Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD bằng a, tính thể tích của khối tứ diện ABCD.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..[r]
(1)Họ tên thí sinh:
Số báo danh: Mã đề thi 210
Câu 1: Rút gọn biểu thức
7
7
4
a a
A
a a
với a > Khẳng định sau đúng?
A
2
A a B
2
A a C
7
A a D
7 A a
Câu 2: Cho hàm số y = 2sin x - cos x Đạo hàm hàm số là:
A - 2cos x - sin x B y ′= - 2cos x + sin x C y′ = 2cos x + sin x D y′ = 2cos x - sin x
Câu 3: Hàm số bốn hàm số liệt kê nghịch biến khoảng xác định nó? A 2 x e
y B
3
x
y C 3
x y
e D 2017
x y
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) liên tục Khẳng định sau đúng?
A Hàm số đạt cực tiểu điểm x = B Hàm số có giá trị nhỏ trên 1-
C Hàm số có giá trị cực đại D Hàm số có điểm cực trị
Câu 5: Hình bát diện có cạnh?
A 16 B C 24 D 12
Câu 6: Trong hàm số sau đây, hàm số xác định với giá trị thực x ?
A
1
y x B
1
2 3
2
y x C y1x23 D
3
y x
Câu 7: Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay có bán kính đáy r độ dài đường sinh l là:
A Sxq = rl B Sxq = 2πrl C Sxq = πrl D Sxq = 2rl
Câu 8: Cho số thực dương a, b với a ≠ Tìm mệnh đề mệnh đề
A 2
1
log log
2
a
a ab b B 2
1
log log
2
a
a ab b
C 2
1
log log
4
a
a ab b D loga2 ab 2 2logab
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f '(x) < ∀x ∈ (0;+∞) Biết f (1) = 2020 Khẳng định đúng?
A f (2020) > f (2022) B f (2018) < f (2020) C f (0) = 2020 D f (2) + f (3) = 4040 Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc Biết SA = SB = SC = a , tính thể tích của khối chóp S.ABC
A a B. 3 a C a D 3 a
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
(2)Câu 11: Tổng 2 3
3 3
n n n
n n n n n
S C C C C C bằng:
A -2n B (-2)n C 4n D 2n
Câu 12: Cho 10 điểm phân biệt Hỏi lập vectơ khác mà điểm đầu điểm cuối thuộc 10 điểm cho
A C102 B A102 C A82 D A101
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Hỏi đồ thị hàm số cho có tất đường tiệm cận đứng ngang?
A B C D
Câu 14: Hàm số có đồ thị hình vẽ bên?
A y2x B
3
x
y C 1
3 log
y x D log x3
Câu 15: Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số hàm số đây?
A y = - x3 + 3x2 + B y = x3 - 3x2 + C y = x3 - 3x + D y = - x4 + 2x2 - Câu 16: Hàm số y = x4
- x2 + có điểm cực trị?
A B C D
Câu 17: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có diện tích mặt chéo ACC’A′ bằng
2 2a Thể tích khối lập phương ABCD.A′B′C′D′ là:
A a 3 B 2a3 C 2a3 D 2 2a3
Câu 18: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = x3
- 3x + đường thẳng y = x
(3)Câu 19: Cho hàm số 1 x y
x đồ thị (C) đường thẳng d : y = 2x - Đường thằng d cắt (C) hai điểm A B Tọa độ trung điểm đoạn AB là:
A 3;
2
M B 3;
4
M C 3;
2
M D 3;
4
M
Câu 20: Hàm số
2
log
y x x nghịch biến khoảng sau đây?
A (-∞; 1) B (-∞; 0) C (-1; 1) D (0; +∞)
Câu 21: Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số 1 x y
x tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có diện tích bao nhiêu?
A B C D
Câu 22: Cho mặt cầu (I; R) mặt phẳng (P) cách I khoảng bằng
R Khi thiết diện (P) (S) đường trịn có bán kính bằng:
A R B
2
R
C R D
2 R
Câu 23: Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x) = 1
2x x đoạn [0;3] Tính tổng S = 2M - m
A S = B S =
2
C S = -2 D S =
Câu 24: Hàm số: y = x3
- 3x2 - 9x + đồng biến khoảng sau đây?
A y = (1; +∞) B (-5; -2) C (-∞ ;1) D (-1; 3)
Câu 25: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y = 2x3
+ xlnx điểm M (1; 2)
A y = -7x + B y = 3x - C y = 7x - D y = 3x -
Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, SA =a Thể tích khối chóp S.ABC bằng:
A 3 a B 3 a C a D 3 12 a
Câu 27: Hai anh em A sau Tết có 20 000 000 đồng tiền mừng tuổi Mẹ gửi ngân hàng cho hai anh em với lãi suất 0,5% /tháng (sau tháng tiền lãi nhập vào tiền gốc để tính lãi tháng sau) Hỏi sau năm hai anh em nhận tiền biết năm hai anh em không rút tiền lần (số tiền làm trịn đến hàng nghìn)?
