Tài liệu tham khảo đề thi môn toán cao học
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 19981Môn Đại SốThời gian 180'Câu 1. Cho (G,ã) là một nhóm hữu hạn. Định nghĩa quan hệ trên Gbởi:x y (g G, g1xg = y).Với mỗi x G, đặt Hx= {g G | g1xg = x} và Ox= {g1xg | g G}.a) Chứng tỏ là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên G.b) Với mỗi tập con A của G, ký hiệu |A| là số phần tử của A. Chứngtỏ rằng O1G= {1G},Hxlà một nhóm con của G và |G| = |Hx| .|Ox| ,với mọi x G.c) Chứng tỏ nếu |G| = pn, với p là một số nguyên tố và n là số tựnhiên khác 0, thì tồn tại một phần tử g G sao cho gx = xg,x G.Câu 2. Giả sử Mn(R) là vành các ma trận vuông thực cấp n.a) Chứng minh rằng, ma trận A là -ớc bên phải của 0 trong Mn(R)khi và chỉ khi det(A)=0.b) Cho tập hợp N gồm tất cả các ma trận của Mn(R) mà mọi phầntử từ dòng thứ hai trở đi đều bằng 0. Chứng minh rằng, N là một vànhcon của Mn(R) và mọi phần tử khác 0 của N đều là -ớc bên phải củakhông trong N .c) Chứng minh rằng, trong N tồn tại vô số đơn vị trái.Câu 3. Cho A là một ma trận m hàng và n cột với các phần tử thuộctr-ờng K. Hạng của A ký hiệu là rA, đ-ợc định nghĩa là cấp cao nhấtcủa các định thức con khác 0 của A.a) Chứng minh rằng, rAbằng số cực đại các vector cột độc lập tuyếntính của A.b) Cho hệ ph-ơng trình tuyến tínhAx1 .xn=b1 .bn,bi K ().1Send from ROBINHOOD - Typeset By PCTEXv.51 Cho B là ma trận m hàng n+1 cột nhận đ-ợc từ A bằng cách ghép thêmcộtb1 .bnvào thành cột cuối. Chứng minh rằng, () có nghiệm khi vàchỉ khi rA= rB.Bài 4. Giả sử V là một không gian vector phức gồm tất cả các đa thứccủa x với hệ số phức, f(x) là một đa thức đã cho có bậc r hữu hạn, Vn+1là không gian con của V gồm các đa thức có bậc không v-ợt quá n. Xétánh xạ: : V Vg fg gftrong đó f,glà các đạo hàm của f,g t-ơng ứng.a) Chứng minh rằng, là phép biến đổi tuyến tính của V. Tìm ker và chứng tỏ rằng(Vr+1)=(Vr).b) Tìm dim((Vr+1)).2 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998Môn Giải TíchThời gian 180'Câu 1.a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàmn=11n22n(xn+ xn)trên miền hội tụ đã đ-ợc chỉ ra là12|x|2.b) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàmn=1(nn +1)n2xn.Câu 2. Cho C[a,b]là tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].a) Đặtd(x, y) = maxatb|x(t) y(t)| ,x,y C[a,b].Chứng minh rằng, d là một metric trên C[a,b]và với metric d, C[a,b]là mộtkhông gian đầy đủ.b) Đặt(x, y)=ba|x(t) y(t)| dt, x, y C[a,b].Chứng minh rằng, là một metric trên C[a,b]và với metric đó C[a,b]làmột không gian không đầy đủ.Câu 3.a) ĐặtC0[0, 1] = {x C[0,1]: x(0) = 0},trong đó C[0,1]là không gian định chuẩn các hàm liên tục trên [0, 1] vớichuẩn "max". Chứng minh rằng, C0[0, 1] là không gian con đóng củaC[0,1]vàA : C0[0, 1] C0[0, 1]x Ax3 cho bởi(Ax)(t)=12[x(t2)+tx(1)],t [0, 1]là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A .b) Giả sử X, Y là hai không gian Banach và A : X Y là một toántử tuyến tính. Biết rằng với mọi y Y, ta có y A X. Chứng minhrằng, A L(X, Y ).Câu 4. Cho H là một không gian Hilbert.a) Giả sử A L(H) là một toán tử tự liên hợp. Chứng minh rằng,A2= A2, với A = A A.b) Cho (An)nNL(H) thỏa mãn điều kiệnsupnN|Anx, y| < +với mọi x, y H. Chứng minh rằng, supnNA < +.4 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1999Môn Đại SốThời gian 180'Câu 1. Cho n là một số nguyên d-ơng vớin = pr11 .prhhtrong đó pilà các số nguyên tố và ri> 1. Cho G là một nhóm giao hoán(với phần tử đơn vị e)cón phần tử. Giả sử tính chất () sau đây đ-ợcthỏa mãn:"Với mỗi -ớc số d của n, tập hợp {x G | xd= e} có nhiều nhất dphần tử."Chứng tỏ rằng, với mỗi 1 i h, tồn tại ai G thỏa mãn apriii= evà apri1ii= e. Suy ra aicó bậc là prii.Câu 2. Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. ĐặtR = {I | I là idean cực đại của A},N =IRI.Chứng tỏ:a) Với mỗi idean I của A, I Rkhi và chỉ khi A/I là một tr-ờng.b) N = {x A |y A,z A, (1 xy)z =1}.c) Giả sử A có tính chất: x A,n>1 thuộc N sao cho xn= x.Chứng tỏ rằng idean nguyên tố của A cũng cực đại.Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc vàotr-ờng K. Chứng tỏ:rank(A) + rank(B) n rank(AB) min{rank(A), rank(B)}.Câu 4. Cho E là một không gian vector hữu hạn chiều trên tr-ờng K cóđặc số khác 2 và f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E. Vớimỗi không gian con U của E, đặt U= {x E | f(x, y)=0, y U};U đ-ợc gọi là hoàn toàn đẳng h-ớng nếu f(x, x)=0, x U. Không5 gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc gọi là cực đại nếu nó không chứatrong một không gian hoàn toàn đẳng h-ớng khác.a) Chứng tỏ rằng U là một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng khivà chỉ khi U U.b) Cho U, V là các không gian hoàn toàn đẳng h-ớng. Chứng tỏ rằngvới mọi x U V , không gian con V + Kx là hoàn toàn đẳng h-ớng.c) Chứng tỏ rằng mỗi không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợcchứa trong một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại. Suy racác không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại có cùng một số chiều.6 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000Môn Đại SốThời gian 180'Câu 1. Ký hiệu GL(n, Rn) là nhóm nhân các ma trận thực không suybiến cấp n. Chứng tỏ:a) Tập hợp SL(n, Rn) các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1 làmột nhóm con chuẩn tắc của GL(n, Rn).b)ánh xạf : GL(n, Rn) RA det(A)từ nhóm GL(n, Rn) vào nhóm nhân các số thực khác 0 là một toàn cấu.Suy ra nhóm th-ơng GL(n, Rn)/SL(n, Rn) đẳng cấu với nhóm R.Câu 2. Cho R = Zp[x] là tập hợp mọi đa thức một biến x có hệ sốtrong tr-ờng Zpcác số nguyên modulo p, với p là một số nguyên tố. Xétf Rvới:f =1+[xp1+(x + 1)p1+ ããã+(x + p 1)p1].a) Chứng tỏ rằng mọi phần tử của Zplà nghiệm của ph-ơng trìnhf(x)=0. Do đó f =0.b) Suy ra công thức sau:1k+ããã+(p 2)k+(p 1)k0 mod(p) nếu k 0 mod(p 1),1 mod(p) nếu k 0 mod(p 1).Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có số hạng trong tr-ờngK. Chứng tỏ:|rank(A) rank(B)|rank(A + B) rank(A) + rank(B).Câu 4. Cho V là một không gian vector thực. Tập D đ-ợc gọi là mộtđa tạp tuyến tính của V nếu D = W + x0, với W là một không gianvector con của V và x0 V, số chiều của W đ-ợc gọi là số chiều củaD. Chứng tỏ rằng7 a) Với x0,x1, .,xnlà một hệ vector cho tr-ớc trong V thì tập hợpD = {x = a0x0+ a1x1+ããã+ anxn| a0+ a1+ ããã+ an=1}là một đa tạp tuyến tính của V chứa các vector x0,x1, .,xn.b) Tập hợp các nghiệm của một hệ ph-ơng trình tuyến tính t-ơng thíchn ẩn hạng r với hệ tử thuộc tr-ờng số thực R lập thành một đa tạp tuyếntính có số chiều là n r trong không gian vector Rn.8 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000Môn Giải TíchThời gian 180'Câu 1. Cho (X, d) là một không gian metric. Ta