Giải quyết một bài toán đặt ra khi tìm hiểu sâu về định lý frobenius

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Việt Mười GIẢI QUYẾT MỘT BÀI TỐN ĐẶT RA KHI TÌM HIỂU SÂU VỀ ĐỊNH LÝ FROBENIUS Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LờI CảM ƠN Lời nói xin đợc by tỏ lòng biết ơn chân thnh đến Ban giám hiệu, Ban lÃnh đạo Phòng KHCN & Sau đại học v Ban lÃnh đạo khoa Toán - Tin học Trờng Đại học S phạm Thnh phố Hồ Chí Minh đà tạo điều kiện cho học viên cao học đại số khóa 16 hon thnh tốt nhiệm vụ học tập Xin chân thnh cám ơn thầy: PGS TS Bùi Tờng Trí, PGS TS Mỵ Vinh Quang, TS Trần Huyên, TS Bùi Xuân Hải khoa Toán - Tin học hai trờng Đại học S phạm v Đại học Khoa học Tự nhiên Thnh phố Hồ Chí Minh đà tận tình giảng dạy v giúp đỡ suốt trình học tập Đặc biệt, xin by tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Bùi Tờng Trí, ngời đà ®Ị tμi vμ trùc tiÕp h−íng dÉn ®Ĩ t«i hoμn thnh tốt luận văn ny M U Lý chọn đề tài Năm 1843 nghiên cứu để tìm cách nhân ba số (a, b, c) thuộc R3, Sir William Rowan Hamilton tình cờ phát quaternions Sau này, quaternions biết đến ví dụ chuẩn vành chia thật Thậm chí, cịn chứng minh vành chia vô hạn (Joseph Henry Maclagan Wedderburn chứng minh vào năm 1905) Dựa tảng quaternions năm 1877 Frobenius xác định đại số đại số có phép chia trường số thực R đưa đến định lý tiếng - Định lý Frobenius Khi nghiên cứu định lý Frobenius thấy rõ trường số phức C trường mở rộng bậc trường số thực R, thể quaternions H mở rộng trường số phức C có số chiều C 2, số chiều R Tuy nhiên, Lý thuyết vành khơng giao hốn (Noncommutative rings) I N Herstein muốn làm sáng tỏ định lý Wedderburn-Artin cấu trúc vành Artin nửa đơn bổ đề 2.1.5 Herstein có nói “Cho K trường đóng đại số Nếu D đại số chia được, đại số K D=K” Đại số (Algebra) Pierre Grillet có bổ đề 10.6.8 Grille phát biểu “Cho D vành chia hữu hạn chiều trường K Nếu K đóng đại số D=K” Vậy phải từ kết ta suy H=C Mục đích nghiên cứu Giải toán đặt hiểu rõ, sâu sắc định lý Frobenius Đối tượng phạm vi nghiên cứu Kết hợp đại số đại lý thuyết vành Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Giải mâu thuẫn đặt định lý Frobenius hai bổ đề: Bổ đề 2.1.5 Lý thuyết vành không giao hoán (Noncommutative rings) I N Herstein, Bổ đề 10.6.8 Đại số (Algebra) Pierre Grillet Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Các kiến thức sở Nhắc lại số kiến thức vành, vành chia, trường, đại số trường, trường đóng đại số, số tính chất vành chia… Đặc biệt chương xây dựng thể quaternions H, đại số quaternions H chứng minh lại định lý Frobenius Chương 2: Định lý Wedderburn - Artin hệ Nội dung chương trình bày số định nghĩa đại số khơng giao hốn chứng minh số kết đại số không giao hoán để làm sở chứng minh định lý Wedderburn - Artin hệ Đặc biệt chương phát biểu chứng minh lại bổ đề 2.1.5 Lý thuyết vành không giao hoán (Noncommutative rings) I N Herstein, bổ đề 10.6.8 Đại số (Algebra) Pierre Grillet để làm sở cho chương Chương 3: Giải mâu thuẫn đặt cuối chương Xây dựng khái niệm đa thức thể số tính chất để làm sở giải vấn đề Mâu thuẫn định lý