xác suất với 0.056 Khi dấu nguy hiểm xảy (x thấp 12), người cơng nhân đóng chai phải lấy mẫu lớn để kiểm tra lại việc thiết lập máy bơm

Các mẹo giải toán

Trước cố gắng tính tốn xác suất số thống kê x khoảng đó, hồn tất bước sau đây:

1 Tính tốn trung bình độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu x

2 Vẽ phác họa đồ thị phân phối chọn mẫu Cho thấy vị trí trung bình μ, xác định vị trí cho khoảng 2x 3x trục hoành

3 Xác định vị trí cho khoảng đồ thị phác thảo từ phần tô đen vùng tương ứng với xác suất mà bạn mong muốn tính tốn

4 Tìm (các) điểm số z với (các) giá trị vấn đề quan tâm Sử dụng Bảng Phụ lục II để tìm xác suất

5 Khi bạn có câu trả lời, nhìn vào đồ thị phác thảo phân phối chọn mẫu để xem liệu câu trả lời tính tốn có qn với vùng tơ đen hay không Điều cung cấp kiểm tra sơ cho tính tốn bạn

BÀI TẬP

Các kỹ thuật

6.1 Các mẫu ngẫu nhiên có độ lớn n chọn từ dân số với trung bình phương sai

như sau Tìm trung bình độ lệch chuẩn (sai số chuẩn) cho phân phối chọn mẫu trung bình mẫu sau

a n25,10,2 9

b n100,5,24

c n6,120,2 1

6.2 Quay lại Bài tập 6.1

b Theo Định lý Giới hạn Trung tâm, lượng dân số chọn mẫu

chuẩn tắc, nói điều phân phối chọn mẫu x cho phần (a), (b), (c).?

6.3 Quay lại phân phối chọn mẫu mô tả Bài tập 6.1 (b)

a Vẽ phác thảo phân phối chọn mẫu x Xác định vị trí trung bình khoảng

)

( x theo trục x đồ thị

b Tô đen vùng nằm bên đường cong mà tương ứng với xác suất x nằm giới hạn 0.15 đơn vị trung bình dân số μ

c Tìm xác suất mơ tả phần (a)

6.4 Quay lại thí nghiệm tung xúc xắc Phần 6.3 mà x số chấm quan sát

được xúc xắc tung Phân phối xác suất x thể Hình 6.2, biểu đồ tần suất tương đối cho x trình bày Hình 6.3 cho 100 mẫu ngẫu nhiên có độ lớn n =

a Kiểm tra trung bình độ lệch chuẩn x μ = 3.5 σ = 1.71

b Nhìn vào biểu đồ Hình 6.3 Đốn giá trị trung bình độ lệch chuẩn

[Gợi ý: Qui tắcThực chứng phát biểu xấp xỉ 95% thước đo với phân phối có hình dạng gị nằm giới hạn hai lần độ lệch chuẩn trung bình.]

c Trung bình độ lệch chuẩn theo lý thuyết phân phối chọn mẫu x bao nhiêu? Những giá trị so sánh với giá trị ước đoán phần (b) sao?

6.5 Quay lại Bài tập 6.4 Giả định thí nghiệm tung xúc xắc lặp lặp lại nhiều lần

Hãy tìm trung bình độ lệch chuẩn (sai số chuẩn) cho phân phối chọn mẫu x mẫu có giá trị sau

a n = 10 thước đo

b n = 15 thước đo

c n = 25 thước đo

6.6 Quay lại Bài tập 6.4 6.5 Việc gia tăng độ lớn mẫu có ảnh hưởng đến phân

phối chọn mẫu x?

6.7 Các Bài tậ[ 6.5 6.6 chứng tỏ độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu giảm

độ lớn mẫu tăng lên Để xem xét mối quan hệ kỹ lưỡng hơn, giả định mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát chọn từ dân số với độ lệch chuẩn σ = Hãy tính tốn x cho n = 1, 2, 4, 9, 16, 25 100 Sau vẽ đồ thị xso với độ lớn mẫu n, nối điểm với đường cong phẳng Lưu ý cách thức mà qua x giảm n gia tăng

6.8 Giả định mẫu ngẫu nhiên gồm n = quan sát chọn từ dân số mà

phân phối chuẩn tắc với trung bình với độ lệch chuẩn 0.36

a Tính trung bình độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu x

b Tìm xác suất x lớn 1.3

c Tìm xác suất mẫu x nhỏ 0.5

d Tìm xác suất trung bình mẫu sai lệch với trung bình dân số μ = không nhiều

hơn 0.4

6.9 Giả định mẫu ngẫu nhiên gồm n = 25 quan sát chọn từ lượng dân số mà

a Tìm trung bình độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu trung bình mẫu x

b Tìm xác suât x lớn 110

c Tìm xác suất trung bình mẫu sai lệch so với trung bình dân số μ = 106 không

nhiều

Các ứng dụng

6.10 Giải thích trọng lượng chuyên chở xe tải chở đầy cam phân

phối chuẩn tắc

6.11 Sử dụng Định lý Giới hạn Trung tâm để giải thích lý biến số ngẫu nhiên

Poisson, ví dụ, số lượng tai nạn nhân viên năm nhà máy chế tạo lớn, sở hữu phân phối mà xấp xỉ chuẩn tắc trung bình μ lớn [Gợi ý: Một năm tổng 365 ngày.]

