b. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc[r]
(1)Trường THCS Kế hoạch dạy thêm Mơn tốn lớp 7
Học kỳ II năm học 2011 – 2012
STT Buổi Số
tiết Ngày dạy Tên dạy Điều chỉnh
1 Ôn trường hợp Tam giác
2 Một số toán đại lượng tỉ lệ nghịch, tỉ lệ thuận
3 3 Ôn trường hợp Tam giác
(tiếp)
4 Ôn định lý Pitago - trường hợp
hai tam giác vuông
5 Quan hệ yếu tố tam giác Các
đường đồng quy tam giác
6 Quan hệ góc cạnh đối diện tam
giác
7 Ôn biểu thức đại số
8 Ôn đường đồng quy tam giác
9 Ôn cộng trừ đa thức biến
10 10 Ôn đường đồng quy tam giác (tiếp)
11 11 Ôn đa thức, nhiệm đa thức
12 12 Ôn đường đồng quy tam giác (tiếp)
13 13 Ôn tập chương: Biểu thức đại số
14 14
Ôn tập chương hình học “Quan hệ yếu tố tam giác Các đường đồng quy tam giác”
15 15 Ôn tập học kỳ II
Vân Đồn, ngày 15 tháng 12 năm 2011 Giáo viên dạy
Ngày soạn: 20/01/2012 Ngày dạy:
Buổi ÔN VỀ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC
(2)- Ôn luyện trường hợp thứ hai tam giác Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh cạnh - góc - cạnh
- Vẽ chứng minh tam giác nhau, suy cạnh góc - Rèn kỹ vẽ hình, suy luận, trình bày
II TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: 1 Tổ chức lớp ( 1’ )
7A : 7B : 2 Bài ( 114’ )
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY VÀ TRÒ GHI BẢNG
? Nêu bước vẽ tam giác biết ba cạnh?
? Phát biểu trường hợp cạnh -cạnh - -cạnh hai tam giác?
GV đưa hình vẽ tập 1.
? Để chứng minh ABD = CDB ta làm như nào?
HS lên bảng trình bày
HS nghiên cứu tập 22/ sgk.
HS: Lên bảng thực bước làm theo hướng dẫn, lớp thực hành vẽ vào
? Ta thực bước nào? H:- Vẽ góc xOy tia Am
- Vẽ cung tròn (O; r) cắt Ox B, cắt Oy
I Kiến thức bản:
1 Vẽ tam giác biết ba cạnh: 2 Trường hợp c - c - c:
3 Vẽ tam giác biết hai cạnh góc xen giữa: 4 Trường hợp c - g - c:
5 Trường hợp đặc biệt tam giác vuông:
II Bài tập:
1.Bài tập 1: Cho hình vẽ sau Chứng minh: a, ABD = CDB
D D b, =
Giải
a, Xét ABD CDB có: AB = CD (gt)
AD = BC (gt) DB chung
ABD = CDB (c.c.c)
b, Ta có: ABD = CDB (chứng minh trên) D D = (hai góc tương ứng)
2.Bài tập 22/ SGK - 115: x
y B
C O
E
(3)tại C
- Vẽ cung tròn (A; r) cắt Am D - Vẽ cung tròn (D; BC) cắt (A; r) E ? Qua cách vẽ giải thích OB = AE? OC = AD? BC = ED?
D D ? Muốn chứng minh = ta làm như nào?
HS lên bảng chứng minh OBC = AED GV đưa tập 3.
Cho hình vẽ sau, chứng minh: a, ABD = CDB
D b, c, AD = BC
? Bài toán cho biết gì? yêu cầu gì? HS lên bảng ghi GT – KL
? ABD CDB có yếu tố nào bằng nhau?
? Vậy chúng theo trường hợp nào?
HS lên bảng trình bày HS tự làm phần cịn lại
GV đưa tập 4
D Cho ABC có <900 Trên nửa mặt
phẳng chứa đỉnh C có bờ AB, ta kẻ tia AE cho: AE AB; AE = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B bờ AC, kẻ tia AD cho: AD AC; AD = AC Chứng minh rằng: ABC = AED
HS đọc toán, len bảng ghi GT – KL ? Có nhận xét hai tam giác này? HS lên bảng chứng minh
Dưới lớp làm vào vở, sau kiểm tra chéo
Xét OBC AED có: OB = AE = r
OC = AD = r BC = ED OBC = AED
B ' B ' B ' B ' = hay =
3.Bài tập 3
Giải
a, Xét ABD CDB có: B ' AB = CD (gt); (gt); BD chung ABD = CDB (c.g.c)
b, Ta có: ABD = CDB (cm trên) B ' (Hai góc tương ứng) c, Ta có: ABD = CDB (cm trên) AD = BC (Hai cạnh tương ứng)
4.Bài tập 4
Giải
B ' B ' B ' B ' Ta có: hai tia AE AC thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB nên tia AC nằm AB AE Do đó: +=
B '
B ' Tương tự ta có:
B ' B ' Từ (1) (2) ta có: = Xét ABC AED có: AB = AE (gt)
(4)? Vẽ hình, ghi GT KL toán.
? Để chứng minh OA = OB ta chứng minh hai tam giác nhau?
? Hai OAH OBH có yếu tố nào bằng nhau? Chọn yếu tố nào? Vì sao?
Một HS lên bảng chứng minh, làm vào nhận xét
D D H: Hoạt động nhóm chứng minh CA = CB = 8’, sau GV thu nhóm nhận xét
HS đọc yêu cầu bài. HS lên bảng thực phần a
Phần b hoạt động nhóm
ABC = AED (c.g.c)
5.Bài tập 35/SGK - 123:
Chứng minh:
Xét OAH OBH hai tam giác vng có: OH cạnh chung
AOH BOH= (Ot tia p/g xOy) OAH = OBH (g.c.g)
OA = OB
b, Xét OAC OBC có OA = OB (c/m trên) OC chung;
AOC BOC = (gt).
OAC = OBC (c.g.c)
OAC OBC AC = BC =
6 Bài tập 54/SBT:
a) Xét ABE ACD có: AB = AC (gt)
Aˆ chung ABE = ACD
AE = AD (gt) (g.c.g) nên BE = CD
(5)1 1
1 Cˆ ;Eˆ Dˆ
Bˆ
1 Eˆ
Eˆ Lại có: = 1800
1 Dˆ
Dˆ = 1800
2 Dˆ Eˆ nên
Mặt khác: AB = AC AD = AE AD + BD = AB AE + EC = AC
1 Cˆ
Bˆ Trong BOD COE có
2 Eˆ
Dˆ BD = CE,
BOD = COE (g.c.g) 3 Củng cố ( 3’ )
GV nhắc lại kiến thức 4 Hướng dẫn nhà ( 2’ )
- Xem lại dạng tập chữa
- Ôn lại trường hợp hai tam giác
Ngày soạn: 25/ 01/ 2012 Ngày dạy:
Buổi MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH, TỈ LỆ THUẬN.
A Mục tiêu:
- Hiểu công thức đặc trưng hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch
- Biết vận dụng cơng thức tính chất để giải toán hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch
- Rèn kỹ vận dụng, suy luận, trình bày B Tiến trình dạy:
I Tổ chức lớp ( 1’ ) 7A :
(6)7B : II Bài ( 118’ ) 1.Bài 1:
a Biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k, x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ m (k0; m 0) Hỏi z có
tỉ lệ thuận với y không? Hệ số tỉ lệ?
b Biết cạnh tam giác tỉ lệ với 2, 3, chu vi 45cm Tính cạnh tam giác
Giải:
k
1
a y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ
k
1
nên x = y (1)
x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ m x tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ
m
1
m
1
nên z = x (2)
m k y mk mk
Từ (1) (2) suy ra: z = y = nên z tỉ lệ thuận với y, hệ số tỉ lệ b Gọi cạnh tam giác a, b, c
4 c b a
Theo đề ta có: a + b + c = 45cm Áp dụng tính chất dãy tỉ số
5 45 4
2
b c a b c
a 20 ; 15 ; 10
2 c
c b
b a
a
Vậy chiều dài cạnh 10cm, 15cm, 20cm
2 Bài 2: Một hình chữ nhật có chiều rộng nửa chiều dài Viết công thức biểu thị phụ thuộc chu vi C hình chữ nhật chiều rộng x
Giải: Chiều dài hình chữ nhật 2x
Chu vi hình chữ nhật là: C = (x + 2x) = 6x
Do trường hợp chu vi hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều rộng
3 Bài 3: Học sinh lớp cần phải trồng chăm sóc 24 bàng Lớp 6A có 32 học sinh; Lớp 6B có 28 học sinh; Lớp 6C có 36 học sinh Hỏi lớp cần phải trồng chăm sóc bàng, biết số bàng tỉ lệ với số học sinh
Giải:
Gọi số bàng phải trồng chăm sóc lớp 6A; 6B; 6C x, y, z Vậy x, y, z tỉ lệ thuận với 32, 28, 36 nên ta có:
4 96 24 36 28 32 36 28
32
y z x y z
x
(7)8 32
x
Lớp 6A: (cây)
7 28
y
Lớp 6B: (cây)
9 36
z
Lớp 6C: (cây)
4 Bài 4: Lớp 7A 1giờ 20 phút trồng 80 Hỏi sau lớp 7A trồng cây. Giải:
Biết 1giờ 20 phút = 80 phút trồng 80
= 120 phút 120 phút trồng x
80 120
120 80
x = (cây)
Vậy sau lớp 7A trồng 120
5 Bài 5: Tìm số cố ba chữ số biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo : : 3. Giải:
Gọi a, b, c chữ số số có chữ số phải tìm Vì chữ số a, b, c khơng vượt q chữ số a, b, c đồng thời
Nên a + b + c 27
Mặt khác số phải tìm bội 18 nên A + b + c = 18 27
6
2
c b a c b
a
Theo giả thiết ta có: Như a + b + c 6
Do đó: a + b + c = 18 Suy ra: a = 3; b = 6; c =
Lại số chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy số phải tìm là: 396; 936
6 Bài 6:
a Biết y tỉ lệ thuận với x, hệ số tỉ lệ
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ 15, Hỏi y tỉ lệ thuận hay nghịch với z? Hệ số tỉ lệ?
b Biết y tỉ lệ nghich với x, hệ số tỉ lệ a, x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ Hỏi y tỉ lệ thuận hay nghịch với z? Hệ số tỉ lệ?
Giải:
a y tỉ lệ thuận với x, hệ số tỉ lệ nên: y = 3x (1)
z
15
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ 15 nên x z = 15 x = (2)
z
45
(8)x a
b y tỉ lệ nghịch với x, hệ số tỉ lệ a nên y = (1)
z b
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ b nên x = (2)
x b a
Từ (1) (2) suy y =
b a
Vậy y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ 7 Bài 7:
a Biết x y tỉ lệ nghịch với và x y = 1500 Tìm số x y
b Tìm hai số x y biết x y tỉ lệ nghịch với và tổng bình phương hai số 325 Giải: 15 ;
1 k x k y k xy k
y x
a Ta có: 3x = 5y
150 22500
1500 15
1 2
k k
k
mà x y = 1500 suy
50 150
x 150 30
5
y
Với k = 150
50 ) 150 (
x ( 150) 30
3 y
Với k = - 150
k y k x k y x ; 3
1
b 3x = 2y
36 13 2
2 k k
k
x2 + y2 = mà x2 + y2 = 325
30 900 13 36 325 325 36
13 2
k k
k suy 15 30 2 ; 10 30 3
y k
k
Với k = 30 x =
15 ) 30 ( 2 ; 10 ) 30 ( 3
y k
k
Với k = - 30 x =
8 Bài 8: Học sinh lớp 9A chở vật liệu để xây trường Nếu chuyến xe bị chở 4,5 tạ phải 20 chuyến, chuyến chở ta phải chuyến? Số vật liệu cần chở bao nhiêu? Giải:
Khối lượng chuyến xe bò phải chở số chuyến hai đại lượng tỉ lệ nghịch (nếu khối lượng vật liệu cần chuyên chở không đổi)
(9)4,5tạ 20
6tạ x?
