Ánh xạ và đẳng cự giữa một số không gian mêtric compact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Hải Hà ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ GIỮA MỘT SỐ KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Hải Hà ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ GIỮA MỘT SỐ KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT Chuyên ngành : Hình học tơpơ Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Trần Thị Hải Hà LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 27 cho tơi kiến thức tốn học Đại số, Giải tích Hình học tơpơ Xin kính chúc q thầy thật nhiều sức khỏe thành công! Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin cảm ơn quý thầy Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Hình học tơpơ khoa Tốn khóa 26, 27 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học Trần Thị Hải Hà MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Tập mở 1.1.4 Không gian tôpô 1.1.5 Không gian tôpô tổng 1.1.6 Khơng gian tơpơ tích 1.1.7 Không gian tôpô thương 1.1.8 Cơ sở không gian tôpô 1.1.9 Phần trong, bao đóng, biên 1.2 Các tiên đề tách 1.2.1 Không gian T0 1.2.2 Không gian T1 1.2.3 Không gian T2 1.2.4 Không gian T3 1.2.5 Không gian T4 1.3 Ánh xạ liên tục 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Định lý 1.3.3 Định lý 1.4 Ánh xạ đóng, ánh xạ mở 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Định lý 1.5 Phủ, phủ con, lọc 1.5.1 Phủ 1.5.2 Phủ 1.5.3 Lọc 1.6 Không gian compact 1.6.1 Định nghĩa 1.6.2 Tập compact 10 1.6.3 Định lý 10 1.6.4 Định lý 10 1.6.5 Định lý Tychonoff 10 1.6.6 Định lý 11 1.6.7 Compact dãy 11 1.7 Không gian mêtric 11 1.7.1 Mêtric tập hợp 11 1.7.2 Không gian mêtric 12 1.7.3 Khơng gian mêtric tích 12 1.7.4 Sự hội tụ không gian mêtric 12 1.7.5 Không gian mêtric đầy đủ 13 1.7.6 Không gian mêtric compact 14 1.7.7 Mở rộng đầy đủ không gian mêtric 14 1.7.8 Tôpô sinh mêtric 15 1.7.9 Không gian mêtric hóa 15 1.7.10 Bổ đề số Lebesgue 15 1.7.11 Ánh xạ liên tục không gian mêtric 15 1.7.12 Đường kính tập hợp, tập hợp trù mật 16 1.8 Không gian khả ly 16 1.8.1 Định nghĩa 16 1.8.2 Mệnh đề 17 1.9 Không gian phổ dụng, phần tử phổ dụng 17 1.9.1 Phép đồng phôi – Phép nhúng 17 1.9.2 Định nghĩa 17 1.9.3 Không gian phổ dụng Urysohn 18 1.9.4 Phần tử phổ dụng 18 1.10 Số chiều ind 18 1.10.1 Hàm số chiều 19 1.10.2 Định nghĩa 19 1.11 Lớp tương đương, quan hệ tương đương 20 1.11.1 Quan hệ tương đương 20 1.11.12 Lớp tương đương 20 Chương PHÉP NHÚNG ĐẲNG CỰ TRÊN CÁC KHƠNG GIAN MÊTRIC COMPACT CĨ SỐ CHIỀU ĐẾM ĐƯỢC 21 2.1 Không gian tôpô   M , R  22 2.1.1 Lọc cuối 22 2.1.2 Không gian bao hàm    ( M , R ) 23 2.2 Không gian mêtric  (M , R, P) 25 2.3 Phủ cnX 29 2.4 Số u ( X , n) số đếm  ( X , n ) 29 2.5 Họ R* 29 2.6 Số u ( E , n) số đếm  ( E , n) 29 2.7 Tập hợp V( nX,i ) 30 2.8 Cơ sở đánh số B0 30 2.9 Cơ sở ban đầu M Q ( n,i ,E ) 30 2.10 Họ RQM( n ,i , E ) 31 2.11.1 Số d1 ( X , j , s ), d ( X , j , s ) d ( X , j, s) 31 2.12 Họ R M 31 2.13 Số u ( L, n) số đếm  (L, n) 32 2.14 Họ R 33 2.15 Quan hệ tương đương  R 33  2.16 Tập U j ( H ) 33 2.17 Bổ đề sở B* 33 2.18 Tập H s 34 2.19 Số n   q 35 2.20 Bổ đề 35 Chương ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ CỦA CÁC KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT 40 3.1 Định lý 40 3.2 Định lý 50 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Giới thiệu đề tài Trong tài liệu nghiên cứu ánh xạ đẳng cự không gian mêtric compact Trong báo [5] vào năm 2013 tác giả S.D.Iliadis ta có “Với n  , không gian mêtric khả ly đầy đủ n chiều bao hàm tất không gian mêtric compact n chiều xây dựng” Và vấn đề đưa cho việc nghiên cứu sau kết có giữ khơng gian có số chiều siêu hạn hay khơng Chúng ta giải vấn đề sau tài liệu này: Vấn đề 1: Ta xây dựng không gian mêtric compact khả ly đầy đủ có số chiều siêu hạn thỏa điều kiện Vấn đề 2: Ta nhắc lại ánh xạ F : X  Y từ X vào Y gọi phổ dụng lớp 𝔽 ánh xạ i F  𝔽 ii Với f : X  Y 𝔽, tồn phép nhúng i từ X vào X phép nhúng j từ Y vào Y cho F i  j f Nếu điều kiện (ii) thỏa mãn F gọi ánh xạ bao hàm cho lớp F Trong trường hợp tất không gian xét mêtric ánh xạ i j đẳng cự, F gọi ánh xạ đẳng cự phổ dụng Trong phần này, kết hợp kết tài liệu tham khảo, khẳng định tồn xây dựng ánh xạ bao hàm đẳng cự cho lớp ánh xạ liên tục tập mêtric compact thông qua định lý Cơ sở khoa học thực tiễn đề tài Trong tốn học, khơng gian mêtric tập hợp mà khái niệm khoảng cách (được gọi mêtric) phần tử tập hợp định nghĩa Chúng ta có định nghĩa đẳng cự hai khơng gian mêtric sau: Hai không gian mêtric X Y trang bị hai mêtric tương ứng d X dY Một ánh xạ f : X  Y gọi đẳng cự bảo toàn khoảng cách với a, b  X ta có: dY ( f (a), f (b))  d X (a, b) Trong tài liệu [5], Stavros Iliadis khẳng định “Tồn không gian mêtric compact khả li số chiều n  bao hàm tất không gian mêtric compact đẳng cự số chiều n” ông nêu lên số vấn đề cần giải sau: Cho     \  Có tồn phần tử phổ dụng lớp tất không gian mêtric compact khả li số chiều siêu hạn ind   ? Cho     \  Có tồn phần tử phổ dụng lớp tất không gian mêtric compact khả li số chiều siêu hạn Ind   ? Cho     \  Có tồn khơng gian mêtric compact khả li đầy đủ với số chiều siêu hạn ind   bao gồm tất không gian compact mêtric đẳng cự với số chiều siêu hạn ind   hay không? Cho     \  Có tồn khơng gian mêtric compact khả li đầy đủ với số chiều siêu hạn Ind   bao gồm tất không gian compact mêtric đẳng cự với số chiều siêu hạn Ind   hay không? Ở đề tài ta nghiên cứu trả lời vấn đề câu hỏi xây dựng sơ đồ ánh xạ đẳng cự số không gian mêtric compact Mục đích đề tài Nghiên cứu ánh xạ đẳng cự số không gian mêtric compact Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp số kết có liên quan đến nội dung luận văn làm sở lý luận sử dụng kết nghiên cứu có để chứng minh số định lý tính chất Nội dung đề tài Chương 1: Giới thiệu tổng quan Các kiến thức chuẩn bị đại số, nhóm tơpơ, tính compact, tính liên thơng khơng gian mêtric Chương 2: Phép nhúng đẳng cự khơng gian mêtric compact có số chiều đếm Chương 3: Ánh xạ đẳng cự số không gian mêtric compact 38 Từ đẳng thức kết (1) (7), ta có       a,     a, ai0   ai0 ,  1  với b  \ O  a  u n  2 ta có  1    ,b     a,b     a,       u  n0   n0 2      , \ O  a   2u   Quan hệ cuối dẫn đến  U j0  H0  , \ O  a     1   u  n    u , 2    Cl U j  H0   , \ O  a   2u , nghĩa 2u   Cl U j0  H0   O  a  (11) Quan hệ (10) (11) chứng minh phần kết (i) hoàn thành việc chứng minh quan hệ Phần cuối chứng minh mệnh đề | | Tập B sở  tập B Q , với B Q xác định sau   B Q  U j  H    |Q : j   ,H  C  R, j  , sở không gian mở rộng | đầy đủ  |Q không gian mêtric  |Q   Khi đó, tập |   U 0,Qj  H   Int | Cl | U j  H    |Q | Q   B Q  U 0,Qj  H  : j   ,H  C  R, j  , Q |  , sở không gian  | Q với Lấy j       n, i      E  C  ~*n  Theo giả thiết quy nạp ta có   ind  |Q n ,i ,E     E,n  (với  |Q n , i ,E  không gian đầy đủ  |Q n ,i ,E  ) Vì vậy, 39 để chứng minh mệnh đề ta phải chứng minh bất đẳng thức ind  |Q    , điều    đủ để chứng minh Bd |Q U 0,Qj  H   Cl  |Q n ,i ,E  |   cho  H  C  R, j  cho H  E Nhắc lại  |Q n ,i ,E  =Cl  |Q n ,i ,E  Chứng minh tương tự [4] 2.2 Định lý: Tồn khơng gian mêtríc khả ly đầy đủ có số chiều (vơ hạn) ind      bao hàm đẳng cự tất khơng gian compact mêtríc số chiều (vơ hạn) ind   Chứng minh: Ký hiệu S tập số không gian mêtric compact số chiều (vô hạn) ind bé  cho không gian compact mêtric số chiều (vô hạn) ind bé  , đẳng cự đồng phôi từ phần tử S Lấy P tập S -chỉ số tập  -chỉ số trù mật Q  Q X : X  S thu hẹp S cho Q X  X với X  S Ký hiệu M sở S R họ quan hệ tương đương S mệnh đề 2.1 Tiếp theo, theo mệnh đề này, không gian đầy đủ   M , R, P  khơng gian mêtríc   M , R, P  khơng gian mêtríc đầy đủ khả ly với số chiều  2.3 Hệ Tồn không gian mêtric khả ly đầy đủ với số chiều n   bao hàm đẳng cự tất không gian mêtric compact với số chiều bé n 40 Chương ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ CỦA CÁC KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT Với ánh xạ tồn ánh f từ khơng gian X vào không gian Y , ta ký hiệu tập xác định f , nghĩa tập X , D f tập giá trị f , nghĩa tập Y , R f Ảnh f tập f ( X )  Y Số chiều nghĩa số chiều vô hạn ind 3.1 Định lý Cho F tập đánh số ánh xạ toàn ánh liên tục có tập xác định khơng gian mêtric compact có số chiều vơ hạn ind   d   phạm vi không gian mêtric compact có số chiều ind  r   Khi tồn ánh xạ tồn ánh liên tục F : X  Y ánh xạ bao hàm đẳng cự cho 𝔽, với X Y tương ứng không gian mêtric compact khả ly đầy đủ có số chiều ind   d   r , Chứng minh Cho Sd S r ký hiệu cho tập đánh số tập xác định tập giá trị phần tử F Để không tính tổng qt ta giả sử phần tử Sd , S r , rời Ta có Pd  a X d ,i : i   : X  S d  tập S d - đánh số tập  -được đánh số trù mật, nghĩa adX,i : i  tập đánh số trù mật X Ta đặt Pr  a Y r ,i    f  adX,i  : i   : Y  Sr với f phần tử F có tập xác định X tập giá trị Y Hiển nhiên, Pr tập S r - đánh số tập  - đánh số trù mật 41 Với tập Sr , ta sử dụng giải, khái niệm, xây dựng có chứng minh mệnh đề 2.1 [4], thay tập hợp S tập hợp Sr , tập đánh số P tập đánh số Pr , giả sử Q đồng với S r (nghĩa QY  Y với Y  S ) Ta thay kí