TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 10 11 12

TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 101112 TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 101112 TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 101112 TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 101112 TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 101112 TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 101112 TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 101112 TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 101112 TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 101112

TĨM TẮT CƠNG THỨC TỐN 10,11,12 CHỦ ĐỀ 1: CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A Hệ thức Cơ sin α cos α 1) sin 2α + cos 2α = 2) tan α = 5) + tan α = cos α 6) + cot α = sin α Đối: α ; −α Bù: α ; π − α cos α sin α ∀k ∈ ℤ  7) sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cos α  3) cot α = 4) tanα cotα = ∀k ∈ ℤ  8)  tan(α + kπ ) = tan α cot(α + kπ ) = cot α  B Cung Liên kết π Khác pi: α ; π + α Phụ: α ; − α Pi π : α; + α 2 π  sin  + α  = cos α   Khác sin(−α ) = − sin α sin(π − α ) = sin α π  sin  − α  = cos α   sin(π + α ) = − sin α cos( −α ) = cos α cos(π − α ) = − cos α π  cos  − α  = sin α 2  cos(π + α ) = − cos α π  cos  + α  = − sin α 2  tan( −α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α π  tan  − α  = cot α 2  tan(π + α ) = tan α π  tan  + α  = − cot α 2  cot( −α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α π  cot  − α  = tan α   cot(π + α ) = cot α π  cot  + α  = − tan α   Sin bù Phụ chéo Mẹo nhớ: Cos đối Hơn Pi: tang, cotang Hơn pi/2: sin bạn C Công thức Cộng ∗ sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b ∗ sin(a − b) = sin a.cos b − cos a.sin b Ngược lại ta có: sina.cosb + cosa.sinb = sin(a + b) sina.cosb - cosa.sinb = sin(a - b) Mẹo nhớ: Sin sin cos cos sin Cos cos cos sin sin dấu trừ tan(a + b) = Mẹo nhớ: tan a + tan b − tan a.tan b ∗ cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b ∗ cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b Ngược lại ta có: cosa.cosb – sina.sinb = cos(a + b) cosa.cosb + sina.sinb = cos(a - b) Hoặc: Mẹo nhớ: Cốt cốt cốt sin sin Sin sin cốt cốt sin rõ ràng Cốt đổi dấu nàng Sin giữ dấu xin chàng nhớ cho ( ST) tan(a − b) = tan a − tan b + tan a.tan b cos, cos ‘thù’ sin Tang tổng lấy tổng tang Chia trừ với tích tang, D Công thức Nhân đôi, Nhân ba: 2) cos 2α = cos α − sin α 1) sin 2α = 2sin α cos α NGƯỢC LẠI: sin α.cos α = sin 2α sin α cos2 α = sin 2α = cos α − = − 2sin α NGƯỢC LẠI: – 2sin2 α = cos2 α 2cos2 α –1 = cos2 α cos2 α – sin2 α = cos α 4) sin 3α = 3sin α − 4sin α 5) cos3α = 4cos α − 3cos α Cách nhớ công thức 5: Ba sỉn trừ sin ba Bốn cô ba trừ ba cô 3) tan 2α = tan α − tan α 6) tan 3α = tan α − tan α − tan α 3) tan α = − cos 2α + cos 2α Cách nhớ công thức 5: Ba sỉn trừ sin ba Bốn cô ba trừ ba cô E Công thức Hạ bậc: − cos 2α NGƯỢC LẠI TA CÓ + cos 2α NGƯỢC LẠI TA CÓ 1) sin α = 2) cos α = − cos 2α = sin α + cos 2α = cos2 α F Biến đổi Tổng thành Tích: a+b a−b cos 2 a+b a−b 3) sin a + sin b = sin cos 2 a+b a −b sin 2 a+b a −b 4) sin a − sin b = cos sin 2 1) cos a + cos b = cos 2) cos a − cos b = − sin Mẹo nhớ công thức 1,2,3,4: Sin cộng sin sin cos Sin trừ sin cos sin Cos cộng cos cos cos Cos trừ cos trừ sin sin Trong tổng trước hiệu sau, nhớ chia đôi sin(a + b) cos a.cos b π π   7) sin α + cos α = 2.sin  α +  = 2.cos  α −  4 4   5) tan a + tan b = 6) tan a − tan b = 8) sin α − cos α = sin(a − b ) cos a.cos b π π   sin  α −  = − cos  α +   4  4 G Công thức biến đổi tích thành tổng 1) 2) cos a.cos b = [cos( a + b) + cos( a − b) ] sin a.sin b = − 3) [cos(a + b) − cos( a − b)] sin a.cos b = [sin(a + b) + sin(a − b) ] CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC u = v + k 2π u = v + k 2π 3) cos u = cos v ⇔  (k ∈ ℤ) 1) sin u = sin v ⇔  (k ∈ ℤ) u = −v + k 2π u = π − v + k 2π  X = α + k 3600  X = α + k 360 0 2) sin X = sin α ⇔  (k ∈ ℤ) 4) cos X = cos α ⇔  (k ∈ ℤ) 0 0  X = 180 − α + k 360  X = −α + k 360 Nếu sin u = m ∈ [ −1;1]   ;± ; ± ;0  thì: m ∉ ±1; ± 2     ;± ; ± ;0  thì: Nếu cos u = m ∈ [ −1;1] m ∉ ±1; ± 2   u = arcsin m + k 2π sin u = m ⇔  (k ∈ ℤ) u = π − arcsin m + k 2π Nếu sin u = m ∉ [ −1;1] thì: sin u = m ⇔ u ∈∅ sin u = ⇔ u = Đặc biệt: π cos u = m ⇔ u = ± arccos m + k 2π ( k ∈ ℤ ) Nếu cos u = m ∉ [ −1;1] thì: cos u = m ⇔ u ∈∅ + k 2π sin u = −1 ⇔ u = − π cos u = ⇔ u = k 2π + k 2π ( k ∈ ℤ) sin u = ⇔ u = kπ cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π   ;0  thì: Nếu tan u = m ∉ ± 3; ±1; ±   ( k ∈ ℤ) π + kπ MẸO NHỚ: GẶP SỐ cộng kpi, gặp số – cộng k2pi cos u = ⇔ u = MẸO NHỚ: GẶP SỐ cộng kpi, gặp số – cộng k2pi 3) tan u = tan v ⇔ u = v + kπ ( k ∈ ℤ ) tan u = m ⇔ u = arctan m + kπ Đặc biệt: 4) cot u = cot v ⇔ u = v + kπ ( k ∈ ℤ)   ;0  thì: Nếu cot u = m ∉ ± 3; ±1; ±   ( k ∈ ℤ) cot u = m ⇔ u = arc cot m + kπ ( k ∈ ℤ) Lưu ý: Điều kiện để hàm tan u có nghĩa Lưu ý: Điều kiện để hàm cot u có nghĩa π u ≠ + kπ , k ∈ ℤ Tuy vậy, phương trình tan u = m u ≠ k π , k ∈ ℤ Tuy vậy, phương trình cot u = m ln có nghi ệm, khơng cần đặt điều kiện cho ln có nghiệm, khơng cần đặt điều kiện Kỹ thuật 1: Làm dấu TRỪ Ví dụ: − sin α = sin(−α ) − cos α = cos(π − α ) − tan α = tan(−α )    π π π sinx −  + sin x = ⇔ sinx −  = −sin x ⇔ sinx −  = sin(−x)         x − π = −x + k2π  π ⇔ ⇔ x = + kπ ( k ∈ ℤ)  π  x − = π + x + k2π (vô nghiệm)  − cot α = cot(−α ) Kỹ thuật 2: Biến đổi CHÉO π  sin α = cos  − α  2  π  cos α = sin  − α  2  π  tan α = cot  − α    π  cot α = tan  − α  2  Ví dụ: π π k 2π   x = − x + k 2π x= +   π  ⇔ (k ∈ ℤ) sin x = cos x ⇔ sin x = sin  − x  ⇔  2   x = π −  π − x  + k 2π  x = π + k 2π     2  Phương trình a sin x + b cos x = c (với a + b ≥ c ) a sin x + b cos x = c a b c ⇔ sin x + cos x = 2 2 a +b a +b a + b2 c ⇔ sin x.cos α + cos x.sin α = a2 + b2 a b , sin α = (với cos α = ) 2 a +b a + b2 ⇔ sin( x + α ) = sin β ⇔ với sin β = Phương trình a sin x + b sin x cos x + c cos x = d  Trường hợp 1: Xét cos x =  sin x = Ta có hệ sin x = sin x = ⇔ ⇔ .