Theo tỉ số hai đại lượng tỉ lệ nghịch viết
15
5 , 20 20
5 ,
6
x
x (chuyến)
Vậy chuyến xe chở tạ cần phải chở 15 chuyến III Hướng dẫn nhà ( 1’ )
Ôn ba trường hợp tam giác
Ngày soạn: Ngày dạy:
BUỔI ÔN VỀ BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦATAM GIÁC A Mục tiêu:
- Học sinh nắm ba trường hợp tam giác (c.c.c); (c.g.c); (g.c.g) - Rèn kĩ vẽ hình ba trường hợp tam giác
- Rèn kĩ sử dụng thước kẻ, compa, thước đo độ để vẽ trường hợp
- Biết sử dụng điều kiện tam giác để chứng minh hai tam giác - Rèn kỹ vẽ hình, suy luận
B Tiến trình dạy I Tổ chức lớp ( 1’ ) 7A : 7B : II Bài ( 118’ )
Bài 1: Cho tam giác EKH có E = 600, H = 500 Tia phân giác góc K cắt EH D Tính EDK;
HDK K
Giải: EKH
GT: ; E = 600; H = 500
Tia phân giác góc K Cắt EH D
KL: EDK; HDK E D H Chứng minh:
Xét tam giác EKH
K = 1800 - (E + H) = 1800 - (600 + 500) = 700
2
1 350
2 70
Do KD tia phân giác góc K nên K1 = K =
(10)Nên KDE = K2 + H = 350 + 500 = 850
Suy ra: KDH = 1800 - KED = 1800
Hay EDK = 850; HDK = 950
Bài 2: Cho tam giác ABC có B = C = 500, gọi Am tia phân giác góc ngồi đỉnh A Chứng
minh Am // BC GT: Có tam giác ABC;
B = C = 500 A
Am tia phân giác góc ngồi đỉnh A KL: Am // BC
B C Chứng minh:
CAD góc ngồi tam giác ABC Nên CAD = B + C = 500 + 500 = 1000
2
Am tia phân giác góc CAD nên A1 = A2 = CAD = 100 : = 500
hai đường thẳng Am BC tạo với AC hai góc so le A1 = C = 500
nên Am // BC Bài 3:
DEF ABC
3.1 Cho ; AB = DE; C = 460 Tìm F.
DEF ABC
3.2 Cho ; A = D; BC = 15cm Tìm cạnh EF CBD
ABC
3.3 Cho có AD = DC; ABC = 800; BCD = 900
a Tìm góc ABD
b Chứng minh rằng: BC DC
DEF ABC
GT: ; AB = DE; C = 460.
A = D; BC = 15cm CBD
ABC
; AD = DC; ABC = 800; BCD = 900
KL: 3.1: F = ? 3.2:EF = ? 3.3: a ABD = ? b BC DC Chứng minh:
DEF ABC
3.1: cạnh nhau, góc tương ứng nên: C = F = 460
3.2 Tương tự BC = EF = 15cm 3.3:
CBD ABC
(11)CBD ABC
b nên BAD = BCD = 900 BC DC
Bài 4: a Trên hình bên có AB = CD Chứng minh: AOB = COD
b A D
B C
Có: AB = CD BC = AD
Chứng minh: AB // CD BC // AD Giải:
a Xét hai tam giác OAB OCD có
AO = OC; OB = OD (cùng bán kính đường tròn tâm (O) AB = CD (gt)
OCD OAB
Vậy (c.c.c)
Suy ra: AOB = COD ABC
CADb Nối AC với ta có:
hai tam giác có: AB = CD, BC = AD (gt); AC chung CAD
ABC
nên (c.c.c) BAC = ACD vị trí só le trong Vậy BC // AD
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết :
Bài 5: Cho tam giác ABC vẽ cung trịn tâm A bán kính BC Vẽ cung trịn tâm C bán kính bằng BA chúng cắt D (D B nằm khác phía AC)
Chứng minh: AD // BC CDA
ABC
Giải: (c.c.c) A D ACB = CAD (cặp góc tương ứng)
(12)góc so le nhau) B C ACB = CAD nên AD // BC
BOC AOC
Bài 6: Dựa vào hình vẽ nêu đề toán chứng minh theo trường hợp (c.g.c)
B y
Giải: Cho góc xOy tia Ox lấy điểm A,
trên tia Oy lấy điểm B cho OA = OB O C m Gọi C điểm thuộc tia phân giác Om xOy
BOC AOC
Chứng minh:
A x
Bài 7: Qua trung điểm M đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng vng góc với AB Trên đường thẳng đó lấy điểm K Chứng minh MK tia phân giác góc AKB
Giải: K BKM
AKM
AKM = BKM (cặp góc tương ứng) Do đó: KM tia phân giác góc AKB
A M B
Bài 8: Cho đường thẳng CD cắt đường thẳng AB CA = CB, DA = DB Chứng minh CD là đường trung trực đoạn thẳng AB
Giải:
Xét hai tam giác ACD BCD chúng có: CA = CB ; DA = DB (gt) BCD
ACD
cạnh DC chung nên (c.c.c)
từ suy ra: ACD = BCD
Gọi O giao điểm AB CD
Xét hai tam giác OAC OBD chúng có: ACD = BCD (c/m trên); CA = CB (gt) OBC
OAC
cạnh OC chung nên OA = OB AOC = BOC Mà AOB + BOC = 1800 (c.g.c)
AOC = BOC = 900 DC AB
Do đó: CD đường trung trực đoạn thẳng AB
Ngày soạn: Ngày dạy:
BUỔI ÔN VỀ BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦATAM GIÁC A Mục tiêu:
(13)- Rèn kĩ vẽ hình ba trường hợp tam giác
- Rèn kĩ sử dụng thước kẻ, compa, thước đo độ để vẽ trường hợp
- Biết sử dụng điều kiện tam giác để chứng minh hai tam giác B Chuẩn bị:
C Bài tập
Bài 1: Cho tam giác EKH có E = 600, H = 500 Tia phân giác góc K cắt EH D Tính EDK;
HDK K
Giải: EKH
GT: ; E = 600; H = 500
Tia phân giác góc K Cắt EH D
KL: EDK; HDK E D H Chứng minh:
Xét tam giác EKH
K = 1800 - (E + H) = 1800 - (600 + 500) = 700
2
1 350
2 70
Do KD tia phân giác góc K nên K1 = K =
Góc KDE góc ngồi đỉnh D tam giác KDH
Nên KDE = K2 + H = 350 + 500 = 850
Suy ra: KDH = 1800 - KED = 1800
Hay EDK = 850; HDK = 950
Bài 2: Cho tam giác ABC có B = C = 500, gọi Am tia phân giác góc ngồi đỉnh A Chứng
minh Am // BC GT: Có tam giác ABC;
B = C = 500 A
Am tia phân giác góc ngồi đỉnh A KL: Am // BC
B C Chứng minh:
CAD góc ngồi tam giác ABC Nên CAD = B + C = 500 + 500 = 1000
2
Am tia phân giác góc CAD nên A1 = A2 = CAD = 100 : = 500
hai đường thẳng Am BC tạo với AC hai góc so le A1 = C = 500
(14)DEF ABC
3.1 Cho ; AB = DE; C = 460 Tìm F.
DEF ABC
3.2 Cho ; A = D; BC = 15cm Tìm cạnh EF CBD
ABC
3.3 Cho có AD = DC; ABC = 800; BCD = 900
a Tìm góc ABD
b Chứng minh rằng: BC DC
DEF ABC
GT: ; AB = DE; C = 460.
A = D; BC = 15cm CBD
ABC
; AD = DC; ABC = 800; BCD = 900
KL: 3.1: F = ? 3.2:EF = ? 3.3: a ABD = ? b BC DC
Chứng minh: DEF ABC
3.1: cạnh nhau, góc tương ứng nên C = F = 460
3.2 Tương tự BC = EF = 15cm 3.3:
CBD ABC
a nên ABD = DBC mà ABC = ABD + DBC nên ABC = 2ABD = 800 ABD = 400
CBD ABC
b nên BAD = BCD = 900 BC DC
Bài 4: a Trên hình bên có AB = CD Chứng minh: AOB = COD
b A D
B C
Có: AB = CD BC = AD
Chứng minh: AB // CD BC // AD Giải:
a Xét hai tam giác OAB OCD có
AO = OC; OB = OD (cùng bán kính đường trịn tâm (O) AB = CD (gt)
OCD OAB
Vậy (c.c.c)
Suy ra: AOB = COD ABC
CADb Nối AC với ta có:
(15)CAD ABC
nên (c.c.c) BAC = ACD vị trí só le trong Vậy BC // AD
Bài 5: Cho tam giác ABC vẽ cung trịn tâm A bán kính BC Vẽ cung trịn tâm C bán kính bằng BA chúng cắt D (D B nằm khác phía AC)
Chứng minh: AD // BC CDA
ABC
Giải: (c.c.c) A D ACB = CAD (cặp góc tương ứng)
(Hai đường thẳng AD, BC tạo với AC hai
góc so le nhau) B C ACB = CAD nên AD // BC
BOC AOC
Bài 6: Dựa vào hình vẽ nêu đề toán chứng minh theo trường hợp (c.g.c)
B y
Giải: Cho góc xOy tia Ox lấy điểm A,
trên tia Oy lấy điểm B cho OA = OB O C m Gọi C điểm thuộc tia phân giác Om xOy
BOC AOC
Chứng minh:
A x
Bài 7: Qua trung điểm M đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB Trên đường thẳng đó lấy điểm K Chứng minh MK tia phân giác góc AKB
Giải: K BKM
AKM
AKM = BKM (cặp góc tương ứng) Do đó: KM tia phân giác góc AKB
A M B
Bài 8: Cho đường thẳng CD cắt đường thẳng AB CA = CB, DA = DB Chứng minh CD là đường trung trực đoạn thẳng AB
Giải:
Xét hai tam giác ACD BCD chúng có: CA = CB ; DA = DB (gt) BCD
ACD
cạnh DC chung nên (c.c.c)
từ suy ra: ACD = BCD
Gọi O giao điểm AB CD
Xét hai tam giác OAC OBD chúng có: ACD = BCD (c/m trên); CA = CB (gt) OBC
OAC
(16) AOC = BOC = 900 DC AB
Do đó: CD đường trung trực đoạn thẳng AB Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết :
BUỔI ĐỊNH LÝ PITAGO - TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG
A Mục tiêu:
- Nắm định lý Pitago quan hệ cạnh tam giác vuông, định lý Pitago đảo
- Biết vận dụng định lý Pitago để tính độ dài cạnh tam giác vuông biết độ dài hai cạnh
- Biết vận dụng định lý đảo định lý Pitago để nhận biết tam giác vuông
- Nắm trường hợp hai tam giác vuông, vận dụng định lý Pitago để chứng minh trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vng hai tam giác vng
- Vận dụng để chứng minh độan thẳng nhau, góc
- Rèn luyện khả phân tích, tìm cách giải trình bày tốn chứng minh hình học B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài
C Bài tập
Bài 1: Trên hình vẽ bên cho biết A B AD DC; DC BC; AB = 13cm
AC = 15cm; DC = 12cm
13 15 12 Tính độ dài đoạn thẳng BC
Giải:
Vì AH BC (H BC) B H C AH BC; DC BC (gt) AH // DC
mà HAC DCA so le Do đó: HAC = DCA Chứng minh tương tự có: ACH = DAC Xét tam giác AHC tam giác CDA có
HAC = DCA; AC cạnh chung; ACH = DAC CDA
AHC
Do đó: (g.c.g) AH = DC
Mà DC = 12cm (gt) Do đó: AH = 12cm (1)
Tam giác vuông HAB vuông H theo định lý Pitago ta có: AH2 +BH2 = AB2 BH2 = AB2 - AH2 = 132 - 122 = 55 = 25
BH = (cm) (2)
(17) AH2 + HC2 = AC2 HC2 = AC2 - AH2 = 152 - 122 = 91 = 92
HC = (cm)
Do đó: BC = BH + HC = + = 14 (cm)
Bài 2: Cho tam giác vuông cân đỉnh A MA = cm; MB = cm; góc AMC = 1350 Tính độ dài
đoạn thẳng MC A
Giải:
Trên nửa mặt phẳng bời Am không chứa điểm D
Dựng tam giác ADM vuông cân taih đỉnh A M
Ta có: AD = MA = cm
AMD = 450; DMC = AMC - AMD = 900 B C
Xét tam giác ADC AMB có: AD = AM D
DAC = MAB (hai góc phụ với A góc CAM); AC = AB (gt)
AMB ADC
Do đó: (c.g.c) DC = MB
Tam giác vng AMD vuông A D
nên MD2 = MA2 + MC2 (pitago)
Do đó: MD2 = 22 + 22 = 8 B C
Tam giác MDC vuông M nên DC2 = MD2 + MC2 (Pitago)
Do đó: 32 = + MC2 MC2 = - =
MC = 1
Bài 3: Tam giác ABC có phải tam giác vng hay khơng cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với a 9; 12 15 b 3; 2,4 1,8
2c 4; 7 d ; 4
Giải: 2 2 2 225 15 144 12 81 15 12 k BC k BC k AC k AC k AB k AB k BC AC AB a AB2 + AC2 = 81k2 + 144k2 = 225k2 = BC2
Vậy tam giác ABC vuông A
2 2 2 49 36 16 k BC k BC k AC k AC k AB k AB k BC AC AB b AB2 + AC2 = 16k2 + 36k2 = 52k2 49k2 = BC2
Vậy tam giác ABC không tam giác vuông c Tương tự tam giác ABC vuông C (C = 900)
d Làm tương tự tam giác ABC vuông cân (B = 900)
(18)Bài 4: Cho tam giác vuông ABC (A = 900), kẻ AH BC
Chứng minh: AB2 + CH2 = AC2 + BH2
Giải: A
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông Tam giác ABH có H = 900
AB2 = AH2 + HB2 AB2 - HB2 = AH2
AHC
có H = 900 AC2 = AH2 + HC2
AC2 - HC2 = AH2
AB2 - HB2 = AC2 - HC2 B H C
AB2 + CH2 = AC2 + BH2
Bài 5: Cho tam giác ABC có A góc tù Trong cạnh tam giác ABC cạnh cạnh lớn
nhất? A
Giải:
* Kẻ AD AB tia AD nằm tia AB AC BD < BC (1)
Xét tam giác ABD vuông A BD2 = AB2 + AD2 AB2 < BD2
AB < BD (2) B E D C Từ (1) (2) suy ra: AB < BC
* Kẻ AE AC tia AE nằm hai tia AB AC EC < BC (3)
Xét tam giác AEC vuông A
EC2 = AE2 + AC2 AC2 < EC2 hay AC < EC (4)
Từ (3) (4) suy ra: AC < BC Vậy cạnh lớn BC
Bài 6: Cho tam giác ABC, cạnh đáy BC Từ B kẻ đường vng góc với AB từ C kẻ đường vng góc với AC Hai đường cắt M Chứng minh
AMC AMB
a
b AM đường trung trực đoạn thẳng BC
Giải: A
a Hai tam giác vuông ABM ACM cạnh huyền AM chung
AB = AC (gt) AMC AMB
b Do A1 = A2 B C
Gọi I giao điểm AM BC
Xét hai tam giác AIB AIC M A1 = A2 (c/m trên); AB = AC
AIC AIB
(19)Suy IB - IC; AIB = AIC
mà AIB + AIC = 1800 (2 góc kề bù nhau)
Suy AIB = AIC = 900
VậyAM BC trung điểm I đoạn thẳng BC nên AM đường trung trực đoạn thẳng BC Bài 7:
a Cho tam giác ABC cân A, kẻ AD vuông góc với BC Chứng minh AD tia phân giác góc A
b Cho tam giác ABC cân A, kẻ BD vng góc với AC, kẻ CE vng góc với AB Gọi K giao điểm BD CE Chứng minh AK tia phân giác góc A
Giải: A
a Xét hai tam giác vng CDB ADC có canh AD cạnh chung; AB = AC
ADB ADC (cạnh huyền - cạnh góc vng) BAD = CAD (cặp góc tương ứng)
Do đó: AD tia phân giác góc A B D C
b Hướng dẫn A
AEC ADB
Chứng minh (cạnh huyền - góc nhọn) AD = AE (cặp cạnh tương ứng)
AEK ADK
(cạnh huyền - cạnh góc vng) E D
A1 = A2
Do Ak tia phan giác góc K B C
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy:
Tiết :
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt đường trung trực BC I Kẻ IH vng góc với đường thẳng AB, kẻ IK vng góc với đường thẳng AC Chứng minh BH = CK Giải:
Gọi M trung điểm BC ta có: K CMI
AMI
(c.g.c) B M
(20) IB = IC (cặp góc tương ứng) H
AKI AHI
(cạnh huyền - góc nhọn) I IH - IK
IKC IHB
(cạnh huyền - cạnh góc vuông) BH = CK.
4
AC AB
Bài 9: Cho tam giác vuông ABC vuông A có BC = 15cm Tìm độ dài AB; AC B
Giải:
Theo đề ta có:
16 2 AC AB AC AB
Theo tính chất dãy tỉ số A C
9 25 15 25 16 16 2 2 2
AC AB AC BC
AB
và định lý Pitago ta có: Suy ra: AB2 = 9.9 = 92 AB = cm
AC2 = 16.9 = (4.3)2 = 122 AC = 12 cm
Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm; AC = 12cm
Bài 10: Chứng minh tam giác ABC vẽ giấy vng hình bên tam giác vuông cân.
Giải: B
Gọi độ dài cạnh ô vuông Theo định lý Pitago ta có:
AB2 = 12 + 22 = + = 5 C
BC2 = 12 + 22 = + = 5 A
AC2 = 12 + 32 = + = 10
Do AB2 = BC2 nên AC = AB
Do AB2 + BC2 = AC2 nên ABC = 900
Vậy tam giác ABC vuông cân B
Bài 11: Cho tam giác vuông ABC (A = 900) Chứng minh rằng
2
a Nếu AB = BC C = 300 C
2
b Nếu C = 300 AB = BC
Giải:
Trên tia đối tia AB đặt AD = AB Nối CD ta có:
DAC BAC
(c.g.c) CB = CD (1) B A D
2
2
(21)Từ (1) (2) suy CB = BD
1 .600 300
1
Vậy tam giác BCD BCA = ACD = BCD = b CB = CD Tam giác CBD cân
Nếu BCA = 300; BCD = 60=0
suy tam giácBCD BD = BC
2AB = BC AB = BC
Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ BE AC CF AB Biết BE = CF = 8cm độ dài đoạn thẳng BF BC tỉ lệ với
a Chứng minh tam giác ABC tam giác cân b Tính độ dài cạnh đáy BC
c BE CF cắt nhao O Nối OA EF Chứng minh đường thẳng AO trung trực đoạn thẳng
EF A
Giải:
CEB BFC
a E = F = 900
BE = CF, Bc cạnh chung E F
FBC = ECB tam giác ABC cân O
b Theo đề đoạn thẳng BF BC B C tỉ lệ với
4 16 16
25 25
9
3
2 2
2
2
BC BF BC BC BF FC
BF
Ta có:
25 25.4 100 10
2
BC BC
BC
cm BFCCEBc Tam giác ABC cân AB = AC mà BF = EC () AF = AE
AEO AFO
(cạnh huyền - cạnh góc vng)
FAI EAI FAO = EAO (Vì AF = AE ; FAI = EAI)
IF = IE (1)
FIA = EIA mà FIA + EIA = 1800
nên FIA = EIA = 900 AI EF (2)
Từ (1) (2) suy AO trung trực đoạn thẳng EF
Tuần:
(22)Buổi Quan hệ yếu tố tam giác Các đường đồng quy tam giác
Bài 9: Cho tam giác ABC hai điểm N, M trung điểm cạnh AC, AB Trên tia BN lấy điểm B/ cho N trung điểm BB/ Trên tia CM lấy điểm C/ cho M trung điểm CC/.
Chứng minh:
a B/C/ // BC
b A trung điểm B/C/
Giải:
a Xét hai tam giác AB/N CBN
ta có: AN = NC; NB = NB/ (gt);
ANB/ = BNC (đối đỉnh)
CBN N
AB
/ Vậy suy AB/ = BC
và B = B/ (so le trong) nên AB/ // BC
Chứng minh tương tự ta có: AC/ = BC AC/ // BC
Từ nmột điểm A kẻ đường thẳng song song với BC Vậy AB/ AC/ trùng
nhau nên B/C/ // BC.