A 21 233 000 đồng B 21 234 000 đồng C 21 235 000 đồng D 21 200 000 đồng
Câu 28: Cho khối chóp S.ABCD tích 4a3
, đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm của cạnh SD Biết diện tích tam giác SAB a2 Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB)
A 12a B 6a C 3a D 4a
(4)A a b4 1 B a b3 1 C 3a = 4b D 4a = 3b Câu 30: Một hình trụ nội tiếp hình lập phương cạnh a Thể tích khối trụ là:
A 1
2a B
3
4a C
3
3a D
3 a
Câu 31: Cho hàm
4
y x x Mệnh đề sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (5; +∞)
B Hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) D Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 2)
Câu 32: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = a, AA′=a 2 Tính góc đường thẳng A’B mặt phẳng (BCC’B′)
A 600 B 300 C 450 D 900
Câu 33: Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay (H), mặt phẳng chứa trục (H) cắt (H) theo một thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích V (H)
A V 23 cm3 B V 13 cm3 C V 17 cm3 D 41 3
3
V cm
Câu 34: Cho tập hợp A= {1,2,3, ,20} Hỏi A có tập khác rỗng mà số phần tử số chẵn số phần tử số lẻ?
(5)Câu 35: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) , AB = 3, AC = BAC = 600
Gọi M, N hình chiếu A SB, SC Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM
A R B 21
3
R C
3
R D R =
Câu 36: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số
1
mx x m
y đồng biến khoảng 1;
A m ∈( -1; 1) B m ∈ 1;1
2
C m ∈
1 ;1
D m ∈
1 ;1
Câu 37: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3
- 3mx2 - 9m2x nghịch biến khoảng (0;1)
A 1
3
m hoac m B m < - C m > 1
3 D
1
3
m Câu 38: Cho hàm số f (x) = x3
- (m + 3) x2 + 2mx + (với m tham số thực, m > 0) Hàm số y = f x có điểm cực trị?
A V
B 12
V
C V
D V
Câu 40: Gọi A tập hợp số tự nhiên có chín chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số thuộc A Tính xác suất để chọn số chia hết cho
A 1
4 B
11
27 C
5
6 D
5 12 Câu 41: Cho hàm số y = f (x) = ax3
+ bx2 + cx + d ( a ≠ ) y có đồ thị hình vẽ Phương trình f (f (x)) = có tất nghiệm thực ?
A B C D
Câu 42: Cho hàm số f (x) = 2x4
- 4x3 + 3mx2 - mx - 2m x2 x 2 (m tham số thực) Biết f (x) ≥ 0, ∀x ∈ Mệnh đề ?
A m ∈ ∅ B m ∈ (-∞; -1) C m ∈ 0;5
4
D m ∈ (-1; 1)
A B C D
(6)Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên 2a, đáy tam giác ABC vuông cân tại C; CA = CB = a Gọi M trung điểm cạnh AA′ Tính khoảng cách hai đường thẳng AB MC′
A
3
a
B a
C
2
a
D 2
a
Câu 44: Trong tất cặp số thực (x; y) thỏa mãnlogx2 y2 32x2y 5 , có giá trị thực của m để tồn cặp (x; y) cho x2
+ y2 + 4x + 6y + 13 - m = ?
A B C D
Câu 45: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 3 2
'
f x x x x Hàm số y = f (x2) nghịch biến trên khoảng sau đây?
A (-∞; -3) B (-1; 1) C (-3; 0) D (3; +∞)
Câu 46: Cho hàm y = f (x) có đạo hàm liên tục f 0 0;f 4 4. Biết đồ thị hàm y = f’ (x)có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số 2
2 g x f x x
A B C D
Câu 47: Cho hàm số f (x) = ln 12
x
Biết f'(2) + f'(3)+ + f' (2019) + f' (2020) = m
n với m, n, các số nguyên dương nguyên tố Tính S = 2m - n
A B C 2- D -4
Câu 48: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a 3, AB = AC = 2a , BC = 3a Tính thể tích khối chóp S.ABC
A
2
a
B 35
2
a
C 35
6
a
D
4
a
Câu 49: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số y = f' (x) hình vẽ bên Gọi g (x) = f (x)
3x
(7)A g (2) B g (1) C g (-1) D g (0)
Câu 50: Cho tứ diện ABCD có AB = BD = AD = 2a , AC = a , BC = a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB, CD a, tính thể tích khối tứ diện ABCD
A
3
a
B 2
3
a
C 2 6a3 D 2 2a3
- HẾT -
Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm
ĐÁP ÁN
1-B 2-C 3-B 4-A 5-D 6-B 7-C 8-B 9-A 10-A
11-B 12-B 13-A 14-D 15-B 16-C 17-D 18-C 19-B 20-B
21-A 22-B 23-A 24-B 25-C 26-D 27-B 28-C 29-A 30-B
31-C 32-B 33-D 34-A 35-B 36-D 37-A 38-C 39-A 40-B
41-C 42-C 43-A 44-B 45-A 46-D 47-C 48-D 49-A 50-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu (TH):
Phương pháp: Sử dụng công thức: (am
)n = am.n, , ,
m m
n m n m n m n m n
n a
a a a a a a
a
(8)Ta có:
7
2
3 3
7 26
4
4 7
.