(1) sau:  a sin x = d a = d  Trường hợp 2: Xét cos x ≠ , chia hai vế phương trình cho cos x , ta có: c a + b2 a tan x + b tan x + c = d (1 + tan x) ⇔ (2)  Hợp nghiệm (1), (2) ta có tập nghiệm phương trình cho  Lưu ý: Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm a + b ≥ c Cách giải phương trình bậc [ CHỦ ĐỀ 3: TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm chia nhiều trường hợp, ta Nếu phép đếm chia làm nhiều công đoạn, ta nhân cộng kết lại kết cơng đoạn HỐN VỊ TỔ HỢP  Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp Pn = n ! với  Chọn k phần tử từ n phần tử  Chọn k phần tử từ n phần tử (có (khơng xếp thứ tự), ta có số cách xếp thứ tự), ta số cách chọn chọn Cnk n∈ℕ  n! = 1.2 ( n − 1) n Cnk =   Quy ước sốc: 0! = Một số tính chất:  Công thức: P( A) = XÁC SUẤT CHỈNH HỢP Ank  k ∈ ℕ, n ∈ ℕ * n! v ới  ( n − k )!k ! 0 ≤ k ≤ n  Cnk = Cnn −k Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 n( A) n (Ω )  Tính chất: ≤ P( A) ≤ Trong đó: n( A) : số phần tử tập biến cố A n (Ω) : số phần tử không gian mẫu; P ( A) xác suất để biến cố A xảy với A ⊂ Ω  Nếu A, B hai biến cố xung khắc với P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) Ank =  k ∈ ℕ , n ∈ ℕ*  0 ≤ k ≤ n n! với ( n − k )! Ank = k !Cnk P(∅) = 0; P(Ω) = P ( A) = − P ( A) với A biến cố đối A  Nếu A B hai biến cố độc lập với P ( A.B ) = P ( A) P ( B ) CHỦ ĐỀ 4: KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIU -TƠN  Khai triển dạng liệt kê: (với n ∈ ℕ * ) Khai triển tổng quát: (a + b) n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + Cn2 a n − 2b + + Cnn −1ab n −1 + Cnn b n  Đặc biệt: (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n (*) n  Hệ 1: Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn−1 + Cnn = 2n (tức thay x = vào (*))  Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x = −1 vào (*), ta có: Cn0 − Cn1 + Cn2 − − Cnn −1 + Cnn = ⇔ Cn0 + Cn2 + Cn4 + Cnn = Cn1 + Cn3 + Cnn −1  Khai triển: ( a + b) n n =  Cnk a n − k bk Số hạng tổng quát: Tk +1 = Cnk a n − k b k k =0 (với n ∈ ℕ * )  Phân biệt hệ số số hạng: Cnk (−1)k a n−kbk xα Số hạng không chứa x ứng với α = HỆ SỐ SỐ HẠNG CHỦ ĐỀ 5: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: Định nghĩa:  Dãy số ( un ) gọi cấp số cộng  Dãy số ( un ) gọi cấp số nhân khi un +1 = un + d với n ∈ ℕ * , d số un +1 = un q với n ∈ ℕ * , q số  Cấp số cộng có số hạng đầu u1 , cơng  Cấp số nhân có số hạng đầu u1 , công bội q Số hạng tổng quát: sai d Số hạng tổng quát:  un = u1.q n −1 với n ∈ ℕ * *  un = u1 + (n − 1)d với n ∈ ℕ Tính chất số hạng: Tính chất số hạng:  uk −1 uk +1 = uk2 với k ∈ ℕ k ≥ *  uk −1 + uk +1 = 2uk với k ∈ ℕ k ≥ Tổng n số hạng đầu tiên: Tổng n số hạng đầu tiên: u (1 − q n )  Sn = u1 + u2 + + un = với q ≠ (u1 + un )n 1− q  S n = u1 + u2 + + un = CHỦ ĐỀ 6: GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ 1.1 Dãy số có giới hạn 0: 1 ▪ lim = ▪ lim =0 n n ▪ lim q n = với q < ▪ lim =0 n ▪ lim =0 nα 1.2 Dãy số có giới hạn hữu hạn: Cho lim un = a Ta có: ▪ lim un = a lim u = a 3 ▪ lim un = a với a ≥ Cho lim un = a , lim = b Ta có: ▪ lim ( un ± ) = a ± b ▪ lim un a = vớ i b ≠ b 1.3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Giới hạn dãy số ▪ lim ( un ) = a.b ▪ lim ( k.un ) = k.a S = u1 + u1q + u1q + = u1 1− q 1.4 Dãy số có giới hạn vơ cùng: Quy tắc 1: Cho lim un = ±∞, lim = ±∞ Tính lim ( un ) lim un lim lim ( un ) +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ Quy tắc 2: Cho lim un = ±∞, lim = a ≠ Tính lim ( un ) lim un Dấu a lim ( un ) +∞ +∞ −∞ −∞ + – + – +∞ −∞ −∞ +∞ Quy tắc 3: Cho lim un = a ≠ 0, lim = Tính lim un lim Dấu (mẫu) Dấu a (tử) + + – – 2.1 Giới hạn vô cực: un +∞ + – + – −∞ −∞ +∞ Cho k dương, ta có: =0 x →±∞ x k 2.2 Giới hạn hữu hạn: +∞, k chaün −∞, k leû ▪ lim xk =  x→−∞ ▪ lim x k = +∞ ▪ lim x →+∞ Cho lim f ( x ) = a, lim g ( x ) = b Ta có: x → x0 ▪ lim f ( x ) = a x → x0 ▪ lim f ( x ) = a x → x0 ▪ lim x → x0 ▪ lim  f ( x ) ± g ( x )  = a ± b x → x0 x → x0 f ( x ) = a với a ≥ ▪ lim  f ( x ) g ( x )  = a.b x → x0 ▪ lim  k f ( x )  = k a với k số x → x0 ▪ lim x → x0 f ( x) a = với b khác g ( x) b 2.3 Quy tắc tìm giới hạn vô cực: Quy tắc 1: Cho lim f ( x ) = ±∞, lim g ( x ) = a ≠ Tính lim  f ( x ) g ( x )  x → x0 x → x0 x → x0 lim f ( x ) +∞ +∞ x → x0 +∞ + – + – −∞ −∞ Giới hạn hàm số: lim  f ( x ) g ( x )  Dấu a x → x0 −∞ −∞ +∞ Quy tắc 2: Cho lim f ( x ) = a ≠ 0, lim g ( x ) = Tính lim x → x0 x → x0 x → x0 Dấu g ( x ) Dấu a f ( x) g ( x) lim x → x0 f ( x) g ( x) + + +∞ + – −∞ – + −∞ – – +∞ 2.4 Bổ trợ công thức để khử dạng vô định: ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) với x n − = ( x − 1) ( x n −1 + x n −2 + + 1) x1 , x2 nghiệm tam thức bậc hai a+ b = a+ b = a2 − b a− b a− b = a3 + b a2 − a b + a n − bn = ( a − b ) ( a n−1 + a n− 2b + + bn −1 ) ( b) a− b = a2 − b a+ b a3 − b a2 + a b + ( b) 3.1 Điều kiện tồn giới hạn: Giới hạn bên phải Ký hiệu Nghĩa Giới hạn bên trái lim f ( x ) Điều kiện để hàm số có giới hạn x0 lim f ( x ) x → x0 + lim f ( x ) = lim− f ( x ) x → x0− → x0  x    x > x0 x → x0+ x → x0 Khi đó: lim f ( x ) = lim+ f ( x ) → x0  x    x < x0 x → x0 x → x0 = lim− f ( x ) x → x0 Điều kiện giới hạn điều kiện liên tục: 3.2 Điều kiện liên tục hàm số:  Hàm số f ( x ) liên tục x0 ⇔ f ( x0 ) = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ f ( x0 ) = lim f ( x ) x → x0 x → x0 x → x0  Mọi hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục tập xác định chúng  Hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( a; b ) liên tục với x = x0 ∈ ( a; b )  f ( x) liên tục treân (a; b)  Hàm số f ( x ) liên tục a; b ⇔  lim f ( x) = f (a); lim f ( x) = f (b) x→ a+ x →b− 3.3 Điều kiện có nghiệm phương trình: Nếu hàm số f ( x ) liên tục [ a; b] f ( a ) f ( b ) < phương trình f ( x ) = có nghiệm ( a; b ) CHỦ ĐỀ 7: ĐẠO HÀM f ( x ) − f ( x0 ) Định nghĩa đạo hàm điểm: f ′ ( x0 ) = lim x→ x x − x0 Bảng đạo hàm mở rộng: α α −1  ( x )′ = α x  k′ = (với k số) ( e )′ = e ′ → ( e ) = e u ′ x  MR   x u u ( sin x )′ = cos x MR → (uα )′ = α uα −1 u ′ ( a )′ = a ln a ′ → ( a ) = a ln a u ′ x  MR x u u MR → ( sin u )′ = u′ cos u ( x )′ = x MR →  ( u )′ = 2u′u ( ln x )′ = x  ′  =− x x u′  ′ MR →   =− u u  ( log a x )′ = x ln a   u′ u′ MR MR → → ( ln u )′ = ( log a u )′ = u u ln a MR  ( cos x )′ = − sin x → ( cos u )′ = − u′ sin u 1 = + tan x  ( cot x )′ = − = − (1 + cot x ) cos x sin x u′ u′ MR MR → → ( tan u )′ = = u′ (1 + tan u ) ( cot u )′ = − = − u′ (1 + cot u ) cos u sin u Quy tắc tìm đạo hàm: ▪ ( u ± v )′ = u ′ ± v′ ▪ ( k u )′ = k u ′ ▪ (u.v )′ = u ′v + uv′  ( tan x )′ =  u ′ u ′v − uv′ ▪  = v2 v Đạo hàm cấp cao vi phân: Đạo hàm cấp cao  fx′ laø đạo hàm f theo biến x  ▪ f x′ = fu′.ux′ với  fu′ đạo hàm f theo biến u  ux′ đạo hàm u theo biến x  Vi phân df ( x ) = f ′ ( x ) dx f ′′ ( x ) =  f ′ ( x ) ′ ; f ′′′ ( x ) =  f ′′ ( x ) ′ f ( 4) dy = y′.dx du = u ′.dx ( x ) =  f ′′′ ( x )′ ; ; f ( n) ( x ) =  f ( n−1) ( x ) ′ CHỦ ĐỀ 8: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU  Bước 1: Tìm tập xác định D  Bước 2: Tính y ′ = f ′( x ) ; cho y ′ = Tìm nghiệm  → x1 , x2 Tìm thêm giá trị x mà y ′ không xác định  Bước 3: Lập bảng biến thiên (Nên chọn giá trị x đại diện cho khoảng thay vào y ′ để tìm dấu y ′ khoảng đó)  Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến hàm số ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ HÀM BẬC BA y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0)  Đạo hàm y′ = 3ax + 2bx + c  Hàm số đồng biến tập xác định ℝ ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ a > ⇔ ∆ ≤  Hàm số nghịch biến tập xác định ℝ ⇔ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ a < ⇔ ∆ ≤  Lưu ý: Nếu a chứa tham số m ta xét a = , tìm m Thay m tìm để kiểm tra dấu y ′ , xem y có đơn điệu ℝ khơng? CỰC TRỊ HÀM BẬC BA y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) HÀM NHẤT BIẾN ax + b y= (ad − bc ≠ 0, c ≠ 0) cx + d  Đạo hàm y′ = ad − bc (cx + d )2  Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ ad − bc >  Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ ad − bc <  Lưu ý: Nếu đề cho đồng biến (nghịch biến) (α ; β ) ta xét điều d kiện: − ∉ (α ; β ) c CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN y = ax + bx + c (a ≠ 0)  Đạo hàm y′ = 3ax + 2bx + c  Đạo hàm y′ = 4ax3 + 2bx  Hàm số có hai cực trị (tức có  Điều kiện cực trị ab < Ba cực trị a ≠ (*) CĐ-CT) ⇔   ab ≥ ∆ y′ > Một cực trị  2  Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu a + b > ⇔ x1 x2 < ⇔ ac < Có cực trị a2 + b2 >  Cho A, B , C ba điểm cực trị, ta có:  Hàm số có hai điểm cực trị  f ′( x0 ) =  Nếu  hàm a ≠ 0, ∆ y′ > b3 + 8a dấ u ⇔  cos BAC =  f ′′( x0 ) < b − 8a ac > số f ( x ) đạt cực đại  Phương trình đường thẳng qua b5 x = x0 hai điểm cực trị: S ∆ABC = −32a 6ac − 2b 9ad − bc  f ′( x0 ) = y= x+  Nếu  hàm 9a 9a  f ′′( x0 ) > Lưu ý: Nếu tọa độ hai cực trị số f ( x ) đạt cực tiểu rõ ràng ta nên gọi đường thẳng x = x0 y = ax + b thay tọa độ hai điểm vào  → Giải hệ tìm a, b TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN TÌM MAX-MIN TRÊN KHOẢNG Tìm Max-Min f ( x ) khoảng ( a; b) Tìm Max-Min f ( x ) đoạn [ a; b]  Hàm số có điểm cực trị  y′( x0 ) = ( x0 ; y0 )    y ( x0 ) = y0 (giả thiết hàm số liên tục x0 )  Bước 1: Tính y ′ = f ′( x )  Bước 1: Tính y ′ = f ′( x ) Tìm nghiệm xi ∈ (a; b) cho f ′( x ) = Tìm x j ∈ ( a; b) mà y ′ khơng xác định Tìm nghiệm xi ∈ (a; b) cho f ′( x ) = Tìm x j ∈ (a; b) mà y ′ khơng xác định  Bước 2: Tính giá trị f ( a ), f (b ) f ( xi ), f ( x j ) (nếu có)  Bước 2: Cần tính lim+ y, lim− y (Nếu thay ( a; b) x →a x →b ( −∞; +∞ ) ta tính thêm lim y ) x →±∞  Bước 3: Lập bảng biến thiên suy giá trị lớn nhất, nhỏ khoảng  Bước 3: So sánh tất giá trị bước để kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ  Nếu hàm f ( x ) đồng biến [a; b ]  max f ( x ) = f (b)  x∈[a ;b ]  f ( x) = f (a )  xmin ∈[a ;b ] ĐẶC BIỆT  Nếu hàm f ( x ) nghịch biến [a; b ]  max f ( x ) = f ( a )  x∈[a ;b ]  f ( x ) = f (b)  xmin ∈[a ;b ] TIỆM CẬN ĐỨNG TIỆM CẬN NGANG Đị nh ngh ĩ a: Cho hàm số y = f (x ) xác định khoảng vô Định nghĩa: Đường