10 NĂM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN IMO

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2003.. *Ngày thi thứ nhất..[r]

(1)

Đ THI CH N Đ I TUY N QU C GIAỀ Ọ Ộ Ể Ố D THI IMO 2001Ự

*Ngày thi th nh t.ứ ấ Bài

Cho dãy s nguyên ố ( ),an n   xác đ nh b i ị

0

3

1, n n n a a a  a 

   

  

v i m i ọ n   Ch ng minh r ng v i m i s nguyên t ứ ằ ọ ố ố p 13, t n t i vô s s nguyên dồ ố ố ương k th a mãn ỏ ak chia h t cho p.ế

Bài 2.

Trong m t ph ng, cho hai đặ ẳ ường tròn c t t i hai m phân bi t A B G i ắ ể ệ ọ PT m t hai ti p n chung c a độ ế ế ủ ường tròn (P, T ti p m) Ti p ế ể ế n t i P T c a đế ủ ường tròn ngo i ti p tam giác APT c t t i S G i H ế ắ ọ m đ i x ng v i B qua PT.ể ố ứ

Ch ng minh r ng A, S, H th ng hàng.ứ ằ ẳ Bài

M t câu l c b có 42 thành viên cho 31 thành viên b t kì, ln t n t i ộ ộ ấ nh t m t c p nam n quen bi t Ch ng minh r ng có th ch n đấ ộ ặ ữ ế ứ ằ ể ọ ược 12 c p nam n đôi m t khác có quen bi t t câu l c b ặ ữ ộ ế ộ

*Ngày thi th hai.ứ Bài

Xét s th c dố ự ương th a mãn u ki n ỏ ề ệ 21ab2bc8ca12

Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ

1 1 ( , , )

P a b c

a b c   

Bài

Cho s nguyên dố ương n l n h n Trong không gian vng góc Oxyz, g i T t p ọ ậ h p t t c m có t a đ ợ ấ ả ể ọ ộ ( , , )x y z v i x y z, , s nguyên dố ương th a mãnỏ 1x y z n, ,  .

Tô màu t t c m thu c t p h p T cho: n u m ấ ả ể ộ ậ ợ ế ể A x y z( , , )0 0 tơ màu

thì nh ng m có d ng ữ ể B x y z( , , )1 1 v i x1x y0, 1y z0, 1z0 khơng tơ màu

Tìm giá tr l n nh t m đị ấ ể ược tô màu th a mãn u ki n ỏ ề ệ Bài

(2)

Ch ng minh r ng t n t i vô s c p s nguyên dứ ằ ố ặ ố ương ( , )p q th a mãn ỏ p q ap

(3)

Tìm t t c tam giác ABC có C góc nh n đấ ả ọ ường trung tr c c a đo n th ng ự ủ ẳ BC c t tia Ax Ay, tia chia góc BAC thành ba ph n b ng (ắ ầ ằ

  

BAx xAy yAC) t i m M N tho mãn ạ ể ả AB NP 2 HM , H hình chi u vng góc c a A C M trung m c a đo n th ng BC.ế ủ ể ủ ẳ

Bài

Người ta ghi lên b ng m t s nguyên dả ộ ố ươngN0 Hai người A B ch i trò ch i trò ơ

ch i sau: Ngơ ười A xoá s ố N0r i ghi lên b ng s ả ố

0

1 1; 3

N N N   

 

  Ti p theo ngế ười

B xoá s N r i ghi lên b ng s ố ả ố

1

2 1; 3

N N N   

 

  Đ n lế ượt người A l i th c ạ ự

hi n phép toán đ i v i ệ ố N N2, 3, Trò ch i c ti p t c cho đ n b ng ứ ế ụ ế ả

xu t hi n s Ngấ ệ ố ười ghi s đ u tiên đố ầ ược coi th ng cu c, ngắ ộ ười l i b coi ị thua cu c ộ

H i ai, ngỏ ười A hay người B, người có cách ch i đ ch c ch n th ng n u: ể ắ ắ ắ ế 1) N 0 120?

2)

2002

0

3

2 N  

?

3)

2002

3

2 N  

? Bài

Cho s nguyên dố ương m có m t ộ ước nguyên t l n h n ố 2m 1 Hãy tìm s nguyên ố dương M nh nh t cho t n t i m t t p h p g m h u h n s nguyên ỏ ấ ộ ậ ợ ữ ố dương đôi m t khác tho mãn đ ng th i u ki n sau: ộ ả ề ệ

i) m M tương ng s nh nh t s l n nh t T ứ ố ỏ ấ ố ấ ii) Tích t t c s thu c T m t s phấ ả ố ộ ộ ố ương

(4)

Cho s nguyên dố ương n 2 cho b ng vng kích thả ước n2n(b ng g m ả ồ n hàng 2n c t) Ngộ ười ta đánh d u m t cách ng u nhiên ấ ộ ẫ n2 ô vuông c a ủ b ng ả

Ch ng minh r ng v i m i s nguyên k mà ứ ằ ỗ ố n k      

  , t n t i k hàng choồ ạ b ng ô vng kích thả ước k2n, đượ ạc t o nên t k hàng đó, có khơng h nừ ơ

!( 2) ( 1)( 2) ( 1)

k n k

n k n k n

 

     c t ch g m ô độ ỉ ồ ược đánh d u ấ Bài

Hãy tìm t t c đa th c ấ ả ứ P x( ) v i h s nguyên cho đa th c sauớ ệ ố ứ

2

( ) ( 10) ( ) Q x  x  x P x  bình phương c a m t đa th c v i h s nguyên.ủ ộ ứ ệ ố

Bài

Ch ng minh r ng t n t i s nguyên ứ ằ ố m 2002và m s nguyên dố ương đôi m t khác ộ

nhau a a a1, , , ,2 am1,am cho s ố

2

1

4

m m

i i

a a

 

 



(5)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2003

*Ngày thi thứ nhất. Bài

Trong m t ph ng t a đ , cho b n m phân bi t ặ ẳ ọ ộ ố ể ệ A(0,0), ( ,0), ( , ), ( , )B p C m q D m n v iớ , , ,

m n p q b n s nguyên dố ố ương th a mãn ỏ p m n q Xét m t độ ường f t A ừ đ n D m t đế ộ ường G t B đ n C th a mãn u ki n: đừ ế ỏ ề ệ ường ch theo ỉ chi u dề ương c a tr c t a đ ch đ i hủ ụ ọ ộ ỉ ổ ướng t i m có t a đ nguyên G i S ể ọ ộ ọ s c p đố ặ ường ( , )f g cho chúng khơng có m chung ể

Ch ng minh r ng: ứ ằ S C m nn Cm q pq   Cm qq Cm n pn 

Bài

Cho tam giác ABC có O tâm đường tròn ngo i ti p G i H, K, L l n lạ ế ọ ầ ượt chân đường vng góc k t đ nh A, B, C c a tam giác ABC G i Aẻ ỉ ủ ọ 0, B0, C0 l n lầ ượt

trung m c a để ủ ường cao AH, BK, CL Đường tròn n i ti p tâm I c a tam giác ộ ế ủ ABC ti p xúc v i đo n BC, CA, AB l n lế ầ ượ ạt t i D, E, F