6.12 Lượng đánh bắt hàng ngày ngư dân chuyên đánh bắt tôm hùm x tổng số, tính

bằng pao, số tôm hùm đem vào bờ từ số cố định bẫy tôm hùm Dạng phân phối xác suất mà bạn kỳ vọng lượng đánh bắt hàng ngày sở hữu lý sao? Nếu lượng đánh bắt trung bình bẫy ngày 30 pao với σ = pao, người ngư dân có 50 bẫy, cho biết trung bình độ lệch chuẩn phân phối xác suất tổng lượng đánh bắt hàng ngày x

6.13 Một kỳ vọng quan trọng giảm thuế thu nhập liên bang gần người tiêu dùng

sẽ tiết kiệm phần đáng kể khoản tiền mà họ nhận Giả định số ước tính tỷ lệ tổng tiền thuế tiết kiệm được, dựa việc chọn mẫu ngẫu nhiên 35 kinh tế gia, sở hữu trung bình 26% độ lệch chuẩn 12%

a Xác suất xấp xỉ trung bình mẫu, dựa mẫu ngẫu nhiên gồm n = 35

kinh tế gia, nằm giới hạn 1% trung bình lượng dân số ước tính tất nhà kinh tế bao nhiêu?

b Liệu có thiết cho trung bình lượng dân số ước tính tất

kinh tế gia với tỷ lệ phần trăm tiết kiệm thuế mà đạt thực tế không?

6.14 Điểm số Kiểm tra Khả Ngẫu nhiên (SAT) vào năm 1993-1994 cung cấp cho ta

các kết lẫn lộn so sánh với điểm số vào năm 1989 Bài kiểm tra toán học này, thực xấp xỉ phần ba số học sinh trung học toàn quốc, cho thấy gia tăng điểm số trung bình từ 476 lên 478, điểm số kiểm tra miệng lại giảm từ 427 xuống 424 (“Using Your College Planning Report (Sử dụng Báo cáo Hoạch định Đại học): 1993-94”) Tại thay đổi nhỏ phải nhà giáo dục xem quan trọng việc đo lường thành tựu sinh viên?

6.15 Để có thơng tin khối lượng hàng hóa vận chuyển chuyên chở xe tải

một tuyến xa lộ liên bang cụ thể, ủy ban xa lộ tiểu bang kiểm tra xa lộ 25 kỳ tiếng chọn ngẫu nhiên suốt tháng Số lượng xe tải moóc qua đếm theo từng kỳ tiếng, x tính tốn cho mẫy gồm 25 kỳ tiếng riêng lẻ Giả định số xe tải moóc hạng nặng xấp xỉ có phân phối chuẩn tắc, với μ = 50 σ =

a Xác suất trung bình mẫu x cho n = 25 kỳ riêng lẻ lớn 55 bao nhiêu?

b Giả định bạn phải đếm số xe tải moóc qua cho n = kỳ tiếng chọn

ngẫu nhiên Xác suất x lớn 55 bao nhiêu? [Gợi ý: Phân phối trung bình mẫu phân phối chuẩn tắc, qui mô mẫu nào, cho trường hợp đặc biệt lượng dân số sở hữu phân phối chuẩn tắc.]

ngẫu nhiên gồm 10 miếng giấy chọn từ sản phẩm trước đó, thước đo sức bền ghi nhận cho miếng Độ lệch chuẩn σ thước đo sức bền, tính cách cộng tổng bình phương độ lệch nhiều mẫu, biết với pao inch vuông Giả định thước đo sức bền phân phối chuẩn tắc

a Phân phối xác suất xấp xỉ sức bền trung bình mẫu n = 10 miếng giấy kiểm

tra bao nhiêu?

b Nếu trung bình lượng dânh số mẫu sức bền 21 pao inch vng, xác

suất x < 20 cho mẫu ngẫu nhiên gồm n = 10 miếng giấy kiểm tra bao nhiêu?

c Giá trị mà bạn muốn có cho sức bền trung bình giấy μ P(x20) với 0.001 bao nhiêu?

6.17 Thời gian thực biến số quan trọng việc bán hàng quảng cáo máy

tính cá nhân (PC) Tuy nhiên, thời gian thực khó lượng hóa được, mẫu máy cụ thể, thời gian phụ thuộc vào số lượng loại hình phần mềm tải lên PC đó, dung lượng đĩa cứng cịn trống sẵn có, vân vân Giả địnhr ằng mong muốn đo lường lượng thời gian (tính giây) cần thiết để tải chương trình Ami Pro 2.0 máy PC hiệu IBM PS/2 Model 90 484DX/33 với hệ điều hành Standard Windows (“Byte Windows,”, 1993)

a Giải thích thời gian cần thiết để tải chương trình Ami Pro 2.0 phải phân

phối xấp xỉ chuẩn tắc?

b Nếu thời gian để tải Ami Pro 2.0 có trung bình 1.33 giây với độ lệch chuẩn 0.2

giây, xác suất cần nhiều 1.4 giây để tải chương trình máy PC chọn ngẫu nhiên bao nhiêu?

c Nếu năm PC chọn ngẫu nhiên, xác suất thời gian trung bình để tải cho

năm máy vượt 1.4 giây bao nhiêu?

6.4 PHÂN PHỐI CHỌN MẪU CỦA MỘT TỶ LỆ MẪU

Nhiều vấn đề chọn mẫu liên quan đến sở thích người tiêu dùng hay trưng cầu ý kiến, mà có liên quan đến việc ước lượng tỷ lệ p dân chúng dân số mà sở hữu số đặc trưng cụ thể Những tình trường hợp tương tự cho ví dụ thực tiễn thí nghiệm kép Nếu mẫu ngẫu nhiên gồm n người chọn từ lượng dân số x người sở hữu đặc trưng cụ thể, tỷ lệ mẫu

n x pˆ  /

được sử dụng để ước tính tỷ lệ dân số p.

