[r]
(1)đề thức
-kú thi olympic
khu vực duyên hải đồng bắc Lần thứ - Năm học: 2007 - 2008
đề thi mơn tốn lớp 11
(Thời gian: 180 phút Không kể thời gian giao đề)–
Bài 1: Giải hệ phơng trình sau:
2
2
3
3
1 1
3
1 1
3
log log
log log
y
x
x x
y y
Bài 2: Cho số thực dơng x, y, z tháa m·n:
1
yz zx xy
x y z Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu
thøc:
1 1 1
1 1 1
A
x y z
.
Bài 3: Cho K tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC B1, C1 theo thứ tự trung điểm AC và AB Đờng thẳng C1K cắt đờng thẳng AC B2, đờng thẳng B1K cắt đờng thẳng AB tại C2 Giả sử diện tích tam giác ABC diện tích tam giác AB2C2
TÝnh gãc BAC.
Bài 4: Tồn hay không hàm số: f : , f x không đồng 0, thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) f xy x y 1 yf x 1 xf y 1 f x 1 f y 1 , x y,
ii)
2008 2008 , ,
f x y f x f y x y R
Bài 5: Cho tập hợp S gồm 2008 phần tư Gi¶ sư S1, S2, , S50 l 50 tËp S thỏa mÃn các điều kiện sau:
i) Si 100 i 1;50 (kÝ hiÖu Si l sè phÇn tư cđa Sà i)
ii)
50
i i
S S
Chøng minh r»ng: tån t¹i hai tËp Si, Sj (víi i j) m SiSj 4.
-Hết -Giám thị 1: Họ tên thí sinh: Giám thị 2: SBD:
Đáp án biểu điểm toán lớp 11
Bài 1: Giải hệ pt :
2
2
3
3
1 1
3
1 1
3
log log
log log
y
x
x x
y y
§k: x> 0, y>0
(2)Đặt log x3 - = a ,log3y- = b Ta cã 2 1 3 1 3 b a a a b b
a a2 1 3a b b2 1 3b (*)
XÐt:
2
2
( ) 1 3
( ) 1 3 ln ( 0)
1
t
t
f t t t t
f t do t t
t
Vậy từ (* ) suyra: a = b, đó:
1®
2 1 3 1 3 3 3 2 0 (1)
ln 3
( ) 3 3 2 '( ) ln 3 2 0, (1) 0
3
a a a a
a a a
a
a a a a a
g a a g a suy ra a
VËy : log x3 - = 0 x = y = Hệ phơng trình có nghiệm: x = y =
2đ
Bài 2:
Đặt
, ,
yz zx xy
a b c
x y z
Ta cã a, b, c > vµ a2b2c2 1 Ta cã:
1 1 1
3
1 1 1 1 1 1
bc ca ab
A
bc ca ab bc ca ab
DÔ cã:
1®
2
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1
4
1 2 2
1
2
b c
b c
bc b c
bc b c b a c a b a c a
t¬ng tù cã:
2
2 2
1
1 2
ca c a
ca c b a b
vµ
2
2 2
1
1 2
ab a b
ab a c b c
2®
từ đó: A
3 9 3
2 2
DÊu b»ng x¶y x = y = z =1/3
1đ
Bài 3:
Đặt BC=a, CA=b, AB =c, AB2= x; AC2=y Phân giác BK cắt cạnh AC D Ta có :
KB KD= c AD= a CD= a+c b >1
Suy : AD = bc
a+c vµ D n»m A B2
1đ
ỏp dng nh lý menelaus vào tam giác ABD đờng thẳng B2KC1, ta có :
B2D B2A
.C1A
C1B
.KB
KD=1 suy
x −bc a+c
x
a+c b =1
suy x = bc
a+c −b (1)
1®
T¬ng tù cã : y = bc
a+b − c (2)
Tõ gi¶ thiÕt: diƯn tich tam gi¸c ABC = diƯn tÝch tam gi¸c AB2C2 suy xy = bc (3)
1®
Từ (1), (2) (3) ta đợc a2 = b2+c2-bc (4)
Ta cã : a2 = b2+c2-2bc.cosA (5) VËy (4) & (5) suy : cosA =
2 hay gãc BAC = 600
1đ
Bài 4:
i) f xy x y 1 yf x 1 xf y 1 f x 1 f y 1x y,
, 1
f xy xf y yf x x y
cho x y 0 f 0 0
(3)ii) Cho
2008
0 2
y f x f x
XÐt (1) : cho
2 2
x y f x xf x
1®
Ta cm
1
.
n n
f x n x f x
(*) quy nạp n =1 có (*)
Giả sử (*) tới n = k tức
1
k k f x kx f x
Ph¶i cm
1 1
k k
f x k x f x x
ThËt vËy tõ (1) suy
1
k k k
f x x f x xf x
1
k k
k
x f x kx f x
k x f x
VËy
1
.
n n
f x n x f x x
2008 2008 2007 3
f x x f x x
Tõ (2) vµ (3) suy
2007
2008.
f x x f x x
suy f x 0 Vậy không tồn hàm số thoả mÃn yêu cầu
2đ
Bài 5:
+) Gọi Sa ;a ; ;a1 2008
Với i 1;2008 gọi ki số tập S chứa số cặp tập S chứa là:
i i
k k
và số cặp tập S (kể lặp) có giao khác rỗng là:
2008 i i
i
k k
1®
+) Giả sử S Si j 3 với i, j i j số cặp tập giao khác rỗng (không kể lặp)
không nhỏ
2008 i i
i i
k k 1
3 k
1®
Ta có:
2 2008
i
2008 2008 2008
i
i i
i i
i i i
k
k k 1 2500.374
k k 5000
2 2 2008 251
2008 i i
i i
k k
1 2500.374
1241
3 k 3.251
(1)
+) Mặt khác số cặp tập S là: C250 1225 (2)
So sánh (1) (2) suy mâu thuẫn dẫn đến điều phải chứng minh
2®
(4)