chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m luôn tồn tại vô số số nguyên dương n

[r]

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH Năm học 2016 – 2017

MƠN: TỐN Ngày thi 13/10/2016

(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 04 câu, 01 trang

Câu (4,0 điểm):

Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: x y z 3   Chứng minh rằng:

1 1 4

x y z

x y  y z  z x      

Câu (5,0 điểm):

Chứng minh với số nguyên dương m, tồn vô số số nguyên dương n

thỏa mãn

n

(3.2 n) chia hết cho m.

Câu (6,0 điểm):

Cho tam giác ABC và điểm O nằm tam giác ABC Đường thẳng (d1) qua

O, song song với BC cắt AB, AC J, G Đường thẳng (d2) qua O, song song với

CA cắt BC, BA F, I Đường thẳng (d3) qua O, song song với AB cắt CA, CB lần

lượt H, E Dựng hình bình hành OEA F1 , OGB H1 , OIC J1

Chứng minh đường thẳng AA1, BB1,CC1 đồng quy

Câu (5,0 điểm):

Cho hàm số f: *  * thỏa mãn điều kiện sau:

1) f (m) f(n) m, n  *, m n;

2) f (mn) f(m)f(n) m, n  *,(m, n) 1;

3) Tồn i*,i 1 cho f (i) i.

Trong * là tập hợp số nguyên dương. a) Chứng minh f(1) = 1, f(3) =

b) Tìm tất hàm f(n) thỏa mãn yêu cầu bài toán

HẾT

Họ tên thí sinh: Số báo danh:

Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: