Bài giảng số 4: Vị trí tương đối giữa parabol và đường thẳng ôn thi vào lớp 10

Tìm toạ độ điểm còn lại. Tìm toạ độ của tiếp điểm.. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB. Xác định toạ độ của M, N và tính diện tích tứ giác MHKN. d) Tìm m để đoạn thẳng AB có độ dài [r]

(1)

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10 BÀI GIẢNG SỐ 04: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

Dạng 1: Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục

Ví dụ 1:

a) Vẽ hai đồ thị hàm số 2

y x y  x 3trên hệ trục b) Từ đồ thị suy tọa độ giao điểm

Dạng 2: Tìm giao điểm, điều kiện vị trí tương đối

Bài tốn Tìm giá trị tham số biết quan hệ đường thẳng đường cong

Ví dụ 1: Cho parabol  P :y2x2 x đường thẳng d y: kx 5 k Tìm điều kiện k

để

a) d cắt  P hai điểm phân biệt b) d tiếp xúc với

c) d không cắt  P Giải:

Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) là:

2x   x kx 5 2k

 

2x k x 2k       (1)

Ta có:  1k28 2 k8k218k65

a Để d cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt



18 65

13

k

k k

k

 

      

 

b Để d tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm 13

k k

      

(2)

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10

Ví dụ 2: Cho parabol   :

P y x đường thẳng d y: 2xm a) Tìm m để d để tiếp xúc với  P tìm toạ độ tiếp điểm

b) Tìm m để d cắt  P hai điểm phân biệt có điểm có hồnh độ 1 Tìm toạ độ điểm cịn lại

Giải:

Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d là: 2

2 (1)

x  xmx  x m  Ta có:   ' m

a) Để d tiếp xúc với (P) phương trình (1) có

' m m

        

Khi hồnh độ tiếp điểm

2

b x

a 

    y1

Vậy với m = - d tiếp xúc với (P) tọa độ tiếp điểm (1; 1)

b) Để d cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

1 m m

       

Vì d cắt (P) điểm có hồnh độ -1 nên ta có

 2

1 2( 1) m m        (t/m)

Khi phương trình (1) trở thành 1

2

1

2

3

x y

x x

x y

  

 

    

 

 

Vậy với m = d cắt (P) hai điểm A( 1;1), B(3;9) Bài tập:

Bài 1: Cho parabol  

:

4

P y  x đường thẳng d y: m2x3 Với giá trị m

(3)

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ơn thi vào 10

ĐS:

m m

  

  

, A 2; , B2; 3 

Bài 2: Cho ba đường thẳng

1

: 1, : 1, : a

3

         

d y x d y x d y x a a Tìm a để d1 cắt d2 điểm thuộc d3. ĐS:

3



a

Bài tốn Tìm điểm cố định họ đường thẳng dm họ đường cong  Pm

Phương pháp: Để tìm điểm cố định họ đường cong Cm:y f x m( ; ) Bước 1: Gọi điểm cố định M x y 0; 0 Suy y0  f x m( ; ),0 m

Bước 2: Sắp xếp y0  f x m( ; )0 theo phương trình ẩn m bậc giảm dần Bước 3: Cho hệ số 0x0, y0 ?

Ví dụ 3: Tìm điểm cố định đồ thị a (m – 1)x + (2m – 3)y = m + (dm) b

2( 1) ( m)

yx  m x m C

Giải:

a Gọi M x y 0; 0 điểm cố định mà họ (dm) ln qua Vậy ta phải có:

m1x02m3y0 m1

 0  0

0 0

2

3

x y m x y

x y x

x y y

      

   

 

 

    

 

Vậy (dm) qua điểm cố định M(5; -2)

(4)

 

2

0 0

2

0 0

2

0 0

0

2

0 0

0

2

3

2 2

5

4

y x m x m

y x mx x m

x m x x y

x x

x x y

y                                       

Vậy (Cm) qua điểm cố định

3 ; ,

M  m

 

Bài tập

Bài 3: Tìm điểm cố định họ đường thẳng sau:

a y2mx 1 m b ymx 3 x

ĐS: a 1;1

 

 

  b 0; 3 

Bài 4: Tìm điểm cố định họ parabol sau:

a  

2

yx  m x m b  

1

yax  a x a

ĐS: a 1; 

 

 

  b 2; ,  3;3

Bài 5: Chứng minh đồ thị hàm số    

:

P ymx  m x m qua điểm cố định

m

 Tìm toạ độ điểm

ĐS: 1;2 , 3;6 

Bài 6: (CNN - 1999) Cho hàm số    

:  3 1 2 1

P y mx m x m Chứng minh  P qua điểm với m

ĐS: A 1; 4 B2; 

(5)

Ví dụ 4: a) Chứng minh họ đường thẳng

:   2

d y mx m tiếp xúc với parabol cố định Đáp số:

2

  

y x

b) Chứng minh họ parabol  

:

P ymx  mx m tiếp xúc với đường thẳng cố định Đáp số: y  1

Giải:

a) Gọi (P): ax

y bx c parabol mà họ đường thẳng d tiếp xúc Khi phương trình hồnh độ giao điểm

2

ax bx c mxm 2 có nghiệm kép với m

2

ax (b m x c m)

       có nghiệm kép với m

 2

4 ( 2) 0,

b m a c m m

        

  2

1 4a m 2bm b 4ac 8a

      

2

1

1 4

2 0

2

4

a a

b b

c

b ac a

                      

Vậy họ đường thẳng d tiếp xúc với (P): 2 y  x 

b) Gọi d: y = ax + b đường thẳng mà họ (P) ln tiếp xúc Khi phương trình hồnh độ giao điểm

2

2 ax

mx  mx m b có nghiệm kép với m

(2 )

mx m a x m b

       với m

2

(2 ) (1 )

(4 4)

4 4 0

1

m a m m b

b a m a

b a a

(6)

http://edufly.vn Khóa học phương trình bậc hai ôn thi vào 10 Vậy đường thẳng cần tìm y 1

Bài tập:

Bài 7: a) Chứng minh họ đường thẳng

: 2  2 2

d y mx m m tiếp xúc với parabol cố định

ĐS:

2

y x  x b)Chứng minh họ parabol  

:

P ymx  mxm tiếp xúc với đường thẳng cố định

ĐS: y  1

Dạng 4: Bài tốn liên quan đến diện tích tam giác giới hạn đường

Ví dụ 5: Cho parabol  

P : y x đường thẳng d : ymx1. Chứng minh với giá trị

của m đường thẳng d cắt  P hai điểm phân biệt Gọi A,B hai giao điểm d

 P Tính diện tích tam giác OAB theo m (O gốc toạ độ) Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm (P) d là:

2

1

4

x mx

 

   

Ta có:

' 4m 0, m

    

Vậy d cắt (P) hai điểm phân biệt

Gọi A, B giao điểm d (P) 2

2 1, 2

A B

x m m x m m

      

Khi đó:

 2  2  2 2 2  2 

1

B A B A B A B A B A

(7)

 2  

16 m 1 4 m 1

Đường thẳng qua O vng góc với AB(là đường thẳng d) có phương trình

y x

m

  (d’)

Gọi H chân đường cao hạ từ O lên đường thẳng d Khi

2

2 2 2

1 1

' ;

1 ( 1)

m m

H d d H OH

m m m m

 

 

      

   

 

Vậy  

2

1 1

.4

2

OAB

S OH AB m m

m

    

 (đvdt)

Ví dụ 6: Tính diện tích hình giới hạn đường thẳng 1: ,

d y x d2:y 3 ,x d3:y  x 4. Giải:

Ta có: d1d2 0(0; 0), d1d3  A(3;1), d2d3 B( 2; 6) Vì 1.( 3)

3    nên d1d2 O

Ta có: OA  1  10, OB  36  40

Vì tam giác OAB vng O nên 400 10

2

OAB

S  OA OB  (đvdt)

Bài tập

Bài 8: Cho đường thẳng d y:  x parabol  

:

P yx

a) Chứng minh d cắt  P hai điểm phân biệt A B Tìm tọa độ giao điểm ĐS: A  1;1 B2; 

b) Tìm M thuộc cung AB  P cho diện tích MBA lớn

ĐS: 0 1;

M  

(8)

Bài 9: Tính diện tích hình giới hạn đường thẳng 1: ,

d y x d2:y   3,

 

3:

d y  x 

ĐS: A3; , B  3;3SOAB 6

2 :

2

x

P y  đường thẳng : 2

d y x Gọi A B giao điểm  P

và d Tính SAOB

Hướng dẫn: Chứng minh AOB vuông OSAOB 5

Dạng Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol hai điểm tạo thành đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M0;  Cho parabol  

2 :

4

x

P y  đường thẳng d: axby 2 Biết d qua điểm M

a) Chứng minh a thay đổi thìdln cắt P hai điểm phân biệt Avà B b) Xác định a để AB có độ dài ngắn