a a a a a
A a
a a a a a
Chọn B Câu (NB): Phương pháp:
Sử dụng công thức đạo hàm hàm số lượng giác Cách giải:
y = 2sinx - cosx ⇒ y ' = 2cosx + sinx Chọn C
Chú ý: (cosx)' = - sinx Câu (NB):
Phương pháp: Hàm số y = ax nghịch biến khoảng xác định ⇔ < a <1
Cách giải:
1 <
+Hàm số xn
xác định
\ 0;
x khi n
x khi n
x khi n
Cách giải:
+ Đáp án A: TXĐ: D = 1;
⇒ loại A + Đáp án B: TXĐ: D = ⇒ chọn B
Trong hàm số đáp án cho, có đáp án B hàm số có hệ số a = Chọn B
Câu (NB):
Phương pháp: Dựa vào BBT để nhận xét điểm cực trị hàm số
Cách giải: Dựa vào BBT ta thấy, hàm số đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = Chọn A
Câu (NB):
Phương pháp: Sử dụng lý thuyết khối đa diện để làm Cách giải:
Hình bát diện có 12 cạnh Chọn D
(9)Chọn B Câu (NB): Phương pháp:
Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy R chiều cao h đường sinh l : Sxq = πRl
Cách giải:
Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy đường sinh l : Sxq = πrl
Chọn C Câu (TH): Phương pháp:
Sử dụng công thức:
log log log ; log log log
log n log ; log log
a a a a a a
m
a a a
a
x
xy x y x y
y
x x x m x
n
(giả sử biểu thức
có nghĩa) Cách giải:
Với a, b > ta có: 2
1 1 1
log log log log log log
2 a a a a 2 a
a ab ab a b b b
Chọn B Câu (TH): Cách giải:
Hàm số có f'(x) < ∀x ∈ (0; +∞) ⇒ hàm số nghịch biến (0; +∞) ⇒ ∀x1, x2 ∈ (0; +∞) x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)
Thể tích tứ diện OABC có OA = a , OB = b, OC = c đôi vng góc là: V = 1 6abc Cách giải:
Ta có: VSABC =
1
6SA.SB.SC =
a
Chọn A Câu 11 (TH):
Phương pháp: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-ton: (a+b)n
=
n
k n k k n k
C a b
Cách giải:
Vì 2020, 2022 ∈ (0; +∞) ; 2020 < 2022 ⇒ f (2020) > f (2022) Chọn A
(10)Ta có: 2 3
3 3 3n n n n n
n n n n n
S C C C C C
Chọn B Câu 12 (TH):
Phương pháp Chọn k điểm n điểm có thứ tự: k
n
A cách chọn Cách giải:
Cứ điểm không trùng ta hai vetco khác Chọn điểm 10 điểm ta có
10
A cách chọn Chọn B
Câu 13 (NB): Phương pháp:
+ Đường thẳng x = a gọi TCĐ đồ thị hàm số y = f (x) ⇔ lim
xa f (x) = ∞
+ Đường thẳng y = b gọi TCN đồ thị hàm số y = f (x) ⇔ lim
x f (x) = b
⇒ chọn đáp án D
Ta có: 3
0
' ' 2 1
2 x
y x x y x x x x
x
⇒ Hàm số có điểm cực trị Chọn C
Câu 17 (TH): Phương pháp: Cách giải:
Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ x = TCN y = 3, y = Chọn A
Câu 14 (NB): Phương pháp:
Dựa vào dáng điệu đồ thị hàm số để nhận xét tính đơn điệu hàm số, từ chọn hàm số tương ứng
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có TXĐ: D = (0; +∞) hàm số đồng biến (0;+∞ ) Chọn D
Câu 15 (TH): Phương pháp:
Dựa vào dáng điệu đồ thị hàm số để nhận xét tính đơn điệu hàm số điểm mà đồ thị hàm số qua, từ chọn hàm số tương ứng
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có nét cuối lên => a > ⇒ loại A D Lại có đồ thị hàm số qua điểm (2; -2) nên ta có:
+ Đáp án B: 23
- 3.22 + = -2 ⇒ hàm số đáp án B thỏa mãn
+ Đáp án C: 23- 3.2 + = ≠ -2 ⇒ hàm số đáp án C không thỏa mãn.
