10 năm đề THI CHỌN đội TUYỂN IMO

10 năm đề chọn đội tuyển IMO 10 năm đề chọn đội tuyển IMO 10 năm đề chọn đội tuyển IMO 10 năm đề chọn đội tuyển IMO 10 năm đề chọn đội tuyển IMO 10 năm đề chọn đội tuyển IMO 10 năm đề chọn đội tuyển IMO 10 năm đề chọn đội tuyển IMO 10 năm đề chọn đội tuyển IMO 10 năm đề chọn đội tuyển IMO 10 năm đề chọn đội tuyển IMO

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2001 *Ngày thi thứ Bài Cho dãy số nguyên (an ), n  xác định a0  1, an  an1  a n  với n  3   Chứng minh với số nguyên tố p  13 , tồn vô số số nguyên dương k thỏa mãn ak chia hết cho p Bài Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A B Gọi PT hai tiếp tuyến chung đường tròn (P, T tiếp điểm) Tiếp tuyến P T đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt S Gọi H điểm đối xứng với B qua PT Chứng minh A, S, H thẳng hàng Bài Một câu lạc có 42 thành viên cho 31 thành viên bất kì, ln tồn cặp nam nữ quen biết Chứng minh chọn 12 cặp nam nữ đơi khác có quen biết từ câu lạc *Ngày thi thứ hai Bài Xét số thực dương thỏa mãn điều kiện 21ab  2bc  8ca  12 a b c Tìm giá trị nhỏ P(a, b, c)    Bài Cho số nguyên dương n lớn Trong khơng gian vng góc Oxyz , gọi T tập hợp tất điểm có tọa độ ( x, y, z ) với x, y, z số nguyên dương thỏa mãn  x, y, z  n Tô màu tất điểm thuộc tập hợp T cho: điểm A( x0 , y0 , z0 ) tơ màu điểm có dạng B( x1 , y1 , z1 ) với x1  x0 , y1  y0 , z1  z0 không tơ màu Tìm giá trị lớn điểm tô màu thỏa mãn điều kiện Bài Cho dãy {an }, n  thỏa mãn điều kiện  an1  an  2001 với n nguyên dương Chứng minh tồn vô số cặp số nguyên dương ( p, q) thỏa mãn p  q a p ước nguyên dương aq ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2002 *Ngày thi thứ Bài Tìm tất tam giác ABC có C góc nhọn đường trung trực đoạn thẳng BC cắt tia Ax Ay, tia chia góc BAC thành ba phần ( BAx  xAy  yAC ) điểm M N thoả mãn AB  NP  2HM , H hình chiếu vng góc A C M trung điểm đoạn thẳng BC Bài Người ta ghi lên bảng số nguyên dương N Hai người A B chơi trò chơi trò   N0     Tiếp theo người B   chơi sau: Người A xoá số N ghi lên bảng số N1   N0  1;     N1    Đến lượt người A lại thực    xoá số N ghi lên bảng số N   N1  1;   phép toán N2 , N3 , Trò chơi tiếp tục bảng xuất số Người ghi số coi thắng cuộc, người lại bị coi thua Hỏi ai, người A hay người B, người có cách chơi để chắn thắng nếu: 1) N0  120 ? 2) N  3) N  32002  ? 32002  ? Bài Cho số nguyên dương m có ước nguyên tố lớn 2m  Hãy tìm số nguyên dương M nhỏ cho tồn tập hợp gồm hữu hạn số nguyên dương đôi khác thoả mãn đồng thời điều kiện sau: i) m M tương ứng số nhỏ số lớn T ii) Tích tất số thuộc T số phương *Ngày thi thứ hai Bài Cho số nguyên dương n  cho bảng vng kích thước n  2n (bảng gồm n hàng 2n cột) Người ta đánh dấu cách ngẫu nhiên n ô vuông bảng n Chứng minh với số nguyên k mà  k     , tồn k hàng cho 2 bảng vng kích thước k  2n , tạo nên từ k hàng đó, có khơng k !(n  2k  2) cột gồm ô đánh dấu (n  k  1)(n  k  2) (n  1) Bài Hãy tìm tất đa thức P( x) với hệ số nguyên cho đa thức sau Q( x)  ( x2  x  10) P2 ( x) 1 bình phương đa thức với hệ số nguyên Bài Chứng minh tồn số nguyên m  2002 m số nguyên dương đôi khác a1 , a2 , a3 , , am1 , am cho số m m i 1 i 1  ai2  4 ai2 số phương ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2003 *Ngày thi thứ Bài Trong mặt phẳng tọa độ, cho bốn điểm phân biệt A(0,0), B( p,0), C (m, q ), D(m, n) với m, n, p, q bốn số nguyên dương