tự “ X ” kí tự “ Y ” điểm adX,i điểm arY,i Hơn nữa, giải đưa [4], thêm vào những số có ta sử dụng số “ r ” (cái mà giải xem xét có quan hệ với tập hợp S r ) Ta xem xét đối tượng sau: 1r  Một lân cận mở WrY, n, y  y Y  Sr n   cho   i Diam WrY, n, y     ii ind Bd WrY, n , y  2n   a  n, y   ar r 1  Một phủ tối thiểu c Y r ,n ' r với vài số thứ tự ar (n, y )    WrY, n, y1  , ,WrY, n, y  Y (nghĩa bất  kr ( n )    tập crY,n khơng phủ Y )  2r    Số thứ tự ar Y , n   ar  n, y1  , , ar n, ykr ( n )    Số nguyên u Y , n phần tử tối thiểu  \ 0 cho ' r r i ur Y , n   n  ii Số  3r  ur Y , n  số nhỏ số Lebesgue phủ crY,n ; Họ đánh số Rr ,*   đương S r định nghĩa sau: n r ,* : n   \ 0 quan hệ tương 42 Hai phần tử Y , Y '  Sr -tương đương khi: n r ,* r Y , k   r Y ', k  ur Y , k   ur Y ', k  với k ,1  k  n;  4r  Số thứ tự  r  E, n  số nguyên ur  E, n  định nghĩa sau  r  E, n    r Y , n  ur  E, n   ur Y , n  với Y  E  C  ~ nr,*   5r  Tập đánh số VrY, n,i  : Y  Sr  ,  n, i    \ 0   với VrY, n,i  phần tử phủ crY,n bao hàm mạnh điểm arY,i , tức O ur  Y , n  a   V  Y r ,i Y r , n ,i   6r  Thu hẹp đóng Sr   Qr , n,i ,E   QrY, n,i ,E  : Y  Sr ,  n, i, E    \ 0    C   n r ,*   Y Y định nghĩa sau Qr , n,i , E   BdY Vr , n,i  Y  E hay QrY, n,i ,E    Y  E  7r    Y Y Tập đánh số Br ,U  U r , 0,m : m   ,Y  Sr định nghĩa sau U rY, 0,m  VrY, n,i  m    n, i  với  ánh xạ 1-1 cố định từ  \ 0   8r  vào  không phụ thuộc vào Y   Tập đánh số M r ,0  U rY, o ,m  : m   : Y  S r  sở Sr ;  9r  Cơ sở ban đầu    M Qr , n ,i , E   U QYr , n ,i , E  ,m : m   Y  Sr với S r tương ứng với thu hẹp Qr , n ,i , E  có  r  E, n  tương ứng.(xem [4] để có khái niệm cho sở tương ứng với thu hẹp có số thứ tự tương ứng) 43 10r  Cơ sở ban  đầu M r ,Q  M r ,Q  U rY,Q ,m : m   : Y  S r , với xác định sau: U rY,Q,m  U rY, 0,m ' m    m '  U rY,Q,m  U QYr , n,i ,E ,m ' m   n,i ,E   m '  Trong  \ 0    C  n r ,*  ánh xạ từ   n ,i , E  vào  (khơng phụ thuộc vào Y  Sr ) với tính chất ảnh ánh xạ rời hợp tập hợp  11r   Một sở tùy ý M r ,M  U rY,m : m   : Y  S r  S r mở rộng M r ,Q với ánh xạ mở rộng  ; 12r    Một M r , Qr , n,i ,E  , Pr - họ chấp nhận RQMr ,r n ,i , E  quan hệ tương đương S r họ ban đầu tương ứng với sở M r thu hẹp Qr , n ,i , E  có  r  E, n  tương ứng 13r  Một  M r , Qr , Pr  -họ  chấp nhận R M  ~ M : s  F r r ,s  quan hệ tương đương S r thỏa mãn điều kiện sau: i Với  n, i, E    \ 0    C   n r ,* , R M r lọc cuối  họ RQMr ,r n ,i , E  (và, R M M r , Qr , n,i ,E  , Pr - họ chấp nhận được) r ii Với n  \ 0 ta có ~ M ,n ~ nr,* r iii Mr ,s Y Với s  \ 0 j       n, i     s  , quan hệ Y ' dẫn đến d r Y , j, s   d r Y ', j, s    hay tồn số nguyên l  , 2, 1,0,1,2,  cho  d r Y ', j, s   s l 1 2sl  d r Y , j , s   s l 1 2sl 44 (số d r Y , j, s  có quan hệ với tập VrY, n ,i  định nghĩa chương ) 14r  Số nguyên ur  L, n  số thứ tự  r  L, n  với số  nguyên ur Y , n  số thứ tự  r Y , n  tương ứng, với Y  L  C ~ M 15r  r ,n ; Một họ  M r , Qr , Pr   chấp nhận tùy ý Rr  ~ rs : s  F quan hệ tương đương S r , lọc