Ch ng minh r ng ứ ằ A D B E C F0 , , qua m t m n m độ ể ằ ường th ng ẳ

OI (N u O trùng I coi OI đế ường th ng tùy ý qua O).ẳ Bài

Cho hàm s ố f :    th a mãn đ ng th i u ki n sau:ỏ ồ ờ ề ệ i f 0,0 = , ƒ0,n = v i m i n nguyên khác 0.ớ ọ

ii fm,n = fm1, n   

v i m i s t nhiên m m i s nguyên n.ớ ọ ố ự ọ ố

Ch ng minh r ng t n t i s nguyên dứ ằ ố ương N cho fm,n  = fn,m , m,n≥ N v i ớ n 

Trên c nh c a ủ ABC l y Mấ 1, N1, P1 cho đo n MMạ 1, NN1, PP1 chia đơi chu vi tam giác, M, N, P l n lầ ượt trung m c a BC, CA, AB ể ủ Ch ng minh ứ r ng:ằ

(6)

2 Trong t s ỉ ố , , KA KB KC

BC CA ABcó nh t m t t s không nh h n ấ ộ ỉ ố ỏ ơ

3 . Bài

Cho A t p h p t t c hoán v ậ ợ ấ ả ị a( , , , ,a a a1 a2003) c a 2003 s nguyên dủ ố ương

đ u tiên m i hoán v th a mãn u ki n: khơng có t p S c a A màầ ỗ ị ỏ ề ệ ậ ủ { |a k Sk  }S.

V i m i ỗ a( , , , ,a a a1 a2003)A, kí hi u ệ

2003

2

1

( ) ( k ) k

d a a k



 

1 Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ d a( ), g i giá tr nh nh t ọ ị ỏ ấ d0

2 Tìm t t c hốn v ấ ả ị a A th a mãn ỏ d a( )d0

Bài

Cho n s nguyên dố ương Ch ng minh r ng s ứ ằ ố 2n

(7)

Xét t p h p S g m 2004 s nguyên dậ ợ ố ương phân bi t ệ a a a1, , , ,2 a2003,a2004 có tính

ch t: N u v i m i ấ ế ỗ i 1, 2,3 , 2004, ta ký hi u ệ f a( )i s s th c thu c S nguyênố ố ự ộ

t v i ố ai d a ( ) 2003i f a( )i f a( )j v i m i ọ i j , {1, 2,3, , 2004} Hãy tìm s nguyên dố ương k nh nh t cho m i k – t p c a m t t p S ỏ ấ ỗ ậ ủ ộ ậ tuỳ ý có tính ch t nêu đ u t n t i hai s phân bi t mà ấ ề ố ệ ướ ốc s chung l n nh t ấ c a chúng khác ủ

(k - t p t p có k ph n t ).ậ ậ ầ Bài

Hãy xác đ nh t t c s th c mà ng v i m i , có m t ch m t hàm s f xác ị ấ ả ố ự α ứ ỗ α ộ ỉ ộ ố đ nh t p h p ị ậ ợ , l y giá tr ấ ị  tho mãn h th cả ệ ứ

fx y fy = fx  y v i m i x, y thu c ọ ộ 

Bài

Trong m t ph ng, cho hai đặ ẳ ường tròn ( )O1 ( )O2 c t t i A B Các ti p ắ ế

tuy n t i A B c a đế ủ ường tròn( )O1 c t t i m K Xét m t m M (không ắ ể ộ ể

trùng v i A B) n m đớ ằ ường tròn( )O1 G i P giao m th hai c a đọ ể ứ ủ ường

th ng MA đẳ ường tròn ( )O2 G i C giao m th hai c a đọ ể ứ ủ ường th ng MK ẳ

đường tròn ( )O2 G i Q giao m th hai c a đọ ể ứ ủ ường th ng CA đẳ ường tròn

2

( )O Ch ng minh r ng: ứ ằ

1) Trung m c a đo n th ng P Q n m để ủ ẳ ằ ường th ng MC ẳ

2) Đường th ng PQ qua m t m c đ nh M di đ ng đẳ ộ ể ố ị ộ ường tròn

1

( )O .

(8)

1) T t c s h ng c a dãy s cho đ u s nguyên dấ ả ố ủ ố ề ố ương

2) T n t i vô s s nguyên dồ ố ố ương n cho bi u di n th p phân c a ể ễ ậ ủ xn có b n ố ch s t n 2003 ữ ố ậ

3) Không t n t i s nguyên dồ ố ương n mà bi u di n th p phân c a ể ễ ậ ủ xn có b n ch ố ữ s t n 2004.ố ậ

Bài

Xét l c giác l i ABCDEF G i ụ ọ A B C D E F1, , ,1 1, ,1 l n lầ ượt trung m c a c nh ể ủ

AB, BC, CD, DE, EF, F A Ký hi u p ệ p1 tương ng chu vi c a l c giác ABCDEF ứ ủ ụ

c a l c giác ủ ụ A B C D E F1 1 1 Gi s l c giác ả ụ A B C D E F1 1 1 có t t c góc b ng ấ ả ằ

nhau

Ch ng minh r ng: ứ ằ

3 p p

H i d u đ ng th c x y chi nào?ỏ ấ ẳ ứ ả Bài

Cho S m t t p h p g m m t s s nguyên dộ ậ ợ ộ ố ố ương mà s nh nh t s l n nh t ố ỏ ấ ố ấ S hai s nguyên t V i m i s t nhiên n, ký hi u ố ố ỗ ố ự ệ Sn t p h p ậ ợ g m t t c s t nhiên mà m i s đ u t ng c a nhi u nh t n s (không nh t ấ ả ố ự ỗ ố ề ổ ủ ề ấ ố ấ thi t đôi m t khác nhau) thu c t p S Quy ế ộ ộ ậ ước t ng c a s thu c S G i a ổ ủ ố ộ ọ s l n nh t S ố ấ

Ch ng minh r ng t n t i s nguyên dứ ằ ố ương k s nguyên b cho ố Sn an b v i ớ m i ọ n k

(9)

*Ngày thi th nh t.ứ ấ

Bài Cho tam giác ABC có (I) (O) l n lầ ượt đường tròn n i ti p, ộ ế ngo i ti p ế

G i D, E, F l n lọ ầ ượt ti p m c a (I) c nh BC, CA, AB G i ế ể ủ ọ A, B, C l n ầ lượt đường tròn ti p xúc v i hai đế ường tròn (I) (O) l n lầ ượ ạt t i m D,ể K (v i đớ ường tròn A); t i E, M (v i đạ ường tròn B) t i F, N (v i đạ ường tròn C) Ch ng minh r ng:ứ ằ

1 Các đường th ng ẳ DK EM FN, , đ ng quy t i P.ồ Tr c tâm c a tam giác DEF n m đo n OP.ự ủ ằ

Bài Trên m t vịng trịn có n chi c gh độ ế ế ược đánh s t đ n n Ngố ế ười ta ch n k chi c gh Hai chi c gh đọ ế ế ế ế ược ch n g i k n u hai chi c ọ ọ ề ế ế gh đế ược ch n liên ti p Hãy tính s cách ch n k chi c gh cho gi a hai ọ ế ố ọ ế ế ữ chi c gh k nhau, khơng có h n chi c gh khác.ế ế ề ế ế

Bài Tìm t t c hàm s ấ ả ố f :  th a mãn u ki n:ỏ ề ệ

3 3 3

( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) f x y z  f x  f y  f z

*Ngày thi th hai.ứ

Bài Ch ng minh r ng: ứ ằ

3 3

3

( ) ( ) ( )

a b c

a b  b c  c a  a b c, , s th c dố ự ương

Bài Cho s nguyên tố ốp p  ( 3) Tính:

a) 2 2 p k k k S p p                 

n u ế p 1 (mod 4)

b) 2 p k k S p          

n u ế p 1 (mod8)

(10)

là dãy tăng ng t s nguyên dặ ố ương th a mãn ỏ an nC (C h ng s th c dằ ố ự ương đó)

(11)