b Theo chứng minh AB/ = BC, AC/ = BC
Suy AB/ = AC/
Hai điểm C/ B/ nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ đường thẳng AC
Vậy A nằm B/ C/ nên A trung điểm B/C/
Bài 10: Cho tam giác ADE có D = E Tia phân giác góc D cắt AE điểm M, tia phân giác góc E cắt AD điểm M So sánh độ dài DN EM
Hướng dẫn: EDM DEN
Chứng minh: (g.c.g)
Suy ra: DN = EM (cặp cạnh tương ứng)
Bài 11: Cho hình vẽ bên A B AB // HK; AH // BK
Chứng minh: AB = HK; AH = BK Giải:
Kẻ đoạn thẳng AK, AB // HK H K A1 = K1 (so le trong)
AH // BK A2 = K2 (so le trong)
KHA ABK
Do đó: (g.c.g)
Suy ra: AB = HK; BK = HK
Bài 12: Cho tam giác ABC, D trung điểm AB, đường thẳng qua D song song với BC cắt AC E, đường thẳng qua E song song với BC cắt BC F, Chứng minh
(23)b ADE EFC A
c AE = EC
Giải: D E
a.Nối D với F DE // BF FBD
DEF
EF // BD nên (g.c.g)
Suy EF = DB B F C
Ta lại có: AD = DB suy AD = EF b.Ta có: AB // EF A = E (đồng vị)
AD // EF; DE = FC nên D1 = F1 (cùng B)
EFC ADE
Suy (g.c.g)
EFC ADE
c (theo câu b)
suy AE = EC (cặp cạnh tương ứng)
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết :
Bài 13: Cho tam giác ABC D trung điểm AB, E trung điểm AC vẽ F cho E trung điểm DF Chứng minh: A
a DB = CF FCD
BDC
b D F E
2
c DE // BC DE = BC
Giải: B C CEF
AED
a
AD = CF Do đó: DB = CF (= AD)
CEF AED
b (câu a)
suy ADE = F AD // CF (hai góc vị trí so le) AB // CF BDC = FCD (so le trong)
ECD BDC
Do đó: (c.g.c)
ECD BDC
c (câu b)
Suy C1 = D1 DE // BC (so le trong) FCD
BDC
BC = DF
2
2
(24)Bài 14: Cho góc tù xOy kẻ Oz vng góc với Ox (Oz nằn õ Oy Kẻ Ot nằm Ox Oy). Trên tia Ox, Oy, Oz, Ot theo thứ tự lấy điểm A, B, C, D cho OA = OC OB = OD Chứng minh hai đường thẳng AD BC vng góc với
Giải:
Xét tam giác OAD OCB có t z OA = OC, O1 = O3 (cùng phụ với O2)
OD = OB (gt) x C
OCB OAD
Vậy (c.g.c) A D F A = C mà E1 = E2 (đối đỉnh)
Vậy CFE = AOE = 900 AD Bc
O B y Bài 15: Cho tam giác ABC trung điểm BC M, kẻ AD // BM AD = BM (M D khác phía AB) Trung điểm AB I
a Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng b Chứng minh: AM // DB
c Trên tia đối tia AD lấy điểm AE = AD Chứng minh EC // DB
Giải: D A E a AD // Bm (gt) DAB = ABM
IBM IAD
có (AD = BM; DAM = ABM
(IA = IB)
Suy DIA = BIM mà
DIA + DIB = 1800 nên BIM + DIB = 1800 B M C
Suy DIM = 1800
Vậy ba điểm D, I, M thẳng hàng BID
AIM
b (IA = IB, DIB = MIB)
ID = IM BDM = DMA AM // BD. c AE // MC EAC = ACM; AE = MC (AC chung)
CMA AEC
Vậy (c.g.c)
Suy MAC = ACE AM // CE mà AM // BD Vậy CE // BD
Bài 16: Ở hình bên có A1 = C1; A2 = C2 So sánh B D cặp đoạn thẳng
Giải: B C Xét tam giác ABC tam giác CDA
chúng có:
A2 = C2; C1 = A1 cạnh Ac chung
CDA ABC
Vậy (g.c.g) A D
(25)Bài 17: Cho tam giác ABC tia phân giác góc B C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC Gọi giao điểm đường thẳng với AB, AC theo thức tự D E Chứng minh DE = BD
Giải: A
DI // DC I1 = B1 (so le)
BI đường phân giác góc B B1 = B2 D I E
Suy I1 = B2
Tam giác DBI có:
I1 = B2 Tam giác DBI cân BD = BI (1) B C Chứng minh tương tự CE = EI (2)
Từ (1) (2): BD + CE = DI + EI = DE
Bài 18: Cho tam giác ABC lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA cho AD = BE = CF Chứng minh tam giác DEF tam giác
Giải: A
Ta có AB = BC = CA, AD = BE = CF
Nên AB - AD = BC - BE = CA - CF D F Hay BD = CE = AF
Tam giác ABC A = B = C = 600 B E C
BED ADF
(c.g.c) DF = DE (cặp cạnh tương ứng) FCE
EBD
(c.g.c) DE = EF (cặp cạnh tương ứng)
Do đó: DF = DE = EF
Vậy tam giác DEF tam giác
Ngày soạn: Ngày dạy:
BUỔI QUAN HỆ GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
A Mục tiêu:
- Nắm vững nội dung hai định lý, vận dụng chúng tình cần thiết, hiểu phép chứng minh định lí
(26)- Biết diễn đạt định lí thành tốn với hình vẽ, giả thiết kết luận B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài.
C Bài tập Tiết 21: Bài 1:
a So sánh góc tam giác PQR biết PQ = 7cm; QR = 7cm; PR = 5cm b So sánh cạnh tam giác HIK biết H = 750; K = 350
Giải:
a Từ hình vẽ bên ta có: PQ = RP P PQR
cân Q R = P
QR > PR P > Q 7 5 (quan hệ cạnh góc đối diện)
vậy R = P > Q Q R b I = 1800 - (750 + 350) = 1800 - 1100 = 700
H > I > K IK > HK > HI (quan hệ cạnh góc đối diện) Bài 2: Cho tam giác ABC Chứng minh AB + AC > BC
Giải:
Trên tia đới tia AB lấy điểm D D
cho AD = AC
ADCTa có: AD = AC cân đỉnh D
ADC = ACD (1) A
Tia CA nằm hai tia CB CD Do đó: BCD > ACD (2)
Từ (1) (2) ta có: BCD > ADC B C Xét tam giác DBC có BCD > BDC
suy DB > BC (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) (3) mà DB = AB + AD = AB + AC (4)
Từ (3) (4) ta có: AB + AC > BC
Bài 3: Cho tam giác ABC, A = 900 Trên tia đối tia AC lấy D cho AD < AC Nối B với D.
Chứng minh rằng: BC > BD B Giải:
Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AD Ta có: AE < AC (Vì AD < AC)
Nên E nằm A C
Mà BA DE DA = AE D A E C BDE cân đỉnh B
BDE = BEA
(27)Xét tam giác BDC có: BDC > BCD
Suy ra: BC > BD (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác)
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm cạnh BC So sánh BAM MAC A
Giải:
Vẽ tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA
Xét tam giác MAB tam giác MDC có: B M C MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh)
MB = MC (M TĐ cạnh BC) MDC
MAB
Do đó: (c.g.c) D
Suy ra: AB = CD; BAM = MDC
Ta có: AB = CD; AB < AC CD < CA
Xét tam giác ADC có: CD < AC MAC < MDC (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) Mà MAC < MDC BAM = MDC
Suy ra: MAC < BAM
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết :
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, tia phân giác góc B cắt AC D So sánh độ dài AD, DC. B
Giải:
Kẻ DH BC H
HBD ABD
(cạnh huyền - góc nhọn) ADC AD = DH
DHC
vuông H DH < DC
DHC
(cạnh góc vng nhỏ cạnh huyền)
suy ra: AD < DC
Bài 6: Chứng minh tam giác vng có góc nhọn 300 cạnh góc vng đối
diện với nửa cạnh huyền Giải:
Xét tam giác ABC có A = 900; B = 300
2
(28)Trên BC lấy điểm D cho CD = CA
Tam giác ACD cịn có: C = 600, AD = AC = CD D
Tam giác ABD có B = 300; A = 300
nên tam giác
2
suy AD = BE Do đó: AC = BC A C Bài 7: Cho tam giác ABC có A = 850, B = 400
a So sánh cạnh tam giác ABC
A AB < BC < AC C AB < AC < BC B BC < AC < AB D AC < AB < BC
b Trên tia đối yia AB lấy điểm D cho AD = AC Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BC So sánh độ dài đoạn CD; CB; CE
A CE < CB < CD C CD < CE < CB B CB < CE < CD D CD < CB < CE Giải: a Chọn D
Vì C = 1800 - (A + B) = 1800 - (85 + 40) = 55
Khi nhận thấy B < C < A Ac < AB < BC b Chọn D
Bài 8: Cho tam giác ABC tia phân giác góc D cắt AC D So sánh độ dài AB BC, biết BDC tù
Giải:
Để so sánh độ dài AB BC ta cần so sánh hai góc C A Theo giả thiết ta có: BDC tù
D1 > 900 2D
1 > 1800
Trong tam giác ABD ta có: D1 = A + B2 (1) B
Trong tam giác BCD ta có: D1 + B1 + C1 = 1800 (2)
Công theo vế (1) (2) ta được: 2D1 + B1 + C = A + B2 + 1800
A - C = 2D1 - 1800 > 0
A > C BC > AB A D C
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết :
Bài 9: Cho góc xOy = 600, điểm A nằm góc xOy Vẽ điểm D cho Ox đường trung trực của
AB Vẽ điểm C cho Oy đường trùng trực AC a Khẳng định OB = OC hay sai?