đặt(x, y)=d(x, y)1+d(x.y),x,y X.Hãy chứng minh:a) (X, ) là một không gian metric.b) Không gian (X, ) đầy đủ khi và chỉ khi (X, d) đầy đủ.c) Cho A là một tập compact trong (X, d). Chứng minh rằng, A cũnglà một tập compact trong (X, ).Câu 2. Cho f 0 là hàm đo đ-ợc trên tập A. Với mỗi n N ta đặtfn(x)=f(x) nếu f(x) <nn nếu f(x) n.Chứng minh limnAfndà =Afdà.Câu 3. Ký hiệu X = C[0,1]là không gian định chuẩn với chuẩn max.a) Giả sử x X, với mỗi n N ta đặtxn(t)=x(t1+1n), t [0, 1].Chứng minh rằng, dãy (xn)nhội tụ về hàm x trong X.b) Đặt A : X X cho bởi công thức x Ax, (Ax)(t)=x(0) tx(t), với mọi t [0, 1]. Chứng minh A tuyến tính liên tục và tính A .Câu 4. Cho X là một không gian định chuẩn và f X,f=0. Kýhiệu = inf{x : x X, f(x)=1}. Chứng minh rằng, f =1.Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với {en,n N} là một cơ sởtrực chuẩn của H.Đặt A : H H xác định bởix H, Ax =n=1x, en+1 en.Chứng minh rằng, A tuyến tính, liên tục. Tìm A và xác định toán tửliên hợp A.9 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001Môn Giải TíchThời gian 180'Câu 1 1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau đây:n=1ln(1+n)n,>1.2) Cho f : R R là hàm số xác định bởi:f =0, nếu x/ (0, 1],n, nếu x (1n +1,1n], với n N.TínhRfdà và suy ra f khả tích trên R, trong đó à là độ đo Lebesguetrên R.Câu 2. Cho X là một không gian metric compact và f : X X làmột ánh xạ liên tục. Giả sử (Kn) là một dãy giảm các tập đóng khôngrỗng của X.Chứng minh rằng, f(n=1Kn)=n=1f(Kn).Câu 3. Ký hiệu C[0,1]là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên[0, 1] với chuẩn max. ĐặtM = {x C[0,1]: x(0) = 0, 0 x(t) 1, t [0, 1]}.1) Chứng minh rằng M là một tập đóng và bị chặn trong C[0,1].2) Xét hàm số f : C[0,1] R xác định bởi công thức f(x)=10x2(t)dt. Chứng minh rằng, f liên tục trên tập M nh-ng f không đạtđ-ợc giá trị bé nhất trên M.Câu 4. Giả sử X là không gian định chuẩn thực và f : X R làmột phiếm hàm tuyến tính. Chứng minh rằng, f Xkhi và chỉ khi tậpM = {x X : f(x) 1} là một tập đóng trong X.Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn{en, : n N}và X là một không gian Banach. Giả sử A L(H, X) sao chon=1Aen2<10 [...]... x, ek Aek , x H Chứng tỏ rằng k=1 a) Với mọi n N, An là một toán tử tuyến tính liên tục b) An A trong không gian L(H, X) và từ đây suy ra A là một toán tử compact 11 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1 Cho G là tập tất cả các bộ số nguyên dạng (k1 , k2 , k3 ) Chứng minh rằng, a) G là một nhóm với phép toán (k1 , k2 , k3 ).(l1 , l2 , l3 ) = (k1 +(1)k3 l1 , k2 +l2... xM thì x = 0 17 Câu 5 Giả sử {en } là một hệ thống trực chuẩn trong không gian Hilbert H, {n } là một dãy số hội tụ đến 0 Chứng minh rằng, toán tử A xác định bởi công thức Ax = n x, en en , x H n=1 là một toán tử compact từ H vào H 18 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2003 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1 Xét nhóm nhân C của tr-ờng C các số phức Ký hiệu Gk là tập các căn bậc pk của phần tử đơn vị của... dim 1 (T ) = n + r rank(A) 12 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1 a) Tồn tại hay không một thể (K, +, ì) có đặt số khác 2 sao cho các nhóm con (K, +) và (K , ì), với K = K \ {0} , đẳng cấu với nhau? b) Cho A = Z[i] là vành các số phức dạng a + bi, với a, b là các số nguyên, và I là tập con của A gồm các số