Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán 2019 – Trường Liên cấp Ngôi Sao Hà Nội lần 4

Một phòng họp có 300 ghế ngồi nhưng phải xếp 357 người đến dự họp, do đó ban tổ chức đã kê thêm 1 hàng ghế và mỗi hàng xếp nhiều hơn qui định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi.. d) Khi A chuyển độ[r]

TRƯỜNG LIÊN CẤP THCS, TIỂU HỌC NGÔI SAO HÀ NỘI

Đề số 02

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT - LẦN MƠN TỐN - LỚP

Ngày: 23/04/2019 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức

   

=  −   + 

 − −   + − 

 

4

:

4

2 2

x P

x

x x x x

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị biểu thức P biết x −5 =

c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = P x − x Bài (2,0 điểm)

Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình.

Một phịng họp có 300 ghế ngồi phải xếp 357 người đến dự họp, ban tổ chức kê thêm hàng ghế hàng xếp nhiều qui định ghế đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng ghế có ghế ?

Bài (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:  + + − = + − = − 

3

2

x y

x y

2) Cho phương trình + + =

5 (1)

x mx ( mlà tham số) Tìm m để

phương trình (1) :

Bài (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( )O , đường caoBD CE, cắt tại H cắt ( )O I K

a) Tứ giác BDCE ADHE hình ?

b) Chứng minh : DE song song với IK OA vuông góc với IK c) Khi A chuyển động cung lớn BC , chứng minh DE có độ dài khơng đổi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi

d) Khi A chuyển động cung lớn BC , tìm vị trí A để diện tích tam giác ADE đạt giá trị lớn

Bài (0,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức : = +

+ +

3

1

x y

P

y x với ,x y số

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức

   

=  −   + 

 − −   + − 

 

4

:

4

2 2

x P

x

x x x x

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị biểu thức P biết x −5 =

c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức =Q P x − x

Lời giải

a) x > 0;x ≠

( ) ( )( )

( )( )

=  −    + 

 − −   + − 

 

− − +

=

− + −

+ +

=

+ −

+ −

= ⋅

− =

4

:

4

2 2

4

:

2 2

2

:

2

2

1

P x

x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x

x x

x x

x

b)

− =

 − =

 ⇔

 − = −



 =

 ⇔

 =

  = ⇔  =



2

2

2

3

2

9(TM)

4( )

x

x

x

x

x

x

x KTM

Thay x = vào P có:

= 9− =

P

c) = − = − − =  −  −

 

2

1 17

4

2

Q P x x x x x

GTNN = −17 ⇔ = 1( )

4

Bài (2,0 điểm)

Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình.

Một phịng họp có 300 ghế ngồi phải xếp 357 người đến dự họp, ban tổ chức kê thêm hàng ghế hàng xếp nhiều qui định ghế đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng ghế có ghế ?

Lời giải

Gọi số hàng ghế lúc đầu phòng họp x ( hàng , x ∈ℕ*)

Số ghế hàng lúc đầu 300

x (ghế)

Số hàng ghế lúc sau phòng họp x +1 (hàng)

Số ghế hàng lúc sau + 357

1

x (ghế)

Vì hàng xếp nhiều quy định ghế nên ta có phương trình :

− = ⇒ − + =

+

∆ = ⇒ ∆ = ⇒ = =

2

1

357 300

2 55 300

1

15

625 25 ( ); 10( )

4

x x

x

x ktm x tm

Bài (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:  + + − = + − = − 

3

2 x y x y  + + − =  ⇔  + − = −   − = −  ⇔  + − = −   =   ⇔  =  = − 

3

3

3

2 ( ) 2( ) x y x y y y x y y KTM y TM x

Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y = −( 2;2)

2) Cho phương trình + + =

5 (1)

x mx ( m tham số) Tìm m để

phương trình (1) :

a) Có nghiệm kép , tìm nghiệm kép ? b) Có hai nghiệm x x1, 2đều nguyên

Lời giải

2) a) Để phương trình có nghiệm kép

⇔ ∆ = ⇔ m2 −20 = ⇔0 m = ±2

Khi m = pt (1) ⇔ x2 + 5x + =5

⇔ x = −

Khi m = −2 pt (1) ⇔ x2 −2 5x + =5

⇔ x =

b) Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔

 ≥  − ≥ ⇔  ≤ − 

0 20

2

m m

Theo hệ thức Vi – et có:  + = − = 

1

1

x x m

x x

Vì x1,x2 nguyên nên x1.x2 ∈{1; 1;5; 5− − }

Ta có bảng

1

x −1 −5

2

x −5 −1

m −6 6 −6

Bài (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( )O , đường caoBD CE, cắt tại H cắt ( )O I K

a) Tứ giác BDCE ADHE hình ?

b) Chứng minh : DE song song với IK OA vng góc với IK c) Khi A chuyển động cung lớn BC , chứng minh DE có độ dài khơng đổi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi

d) Khi A chuyển động cung lớn BC , tìm vị trí A để diện tích tam giác ADE đạt giá trị lớn

Lời giải

a) Tứ giác AEHD có: + = 180o ⇒

AEH ADH Tứ giác AEHD nội tiếp

Tứ giác BCDE có: = = 90o ⇒

BEC BDC Tứ giác BCDE nội tiếp x

I

M K

I

D

E

T H

O A

B

b) Tứ giác BCDE nội tiếp ⇒CBD =CED (1)

Lại có CBD =CKI (2)

Từ (1) (2) suy CED =CKI ⇒ ED//KI Kẻ Ax tiếp tuyến ( )O ⇒ Ax ⊥ AO (*)

Ta có BAx = ACB (3)

Lại có BCDE nội tiếp ⇒ ACB = AED (4)

Từ (3) (4) ⇒ BAx = AED ⇒ Ax//KI (**)

Từ (*) (**) ⇒ KI ⊥ AO x

I

M K

I

D

E

T H

O A

B

c) Dễ chứng minh ∆AED ∆ACB g g( )

⇒ ED = AE =cosBAC ⇒ ED =CB cosBAC

CB AC

Mà BC không đổi nên cosBAC không đổi Suy ED không đổi

Kẻ đường kính AM ( )O

Ta chứng minh BHCM hình bình hành

Gọi giao điểm HM BC I

Suy I trung điểm BC HM Do I cố định

Chỉ OI đường trung bình ∆AHM ⇒ AH = 2.OI không đổi

Chỉ AH đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AED Do đó bán kin hs đường trịn ngoại tiếp ∆AED không đổi

x

I

M K

I

D

E

T H

O A

B

d) Gọi giao điểm HA BC T

Có ∆AED ∆ACB g g( )

 

⇒ =   =

 

2

2

AED

ACB

S AE

cos BAC

S AC

⇒ = =

2

AED ACB

S S cos BAC AT BC cos BAC

Mà BC không đổi nên cosBAC không đổi nên SAED lớn AT

lớn

⇔ AT đường kính ( )O

Mà AT ⊥ BC ⇒ A điểm BC lớn x

I

M K

I

D

E

T H

O A

B

Bài (0,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức : = +

+ +

3

1

x y

P

y x với x y, số

dương thỏa mãn xy =

Lời giải

Vì xy = ⇒1 x y, ≠ Ta có

+ = + = + = + =

+ + + + + + + +

3 3 4 4

( 1)

1 (1 ) (1 ) 1

x y x x y y x y x y

xy

y x y x x y x xy y xy x y

  + + + + = + + + −  +  + +   4

1 1

1 4 4

x x y y x y

x y

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương +

4

1

x

x

+ x ta có + + + ≥ = + + 4 1

1 4

x x x x

x

x x ,tương tự ta có

+ + ≥ + 1 y y y y

Mà ≥ − ≥ − + ≥

2 1; 1;

x x y y x y xy

Nên:     + + + + + + + + + −  +  ≥ + −  +  + +     4 2

1 1 1

1 4 4 4

x x y y x y x y

x y x y ( )  + +  ≥ − + − −  +  = + − ≥ − = − =  

1 7

2 2 2.1

4 4 4

x y

x y x y xy

⇒ = + ≥ + + 3 1 x y P

y x dấu “=” xảy x = =y