thỏa mãn p  m n  q Xét đường f từ A đến D đường G từ B đến C thỏa mãn điều kiện: đường theo chiều dương trục tọa độ đổi hướng điểm có tọa độ nguyên Gọi S số cặp đường ( f , g ) cho chúng khơng có điểm chung Chứng minh rằng: S  Cmn n Cmq q p  Cmq q Cmn n p Bài Cho tam giác ABC có O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi H, K, L chân đường vng góc kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Gọi A0, B0, C0 trung điểm đường cao AH, BK, CL Đường tròn nội tiếp tâm I tam giác ABC tiếp xúc với đoạn BC, CA, AB D, E, F Chứng minh A0 D, B0 E, C0 F qua điểm nằm đường thẳng OI (Nếu O trùng I coi OI đường thẳng tùy ý qua O) Bài Cho hàm số f :   thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i f 0,0 = 52005 , ƒ0,n = với n nguyên khác fm1,n fm1,n1 fm1,n1      ii fm,n = fm1, n   2       với số tự nhiên m số nguyên n Chứng minh tồn số nguyên dương N cho fm,n  = fn,m , m,n≥ N với n  *Ngày thi thứ hai Bài Trên cạnh ABC lấy M1, N1, P1 cho đoạn MM1, NN1, PP1 chia đôi chu vi tam giác, M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh rằng: Các đường thẳng MM1, NN1, PP1 đồng quy điểm Gọi điểm K Trong tỉ số KA KB KC có tỉ số khơng nhỏ , , BC CA AB Bài Cho A tập hợp tất hoán vị a  (a1 , a2 , a3 , , a2003 ) 2003 số nguyên dương hốn vị thỏa mãn điều kiện: khơng có tập S A mà {ak | k  S}  S 2003 Với a  (a1 , a2 , a3 , , a2003 )  A , kí hiệu d (a)   (ak  k )2 k 1 Tìm giá trị nhỏ d (a) , gọi giá trị nhỏ d Tìm tất hốn vị a  A thỏa mãn d (a)  d0 Bài Cho n số nguyên dương Chứng minh số 2n  khơng có ước ngun tố có dạng 8k  với k số nguyên dương ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2004 *Ngày thi thứ Bài Xét tập hợp S gồm 2004 số nguyên dương phân biệt a1 , a2 , a3 , , a2003 , a2004 có tính chất: Nếu với i  1, 2,3 , 2004 , ta ký hiệu f (ai ) số số thực thuộc S nguyên tố với d (ai )  2003 f (ai )  f (a j ) với i, j {1, 2,3, , 2004} Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho k – tập tập S tuỳ ý có tính chất nêu tồn hai số phân biệt mà ước số chung lớn chúng khác (k - tập tập có k phần tử) Bài Hãy xác định tất số thực α mà ứng với α, có hàm số f xác định tập hợp , lấy giá trị thoả mãn hệ thức fx2 y fy = f2x  y với x, y thuộc Bài Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt A B Các tiếp tuyến A B đường tròn (O1 ) cắt điểm K Xét điểm M (không trùng với A B) nằm đường tròn (O1 ) Gọi P giao điểm thứ hai đường thẳng MA đường tròn (O2 ) Gọi C giao điểm thứ hai đường thẳng MK đường tròn (O2 ) Gọi Q giao điểm thứ hai đường thẳng CA đường tròn (O2 ) Chứng minh rằng: 1) Trung điểm đoạn thẳng P Q nằm đường thẳng MC 2) Đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường tròn (O1 ) *Ngày thi thứ hai Bài Cho dãy số  xn, n= 1,2,3… xác định x1 = 603, x2 = 102, xn2 = xn1 xn xn1.xn2 với n  Chứng minh 1) Tất số hạng dãy số cho số nguyên dương 2) Tồn vô số số nguyên dương n cho biểu diễn thập phân xn có bốn chữ số tận 2003 3) Không tồn số nguyên dương n mà biểu diễn thập phân xn có bốn chữ số tận 2004 Bài Xét lục giác lồi ABCDEF Gọi A1 , B1 , C1 , D1 , E1 , F1 trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, F A Ký hiệu p p1 tương ứng chu vi lục giác ABCDEF lục giác A1B1C1D1E1F1 Giả sử lục giác A1B1C1D1E1F1 có tất góc Chứng minh rằng: p  p1 Hỏi dấu đẳng thức xảy chi nào? Bài Cho S tập hợp gồm số số nguyên dương mà số nhỏ số lớn S hai số nguyên tố Với số tự nhiên n, ký hiệu S n