đề cụm QUỲNH lưu lần 3

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN CỤM TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Mơn : Tốn NĂM HỌC 2015 - 2016 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (6.0 điểm) 3π  2(cos x − sin x)  = a) Giải phương trình: 3tan x − 2sin  x − ÷+  cos x + sin x cos2 x  2 ( x3 + x − y − 1) = x ( y + 1) b) Giải hệ phương trình :   x x − y + y + = − y + x + Câu (3.0 điểm) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số có chữ số khác có ba chữ số chẵn ba chữ số lẻ Trong số có số mà chữ số xếp theo thứ tự tăng dần u1 =  5un − Câu (3.0 điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi:  un +1 = 3u − , n ∈ Ν *  n un + , ∀n ∈ Ν * Chứng minh dãy số (vn) cấp số Xét dãy số (vn) với = un − cộng Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Câu (3.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 22 Phương trình BD: 2x – y – = 0, điểm M(-3; 2) thuộc đường thẳng AB, điểm N(4; 3) thuộc đường thẳng BC Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật, biết điểm B có hồnh độ số ngun Câu (3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tất cạnh bên a Gọi điểm M thuộc cạnh SD cho SD = 3SM, điểm G trọng tâm tam giác BCD a) Chứng minh MG song song với mp(SBC) b) Gọi ( α ) mặt phẳng chứa MG song với CD Xác định tính diện tích thiết diện hình chóp với mp( α ) c) Xác định điểm P thuộc MA điểm Q thuộc BD cho PQ song song với SC Tính PQ theo a y2 Câu (2.,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + xy + =1 y3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = x + − x − y …… Hết … ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 11-NĂM HỌC 2015 - 2016 (Đáp án gồm trang) Nội dung Câu1 a) (3.0 điểm) π π +k Với điều kiện PT cho tương đương với sin x 2(cos x − sinx) − 2cos2 x + = cos2 x cos x + sinx cos2 x ⇔ 3sin x − 2cos x + 2(cos x − sinx) = ⇔ 3sin x − 2(1 − sin 2 x) + 2(1 − sin x) = ⇔ 2sin 2 x + sin x − = π  x = − + kπ  ĐK cos2 x ≠ ⇔ x ≠  sin x = −1 π ⇔ x= + kπ ⇔  sin x = 12   5π x = + kπ  12  0.5 0.5 0.5 0.5 k ∈Z π 5π + kπ x = + kπ thỏa mãn 12 12 π 5π + kπ Vậy PT cho có nghiệm x = + kπ x = 12 12 Ta có (1) ⇔ x( x + 2) − 2( y + 1) = x ( y + 1) Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = b) Điể m ⇔ x( x + 2) = ( y + 1)( x + 2) ⇔ x = y + ⇔ y = x − Thế vào (2) ta có 1.0 1.0 1.0 x x − (2 x − 1) + x − + = −(2 x − 1) + x + 2 2 ⇔ x −2 x + x + = −4 x + x +  −2 x + x + = x ⇔ x −2 x + x + = ( −2 x + x + 1) − x ⇔   −2 x + x + = − x 2 x ≥ + 15 15 −2 x + x + = x ⇔  ⇔ x = ⇒ y = 2 6 −2 x + x + = x 0.5 x ≤ 3− 3 − 0.5 −2 x + x + = − x ⇔  ⇔ x = ⇒ y = 2 3  −2 x + x + = x  + 15 15   3− 3−  ; ; Vậy nghiệm hệ PT là:  ÷  ÷ 3     Câu (3, điểm) Câu * Có số lẻ số chẵn từ chín số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Suy có C5 cách chọn số lẻ từ năm số 1, 3, 5, 7, có C4 cách chọn số chẵn từ bốn số 2, 4, 6, Cứ ba chữ số lẻ ghép với ba chữ số chẵn ta tập gồm phần 3 tử Theo quy tắc nhân có C4 C5 cách chọn tập hợp mà tập có số chẵn số lẻ từ số Ứng với tập có 6! cách xếp thứ tự phần tử cách xếp thứ tự ta số thỏa mãn tốn 3 Do theo quy tắc nhân có C4 C5 6! = 28800 số có chữ số khác gồm chữ số chẵn chữ số lẻ từ số 3 * Có C4 C5 tập hợp gồm ba chữ số lẻ ba chữ số chẵn Ứng với tập có cách xếp phần tử theo thứ tự tăng dần 