thẳng x = x gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ hạn (là khoảng dạng a ; +∞ , −∞; b ( −∞ ; +∞ ) ) Đường thị hàm số y = f ( x) điều thẳng y = y đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) kiện sau thỏa mãn: đồ thị hàm số y = f (x ) điều kiện sau lim f (x ) = +∞, lim− f (x ) = −∞, x →x 0+ x →x thỏa mãn: lim f (x ) = y0 , lim f (x ) = y0 lim+ f ( x) = −∞, lim− f ( x) = +∞ ( x →x0 x → x0  Cách tìm TCĐ: Nếu x = x0 TCĐ đồ thị x0 cần thỏa điều kiện: 1) Ngoại trừ hàm số logarit, hàm chương trình phổ thơng phải hàm phân thức đồ thị có tiệm cận đứng Khi đó, x0 nghiệm mẫu ( NGƯỢC LẠI x0 LÀ NGHIỆM MẪU NHƯNG x = x0 CHƯA CHẮC LÀ TIỆM CẬN ĐỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ) 2) Nếu x0 nghiệm mẫu thức đồng thời nghiệm tử thức sau phân tích tử mẫu thành nhân tử ( x − x0 ) giản ước x →+∞ )( ) x →−∞  Cách tìm TCN: Đơn giản dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy NEXT NEXT Bước 2: CALC  → X = 10 ^10  →= NEXT NEXT CALC  → X = −10 ^10  →= Bước 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức y0 ) ta kết luận TCN: y = y0 nhân tử chung, phải nhân tử ( x − x0 ) mẫu (TỬ GIẢN ƯỚC KHÔNG HẾT) 3) Nếu x0 nghiệm mẫu f ( x ) chứa A ( x ) A ( x0 ) ≥  Đồ thị hàm số y = ax + b d a với (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) có TCĐ: x = − , TCN: y = cx + d c c  Nên nhớ, đồ thị có tối đa tiệm cận ngang SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ Xét hai đồ thị (C1 ) : y = f ( x ) (C2 ) : y = g( x ) Phương pháp chung tìm giao điểm hai đồ thị  Bước : Lập phương trình hồnh độ giao  Bước : Giải phương trình (*) để tìm nghiệm x1 , x2 , điểm (C1 ) & (C2 ) : f ( x ) = g ( x) (*) (nếu có), suy y , y  Điều kiện để (C1 ) (C2 ) có n điểm chung phương trình (*) có n nghiệm khác  f ( x) = g ( x)  Điều kiện để (C1 ) tiếp xúc (C2 ) hệ sau có nghiệm :   f ′( x) = g ′( x) ax + b   (C ) : y = Tìm tham số để  cx + d cắt hai điểm phân biệt  d : y = α x + β  Bước : Viết phương trình hồnh độ giao   ax + b điểm : = α x + β , đưa phương trình  A ≠ cx + d Tìm → m?  Bước : Giải hệ ∆ g > d    dạng g ( x) = Ax + Bx + C =  x ≠ −  c g  − d  ≠    c  (C ) : y = ax + bx + cx + d Tìm tham số để  cắt ba điểm phân biệt d : y = α x + β (Ta áp dụng cho trường hợp phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm đẹp)  Bước : Viết phương trình hồnh độ giao A ≠ điểm : ax3 + bx + cx + d = α x + β , đưa  Tìm  Bước : Giải hệ điều kiện : ∆ g > → m? phương trình dạng   g ( x0 ) ≠   ( x − x0 )  Ax + Bx + C  =    Lưu ý : Để tìm nghiệm đẹp x = x0 , ta nhập vào máy chức g ( x)   giải phương trình bậc ba với m = 100 (có vận dụng kỹ chia Hoocner) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = f ( x) điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C )  Bước 1: Tính đạo hàm y ′ , từ có hệ số góc k = y′( x0 )  Bước : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị dạng y = k ( x − x0 ) + y0 DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = f ( x ) biết tiếp tuyến có hệ số góc k  Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tính đạo hàm y ′  Bước 2: Cho y′( x0 ) = k , tìm tiếp điểm ( x0 ; y0 )  Bước 3: Phương trình tiếp tuyến : y = k ( x − x0 ) + y0 DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = f ( x) biết tiếp tuyến qua A( xA ; y A )  Bước 1: Tiếp tuyến có dạng : y = y′( x0 )( x − x0 ) + y0 (*) với y0 = f ( x0 )  Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm x0  Bước 3: Thay x0 vào (*) để viết phương trình tiếp tuyến  Đặc biệt : Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng y = ax + b có hệ số góc k = a , tiếp tuyến vng góc đường thẳng y = ax + b có hệ số góc k = − ( a ≠ 0) ; tiếp tuyến tạo với Ox góc α có hệ số góc k = ± tan α a Góc cạnh bên mặt ( ) đáy: SA,( ABCD) = SAO ( ) = SB, ( ABCD) = SBO 7.4 Hình chóp có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ( (SAB), ( ABCD)) = SMO = ( ( SBC ), ( ABCD) ) = SNO Đáy tam giác  Đáy tứ giác đặc biệt h = SA ▪  h = SA ▪  ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SB, ( ABC ) = SBA    SC , ( ABC ) = SCA  Đáy tam giác ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SB, ( ABCD) = SBA    SC , ( ABCD) = SCA  Đáy tứ giác đặc biệt ▪ Đường cao h = SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SA, ( ABC ) = SAH   SC , ( ABC ) = SCH   ▪ Đường cao h = SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SA, ( ABCD) = SAH    SC , ( ABCD) = SCH  Thể tích  →V = SA.S∆ABC Sñ = S∆ABC  ( ( 7.5 Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Góc mặt bên mặt đáy: ( ( ) ) ) ) Sñ = SABCD  ( ( ( ( Thể tích  → V = SA.SABCD ) ) ) ) C – TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Đặc biệt: M ≡ A Cho hình chóp có đáy tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm cạnh SA, SB, SC Ta có: VS MNP SM SN SP = VS ABC SA SB SC Đặc biệt M ≡ A, N ≡ B VS ANP SN SP = VS ABC SB SC Hình chóp có đáy hình bình hành với SM SN = x, = y, SA SB SP SQ = z, =t SC SD Khi đó: VS MNPQ VS ABCD = xyz + xyt + xzt + yzt 1 1 + = + x z y t VS ABP SP = VS ABC SC Hình chóp có đáy đa giác Chẳng hạn: (MNPQR) (ABCDE) SM SN tỉ số: x = = SA SB SP SQ SR = = SC SD SE Khi đó: VS MNPQR = x3 VS ABCDE = D – THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: Hình lăng trụ thường:  Hai đáy hai hình giống nằm hai mặt phẳng song song  Các cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành  Thể tích: V = h.Sđ Hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên vng góc với hai mặt đáy nên cạnh bên đường cao lăng trụ  Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng có hai đáy hai tam giác Đáy tam giác Đáy tứ giác V = AH S ∆ABC = AH S ∆A′B′C ′ V = AH S ABCD = AH S A′B′C ′D′ Đáy tam giác Đáy tứ giác  Thể tích: V = h.Sđ với Hình hộp: h = AA′ = BB′ = CC′ 3.1 Hình hộp chữ nhật:  Là lăng trụ có tất mặt hình bình hành  Thể tích: V = h.Sđ  Là lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật V = abc với a , b, c ba kích thước hình hộp chữ nhật  Thể tích: V = h.Sñ với h = AA′ = BB′ = CC ′ = DD′ 3.2 Hình lập phương:  Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh V = a với a cạnh hình lập phương Tỉ số thể tích lăng trụ: Lăng trụ có đáy tam giác AM BN CP x= , y= , z= AA′ BB′ CC ′ Ta có: VABC MNP x+ y+z = VABC A′B′C ′ Lăng trụ đáy hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng (Lăng trụ hình hộp thường hình hộp chữ nhật, hình lập phương) AM BN CP DQ x= , y= , z= ,t= AA′ BB′ CC ′ DD′ Ta có: VABCD MNPQ VABCD A′B′C ′D′ = x+ y+ z +t x + z = y + t E – BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy tam giác Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy hình vng, hình chữ nhật SA AB  d ( A, ( SBC ) ) = AH =  d ( A, ( SCD ) ) = AK =  d ( A, ( SBD ) ) = AF =  SA2 + AK d ( B, ( SAC ) ) = BM ; d ( C , ( SAB ) ) = CN  d ( SA, BC ) = AK  = d ( C , ( SBD ) ) SA2 + AE d ( AD, SB ) = AH ; d ( AB, SD ) = AK  d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH  d ( A, ( SBC ) ) = AH = SA AK  Hình chóp tam giác SA2 + AB SA AD SA2 + AD SA AE = d ( D, ( SBC ) ) = d ( B, ( SCD ) ) d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = AK Hình chóp tứ giác  d ( O, ( SCD ) ) = OH = SO.OK SO + OK d ( O, ( SBC ) ) = OH =  = d ( O, ( SAB ) ) = d ( O, ( SBC ) ) = d ( O, ( SAD ) ) SO.OK SO + OK 2 = d ( O, ( SAB ) ) = d ( O, ( SAC ) ) d ( A, ( SBC ) ) = 3d ( O, ( SBC ) ) = 3OH  = d ( B, ( SAC ) ) = d ( C , ( SAB ) )  d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( O, ( SCD ) ) = 2OH = d ( A, ( SBC ) ) = d ( B, ( SAD ) ) = d ( B, ( SCD ) ) =  d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2OH d ( SA, BC ) = IK = d ( SB, AC ) = d ( SC , AB )  = d ( AB, SD ) = d ( AD, SB ) = d ( AD, SC ) = CHỦ ĐỀ 13: MẶT TRỤ, MẶT NÓN – MẶT CẦU MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón: S l h l A  Đường cao: h = SO ( SO  Chu vi đáy: p = 2π r gọi trục hình nón)  Bán kính đáy:  Diện tích đáy: Sđ = π r r = OA = OB = OM l  Đường sinh: l = SA = SB = SM r O B M Hình thành: Quay ∆ vng SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với: h = SO  r = OM MẶT TRỤ  Góc đỉnh: ASB  Thiết diện qua trục: ∆SAB cân S  Góc đường sinh mặt Các yếu tố mặt trụ:  Đường sinh: l = AD = BC Ta có: l = h  Bán kính đáy: r = OA = OB = O′C = O′D MẶT CẦU 1  Thể tích: V = h.S đ = h.π r 3 (liên tưởng đến thể tích khối chóp)  Diện tích xung quanh: S xq = π rl  Diện tích tồn phần: Stp = S xq + Sđ = π rl + π r đáy: SAO = SBO = SMO  Đường cao: h = OO′ Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO′ , ta có mặt trụ hình bên Một số cơng thức:  Trục (∆) đường thẳng qua hai điểm O , O ′  Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD Một số công thức: Một số công thức:  Chu vi đáy: p = 2π r  Diện tích đáy: Sđ = π r  Thể tích khối trụ: V = h.Sđ = h.π r  Diện tích xung quanh: S xq = 2π r.h  Diện tích tồn phần: Stp = Sxq + 2Sđ = 2πr.h + 2π r2 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện  Tâm I , bán kính R = IA = IB = IM  Đường kính AB = R  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường trịn tâm I , bán kính R  Diện tích mặt cầu: S = 4π R Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu Hình thành: Quay đường trịn 4π R  Thể tích khối cầu: V = AB quanh tâm I , bán kính R = trục AB , ta có mặt cầu hình vẽ qua tất đỉnh đa diện tiếp xúc với tất mặt đa diện CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP THƯỜNG GẶP Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh Hình chóp góc vng  Xét hình chóp có SA ⊥ ( ABC ) ABC = 900  Ta có SAC = SBC = 900 nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán SC kính R =  Xét hình chóp có SA ⊥ ( ABCD ) ABCD hình chữ nhật hình vng  Ta có: SAC = SBC = SDC = 900 Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán kính SC R= Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy  Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính  Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao SH = h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R= b 2h  Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SO = h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = b2 2h Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy  h R =   + rñ    Nếu đáy tam giác a  Nếu đáy hình vng cạnh a rđ = a  Xét hình chóp có SA ⊥ cạnh a rđ = (đáy) SA = h ; bán kính đường trịn ngoại tiếp  Nếu đáy hình chữ nhật cạnh a, b đáy rđ rđ = a +b 2  Xét hình chóp có mặt bên (SAB) ⊥ (đáy), bán kính ngoại tiếp đáy rđ , bán kính ngoại tiếp ∆SAB rb , d = AB = (SAB) ∩ (đáy) (đoạn giao tuyến)  Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = rđ + rb2 − d2 CHỦ ĐỀ 14: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi vng góc  Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i = (1;0;0)  Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j = (0;1;0)  Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k = (0; 0;1)  Điểm O (0; 0; 0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u = xi + y j + zk ⇔ u = ( x; y; z ) Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có:  a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )  a phương b ⇔ a = kb (k ∈ R ) a1 = kb1 a a a  ⇔ a2 = kb2 ⇔ = = , (b1 , b2 , b3 ≠ 0) b1 b2 b3 a = kb  3  ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 = b1   a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3  a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3  a = 2 2  a = a = a1 + a2 + a3 a12 + a22 + a22  cos(a , b ) =  a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = a.b a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z ) Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:  AB = ( xB − xA ; yB − yA ; zB − z A )  AB =  Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB:  x + x y + yB z A + z B  M A B; A ;   2   Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: Chiếu điểm trục tọa độ ( xB − xA )2 + ( yB − y A )2 + ( zB − z A )  x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC  G A B C ; A ;  3   QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ Chiếu vào Ox  Điểm M ( xM ; yM ; zM )    → M1 ( xM ;0;0) ( Giữ nguyên x ) Chiếu vào Oxy  Điểm M ( xM ; yM ; zM )    → M1 ( xM ; yM ;0) ( Giữ nguyên x , y ) Chiếu vào Oy  Điểm M ( xM ; yM ; zM )    → M (0; yM ;0) ( Giữ nguyên y ) Chiếu vaøo Oyz  Điểm M ( xM ; yM ; zM )    → M (0; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y, z ) Chiếu vaøo Oz  Điểm M ( xM ; yM ; zM )    → M (0;0; zM ) ( Giữ nguyên z ) Chiếu vào Oxz  Điểm M ( xM ; yM ; zM )    → M ( xM ;0; zM ) ( Giữ nguyên x , z ) Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ Đối xứng qua Ox ( Giữ nguyên x; đổi dấu y, z ) Đối xứn g qua Oxy  M ( xM ; yM ; zM )        → M1 ( xM ;− yM ;− zM )  M ( xM ; yM ; zM )   → M1 ( xM ; yM ;− zM ) ( Giữ nguyên x , y; đổi dấu z ) Đối xứng qua Oy  M ( xM ; yM ; zM )   → M (− xM ; yM ;− zM ) ( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z ) Đối xứng qua Oxz  M ( xM ; yM ; zM )   → M ( xM ;− yM ; zM ) Đối xứng qua Oz ( Giữ nguyên x , z; đổi dấu y )  M ( xM ; yM ; zM )        → M ( − x ; − y ; z ) M M M ( Giữ nguyên z; đổi dấu x , y ) Đối xứng qua Oyz  M ( xM ; yM ; zM )   → M (− xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y, z ; đổi dấu x ) Tích có hướng hai vectơ:  Định nghĩa: Cho a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: a  a , b  =   b2  Tính chất: [ a, b] ⊥ a a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 [ a, b] ⊥ b a2   = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) b2  [ a, b] = a b sin ( a , b )  Điều kiện phương hai vectơ a & b  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b c  a, b  = với = (0;0;0)   [ a, b].c =  Diện tích hình bình hành ABCD: S▱ ABCD =  AB, AD   Diện tích tam giác ABC: S ∆ABC =  Thể tích tứ diện: VABCD =  Thể tích khối hộp: VABCD A ' B 'C ' D ' = [ AB, AD ] AA ' 1  AB, AC   AB, AC  AD  6 Phương trình mặt cầu: Dạng 1: ( S ) : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R taâm I (a; b; c) Mặt cầu ( S ) có    → R = R2  2 2 Dạng 2: ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = tâm I (a; b; c) Mặt cầu ( S ) coù    → R = a2 + b2 + c2 − d  2  Phương trình x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = phương trình mặt cầu ⇔ a + b + c − d > Bài toán 5.1 Viết phương trình mặt cầu tâm I qua Bài tốn 5.2 Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB điểm M  Bước 1: Tìm tâm I trung điểm AB Bán kính AB  Bước 1: Tính bán kính R = IM R= = IA = IB  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Phương trình mặt phẳng: 2  Mặt phẳng ( P ) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) VTPT n = (a; b; c) phương trình ( P) : a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z0 ) = (*)  Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng vectơ khác nằm đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Đặc biệt:  Ngược lại, mặt phẳng có phương trình dạng ax + by + cz + d = , mặt phẳng có VTPT n = (a; b; c) với a2 + b2 + c2 > VTPT VTPT VTPT Mp(Oyz ) : x =  → n(Oyz ) = (1;0;0), mp (Oxz ) : y =  → n( Oxz ) = (0;1; 0), mp (Oxy ) : z =  → n( Oxy ) = (0;0;1) Bài tốn 6.1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (Q) cho trước Bài tốn 6.2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với với đường thẳng d cho trước  Mặt phẳng (P) qua M, có VTPT n( P ) = n( Q ) nên  Mặt phẳng (P) qua M , có VTPT n( P ) = u d nên phương trình phương trình viết theo (*) Bài tốn 6.3 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB viết theo (*) Bài tốn 6.4 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C  Bước 1: Tìm trung điểm I đoạn AB tính AB  Bước 1: Tính tọa độ AB, AC suy  AB, AC     Bước 2: Phương trình mp( P ) qua I VTPT n = AB  Bước 2: Phương trình mp( P) Bài tốn 6.5 Viết phương trình mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d với M ∉ d qua A VTPT n =  AB, AC  Bài tốn 6.6 Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz A( a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c ) với a b c ≠  Phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chắn  Bước 1: Chọn điểm A ∈ d VTCP ud Tính  AM , ud    Bước 2: Phương trình mp( P ) VTPT n =  AM , ud   Cho hai mặt phẳng  ax0 + by0 + cz0 + d a +b +c 2 Góc hai mặt phẳng  Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình: ( P) : a1 x + b1 y + c1 z + d1 =  (Q) : a2 x + b2 y + c2 z + d =  Góc ( P ) & (Q ) tính: ( nP nQ = nP nQ ) a1a2 + b1b2 + c1c2 a12 + b12 + c12 a22 + b22 + c22  Chú ý: ≤ ( P ), (Q) ≤ 90 Khoảng cách hai mặt phẳng song song ( P) : ax + by + cz + d1 = (Q) : ax + by + cz + d =  M ( x0 ; y0 ; z0 ) mp( P) : ax + by + cz + d =  Cho  cos ( ( P ), (Q ) ) =  x y z + + =1 a b c qua M Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khi đó: d ( M , ( P ) ) = (P) :  Khi đó: d ( ( P ), (Q ) ) = d1 − d a + b2 + c 2 với d1 ≠ d Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình: ( P) : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = Ta có:  (Q) : a2 x + b2 y + c2 z + d = a1 b1 c1 d1 = = ≠ a2 b2 c2 d a b c d  ( P ) ≡ (Q ) ⇔ = = = a2 b2 c2 d  ( P ) (Q) ⇔  ( P ) & (Q ) cắt ⇔ a1 : b1 : c1 ≠ a2 : b2 : c2  ( P) ⊥ (Q) ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 =  Lưu ý: Các tỉ số có nghĩa mẫu khác Ví trị tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R  Trường hợp 1: d ( I , ( P ) ) > R ⇔ ( P ) ( S ) điểm chung  Trường hợp 2: d ( I , ( P ) ) = R ⇔ ( P ) ( S ) có điểm chung Khi ta nói ( P ) tiếp xúc ( S ) ( P ) tiếp diện ( S )  Trường hợp 3: d ( I , ( P ) ) < R ⇔ ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn Ta có: IM ⊥ ( P ) với M tiếp điểm Đường trịn giao tuyến có tâm H (là hình chiếu vng góc I (P)), bán kính r = R − IH với IH = d ( I ,( P) ) Phương trình đường thẳng:  Đường thẳng d qua A( x A ; y A ; z A ) VTCP u = (u1 ; u2 ; u3 )  Vectơ phương (VTCP) đường thẳng d vectơ khác  x = x A + u1t   Phương trình tham số d :  y = y A + u2t với t tham số z = z + u t A  , có giá trùng với d song song với d  Phương trình tắc d : x − xA y − y A z − z A = = u1 u2 u3 với u1.u2 u3 ≠ a ⊥ ud  Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác khơng phương cho  b ⊥ ud d có VTCP là: ud =  a, b    7.1 Ví trị tương đối hai đường thẳng: qua M Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 , d2 với d1 Bước I VTCP u1 , d2 qua N VTCP u2 Bước II  u1 , u2  = → Hai đường thẳng d1 , d2   song song trùng Kết luận  u1 , MN  = → d1 ≡ d2    u1 , MN  ≠   → d1 d2  u1 , u2  MN = → d1 cắt d2    u1 , u2  MN ≠ → d1 & d2 chéo   7.2 Ví trị tương đối đường thẳng mặt phẳng: x = x0 + u1 t  Xét vị trí tương đối đường thẳng d :  y = y0 + u2 t mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d =  z = z0 + u3 t Bước II:Giải PT (*), ta gặp Bước I: Kết luận trường hợp sau → d ( P )  PT (*) vơ nghiệm  Thay phương trình tham số d vào phương trình ( P) , ta PT (*): → d cắt ( P) điểm  PT (*) có nghiệm t = t0 a( x0 + u1t) + b( y0 + u2 t) + c( z0 + u3t) + d =  PT (*) có vô số nghiệm t → d ⊂ ( P )  u1 , u2  ≠ → Hai đường thẳng d1 , d2   cắt chéo 7.3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Bước 1: Chọn điểm A ∈ d VTCP ud  Cho điểm M đường thẳng d (có phương trình tham số tắc)  Bước 2: d ( M , d ) = ud , AM    ud 7.4 Khoảng cách hai đường thẳng: Trường hợp 1: Hai đường thẳng song song Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo d1 , d d1 , d  Bước 1: Chọn điểm M (đẹp) thuộc d1  Bước 2: d ( d1 , d2 ) = d ( M , d2 ) (xem 7.3)  Bước 1: Ghi rõ d1 qua A ( ) VTCP u1 = ( ) , d2 qua B ( ) VTCP u2 = ( )  Bước 2: Tính: d ( d1 , d ) = u1 , u2  AB   u1 , u2    7.5 Góc hai đường thẳng:  Cho hai đường thẳng d1 , d có VTCP u1 , u2 ( )  → Ta có: cos d1 , d = u1.u2 u1 u2 7.6 Góc đường thẳng mặt phẳng:  Cho đường thẳng d có VTCP u măt phẳng ( P ) có VTPT n 8.2 Tìm điểm A′ đối xứng với A qua (P )  Gọi d đường thẳng 8.5 Viết phương trình đường thẳng d ′ hình chiếu đường thẳng d mp ( P )  x A′ = xH − x A   Ta có H trung điểm AA′   y A′ = yH − y A z = 2z − z  A′ H A  Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số d)  AH ⊥ d ⇔ AH ud =  → Tìm t =  → Tọa độ H Cách qua A  → Viết pt mp( P ) ( P) ⊥ d  Gọi H = d ∩ ( P ) Thay pt tham số d vào  Gọi ( P )  x A′ = xH − x A   Ta có H trung điểm AA′   y A′ = yH − y A z = 2z − z  A′ H A Trường hợp 1: d song song mp (P) Trường hợp 2: d cắt mp (P) điểm  Lập phương trình mp(Q) biết (Q) chứa d (Q ) ⊥ ( P ) : (Q) qua điểm A ∈ d (Q) có VTPT nQ = ud , nP     Lập phương trình d ′ giao tuyến hai mp (P) (Q): Chọn hai điểm M, N thuộc d ′ cách thay Tìm x = → y, z thay Tìm y = → x, z (đối với hệ hai pt (P), (Q)) Viết pt d qua M, N [ u.n qua A  → Viết pt tham số d ⊥ (P) pt mp (P) ta tìm tọa độ H 8.4 Tìm điểm A′ đối xứng với A qua đường thẳng d u.n với VTCP d VTPT (P)  Gọi H = d ∩ ( P ) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H Cách 8.3 Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng d ) Hình chiếu điểm đối xứng: Phương pháp Bài tốn 8.1 Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng (P ) (  → Ta có: sin d , ( P ) = CHỦ ĐỀ 15: GẮN TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Gắn tọa độ hình chóp Đáy tam giác 1.1.Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với mặt đáy: Đáy tam giác cân A Đáy tam giác cân B  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, AB = a =  Tọa độ điểm là:     O(0;0;0), A 0; ;0  , B  − ;0;0  ,      1   C  ; 0;  , S  0; ; OH  2   = SA   Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, a =  Tọa độ điểm là: O(0;0;0), A ( 0; OA;0 ) , B ( −OB;0;0) ,   C ( OC ; 0; ) , S  0; OA; OH   = SA  Đáy tam giác vuông B  Chọn hệ trục hình vẽ, a =  Tọa độ điểm: B ≡ O ( 0;0;0) , A ( 0; AB;0) , C ( BC,0;0) , Đáy tam giác vuông A  Chọn hệ trục hình vẽ, a =  Tọa độ điểm: A ≡ O ( 0;0;0) , B ( 0; OB;0) , C ( AC;0;0) ,   S  0; AB; BH  = SA   S ( 0;0; SA ) Đáy hình vng, hình chữ nhật  Chọn hệ trục hình vẽ, a =  Tọa độ A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ( 0; AB;0) , C ( AD; AB;0) , D( AD;0;0) , S ( 0;0; SA) Đáy hình thoi  Chọn hệ trục hình vẽ, a =  Tọa độ O ( 0;0;0 ) , A( OA;0;0) , B ( 0; OB;0 ) , C ( −OC ;0;0 )  Gọi O trung điểm AC Chọn hệ trục hình vẽ, a =  Tọa độ điểm: O ( 0;0;0 ) , A ( −OA;0;0 ) , B ( 0, OB;0) ,   C ( OC;0;0 ) , S  −OA;0; OH  = SA   Đáy tam giác thường  Dựng đường cao BO ∆ABC Chọn hệ trục hình vẽ, a =  Tọa độ điểm: O ( 0;0;0 ) , A ( −OA;0;0 ) , B ( 0, OB;0) ,   C ( OC ;0;0 ) , S  −OA;0; OH  = SA   Đáy hình thang vng  Chọn hệ trục hình vẽ, a =  Tọa độ A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ( 0; AB; ) , C ( AH ; AB; ) ,   D ( 0; −OD;0 ) , S  OA;0; OH  D ( AD; 0;0 ) , S ( 0;0; SA) = SA   1.2.Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy Đáy tam giác, mặt bên tam giác thường  Vẽ đường cao CO ∆ABC Chọn hệ trục hình, a =  Ta có: O( 0;0;0) , A( 0; OA;0) ,   B ( 0; −OB;0) , C ( OC;0;0) , S  0; OH ; OK  = SH   Đáy tam giác cân C (hoặc đều), mặt bên tam giác cân S (hoặc đều)  Gọi O trung điểm BC, chọn hệ trục hình, a =  Ta có: O( 0;0;0) , A( 0; OA;0) , Đáy hình vng-hình chữ nhật  Dựng hệ trục hình, chọn a =  Ta có: A ≡ O( 0;0;0) , B( AB;0;0)   C ( AB; AD;0) , D( 0; AD;0) , S  AH;0; AK  =SH   B ( 0; −OB;0) , C ( OC;0;0) , S ( 0;0; SO) 1.3.Hình chóp Hình chóp tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy Dựng hệ trục hình vẽ a = Tọa độ điểm:  AB   BC  O( 0;0;0) , A  0; ;0  , B  − ;0;  ,      BC  C ; 0;0  ,      AB  S  0; ; OK  = SH   =OH   Hình chóp tứ giác Chọn hệ trục hình với a = Tọa độ điểm: O( 0;0;0) ,        AB   AB   AB  A ;0;0, B  0; ;0  , C  − ; 0;0  , 2        =OA   = OB   =− OA    AB   D  0; − ;0    =OB   S ( 0;0; SO) Gắn tọa độ hình lăng trụ 2.1 Lăng trụ đứng Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm: A ≡ O( 0;0;0) , B( 0; AB;0) , Lăng trụ đứng đáy hình thoi Gọi O tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục hình vớ i O( 0;0;0) , A( −OA;0;0) , C ( AD; AB;0 ) , B ( 0; OB;0 ) , D ( AD; 0; ) , C ( OC ; 0;0 ) , A′ ( 0; 0; AA′ ) , D ( 0; −OD;0 ) , B′ ( 0; AB; AA′ ) , C ′ ( AD; AB; AA′ ) , D′ ( AD;0; AA′ ) A′ ( −OA;0; AA′) , B′ ( 0; OB; AA′ ) , C ′ ( OC ;0; CC ′ ) , D′ ( 0; −OD; DD′ ) Lăng trụ tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy, chọn hệ trục hình vẽ với a = Ta có:  AB  O( 0;0;0) , A ;0;0 ,   AB   B − ;0;0 , C ( 0;OC;0) ,   ′ ′ A ( OA;0; AA ) ,  AB  B′  − ;0; BB′  , C′ ( 0; OC;CC′)   Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO tam giác ABC chọn hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm là: O( 0;0;0) , A( OA;0;0) , B( −OB;0;0) , C ( 0;OC;0) , A′ ( OA;0; AA′) , B′ ( −OB;0; BB′) , C′ ( 0; OC;CC′) 2.2.Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy tam giác đều, hình chiếu Lăng trụ nghiêng có đáy hình vng hình đỉnh mặt phẳng đối diện trung điểm cạnh tam chữ nhật, hình chiếu đỉnh điểm giác đáy thuộc cạnh đáy khơng chứa đỉnh  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A′, B′, C′, A  Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ nhau: AA′ = BB′ = CC′  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A′, B′, C′, D′, A  Tìm tọa độ điểm cịn lại thông qua hệ thức vectơ nhau: AA′ = BB′ = CC′ = DD′ CHỦ ĐỀ 16: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN TRỊ TUYỆT ĐỐI B ≥  A = B ⇔ A ≥ ( hoaëc B ≥ 0)  A = B ⇔  A = B A = B   B < A ≥   A ≥   A < B ⇔ B >  A>B ⇔   B ≥  A < B  A > B  B <    A ≥ A ≥  A ≤ B ⇔ B ≥ A ≥B ⇔   B ≥  A < B  A ≥ B    x2 > ⇔ x ≠  x2 ≥ ⇔ x ∈ ℝ ; A = B  | A |=| B |⇔  A = −B  | A |< B ⇔ −B < A < B  x2 < ⇔ x ∈ ∅  x2 ≤ ⇔ x = B ≥   | A |= B ⇔ A = B  A = −B  A > B | A |> B ⇔  A < −B CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2  a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab (a − b)2 = a − 2ab + b2  a + b2 = (a − b)2 + 2ab a − b2 = (a + b)(a − b) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3  a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) (a − b)3 = a3 − 3a 2b + 3ab2 − b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a + ab + b2 ) ( a+b+c ) =a +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tài liệu này, thay mặt em học sinh Tôi xin chân thành cám ơn Thầy Hoàng Xuân Nhàn, Thầy Trần Quốc Nghĩa chia file tài liệu cho phép Tôi sử dụng để biên tập lại cho học sinh học TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Tài liệu Thầy Hoàng Xuân Nhàn 2) Tài liệu Thầy Trần Quốc Nghĩa 3) Sách giáo khoa, sách tập Toán 10,11,12 ... ta có mặt trụ hình bên Một số công thức:  Trục (∆) đường thẳng qua hai điểm O , O ′  Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD Một số cơng thức: Một số công thức:  Chu vi đáy: p = 2π r ... giản dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy NEXT NEXT Bước 2: CALC  → X = 10 ^10  →= NEXT NEXT CALC  → X = ? ?10 ^10  →= Bước 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức y0 ) ta kết luận TCN: y = y0 nhân... C 8) f ′( x ) dx = f ( x ) + C x2   xdx =  x dx = +C = x +C 3/ (1 − x )11 (1 − x )11 (1 − x )10 dx = +C = +C −2 11 −22  a x dx =  3) 6)     sin π xdx =  1 (1 − cos x ) dx =  x −