Bởi giá trị riêng biệt x tạo giá trị riêng biệt pˆ x/n, nên xác suất với pˆlà với xác suất kết hợp với giá trị tương ứng x Như vậy, phân phối chọn mẫu pˆsẽ có hình dạng phân phối xác suất kép x Giống phân phối xác suất kép, phân phối ước lượng xấp xỉ phân phối chuẩn tắc độ lớn mẫu n lớn Trung bình phân phối chọn mẫu củapˆlà:

p

pˆ 



và độ lệch chuẩn

 Một “dấu mũ” đặt ký hiệu tham số dân số biểu thị cho số thống kê sử dụng để

n pq

pˆ 



trong

p q1

Các đặc trưng Phân phối chọn Mẫu Tỷ lệ Mẫupˆ

1 Nếu mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát chọn từ dân số kép có tham số

p, phân phối chọn mẫu tỷ lệ mẫu

n x pˆ  /

sẽ có trung bình

p

pˆ 



và độ lệch chuẩn

n pq

p 

 đóq1 p

2 Khi độ lớn mẫu n lớn, phân phối chọn mẫu của pˆsẽ xấp xỉ chuẩn tắc Sự

ước lượng xấp xỉ phù hợp pˆ 2pˆnằm giới hạn khoảng từ đến 1, ước lượng xấp xỉ tốt nhưpˆ 3pˆnằm giới hạn

khoảng từ đến

VÍ DỤ 6.3 Một điều tra thực với 313 người con, độ tuổi từ 14 đến 22, từ

trong số giám đốc điều hành cơng ty hàng đầu nước ngồi Khi hỏi nhận dạng khía cạnh tốt việc thành viên nhóm đặc quyền này, 55% đề cập đến lợi vật chất tài Hãy mơ tả phân phối chọn mẫu tỷ lệ mẫu pˆ người liệt kê lợi vật chất khía cạnh tốt sống đặc quyền

Lời giải Chúng ta giả định 313 người tượng trưng cho mẫu ngẫu nhiên

những người tất giám đốc điều hành doanh nghiệp hàng đầu tỷ lệ thực trong lượng dân số với giá trị chưa biết mà gọi p Sau phân phối chọn mẫu pˆ phân phối xấp xỉ chuẩn tắc (do Định lý Giới hạn Trung tâm) với trung bình với p (xem Hình 6.8) độ lệch chuẩn

n pq

HÌNH 6.8 Phân phối chọn mẫu củapˆdựa mẫu gồm n = 313 người cho Ví dụ 6.3

Khảo sát Hình 6.8, bạn thấy phân phối chọn mẫu pˆ tập trung vào trung bình p của Thậm chí khơng biết giá trị xác p (tỷ lệ mẫu pˆ=0.55 có thể lớn hay nhỏ p), tính giá trị xấp xỉ cho độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu cách sử dụng tỷ lệ mẫu pˆ=0.55 để ước lượng xấp xỉ giá trị chưa biết của p Vì

0283 313 ) 45 )( 55 ( ˆ ˆ ˆ     n q p n pq p 

Hơn nữa, ước lượng xấp xỉ cho khoảng p3ˆp,được cho

084 55 ) 028 ( 55 ˆ ˆ    p p 

hay (0.466, 0.634) nằm giới hạn khoảng từ đến 1, ước lượng xấp xỉ chuẩn tắc cho phân phố củapˆphải tốt

VÍ DỤ 6.4 Quay lại Ví dụ 6.3 Giả định tỷ lệ p người dân số thực

tế với 0.5 Xác suất việc quan sát tỷ lệ mẫu lớn hay lớn giá trị quan sát pˆ 0.55 bao nhiêu?

Lời giải Hình 6.9 cho thấy phân phối chọn mẫu của pˆkhi p = 0.5 với giá trị quan sát

55 ˆ 

p xác định đặt trục hồnh Từ Hình 6.9, bạn thấy xác suất việc quan sát tỷ lệ mẫu pˆbằng hay lớn 0.55 vùng tô đen phần đuôi sau phân phối chuẩn tắc, với

Để tìm vùng tơ đen này, cần biết có độ lệch chuẩn mà giá trị quan sát

55 ˆ 

p nằm xa khỏi trung bình phân phối chọn mẫu p = 0.5 Khoảng cách cho bởi giá trị z,

77 0283

5 55 ˆ

ˆ

    

p

p p z



Bảng Phụ lục II cho ta vùng A tương ứng với z = 1.77 sau

A = 0.4616

Như thế, vùng tô đen phần đuôi sau phân phối chọn mẫu Hình 6.9

04 0384 , 4616 ,

) 55 ˆ

(p  A    P

Giá trị cho biết phải chọn lựa mẫu ngẫu nhiên gồm n = 313 quan sát từ dân số có tỷ lệ p với 0.5, xác suất tỷ lệ mẫu pˆlớn hay lớn 0.55 0.04

HÌNH 6.9 Phân phối chọn mẫu củapˆcho n = 313 p = 0.05 Ví dụ 6.4

BÀI TẬP

Các kỹ thuật

6.18 Một mẫu ngẫu nhiên có độ lớn n chọn từ lượng dân số kép với tham số dân số

p Tìm trung bình độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu tỷ lệ mẫu pˆ

a n = 100, p = 0.3

b n = 400, p = 0.1

c n = 250, p = 0.3

6.19 Vẽ đồ thị số phân phối chọn mẫu liệt kê Bài tập 6.18 Đối vối

phân phối, xác định vị trí trung bình p khoảng (p2ˆp)dọc theo trục pˆ đồ thị

6.20 Quay lại phân phối chọn mẫu cho Bài tập 6.18 (a)

a Vẽ đồ thị phân phối chọn mẫu cho tỷ lệ mẫu, tô đen vùng nằm đường cong mà

a pˆ 0.12

b pˆ 0.10

c pˆnằm 0.02 p

6.22 Tínhpˆ cho n = 100 giá trị sau p

a p = 0.01 b p = 0.1 c p = 0.3 d p = 0.5

e p = 0.7 f p = 0,9 g p = 0.99

Vẽ đồ thị phác thảopˆ so với p giấy dùng để vẽ đồ thị, kẻ đường cong uyển

chuyển nối điểm Với giá trị p độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu của pˆ tối đa? Điều xảy chopˆkhi p gần với hay gần với 1?

6.23 Giả định p có giá trị cố định đó, tác động lênpˆcủa việc tăng độ lớn mẫu

là nào? Liệu thay đổi độ lớn mẫu n có ảnh hưởng pˆnhư đối

với xkhông? Giải thích

6.24 Nếu p = 0.8 n = 400, tìm phân phối sau

a pˆ 0.83

b 0.76 pˆ 0.84

Các ứng dụng

6.25 Những người mua sắm đàn ơng mà sống hộ gia đình có thu nhập cao hay sở

hữu máy vi tính cá nhân (PC) có ý kiến khác chủ đề mua sắm qua máy tính so với mua sắm cửa hàng (Dholakia, 1994) Trong nghiên cứu gần 1600 người mua sắm đàn ông “thượng lưu” Hoa Kỳ

a Mô tả phân phối chọn mẫu của pˆ, tỷ lệ đàn ông mẫu mà tìm thấy việc mua sắm qua máy tính tiện lợi [Gợi ý: Sử dụng pˆ để ước lượng xấp xỉ p tính tốn pˆ]

b Tìm xác suất để cho pˆsẽ nằm giới hạn 0.03 tỷ lệ p đàn ông “thượng lưu” dân số mà thấy việc mua sắm qua máy tính tiện lợi

6.26 Trong quí năm 1994, trung vị giá nhà toàn quốc 112.000 USD

(“Midwest, South (Miền Trung Tây, Miền Nam),” 1994) Giả sử 250 mà mua nhà quí năm 1994 chọn ngẫu nhiên chi phí cho nhà cửa họ ghi nhận

a Mô tả phân phối chọn mẫu của pˆ, tỷ lệ dân chúng mà chi phí nhà họ nhiều 112.000 USD

b Xác suất tỷ lệ mẫupˆlà 66% hay lớn bao nhiêu?

c Nếu bạn phải chọn mẫu bạn quan sát 165 người (66% mẫu này) mà chi phí nhà

của họ nhiều 112.000 USD, bạn rút kết luận nào? Tại sao?

6.27 Các nhà quảng cáo phải quan tâm đến vai trị thay đàn ơng phụ nữ

lập gia đình cảm thấy họ có tiếng nói ngang việc thực lần mua sắm lớn cho gia đình (Dortch, 1994) Giả định mẫu ngẫu nhiên gồm n = 300 người kết hôn chọn hỏi họ cảm thấy có tiếng nói ngang việc thực lần mua sắm quan trọng gia đình

a Xác suất có nhiều 85% mẫu cảm thấy họ có tiếng nói ngang

trong lần mua sắm quan trọng gia đình bao nhiêu?

b Bạn kỳ vọng 95% tỷ lệ mẫu rơi vào giới hạn nào?

c Xác suất tỷ lệ mẫu khác với tỷ lệ dân số p không nhiều 5% hướng

nào bao nhiêu?

6.5 MỘT ỨNG DỤNG CHỌN MẪU: KIỂM SỐT QUI TRÌNH THỐNG KÊ

Phương pháp kiểm sốt qui trình thống kê (SPC) phát triển nhằm giám sát, kiểm soát, cải thiện sản phẩm dịch vụ Các trụ thép phải phù hợp với chi tiết kỹ thuật kích thước độ cứng, hóa chất cơng nghiệp phải có mức độ tạp chất thấp xác định trước, hãng kế toán phải tối thiểu hóa cuối loại bỏ nhập sổ sách kế tốn khơng xác Người ta thường nói kiểm sốt qui trình thống kê bao gồm 10% thống kê học 90% công việc thói quen Chúng ta giám sát mặt thống kê số trung bình qui trình nói trung bình rơi khỏi giới hạn định trước, khơng thể nói giá trị trung bình lại khơng kiểm sốt Trả lời câu hỏi cuối đòi hỏi kiến thức qui trình khả giải tốn - 90% lại

Chất lượng sản phẩm thường giám sát cách sử dụng biểu đồ kiểm soát thống kê Các thước đo biến số qui trình giảm sát thay đổi theo thời gian Nguyên nhân thay đổi biến số cho định tìm thấy chỉnh sửa Sự thay đổi khác - thay đổi bừa bãi nhỏ có thay đổi môi trường sản phẩm - mà kiểm soát xem thay đổi ngẫu nhiên Nếu thay đổi biến số qui trình hồn tồn ngẫu nhiên, qui trình cho tầm kiểm soát Mục tiêu kiểm sốt qui trình thống kê nhằm loại trừ nguyên nhân định thay đổi biến số qui trình sau đưa qui trình vào tầm kiểm soát Bước phải giảm thay đổi đưa thước đo biến số qui trình vào giới hạn kỹ thuật cụ thể, giới hạn mà phạm vi thước đo mặt hàng hay dịch vụ sử dụng phải rơi vào

Một qui trình nằm tầm kiểm soát tạo sản phẩm vừa ý, biến số qui trình giám sát cách sử dụng biểu đồ kiểm soát Các mẫu gồm n vật phẩm rút từ qui trình quãng thời gian xác định cụ thể, số thống kê mẫu tính tốn Những số liệu thống kê vẽ phác họa lên biểu đồ kiểm soát qui trình kiểm tra cho ca làm việc biến số qui trình mà chi vấn đề kiểm sốt

MỘT BIỂU ĐỒ KIỂM SỐT CHO TRUNG BÌNH QUI TRÌNH: BIỂU ĐỒ x

Mọi biểu đồ kiểm sốt có đường trung tâm giới hạn kiểm soát Đường trung tâm ước lượng μ, giá trị bình quân chung tất số thống kê mẫu tính tốn từ thước đo biến số qui trình Các giới hạn kiểm soát cao thấp đặt mức ba lần độ lệch chuẩn bên bên đường trung tâm Nếu giám sát giá trị trung bình qui trình dựa vào k mẫu có độ lớn n lấy từ quãng đặn, đường trung tâm làx, bình quân giá trị trung bình mẫu, giới hạn kiểm soát mức

