CHUONG IV GIỚI hạn ĐÔNG NQA 1

MỤC LỤC PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN 1.Giới hạn đặc biệt: 1 lim = (k ∈ ¢ + ) lim = k n→+∞ n n→+∞ n ; lim qn = ( q < 1) n→+∞ lim C = C n→+∞ ; 2.Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b • lim (un + vn) = a + b • lim (un – vn) = a – b • lim (un.vn) = a.b u a lim n = b • (nếu b ≠ 0) b) Nếu un≥ 0, ∀n lim un= a un = a a ≥ lim un ≤ c) Nếu ,∀n lim = lim un = lim un = a d) Nếu lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1 1− q S = u1 + u1q + u1q2 + … = ( q < 1) GIỚI HẠN VÔ CỰC Giới hạn đặc biệt: lim n = +∞ limnk = +∞ (k ∈ ¢ + ) limqn = +∞ (q > 1) Định lí: lim un = +∞ lim =0 un a) Nếu b) Nếu lim un = a, lim = ±∞ lim un =0 c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim = un +∞ neá u a.vn >  neá u a.vn < −∞ lim = d) Nếu lim un = +∞, lim = a +∞ neá u a> −∞ nế u a<  lim(un.vn) = * Khi tính giới hạn có ∞ ∞ dạng vô định: , , ∞ – ∞, 0.∞ phải tìm cách khử dạng vơ định B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: lim un = a>0 Để chứng minh ta chứng minh với số nhỏ tùy ý tồn un < a ∀n > na na số cho lim un = l lim(un − l ) = • Để chứng minh ta chứng minh • lim un = +∞ M >0 Để chứng minh ta chứng minh với số lớn tùy ý, tồn nM un > M ∀n > nM số tự nhiên cho lim un = −∞ lim( −un ) = +∞ • Để chứng minh ta chứng minh • Một dãy số có giới hạn giới hạn • Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau: lim un = +∞ lim un = +∞ lim un = +∞ lim un = −∞ A Nếu , B Nếu , lim un = lim un = a lim un = lim un = −a C Nếu , D Nếu , lim n +1 Câu Giá trị bằng: A B C D lim k n (k ∈ ¥ *) Câu Giá trị bằng: A B C D sin n lim n+2 Câu Giá trị bằng: A B C D lim(2n + 1) Câu Giá trị bằng: +∞ −∞ A B C D − n2 lim n Câu Giá trị bằng: +∞ −∞ A B C D lim n +1 Câu Giá trị bằng: +∞ −∞ A B C D cos n + sin n lim n2 + Câu Giá trị bằng: +∞ −∞ A B C D n +1 lim n+2 Câu Giá trị bằng: +∞ −∞ A B C D lim Câu 10 Giá trị +∞ A 3n3 + n n2 bằng: −∞ B 2−n lim n +1 Câu 11 Giá trị bằng: +∞ −∞ A B 2n + A = lim n−2 Câu 12 Giá trị bằng: +∞ −∞ A B 2n + B = lim n +1 Câu 13 Giá trị bằng: +∞ −∞ A B C = lim Câu 14 Giá trị +∞ A B A = lim Câu 15 Giá trị A +∞ B B = lim Câu 16 Giá trị +∞ A B C = lim Câu 17 Giá trị +∞ A B Câu 19 Giá trị +∞ A −∞ n−2 n 2n D C D C D C D C D 1 1 bằng: bằng: −∞ C n sin n − 3n n2 bằng: −∞ C n +2 n +7 −3 D D 1 −∞ bằng: C D B an lim = n! C D B C D D = lim Câu 18 Giá trị +∞ A n2 + n +1 C 4n + n + 3n + −∞ bằng: −∞ bằng: lim n a Câu 20 Giá trị +∞ A B với −∞ a>0 bằng: C D DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: • Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn f ( n) lim g (n) k nk • Khi tìm ta thường chia tử mẫu cho , bậc lớn tử mẫu lim  k f ( n) − m g (n)  lim f (n) = lim g (n) = +∞ • Khi tìm ta thường tách sử dụng phương pháp nhân lượng liên + Dùng đẳng thức: ( ( a − b) ( a2 + ab + b2 ) = a − b a − b) ( a + b) = a − b; un ≤ • Dùng định