* Ngày thi th nh t.ứ ấ

Bài 1.Cho tam giác ABC có H tr c tâm Đự ường phân giác ngồi c a góc BHCủ c t c nh AB, AC l n lắ ầ ượ ạt t i D E Đường phân giác c a góc BAC c t ủ ắ đường tròn ngo i ti p tam giác ADE t i m K Ch ng minh r ng đạ ế ể ứ ằ ường th ng HK ẳ qua trung m c a BC.ể ủ

Bài Hãy tìm t t c c p s t nhiên ấ ả ặ ố ự n k ;  v i n s nguyên không âm ố k s nguyên l n h n cho số ố : A 172006n 4.172n 7.195n

  có th phân tích ể thành tích c a k s nguyên dủ ố ương liên ti p.ế

Bài Trong không gian cho 2006 m mà khơng có m ể ể đ ng ph ng Ngồ ẳ ười ta n i t t c m l i b i đo n th ng S t nhiên m ố ấ ả ể ẳ ố ự g i s t t n u ta có th gán cho m i đo n th ng đo n th ng n i b i ọ ố ố ế ể ỗ ẳ ẳ ố m t s t nhiên không vộ ố ự ượt m cho m i tam giác t o b i ba m b t kì ỗ ể ấ s m đ u có hai c nh đố ể ề ược gán b i hai s b ng c nh ố ằ l i gán b i s l n h n hai s đó.ạ ố ố

Tìm s t t có giá tr nh nh t ố ố ị ỏ ấ * Ngày thi th haiứ

Bài Ch ng minh r ng v i m i s th c ứ ằ ọ ố ự x y z , , [1;2], ta ln có b t đ ng ấ ẳ th sau :

1 1

(x y z)( ) 6( x y z ) x y z y z z x x y

      

   .

H i đ ng th c x y ch nàoỏ ẳ ứ ả ỉ ?

Bài Cho tam giác ABC tam giác nh n, không cân, n i ti p đọ ộ ế ường tròn tâm O bán kính R M t độ ường th ng d thay đ i cho d ln vng góc v i OAẳ ổ c t tia AB, AC G i M, N l n lắ ọ ầ ượt giao m c a để ủ ường th ng d ẳ tia AB, AC Gi s đả ường th ng BN CN c t t i K; gi s đẳ ắ ả ường th ng AK ẳ c t đắ ường th ng BC.ẳ

1 G i P giao c a đọ ủ ường th ng AK đẳ ường th ng BC Ch ng ẳ ứ minh r ng đằ ường tròn ngo i ti p c a tam giác MNP qua m t m c đ nh ế ủ ộ ể ố ị d thay đ i.ổ

(12)

T suy ra: l 4R2 a2 Đ ng th c x y ch nào?ẳ ứ ả ỉ

Bài Cho dãy s th c ố ự ( )an xác đ nh b i:ị

a= 1, a=  a v i m i n = 1, 2, 3, …ớ ọ

(13)

Bài Cho hai t p h p A,B t p h p s nguyên dậ ợ ậ ợ ố ương th a mãnỏ

A B n (v i n s nguyên dớ ố ương) có t ng ph n t b ng Xét b ng ôổ ầ ằ ả

vuông n n

Ch ng minh r ng ta có th n vào m i ô vuông c a b ng m t s nguyên ứ ằ ể ề ỗ ủ ả ộ ố không âm th a mãn đ ng th i u ki n: ỏ ề ệ

i/ T ng c a ph n t m i hàng ph n t c a t p A.ổ ủ ầ ỗ ầ ủ ậ ii/ T ng c a ph n t m i c t ph n t c a t p B.ổ ủ ầ ỗ ộ ầ ủ ậ

iii/ Có nh t ấ (n1)2k s b ng v i k s ph n t chung c a A ố ả ớ ố ầ ử ủ B

Bài Cho tam giác nh n ABC v i đọ ường tròn n i ti p I G i ộ ế ọ ( )ka đường trịn có tâm n m đằ ường cao c a góc A, qua m A ti p xúc v i ủ ể ế đường tròn (I) t i A1 Các m ể B C1, xác đ nh tị ương t ự

