Đề thi HSG Toán NH 2005-2006

PGD huyện Long Điền Trường THCS Phước Tỉnh ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2005-2006 Ngày thi 20 tháng 01 năm 2006, thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,5 điểm) Chứng minh rằng tổng các lũy thừa ba của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9 HD chấm: Gọi M = (a-1) 3 + a 3 + (a+1) 3 với a nguyên, ta có M = a 3 – 3a 2 +3a -1 +a 3 +a 3 + 3a 2 +3a + 1 = 3a(a 2 + 2). Nếu a chia hết cho 3 thì M chia hết cho 9, nếu a không chia hết cho 3 thì a chia cho 3 còn dư 1 hoặc dư 2 ⇒ a 2 + 2 chia hết cho 3 ⇒ M chia hết cho 9 (2,5 điểm) Bài 2: (3 điểm) HD chấm: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin 1 1 ) 1 (1,5 ) ) / :1 cot (1,5 ) cos cos cos cos sin x x x x a tg x d b C mtuong tu g x d x x x x x + + = + = = + = Bài 3 : (4,5 điểm) a) Cho hai số M và N như sau : M = 2005 + 2007 và N = 2 2006 Số nào lớn hơn ? (2 điểm) b) Cho A = (4+ 15 )( 10 - 6 ) 154 − chứng minh A là số hữu tỉ. (2,5 điểm) HD chấm:(Bài 3) : a) Vì hai số đều dương nên bình phương M và N dẫn tới so sánh số 2007.2005 với số 2006; mà 2007.2005 = 12006 2 − < 2006 => M < N (2 điểm). Học sinh có thể c/m bằng cách khác hoặc c/m khái quát a + 2 + a < 2 1 + a với mọi a ≥ 1. b) Có thể khai căn 154 − chú ý là 4 ± 15 = 2 1 (8 ± 2 15 ) = 2 1 ( 5 ± 3 ) 2 hoặc có thể đưa 4 + 15 vào bên trong 154 − để được A = ( 10 - 6 ) 154 + kết quả A = 2 (2,5 điểm) Bài 4: (4 điểm) AB và CD là 2 dây cung vuông góc nhau tại E bên trong đường tròn (O, R) a) Chứng minh rằng: EA 2 + EB 2 + EC 2 + ED 2 = 4R 2 (2 điểm) b) Gọi M là trung điểm của AC; chứng minh EM vuông góc với BD (2 điểm) HD chấm: a) Vẽ đường kính AOF suy ra góc ABF = 1 vuông ⇒ BF // CD ⇒ CB = DF x xgb x xtga 2 2 2 2 sin 1 cot1) cos 1 1) =+=+ p dụng đlý Pi-ta-go: EB 2 + EC 2 = BC 2 = DF 2 EA 2 + ED 2 = AD 2 ⇒ EA 2 + EB 2 + EC 2 + ED 2 = DF 2 + AD 2 = AF 2 = 4R 2 b) Ta có ∠E 3 = ∠A = ∠D ⇒ ∠D = ∠E 3 và ∠E 1 = ∠E 2 mà ∠E 3 + ∠E 2 = 1 vuông ⇒ ∠D + ∠E 1 = 1 vuông ⇒ ĐPCM Bài 5: (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, vẽ hai tia song song Ax, By và ở cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB. Một góc vuông COD quay quanh O; hai cạnh góc vuông cắt Ax và By lần lượt tại C và D. a) Chứng minh CD = AC + BD (2 điểm) b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. Gọi tiếp điểm là M (2 điểm) c) AM cắt OC tại E, BM cắt OD tại F. Tìm tập hợp trung điểm I của EF (2 điểm) HD chấm: a) Gọi N là trung điểm của CD; suy ra ON vừa là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông OCD vừa là đường trung bình của hình thang vuông ACDB ⇒ ĐPCM (1,5 điểm) b) Vẽ OM vuông góc với CD, chứng minh OM = OB = OA: xét 2 tam giác vuông MOD và BOD có ∠D 2 = ∠O 3 (so le trong) mà ∠D 1 = ∠O 3 (do tam giác NOD cân tại N) ⇒ ∠D 1 = ∠D 2 ; lại có cạnh huyền OD chung ⇒ ∆ vuông MOD = ∆ vuông BOD ⇒ OM = OB = OA và ∠OMD = ∠OBD = 1 vuông ⇒ ĐPCM (2 điểm) c) * Thuận: C/m được tứ giác OEMF là hình chữ nhật, suy ra I là trung điểm của OM rồi suy ra I thuộc nửa đường tròn tâm O bán kính R/2 * Đảo: Lấy I’ thuộc nửa đường tròn tâm O bán kính R/2; OI’ cắt (O, R) tại M’, tiếp tuyến của (O,R) tại M’ cắt Ax tại C’, cắt By tại D’. OC’ cắt AM’ tại E’; OD’ cắt BM’ tại F’. C/m được I’ là trung điểm của E’F’ rồi kết luận quỹ tích đúng (1,5 điểm) (HS làm cách khác nếu đúng vẫn tròn điểm) -------------------------------- GV ra đề: Nguyễn Văn Thế . Phước T nh ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2005-2006 Ngày thi 20 tháng 01 năm 2006, thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề) Bài 1:. quanh O; hai c nh góc vuông cắt Ax và By lần lượt tại C và D. a) Chứng minh CD = AC + BD (2 điểm) b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính