Các đường tròn Lemoine và họ các đường tròn Tucker

Các đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn TuckerCác đường tròn Lemoine và họ các đường tròn Tucker

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Thái Nguyên 8 - 2020

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sựhướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên caocấp Trường đại học Hải Phòng Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành

và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiêncứu, dành thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giảtrong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích chocông tác và nghiên cứu của bản thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắctới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12B; Nhàtrường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại họcKhoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốtthời gian học tập tại trường

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục

và Đào tạo Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thểhoàn thành luận văn này

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K12B đã luônđộng viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và làm luận văn.Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ

và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020

Tác giả

Trịnh Văn Dũng

Danh mục hình

1.1 Ba đường đối trung đồng quy tại điểm Lemoine 5

1.2 Tính chất đường đối trung của tam giác 8

1.3 L là trọng tâm tam giác pedal 10

1.4 Hai đường đối song 14

1.5 Các cạnh đối song DE và F K của tam giác ABC bằng nhau 14

1.6 Mệnh đề 1.2.6 15

2.1 Đường tròn Lemoine thứ nhất 27

2.2 Đường tròn Lemoine thứ hai 28

2.3 Dựng điểm Lemoine 30

2.4 Độ dài các đường song song Lemoine 31

2.5 Độ dài đường đối song Lemoine 33

2.6 Tính bán kính đường tròn Lemoine thứ nhất 35

2.7 Trục đẳng phương của hai đường tròn Lemoine 37

2.8 Đường tròn Lemoine thứ ba 38

2.9 L là trọng tâm của ∆AAbA c , ∆B a BB c , ∆C a CbC 39

2.10 BmK = 1 2BO = 1 2R 40

2.11 Các điểm S, L, K, M, U thẳng hàng 43

3.1 Lục giác Tucker 45

3.2 AKa : KaL = λt : (2 √ ν − λt) 47

3.3 OK(t) : K(t)L = λt : 2 √ νt 49

3.4 Các đường tròn Lemoine Ln, n = 0, 1, 2, 3 52

3.5 Các đường tròn của Q.T.Bui 53

3.6 Đường tròn Taylor 54

3.7 Đường tròn Gallatly 55

3.8 Hai đường tròn van Lamoen và Kenmotu 56

3.9 Hai đường tròn van Lamoen và Kenmotu 57

3.10 Hai đường tròn Tucker bằng nhau 59

3.11 Hai đường tròn Tucker tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp 62

Mục lục

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Đường đối trung và điểm Lemoine 5

1.1.1 Đường đối trung và một số tính chất 6

1.1.2 Tính chất của điểm Lemoine 8

1.2 Đường đối song và đường đối song Lemoine 13

1.3 Tọa độ Barycentric 17

1.3.1 Định nghĩa và tính chất 17

1.3.2 Một số kết quả trong tọa độ barycentric 19

Chương 2 Các đường tròn Lemoine 26

2.1 Đường tròn Lemoine thứ nhất và thứ hai 26

2.2 Một số công thức tính độ dài 30

2.3 Đường tròn Lemoine thứ 3 38

Chương 3 Họ đường tròn Tucker và trường hợp đặc biệt 44

3.1 Đường tròn Tucker C(t) 45

3.2 Một số đường tròn Tucker đặc biệt 51

3.3 Các đường tròn Tucker bằng nhau 58

3.4 Các đường tròn Tucker trực giao và tiếp xúc 59

Tài liệu tham khảo 65

Giới thiệu luận văn

1 Mục đích của đề tài luận văn

Các yếu tố hình học xung quanh đường tròn Lemoine rất phong phú,liên quan sâu sắc đến các vấn đề về đường tròn trong hình học sơ cấp Đó

là các khái niệm: Điểm Lemoine, trục Brocard, đường thẳng Lemoine, lụcgiác Lemoine, lục giác Tucker Bằng cách tham số hóa ta có thể xây dựng

họ đường tròn Tucker với phương trình tổng quát trong tọa độ barycentric

và các vấn đề khác Đó là lý do để tôi chọn đề tài 00Các đường trònLemoine và họ các đường tròn Tucker” làm luận văn thạc sĩ củamình Mục đích của đề tài là:

- Trình bày các đường tròn Lemoine gồm đường tròn Lemoine thứ nhất,đường tròn Lemoine thứ hai và đường tròn Lemoine thứ ba của tam giác

ABC Bố cục chung là xác định tâm, tính bán kính và các tính chất đặctrưng của mỗi đường tròn Lemoine

- Bằng cách sử dụng tọa độ barycentric, mở rộng lục giác Lemoine sanglục giác Tucker, tổng quát hóa các đường tròn Lemoine thành họ các đườngtròn Tucker theo tham sốt Từ đó quay trở lại xác định các trường hợp đặcbiệt khác của họ đường tròn Tucker cùng các ứng dụng của họ đường trònnày Tài liệu tham khảo chính là bài báo [4] đăng năm 2017 của hai nhàhình học tên tuổi Sandor Nagydobai Kiss (Romania) và Paul Yiu (USA)

- Bồi dưỡng học sinh phổ thông có năng khiếu Toán, nâng cao và khaithác các chuyên đề hình học hay và khó, chưa được hệ thống và giới thiệutrong chương trình Hình học phổ thông và các giáo trình Hình học sơ cấp

2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết

Dựa vào các tài liệu chính [1] và [4], luận văn trình bày các kiến thức

bổ sung gồm các đường đối trung, điểm Lemoine, các đường song song,

và hệ tọa độ barycentric Từ đó nghiên cứu ba đường tròn Lemoine, tổngquát hóa nghiên cứu họ đường tròn Tucker phụ thuộc một tham số độ dài

t và các ứng dụng liên quan Nội dung luận văn chia làm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trình bày các kiến thức bổ sung là: Đường đối trung, điểm Lemoine,đường đối song và tọa độ barycentric Nội dung chương bao gồm (có thamkhảo và chọn lọc trong [1], [6]):

1.1 Đường đối trung và điểm Lemoine

1.2 Đường đối song và đường đối song Lemoine

1.3 Tọa độ barycentric

Chương 2 Các đường tròn Lemoine

Xây dựng các đường tròn Lemoine dựa vào các khái niệm đườngđối song, đường đối trung, điểm Lemoine, lục giác Lemoine, Phát biểu vàchứng minh các tính chất đặc trưng của mỗi đường tròn Lemoine

Chương này bao gồm (có tham khảo và chọn lọc trong [5]):

2.1 Đường tròn Lemoine thứ nhất và thứ hai

2.1 Một số công thức tính độ dài

2.4 Đường tròn Lemoine thứ ba

Chương 3 Họ các đường tròn Tucker và ứng dụng

Dựa vào khái niệm lục giác Tucker (tổng quát hóa từ lục giácLemoine), tiến hành tham số hóa theo độ dài cạnh đối song thu được

họ các đường tròn Tucker Từ phương trình tổng quát lại nhận được nhiềutrường hợp đặc biệt và các ứng dụng của họ đường tròn này Nội dung củachương bao gồm (có tham khảo và chọn lọc trong [4]):

3.1 Lục giác Tucker và đường tròn Tucker C(t)

3.2 Một số đường tròn Tucker đặc biệt

3.3 Các đường tròn Tucker bằng nhau

3.4 Các đường tròn Tucker trực giao và tiếp xúc

KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

Stt Ký hiệu Nội dung ký hiệu Trang

1 L Điểm Lemoine của tam giác 6

2 T Là tâm vị tự trong của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 18

3 T0 Là tâm vị tự ngoài của đường tròn nội tiếp ∆ABC 18

4 S Là diện tích ∆ABC 18

6 σ bằng hai lần diện tích ∆ABC 20

7 P Là trọng tâm của tam giác pedal 20

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trước hết ta nhắc lại về đường đối trung, điểm Lemoine và đường đốisong trong tam giác

1.1 Đường đối trung và điểm Lemoine

Hình 1.1: Ba đường đối trung đồng quy tại điểm Lemoine

Trên Hình 1.1 tam giác ABC có ba trung tuyến AD; BF ; CE, ba phângiác (nét đứt) và 3 đường thẳng: AA1; BB1; CC1 tương ứng là đối xứngcủa trung tuyến qua đường phân giác, được gọi là các đường đối trungcủa tam giác ABC Các trung tuyến đồng quy ở G−trọng tâm, các đường

phân giác đồng quy tạiI−tâm đường tròn nội tiếp, còn ba đường đối trungđồng quy tại điểm L, gọi là điểm Lemoine (điểm Grebe hay tâm đối trungcủa tam giác) Trong “Bách khoa toàn thư về các tâm tam giác”, điểmLemoine được ký hiệu là X(6).