lí kẹp: Nếu ,∀n lim = thìlim un = Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: • Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn • Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu • Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn +∞ hệ số cao tử mẫu dấu kết –∞ hệ số cao tử mẫu trái dấu un = ( un ) Câu Cho dãy số số sau: A với B Câu Kết A Câu Giá trị A +∞ Câu Giá trị n 4n un+1 < un 2 n cos 2n   lim  − ÷ n +1   B 2n + A = lim − 3n lim un Chọn giá trị C D C –4 D là: bằng: − −∞ B 4n + 3n + B = lim (3n − 1) C bằng: D A +∞ −∞ B C 3n + Câu Kết − − 3 A B −∞ C un = với B +∞ − ( un ) A D − n + 2n + lim Câu Giới hạn dãy số 3n − n 4n − D là: C n − 2n + + 5n D lim Câu Chọn kết 5 A B 2n + 3n + A = lim 3n − n + Câu Giá trị bằng: A +∞ B B = lim Câu Giá trị A +∞ −∞ B B B C = lim Câu 12 Giá trị −∞ D D +∞ bằng: −∞ ( 2n + 1) C ( n + 2) D 1− n17 + bằng: −∞ C 16 D bằng: 1− 3 −1 C D n + − 3n3 + 2n + n + − n Câu 11 Giá trị +∞ C n − 3n + D = lim A C n + 2n C = lim Câu 10 Giá trị +∞ A : −∞ 3n3 + − n 2n + 3n + + n bằng: A +∞ −∞ B bằng: −∞ B D (n − 2) (2n + 1)3 (n + 2)5 F = lim Câu 13 Giá trị +∞ A C C D n3 + C = lim n(2n + 1) Câu 14 Giá trị A bằng: +∞ −∞ B D = lim Câu 15 Giá trị +∞ A n3 − 3n + n + 4n + n + 2n + n+2 E = lim Câu 16 Giá trị +∞ A B −∞ F = lim +∞ B Câu 18 Cho dãy số −∞ A 10 lim n4 + n2 + Câu 19 +∞ A Câu 20 Tính giới hạn: A Câu 21 Tính giới hạn: với B C D C D bằng: : 10 B n +1 − lim n +1 + n bằng: −∞ bằng: 3n3 + n − n un = ( n − 1) un D n − n + + 2n Câu 17 Giá trị A C −∞ B C 2n + n + n2 −1 3 −1 D lim un Chọn kết +∞ C D C −1 B C + + + + ( 2n + 1) lim 3n + D −∞ D là: A B lim + Câu 22 Chọn kết A B D = lim Câu 23 Giá trị ak b p ≠ ) bằng: +∞ A n2 − 1 − + n 2n ak n + + a1n + a0 bp n p + + b1n + b0 −∞ B D k, p số nguyên dương; C Đáp án khác D − 5n − 3n + 2.5n Câu 24 Kết là: − − 50 A B n n −1 − 4.2 − lim 3.2 n + n Câu 25 bằng: +∞ −∞ A B 3.2n − 3n C = lim n +1 n +1 +3 Câu 26 Giá trị bằng: +∞ C k lim A (Trong B D C −∞ lim ( 3n − n ) Câu 27 Giá trị là: −∞ +∞ A B 3.2 n − 3n K = lim n +1 n +1 +3 Câu 28 Giá trị bằng: − −∞ A B 5n − lim n +1 Câu 29 : +∞ A B C C − C C C C − D D D D D D 25 −2 −∞ lim Câu 30 A 4n + n+1 3n + 4n+ : B 3.3 + 3n +1 + 4n +1 Câu 31 Giá trị +∞ B C n C = lim A D bằng: D + a + a + + a n I = lim + b + b + + b n C a < 1; b < A +∞ B −∞ Tìm giới hạn 1− b 1− a C a n k + a n k −1 + + a1n + a0 A = lim k p k −1 p −1 bp n + b p −1n + + b1n + b0 Câu 33 Tính giới hạn dãy số +∞ −∞ A B nπ   lim  n sin − 2n3 ÷   Câu 34 bằng: +∞ A B M = lim Câu 35 Giá trị +∞ A B Câu 36 Giá trị +∞ B B = lim Câu 37 Giá trị +∞ A B A +∞ B C ) n2 + n + − n ( 2n + − n ) −∞ ( −∞ n2 + − n ) −2 ) C ak b p ≠ D D .: −∞ D bằng: C D bằng: C D bằng: C bằng: −∞ K = lim n Bài 40 Giá trị C Đáp án khác n + 6n − n ( D với −∞ H = lim A ( n Câu 32 Cho số thực a,b thỏa +∞ D 4x +1 −1 x ( ax + 2a + 1) lim f ( x) = lim x →0 x →0 Ta có : = lim x →0 ( ax + 2a + 1) ( ) 4x +1 +1 x=0⇔ Hàm số liên tục Câu 20.Tìm = 2a + =3⇔ a=− 2a + a để hàm số A Hướng dẫn giải: B  3x + − x >  x − f ( x) =   a( x − 2) x ≤  x − C ChọnC lim+ f ( x) = lim+ x →1 Ta có : x →1 3x + − = x2 −1 a ( x − 2) a lim− f ( x) = lim− = x →1 x →1 x−3 x =1⇔ Suy hàm số liên tục a 3 = ⇒a= liên tục x =1 D DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp: + Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … + Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: f ( x) = ( I) x2 −1 ¡ liên tục ( II ) f ( x ) = sin x x ( III ) f ( x ) = có giới hạn x → [ −3;3] − x2 liên tục đoạn ( I ) ( II ) ( II ) ( III ) A Chỉ B Chỉ Hướng dẫn giải: ChọnB Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) lí thuyết f ( x ) = − x2 Hàm số: −3 ( II ) C Chỉ ( III ) D Chỉ ( −3;3) liên tục khoảng Liên tục phải liên tục trái [ −3;3] f ( x ) = − x2 Nên liên tục đoạn Câu 2.Tìm khẳng định khẳng định sau: x +1 ( I ) f ( x) = x −1 x ≠1 ( II ) liên tục với f ( x ) = sin x liên tục f ( x) = ( III ) ( I) A Chỉ ( III ) x x liên tục ¡ x =1 B Chỉ ( I) ( II ) ( I) C Chỉ ( III ) ( II ) D Chỉ Hướng dẫn giải: Chọn D ( II ) Ta có hàm số lượng giác liên tục khoảng tập xác định x  x , x ≥ f ( x) = =  x  x − , x <  x x ( III ) Ta có lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 1) = x →1 x →1 Khi x y = f ( x) = x Vậy hàm số x =1 liên tục  x −3 ,x≠  f ( x) =  x − 2 ,x=  Câu 3.Cho hàm số sau: ( I) f ( x) ( II ) ( III ) Tìm khẳng định khẳng định x= liên tục f ( x) x= f ( x) gián đoạn liên tục ( I) A Chỉ ( I) ( II ) ( III ) C Chỉ Hướng dẫn giải: Chọn C ¡ B Chỉ D Cả f ( x) = Với ta có hàm số f x= Với x→ x→ ( 2) ¡ ta có hàm số liên tục Câu 4.Tìm khẳng định khẳng định sau: liên tục f ( x) = ( II ) ( III ) ¡ x2 −1 f ( x) = x − , ( III ) , ( 3; +∞ ) ( 1) , ( 3) nên hàm số liên tục , ( II ) x −3 =2 3= f x− f ( x ) = x5 – x + ( I) liên tục khoảng Từ ( I) ( III ) ( −∞; ) lim f ( x ) = lim ( ) ( 2) x= x2 − x− 3 =2 ta có ( 1) ( II ) x≠ ( –1;1) liên tục khoảng [ 2; +∞ ) liên tục đoạn ( I) ( I) A Chỉ ( III ) Hướng dẫn giải: Chọn D ( I) Ta có B Chỉ ( II ) ( III ) C Chỉ hàm đa thức nên liên tục ( III ) liên tục Chỉ x → 2+ liên tục [ 2; +∞ ) ¡ D lim f ( x ) = f ( ) = ( 2; +∞ ) f ( x) = x − ( I) f ( x ) = x5 − x + Ta có ( II ) nên hàm số 3 − − x , 0< x ⇒ f ( x) = − x ⇒ Với Tại x2 − 5x + ⇒ x3 − 16 x=2 hàm số liên tục hàm số liên tục f (2) = ta có : lim f ( x) = lim+ ( − x ) = x → 2+ x→2 ; ( x − 2)( x − 3) lim− f ( x ) = lim− =− ≠ lim f ( x) x →2 x → 2( x − 2)( x + x + 4) 24 x→2+ Hàm số không liên tục x=2  x −1 x >   x −1 f ( x) =   1− x + x ≤  x + Câu 8.Cho hàm số A Hàm số liên tục ¡ B Hàm số không liên tục ¡ ( 1: +∞ ) C Hàm số không liên tục D Hàm số gián đoạn điểm Hướng dẫn giải: ChọnA x =1 Khẳng định sau Hàm số xác định với x thuộc • • • 1− x + ⇒ x+2 x < ⇒ f ( x) = Với x > ⇒ f ( x) = x −1 ⇒ x −1 Với Tại x =1 ta có : lim+ f ( x) = lim+ x →1 x →1 ¡ hàm số liên tục hàm số liên tục f (1) = x −1 ( x − 1)( x + 1) = lim+ = x − x→1 ( x − 1)( x + x + 1) ; lim− f ( x) = lim− x→2 x →1 1− x + 2 = = lim+ f ( x ) = f (1) x+2 x →1 Hàm số liên tục x =1 Vậy hàm số liên tục Câu 9.Cho hàm số ¡ π  tan x , x ≠ ∧ x ≠ + kπ , k ∈ ¢  f ( x) =  x 0 ,x=0 Hàm số khoảng sau đây?  