Frobenius bổ đề 2.1.5 I N Herstein, bổ đề 10.6.8 Algebra Pierre Grillet giải mục 3.4 luận văn Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa Ta gọi vành tập hợp R   với hai phép tốn hai ngơi, gồm phép cộng +: RxR  R (x, y)  x + y, phép nhân : RxR  R (x, y)  xy, thoả mãn ba điều kiện sau đây: (R1) R nhóm abel phép tốn cộng (R2) Phép nhân có tính kết hợp (R3) Phép nhân phân phối hai phía phép cộng: (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy với x, y, z  R Khi hai phép tốn điều rõ, ta nói đơn giản: R vành Nhóm (R, +) gọi nhóm cộng vành Phần tử trung lập ký hiệu 0, phần tử đối x  R ký hiệu (-x) Ký hiệu x - y := x+(-y) 1.1.2 Định nghĩa Vành R gọi giao hốn phép nhân giao hốn Vành R gọi có đơn vị phép nhân có đơn vị, tức có phần tử  R cho 1.x = x.1 = x,  x  R 1.1.3 Ví dụ (a) Mỗi tập hợp số sau Z, Q, R, C lập thành vành (giao hốn, có đơn vị) hai phép toán cộng nhân số thường lệ (b) Tập hợp N số tự nhiên khơng lập nên vành với hai phép tốn trên, N khơng khép kín phép trừ (c) Ta trang bị cho nhóm cộng Z/n số nguyên modulo n (n > 0) phép nhân sau: [a][b] = [ab] Dễ kiểm tra định nghĩa khơng phụ thuộc đại biểu Nhóm cộng Z/n với phép nhân lập thành vành giao hốn, có đơn vị [1], gọi vành số nguyên modulo n (d) Gọi M(n, R) tập hợp tất ma trận vuông cấp n (n > 0) với phần tử vành R Cùng với hai phép toán cộng nhân ma trận, M(n, R) vành Nó có đơn vị R có đơn vị Nhưng M(n, R) nói chung khơng giao hoán n > 1, R giao hoán Chẳng hạn   1  1 1   1    ,            0 1 1 0 1           M(2,R), với giả thiết  R (e) Giả sử A nhóm abel (với phép tốn viết theo lối cộng) Gọi End(A) tập hợp tự đồng cấu nhóm A Tập với hai phép toán sau (    )(x) =  (x) +  (x), (   )(x) =  ( (x)),  ,  End(A), x A, lập nên vành, gọi vành tự đồng cấu A Phần tử End(A) đồng cấu 0, phần tử đơn vị đồng cấu đồng idA 1.1.4 Định nghĩa Cho R vành giao hoán, phần tử a thuộc R gọi bội phần tử b thuộc R (hay a chia hết cho b, ký hiệu a  b) có c thuộc R cho a=bc Trong trường hợp ta cịn nói b ước a (hay b chia hết a, ký hiệu b | a) 1.1.5 Định nghĩa Nếu a  0, b  phần tử vành R với tích ab = 0, a gọi ước trái b gọi ước phải Nếu vành R giao hốn a b gọi ước Chằng hạn, [2] [3] ước Z/6 [2]  0, [3]  [2][3] = [6] = [0] 1.1.6 Định nghĩa Cho R vành giao hốn có đơn vị ký hiệu 1, phần tử a thuộc R gọi ước đơn vị tồn phần tử b thuộc R cho ab=1 Một phần tử gọi khả nghịch, nghịch đảo ký hiệu a-1 Như ước đơn vị vành giao hoán R lập thành nhóm giao hốn phép nhân 1.2 Trường 1.2.1 Định nghĩa (a) Vành có đơn vị R gọi thể (vành chia được)  phần tử khác R khả nghịch, nói cách khác, R\{0} nhóm phép nhân (b) Mỗi thể giao hoán gọi trường Như trường vành giao hốn, có đơn vị  cho phần tử khác khả nghịch Điều kiện  tương đương với điều kiện R khơng tầm thường: R  {0} 1.2.2 Ví dụ: (a) Mỗi vành Q, R, C trường Trong vành Z khơng trường, phần tử khác  không khả nghịch Z (b) Vành Z/n số nguyên modulo n trường n số nguyên tố Thật vậy, Z/n trường lớp [m]  khả nghịch Z/n Điều tương đương với  r  Z: [r][m]=[1],   r , s Z: rm +sn =1,  m n nguyên tố Mỗi lớp [m]  có đại biểu m thoả mãn 0