1.1.1 Đường đối trung và một số tính chất

Định nghĩa 1.1 Đường thẳng đối xứng với trung tuyến qua phân giáctrong của góc tại đỉnh tam giác được gọi là đường đối trung

Mệnh đề 1.1.1 Ba đường đối trung của tam giác đồng quy tại một điểm.Điểm đồng quy đó được gọi là điểm Lemoine (còn gọi là điểm Grebe haytâm đối trung) của tam giác

Chứng minh Giả sử ASA, BSB là hai đường đối trung, cắt nhau tại điểm

L Từ L ta hạ các đường vuông góc xuống các cạnh tam giác Ký hiệu

x, y, z là khoảng cách từ L lần lượt đến các cạnh a, b, c Vì L thuộc đườngđối trung ASA nên

Đẳng thức (1.3) chứng tỏ đường đối trung CSC đi qua điểm L

Mệnh đề 1.1.2 Đường đối trung chia trong cạnh đối diện thành các phần

tỷ lệ với bình phương các cạnh kề

Chứng minh Gọi AS và AM là đường đối trung và trung tuyến của

∆ABC xuất phát từ A Khi đó

Chia vế với vế hai đẳng thức trên thì được

Mệnh đề 1.1.3 Nếu một đường thẳng xuất phát từ đỉnh tam giác chiatrong cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với bình phương các cạnh kề thì

đó là đường đối trung

Chứng minh Theo giả thiết SB

SC = (BCS) = −

AB2

AC2 Giả sử S khôngphải chân đường đối trung xuất phát từ A Ta dựng đường đối trung AS0.Theo Mệnh đề 1.1.2, S0B

Mệnh đề 1.1.4 Đường đối trung là quỹ tích những điểm mà khoảng cách

từ đó đến 2 cạnh tam giác tỷ lệ với hai cạnh này

Chứng minh Giả sử S là điểm mà khoảng cách từ S đến 2 cạnh tam giác

tỷ lệ với hai cạnh này Từ S kẻ SD ⊥ AB, SE ⊥ AC thì SD

là đường đối trung

Đảo lại, giả sử AS0 là đường đối trung trong tam giác ABC, S0 là chânđường đối trung Trên AS0 ta lấy S bất kỳ và vẽ S0D, SD0 ⊥ AB, S0E,

SE0 ⊥ AC Ta có

SAS0B

SAS0C =

AB.S0DAC.S0E =

Hình 1.2: Tính chất đường đối trung của tam giác

Ta hãy xác định các khoảng cách x, y, z từ điểm Lemoine đến các cạnh

Vì L là giao ba đường đối trung nên

1.1.2 Tính chất của điểm Lemoine

Ta phát biểu và chứng minh các tính chất cơ bản của điểm Lemoine

Tính chất 1.1 Trong ∆ABC, với S là diện tích của tam giác, khoảngcách từ điểm Lemoine L đến các cạnh tỷ lệ với

2S

a2 + b2 + c2a, 2S

a2 + b2 + c2b, 2S

a2 + b2 + c2c

Chứng minh Theo định lý Grebe: "Các đoạn thẳng nối điểm Lemoine L

với các hình chiếu của L trên các cạnh thì tỷ lệ với độ dài các cạnh tươngứng", [2] Nếu LA, LB, LC là chân đường vuông góc hạ từ L xuống cạnh

Như vậy, LLA = α.a, LLB = α.b, LLC = α.c

Mặt khác, S = S∆ABC thì 2S = 2SLBC + 2SLCA + 2SLAB

= aLLA+ bLLB+ cLLC Như vậy, 2S = a(α.a) + b(α.b) + c(α.c) Từ đâysuy ra: α = 2S

a2 + b2 + c2 Ta có điều cần chứng minh

Nhắc lại rằng với điểmP tùy ý, kẻ P Pa ⊥ BC,P Pb ⊥ AC,P Pc ⊥ AB

Ta gọi tam giác PaPbPc là tam giác pedal của điểm P đối với tam giác

ABC Khi P ≡ L thì ta gọi tam giác pedal LaLbLc của L là tam giácpedal Lemoine

Tính chất 1.2 Độ dài các cạnh của tam giác pedal Lemoine tương ứng

là 2α.ma, 2α.mb, 2α.mc, trong đó, ma, mb, mc là độ dài các trung tuyếntương ứng xuất phát từ đỉnh A, B, C của ∆ABC và α = 2S