3 Do tập hợp tương ứng với số Vậy có C4 C5 = 40 số thỏa mãn a) (3.0 điểm) 0.5 un + v +1 ⇒ un = n thay vào hệ thức truy hồi ta có un − − v +1 n −3 +1 + − v + 2vn + v + 2v n + = ⇒ n +1 = ⇒ n +1 = + +1 − +1 − 2vn + 4 −1 − hay vn+1 = + v1 = Suy dãy số (vn) cấp số cộng có v1 = cơng sai d = Ta có = v1 + (n – 1)d = +3(n – 1) = 3n – 1.0 3n − + 3n = Thử lại thấy dãy số thỏa mãn 3n − − 3n − 3n n∈ N * Vậy số hạng tổng quát dãy số (un) un = 3n − 1.0 Ta có = Do un = b) (3.0 điểm) uuur uuur Gọi B(b; 2b – 3), b ∈ Z , MB = ( b + 3;2b − ) , NB = ( b − 4;2b − ) uuur uuur MB.NB = ⇔ (b + 3)(b − 4) + (2b − 5)(2b − 6) = b = ⇔ 5b − 23b + 18 = ⇔  18 b =  Do b nguyên nên b = Vậy B(1; - 1) PT AB: 3x + 4y + = 0, PT BC : 4x – 3y – = 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 Gọi D(d; 2d – 3) 3d + 4(2d − 3) + 11d − 11 = 5 4d − 3(2d − 3) − − 2d DC = d ( D, BC ) = = 5 0.5 AD = d ( D, AB ) = 11d − 11 − 2d 22( d − 1) S ABCD = AD.DC = = 5 25 22(d − 1) S ABCD = 22 ⇔ = 22 25 d = ⇔ ( d − 1) = 25 ⇔   d = −4 D(6; 9) PT CD: 3x + 4y – 54 = 0, PT AD : 4x – 3y + = D(-4; -11) PT CD: 3x + 4y + 56 = 0, PT AD : 4x – 3y – 17 = 1.0 Gọi I trung điểm BC DG DM = = ⇒ MG / / SI Ta có DI DS Mà SI ⊂ ( SBC ) nên MG //(SBC) 0.25 Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD BC E F Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC H Thiết diện hình chóp với mp( α ) tứ giác EFHM Ta có HM//EF song song với CD 2a a MD = HC = , DE = CF = , ∠MDE = ∠HCF = 600 nên tam 3 giác DME tam giác CHF suy ME = HF EFHM hình thang cân 0.25 0.5 Câu a) (0.5) 0.25 b) (1.5) 0.25 0.25 4a a 2a a a + −2 = Ta có: EM = DM + DE − DM DE.cos60 = 9 3 a MH = ,EF = a Gọi h độ dài đường cao hình thang ta có 2 0.25 0.25 a2 a2 a  EF − HM  h = EM −  − = ÷ =   1 a a 2a 2 = h.(EF + HM ) = = 2 3 0.25 Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD N Nối A với N cắt BD Q Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM P Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN Suy hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện toán AQ MN DM AQ AB = = ⇒ = = = , Ta có AN SC DS QN DN PQ AQ PQ PQ MN 2 = = , = = = MN AN SC MN SC 5 2a Suy PQ = 0.5 Diện tích thiết diện SEFHM c) (1.0) Câu 0.5 y y2  Từ giả thiết ta có  x + ÷ + =1  12  0.5 y  x + = sin α   x = sin α − cos α ⇔ Đặt    y = cos α  y = cos α  y3 A = x + − 3x − y ( = sin α − cos α ) ( ) + cos α − sin α − cos α − cos α π  π   =  2sin(α − ) ÷ − 6sin  α − ÷+ ( 4cos α − 3cos α )  3   1.0 = −2sin ( 3α − π ) + cos3α = 2sin 3α + cos3α π  = 4sin  3α + ÷ 3  π π 2π  GTLN A sin  3α + ÷ = ⇔ α = + k 3 18  GTLN A - π 5π 2π  sin  3α + ÷ = −1 ⇔ α = − +k 3 18  Chú ý : Nếu học sinh giải cách khác đạt điểm tối đa theo phần …… Hết …… 0.5 ... = +3( n – 1) = 3n – 1.0 3n − + 3n = Thử lại thấy dãy số thỏa mãn 3n − − 3n − 3n n∈ N * Vậy số hạng tổng quát dãy số (un) un = 3n − 1.0 Ta có = Do un = b) (3. 0 điểm) uuur uuur Gọi B(b; 2b – 3) ,... x ≤ 3? ?? 3 − 0.5 −2 x + x + = − x ⇔  ⇔ x = ⇒ y = 2 3  −2 x + x + = x  + 15 15   3? ?? 3? ??  ; ; Vậy nghiệm hệ PT là:  ÷  ÷ 3     Câu (3, điểm) Câu * Có số lẻ số chẵn từ chín số 1, 2, 3, 4,...  y3 A = x + − 3x − y ( = sin α − cos α ) ( ) + cos α − sin α − cos α − cos α π  π   =  2sin(α − ) ÷ − 6sin  α − ÷+ ( 4cos α − 3cos α )  3? ??   1.0 = −2sin ( 3? ? − π ) + cos3α = 2sin 3? ?