1/ Ch ng minh ứ AA BB CC1, 1, đ ng qui t i P.ồ

2/ G i ọ ( ),( ),( )Ja Jb Jc l n lầ ượt đường tròn đ i x ng v i đố ứ ường tròn bàng ti p góc A, B, C c a tam giác ABC qua trung m BC, CA, AB ế ủ ể

Ch ng minh P tâm đ ng phứ ẳ ương c a đủ ường trịn nói

Bài Cho tam giác ABC Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau:ị ỏ ấ ủ ể ứ

2 2 2

2 2

cos cos cos cos cos cos

2 2 2

cos cos cos

2 2

A B B C C A

S

C A B

  

*Ngày thi th hai.ứ

Bài Tìm t t c hàm s liên t c ấ ả ố ụ f :  th a mãn:ỏ

2

( ) ( )

3 x f x f x  

v i m i ọ x  .

Bài Cho A t p ch a 2007 ph n t c a t p:ậ ứ ầ ủ ậ {1, 2, 3, , 4013, 4014} th a mãn v i m i ỏ ọ a b A,  a không chia h t cho b G i mế ọ

A ph n t nh nh t ầ ỏ ấ

(14)

Tìm giá tr nh nh t c a mị ỏ ấ ủ A v i A th a mãn u ki n trên.ớ ỏ ề ệ

Bài Cho đa giác c nh đ u (H) Xét ba tam giác v i đ nh đ nh c aạ ề ỉ ỉ ủ đa giác (H) cho cho khơng có hai tam giác có chung đ nh.ỉ

(15)

Bài Trong m t ph ng cho góc xOy G i M, N l n lặ ẳ ọ ầ ượt hai m l n lể ầ ượt n m tia Ox, Oy G i d đằ ọ ường phân giác góc ngồi c a góc xOy I giao ủ m c a trung tr c MN v i để ủ ự ường th ng d G i P, Q hai m phân bi t n m trênẳ ọ ể ệ ằ đường th ng d choẳ IM IN IP IQ , gi s K giao m c a MQ NP ả ử ể ủ

1 Ch ng minh r ng K n m m t đứ ằ ằ ộ ường th ng c đ nh.ẳ ố ị

2 G i dọ đường th ng vng góc v i IM t i M dẳ đường th ng vng góc ẳ

v i IN t i N Gi s đớ ả ường th ng dẳ 1, d2 c t đắ ường th ng d t i E, F Ch ng minh ẳ ứ

r ng đằ ường th ng EN, FM OK đ ng quy.ẳ

Bài Hãy xác đ nh t t c s nguyên dị ấ ả ố ương m cho t n t i đa th c ứ v i h s th c ệ ố ự P x Q x R x y( ), ( ), ( , )th a mãn u ki n: ỏ ề ệ

V i m i s th c a, b mà ọ ố ự am b2

  , ta ln có P R a b( ( , ))a Q R a b( ( , ))b. Bài Cho s nguyên n > Kí hi u T t p h p g m n s nguyên dố ệ ậ ợ ố ương đ u ầ tiên

M t t p S c a T độ ậ ủ ượ ọc g i t p khuy t T n u S có tính ch t: T n t i s ậ ế ế ấ ố

nguyên dương c không vượt n

cho v i s s1, 2là hai s b t kì thu c S ta ln ố ấ ộ

có s1 s2 c

H i t p khuy t T có th có t i đa ph n t ?ỏ ậ ế ể ố ầ *Ngày thi th hai.ứ

Bài Cho m, n s nguyên dố ương Ch ng minh r ng ứ ằ (2m 3)n1chia h tế cho 6m ch ỉ 3n

 chia h t cho 4m.ế

Bài Cho tam giác ABC nh n, khơng cân có O tâm đọ ường trịn ngo i ti p ế G i AD, BE, CF đọ ường phân giác c a tam giác Trên đủ ường th ng AD, ẳ