Tính chất 1.3 (Định lý Grebe thứ 2) Nếu L là điểm trên mặt phẳng tamgiác ABC sao cho đại lượng

d2(L, BC) + d2(L, AC) + d2(L, AB)

đạt cực tiểu thì L là điểm Lemoine của tam giác

Chứng minh Giả sửLlà điểm trên mặt phẳng, hạLLa ⊥ BC,LLb ⊥ CA,

Tính chất 1.4 (Định lý Lemoine) Cho tam giác ABC và P là điểm bất

kỳ Ký hiệu A0B0C0 là tam giác pedal của P đối với ∆ABC Khi đó, P

là điểm Lemoine của ∆ABC khi và chỉ khi P là trọng tâm của tam giácpedal A0B0C0

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử P ≡ L− điểm Lemoine của ∆ABC,hình 1.3a Gọi M là trung điểm của BC, N là đối xứng của G qua M,G

là trọng tâm ∆ABC, ∆A0B0C0 là tam giác pedal của L Khi đó, BGCN

là hình bình hành và các tứ giác LB0AC0, LA0BC0, LA0CB0 là các tứ giácnội tiếp Ta có các đẳng thức góc:

Điều đó nghĩa là ∆CM N ∼ ∆A0KC0 và có biến đổi đồng dạng biến

C, G, N, M tương ứng thành A0, B0, C0, K Vì M là trung điểm GN nên

K là trung điểm của C0B0 Nghĩa là A0L là trung tuyến ∆A0B0C0 Tương

tự, B0L, C0L là 2 trung tuyến còn lại Do đó, L là trọng tâm tam giácpedal A0B0C0

Điều kiện đủ Hình 1.3b, giả sử P là trọng tâm của tam giác pedal

A0B0C0 của nó Gọi Q là điểm liên hợp đẳng cự của P ứng với tam giác

ABC Kéo dài AQ đến N sao cho CN k QB Chú ý rằng các tứ giác

Điều đó nghĩa là ∆CM N ∼ ∆A0KC0 và có phép biến đổi đồng dạng biến

A0, B0, C0, K lần lượt thànhC, Q, N, M Vì K là trung điểm của B0C0 nên

M là trung điểm của QN Vì CN k BQ nên ∆BM Q = ∆CM N Từ đósuy ra M là trung điểm của BC và AQ chia đôi đoạn thẳng BC Phépchứng minh tương tự cho BQ chia đôi đoạn AC Do đó, Q là trọng tâmtam giácABC vàP là điểm liên hợp đẳng giác củaQ Đó là điểm Lemoinetrong tam giác ABC

Nhắc lại rằng nếuABC là một tam giác cóX ∈ BC,Y ∈ CA,Z ∈ CA

thì chu vi tam giác XY Z đạt cực tiểu nếu XY Z là tam giác trực tâm Tacòn có các bài toán tương tự đối với đại lượng XY2 + Y Z2 + ZX2

Bài toán 1.1 [1], Cho tam giác ABC Nếu cóX ∈ BC, y ∈ CA, Z ∈ CA

thì đại lượng XY2 + Y Z2 + ZX2 cực tiểu khi ∆XY Z là tam giác pedalcủa điểm Lemoine L

Bài toán 1.2 [1], Diện tích của tam giác pedal của điểm Lemoine L đốivới ∆ABC bằng

SL = 12S

2

(a2 + b2 + c2)2 (1.8)Bài toán 1.3 [1], Chứng minh rằng trong tam giác vuông điểm Lemoine

là trung điểm của đường cao hạ từ đỉnh góc vuông

Bài toán 1.4 [1], Chứng minh rằng nếu x, y, z là các khoảng cách từ điểmLemoine L đến các cạnh BC, CA, AB tương ứng thì xha = yhb = zhc.Bài toán 1.5 [1], Tại giao điểm S của đường đối trung xuất phát từ