Chọn B
Câu 16 (NB) Phương pháp
(11)Thể tích hình lập phương có cạnh a là: V = a3
Cách giải:
Ta có:
2 ' '
2
2
3
3 ' ' ' '
'.AC 2 '.AA' 2
' '
2 2
ACC A
ABCD A B C C
S AA a
AA a
AA a AA a
V a a
3
1
1 13
3 3
2 13
2 x
x x x x x x x x x
x
⇒ Hai đồ thị cho cắt điểm phân biệt
+ I trung điểm ;
2
A B A B
x x y y
AB I
Cách giải:
Ta có: (C) : y = 1 x x
(x ≠ - )
Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) là:
2
1 x x
= 2x - ⇔ 2x - = (2x - 3)(x + ) ⇔ 2x
2
- 3x - = 0 Chọn D
Câu 18 (TH):
Phương pháp: Số giao điểm hai đồ thị hàm số số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số
Cách giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số là:
Chọn
Câu 19 (TH): Phương pháp:
(12)⇔ (x - 2)(2x + 1) = ⇔
2 2;1
1
;
2
x tm A
x tm B
⇒ Trung điểm AB là: M 3;
Chọn B
Câu 20 (TH): Phương pháp:
Tìm TXĐ hàm số, khảo sát hàm số cho để tìm khoảng nghịch biến hàm số Cách giải:
TXĐ: D = (-∞ ; 0) ∪ (2; +∞) Ta có
2
: '
2 ln x y
x x
⇒ y' = ⇔ 2x - = ⇔ x = 1. Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số cho nghịch biến (-∞ ;0 ) Chọn B
Câu 21 (TH): Phương pháp:
+ Đường thẳng x = a gọi TCĐ đồ thị hàm số y = f (x) ⇔ lim
xa f (x) = ∞
+ Đường thẳng y = b gọi TCN đồ thị hàm số y = f (x) ⇔ lim
x f (x) = b
Cách giải:
Xét hàm số 1 x y
x
+ TXĐ: D = \ 1
Đồ hàm số có TCĐ là: x = TCN là: y =
(13)Chọn A Câu 22 (TH): Phương pháp
Gọi R bán kính mặt cầu (S), d = d(I; (P)) khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) r bán kính đường trịn giao tuyến mà (P) cắt (S) Khi ta có: 2
r R d
Cách giải:
Áp dụng công thức: 2
r R d ta có:
2 2
2 3
2
R R R
r R
Xét hàm số: f (x) = 1
2 x - x1 [0; 3] , hàm số xác định [0;3] Có:f ’ (x) = 1
22 x1⇒ f ' (x) = ⇔ x1= ⇔ x + = ⇔ x = ∈ [0;3] Mà:
0;3 0;3
1
0 max
2 2 0
1
3 min 1
2
f m f x
S M m
f
Cách giải: Ta có: y' = 3x2
- 6x -
⇒ Hàm số đồng biến ⇔ y' > ⇔ 3x2 - 6x - > ⇔ x2 - 2x - > ⇔
1 x x
⇒ Hàm số đồng biến (-∞; - 1) (3; +∞) Trong đáp án, có đáp án B Chọn B
Câu 25 (TH): Chọn B Câu 23 (TH): Phương pháp:
Sử dụng chức MODE để tìm GT N, GTNN hàm số [a; b] Cách giải:
Chọn A Câu 24 (TH): Phương pháp:
Hàm số y = f (x) đồng biến (a; b) ⇔ f' (x) ≥ ∀ x ∈ (a; b) hữu hạn điểm
(14)Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm M ( x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm
số là: y = f '(x0 )(x - x0) + y0
Cách giải: Ta có: y' = 6x2
+ lnx + 1.
Thay tọa độ điểm M (1; 2) vào hàm số ta được: 2.13 + 1.ln1 = ⇒ M (1; 2) thuộc đồ thị hàm số.
Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M (1; 2) là: y = y' (1)(x - 1) + = (6 + ln1 + 1)(x - ) + = 7x -
Chọn C Câu 26 (TH): Phương pháp:
Cơng thức tính thể tích khối chó có diện tích đáy S chiều cao h là: V = 1 3Sh Cách giải:
Tam giác ABC cạnh a ⇒ S∆ABC
2
a
Ta có: VSABC
2
1 3
3 ABC 12
a a
SA S a
Chọn D Câu 27 (TH): Phương pháp:
Sử dụng công thức: P A1rn với A số tiền gửi vào ngân hàng với lãi suất r % /kì hạn n Cách giải:
Số tiền hai anh em nhận sau năm là:
P A1rn= 20.106 (1 + 0,5%) 1221234000 đồng Chọn B
Câu 28 (VD): Phương pháp:
Sử dụng công thức: h 3V S
(15)Ta có: VSABCD = 4a3 ⇒ VSABD =
1
2 VSABCD = 2a
3
3
2
1 3.2
; ;
3 SAB
a
d D SAB S a d D SAB a
a
Mà M trung điểm SD ⇒ d (M; (SAB)) =
2 d(D; (SAB)) =
2 .6a = 3a
Gọi H x 0;0x0 0 Khi ta có: A x 0;logax0 ;B x0;logbx0
Theo đề ta có: 3HA4HB3HA4HB
0
0 0
0
0 0 0
0
4
4
0
3 log ; log 3log log
4
4 log 3log 0
log log
4 log 3log log log
log
x
x x x x
x
a b a b
b a
x
x x x x x
x x
b a
a b a b
a b a b x
Khối trụ nội tiếp hình lập phương có độ dài cạnh a ⇒ h = a , R = a
2
2
2
tru
a a
V R h a
Chọn B Câu 31 (VD): Phương pháp:
Lập BBT hàm số kết luận khoảng đơn điệu hàm số Chọn C
Câu 29 (VD): Phương pháp:
Sử dụng cơng thức hàm số logarit để biến đổi tìm biểu thức Cách giải:
Chọn A Câu 30 (TH) Phương pháp
Công thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy R chiều cao h : V = π R2
(16)Cách giải:
+ TXĐ: D = (-∞ ; - 1] ∪ [5; +∞) + Ta có
2
2
'
2 5
x x
y
x x x x
+ Cho y' = ⇔ x - = ⇔ x = ∉ D + BBT:
Gọi M trung điểm B'C' , ∆A’B’C’ nên AM' ⊥ B’C' Ta có:
' ' '
' ' ' ' ' '
A M B C
A M BB BB A B C
⇒ A’M ⊥ (BCC’B)
⇒ MB hình chiếu A’B (BCC'B') ⇒ ∠ (A'B; (BCC'B')) = ∠ (A'B; MB) = ∠ A'BM
Do A'M ⊥ (BCC'B') ⇒ A'M ⊥ BM ⇒ ∆A'BM vuông M Tam giác A’B’C’ cạnh a ⇒ A'M =
2
a
∆ A’AB vuông A (do AA' ⊥ (ABC) ⇒ AA' ⊥ AB) nên áp dụng định lí Pytago ta có:
A'B = AA'2AB2 2a2a2 a
Xét tam giác vng A’BM có:
3
' 2
sin ' ' 30
'
a A M
A BM A BM
A B a
Vậy ∠ (A'B; (BCC'B')) = 300
Từ BBT ta thấy hàm số đồng biến (5; +∞) nghịch biến (-∞; - 1) Vậy khẳng định C
Chọn C
Chú ý: ưu ý tìm TXĐ hàm số trước lập BBT Câu 32 (VD):
Phương pháp:
(17)Chọn B Câu 33 (VD): Phương pháp:
+ Thể tích khối trụ chiều cao h, bán kính đáy R : V = πR2
h
+ Thể tích khối nón cụt chiều cao h, hai bán kính đáy ;r R : V = 1 2 3 r rRR h Cách giải:
Hình (H) bao gồm:
+ Khối trụ có bán kính đáy R1 =
3
2 (cm) , chiều cao h = (cm)
⇒ Thể tích khối trụ là:
2
3
3
.4
V cm
+ Khối nón cụt có hai bán kính đáy r2 =
2
2 = (cm) , R2 =
2 = (cm) chiều cao h' = (cm)
⇒ Thể tích nón cụt là: 2 3
2
1 14
1.2 2
3
V cm
Vậy 3
1
14 41
9
3
H
V V V cm Chọn D
Câu 34 (VD): Phương pháp:
Sử dụng chỉnh hợp, quy tắc đếm cách hợp lý Cách giải:
Tập hợp A có 10 phần tử số chẵn 10 phần tử số lẻ
Gọi A1 = {1;3;5;7;9;11;13;15;17;19 } A2 { 2;4;6;8;10;12;14;16;18;20 }
Gọi X tập hợp thỏa mãn yêu cầu toán ( X ≠ ∅ ) TH1: X gồm phần tử số chẵn phần tử số lẻ ⇒ Có 1 1
10 10 10
C C C tập hợp thỏa mãn
TH2: X gồm phần tử số chẵn phần tử số lẻ
⇒ Có 2
10 10 ( 10)
C C C tập hợp thỏa mãn
TH10: X gồm 10 phần tử số chẵn 10 phần tử số lẻ ⇒ Có 10 10 10
10 10 10
C C C tập hợp thỏa mãn Vậy có tất 1 2 10
10 10 10
C C C = 184755 tập hợp X thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A
Câu 35 (VDC): Phương pháp:
(18)Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ IA = IB = IC (1) Gọi E, F trung điểm AB, AC ta có:
IE AC IE SA
⇒ IE ⊥ (SAC) ⇒ IE ⊥ (ANC)
⇒ IA = IB = IM (3).
Từ (1), (2) (3) ⇒ IA = IB = IC = IM = IN
⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp ABCMN, bán kính mặt cầu ngoại tiếp R = IA , bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có S∆ABC = sin 1.3.2sin 600 3
2AB AC BAC 2
Áp dụng định lí Cơ-sin tam giác ABC ta có
2 2
2 .cos 2.3.cos 60
BC AB AC AB AC BAC
Vậy 7.2 21
4 3
4
ABC AB BC CA R
S
+ Tìm điều kiện để hàm số xác định 1;
y' > ∀x ∈
;
Cách giải: TXĐ: D = \{-m} Ta có:
1
2
1 1 1
' ln ln
5 5
mx x m
mx x m
mx m
y
x m x m
Lại có E tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ANC (do tam giác ANC vuông N) Do IE trục ∆ANC ⇒ IA = IC = IN (2)
Chứng minh tương tự ta có IE trục tam giác AMB
Chọn B Câu 36 (VD): Phương pháp:
(19)Để hàm số đồng biến khoảng 1;
thì
1
' ;
2
;
y x
m
2
1
1
1
1
1
2
2
m m
m m
m
Vậy 1;1
2
m
⇒ 3x2
- 6mx - 9m2 ≤ ∀x ∈ (0; 1) ⇔ x2 - 2mx - 3m2 ≤ ∀x ∈ (0; 1) + Ta có ∆' = m2 + 3m2 = 4m2 ≥ ∀m ∈
TH1: m = ⇒ x2 > ∀x ∈ (0; 1) (loại).
TH2: m≠ ⇒ Phương trình x2
- 2mx - 3m2 = có hai nghiệm phân biệt
4
4
x m m m
x m m m
+ Nếu x1 < x2 ⇔ 3m < - m ⇔ m < Khi ta có BXD:
1
Dựa vào BBT ta thấy hàm số nghịch biến 0;1 1
m m
Vậy
3
m hoac m ≤ - Chọn A
Câu 38 (VD): Phương pháp:
+ Xác định số điểm cực trị hàm số y = f (x)
+ Xác định vị trí điểm cực trị so với trục Oy, từ suy số điểm cực trị hàm số y = f (x) Cách giải:
Chọn D Câu 37 (VD): Phương pháp:
Hàm số y = f (x) nghịch biến (a; b) ⇔ Hàm số xác định (a; b) f' (x) ≤ ∀x ∈ (a; b) (bằng hữu hạn điểm)
Cách giải: + TXĐ: D = + Ta có y' = 3x2
- 6mx - 9m2
+ Để hàm số nghịch biến (0; 1) ⇔ y' ≤ ∀ x ∈ (0; 1)
(20)Ta có f'(x) = 3x2
- 2(m + 3)x + 2m Xét f' (x) = ⇔ 3x2
- 2(m + 3)x + 2m = ta có: ∆' = (m + 3)2 - 3.2m = m2 + > ∀m ∈ Do hàm số y = f (x) có điểm cực trị với giá trị m
Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị hàm số, áp dụng định lí Vi-ét ta có:
1 2
2
3
3
m
x x
m x x
Do m > ⇒
1 0 x x x x
⇒ Hàm số có điểm cực trị nằm bên hải trục Oy ,
Vậy hàm số y = f x có điểm cực trị. Chọn C
Câu 39 (VD): Phương pháp:
Sử dụng công thức . ;
AMNP P AMN AMN
V V d P AMN S
Cách giải:
Ta có
1
; ;
3
AMNP P AMN AMN AMN
V V d P AMN S d P SAB S
DoCP SABd P SAB ; dC;SAB
Lại có SAMN =
1 1 1
; ;
2d N AM AM 2d B SA 2SA4SSAB
1 1
;
3 4
AMNP SAB C SAB
V d C SAB S V
(21)Ta có VC.SAB = VS.ABC
1 1
; ;
3 ABC ABCD S ABCD
V
d S ABC S d S ABC S V
Vậy VAMNP =
8 V Chọn A Câu 40 (VD): Phương pháp:
+ Tính số phần tử khơng gian mẫu + Tính số phần tử biến cố
+ Tính xác suất biến cố Cách giải:
Gọi số có chữ số khác làa a a1 3 a9 (a1 ≠ )
Số số có chữ số khác 10
A A số ⇒ n (Ω) = 10
A A
Gọi A biến cố: “Số chọn chia hết cho 3”
Ta có tổng số từ đến + + + + = 9.10 45
⇒ Số có chữ số khác chia hết cho chọn từ tậ có chữ số thỏa mãn: khơng có số 0, khơng có số 3, khơng có số 6, khơng có số
TH1: Bộ (a1; a2 ; ; a9) số ⇒ Có A99 = 9! số TH2: Bộ (a1; a2 ; ; a9) khơng có số ⇒ Có 8.A88= 8.8! số TH3: Bộ (a1; a2 ; ; a9) khơng có số ⇒ Có 8.A88= 8.8! số TH4: Bộ (a1; a= ; ; a9) khơng có số ⇒ Có 8.A88= 8.8! số ⇒ n (A) = 9! + 3.8.8!