π  0; ÷  2 A Hướng dẫn giải: Chọn A TXĐ: Với B π  D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  2  x=0 f ( 0) = ta có π   −∞; ÷ 4  C liên tục  π π − ; ÷  4 ( −∞; +∞ ) D tan x sin x lim f ( x ) = lim = lim lim x →0 x →0 x →0 x x x →0 cos x = Vậy hàm số gián đoạn Câu 10.Cho hàm số y = f ( x) x=0 lim f ( x ) ≠ f ( ) x →0 hay a x , x ≤ 2, a ∈ ¡ f ( x) =  ( − a ) x , x > f ( x) a Giá trị để liên tục là: A Hướng dẫn giải: Chọn D B –1 C –1 D –2 ¡ TXĐ: D=¡ x> Với x< Với x= Với ( f ( x ) = a2 x2 ta có hàm số 2; +∞ liên tục khoảng ( −∞; ) f ( x ) = ( − a ) x2 ta có hàm số f ( ) = 2a liên tục khoảng lim+ f ( x ) = lim+ ( − a ) x = ( − a ) lim− f ( x ) = lim− a x = 2a 2 x→ x→ x→ ; Để hàm số liên tục a = ⇔  a = −2 ⇔ a2 + a − = a =1 Vậy a = −2 ta có x→ ) x= ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f x→ x→ ( ) ⇔ 2a = ( − a) hàm số liên tục x , x ≥1   2x f ( x) =  , ≤ x 1 x =1 ta có hàm số f ( x ) = x sin x ta có liên tục ( 1; +∞ ) ( 1) 2x 1+ x ( 0;1) ( ) liên tục khoảng ( −∞; ) ( 3) liên tục khoảng x3 lim f x = lim =1 ( ) f ( x ) = lim+ x = x →1− f ( 1) = xlim x →1− + x →1+ x →1 ta có liên tục f ( x) liên tục khoảng f ( x) = ¡ \ { 0} D f ( x ) = x2 ta có hàm số < x π  a, b Câu 19.Xác định  a = π   b = ¡ ¡  a = π   b = D x = ±1 a, b Câu 20.Xác định a = 10  b = −1 để hàm số A Hướng dẫn giải: B  x3 − 3x + x x( x − 2) ≠  x( x − 2)  f ( x) = a x = b x =   a = 11  b = −1 C a =  b = − D liên tục a = 12  b = −1 ChọnC Hàm số liên tục Câu 21.Tìm a = ¡ ⇔ b = −1 m để hàm số  x − + x −1 x ≠  f ( x) =  x −1 3m − x =  m= m =1 A Hướng dẫn giải: B C liên tục m=2 D ¡ m=0 ChọnB Với x ≠1 f ( x) = ta có x − + 2x −1 x −1 Do hàm số liên tục f (1) = 3m − ¡ ¡ \ { 1} nên hàm số liên tục khoảng hàm số liên tục Ta có: lim f ( x) = lim x →1 x →1 x − + 2x −1 x −1  x3 + x − = lim 1 + x →1  2 3  ( x − 1) x − x x − + ( x − 2) ( )       x2 + x + = lim 1 + =2 x →1  x − x x − + ( x − 2)  x = ⇔ 3m − = ⇔ m = Nên hàm số liên tục m= Vậy giá trị cần tìm x =1 ¡ Câu 22.Tìm m để hàm số  x +1 −1 x >  f ( x) =  x  x + 3m + x ≤  m=− m =1 A Hướng dẫn giải: B C ¡ liên tục m=2 D m=0 ChọnB • • Với Với x>0 x2 Với • B C m=5 ta có hàm số liên tục Để hàm số liên tục x=2  2x − + x ≥  f ( x) =  x +1 x <   x − 2mx + 3m + m=− A Hướng dẫn giải: ¡ 1 ⇔m=− ¡ hàm số phải liên tục khoảng tam thức g ( x) = x − 2mx + 3m + ≠ 0, ∀x ≤ 2 D ¡ m=0 ( −∞; ) ( −∞; ) Hàm số liên tục liên tục liên tục TH 1: TH 2: ∆ ' = m − 3m − ≤ − 17 + 17 ⇔ ≤m≤  2  g (2) = −m + ≠  m − 3m − > ∆ ' = m − m − >   ⇔ m >   x1 = m − ∆ ' >  ∆ ' < ( m − 2)   + 17 + 17 m > ⇔ ⇔