A dựng đường thẳng `1 ⊥ BC; tại điểm B dựng `2 ⊥ AB; tại C dựng

1.2 Đường đối song và đường đối song Lemoine

Định nghĩa 1.2 Cho ∆ABC, trên cạnh AB (hay phần kéo dài) lấy mộtđiểm D, qua D kẻ đường thẳng DF thỏa \ADF = Cb Ta gọi đường thẳng

DF là đối song của đường thẳng BC trong tam giác ABC Đoạn thẳng

DF được gọi là cạnh đối song của cạnh BC hay DF và BC là hai cạnhđối song

Trong tam giác có 3 cạnh đối song (tương ứng với 3 cạnh tam giác).Mệnh đề 1.2.1 (Định lý về đường đối song) Đường tròn đi qua 2 đỉnhtam giác cắt 2 cạnh tam giác tại D và F thì DF đối song với cạnh thứ ba.Chứng minh Trên Hình 1.4, ta có \DF C +C = 2vb do tứ giác BDF C là

tứ giác nội tiếp Ta suy ra \AF D +DF C = 2v\ nên \AF D = Bb

Mệnh đề 1.2.2 Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại đỉnhtam giác thì đối song với cạnh đối diện của đỉnh

Chứng minh Góc \EAB có số đo bằng một nửa cung AM B, góc bC cũngvậy Ta suy ra \EAB = Cb, Hình 1.4

Mệnh đề 1.2.3 Hai cạnh đối song bằng nhau thì cắt nhau trên đường đốitrung tương ứng

Chứng minh Giả sử P Q và DK là 2 đường đối song bằng nhau, cắt nhautại M, khi đó M P = M K vì tam giác M P K cân tại M Vậy ta có

c

b.

Vì tỷ số các khoảng cách từ M đến 2 canh AB, AC bằng tỷ số của 2 cạnh

đó nên M nằm trên đường đối trung xuất phát từ A

Ta có nhận xét: Tiếp tuyến tại 2 đỉnh tam giác của đường tròn ngoại tiếpcắt nhau trên đường đối trung xuất phát từ đỉnh thứ ba

Hình 1.4: Hai đường đối song

Hình 1.5: Các cạnh đối song DE và F K của tam giác ABC bằng nhau

Mệnh đề 1.2.4 Lấy trên cạnh AB của ∆ABC lấy điểm D, qua D kẻcác đường DE đối song với BC, DF song song với AC Sau đó kẻF K đốisong với AB Khi đó, các cạnh đối song DE và F K của tam giác ABC

bằng nhau, Hình 1.5

Chứng minh Các góc tam giácADE lần lượt bằng các góc tam giácF CK

Vì \AED = F KC\ nên hình thang DEKF cân và DE = KF Từ K kẻ

KP k BC và từ P kẻ P M đối song với AC Ta có hình thang M P KF

cân và KF = P M Vậy DE = KF = P M

Chú ý Ta thấy sáu điểmD, E, K, P, M, F nằm trên một đường tròn Thậtvậy, tứ giác DEKP là tứ giác nội tiếp vì \DEK +DP K = 180\ 0 Đườngtròn đó đã đi qua 3 đỉnh D, E, K của hình thang cân phải đi qua đỉnhthứ tư là F Tương tự, xét hình thang M P KF ta suy ra M thuộc đườngtròn đó

Dễ thấy các đường đối song với các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC thìsong song với các cạnh tương ứng của tam giác trực tâm ∆HaHbHc Đểthuận tiện trong cách diễn đạt ta gọi cạnh đối song của tam giác ABC làđoạn thẳng có 2 đầu mút là giao của đường đối song với 2 cạnh tam giác.Giữa đường đối song và đường đối trung ta có thêm các tính chất:

Hình 1.6: Mệnh đề 1.2.6

Mệnh đề 1.2.5 Các cạnh đối song của tam giác bị các đường đối trungtương ứng chia làm đôi.