), / ( n

x  với σ ước lượng s, độ lệch chuẩn thước đo nk

VÍ DỤ 6.5 Một hệ thống giám sát kiểm sốt qui trình thống kê chọn mẫu đường kính bên

trong n = ống thép Bảng 6.4 cho liệu cho k = 25 mẫu hàng Hãy xây dựng biểu đồ xcho việc giám sát giá trị trung bình qui trình

Lời giải Trung bình mẫu tính tốn cho mẫu k = 25 Ví dụ, trung bình cho mẫu

0015 991 016 007 992      x

Các giá trị trung bình mẫu trình bày cột Bảng 6.4 Đường trung tâm xác định vị trí

9987 100 87 99   x

Giá trị tính tốn s, độ lệch chuẩn mẫu tất nk = (25) = 100 quan sát, s = 0.011458 Sai số ước tính trung bình n = quan sát

005729 011458   n s

Các giới hạn kiểm sốt cao thấp tìm thấy

015887 ) 005729 ( 9987

UCL    

n s x 981513 ) 005729 ( 9987

LCL    

n s x

BẢNG 6.4 25 mẫu hàng đường kính ống thép, n = ống thép mẫu,

cho Ví dụ 6.5

HÌNH 6.10 Biểu đồ Minitab x cho Ví dụ 6.5

lượng lỗi mặt hàng Những biểu đồ kiểm soát chất lượng xem xét chi tiết Chương 10

BÀI TẬP

Các kỹ thuật

6.28 Các giá trị trung bình mẫu tính tốn cho 30 mẫu có độ lớn n =10 cho qui trình mà

được đánh giá nằm tầm kiểm sốt Các giá trị trung bình 30 giá trị xvà độ lệch chuẩn 300 thước đo kết hợp x20.74và x = 0.87

a Sử dụng liệu để xác định giới hạn kiểm soát cao thấp cho

biểu đồ x

b Mục đích biểu đồ x gì?

c Xây dựng biểu đồ xcho qui trình giải thích cách thức mà biểu đồ sử dụng

6.29 Các giá trị trung bình mẫu tính tốn cho 40 mẫu có độ lớn n = cho qui trình mà

được đánh giá nằm tầm kiểm soát Các trung bình 40 giá trị độ lệch chuẩn 200 thước đo kết hợp x155.9và x = 4.3

a Sử dụng liệu để xác định giới hạn kiểm soát cao thấp cho

biểu đồ x

b Xây dựng biểu đồ x cho qui trình giải thích cách thức mà biểu đồ có

thể sử dụng

Các ứng dụng

6.30 Một sòng bạc ghi nhận vẽ đồ thị trung bình số tiền thắng hay thua cược hàng ngày từ

năm bàn blackjack biểu đồ x Trung bình chung giá trị trung bình mẫu độ lệch chuẩn liệu kết hợp qua 40 tuần x10,752USD x = 1,605 USD

a Xây dựng biểu đồ xcho trung bình số tiền thắng cược hàng ngày tính bàn blackjack

b Biểu đồ x có giá trị nhà quản lý sòng bạc này?

6.31 Một nhà máy điện đốt than kiểm tra đo lường ba mẫu than ngày nhằm giám sát tỷ lệ

phần trăm tro than Trung bình chung 30 giá trị trung bình mẫu hàng ngày độ lệch chuẩn kết hợp tất liệu x7.24và x = 0.07 Hãy xây dựng biểu đồ xcho qui trình giải thích biểu đồ có giá trị người quản lý nhà máy điện

6.32 Dữ liệu cho bảng sau thước đo phóng xạ hạt khơng khí nhà

máy điện hạt nhân Bốn thước đo ghi nhận theo quãng hàng tuần thời kỳ 26 tuần Sử dụng liệu để xây dựng biểu đồ x vẽ đồ thị 26 giá trị x Giải thích cách thức mà biểu đồ sử dụng

Tuần Sự phóng xạ Tuần Sự phóng xạ

8 0.027 0.028 0.028 0.028 21 0.041 0.042 0.038 0.039 0.034 0.032 0.033 0.033 22 0.034 0.036 0.036 0.035 10 0.017 0.016 0.018 0.018 23 0.021 0.022 0.024 0.022 11 0.022 0.020 0.020 0.021 24 0.029 0,029 0,030 0.029 12 0.016 0.018 0.017 0.017 25 0.016 0.017 0.017 0.016 13 0.015 0.017 0.018 0.017 26 0.020 0.021 0.020 0.022

6.6 PHÂN PHỐI CHỌN MẪU CỦA NHỮNG LẦN THẮNG CƯỢC TẠI TRÒ RULÉT

Trong nghiên cứu điển hình mà giới thiệu chương này, mơ tả thí nghiệm Monte Carlo thực Daniel Seligman tạp chí Fortune Seligman mơ 365 đêm đánh bạc Monte Carlo Trong số 365 đêm này, Seligman đặt 200 khoản tiền cược trị giá USD khoản với tỷ lệ thắng 35 với xác xuất thắng cược 1/38

Để đánh giá kết thí nghiệm Monte Carlo Seligman, lưu ý lần cược tạo khoản thắng cược - USD ông ta thua 175 USD ơng ta thắng Như vậy phân phối xác suất khoản thắng cược x lần cược USD là:

x p (x) -5 37/38 175 1/38

Sau từ Chương 3, khoản thắng cược kỳ vọng E(x)và phương sai x2là:

1939 830 ) 2632 ( 38 ) 175 ( 38 37 ) ( ) ( ) ( ) ( 2632 38 ) 176 ( 38 37 ) ( ) ( ) ( 2 2 2                                                x p x x p x x xp x E x x 81 28 $ 1939 830   x 

