Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)bộ giáo dục đào tạo Đề thi tuyển sinh cao học tháng 11 năm 2013 Tr-ờng Đại Học Xây Dựng Mơn tốn cao cấp − Thời gian làm 180 phút
C©u 1 Cho ma trËn A =
4 −4
−4
a) Gäi f : R2 →R2 là ánh xạ tuyến tính nhận A ma trận sở tắc R2 Tìm sở không gian ảnh imf không gian nhân kerf.
b) Gọi ω(x, y) dạng toàn ph-ơng R2 nhận A + I làm ma trận sở chính tắc, với I ma trận đơn vị cấp Đ-a đ-ờng bậc hai
ω(x, y) +
√ 2x +
√
2y − = 0
về dạng tắc phép biến đổi trực giao Chứng tỏ đ-ờng bậc hai elip tìm bán trục
Câu 2
a) Tìm giới hạn lim x0
x2 −
x arctan x
.
b) Cho hàm f (x) = (x2+ 2) ln(1 + x2) Hãy tính đạo hàm f(8)(0).
Câu 3
a) Tìm cực trị hµm sè f (x, y) = 3x2 − 2y3+ 6xy − 6x − 6y.
b) TÝnh tÝch ph©n kÐp ZZ
D
dxdy
p
x2+ y2, víi D = {(x, y) ∈ R
2 : x ≥ 1, x2+ y2≤ 2x}.
C©u 4
a) Tính tích phân đ-ờng loại hai Z
L
(sin x + 2x sin y)dx + (cos x − sin y)dy, víi L lµ
cung parabol y = x2 nèi ®iĨm O(0; 0) víi ®iĨm A(π; π2), h-íng ®i tõ O tíi A.
b) TÝnh tÝch ph©n suy réng +∞ Z
2
x − ln2x
x2lnkx dx giá trị k = Với giá trị k
thì tích phân hội tụ
Câu 5
a) Giải ph-ơng trình vi ph©n y00+ 2y0− 3y = − 3x.
b) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lòy thõa ∞ X
n=1
xn
n2+ n.
(2)
Đáp án thang điểm Môn toán
Câu (2 đ)
(1 đ) a) Giả hệ AX = Suy sở kerf {u = (1, 1)} . 0,5 đ Cơ sở imf {v = (1, −1)} . 0,5 ®
(1 đ) b) Các giá trị riêng A + I =
5 −4
−4
lần l-ợt 1 = 1, 2 = Cơ sở trực
chuẩn t-ơng ứng v1 = (√1 2,
1 √
2), v2 = ( √
2, −1 √
2) 0,5 ®
Phép đổi tọa độ trực chuẩn (
x = √1 2X +
1 √
2Y
y = √1 2X −
1
2Y.
Suy elip có ph-ơng trình lµ (X + 1)
9 +
Y2
1 = B¸n trơc a = 3, b = 1. 0,5 đ
Câu (2 ®)
(1,0 đ) a) Quy đồng thay VCB t-ơng đ-ơng arctan x ∼ x x → 0, ta có L = lim
x→0
arctan x − x
x3 0,5 ®
Sư dơng quy t¾c LHospital, suy L = lim x→0
1 1+x2 −
3x2 = limx→0
−x2 (1 + x2)3x2 =
−1
3 . 0,5 ®
(1 ®) b) Sư dơng khai triĨn Mac-laurin hµm ln(1 + x2) = x2−x
2 +
x6
3 −
x8
4 + o(x
). 0,5 ®
Suy f (x) = · · · + (1 − ·
1 4)x
8+ o(x8) VËy f(8)(0) = −8!
6 . 0,5 đ
Câu (2 đ)
(1 đ) a) Điểm dừng nghiệm hệ ph-ơng tr×nh (
f0
x= 6x + 6y − = 0
f0
y = −6y
2+ 6x − = 0.
HƯ cã c¸c nghiƯm x1 = 1, y1 = vµ x2 = 2, y2 = 1.
Hàm có điểm dừng M1(1, 0), M2(2, −1). 0,5 ®
Ma trận đạo hàm riêng cấp hàm f A =
6
6 −12y
.
XÐt vi ph©n cÊp điểm dừng ta có kết luận:
ã Tại M1 hàm khơng đạt cực trị
• Tại M2, d2f (M2) xác định d-ơng, hàm đạt cực tiểu, fCT = f (M2) = −4 0,5 đ
(1 đ) b) Đổi biến (
x = r cos ϕ y = r sin ϕ D
0
:
cos ϕ ≤ r ≤ cos ϕ, −π
4 ≤ ϕ ≤
π
4 . 0,5 ®
VËy I =
π
R
−π
dϕ
2 cos ϕR
1 cos ϕ
=
π
R
−π
(2 cos ϕ −cos ϕ1 )dϕ = 2 √
2 − ln( √
2 + 1) . 0,5 ®
(3)(1 ®) a) I = π R
0
(sin x + 2x cos x) dx . 0,5 ®
Tính tích phân I = − cos x|π +
π R
0
2xd(sin x) = + 2x sin xπ −
π R
0
sin xdx = −2.
0,5 ®
(1 ®) b) I(k) = +∞R
2
x − ln2x x2lnk
x dx =
+∞R
2
dx x lnkx −
+∞R
2
dx x2lnk−2
x Víi k = th× I =
1 ln −
2 . 0,5 ®
Tích phân thứ hội tụ k > v× +∞R
2
dx x lnkx =
ln−k+1x
−k + 1 | +∞
2 , (k 6= 1) TÝch ph©n
thø hội tụ limx
x2lnk2
x
1
x23
= limx→∞
x12 lnk−2x
= Suy ra
x2lnk−2
x <
1
x23
víi
x đủ lớn. 0,5 đ
C©u (2 đ)
(1 đ) a) Nghiệm ph-ơng trình thuÇn nhÊt y00+ 2y0− 3y = 0, ¯y = C1ex+ C2e3x 0,5 đ Nghiệm riêng ph-ơng trình không y00+ 2y0 3y = 3x y= x.
Vậy nghiệm tổng quát y = x + C1ex+ C2e−3x. . 0,5 ®
(1 đ)b) Bán kính hội tụ R = lim n→∞
|an|
|an+ 1| = limn→∞
n2+ n
(n + 1)2+ n + 1 = Do chuỗi P
n=1
n2+ n hội tụ nên chuỗi cho hội tụ x = ±1 Miền hội tụ X = [−1; 1] . 0,5 đ
Ta cã ∞ P n=1
xn n2+ n =
∞ P n=1
xn n −
∞ P n=1
xn
n + 1 = − ln(1 − x) +
x + ln(1 − x)
x .
VËy S(x) = + (1 − x) ln(1 − x)