Một phòng họp có 300 ghế ngồi nhưng phải xếp 357 người đến dự họp, do đó ban tổ chức đã kê thêm 1 hàng ghế và mỗi hàng xếp nhiều hơn qui định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi.. d) Khi A chuyển độ[r]
(1)TRƯỜNG LIÊN CẤP THCS, TIỂU HỌC NGÔI SAO HÀ NỘI
Đề số 02
ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT - LẦN MƠN TỐN - LỚP
Ngày: 23/04/2019 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức
= − +
− − + −
4
:
4
2 2
x P
x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị biểu thức P biết x −5 =
c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = P x − x Bài (2,0 điểm)
Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình.
Một phịng họp có 300 ghế ngồi phải xếp 357 người đến dự họp, ban tổ chức kê thêm hàng ghế hàng xếp nhiều qui định ghế đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng ghế có ghế ?
Bài (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình: + + − = + − = −
3
2
x y
x y
2) Cho phương trình + + =
5 (1)
x mx ( mlà tham số) Tìm m để
phương trình (1) :
(2)Bài (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( )O , đường caoBD CE, cắt tại H cắt ( )O I K
a) Tứ giác BDCE ADHE hình ?
b) Chứng minh : DE song song với IK OA vuông góc với IK c) Khi A chuyển động cung lớn BC , chứng minh DE có độ dài khơng đổi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi
d) Khi A chuyển động cung lớn BC , tìm vị trí A để diện tích tam giác ADE đạt giá trị lớn
Bài (0,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức : = +
+ +
3
1
x y
P
y x với ,x y số
(3)HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức
= − +
− − + −
4
:
4
2 2
x P
x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị biểu thức P biết x −5 =
c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức =Q P x − x
Lời giải
a) x > 0;x ≠
( ) ( )( )
( )( )
= − +
− − + −
− − +
=
− + −
+ +
=
+ −
+ −
= ⋅
− =
4
:
4
2 2
4
:
2 2
2
:
2
2
1
P x
x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x
x x
x
(4)b)
− =
− =
⇔
− = −
=
⇔
=
= ⇔ =
2
2
2
3
2
9(TM)
4( )
x
x
x
x
x
x
x KTM
Thay x = vào P có:
= 9− =
P
c) = − = − − = − −
2
1 17
4
2
Q P x x x x x
GTNN = −17 ⇔ = 1( )
4
(5)Bài (2,0 điểm)
Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình.
Một phịng họp có 300 ghế ngồi phải xếp 357 người đến dự họp, ban tổ chức kê thêm hàng ghế hàng xếp nhiều qui định ghế đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng ghế có ghế ?
Lời giải
Gọi số hàng ghế lúc đầu phòng họp x ( hàng , x ∈ℕ*)
Số ghế hàng lúc đầu 300
x (ghế)
Số hàng ghế lúc sau phòng họp x +1 (hàng)
Số ghế hàng lúc sau + 357
1
x (ghế)
Vì hàng xếp nhiều quy định ghế nên ta có phương trình :
− = ⇒ − + =
+
∆ = ⇒ ∆ = ⇒ = =
2
1
357 300
2 55 300
1
15
625 25 ( ); 10( )
4
x x
x
x ktm x tm
(6)Bài (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình: + + − = + − = −
3
2 x y x y + + − = ⇔ + − = − − = − ⇔ + − = − = ⇔ = = −
3
3
3
2 ( ) 2( ) x y x y y y x y y KTM y TM x
Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y = −( 2;2)
2) Cho phương trình + + =
5 (1)
x mx ( m tham số) Tìm m để
phương trình (1) :
a) Có nghiệm kép , tìm nghiệm kép ? b) Có hai nghiệm x x1, 2đều nguyên
Lời giải
2) a) Để phương trình có nghiệm kép
⇔ ∆ = ⇔ m2 −20 = ⇔0 m = ±2
Khi m = pt (1) ⇔ x2 + 5x + =5
⇔ x = −
Khi m = −2 pt (1) ⇔ x2 −2 5x + =5
⇔ x =
b) Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔
≥ − ≥ ⇔ ≤ −
0 20
2
m m
(7)Theo hệ thức Vi – et có: + = − =
1
1
x x m
x x
Vì x1,x2 nguyên nên x1.x2 ∈{1; 1;5; 5− − }
Ta có bảng
1
x −1 −5
2
x −5 −1
m −6 6 −6
(8)Bài (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( )O , đường caoBD CE, cắt tại H cắt ( )O I K
a) Tứ giác BDCE ADHE hình ?
