Một kĩ thuật nhỏ nhưng mạnh để cm bđt

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN VÀ PHƯƠNG PHÁP CÁT TUYẾN TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ý tưởng Khi gặp tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức mà ta đưa “hàm đặc trưng đề cho sẵn hàm đặc trưng” , ta nghĩ đến dùng phương pháp tiếp tuyến cát tuyến để chứng minh bất đẳng thức I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Định lý (Bất đẳng thức tiếp tuyến) Cho hàm số f ( x) liên tục và có đạo hàm cấp hai đoạn  a; b Nếu f ''( x)  0, x   a; b ta có f ( x)  f '( x0 )  x  x0   f ( x0 ), x, x0   a; b Nếu f ''( x)  0, x   a; b ta có f ( x)  f '( x0 )  x  x0   f ( x0 ), x, x0   a; b Nhận xét Hệ thức y  f '( x0 )  x  x0   f ( x0 ) chính là phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tại điểm x0 Do vậy f ''( x)  0, x   a; b thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm bất kỳ đoạn  a; b nằm phía đồ thị Nếu f ''( x)  0, x a; b thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm bất kỳ đoạn  a; b nằm phía đồ thị 2) Định lý (Bất đẳng thức cát tuyến) Cho hàm số f ( x) liên tục và có đạo hàm cấp hai đoạn  a; b Nếu f ''( x)  0, x   a; b ta có f ( x)  f (a)  f (b)  x  a   f (a), x   a; b a b Nếu f ''( x)  0, x   a; b ta có f ( x)  f (a)  f (b)  x  a   f (a), x   a; b a b Đẳng thức xảy hai bất đẳng thức x  a x  a 3) Kiến thức: Nếu đa thức f  x  nhận x0 làm nghiệm Khi đó ta có thể phân tích f  x  dạng: f  x    x  x0  g  x  Kĩ năng: Để làm tốt phần bạn cần có kĩ phân tích đa thức thành nhân tử thành thạo việc chia đa thức, lược đờ Horner II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ Cho x, y , z dương thỏa mãn điều kiện: x  y  z  Chứng minh rằng x y z    2x  y  z x  y  z x  y  2z Phân tích Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với chứng minh x y z    x3 y 3 z 3 Ta cần làm rõ: Dạng đánh giá đại diện nào? Trong đánh giá đại diện cách chọn hệ sớ sao? Do ta có x  y  z  nên ta tìm đánh giá đại diện dạng: x  mx  n x3 Nhận thấy dấu bằng BĐT cần chứng minh đạt x  y  z  , vậy đánh giá đại diện ta muốn dấu bằng đạt x  nên ta có m  n  Khi đó đánh giá đại diện có dạng: 1 n m 4 x 3  1   mx   m   mx    2m  x    m   x3 4  4  3  1  Đặt f  x   mx    2m  x    m  4  4    Vì f 1  nên ta có phân tích f  x    x  1  mx   3m    Ta cần tìm m cho f  x   x   0;3 nên ta có ý tưởng làm xuất hiện đại lượng  x  1 phân tích thành nhân tử f  x  Do vậy g  x   mx  3  3m phải thỏa mãn g 1   m  16 Từ đó ta có lời giải sau: Lời giải Ta chứng minh: Tương tự ta có x  x  Bất đẳng thức tương đương với   x  1  ( đúng) x  16 16 16 y z  y ; ,  z y  16 16 z  16 16 Cộng bất đẳng thức ta suy điều phải chứng minh Ví dụ [ Đề tuyển sinh THPT Chuyên Hoàng Lệ Kha – Tây Ninh năm học 2013 – 2014 ] Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng a  2b b  2a  1 a  2b b  2a Phân tích Vì giả thiết cho a  b  nên ta tìm đánh giá đại diện dạng: a  2b  ma  nb a  2b a a t   2 b t2  a b   m  n  mt  n Bất đẳng thức biến đổi thành a b t  2 b  m   Nhận xét dấu bằng xảy a  b  t  Làm tương tự ví dụ ta cũng giải  n   Từ đó ta có lời giải sau: Lời giải Ta chứng minh: a  2b 2 2  a  b Thật vậy BĐT này tương đương với  a  b   ( đúng) a  2b 3 Tương tự ta có: b  2a 2  a  b Từ đó ta suy điều phải chứng minh b  2a 3 Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh: 1 1  a  b  c        15 a b c Phân tích Vì giả thiết cho a  b  c  nên ta tìm đánh giá đại diện dạng 3a   ma  n a Nhận thấy BĐT cần chứng minh dấu bằng đạt a  b  c  , vậy đánh giá đại diện, ta muốn dấu bằng đạt a  nên ta có m  n   n   m Do đó đánh giá đại diện có dạng: 3a   ma   m  ma  3a    m  a   a 0  a   Đặt f  a   ma3  3a    m  a  Vì f 1  nên ta có phân tích f  a    a  1  ma    m  a   Ta cần tìm m cho f  a     a   nên ta có ý tưởng làm xuất hiện đại lượng  a  1 phân tích thành nhân tử f  a  Do vậy g  a   ma    m  a  phải thỏa mãn   g 1  a  0;  m  Từ đó ta có lời giải sau: Lời giải Ta chứng minh: 3a  2  a  a 2 Bất đẳng thức tương đương với  a  1   a   ( vì  a  ) Tương tự ta có 3b  2  b  b 2  5.3 , 3c  2  c  c 2 Cộng vế BĐT suy điều phải chứng minh Ví dụ [Đề kiểm tra chất lượng lần trường THCS Ngơ Sĩ Liên – Hồn Kiếm năm 2016-2017] Với số thực không âm x, y , z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức P  x  x   y  y   z  z  Phân tích Gặp những bài toán có giả thiết “khơng âm” , ta nghĩ đến bài tốn sẽ đạt tại điểm biên, đó ta có thể thử sớ ba sau để đốn xem bài tốn đạt max, đâu  1 1 1 Ta chọn  x; y; z    0;0;1  P  4,  x; y; z    0; ;   P   2,  x; y; z    ; ;   P  14  2 3 3 1 1 Từ kết quả đoán P đạt max là tại  0;0;1 và hoán vị nó và P đạt là 14 tại  ; ;  3 3 Tìm max: Ta xét hàm đặc trưng bài toán Ta cần tìm m, n để phương trình x  x   mx  n x  x   mx  n có nghiệm là x  và x  Cho x   n  ; cho x   m  Ta cần chứng minh x  x   x  với  x  Thật vậy, bất đẳng thức tươg đương với x 1  x   (luôn với  x  ) Chứng minh tương tự ta cũng có y  y   y  1; z  z   z  Do đó P  x  y  z   Vậy P đạt max là tại  0;0;1 và hoán vị nó Tìm min: Ta xét hàm đặc trưng bài toán Ta cần tìm m, n để phương trình Ta giải m  n  Ta cần chứng minh x  x   mx  n x  x   mx  n có nghiệm kép x  14 x2  x   14 14 x với  x  4 Thật vậy, bất đẳng thức tươg đương với  x  1  (luôn với  x  ) Chứng minh tương tự ta cũng có Do đó P  y2  y 1  14 14 14 14 y ; 2z2  z 1  z 4 4 14 14 1 1  14 Vậy P đạt là 14 tại  ; ;  x  y  z  4 3 3 III BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài [Đề kiểm tra kỳ II năm 2018 trường THCS Ngô Sĩ Liên – Hoàn Kiếm] Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  b  c  c  a Gợi ý Đưa P   c   a   b Ta đánh giá đại lượng đặc trưng là f (a)   a Bài Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  a  a   b  b   c  c  Gợi ý Ta đánh giá đại lượng đặc trưng là f (a)  a  a  Bài [Đề thi thử vào 10 trường THCS Giáp Bát – Hoàng Mai năm 2017-2018] Cho a, b, c là số thực không âm thỏa mãn a  b2  c  Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức P  a  b2   b2  c   c  a  Gợi ý Đưa P   c   a   b2 Ta đánh giá đại lượng đặc trưng là f (a)   a Bài [ Đề thi vào 10 chuyên Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm 2016] Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng 5a   5b   5c   Gợi ý Ta đánh giá đại lượng đặc trưng là f (a)  5a  Bài Cho x, y , z số thực dương Chứng minh rằng: x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x  2( x  y  z ) Gợi ý Ta đánh giá đại lượng đặc trưng là x  xy  y  mx  ny Bài [Đề thi HSG TP Hà Nội năm 2016-2017] Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn a  b2  c  1) Chứng minh rằng a  b  c   ab 2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  Gợi ý Đưa a AM GM   bc a b c    bc  ca  ab a 2a   ma  n đẳng thức xảy tại a  a  2 b c  a2 2 Bài [Đề thi vào 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2016-2017] Cho x, y , z số thực dương thoả mãn x  y  z  Chứng minh rằng x y z     xy  yz  xy Gợi ý Đưa x AM GM   yz x 2x   mx  n đẳng thức xảy tại x  2 y z  x2 3 Bài [Đề thi HSG TP Hà Nội môn năm học 2012 – 2013]    Chứng minh rằng: a b c 27 a b2 8c    2 2 2 c  c  9a  a  4a  b  b  9b  4c  Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn Gợi ý Đặt x  ; y  ; z  rời đưa bài tốn cần chứng minh hàm đặc trưng theo x, y a b c Bài Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 2 1 2a  b  c     5 a b2 c 2  a  ma  n đẳng thức xảy tại a  a Bài 10 Cho a, b, c >0 a  b  c  Chứng minh rằng a  b  c  ab  bc  ca Gợi ý Ta đánh giá đại lượng đặt trưng là Gợi ý Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng a  b  c   a  b  c   a  b2  c2 Xét đại lượng đặc trưng là a  a  ma  n đẳng thức xảy tại a  Bài 11 [Đề thi học sinh giỏi toán 12 Hà Nội năm 2015-2016] Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi bằng Chứng minh rằng: 1  1  4         ab bc ca  a b c 1  1    Gợi ý Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng        1 c 1 a 1 b  a b c Xét đại lượng đặc trưng là 1   ma  n đẳng thức xảy tại a  1 a a ... trị nhỏ biểu thức P  x  x   y  y   z  z  Phân tích Gặp những bài tốn có giả thiết “khơng âm” , ta nghĩ đến bài toán sẽ đạt tại điểm biên, đó ta có thể thử số ba sau để đoán... Do ta có x  y  z  nên ta tìm đánh giá đại diện dạng: x  mx  n x3 Nhận thấy dấu bằng BĐT cần chứng minh đạt x  y  z  , vậy đánh giá đại diện ta muốn dấu bằng đạt x  nên ta... giải  n   Từ đó ta có lời giải sau: Lời giải Ta chứng minh: a  2b 2 2  a  b Thật vậy BĐT này tương đương với  a  b   ( đúng) a  2b 3 Tương tự ta có: b  2a 2  a  b Từ đó ta