cuối R M r , Vì vậy, ta xét khơng gian mêtric bao hàm  r    M r , Rr , Pr  Ta ký hiệu khơng gian đầy đủ hóa không gian  r tập hợp Y   r Theo Mệnh đề 2.1 chương 2, Y không gian mêtric khả ly đầy đủ có số chiều nhỏ  r Tương tự với khái niệm nêu trên, với tập hợp S d xét giải, khái niệm, xây dựng cho chứng minh Mệnh đề 2.1 chương , thay tập hợp S tập hợp Sd , tập đánh số P tập đánh số Pd , điểm aiX điểm adX,i , giả sử Q đồng với Sd (nghĩa Q X  X với X  Sd ) Hơn nữa, giải đưa [4], thêm vào những số có ta sử dụng số “ d ” (cái mà giải xem xét có quan hệ với tập hợp Sd ) Tuy nhiên, trường hợp định nghĩa vài khái niệm ta thêm vào số điều kiện Ta xem xét đối tượng sau: 1d  Một lân cận mở WdX,n,x x X  Sd n  \ 0 cho   X i Diam Wd , n, x     ii ind Bd WdX, n , x  2n   a d  n, x   ad với vài số thứ tự ad (n, x) 45   X iii Tập hợp f Wd , n , x  bao hàm vài phần tử phủ crY,n Y với f F X  D f , Y  R f ; 1  ' d W  X d , n, x    : x X  1  Cơ sở c '' d   phủ kd ( n )   X X X phủ tối thiểu cd ,n  Wd , n, x1  , ,Wd , n, x  X d c X  S d , với cdX  X d ,n : n  \ 0 ;  2d  Số thứ tự ad  X , n   max ad  n, x1  , , ad  n, xk d (n)    số nguyên u  X , n  phần tử tối thiểu  ' d d cho i ud  X , n   n  ii Số 3d  số nhỏ số Lebesgue phủ cdX,n ; ud  X , n  Họ đánh số Rd ,*   : n  \ 0 quan hệ tương n d ,* đương Sd định nghĩa sau: Hai phần tử X , X '  Sd n d ,* -tương đương khi:  d  X , k    d  X ', k  ud  X , k   ud  X ', k  với k ,1  k  n;  4d  Số thứ tự  d  E, n  số nguyên ud  E, n  định nghĩa sau  d  E, n    d  X , n  ud  E, n   ud  X , n  với X  E  C  ~ nd ,*  5d  Tập đánh số VdX, n,i  : X  Sd  ,  n, i    \ 0   với VdX, n,i  phần tử phủ cdX,n bao hàm mạnh điểm adX,i ,  6d  Thu hẹp đóng Sd 46   Qd , n,i , E   QdX, n,i , E  : X  Sd ,  n, i, E    \ 0    C   n d ,*   X X định nghĩa sau Qd , n,i , E   Bd X Vd , n,i  X  E QdX, n,i , E    X  E  7d  Tập đánh số BdX,U  U dX,0,m : m   định nghĩa sau U dX,0,m  VdX, n,i  m    n, i  với  ánh xạ định nghĩa  7r   8d    sở   với Sd  S Tập đánh số M d ,0  U dX, o ,m  : m   : X  S d S d ; 9d  Cơ sở ban đầu M Q d , n ,i , E    U QXd , n ,i , E  ,m : m   : X  Sd tương ứng với thu hẹp Qd , n ,i , E  có  d  E, n  tương ứng 10d  Cơ sở ban đầu M d ,Q  U X d ,Q , m : m   : X  S d  ,với U dX,Q,m  U dX,0,m ' m    m ' hay U dX,Q,m  U QXd , n,i ,E ,m ' m   n,i ,E   m ' với    n ,i , E  định nghĩa giống 10r  ; 11d   Một sở tùy ý M d ,M  U dX,m : m   : X  Sd d mở rộng M d ,Q với ánh xạ mở rộng  ; 12d   Một M d , Qd , n,i , E  , Pd  - họ chấp nhận R Md Qd , n ,i , E  quan hệ tương đương Sd họ ban đầu tương ứng với sở M d thu hẹp Qd , n ,i , E  có  d  E, n  tương ứng 47 13d   Một  M d , Qd , Pd  -họ chấp nhận R M  ~ M : s  d d ,s  quan hệ tương đương Sd thỏa mãn điều kiện sau: i Với  n, i, E    \ 0    C   n r ,* , RM d lọc cuối  họ RQMd d, n ,i , E  (và, RM M d , Qd , n,i , E  , Pd - họ chấp nhận được) d ii Với n  \ 0 ta có ~ M  ~ nd ,* d ,n iii Với s  \ 0 j  s  , Quan hệ X M d ,s X ' dẫn đến d d  X , j, s   d d  X ', j, s    hay tồn số nguyên l  , 2, 