BE, CF l n lầ ượ ất l y m L, M, N cho ể

AL BM CN

k

AD BE CF  (k m t h ng s ộ ằ ố dương)

G i (Oọ 1), (O2), (O3) l n lầ ượt đường tròn qua L, ti p xúc v i OA t i Aế ; qua

M, ti p xúc v i OB t i B qua N, ti p xúc v i OC t i C ế ế

1 Ch ng minh r ng v i ứ ằ k 

, ba đường trịn (O1), (O2), (O3) có hai m ể

(16)

2 Tìm t t c giá tr k cho đấ ả ị ường trịn (O1), (O2), (O3) có hai m ể

chung

Bài Kí hi u M t p h p g m 2008 s nguyên dệ ậ ợ ố ương đ u tiên Tô t t c ầ ấ ả s thu c M b i ba màu xanh, vàng, đ cho m i s đố ộ ỏ ỗ ố ược tô b i m t màu ộ m i màu đ u đỗ ề ược dùng đ tơ nh t m t s Xét t p h p sau:ể ấ ộ ố ậ ợ

3 {( , , ) ,

S  x y z M trong x, y, z có màu (x y z  ) 0 (mod 2008)} ;

3 {( , , ) ,

S  x y z M trong x, y, z đôi m t khác màu vàộ (x y z  ) 0 (mod 2008)} .

(17)

Bài Cho tam giác nh n ABC n i ti p đọ ộ ế ường tròn (O) G i ọ A B C1, , 1 1 và 2, , 2

A B C l n lầ ượt chân đường cao c a tam giác ABC h t đ nh A, B, C ủ ạ ừ ỉ

các m đ i x ng v i ể ố ứ A B C1, , 1 1qua trung m c a c nh ể ủ BC CA AB, , G iọ 3, , 3

A B C l n lầ ượt giao m c a để ủ ường tròn ngo i ti p tam giácạ ế

2 2, 2, 2

AB C BC A CA B v i (O).ớ

Ch ng minh r ng: ứ ằ A A B B C C1 3, 3, đ ng quy.ồ

Bài Cho đa th c ứ P x( )rx3qx2px1 p q r, , s th c vàố ự 0

r 

Xét dãy s ố  an xác đ nh nh sau: ị ư

2

1

3

1, ,

, 0

n n n n

a a p a p q

a p a  q a r a n

            

Ch ng minh r ng: n u đa th c ứ ằ ế ứ P x( ) có m t nghi m th c nh t không ộ ệ ự ấ

có nghi m b i dãy s ệ ộ ố  an có vơ s s âm.ố ố

Bài Cho s nguyên dố ương a b, cho a b, ab đ u không ph i ề ả s phố ương Ch ng minh r ng hai phứ ằ ương trình sau:

2 2 1 ax by ax by    

có nh t m t phấ ộ ương trình khơng có nghi m nguyên dệ ương *Ngày thi th hai.ứ

Bài Tìm t t c s th c r cho b t đ ng th c sau v i m i a, b, cấ ả ố ự ấ ẳ ứ ọ dươ :ng

3

1

a b c

r r r r

b c c a a b

       

    

       

  

       

Bài Cho đường trịn (O) có đường kính AB M m t m b t kì n m ộ ể ấ ằ (O), M không n m AB G i N giao m c a phân giác góc M c a ằ ọ ể ủ ủ tam giác AMB v i đớ ường trịn (O) Đường phân giác ngồi góc AMB c t đắ ường th ng NA, NB l n lẳ ầ ượ ạt t i P, Q Đường th ng MA c t đẳ ắ ường trịn đường kính NQ t i R, đường th ng MB c t đẳ ắ ường trịn đường kính NP t i S R, S khác M