phức c + di, với c, d là bội của 3 Chứng minh rằng, I là... bị chặn 15 1 Chứng minh rằng, với mọi x H, chuỗi n x, en en hội tụ n=1 trong H n x, en en với mọi x H Chứng minh rằng, A là 2 Đặt Ax = n=1 toán tử tuyến tính liên tục trên H Tính A 16 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2003 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1 Cho A là một tập đo đ-ợc và f, g : A R là các hàm khả tích trên A Với mỗi n N ta đặt An = {x A | n |f (x)| < n + 1} và Bn = {x A | |f (x)|... X là một điểm dính của A Giả sử x A Chứng minh A là một tập vô hạn Suy / ra mọi tập con có hữu hạn điểm trong X đều là tập đóng b) Giả sử X, Y là hai không gian metric và f : X Y là một toán ánh liên tục từ X lên Y Cho A X sao cho A = X Chứng minh rằng f (A) = Y Câu 3 Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục, R(A) là tập hợp các giá trị của A a) Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian tuyến... cách bỏ n k hàng cuối cùng của B 2 f đ-ợc gọi là không suy biến nếu ma trận biểu diễn f, theo một cơ sở nào đó của V, là không suy biến Chứng tỏ nếu f không suy biến thì dim L = n k 14 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1 1 Cho (xn )n là một dãy tăng, bị chặn trên và xn > 0 với mọi n N Chứng minh rằng, chuỗi số (1 n=1 xn ) xn+1 hội tụ 2 Tìm miền hội tụ và... )n là một dãy toán tử tuyến tính liên tục trong không gian L(X, Y ) Chứng minh rằng, nếu với mọi x X, (An x)n là một dãy cơ bản trong Y thì sup An < + nN Câu 5 Cho {en , n N} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H và (n)n là một dãy số bị chặn 15 1 Chứng minh rằng, với mọi x H, chuỗi n x, en en hội tụ n=1 trong H n x, en en với mọi x H Chứng minh rằng, A là 2 Đặt Ax = n=1 toán tử tuyến... phần tử đơn vị của C (p là số nguyên tố và k là số Gk nguyên d-ơng) và G = k=1 a) Chứng tỏ rằng G là một nhóm con cấp vô hạn không cyclic của C và mọi nhóm con thực sự của G đều là nhóm con cyclic hữu hạn b) Trên G, xét hai phép toán , nh- sau: x, y G, x y = xy, x y = 0 Chứng minh rằng, (G, , ) là một vành giao hoán, không chứa đơn vị và không có idean tối đại Câu 2 Cho D là một miền nguyên với đơn... các số nguyên, và I là tập con của A gồm các số phức c + di, với c, d là bội của 3 Chứng minh rằng, I là một idean của A và vành th-ơng A/I là một tr-ờng gồm 9 phần tử Câu 2 Cho G = R ì R và là phép toán trong G xác định bởi (x, y) (x , y ) = (xx , xy + y ), x với R = R \ {0} 1 Chứng minh rằng, (G, ) là một nhóm Chỉ ra nhóm tâm của G 2 Chứng minh rằng, với bất kỳ k R, tập hợp Hk = 1 (x, k(x ))... trận phản đối xứng của M(n, R) a) Chứng minh rằng, S(n) và A(n) là những không gian con của M(n, R) và xác định số chiều của chúng b) Chứng tỏ M(n, R) = S(n) A(n) Câu 4 Xét không gian vector Kn gồm các bộ n phần tử của tr-ờng K (n là số nguyên d-ơng) Chứng minh rằng, a) Tập nghiệm của một hệ ph-ơng trình tuyến tính thuần nhất n ẩn, hạng r với các hệ tử thuộc tr-ờng K lập thành một không gian con của . rằng(Vr+1)=(Vr).b) Tìm dim((Vr+1)).2 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 199 8Môn Giải TíchThời gian 180'Câu 1.a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàmn=11n22n(xn+. N,Anlà một toán tử tuyến tính liên tục.b) An A trong không gian L(H, X) và từ đây suy ra A là mộttoán tử compact.11 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001Môn