Vì thế, khoản thắng cược trung bình cho lần cược $5 khoản thua xấp xỉ 26 xu, độ lệch chuẩn $28.81 Khoản 26 xu tượng trưng cho khoản trung bình mà bạn cho “nhà cái”

Khoản thắng cược cho đêm tổng 

  200 i i x

S khoản thắng hay thua cho hai trăm lần

cược lần $5 Các đặc trưng phân phối chọn mẫu cho tổng mô tả phát biểu Định lý Giới hạn Trung tâm (xem phần trình bày Phần 6.3) Khi độ lớn mẫu n lớn, phân phối chọn mẫu tổng thước đo mẫu có xu hướng chuẩn hóa Trung bình độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu

n n

s  x 

  

trong μ σ trung bình độ lệch chuẩn khoản thắng bạc x cho lần cược $5 Vì thế,

43 407 200 81 28 64 52 $ ) 2632 )( 200 (       s s  

cược), khoảng $36,000 Khoản thắng bạc trung bình (thực tế khoản thua bạc) đêm -$52.64, phần lớn khoản thắng bạc hàng đêm rơi vào (từ Qui tắcThực chứng) khoảng

s

s 

  nghĩa là, - 52.64 ± (2) (407.43)

hay

- $867.50 đến $766.22

Dĩ nhiên, khoản thua bạc đêm khơng thể vượt q $1000 Vì thế, phần lớn thay đổi lớn so với trung bình quan sát phần đuôi cao phân phối (không khoản thắng bạc lớn)

Lưu ý biết điều phân phối chọn mẫu khoản thắng bạc đêm trò chơi rulét, khảo sát kết thí nghiệm Monte Carlo Daniel Seligman Chúng ta đồng ý với Seligman thật ngạc nhiên biết số 365 đêm tạo thua bạc tổng cộng $1000 tiền cược Xác suất khơng có lần thắng bạc 200 lần cược (đặt cược đêm nhất) 0.005, số trung bình lần mà kiện xảy tổng số 365 đêm 1.825 Dựa trung bình với 1.825, ta chứng minh quan sát đêm tạo khoản thua bạc $1000 có khả xảy cao.

Khoản thắng bạch lớn đêm, $1160, nằm 2.98 lần độ lệch chuẩn so với trung bình s 52.64 Điều khó xảy ra, kiện mà diễn đêm số 365 đêm

6.7 TÓM TẮT

Trong tình chọn mẫu thực tế, rút mẫu ngẫu nhiên đơn lẻ gồm n quan sát từ lượng dân số, tính tốn giá trị đơn lẻ số thống kê mẫu, sử dụng giá trị để suy kết luận tham số dân số Nhưng để giải thích số thống kê - để biết số thống kê tính tốn kỳ vọng rơi vào khoảng giá trị gần với tham số dân số - cần phải quan sát cách hoạt động số thống kê việc chọn mẫu lặp lại Như thế, phải lặp lặp lại nhiều lần qui trình chọn mẫu này, phân phối giá trị số thống kê tạo thí nghiệm Monte Carlo khổng lồ phân phối chọn mẫu (hay xác suất) số thống kê

Chương mơ tả đặc trưng phân phối chọn mẫu cho hai số liệu thống kê hữu ích mà sử dụng chương để suy luận kết tham số dân số Trước tiên, giá trị trung bình mẫu tỷ lệ mẫu có phân phối chọn mẫu mà ước lượng xấp xỉ phân phối chuẩn tắc kích thước mẫu lớn Thứ hai, phân phối tập trung tham số dân số tương ứng chúng Như vậy, trung bình phân phối chọn mẫu trung bình mẫu x trung bình dân số μ, trung bình phân phối chọn mẫu tỷ lệ mẫu pˆlà tỷ lệ dân số p Thứ ba, khoảng rộng phân phối này, đo độ lệch chuẩn chúng, gảim xuống qui mô mẫu tăng lên Như thấy Chương 7, đặc trưng thứ ba quan trọng mong muốn sử dụng số thống kê mẫu để ước tính tham số dân số tương ứng Bằng cách chọn qui mơ mẫu lớn hơn, gia tăng xác suất số thống kê mẫu rơi gần vào với tham số dân số



Con số x đêm tổng số 365 mà tạo khoản thua cược $1000 sở hữu phân phối xác suất kép với

n = 365 p = 0.005 Sử dụng ước lượng xấp xỉ Poisson cho phân phối xác suất kép (Phần 4.3), bạn chứng

BÀI TẬP THÊM

6.33 Xem lại thí nghiệm tung xúc xắc Phần 6.3, mà mơ chọn lựa

các mẫu với n = quan sát có ước lượng xấp xỉ cho phân phối chọn mẫu cho trung bình mẫu Lặp lại thí nghiệm này, chọn 200 mẫu với độ lớn n =

a Xây dựng phân phối chọn mẫu cho x Lư ý phân phối chọn mẫu x cho n = không đạt hình dạng chng mà bạn quan sát trường hợp n = (Hình 6.3)

b Trung bình độ lệch chuẩn phân phối xác suất x, số lượng điểm xuất khi xúc xắc đơn lẻ tung, μ = 3.5 σ = 1.71 Các giá trị xác trung bình độ lệch chuẩn phân phối xác suất x dựa vào mẫu có n = bao nhiêu?

c Tính tốn trung bình độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu mô phần

(a) Liệu giá trị có gần sát với giá trị tương ứng có phần (b)

6.34 Quay lại thí nghiệm chọn mẫu Bài tập 6.33 Tính trung vị cho số 200 mẫu có

độ lớn n =

a Sử dụng 200 trung vị để xây dựng biểu đồ tần suất tương đối mà xấp xỉ gần với

phân phối chọn mẫu trung vị mẫu

b Tính trung bình độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu phần (a)

c So sánh trung bình độ lệch chuẩn phân phối chọn mẫu với trung bình độ

lệch chuẩn tính cho phân phối chọn mậu x Bài tập 6.33(b) Số liệu thống kê, trung bình mẫu hay trung vị mẫu tỏ gần với μ nhất?

6.35 Một dân số có hạn bao gồm bốn yếu tố sau: 6, 1, 3,

a Có mẫu khác có độ lớn n = mà chọn từ dân số

như chọn mẫu mà khơng có thay thế? [Gợi ý: chọn mẫu cho khơng có thay yếu tố chọn hai lần cho mẫu.]

b Liệt kê mẫu với n =

c So sánh trung bình mẫu cho số mẫu biết phần (b)

d Tìm phân phối chọn mẫu x Sử dụng biểu đồ xác suất để vễ đồ thị cho phân phối chọn mẫu x

e Nếu tất bốn giá trị dân số có khả xảy ngang nhau, tính giá trị

trung bình dân số μ Liệu có mẫu phần (b) tạo giá trị xbằng với μ không?

6.36 Quay lại Bài tập 6.35 Tìm phân phối chọn mẫu xnếu mẫu ngẫu nhiên có độ lớn n = chọn mà khơng có thay Hãy vẽ đồ thị phân phối chọn mẫu x

6.37 Quay lại Bài tập 6.35 Tìm phân phối chọn mẫu trung vị mẫu mẫu ngẫu nhiên

có độ lớn n = chọn mà khơng có thay Hãy vẽ đồ thị phân phối chọn mẫu trung vị mẫu

6.38 Định lý Giới hạn Trung tâm hàm ý trung bình mẫu xđược phân phối xấp xỉ chuẩn tắc giá trị lớn n Giả định mẫu có độ lớn n = 100 rút từ dân số có trung bình μ = 40 σ =

c P(x 41) bao nhiêu?

6.39 Một điều tra đại lý mua hàng từ 250 công ty cơng nghiệp tìm thấy 25%

những người mua hàng ghi nhận đơn đặt hàng đạt mức cao tháng Giêng so với tháng trước Giả định 250 đại lý mua hàng mẫu đại diện cho mẫu ngẫu nhiên đại lý mua hàng cơng ty tồn nước Mỹ

a Mơ tả phân phối chọn mẫu pˆ, tỷ lệ người mua hàng Hoa Kỳ có mức đặt hàng cao tháng Giêng [Gợi ý: Sử dụngpˆđể ước lượng xấp xỉ p tính tốnpˆ.]

b Xác suất để cho pˆsẽ khác với p giá trị lớn 0.01 bao nhiêu?

6.40 Khoảng thời gian cần thiết nhà đại lý xe địa phương chạy kiểm tra bảo

dưỡng 5000 dặm xe có phân phối xấp xỉ chuẩn tắc với giá trị trung bình 1.4 độ lệch chuẩn 0.7 Giả định phận bảo dưỡng có kế hoạch bảo dưỡng 50 xe cho ngày làm việc tiếng để làm việc phận phải khơng tiêu tốn thời gian bảo dưỡng nhiều số trung bình 1.6 xe Bộ phận bảo dưỡng phải làm thêm phụ trội mức tỷ lệ tất ngày?

6.41 Mẫu tivi 27 inch Sony KV-27XBR26 xếp hạng số 22 nhãn

hàng mẫu tivi khác dựa thuộc tính hiệu suất hoạt động chất lượng hình ảnh, chất lượng âm thanh, dễ dàng sử dụng (“Ratings: 27-inch TV Sets, (Xếp hạng Tivi 27 inch),” 1994) Tuy nhiên, mẫu tivi đắt giá số 22 mẫu, với giá bình quân $1085 khoảng giá dao động từ $1005 đến $1135

a Nếu giả định giá trị dân số khoảng giá đại diện

xấp xỉ cho sáu độ lệch chuẩn, mô tả phân phối chọn mẫu giá bình quân mẫu tivi Sony mẫu ngẫu nhiên có n = 200 người sở hữu tivi

b Xác suất trung bình mẫu lớn $1090 bao nhiêu?

c Xác suất suất trung bình mẫu nhỏ $1078 bao nhiêu? Trên thực tế, bạn

có kết luận trung bình mẫu bạn $1078?

6.42 Theo báo cáo Bộ Thương mại Hoa Kỳ (“Is College Worth It (Đại học có đáng giá

khơng),” 1994) người tốt nghiệp trung học độ tuổi 18 làm thu nhập trung bình $17,702 năm 1990, người có bốn năm học đại học làm bình quân $31,256, gần gấp đôi thu nhập người tốt nghiệp trung học Giả định mẫu ngẫu nhiên có n = 25 người tốt nghiệp đại học hỏi ý kiến vào năm 1990 liên quan đến tiền lương họ độ lệch chuẩn tiền lương người tốt nghiệp đại học $1550

a Trung bình độ lệch chuẩn trung bình mẫu x bao nhiêu?

b Bạn có kỳ vọng phân phối chọn mẫu xđược phân phối chuẩn tắc hay xấp xỉ chuẩn tắc khơng? Giải thích lý

c Tính xác suất trung bình tiền lương mẫu người tốt nghiệp đại học vượt

quá $32,000 Vượt $33,000

d Bạn kỳ vọng trung bình mẫu nằm khoảng với xác suất cao, ví dụ 95%?

6.43 Với chi phí gia tăng giáo dục đại học, phần lớn sinh viên dựa vào cha mẹ hay gia đình

viên năm thứ cách sử dụng mẫu có n = 1000 sinh viên năm 86% tỷ lệ phần trăm thực tế nhận hỗ trợ tài từ cha mẹ hay gia đình

a Mô tả phân phối xấp xỉ cho tỷ lệ mẫu pˆ người nhận trợ giúp tài từ cha mẹ gia đình

b Xác suất tỷ lệ mẫu khác với 0.85 giá trị không lớn 0.02 bao

nhiêu?

c Bạn có muốn thấy tỷ lệ mẫu lớn 90% không? Tại không?