A Đúng B Sai
(29)A 600; B 900; C 1200; D 1500
Giải: a Chọn A
Vì OA = OB (vì Ox đường trung trực AB) OA = OC (vì Oy đường trung trực AC) Do đó: OB = OC
b Chọn C tam giác OAB cân O nên O1 = O2
Tam giác OAC cân O nên O3 = O4
Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 + O3)
= 2(xOy) = 600 = 1200
Vậy ta có: BOC = 1200
Bài 10:
a Cho tam giác ABC tam giác A1B1C1 có AB = A1B1 AC = A1C1
BC > B1C1 So sánh số đo hai góc A A1
Giải: Theo giả thiết ta có: AB = A1B1; AC = A1C1 BC > B1C1
Thì A > A1 (quan hệ cạnh đối diện tam giác)
b Cho hai tam giác ABC A1B1C1 có AB = A1B1 AC = A1C1 A > A1 Chứng minh BC > B1C1
Giải: Xét tam giác ABC tam giác A1B1C1
Có AB = A1B1; AC = A1C1 A > A1 (gt)
Suy ra: BC > B1C1 (quan hệ cạnh góc đối diện tam giác)
Bài 11: Cho tam giác ABC trung tuyến AM Lấy điểm M tia đối tia MA So sánh độ dài CD BD A
Giải:
Ta nhận thấy
Với hai tam giác ABM ACM có:
MB = MC (vì M trung điểm BC) M
AM chung; AB < AC B C
Do đó: M1 < M2 M3 < M4 Với hai tam giác BDM CDM có
MB = MC (M trung điểm BC) D DM chung; M3 < M4
Do đó: CD < BD
Bài 12: Cho tam giác ABC với BC > AB Tia phân giác góc ABC cắt cạnh AC D Chứng minh CD > DA
Giải:
Lấy K cạnh BC cho BK = BA DKB
DAB Có B
Cạnh DB chung; B1 = B2 (Vì BD
tia phân giác ABC)
(30)DKB
DABVậy = (c.g.c) Suy ra: D1 = D2; DK = DA
Mặt khác: CKD góc ngồi tam A D C giác KDB nên CKD > D1 (1)
D2 góc ngồi tam giác DBC nên D2 > BCD (2)
Vì D1 = D2 ; từ (1) (2) suy CKD > BCD
Trong tam giác KCD K > C nên CD > DK hay CD > DA
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết :
Bài 13: Cho tam giác ABC (AC > AB) A tù, đường cao AH (đường AH BC) trung tuyến AM (đường AM qua trung điểm M cạnh BC) Chứng minh:
a BAM > MAC b H nằm B M
Giải: A
a Trên tia AM lấy điểm D cho M trung điểm AD, dễ dàng
DMC AMB
chứng minh (c.g.c)
Suy BAM = D (1) AB = DC
ACD
Trong có : AC > DC AC > AB (gt) B H M C Và AB = DC (c/m trên)
Nên D > MAC (2)
Từ (1) (2) suy BAM > MAC D
b AC > AB HC > HB (H thuộc đoạn thẳng BC A góc tù MB = MC) suy ra: BM > BH Vậy H nằm hai điểm B M
Bài 14: Cho tam giác MNP biết MP > MN, MD đường trung tuyến thuộc cạnh NP Trên tia MD lấy điểm E cho D trung điểm ME
Chứng minh MEP > EMP Giải:
EDP MDN
(c.g.c)
DN = DP
DM = DE M
MDN = EDP (đối đỉnh) Suy ra: MN = EP
(31)Trong tam giác MEP, MP đối diện với MEP N D P EP đối diện với EMP
Do đó: MEP > EMP
Bài 15: Tính chu vi tam giác cân ABC biết a AB = 5cm; AC = 12cm
b AB = 7cm; AC = 13cm
Giải:
Tam giác ABC cân có AB = 5cm; AC = 12cm cạnh đáy Ab Thật cạnh bên AB = 5cm cạnh bên BC = 5cm
Như ta có: AB + BC = 10cm < CA = 12cm
điều vơ lí (trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh thứ ba) Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = + 2.12 = 29 cm
b Có thể xảy hai trường hợp
- Nếu AB = 7cm cạnh đáy AB = BC = 13cm cạnh bên - Nếu chu vi tam giác ABC bằng: + 2.13 = 33 cm
- Nếu AB = BC = 7cm cạnh bên AC = 13cm cạnh đáy Chu vi tam giác ABC là: 13 + 2.7 = 27 cm
3
A B
Bài 16: Cho tam giác ABC biết C =
a Chứng minh tam giác ABC tam giác vng A tính số đo góc B, góc C
b Kẻ đường cao AH Chứng minh B = HAC; C = BAH Giải:
0
30
180
2
1
B C A B C
C
a (áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau)
0
0 90
30
3 A
A
Vậy nên tam giác ABC tam giác vuông A b Vì AH BC nên H = 1v suy B + BAH = 1v
Vì BAH + HAC = 1v suy B = HAC (2 góc phụ nhau)
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy:
Tiết :
QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
(32)A Mục tiêu:
- Học sinh nắm khai niêm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu đường xiên
- Học sinh hiểu định lí quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu chúng
- Nắm vững quan hệ độ dài cạnh tam giác, từ biết ba đoạn thẳng có độ dài khơng thể ba cạnh tam giác
- Có kĩ vận dụng kiến thức để giải tốn hình học - Rèn luyện kĩ vẽ hình chứng minh hình học
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài. C Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có A = 900 Trên hai cạnh AB, AC lấy hai điểm D E Chứng
minh DE < BC
Giải: B
Nối D C ta có: AE, AC hình
chiếu hình xiên DE, DC D đường thẳng AC
mà AE < AE (Vì E thuộc cạnh AC)
Suy ra: DE < DC (quan hệ đường xiên A E C hình chiếu nó)
Mặt khác: AD; AB hình chiếu
của đường xiên DC, BC đường thẳng AB mà AD < AB (D thuộc cạnh AB) Suy ra: DC < BC (quan hệ đường xiên hình chiếu nó)
Ta có: DE < DC; DC < BC DE < BC
Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 900) vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Chứng minh AH +
BC > AB + AC
Giải:
Trên tia BC lấy điểm D cho BD = AB Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AH (Vì AB < BC nên D nằm B C, AH < AC nên E nằm A C)
Tam giác ABD cân đỉnh B (Vì BD = AB) BAD = BDA
Ta có: BAD + DAE = BAD + HAD = 900
Do đó: DAE = HAD
Xét tam giác HAD tam giác EAD có: AH = AE; HAD = DAE; Ad cạnh chung
EAD HAD
Do đó: (c.g.c)
AHD = AED
(33) Ta có: DE AC DC > EC (quan hệ đường xiên đường vng góc) Do đó: AH + BD + DC > AE + AB + EC = AB + AC
Vậy AH + BC > AB + AC
BOHBài 3: Cho tam giác ABC, AB > AC vẽ BD AC; CE AB (D AC; E AB) Chứng minh AB - AC > BD - CE
Giải: A
Trên cạnh BC lấy điểm F cho AF = AC, E
Vì AB > AC nên E nằm A B G
Vẽ FG AC, FH BD (G Ac; H BD) F BOH BOHTa có: FG AC; BD AC (gt)
FG // BD B C
Xét GFD (FGD = 900);HDF (DHF = 900)
Có DF chung
GFD = HDF (vì FG // BD) HDF
GFD
Do đó: (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra: FG = HD; GD = FH
Xét GAF (AGF = 900);EAC (AEC = 900)
Có:AF = AC; GAF (cóc chung) EAC
GAF
Do đó: (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra: FG = CE
Do vậy: FG = CE = HD
Ta có: FH BD nên FB > BH (quan hệ đường xiên đường vng góc) Suy ra: AB - AC > BD - HD
Hay AB - AC > BD - CE
2
Bài 4: Cho tam giác cân ABC đỉnh A Từ điểm D cạnh AB vẽ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC E Chứng minh BE > (DE + BC)
Giải:
Vẽ BH DE (H DE), EN BC (N BC) Xét HBE (BHE = 900) NEB (ENB = 900)
BE cạnh chung, HBE = NEB (vì DE // BC) A NEB
HBE
Do đó: (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra: BH = EN H D E Mặt khác HBD + DBC = HBC = 900
NEC + ECN = 900 (NEC có N = 900)
mà DBC = ECN (ABC cân đỉnh A)
(34) Xét HBD NEC có:
DHB = CNE ( = 900); BH = EN (theo c/m trên)
NBD = NEC (c/m trên) NEC
HBD
Do đó: (g.c.g) HD = NC
Mà BH DE suy BE > HE (quan hệ đường xiên đường vng góc) Do đó: BE + BÊ > HE + MB
Mà HE + BN = DE + HD + BN = DE + NC + BN = DE + BC
Nên BE + BE > DE + BC 2BE > BC + DE BE > (DE + BC)
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy:
Tiết :
Bài 5: Cho tam giác ABC cân A, điểm D nằm B C Chứng minh độ dài AD nhỏ hơn cạnh bêb tam giác ABC A
Giải:
Kẻ AH BC
- Nếu D trùng H AD < AC AH < AC (đường vng góc nhỏ đường xiên)
- Nếu D khơng trùng H B H D C Giả sử D nằn H C, ta có HD < HC
Suy ra: AD < AC (hình chiếu nhỏ đường xiên nhỏ hơn)
Vậy AD nhỏ cạnh bên tam giác ABC A Bài 6:
a.Cho hình vẽ bên AB > AC E (H1) Chứng minh EB > EC
b Cho hình vé bên B H C Chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC A
Giải: E D (H2)
a AB > AC HB > HC(đường xiên lớn hơn đường chếu lớn hơn)
HB > HC EB > EC B C b (H2) Tam giác ABD vuông D BD < AB
(35)Bài 7: Cho tam giác ABC, điểm D nằm A C (BD khơng vng góc với AC), gọi E F là chân đường vuông góc kẻ tùe A C đến đường thẳng BD So sánh AC với AE + CF
Giải: A
Hướng dẫn: D F Xét tam giác ADE vuông E
AE < AD (1)
Xét tam giác CDF vuông F B C
CF < CD (2)
Từ (1) (2) AE + CF < AD + CD = AC
Bài 8: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Chứng minh rằng: AB + AC > 2AM
Giải:
Trên tia đối MA lấy điểm D cho MD = MA Xét MAB MDC có:
MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh)
MB = MC (gt) MDC MAB
Do đó: (c.g.c)
AB = DC
Xét tam giác ADC có: CD + AC > AD (bất đẳnh thức tam giác) Do đó: AB + AC > AD mà AD = 2AM
Suy ra: AB + AC > 2AM Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy:
Tiết :
Bài 9: Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam giác Chứng minh rằng: MB + MC < AB + AC
Giải: A
Vẽ đường thẳng BM cắt AC D D
Vì M tam giác ABC nên D nằm A C Suy ra: AC = AD + DC
Xét tam giác ABD có: DB < AB + AD B C (bất đẳng thức tam giác)
MB + MD < AB + AD (1)
Xét tam giác MDC có: MC < DC + MD (2) (bất đẳng thức tam giác) Công (1) với (2) vế với vế ta có:
MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD
MB + MC < AB + (AD + DC) MB + MC < AB + AC
(36)(D BC) M điểm nằm đoạn thẳng AD
Chứng minh MB - MC < AB - AC
Giải: Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE = AC A AB > AC, nên E nằm A B
Suy ra: AE + EB = AB E M EB = AB - AE = AB - AC
Xét AEM ACM có: AE = AC B D C EAM = CAM (AD tia phân giác BAC)
AM cạnh chung ACM AEM
Do đó: (c.g.c)
Suy ra: ME = MC
Xét tam giác MEB có MB - ME < EB (bất đẳng thức tam giác) Do đó: MB - MC < AB - AC
Bài 11: Cho tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Chứng minh rằng:
2
a Nếu A = 900 AM = BC
2
b Nếu A > 900 AM < BC
2
c Nếu A < 900 AM > BC
Tính chất: thừa nhận
Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng từnmg đơi góc xen chúng khơng cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn hơn, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn
Giải:
Vẽ tia đối tia MA tia lấy điểm D cho MD = MA
Suy AD = 2AM A
Xét MAB MDC có:
MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh)
MB = MC (gt)
Do đó: MAB = MDC (c.g.c) B M C Suy ra: AB = DC; BAM = CDM
Ta có: BAM = CDM
mà BAM CDM (so le trong) nên AB // CD BAc + ACD = 1800
(37)Do đó:
a BAC = ACD (BAC = 900; BAC + ACD = 1800 )nên
ACD = 900 BAC = ACD BC = AD AM = BC
b BAC > ACD (BAC > 900; BAC + ACD = 1800) nên
ACD < 900 BAC > ACD BC > AD AM < BC
c BAC < ACD (BAC < 900; BAC + ACD = 1800) nên
ACD > 900 BAC < ACD BC < AD AM > BC
2
Tom lại: Nếu A = 900 AM = BC
2
Nêu A > 900 AM < BC
2
Nếu A < 900 AM > BC
Bài 12: Trong trường hợp sau trường hợp ba cạnh tam giác. a 5cm; 10cm; 12cm
b 1m; 2m; 3,3m c 1,2m; 1m; 2,2m Giải:
a Đúng vì: + 10 > 12 b Sai vì: + < 3,3 c Sai vì: 2,2 = 1,2 +
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy:
Tiết :
Bài 13: Cho tam giác ABC có AB = 4cm; AC = 1cm Hãy tìm độ dài cạnh BC biết độ dài là số nguyên (cm)
Giải: A
Theo bất đẳng thức tam giác AB - AC < BC < AB + AC
- < BC < + 1 C B < BC < 5
(38)a Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh 4m 9m
b Cho tam giác ABC điểm D nằn B C Chứng minh AD nhỏ nửa chu vi tam giác ABC
Giải:
a.Cạnh 4m khơng thể cạnh bên cạnh 4m cạnh bên cạnh đáy lớn tổng hai cạnh (9 > + 4) trái với bất đẳng thức tam giác
Vậy cạnh 4m cạnh đáy thoả mãn < + Chu vi tam giác là: + + = 22m
b Xét tam giác ABD có: AD < AB + BD (1)
Xét tam giác ACD có AD < AC + DC (2) Cộng vế (1) (2)
2AD < AB + AC + (BD + DC)
2
BC AC AB
Suy AD <
Bài 15: Độ dài hai cạnh tam giác 7cm, 2cm Tính độ dài cạnh cịn lại biết số đo nó theo xentimét số tự nhiên lẻ
Giải: Gọi độ dài cạnh lại x (cm) Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
7 - < x < + tức < x < Do x số tự nhiên lẻ nên x = Cạnh lại 7cm
Bài 16: Cho tam giác ABC trung tuyến Am góc B > C Hãy so sánh hai góc AMB AMC A
Giải:
Trong tam giác ABc B > C nên AC > AB Hai tam giác AMB AMC có AM cạnh chung
MB = MC AC > AB B M C Nên AMC > AMB
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết :
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ A Mục tiêu:
- Hiểu khai niệm vế biểu thức đại số
- Biết cách tính giá trị biểu thức đại số, biết cách trình bày lời giải tốn - Rèn luyện kĩ làm “Biểu thức đại số”
(39)C Bài tập Tiết 29:
Bài 1: Viết biểu thức đại số biểu diễn: a Một số tự nhiên chẵn
b Một số tự nhiên lẻ c Hai số lẻ liên tiếp d Hai số chẵn kiên tiếp Giải:
a 2k; b 2x + 1; c 2y + 1; 2y + 3; d 2z; 2z + (z N)
3
Bài 2: Cho biểu thức 3x2 + 2x - Tính giá trị biểu thức x = 0; x = - 1; x =
Giải:
Tại x = ta có 3.0 + 2.0 - = - Tại x = - ta có - - =
3 3
Tại x = ta có + - = Bài 3: Tính giá trị biểu thức
6 a a y y
a với a = - 1; b với y =
1 2 a b a 1
1
2 2 y y y y
c với a = ; b = ; d với y = Giải:
a Ta có: ; b = - 9,5
84 379
Tương tự c d
Bài 4:
5 x
a Với giá trị biến giá trị biểu thức 2; - 2; 0; b Với giá trị biến giá trị biểu thức sau 0;
7 ) ( ; ) ( ; 3 ; x x x x x x x x Giải: x
a = 2x + = 10 x = 4,5
5 x
= - x = - 5,5
5 x
(40)5 x
= x = 9,5
1 x x x 3 x x b ; ; 0 ) ( x x x x x 0 ) ( x x x x ; Tuần: Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết :
CỘNG, TRỪ ĐA THỨC A Mục tiêu:
- Học sinh cần nắm đơn thức, hai đơn thức đồng dạng, cộng trù đơn thức đồng dạng, nhân hai đơn thức
- Nhận biết đa thức, thực phép cộng trừ đa thức - Rèn luyện kĩ kiến thức
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài C Bài tập:
Bài 1: Những biến thức sau, biến thức vào đơn thức a 2,5xy3; x + x3- 2y; x4; a + b
4
b - 0,7x3y2; x3 x2; - x2yx3; 3,6
Giải: Những biến thức đơn thức
4
2,5xy3; x4; - 0,7x3y2; x3 x2; - x2yx3; 3,6
Bài 2: Thu gọn đơn thức.