Giải:

a)Vì d qua M(0; 2) nên b = -  d có dạng y = ax +

phương trình hồnh độ giao điểm d (P)

2

ax

4

x

x ax

     

Ta có

' 4a 0, a

(9)

Vậy d cắt (P) hai điểm phân biệt A B với

2

2 2

A

B

x a a

   



   



b)Ta có:  2  2  2 2 2

B A B A B A B A

AB x x  y y  x x a x x

=   2  

1 B A ( 2)

a  x x  a  a  =

4 a 3a 24

Dấu “=” xảy a 0

Vậy ABmin 4 2a0

Bài tập:

Bài 11(CNN - 2000) Tìm phương trình đường thẳng qua điểm I0;1 cắt parabol

 

:

P yx hai điểm phân biệt M N cho độ dài đoạn thẳng MN 2 10 ĐS: y2x1 y 2x1

:

P yx  đường thẳng d y: mx1 Tìm m để d cắt  P hai đểm phân biệt A B cho độ dài AB ngắn

ĐS: AB m417m216 ABmin 4m0

:

P y x đường thẳng d y: mx4 Tìm m để  d cắt  P hai đểm phân biệt A B cho độ dài AB ngắn

ĐS:

4

2

min 67

4

16 16

m

AB  m   AB  m

Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho parabol  

P : yax

(10)

b) Lấy điểm A0 3;  điểm B  

P : y x Tìm độ dài nhỏ đoạn thẳng AB

c) Vẽ (P) 2

d : y  x hệ trục toạ độ

d) Gọi M N hai giao điểm (P) d; H, K hình chiếu A B trục Ox Xác định toạ độ M, N tính diện tích tứ giác MHKN

ĐS: a)

a  b) ABmin2 2 B2 1;  B2 1;  d) SMHKN 15

P : y  x điểm I0;2.

a) Lập phương trình đường thẳng d qua điểm I có hệ số góc m b) Chứng minh d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B

c) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo m

d) Tìm m để đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ ĐS: a)ymx2 c)   

4

AB m  m  d) ABmin 4 2m0

Bài 3: Cho parabol   2

P : y x đường thẳng

2 d : ymx .

a) Chứng minh d qua điểm A cố định m thay đổi d cắt (P) hai điểm

phân biệt M, N

b) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN m thay đổi

ĐS: a) A ; 

 

b) 2 yx 

Bài 4:Cho parabol  P : y2x 2

a) Vẽ parabol (P) tìm (P) điểm cách hai trục toạ độ b) Tìm số giao điểm (P) đường thẳng d : ymx1 theo m

(11)

e) Lập phương trình đường thẳng d1 qua điểm A0;2 có điểm chung với (P)

f) Lập phương trình đường thẳng d2 song song với đường thẳng y 2x2009 cho d2 có đúng điểm chung với (P)

g) Tìm m để độ dài đoạn thẳng AB2 10.

h) Chứng minh OA OB vng góc i) Tìm m để diện tích tam giác OAB

j) Gọi H, K theo thứ tự hình chiếu vng góc A, B lên trục hoành Chứng minh tam giác IHK vuông I

ĐS: a) 1 1

2 2

M ; , N ; 

   

c)  

0 1; ,x mx 1 d)

1

x x  m  e) y 4x2 f)

2

y  x g) m  2 i) m   11

Bài Cho hàm số

yx có đồ thị  P

a) Gọi A B hai điểm nằm  P có hồnh độ -1 Chứng minh tam giác OAB vuông

b) Viết phương trình đường thẳng  d / /AB tiếp xúc với  P

c) Cho đường thẳng  d' :ymx1 Chứng minh  d' qua điểm cố định với

m

ĐS: a) A1;1 , B2; 4 tính OA OB AB, , chứng minh tam giác OAB vuông A b) Phương trình đường thẳng AB 2, :

4 yx d yx

c) Điểm cố định M0;1  Bài 6: Cho parabol  

:

P y x đường thẳng  : 2

d y  x

(12)

b) Tìm điểm N trục hồnh cho NANB nhỏ ĐS: a) 1;1

4 M 

 

b) HD: Gọi B' 2; 1   điểm đối xứng B qua O x Ta có NANB NANB' AB' khơng đổi Do NANB nhỏ N giao điểm ABvà trục O x Phương trình đường thẳng

5

' : ;

6

AB y  x N 