(18)

Bài M t h i ngh toán h c có t t c ộ ộ ị ọ ấ ả 4n  nhà toán h c ph i h p v i ọ ả ọ 1n  l n ầ n 1 M i l n h p, h ng i quanh m t bàn ch n ỗ ầ ọ ọ ộ ỗ bàn ch , v trí ng i chia đ u kh p m i bàn Bi t r ng hai nhà toán h c ỗ ị ề ắ ỗ ế ằ ọ ng i c nh ho c đ i di n m t cu c h p khơng đồ ặ ố ệ ộ ộ ọ ược ng i c nh ho c đ i di n m t cu c h p khác.ặ ố ệ ộ ộ ọ

a/ Ch ng minh r ng Ban t ch c có th x p đứ ằ ổ ứ ể ế ược ch ng i n u ỗ ế n  1.

b/ H i r ng Ban t ch c có th s p x p đỏ ằ ổ ứ ể ắ ế ược ch ng i đỗ ược hay không v i m iớ ọ 1

(19)

* Ngày thi th nh t.ứ ấ

Bài Cho tam giác ABC khơng vng t i A có đạ ường trung n AM G i D ế ọ m t m di đ ng độ ể ộ ường th ng AM G i ẳ ọ ( ), ( )O1 O2 đường tròn qua

D, ti p xúc v i BC l n lế ầ ượ ạt t i B C G i P, Q l n lọ ầ ượt giao m c a để ủ ường

th ng AB v i đẳ ường tròn ( )O1 , đường th ng AC v i đẳ ường tròn ( )O2 Ch ng minh ứ

r ng:ằ

1 Ti p n t i P c a ế ế ủ ( )O1 ti p n t i Q c aế ế ủ ( )O2 ph i c t t i m t ả ắ ộ

đi m ể

G i giao m S.ọ ể

2 Đi m S di chuy n m t để ể ộ ường th ng c đ nh D di đ ng AM.ẳ ố ị ộ Bài V i m i s n nguyên dớ ỗ ố ương, xét t p h p sau : ậ ợ

11( ) 10( k h) |1 , 10

n

T  k h  n n k h

Tìm t t c giá tr c a n cho không t n t i ấ ả ị ủ a b T a b,  n;  cho (a b )chia h t ế cho 110

Bài G i m t hình ch nh t có kích thọ ộ ữ ậ ước 2 hình ch nh t đ n m t ữ ậ ộ hình ch nh t có kích thữ ậ ước2 3 , b góc chéo (t c có vng ỏ ở ứ nh ) hình ch nh t kép Ngỏ ữ ậ ười ta ghép khít hình ch nh t đ n hình ch ữ ậ ữ nh t kép l i v i đậ ược m t b ng hình ch nh t có kích thộ ả ữ ậ ước là2008 2010 . Tìm s bé nh t hình ch nh t đ n có th dùng đ ghép.ố ấ ữ ậ ể ể

* Ngày thi th hai.ứ

Bài Cho a b c, , s th c dố ự ương th a mãn u ki n:ỏ ề ệ 1

16(a b c)

a b c     

Ch ng minh r ng:ứ ằ

3 3

1 1

(20)

Bài 5: Trong m t h i ngh có n nộ ộ ị ước tham gia, m i nỗ ước có k đ i di nạ ệ

n k 1 Người ta chia n k. người thành n nhóm, m i nhóm có k ngỗ ười cho

khơng có hai người nhóm đ n t m t nế ộ ước

Ch ng minh r ng có th ch n m t nhóm g m n ngứ ằ ể ọ ộ ười cho h thu c ọ ộ nhóm khác đ n t nế ước khác

Bài 6: G i ọ Sn t ng bình phổ ương h s khai tri n c a nh th cệ ố ể ủ ị ứ (1 x)n

 , n s nguyên dố ương; x s th c b t kì.ố ự ấ