a 5x3yy2 c 5xy2(-3)y
4
b a2b3 2,5a3 d 1,5p.q.4p3.q2
Giải:
a 5x3yy2 = 5(y3.y.y2) = 5y6
4 .2,5
4
8 15
b a2b3 2,5a3 = a2.a3.b2 = a5.b6
c 5xy2(-3)y = - 15xy3
d 1,5p.q.4p3.q2 = 1,5 (P.P3.q.q2) = 6p4.q3
(41)5
a 5xy2 0,7y4z 40x2z3 b - 0,5ab(-1a2bc) 5c2b3
8
c - 1,2ab.(- 10a2.b.c2) (- 1,5a2c); d - 0,32a7b4.(-3a3b6)
Giải:
a 5xy2 0,7y4z 40x2z3= 0,7 40.x.x2.y2.y4.z.z3 = 196x3y6z4
Tương tự ta có:
b 3a3c3b5; c - 1,8a3b2c3; d 0,04a10b10
Bài 4: Phân tích biểu thức sau thành tích hai đơn thức có đơn thức 20x5y2.
a - 120x5y4 b 60x6y2
c -5x15y3 d 2x12y10
Giải:
a - 120x5y4 = - 6y2 20x5y2
b 60x6y2 = 3x 20x5y2
4
c - 5x6y2 = - x 20x2y2
10
d 2x12y10 = x7y8 20x5y2
Bài 5: Tính giá trị đơn thức sau: a 15x3y3z3 x = 2; y = - 2; z = 3
3
2
b - x2y3z3 x = 1; y = - ; z = - 2
5
c ax3y6z x = - 3; y = - 1; z = 2
Giải:
a 15.23 (- 2)2 32 = 15 (- 8) = - 8640
3
1
2
3
b - 12 (- 2)3 = -
5
a
5 108
c a (- 3)3 (- 1)6 = -
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy:
Tiết :
Bài 6: Điền đơn thức thích hợp vào dấu
(42)c + + = x5y3
Giải:
a 3x2y3 + 2x2y3 = 5x2y3
b - 5x4 - 2x4 = - 7x4
3
3
3
c x5y3 + x2y3 + x5y3 = x5y3
Bài 7: Hãy xếp đơn thức sau thành nhóm đơn thức đồng dạng.
5
3a2b; 2ab3; 4a2b2; 5ab3; 11a2b2; - 6a2b; - ab3
Giải: Ta có: 3a2b; - 6a2b
5
2ab3; 5ab3; - ab3
4a2b2; 11a2b2
Bài 8: Tính tổng
a 8a - 6a - 7a; b 6b2 - 4b2 + 3b2; c 6ab - 3ab - 2ab
Giải:
a 8a - 6a - 7a = - 5a; b 6b2 - 4b2 + 3b2 = 5b2; c 6ab - 3ab - 2ab = ab
Bài 9: Thu gọn đa thức
a 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4
b 3xx4 + 4xx3 - 5x2x3 - 5x2x2
c 3a.4b2 - 0,8b 4b2 - 2ab 3b + b 3b2 - 1
d 5x2y2 - 5x.3xy - x2y + 6xy2
Giải:
a 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4 = 2a2x3 - a2x3 - ax3 + ax3 - a4 + 2a4 = a2x3 + a4
b 3x5 - 5x5 + 4x4 - 5x4 = - 2x5 - x4
c 12ab2 - 6ab2 - 3,2b2 + 3b3 - = 6ab2 - 0,2b3 - 1
d 10xy2 + 6xy - 15x2y - x2y = 16xy2 - 16x2y
Bài 10: Tìm giá trị biểu thức. a 6a3 - a10 + 4a3 + a10 - 8a3 + a với a = - 2
b 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y với x = 1; y = - 1
Giải:
Ta có: 6a3 - 8a3 + 4a3 - a10 + a10 + a = 2a3 + a
a Với a = - giá trị biểu thức là:
2(- 2)3 + (- 2) = - 16 - = - 18
b 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y = 3x6y3 + x2y2 + y
Với x = 1; y = - ta có:
- 3.(1)6 (- 1)3 + 12 (- 1)2 - = + - =- 3
Tuần:
(43)Ngày dạy:
Tiết :
Bài 11: a Tại x = 5; y = - giá trị đa thức x3 - y3 là:
A - B 16; C 34; D 52
b Giá trị đa thức 3ab2 - 3a2b a = - 2; b = là:
A 306; b 54; C - 54; D 52
Giải:
a Ta có x = 5; y = - giá trị đa thức 52 - (- 3)2 = 25 + 27 = 52
Vậy chọn D
b Tương tự câu a Chọn D Bài 12: a Bậc đa thức
2
3x3y + 4xy5 - 3x6y7 + x3y - 3xy5 + 3x6y7 là
A 4; b 6; C 13; D
b Đa thức
5,7x2y - 3,1xy + 8y5 - 6,9xy+ 2,3x2y - 8y5 có bậc là:
A 3; B 2; C 5; D
Giải: a Chọn B; B.Chọn A Bài 13: Tính hiệu
a (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) b (x3 + 6x2 + 5y3) - (2x3 - 5x + 7y3)
c (5,7x2y - 3,1xy + 8y3) - (6,9xy - 2,3x2y - 8y3)
Giải:
a (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) = 3x + y - z - 4x + 2y - 6z = - z + 3y - 7z b Làm giống câu a
c 5,7x2y - 3,1xy + 8y3 + 2,3x2y - 6,9xy - 8y3 = 8x2y - 10xy
Bài 14: Cho đa thức
A = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1
B = - 2x2 + xy + 2y3 - - 5x + y
C = 7y2 + 3x2 - 4xy - 6x + 4y + 5
Tính A + B + C; A - B + C; A - B - C xác định bậc đa thức Giải:
A + B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1- 2x2 + xy + 2y3 - - 5x + y
= 2x2 - 6xy + 8y2 - 9x + 3y + 3: có bậc hai
A - B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + + 2x2 - xy - 2y2 + 5x - 2y + + 3x2 - 4xy + 7y2 - 6x + 4y
+ = 6x2 - 8xy + 4y2 + x - y + 9: có bậc hai
A - B - C = - 10y2 + 13x - 9y - 1: có bậc hai
Bài 15: Cho đa thức.
(44)C = - x2 + 3xy + 2y2
Tính A + B + C; B - C - A; C - A - B Giải:
A + B + C = (4x2 - 5xy + 3y2) + (3x + 2xy + y2 ) + (- x2 + 3xy + 2y2)
= 4x2 - 5xy + 3y2 + 3x2 + 2xy + y2 - x2 + 3xy + 2y2 = 6x2 + 6y2
B - C - A = (3x + 2xy + y2) - (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2)
= 3x2 + 2xy + y2 + x2 - 3xy - 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 = 4xy - 4y2
C - A - B = (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2) - (3x + 2xy + y2)
= - x2 + 3xy + 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 - 3x2 - 2xy - y2 = - 8x2 + 6xy - 2y2
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết :
CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC A Mục tiêu:
- Nhằm củng cố lại tính chất đường trung tuyến , đường phân giác, đường trung trực, đường cao tam giác tính chất tia phân giác góc, đường trung trực đoạn thẳng
- Rèn luyện kĩ vẽ hình dùng thước, êke, compa
- Biết vận dụng kiến thức lí thuyết vào giải toán chứng minh B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài
C Bài tập:
Bài 1: Gọi AM trung tuyến tam giác ABC, A/M/ đường trung tuyến tam giác A/B/C/ biết
AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/ Chứng minh hai tam giác ABC A/B/C/ nhau.