b) Chứng minh : DE song song với IK OA vng góc với IK c) Khi A chuyển động cung lớn BC , chứng minh DE có độ dài khơng đổi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi
d) Khi A chuyển động cung lớn BC , tìm vị trí A để diện tích tam giác ADE đạt giá trị lớn
Lời giải
a) Tứ giác AEHD có: + = 180o ⇒
AEH ADH Tứ giác AEHD nội tiếp
Tứ giác BCDE có: = = 90o ⇒
BEC BDC Tứ giác BCDE nội tiếp x
I
M K
I
D
E
T H
O A
B
(9)b) Tứ giác BCDE nội tiếp ⇒CBD =CED (1)
Lại có CBD =CKI (2)
Từ (1) (2) suy CED =CKI ⇒ ED//KI Kẻ Ax tiếp tuyến ( )O ⇒ Ax ⊥ AO (*)
Ta có BAx = ACB (3)
Lại có BCDE nội tiếp ⇒ ACB = AED (4)
Từ (3) (4) ⇒ BAx = AED ⇒ Ax//KI (**)
Từ (*) (**) ⇒ KI ⊥ AO x
I
M K
I
D
E
T H
O A
B
(10)c) Dễ chứng minh ∆AED ∆ACB g g( )
⇒ ED = AE =cosBAC ⇒ ED =CB cosBAC
CB AC
Mà BC không đổi nên cosBAC không đổi Suy ED không đổi
Kẻ đường kính AM ( )O
Ta chứng minh BHCM hình bình hành
Gọi giao điểm HM BC I
Suy I trung điểm BC HM Do I cố định
Chỉ OI đường trung bình ∆AHM ⇒ AH = 2.OI không đổi
Chỉ AH đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AED Do đó bán kin hs đường trịn ngoại tiếp ∆AED không đổi
x
I
M K
I
D
E
T H
O A
B
(11)d) Gọi giao điểm HA BC T
Có ∆AED ∆ACB g g( )
⇒ = =
2
2
AED
ACB
S AE
cos BAC
S AC
⇒ = =
2
AED ACB
S S cos BAC AT BC cos BAC
Mà BC không đổi nên cosBAC không đổi nên SAED lớn AT
lớn
⇔ AT đường kính ( )O
Mà AT ⊥ BC ⇒ A điểm BC lớn x
I
M K
I
D
E
T H
O A
B
(12)Bài (0,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức : = +
+ +
3
1
x y
P
y x với x y, số
dương thỏa mãn xy =
Lời giải
Vì xy = ⇒1 x y, ≠ Ta có
+ = + = + = + =
+ + + + + + + +
3 3 4 4
( 1)
1 (1 ) (1 ) 1
x y x x y y x y x y
xy
y x y x x y x xy y xy x y
+ + + + = + + + − + + + 4
1 1
1 4 4
x x y y x y
x y
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương +
4
1
x
x
+ x ta có + + + ≥ = + + 4 1
1 4
x x x x
x
x x ,tương tự ta có
+ + ≥ + 1 y y y y
Mà ≥ − ≥ − + ≥
2 1; 1;
x x y y x y xy
Nên: + + + + + + + + + − + ≥ + − + + + 4 2
1 1 1
1 4 4 4
x x y y x y x y
x y x y ( ) + + ≥ − + − − + = + − ≥ − = − =
1 7
2 2 2.1
4 4 4
x y
x y x y xy
⇒ = + ≥ + + 3 1 x y P
y x dấu “=” xảy x = =y