1,0,1,2,  cho  d d  X ', j, s   s l 1 s l 1  d d  X , j, s   2sl 2sl iv Với f , f ' F , với f : X  Y f ': X '  Y ' , quan hệ tương đương X ~ Y~ M r ,n M d ,n X ' với vài n   dẫn đến quan hệ tương đương Y '; 14d  Số nguyên ud  L, s  số thứ tự  d  L, s  với số nguyên ud  X , s  số thứ tự  d  X , s  tương ứng, với X  L; 15d  Một họ  M d , Qd , Pd   chấp nhận tùy ý Rd  ~ ds : s   quan hệ tương đương Sd , lọc cuối R M d , thỏa mãn điều kiện với f , f '  F , với f : X  Y f ': X '  Y ' , quan hệ tương đương X ~ nd X ' với vài n   dẫn đến quan hệ tương đương Y ~ nr Y ' Vì vậy, ta xét không gian mêtric bao hàm  d    M d , Rd , Pd  Ta ký hiệu khơng gian đầy đủ hóa khơng gian  d tập hợp X   d 48 Theo Mệnh đề 2.1 chương 2, Y không gian mêtric khả ly đầy đủ có số chiều nhỏ  d Bây giờ, ta định nghĩa ánh xạ F : X  Y Cho a điểm thuộc   X Khi đó, tồn dãy aip p : p  hội tụ tới a Vì thế, dãy X Ta ký hiệu f p phần tử F với tập xác định không gian X p Ta chứng minh dãy  f  a  : p  p Xp ip Thật vậy, cho   cho q  0  \ 0 i  0  cho q      a U j  H  , với j      q   , i     H  C  Rd  Khi đó, với hầu hết tất số p (nghĩa trừ hữu hạn số p ) ta có aip p U j  H  Để không tính tổng qt, ta giả sử X H  C  ~ qd  , với q  q   Từ định nghĩa họ R M ,d dẫn đến tồn phần tử H '  C  ~ qr  cho tập xác định vài phần tử f F thuộc H , tập giá trị f thuộc H X Từ định nghĩa phủ cr ,qp  dẫn đến f  F tập xác định   X thuộc H , tập f VdX, q ,i  bao hàm phần  tử phủ crY,q0 thế, Diam f VdX, q 0,i 0   21 q  Từ định nghĩa mêtric r dẫn đến        r f p ad ,q0 , f p ' ad ,q0  r ar ,q0 , ar ,q0  Xp X p' Yp Yp ' q  , 49 Hai quan hệ dẫn đến kết Diam dãy  f  a  : p    , p Xp ip nghĩa  f  a  : p  Nếu giới hạn dãy điểm Xp ip p b  r ta đặt F  a   b Chúng ta chứng minh ánh xạ F định nghĩa tốt, nghĩa là, a X 'p i 'p     : p   dãy khác hội tụ tới a dãy f ' p aiX' ' : p   p p    hội tụ đến b Cho ' p p : p   dãy hội tụ đến a Khi dãy c X '' p i '' p X'  : p   , với ciX'' p'' p  aiXp p chẵn ciX'' p'' p  aiX' p' p p lẻ,     dãy hội tụ đến a Vì dãy f '' p ci '' p p : p   hội tụ đến b , nghĩa X ''     dãy f ' p ' p p : p   hội tụ đến b X' Chúng ta chứng minh ánh xạ F liên tục Lấy a  d cho F  a   b  r Giả sử ak : k   dãy điểm thuộc  d hội tụ a Ta phải chứng minh dãy bk : k   , với F  ak   bk , hội tụ b a : p  dãy hội tụ a , k  Theo trên, dãy F  a  : p  hội tụ b Vì thế, tồn phần tử p 0  cho: X kp Cho k i kp X kp k i kp  X kp  0  ak , d k p  0      b , F a X kp0     r  k i kp  0   2k 2k  a X kp   Vì vậy, ta có lim k  k p  0   X kp  0   Và, lim  F aik   b p  0 k    50   Xk Từ ta có lim  ak   lim  F aik p0  nên lim  bk   b , nên F p  0 k  k   k   liên tục ta hoàn thành việc chứng minh định lý Định lý sau chứng minh tương tự Định lý 2.1 3.2 Định lý Cho F tập hợp đánh số ánh xạ liên tục có tập xác định khơng gian mêtric compact có số chiều ind      có tập giá trị đồng với không gian mêtric khả ly đầy đủ cố định Y Khi đó, tồn ánh xạ liên túc F : X  Y , với X không gian mêtric khả ly đầy đủ với số chiều nhỏ  cho, với f F , tồn đẳng cự i f D f vào X để F i f  f 51 KẾT LUẬN Kết đạt Với mục đích đặt luận văn tìm hiểu “Ánh xạ đẳng cự số không gian mêtric compact”, chúng tơi trình bày số kiến thức kết liên quan đến ánh xạ, đẳng cự số không gian mêtric compact cụ thể sau: - Một số kiến thức, khái niệm, định nghĩa chuẩn bị cho việc nghiên cứu ánh xạ đẳng cự số không gian mêtric compact - Định lý chứng minh tồn xây dựng không gian metric compact khả ly đầy đủ ind     chiều bao hàm đẳng cự tất khơng  gian metric compact có số chiều bé ind   - Định lý chứng minh tồn ánh xạ bao hàm đẳng cự F : X  Y lớp ánh xạ toàn ánh với tập xác định khơng gian mêtric compact có số chiều ind   d   tập giá trị khơng gian  mêtric compact có số chiều ind   r   , với X , Y không gian mêtric  khả ly đầy đủ xây dựng Một số câu hỏi Câu hỏi Cho     \  Có tồn phần tử phổ dụng lớp tất không gian mêtric compact khả ly số chiều siêu hạn ind   ? Câu hỏi Cho     \  Có tồn phần tử phổ dụng lớp tất không gian mêtric compact khả ly số chiều siêu hạn Ind   ? Câu hỏi Cho     \  Có tồn không gian mêtric compact khả ly đầy đủ với số chiều siêu hạn Ind   bao gồm tất không gian compact mêtric đẳng cự với số chiều siêu hạn Ind   hay không? 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, “Tôpô đại cương” (2005), Nxb Giáo dục [2] Trần Tráng, “Tôpô đại cương” (2001), Nxb Đại học Sư phạm TP.HCM [3] Stavros Iliadis, “Mappings and isometries of compact metric spaces”, Topology and its Applications 221 (2017), no 11, 28-37 [4] Stavros Iliadis and Inderasan Naidoo, “On isometric embeddings of compact metric spaces of a countable dimension”, Topology and its Applications 160 (2013), no 11, 1284-1291 [5] S.D Iliadis, “A separable complete metric space of dimension n containing isomêtrically all compact metric spaces of dimension n”, Topology and its Applications 160 (2013), no 11, 1271-1283 [6] Stavros Iliadis, “Mappings and Universality”, Topology and its Applications 137 (2004) 175-186 [7] S.D Iliadis, “Universal Spaces and Mappings”, North-Holland Mathematics Studies, 198, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2005, xvi+559 pp [8] Roman Pol, “Countable-dimensional universal sets”, Trans Amer Math Soc Vol 297, No (1986), 255-268 [9] Elzbieta Pol and Roman Pol, “Note on isomêtric universality and dimension, Israel Journal of Mathematics”, Vol 209 (2015), 187-197 ... bao hàm đẳng cự tất không gian mêtric compact với số chiều bé n 40 Chương ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ CỦA CÁC KHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT Với ánh xạ tồn ánh f từ khơng gian X vào không gian Y , ta ký hiệu... bị đại số, nhóm tơpơ, tính compact, tính liên thông không gian mêtric Chương 2: Phép nhúng đẳng cự khơng gian mêtric compact có số chiều đếm Chương 3: Ánh xạ đẳng cự số không gian mêtric compact. .. cứu trả lời vấn đề câu hỏi xây dựng sơ đồ ánh xạ đẳng cự số khơng gian mêtric compact Mục đích đề tài Nghiên cứu ánh xạ đẳng cự số không gian mêtric compact Phương pháp nghiên cứu Phương pháp