Vậy P (A) =
10 9! 3.8.8! 11
27 n A
n A A
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình f (t) = có nghiệm phân biệt
1
2; 0;1 1;
t t
t t
t t
TH1: t = t1 ∈ (-2; -1) ⇒ f (x) = t1 ∈ (-2; -1) ⇒ Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm
số y = f (x) đường thẳng y = t1 ∈ (-2; - 1) song song với trục hoành
⇒ f (x) = t1 ∈ (-2; -1) có nghiệm
TH2: t = t2 ∈ (0; 1) ⇒ f (x) = t2 ∈ (0; 1) Suy luận tương tự ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt
TH3: t = t3 ∈ (1; 2) ⇒ f (x) = t3 ∈ (1; 2) Suy luận tương tự ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt
Rõ ràng nghiệm hoàn tồn phân biệt
Vậy phương trình f (f (x)) = có phân nghiệm biệt Chọn B
Câu 41 (VD): Phương pháp:
Số nghiệm phương trình f (x) = g (x) số giao điểm hai đồ thị hàm số y = f (x) y = g (x) Cách giải:
(22)Chọn C
Câu 42 (VDC): Cách giải: Chọn C Câu 43 (VD): Phương pháp:
Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với đường chứa đường thẳng
Cách giải:
Gọi N trung điểm CC' ta có AN \\ MC' ⇒ MC' (ABN) AB ⇒ d (MC'; AB) = d (MC'; (ABN)) = d (C'; (ABN))
Ta có: CC' ⋂ (ABN) = {N} ⇒ d C 'ABNC N' 1 d C 'ABNd C ABN ; ⇒ ∆vACN = ∆vBCN (hai cạnh góc vng) ⇒ AN = BN ⇒∆ABN cân N
⇒ Trung tuyến NI đồng thời đường cao ⇒ NI ⊥ AB Do AB CI
AB NI
⇒ AB ⊥ (NCI)
Trong (NCI) kẻ CK ⊥ NI (K ∈ NI) ta có CK ⊥ AB (AB ⊥(NCI) CK) ⇒ CK ⊥ (ABN) ⇒ CK = d (C; (ABN))
Tam giác ABC vng cân C có CA = CB = a ⇒ CI=
2
AB a
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông NCI đường cao CK ta có:
2 2
2
2
3
4 a
a
CI CN a
CK
CI CN a
a
Vậy d (AB; MC') = 3
a
Chọn A
Câu 44 (VDC): Phương pháp:
dC;ABN CN
(23)Sử dụng phương pháp hình học Cách giải:
Điều kiện: 2x + 2y + > ( * ) Theo giả thiết ta có:
2 3
logx y ( 2x + 2y + 5) ≥ ⇔ 2x + 2y + ≥ x2 + y2 + ( Do x2 + y2 + 3>1) ⇔ x2
+ y2 - 2x - 2y ≤ (1)
⇒ Tập hợp điểm (x; y) thỏa mãn (1) thuộc hình trịn tâm I (1; 1) , bán kính R = (tính biên). Lại có (x ; y) thỏa mãn x2 + y2 + 4x + 6y + 13 - m = ⇔ (x + 2)2 + (y + 3)2 = m (2) ⇒ m ≥ + m = ⇔ ( ) ⇔ (x + 2) 2
+ (y + 3)2 = ⇔
x y
(*) ⇔ (-2) + (-3) + = - < ⇒ m = không thỏa mãn.
+ m > , tậ hợ điểm (x ; y) thỏa mãn (2) đường tròn tâm J (- 2; - 3) bán kính R2= m
Ta có IJ = 2 2
2
> R1 ⇒ J nằm phía ngồi hình trịn (1)
Do để tồn cặp(x ; y) thỏa mãn (1) (2) thì: TH1: Hai đường trịn (I ; 2) (J; m ) tiếp xúc ⇒ IJ =R1R2 5 m m 3 m 9 tm TH2: Đường tròn (J; m ) chứa đường tròn ( I ;2 ) ⇒ IJ = R2 - R1 ⇔ 5= m - ⇔ m = ⇔ m = 49 tm)
Cho g’ (x) =
0
3
1
x boi
x boi
x boi
Ta có bảng xét dấu g’ (x) sau:
Từ bảng xét dấu g’ (x) ta thấy hàm số g (x) = f (x2) nghịch biến ( -∞; - 3) , (0; 3)
Chọn A
Chú ý: Qua nghiệm bội chẵn g’(x) g'(x) khơng đổi dấu Câu 46 (VD):
Cách giải: Chọn D Câu 47 (VD): Phương pháp:
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B
Chú ý: Nhiều học sinh tìm giá trị m thiếu trường hợp Câu 45 (VD):
Phương pháp:
+ Tính đạo hàm hàm hợp : [ f (u (x) )]' = u' (x) f ' (x)
+ Xét dấu đạo hàm hàm f (x2) kết luận khoảng đơn điệu Cách giải:
Đặt g (x) = f (x2) Ta có: g' (x) = 2xf ' (x2
(24)+ Sử dụng cơng thức tính đạo hàm ln u ' u' u
+ Sử dụng phân tích:
k1 k k2 1 k11k k k 11
Cách giải: Ta có:
4
2
2
2
2 1
'
1 1 1 1
1
x
x x
f x
x x x x x x x x x x
x x
Do đó: f' (2) + f ' (3) + + f ' (2019) + f' (2020)
1 1 1 1
1.2 2.3 2.3 3.4 2018 2019 2019 2020 2019 2020 2020.2021 1010.2021
1 1010.2021
2020.2021 1.2 2020.2021 2020.2021
2 1010.2021 2020.2021 2020.2021 m
n
S m n
+ Cơng thức tính thể tích khối chóp : Vchop =
1
3 Sday h
Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ SH ⊥ (ABC)
Gọi M trung điểm BC, tam giác ABC cân A ⇒ AM đồng thời trung trực BC Suy H ∈ AM
Áp dụng định lí Pytago tam giác vng ABM có:
2 2
2
9
4
4
1 7
.3
2 2
ABC
a a
AM AB BM a
a a
S AM BC a
Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ R = 2 32
4 7
4
ABC
AB BC CA a a a a
S a
⇒ AH =4 7
a
Áp dụng định lí Pytago tam giác vng SAH có: SH = 2 16 35
7
a
SA AH a a
Vậy
2
1 35
3 4
S ABC ABC
a a a
V SH S
Chọn C Câu 48 (VD): Phương pháp:
+ Chóp có tất cạnh bên có chân đường vng góc trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp đáy
Cách giải:
(25)Chọn D
Câu 49 (VDC): Phương pháp:
+ Xác định nghiệm phương trình g' (x) =
+ lập BBT, so sánh giá trị kết luận GTNN hàm số [ -1; 2] Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình có (*) có nghiệm phân biệt
1
x x x
BBT:
Theo giả thiết ta có: g ( -1) + g (1) > g (0) + g (2) ⇔ g (-1) - g (2) > g (0) - g (1) Do hàm số y = g (x) nghịch biến (0;1) ⇒ g (0) > g (1) ⇒ g (0) - g (1) > ⇒ g (-1) - g (2) > ⇔ g (- 1) > g (2)
Do 1;2
g (x) = g (2) Chọn A
Ta có g' (x) = f ' (x) - x2
+ x + Cho g' (x) = ⇔ f ' (x) = x2
- x - (*).
(26)Câu 50 (VDC): Phương pháp:
+ Trong (ABD) , từ B dựng đường thẳng vng góc với AB cắt AD E Tính thể tích khối tứ diện ABCE + Sử dụng tỉ lệ thể tích
Cách giải:
Trong (ABD), từ B dựng đường thẳng vng góc với AB cắt AD E (như hình vẽ) Xét tam giác ABC ta có:
AB2 + BC2 = (2a)2 + (a 3)2 = 7a2 = AC2 ⇒ ∆ABC vuông B ⇒ AB ⊥ BC Lại có AB ⊥ BE ⇒ AB ⊥ (BCF)
Tam giác ABD ⇒ ∠BAD = 600
Xét tam giác vng ABE có: AE
0 ; tan 60
cos 60 AB
a BE AB a
⇒ DE = AE - AD = 4a - 2a = 2a = AD ⇒ D trung điểm AE Gọi F trung điểm BE ⇒ BF = EF = a 3= BC
⇒ DF đường trung bình tam giác ABE ⇒ DF \\ AB Mà AB ⊥ (BCE) ⇒ DF ⊥ (BCE)
Gọi I trung điểm CF Tam giác BCF cân B ⇒ BI ⊥ CF Mà DF ⊥ (BCE) ⇒ DF ⊥ BI ⇒ BI ⊥ (CDF)
Ta có: AB \\ (CDF) CD ⇒ d (AB;CD) = d (AB; (CDF)) = d (B; (CD)) = BI = a Xét tam giác vng BCI có: CI = 2 2
3 2 2
BC BI a a a CF CI a
Ta có SBCF =
2
1
.2 2
2BI CF a aa
2
C;
2 2 2 2 2
1
C;
2
BCE
BCE BCF
BCF
d BE BE
S
S S a
S
d BE BF
3
1
.2 2
3 3
ABCE BCE
a
V AB S a a
Ta có:
3
1 1 2
2 2 3
ABCD
ABCD ABCE
ABCE
V AD a a
V V