6.44 Thời gian kéo dài trước bạn cần phải sửa chữa hay thay tivi

mình? Theo báo cáo tạp chí Consumer Reports (“Ratings”27-inch TV Sets, 1994) liên quan đến tỷ lệ phần trăm số tivi sửa chữa 15 nhãn hiệu tivi 25-27 inch, ba nhãn hiệu hàng đầu General Electric, Panasonic JVC số ba nhãn hiệu này, khoảng 5% số tivi cần phải sửa chữa Giả định mẫu ngẫu nhiên có n = 500 người sở hữu tivi 25-27 inch nhãn hiệu General Electric chọn tỷ lệ người sở hữu mà tivi họ cần sửa chữa ghi nhận

a Trung bình độ lệch chuẩn tỷ lệ tivi cần sửa chữa bao nhiêu?

b Liệu khoảng

n pq

p có nằm bên khoảng giá trị pˆ không? Liệu Định lý Giới

hạn Trung tâm có áp dụng với phân phối pˆ không?

c Xác suất pˆsẽ khác với p giá trị lớn 0.01 bao nhiêu?

6.45 Quay lại Bài tập 6.44 Cũng báo cáo đó, 10% loại tivi 24-27 inch nhãn hiệu Zenith

cần phải sửa chữa Giả sử mẫu ngẫu nhiên gồm n = 100 người sở hữu tivi 24-27 inch nhãn hiệu Zenith chọn tỷ lệ giống tivi cần phải sửa chữa ghi nhận

a Phân phối xấp xỉ pˆlà nào? Liệu xấp xỉ có tốt hay đơn phù hợp hay khơng? Giải thích lý

b Xác suất tỷ lệ mẫu khác với số 10% giá trị thấp 5% bao

nhiêu?

Bài tập Sử dụng Bộ liệu http://swlearning.com

6.46 Chọn mẫu ngẫu nhiên mô tả Phần 6.1 Chọn 50 mẫu ngẫu nhiên có độ lớn n =

10 từ dân số N = 317 quan sát trọng lượng tươi từ liệu B: Broccoli Data (Dữ liệu bơng cải xanh), tính tốn xcho mẫu

a Xây dựng biểu đồ cho giá trị x 50 mẫu bạn chọn

b Tính trung bình độ lệch chuẩn cho 50 giá trị trung bình mẫu tìm việc

chọn mẫu ngẫu nhiên

c Liệu hình dáng biểu đồ tần suất 50 giá trị x có hình dạng gị hay khơng? Trung bình độ lệch chuẩn tính phần (b) so sánh với giá trị xấp xỉ theo lý thuyết xvà xtính tốn từ tóm tắt liệu?

6.47 Quay lại Bài tập 6.46 cách sử dụng mẫu có độ lớn n = 20 Trung bình theo lý

thuyết cũ, độ lệch chuẩn theo lý thuyết nhỏ

6.48 Một thí nghiệm theo kiểu Monte Carlo: nghiên cứu điển hình Chương 2,

chọn mẫu ngẫu nhiên mô tả Phần 14.2) Hãy xây dựng biểu đồ tần suất tương đối cho trung bình mẫu tính thành viên lớp Phân phối tần suất tương đối trung bình mẫu cung cấp cho ước lượng gần cho phân phối chọn mẫu xcho kích thước mẫu n =

a So sánh phân phối chọn mẫu xcủa bạn với biểu đồ tần suất dân số tương đối Hình 2.30

b Tính trung bình độ lệch chuẩn lý thuyết phân phối chọn mẫu x Trung bình và độ lệch chuẩn dân số liệu cho Phụ lục I μ = 3.7324 σ = 0.3337 Xác định vị tri trung bình khoảng (2/ n) dọc theo trục hồnh Liệu trung bình có nằm gần với trung tâm phân phối trung bình mẫu khơng? Liệu khoảng (2/ n) có bao gồm hầu hết trung bình hay khơng? xấp xỉ 95%?

c Tính tốnh trung bình độ lệch chuẩn trung bình mẫu sử dụng để xây

dựng biểu đồ tần suất tương đối Liệu giá trị có gần với giá trị tìm được cho μ xtrong phần (b)?

6.49 Tham khảo liệu A

a Chọn ngẫu nhiên 25 mẫu có độ lớn từ danh sách liệt kê tiền lương cho nam giáo sư

và tính tốn trung bình cho mẫu Hãy xây dựng biểu đồ cách sử dụng 25 giá trị trung bình Liệu biểu đồ có xấp xỉ gần với phân phối chuẩn tắc hay không?

b Lặp lại phần (a) cho tiền lương nữ giáo sư

6.50 Tham khảo liệu B

a Sử dụng biểu đồ đường kính phần đầu tối đa, tìm tỷ lệ đường kính phần

đầu tối đa lớn 10.5 cách sử dụng tần suất tương đối tất loại với điểm lớn 10 chia cho 317, số quan sát Bây giả định tỷ lệ đại diện cho tỷ lệ dân số

b Chọn 30 mẫu ngẫu nhiên có kích thước 10 đường kính phần đầu tối đa Với mẫu,

hãy định tỷ lệ có đường kính phần đầu tối đa lớn 10.5 Xây dựng biểu đồ cho tỷ lệ mẫu bạn Liệu biểu đồ có tập trung giá trị p = 0.19, giá trị tính tốn phần (a) cho tất quan sát?

c Tính tốn trung bình độ lệch chuẩn giá trị mẫu pˆtìm thấy phần (b) Các giá trị so với giá trị theo lý thuyết tìm sử dụng p = 0.19 nào?