A
Giải: ABC
Xét A/B/C/ có:
AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ B M C
(Có AM trung tuyến BC A/
và A/M/ trung tuyến B/C/)
AM = A/M/ (gt)
ABM A/B/M/ (c.c.c)
Suy B = B/ B/ M/ C/
Vì có AB = A/B/; BC = B/C/ (gt)
B = B/ (c/m trên)
ABC Suy ra: A/B/C/
Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 900) trung tuyến AM, tia đối tia MA lấy điểm D cho MD =
MA
(45)BAD ABC
b Chứng minh
c So sánh: AM BC Giải:
a Xét hai tam giác AMC DMB có: B D MA = MD; MC = MB (gt)
M1 = M2 (đối đỉnh) M
DMB AMC
Suy (c.g.c)
MCA = MBD (so le trong)
Suy ra: BD // AC mà BA AC (A = 900) A C
BA BD ABD = 900
b Hai tam giác vuông ABC BAD có: DMB
AMC
AB = BD (do c/m trên)
BAD ABC
AB chung nên (hai tam giác vng có hai cạnh góc vng nhau) BAD
ABC
c
2
BC = AD mà AM = AD (gt) Suy AM = BC
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM CN hai đường trung tuyến tam giác ABC. Chứng minh CN > BM
Giải:
Gọi G giao điểm BM CN ABC
Xét có BM CN hai đường trung tuyến cắt G
Do đó: G tâm tam giác ABC
3
3
Suy Gb = BM; GC = CN ABC
Vẽ đường trung tuyến AI A
Ta có: A; G; I thẳng hàng AIB
AICXét có:
AI cạnh chung, BI = IC G
AB < AC (gt) AIB < AIC GIB
GICXét có B I C
GI cạnh chung; BI = IC
AIC > AIB GC > GB CN > BM
(46)Giải: A Gọi G giao điểm BM CN
ABC có: BM CN hai đường trung tuyến N M Do đó: G tâm tam giác ABC G
3
3
Suy GB = BM; GC = CN
Vẽ đường trung tuyến AI tam giác ABC B I C I qua G (Tính chất ba đường trung tuyến)
3
3
Ta có: CN > BM mà GB = BM; GC = CN nên GB < GC GIC
GIB
Xét có:
GI cạnh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC AIB
AICXét có:
AI cạnh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết :
Bài 5: Trên hình bên có AC tia phân giác góc BAD CB = CD
Chứng minh: ABC = ADC B
Giải: H
Vẽ CH AB (H AD) A C CK AD (K AD)
C thuộc tia phân giác BAD K D
Do đó: CH = CK
1 Dˆ
Dˆ Xét (CHB = 900 )
Và tam giác CKD (CKD = 900)
Có CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên) CKD
CHB
Do đó: (cạnh huyền - góc vng) HBC = KDC ABC = ADC
(47)Giải: D Vì Ax tia phân giác góc BAC
Nên xAB = xAC (1)
Ax // CD bị cắt đường thẳng AC A hai góc xAC ACD góc so le
nên xAC = ACD (2) x
hai góc xAB ADC góc đồng vị nên B C xAB = ADC (3)
So sánh (1); (2); (3) ta có: xAB = ACD = ADC
Bài 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx góc B, Bx cắt tia AC M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC N Từ N kẻ tia NY // Bx Chứng minh:
B a xAB = BMN
b Tia Ny tia phân giác góc MNC N Giải:
a.Trong tam giác ABC đỉnh B có:
ABx = xBC (vì Bx tia phân giác góc B) A M C BMN = ABx (2 góc so le MN // BA)
Vậy xBC = BMN x y
b BMN = MNy (2 góc so le Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị Ny // Bx)
Vậy MNy = yNC mà tia Ny tia nằm hai tia NM NC Do đó: Ny tia phân giác MNC
Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi I giao điểm hai tia phân giác hai góc A B Qua I vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB M, cắt AC N Chứng minh rằng: MN = BM + CN
Giải: Ba phân giác củam tam giác qua điểm nên CI tia phân giác góc C. Vì MN // BC nên C1 = I1 (2 góc so le trong) A
C1 = C2 nên C2 = I2
NIC
Do đó: cân NC = NI (1) M N
Chứng minh tương tự ta có: MB = MI (2)
Từ MN = BM + CN B C
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy:
Tiết :
Bài 9: Cho tam giác ABC (A = 900) đường trung trực cạnh AB, AC cắt D Chứng
(48)Vì D giao điểm đường trung trực
của cạnh AB AC nên tam giác A DAB DAC cân góc đáy
của tam giác DBA = DAB DAC = DCA
Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có: B D C ADB = DAC + DCA
ADC = DAB + DBA
Do đó: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 1800
Từ suy ba điểm B, D, C thẳng hàng
Hơn DB = DC nên D trung điểm BC
Bài 10: Cho hai điểm A D nằm đường trung trực AI đoạn thẳng BC D nằm hai điểm A I, I điểm nằm BC Chứng minh:
a AD tia phân giác góc BAC
b ABD = ACD A
Giải:
a Xét hai tam giác ABI ACI chúng có:
AI cạnh chung
AIC = AIB = 1v
IB = IC (gt cho AI đường trung trực
đoạn thẳng BC) B I C ACI
ABI
Vậy (c.g.c)
BAI = CAI
Mặt khác I trung điểm cạnh BC nên tia AI nằm hai tia AB AC Suy ra: AD tia phân giác góc BAC
b Xét hai tam giác ABD ACD chúng có: AD cạnh chung
Cạnh AB = AC (vì AI đường trung trực đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trên)
ACD ABD
Vậy (c.g.c) ABD = ACD (cặp góc tương ứng)
Bài 11: Hai điểm M N nằm đường trung trực đoạn thẳng AB, N trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia NM cxác định M/ cho MN/ = NM
a Chứng minh: AB ssường trung trực đoạn thẳng MM/
b M/A = MB= M/B = MA
Giải:
a Ta có: AB MM/
(49)AB
thẳng AB nên MN )
Mặt khác N trung điểm MM/
(vì M/ nằm tia đối tia NM NM = NM/) A N B
Vậy AB đường trung trực đoạn MM/.
b Theo gả thiết ta có:
MM/ đường trung trực đoạn thẳng AB nên
MA = MB; M/B = M/A M/
Ta lại có: AB đường trung trực đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B
Từ suy ra: M/A = MB = M/B = MV
Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D cạnh AC cho : DA + DB = AC Giải:
Vẽ đường trung trực đoạn thẳng BC cắt cạnh AC D
D điểm cần xác định A
Thật
Ta có: DB = DC (vì D thuộc đường trung D trực đoạn thẳng BC)
Do đó: DA + DB = DA + DC
Mà AC = DA + DC (vì D nằm A C) B C Suy ra: DA + DB = AC
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy:
Tiết : Bài 13:
a Gọi AH BK đường cao tam giác ABc Chứng minh CKB = CAH b Cho tam giác cân ABC (AB = AC), AH BK đường cao
Chứng minh CBK = BAH Giải:
a Trong tam giác AHC BKC có: K CBK CAH góc nhọn
Và có cạnh tương ứng vng góc với A
CB AH BK CA Vậy CBK = CAH
b Trong tam giác cân cho đường cao AH B H C
cũng đường phân giác góc A A
Do đó: BAH = CAH
(50)có cạnh tương ứng vng góc nên CAH = CBK Như BAH = CBK
B H C
Bài 14: Hai đường cao AH BK tam giác nhọn ABC cắt D. a Tính HDK C = 500
b Chứng minh DA = DB tam giác ABC tam giác cân
Giải: A
Vì hai góc C ADK nhọn có K cạnh tương ứng vng góc nên C = ADK
Nhưng HDK kề bù với ADK nênhai góc
C HDK bù Như HDK = 1800 - C = 1300
b Nếu DA = DB DAB = DBA B H C Do hai tam giác vng HAB KBA
Vì có cạnh huyền có góc nhọn
Từ suy KAB = HBA hai góc kề với đáy AB tam giác ABC Suy tam giác ABC cân với CA = CB
Bài 15: Cho tam giác ABC cân A phân giác AM Kẻ đường cao BN cắt AM H
a Khẳng định CN AB hay sai?
A Đúng B Sai
b Tính số đo góc: BHM MHN biết C = 390
A BHM = 1310; MHN = 490 C BHM = 1410; MHN = 390
B BHM = 490; MHN = 1310 D BHM = 390; MHN = 1410
Giải: A
a Chọn A
vì AM BC tam giác ABC câb A N
Suy H trực tâm tam giác ABC H Do CH AB
b Chọn D B M C Ta có: BHM = C = 390 (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc)
MHN = 1800 - C = 1410 (hai góc có cạnh tương ứng vng góc góc nhọn, góc tù)
Vậy ta tìm BHM = 390; MHN = 1410
Bài 16: Cho góc xOy = 600 điểm A nằm góc xOy vẽ điểm B cho Ox đường trung trực của
AC, vẽ điểm C cho Oy đường trung trực AC a Khẳng định OB = OC hay sai?
b Tính số đo góc BOC
A 600; B 900; C 1200; D 1500
(51)a Chọn A Nhận xét là:
OA = OB Ox đường trung trực AB OA = OC Oy đường trung trực AC Do đó: OB = OC
a Chọn C b Nhận xét là:
Tam giác OAB cân O nên O1 = O2
Tam giác OAC cân O nên O3 = O4
Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3
= 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200
Vậy ta có: BOC = 1200
Bài 17: Chứng minh tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn nhỏ trung tuyến ứng với cạnh nhỏ
Giải:
Xét tam giác ABC đường trung tuyến A AM, BN, CP trọng tâm G
Giả sử AB < AC P N
Ta cần chứng minh CP > BN G Thật
Với hai tam giác ABM ACM B M C Ta có: MB = MC (vì M trung điểm BC)
AM chung: AB < AC đó: M1 < M2
Với hai tam giác GBM GCM ta có: MB = MC (M TĐ BC); GM chung
3
Do đó: GB < GC GB < GC BN < CP Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy:
Tiết :
CỘNG TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN A Mục tiêu:
- Biết cộng trừ đa thưc biến
- Rèn luyện kĩ xếp đa thức theo luỹ thừa tăng giảm biến tính tổng, hiệu đa thức
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài C Bài tập:
(52)b 15 - 2x2 + x3 + 2x2 - x3 + x
c 3x7 + x4 - 3x7 + x5 + x +
d - 2004 Giải:
a - 2x5 + x4 - 3x3 + x2 + có bậc 5
b 15 + x có bậc
c x5 + x4 + x + có bậc 5
d - 2004 có bậc Bài 2:
a Viết đa thức sau theo luỹ thừa tăng biến tìm bậc chúng f(x) = - 6x4 + 2x3 + x + 5x4 + x2 + 3x3
g(x) = x5 + x4 - 3x + - 2x4 - x5
b Viết đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần biến tìm hệ số bậc cao nhất, hệ số tự chúng
h(x) = 5x2 + 9x5 - 7x4 - x2 - 6x5 + x3 + 75 - x
g(x) = 2x3 + - 7x4 - 6x3 + 3x2 - x5
Giải: a Ta có:
f(x) = + x + x2 + 5x3 - x4 có bậc 4
g(x) = - 3x - x4 có bậc 4
b Ta có: h(x) = 3x5 - 7x4 + x3 + 4x2 - x + 75
Hệ số bậc cao h(x) 3, hệ số tự 75 g(x) = - x5 - 7x4 - 4x3 + 3x2 + 5
Hệ số bậc cao g(x) - 1, hệ số tự Bài 3: Đơn giản biểu thức sau:
a (a2 - 0,45a + 1,2) + (0,8a2 - 1,2a) - (1,6a2 - 2a)
b (y2 - 1,75y - 3,2) - (0,3y2 + 4) - (2y - 7,2)
c 6x2 - 2x2 - (7x2 + 4x + 1) - (x - 2x2 - 1)
d -(2a3 - a2 + a) + 3a3 - 4a - (5a2 - a3)
Giải:
a a2 + 0,8a2 - 1,6a2 - 0,45a - 1,2a + 2a + 1,2 = 0,2a2 + 0,35a + 1,2
b y2 - 0,3y2 - 1,75y - 2y - 3,2 + 7,2 = 0,7y2 - 3,75y + 4
c 4x2 - 7x2 + 2x2 - 4x - x - + = - x2 - 5x
d - 2a3 + 3a3 + a3 + a2 - 5a2 - a - 4a = 2a3 - 4a2 - 5a
Bài 4: a Chứng minh hiệu hai đa thức
5
0,7x4 + 0,2x2 - - 0,3x4 + x2 - 8
luôn dương với giá trị thực x b Tính giá trị biểu thức
(53)Giải: a Ta có:
5
(0,7x4 + 0,2x2 - ) - (0,3x4 + x2 - 8)
5
= 0,7x4 + 0,2x2 - + 0,3x4 - x2 + 8
R x
3 = x4 +
b 7a3 - 6a3 + 5a2 + + 5a3 + 7a2 + 3a - 10a3 - a2 - 8a
= - 4a3 + 11a2 - 5a + 1
Với a = - 0,25 giá trị biểu thức là: 4(- 0,25)3 + 11 (- 0,25)2 - 5.(- 0,25) + 1
= 4(- 0,015625) + 11 (- 0,0625) - 1,25 + = 0,0625 - 0,6875 - 0,25 = - 0,875
Bài 5: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến.