Chứng minh Giả sử DE là đường đối song củaBC, đặt trên AB, AC lầnlượt các điểm C0, B0 sao cho AC0 = AC, AB0 = AB Tất nhiên các tamgiác ABC và AB0C0 bằng nhau Giả sử AF là phân giác trong góc A.Đường đối trung AS của tam giác ABC là đường trung tuyến của tamgiác AB0C0 Đường thẳng B0C0 đối song đối với BC và bị đường đối trung

AS chia làm đôi Vậy đường thẳng DE ⊥ B0C0 cũng bị đường đối trungchia làm đôi

Mệnh đề đảo cũng đúng: Nếu một đoạn thẳng gồm giữa hai cạnh bị chiađôi bởi đường đối trung cùng đỉnh thì nó là cạnh đối song của cạnh thứ batam giác đó

Mệnh đề 1.2.6 Các cạnh đối song chứa chân của một đường đối trungthì bằng nhau

Chứng minh Giả sử AS là đường đối trung, SM và SN là các cạnh đốisong với các cạnh AB, AC(Hình 1.6) Ta có BS

Kết hợp các mệnh đề trên ta có thêm một tính chất của điểm Lemoine:Tính chất 1.5 Các cạnh đối song đi qua điểm Lemoine thì bằng nhau và

bị điểm Lemoine chia làm đôi

Các đường thẳng đối song đi qua L gọi là các đường thẳng đối songLemoine Các đường thẳng đi qua điểm Lemoine, song song với các cạnhtam giác ABC được gọi là các đường thẳng song song Lemoine

1.3 Tọa độ Barycentric

1.3.1 Định nghĩa và tính chất

Ta cố định tam giác ABC, gọi nó là tam giác cơ sở (không suy biến)

Ký hiệu XY Z là diện tích đại số của tam giác XY Z Ta có định nghĩa:Định nghĩa 1.3 Giả sử ABC là tam giác cơ sở Tọa độ barycentric củađiểm M đối với tam giác ABC là bộ ba số (x : y : z) sao cho

x : y : z = M BC : M CA : M AB

Từ định nghĩa ta suy ra: nếu M = (x : y : z) thì ta cũng có kết quả

M = (kx : ky : kz), k 6= 0 Cho ∆ABC gọi G, I, O, H, Oa lần lượt làtrọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm,tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A trong tam giác đó Khi đó theo kếtquả trong [6]:

Ví dụ 1.3.1 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của ∆ABC lần lượt tươngứng vởi BC, AC, AB tọa độ barycentric của một số điểm đặc biệt trong

(4) Oa = (−a : b : c) vì (−S(OaBC) : S(OaAB) : S(OaAB)) = (−a : b : c),(5) Trực tâm H = (tan A : tan B : tan C)

(7) Các điểm trên BC có tọa độ dạng (0 : y : z) Tương tự các điểm trên

CA, AB lần lượt có tọa độ (x : 0 : z), (x : y : 0)

KhiM = (x : y : z)mà x+y+z 6= 0ta thu được tọa độ barycentric tuyệtđối của M :

(x : y : z) được gọi là tọa độ barycentric chuẩn của M Nếu P (u : v : w),

Q(u0 : v0 : w0) thỏa mãn u + v + w = u0 + v0 + w0 thì điểm X chia P Q

theo tỷ số P X : XQ = p : q có tọa độ là

(qu + pu0 : qv + pv0 : qw + pw0)

Ví dụ 1.3.2 Tìm tọa độ các tâm vị tự trong T và tâm vị tự ngoài T0 củađường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC, S là diện tíchtam giác ABC

Lời giải Ta có T, T0 chia điều hòa đoạn thẳng OI và dễ thấy tỷ số

abcs

S2

Vì O = (a2(b2 + c2 − a2) : (b2(c2 + a2 − b2) : (c2(a2 + b2− c2)) với tổngcác tọa độ bằng 4S2 và I = (a : b : c) = (2S2a : 2S2b : 2S2c) Áp dụngcách tính trên với OT

Vậy tâm vị tự trong T = (a2(b + c − a) : b2(a + c − b) : c2(a + b − c)).Tương tự tâm vị tự ngoài:

T0 = (a2(a+b−c)(c+a−b) : b2(b+c−a)(a+b−c) : c2(c+a−b)(b+c−a)

Ví dụ 1.3.3 Tọa độ barycentric của tâm Euler

O9 = (a cos (B − C) : b cos (C − A) : c cos (A − B))

Chứng minh Đó là do ta có tỷ số OO9 : O9G = 3 : −1 Trong [3], O9 làđiểm X(5)

1.3.2 Một số kết quả trong tọa độ barycentric

Chúng tôi tóm tắt các kết quả cơ bản đã được Paul Yiu nêu trong [6].(a) Các cevian và vết

Ba đường thẳng nối từ điểm P đến 3 đỉnh tam giác gọi là các ceviancủa P Giao điểm AP, BP, CP của các cevian này với các cạnh tam giácgọi là các vết của P Tọa độ các vết có dạng

Như vậy, AX, BY, CZ cắt nhau tại điểm có tọa độ

CBP = BQA, ACP = CQB Ta sẽ ký hiệu điểm liên hợp đẳng cự của P

.(c) Công thức Conway: Ký hiệu σ = 2SABC (hai lần diện tích tam giác

ABC), với θ ∈ R, đặt σθ = σ cot θ Khi đó

- Tâm ngoại tiếp có tọa độ

a2σA : b2σB : c2σC
= (σA(σB + σC) : σB(σC + σA) : σC(σB + σA))

Với cách biểu diễn này, tổng các tọa độ của O bằng 2σ2

- Tọa độ điểm tâm Euler biểu diễn theo σA, σB, σC là

x y z

x1 y1 z1

x2 y2 z2

= 0

hay (y1z2 − y2z1)x + (z1x2 − z2x1)y + (x1y2 − x2y2)z = 0

Ví dụ 1.3.5 Một số trường hợp đặc biệt:

- Phương trình các cạnh BC, CA, AB lần lượt là x = 0, y = 0, z = 0

- Trung trực cạnh BC là đường thẳng nối tâm O(a2σA : b2σB : c2σC)

với trung điểm I(0 : 1 : 1) nên có phương trình

b2σB − c2σC
x − a2σAy + a2σAz = 0

Vì b2 σB − c2σC

= σA(σB − σC) = −σA b2 − c2
nên ta viếtlại thành (b2 − c2)x + a2(y − z) = 0

- Đường thẳng Euler là đường thẳng nối trọng tâm G(1 : 1 : 1) với trựctâm H(σBC : σCA : σAB) nên có phương trình

- Đường thẳng OI nối điểmO a2σA : b2σB : c2σC
với điểm I(a : b : c)

(e) Điểm vô tận và đường thẳng song song

Điểm (x0 : y0 : z0) là điểm vô tận nếu nó không phải điểm có tọa độbarycentric tuyệt đối, tức là điểm (x0 : y0 : z0) mà x0 + y0 + z0 = 0.Tất cả các điểm vô tận nằm trên một đường thẳng L∞, có phương trình

x + y + z = 0

Ví dụ 1.3.6 Các điểm vô tận trên các đường thẳng BC, CA, AB của tamgiác cơ sở ABC lần lượt là (0 : −1 : 1), (1 : 0 : −1), (−1 : 1 : 0)

Ví dụ 1.3.7 Các điểm vô tận trên đường cao AH có tọa độ (0 : σC :

σB) − a2(1 : 0 : 0) = (−a2 : σC : σB) Tổng quát, điểm vô tận trên đườngthẳng px + qy + rz = 0 là (q − r : r − p : p − q)

Ví dụ 1.3.8 Điểm vô tận trên đường thẳng Euler:

3(σBC : σCA : σAB)−σσ(1 : 1 : 1) = (3σBC−σσ : 3σCA−σσ : 3σAB−σσ)

Các đường thẳng song song có cùng điểm vô tận Đường thẳng qua

P (u : v : w) song song với L : px + qy + rz = 0, có phương trình

= 0 và

σC −b2 σA

q −p 0

x y z

... 30

Điểm vô tận đường thẳng L coi giao với đường thẳng

L∞ : x + y + z = Các đường thẳng pix + qiy + riz... 1.3.7 Các điểm vơ tận đường cao AH có tọa độ (0 : σC :

σB) − a2(1 : : 0) = (−a2 : σC : σB) Tổng quát, điểm vô tận đườngthẳng... Điểm vô tận đường thẳng Euler:

3(σBC : σCA : σAB)−σσ(1 : : 1) = (3σBC−σσ : 3σCA−σσ : 3σAB−σσ)

Các đường thẳng song