Tổ chấm cần thảo luận kỹ về thang điểm cho từng phần để thống nhất trong quá trình chấm.[r]
(1)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2012 - 2013
MƠN THI: TỐN
(dành cho thí sinh thi Chuyên Toán)
Ngày thi: 30/6/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1,5 điểm
Chứng minh :
1.2.3….1005.1006.1007 + 1008.1009….2013.2014 chia hết cho 2015
Bài 1,5 điểm
Chứng minh phương trình 2013x2 + = y2 khơng có nghiệm ngun
Bài điểm
Kí hiệu [x] dùng để số nguyên lớn không vượt x Ví dụ [3,47] = 3; [5] = 5; [ -2,75] = -3 …
Hãy giải phương trình 3x 5x
5
Bài
2 điểm Cho biểu thức
3
1
1 1
x x
P
x x x x x
a Tìm x để P >
b Tìm giá trị P 53 x
Bài
1 điểm Ta viết dãy phân số
1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 2 3
Hỏi phân số 2012
2013 đứng vị trí thứ dãy
Bài 1,5 điểm
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ AD ( K không trùng với A D), gọi K1,K2,K3,K4 lần
lượt chân đường vng góc hạ từ K xuống AD, AB, CD, CB Chứng minh K1 trực tâm tam giác K2K3K4
Bài 1,5 điểm
Trong hình trịn tâm O, bán kính R dựng hai đường kính vng góc AE BF Trên cung nhỏ EF lấy điểm C Gọi P giao điểm AC BF, gọi Q giao điểm AE CB
Chứng minh diện tích tứ giác APQB R2
… Hết…
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN CHUN NĂM HỌC 2012-2013
Bài 1,5 điểm
Chứng minh :
1.2.3….1005.1006.1007 + 1008.1009….2013.2014 chia hết cho 2015 Giải: 1008.1009….2013.2014 = (2015-1007)(2015-1006)…(2015-2)(2015-1)
= A.2015 – 1007.1006…3.2.1 =>ĐPCM
Bài 1,5 điểm
Chứng minh phương trình 2013x2 + = y2 khơng có nghiệm ngun
Giải : Nhận thấy x y tính chẵn, lẻ +) y chẵn : VP ≡ 0(mod4), VT ≡ 2(mod4) +) y lẻ : VP ≡ 1(mod8),VT ≡ 7(mod8) Bài
1 điểm
Kí hiệu [x] dùng để số nguyên lớn không vượt x Ví dụ [3,47] = 3; [5] = 5; [ -2,75] = -3 …
Hãy giải phương trình 3x 5x
5
Giải:Phương trình cho tương đương với
4 3x 5x 53 10 5x 5
0
5 23 46 23 46
5x 5x 5x
7 7
x
5x
0
7 x
Bài
2 điểm Cho biểu thức
3
1
1 1
x x
P
x x x x x
c Tìm x để P >
d Tìm giá trị P 53 x
Giải: Rút gọn P = x2 x1 với điều kiện x > a P >
(x 1) x 1 0 ( x 1 1)2 0 x 1 0 x ≠2 Vậy P > x lớn 1, x khác
b P = ( 53 53(9 7)
9 ( 1) 1)
81 28
x
Bài
1 điểm Ta viết dãy phân số
1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 2 3
Hỏi phân số 2012
2013 đứng vị trí thứ dãy Giải:
Ta phân chia dãy viết thành nhóm sau: nhóm thứ có phân số, nhóm thứ hai có phân số, nhóm thứ ba có phân số,…
(3)phân số (thuộc nhóm thứ ba) có tổng tử mẫu 4, bốn phân số (thuộc nhóm thứ bốn) có tổng tử mẫu 5… Như vậy, phân số 2012
2013 vị trí thứ 2013 nhóm phân số có tổng tử mẫu 4025 ( 2012 + 2013), tức nhóm phân số
4024 4023 4022 2012
; ; ; ; ; ;
1 2013 4022 4023 4024
Số phân số từ phân số thứ nhóm + +…+ 4023 = 4023.4024 4023.2012
2
Vậy phân số 2012
2013 vị trí thứ 4023.2012 + 2013 = 8096289 dãy Bài
1,5 điểm
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ AD ( K không trùng với A D), gọi K1,K2,K3,K4 chân đường vng góc hạ từ K xuống AD, AB, CD, CB
Chứng minh K1 trực tâm tam giác K2K3K4 Giải: Gọi I giao KC K3K4 Kẻ
K2K1 cắt K3K4 E ĐPCM K2E
vng góc với K3K4.
Vì tứ giác AK1KK2 nội tiếp nên góc K1K2K= góc K1AK (1)
Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên góc K1AK= góc KCK3 (2)
Vì tam giác IKK3 cân nên góc IKK3 = góc IK3K (3)
Vì tam giác KCK3 vng nên góc IKK3 + góc KCK3 = 1v (4)
Từ (1), (2), (3),(4) có góc EK2K3 + góc
EK3K2 = 1v hay góc K2EK3 = 1v Bài
1,5 điểm
Trong hình trịn tâm O, bán kính R dựng hai đường kính vng góc AE BF Trên cung nhỏ EF lấy điểm C Gọi P giao điểm AC BF, gọi Q giao điểm AE CB Chứng minh diện tích tứ giác APQB R2
Giải: ĐPCM 2
AQ BP R
Tacó
( 45 ,
d A
)
ABP QAB
QAB ABP
s cung C
APB QBA
Từ AB BP
AQ BA hay AQ.BP = 2R
2
2 ABR
Ghi : Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa
Tổ chấm cần thảo luận kỹ thang điểm cho phần để thống trình chấm
A
B C
D
∙ K K4
K1
K3 K2
. I E
E A
B F
C P