2 0,6
5 , ,
x x x
x
a b 1,7 - 12a2 - (2 - 5a2 + 7a) + (2,3 + 7a2 + 7a)
c - b2 - (5b - 3b2) + (1 + 5b - 2b2)
Giải: Ta có:
5
5
a x2 - 0,4x - 0,5 - + x - 0,6x2 = - 1,5
b 1,7 - 12a2 - + 5a2 - 7a + 2,3 + 7a2 + 7a
= (- 12a2 + 5a2 + 7a2) - 7a + 7a + 1,7 - + 2,3 = 2
c - b2 - 5b + 3b2 + + 5b - 2b2
= - b2 + 3b2 - 2b2 - 5b + 5b + + = 2
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy:
Tiết :
Bài 6: Cho đa thức
f(x) = + 3x - + 3x4; g(x) = - x3 + x2 - x + - x4
Tính f(x) + g(x); f(x) - g(x)
Giải: f(x) + g(x) = + 3x - + 3x4 + (- x3 + x2 - x + - x4)
(54)Tương tự: f(x) - g(x) = 4x4 + 2x3 - x2 + 4x - 3
Bài 7: tính tổng f(x) + g(x) hiệu f(x) - g(x) với a f(x) = 10x5 - 8x4 + 6x3 - 4x2 + 2x + + 3x6
g(x) = - 5x5 + 2x4 - 4x3 + 6x2 - 8x + 10 + 2x6
2
b f(x) = 15x3 + 7x2 + 3x - + 3x4
2
g(x) = - 15x3 - 7x2 - 3x + + 2x4
Giải:
a Ta có f(x) + g(x) = 6x6 + 5x5 - 6x4 + 2x3 + 2x2 - 6x + 11
f(x) - g(x) = x6 + 15x5 - 10x4 + 10x3 - 10x2 + 10x - 9
b f(x) + g(x) = 5x4
f(x) - g(x) = x4 + 30x3 + 14x2 + 6x - 1
Bài 8: Cho đa thức
f(x) = 2x4 - x3 + x - + 5x5
g(x) = - x3 + 5x2 + 4x + + 3x5
h(x) = x2 + x + + x3 + 3x4
Hãy tính: f(x) + g(x) + h(x); f(x) - g(x) - h(x) Giải:
f(x) + g(x) + h(x) = 8x5 + 5x4 + 6x2 + 6x
f(x) - g(x) - h(x) = 2x5 - x4 - 2x3 - 6x2 - 4x - 6
Bài 9: Đơn giản biểu thức:
a (0,5a - 0,6b + 5,5) - (- 0,5a + 0,4b) + (1,3b - 4,5) b (1 - x + 4x2 - 8x3) + (2x3 + x2 - 6x - 3) - (5x3 + 8x2)
Giải:
a 0,5a - 0,6b + 5,5 + 0,5a - 0,4b + 1,3b - 4,5 = a + 0,3b +
b - x + 4x2 - 8x3 + 2x3 + x2 - 6x - - 5x3 - 8x2 = - 11x3 - 3x2 - x - 2
Bài 10: Chứng minh rằng: A + B - C = C - B - A Nếu A = 2x - 1; B = 3x + C = 5x Giải:
A + B - C = 2x - + 3x + - 5x = 5x - - + = C - B - A = 5x - 3x + - 2x - = 5x - 3x - 2x + - =
Vậy A + B - C = C - B - A
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy: Tiết :
(55)7 1
1
x x x
x
7
0,75x4 - 0,125x3 - 2,25x2 + 0,4x - nhận giá trị dương.
Giải:
7 1
1
x x x
x
7
Ta có: () - (0,75x4 - 0,125x3 - 2,25x2 + 0,4x - )=
= x4 + x2 + 1 x
Bài 12: Cho đa thức
P(x) = x2 + 5x4 - 3x3 + x2 + 4x4 + 3x3 - x + 5
Q(x) = x - 5x3 - x2 - x4 + 4x3 - x2 + 3x - 1
a Thu gọn xếp đa thức theo luỹ thừa giảm biến b Tính P(x) + Q(x); P(x) - Q(x)
Giải:
a P(x) = - x + 2x2 + 9x4
Q(x) = - + 4x - 2x2 - x3 - x4
b P(x) + Q(x) = (9x4 + 2x2 - x + 5) + (x4 - x3 - 2x2 + 4x - 1) = 10x4 - x3 + 3x + 4
P(x) - Q(x) = (9x4 + 2x2 - x + 5) - (x4 - x3 - 2x2 + 4x - 1) =
= 9x4 + 2x2 - x + - x4 + x3 + 2x2 - 4x + = 8x4 + x3 + 4x2 - 5x + 6
Bài 13: Cho hai đa thức; chọn kết đúng. P = 3x3 - 3x2 + 8x - Q = 5x2 - 3x + 2
a Tính P + Q
A 3x3 - 2x2 + 5x - 3; C 3x3 - 2x2 - 5x - 3
B 3x3 + 2x2 + 5x - 3; D 3x2 + 2x2 - 5x - 3
b Tính P - Q
A 3x3 - 8x2 - 11x - 7; C 3x3 - 8x2 + 11x - 7
B 3x3 - 8x2 + 11x + 7; D 3x2 + 8x2 + 11x - 7
Giải: a Chọn C; B.Chọn B Bài 14: Tìm đa thức A chọn kết đúng. a 2A + (2x2 + y2) = 6x2 - 5y2 - 2x2y2
A A = 2x2 - 3y2 + x2y2; C A = 2x2 - 3y2 - x2y2
B A = 2x2 - 3y2 + 5x2y2; D 2x2 - 3y2 - x2y2
b 2A - (xy + 3x2 - 2y2) = x2 - 8y2 + xy
A A = x2 - 5y2 + 2xy; C A = 2x2 - 5y2 + 2xy
B A = x2 - 5y2 + xy; D A = 2x2 - 5y2 + xy
Giải: a Chọn C
Ta có: 2A + (2x2 + y2) = 6x2 - 5y2 - 2x2y2
2A = (6x2 - 5y2 - 2x2y2) - (2x2 + y2) = 4x2 - 6y2 - 2x2y2
A = 2x2 - 3y2 - x2y2
Vậy đa thức cần tìm là: A = 2x2 - 3y2 - x2y2
b Chọn D
(56) 2A = (x2 - 8y2 + xy) + (xy + 3x2 - 2y2) = 4x2 - 10y2 + 2xy
A = 2x2 - 5y2 + xy
Vậy đa thức cần tìm A = 2x2 - 5y2 + xy
Bài 15: Cho hai đa thức sau:
f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an
g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn
a Tính f(x) + g(x)
A f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an + bn
B f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an - bn
C f(x) + g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)x + an + bn
D f(x) + g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)x - an + bn
b Tính f(x) - g(x)
A f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an + bn
B f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)+ an - bn
C f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)x + an + bn
D f(x) - g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an - bn
Giải: a Chọn A
Ta có: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an
g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn
f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an + bn
b.Chọn B
Ta có: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an
g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn
f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)+ an - bn
Tuần:
Ngày soạn: Ngày dạy:
Tiết :
NGHIỆM CỦA ĐA THỨC A Mục tiêu:
- Hiểu khái niệm nghiệm đa thức
- Biết cách kiểm tra xem số a có phải nghiệm đa thức hay không, cách kiểm tra xem P(a) có khơng hay khơng
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài C Bài tập
Bài 1: Tìm nghiệm đa thức: (x2 + 2) (x2 - 3)
A x = 1; B, x = ; C x = ; D x = 2 Giải: Chọn C
(57) 3 2 2 x x x x
(x2 + 2) (x2 - 3) =
Bài 2: Tìm nghiệm đa thức x2 - 4x + 5
A x = 0; B x = 1; C x = 2; D vô nghiệm
b Tìm nghiệm đa thức x2 + 1
A x = - 1; B x = 0; C x = 1; D vơ nghiệm
c Tìm nghiệm đa thức x2 + x + 1
A x = - 3; B x = - 1; C x = 1; D vô nghiệm
Giải: a Chọn D
Vì x2 - 4x + = (x - 2)2 + + > 1
Do đa thức x2 - 4x + khơng có nghiệm
b Chọn D
vì x2 + + > 1
Do đa thức x2 + khơng có nghiệm
c Chọn D
4 4 2 x
vì x2 + x + =
Do đ thức x2 + x + khơng có nghiệm
1;1;5;5Bài 3: a Trong hợp số số nghiệm đa thức, số không nghiệm đa
thức P(x) = x4 + 2x3 - 2x2 - 6x + 5
; ; ; ; ; ; ;
b Trong tập hợp số số nghiệm đa thức, số không nghiệm đa thức
Giải:
a Ta có: P(1) = + - - + =
P(-1) = - - + + = 0
P(5) = 625 + 250 - 50 - 30 + = 800 0 P(- 5) = 625 - 250 - 50 + 30 + = 360 0
Vậy x = nghiệm đa thức P(x), số 5; - 5; - không nghiệm đa thức b Làm tương tự câu a
2
Ta có: - 3; nghiệm đa thức Q(x) Bài 4: Tìm nghiệm đa thức sau:
f(x) = x3 - 1; g(x) = + x3
f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
Giải:
Ta có: f(1) = 13 - = - = 0, x = nghiệm đa thức f(x)
(58)g(- 1) = (- 1)3 + 3.(- 1)2 + (- 1) + = - + - + = 0
Vậy x = nghiệm đa thức f(x) Bài 5:
3
a Chứng tỏ đa thức f(x) = x4 + 3x2 + khơng có nghiệm
b Chứng minh đa thức P(x) = - x8 + x5 - x2 + x + khơng có nghiệm
Giải:
4
a Đa thức f(x) khơng có nghiệm x = a f(a) = a4 + 3a2 + dương
b Ta có: P(x) = x5(1 - x3) + x(1 - x)
Nếu x - x3 0; - x nên P(x) < 0
Nếu x P(x) = - x8 + x2 (x3 - 1) + (x - 1) < 0