tập hợp gồm tất số tự nhiên mà số tổng nhiều n số (không thiết đôi khác nhau) thuộc tập S Quy ước tổng số thuộc S Gọi a số lớn S Chứng minh tồn số nguyên dương k số nguyên b cho Sn  an  b với n  k ( X ký hiệu số phần tử tập hợp X) ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2005 *Ngày thi thứ Bài Cho tam giác ABC có (I) (O) đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp Gọi D, E, F tiếp điểm (I) cạnh BC, CA, AB Gọi A , B , C đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn (I) (O) điểm D, K (với đường tròn  A ); E, M (với đường tròn B ) F, N (với đường tròn C ) Chứng minh rằng: Các đường thẳng DK , EM , FN đồng quy P Trực tâm tam giác DEF nằm đoạn OP Bài Trên vòng tròn có n ghế đánh số từ đến n Người ta chọn k ghế Hai ghế chọn gọi kề hai ghế chọn liên tiếp Hãy tính số cách chọn k ghế cho hai ghế kề nhau, khơng có ghế khác Bài Tìm tất hàm số f :  thỏa mãn điều kiện: f ( x3  y3  z )  ( f ( x))3  ( f ( y))3  ( f ( z ))3 *Ngày thi thứ hai Bài Chứng minh rằng: a3 b3 c3    3 (a  b) (b  c) (c  a) a, b, c số thực dương Bài Cho số nguyên tố p ( p  3) Tính: a) S  b) S  p 1  2k  k2       p  p  (mod 4) k 1  p    p 1 k2     p  (mod8) k 1  p  Bài Một số nguyên dương gọi “số kim cương 2005” biểu diễn thập phân có 2005 số đứng cạnh liên tiếp Dãy  an  , n  1, 2,3, dãy tăng ngặt số nguyên dương thỏa mãn an  nC (C số thực dương đó) Chứng minh dãy số  an  , n  1, 2,3, chứa vô hạn “số kim cương 2005” 10 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2006 * Ngày thi thứ Bài Cho tam giác ABC có H trực tâm Đường phân giác ngồi góc BHC cắt cạnh AB, AC D E Đường phân giác góc BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE điểm K Chứng minh đường thẳng HK qua trung điểm BC Bài Hãy tìm tất cặp số tự nhiên  n ; k  với n số nguyên không âm k số nguyên lớn cho số : A  172006 n  4.172 n  7.195n phân tích thành tích k số nguyên dương liên tiếp Bài Trong khơng gian cho 2006 điểm mà khơng có điểm đồng phẳng Người ta nối tất điểm lại đoạn thẳng Số tự nhiên m gọi số tốt ta gán cho đoạn thẳng đoạn thẳng nối số tự nhiên không vượt m cho tam giác tạo ba điểm số điểm có hai cạnh gán hai số cạnh lại gán số lớn hai số Tìm số tốt có giá trị nhỏ * Ngày thi thứ hai Bài Chứng minh với số thực x, y, z [1; 2] , ta ln có bất đẳng thức sau : 1 x y z ( x  y  z )(   )  6(   ) x y z yz zx x y Hỏi đẳng thức xảy ? Bài Cho tam giác ABC tam giác nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Một đường thẳng d thay đổi cho d vuông góc với OA ln cắt tia AB, AC Gọi M, N giao điểm đường thẳng d tia AB, AC Giả sử đường thẳng BN CN cắt K; giả sử đường thẳng AK cắt đường thẳng BC Gọi P giao đường thẳng AK đường thẳng BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định d thay đổi Gọi H trực tâm tam giác AMN Đặt BC = a l khoảng cách từ điểm A đến HK Chứng minh đường thẳng HK qua trực tâm tam giác ABC Từ suy ra: l  4R  a Đẳng thức xảy nào? 11 Bài Cho dãy số thực (an ) xác định bởi: 1 a0= 1, an1=  an với n = 1, 2, 3, … 3an Chứng minh với số nguyên n, số An= số phương 3an1 có n ước ngun tố phân biệt 12 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2007 *Ngày thi thứ Bài Cho hai tập hợp A,B tập hợp số nguyên dương thỏa mãn A  B  n (với n số nguyên dương) có tổng phần tử Xét bảng ô vuông n  n Chứng minh ta điền vào ô vuông bảng số nguyên không âm thỏa mãn đồng thời điều kiện: i/ Tổng phần tử hàng phần tử tập A ii/ Tổng phần tử cột phần tử tập B iii/ Có (n  1)2  k số bảng với k số phần tử chung A B Bài Cho tam giác nhọn ABC với đường tròn nội tiếp I Gọi (ka ) đường tròn có tâm nằm đường cao góc A, qua điểm A tiếp xúc với đường tròn (I) A1 Các điểm B1 , C1 xác định tương tự 1/ Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng qui P 2/ Gọi ( J a ),( J b ),( J c ) đường tròn đối xứng với đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tam giác ABC qua trung điểm BC, CA, AB Chứng minh P tâm đẳng phương đường tròn nói Bài Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: S A B B C C A cos cos cos2 cos2 cos2 2 2  2 C A B cos cos cos 2 2 cos *Ngày thi thứ hai Bài Tìm tất hàm số liên tục f : f ( x)  f ( x   thỏa mãn: x  ) với x  Bài Cho A tập chứa 2007 phần tử tập: {1, 2, 3, , 4013, 4014} thỏa mãn với a, b  A a không chia hết cho b Gọi mA phần tử nhỏ A Tìm giá trị nhỏ mA với A thỏa mãn điều kiện Bài Cho đa giác cạnh (H) Xét ba tam giác với đỉnh đỉnh 13 đa giác (H) cho cho khơng có hai tam giác có chung đỉnh Chứng minh chọn từ tam giác cạnh cho cạnh 14 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2008 *Ngày thi thứ Bài Trong mặt phẳng cho góc xOy Gọi M, N hai điểm nằm tia Ox, Oy Gọi d đường phân giác góc ngồi góc xOy I giao điểm trung trực MN với đường thẳng d Gọi P, Q hai điểm phân biệt nằm đường thẳng d cho IM  IN  IP  IQ , giả sử K giao điểm MQ NP Chứng minh K nằm đường thẳng cố định Gọi d1 đường thẳng vng góc với IM M d2 đường thẳng vng góc với IN N Giả sử đường thẳng d1, d2 cắt đường thẳng d E, F Chứng minh đường thẳng EN, FM OK đồng quy Bài Hãy xác định tất số nguyên dương m cho tồn đa thức với hệ số thực P( x), Q( x), R( x, y) thỏa mãn điều kiện: Với số thực a, b mà am  b2  , ta ln có P( R(a, b))  a Q( R(a, b))  b Bài Cho số nguyên n > Kí hiệu T tập hợp gồm n số nguyên dương Một tập S T gọi tập khuyết T S có tính chất: Tồn số ngun dương c không vượt n cho với s1 , s2 hai số thuộc S ta ln có s1  s2  c Hỏi tập khuyết T có tối đa phần tử ? *Ngày thi thứ hai Bài Cho m, n số nguyên dương Chứng minh (2m  3)n  chia hết cho 6m 3n  chia hết cho 4m Bài Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân có O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi AD, BE, CF đường phân giác tam giác Trên đường thẳng AD, BE, CF lấy điểm L, M, N cho AL BM CN    k (k số AD BE CF dương) Gọi (O1), (O2), (O3) đường tròn qua L, tiếp xúc với OA A ; qua M, tiếp xúc với OB B qua N, tiếp xúc với OC C Chứng minh với k  , ba đường tròn (O1), (O2), (O3) có hai điểm chung đường thẳng nối hai điểm chung qua trọng tâm tam giác ABC Tìm tất giá trị k cho đường tròn (O1), (O2), (O3) có hai điểm chung 15 Bài Kí hiệu M tập hợp gồm 2008 số nguyên dương Tô tất số thuộc M ba màu xanh, vàng, đỏ cho số tô màu màu dùng để tơ số Xét tập hợp sau: S1  {( x, y, z)  M , x, y, z có màu ( x  y  z)  (mod 2008)} ; S2  {( x, y, z)  M , x, y, z đơi khác màu ( x  y  z)  (mod 2008)} Chứng minh S1  S2 (Kí hiệu M tích Đề - M  M  M ) 16 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2009 *Ngày thi thứ Bài Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi A1 , B1 , C1 A2 , B2 , C2 chân đường cao tam giác ABC hạ từ đỉnh A, B, C điểm đối xứng với A1 , B1 , C1 qua trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi A3 , B3 , C3 giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB2C2 , BC2 A2 , CA2 B2 với (O) Chứng minh rằng: A1 A3 , B1B3 , C1C3 đồng quy Bài Cho đa thức P( x)  rx3  qx2  px  p, q, r số thực r  Xét dãy số  an  xác định sau:  a1  1, a2   p, a3  p  q   an 3   p.an   q.an 1  r.an , n  Chứng minh rằng: đa thức P( x) có nghiệm thực khơng có nghiệm bội dãy số  an  có vơ số số âm Bài Cho số nguyên dương a, b cho a, b ab khơng phải số phương Chứng minh hai phương trình sau: ax  by  ax  by  1 có phương trình khơng có nghiệm nguyên dương *Ngày thi thứ hai Bài Tìm tất số thực r cho bất đẳng thức sau với a, b, c dương: a  b  c   1  r   r   r    r   b  c  c  a  ab  2  Bài Cho đường tròn (O) có đường kính AB M điểm nằm (O), M khơng nằm AB Gọi N giao điểm phân giác góc M tam giác AMB với đường tròn (O) Đường phân giác ngồi góc AMB cắt đường thẳng NA, NB P, Q Đường thẳng MA cắt đường tròn đường kính NQ R, đường thẳng MB cắt đường tròn đường kính NP S R, S khác M Chứng minh rằng: đường trung tuyến ứng với đỉnh N tam giác NRS qua điểm cố định M di động phía đường tròn 17 Bài Một hội nghị tốn học có tất 6n  nhà toán học phải họp với 2n  lần  n  1 Mỗi lần họp, họ ngồi quanh bàn chỗ n bàn chỗ, vị trí ngồi chia khắp bàn Biết hai nhà toán học ngồi cạnh đối diện họp khơng ngồi cạnh đối diện họp khác a/ Chứng minh Ban tổ chức xếp chỗ ngồi n  b/ Hỏi Ban tổ chức xếp chỗ ngồi hay không với n  1? 18 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2010 * Ngày thi thứ Bài Cho tam giác ABC khơng vng A có đường trung tuyến AM Gọi D điểm di động đường thẳng AM Gọi (O1 ), (O2 ) đường tròn qua D, tiếp xúc với BC B C Gọi P, Q giao điểm đường thẳng AB với đường tròn (O1 ) , đường thẳng AC với đường tròn (O2 ) Chứng minh rằng: Tiếp tuyến P (O1 ) tiếp tuyến Q (O2 ) phải cắt điểm Gọi giao điểm S Điểm S ln di chuyển đường thẳng cố định D di động AM Bài Với số n nguyên dương, xét tập hợp sau : Tn  11(k  h)  10(nk  nh ) |1  k , h  10 Tìm tất giá trị n cho không tồn a, b  Tn ; a  b cho (a  b) chia hết cho 110 Bài Gọi hình chữ nhật có kích thước 1 hình chữ nhật đơn hình chữ nhật có kích thước  , bỏ góc chéo (tức có vng nhỏ) hình chữ nhật kép Người ta ghép khít hình chữ nhật đơn hình chữ nhật kép lại với bảng hình chữ nhật có kích thước 2008  2010 Tìm số bé hình chữ nhật đơn dùng để ghép * Ngày thi thứ hai Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện: 16(a  b  c)  1   a b c Chứng minh rằng: 1    3 (a  b  2(a  c)) (b  c  2(b  a)) (c  a  2(c  b)) Hỏi đẳng thức xảy nào? Bài 5: Trong hội nghị có n nước tham gia, nước có k đại diện  n  k  1 Người ta chia n.k người thành n nhóm, nhóm có k người cho khơng có hai người nhóm đến từ nước 19 Chứng minh chọn nhóm gồm n người cho họ thuộc nhóm khác đến từ nước khác Bài 6: Gọi S n tổng bình phương hệ số khai triển nhị thức (1  x)n , n số nguyên dương; x số thực Chứng minh rằng: S2n  không chia hết cho với n 20 ... Chứng minh dãy số  an  , n  1, 2,3, chứa vô hạn “số kim cương 2005” 10 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2006 * Ngày thi thứ Bài Cho tam giác ABC có H trực tâm Đường phân giác ngồi góc... cho cho khơng có hai tam giác có chung đỉnh Chứng minh chọn từ tam giác cạnh cho cạnh 14 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2008 *Ngày thi thứ Bài Trong mặt phẳng cho góc xOy Gọi M, N hai... y  z)  (mod 2008)} Chứng minh S1  S2 (Kí hiệu M tích Đề - M  M  M ) 16 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2009 *Ngày thi thứ Bài Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi