TICH PHAN lythuyet baitap tracnghiem

CHỦ ĐỀ 13.TÍCH PHÂN – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F ( b ) − F ( a ) gọi tích phân hàm số f từ a đến b kí b hiệu ∫ f ( x ) dx a Ta gọi: a cận dưới, b cận trên, f hàm số dấu tích phân, f ( x ) dx biểu thức dấu tích phân, x biến số lấy tích phân Nhận xét : b a) Nếu a < b ta gọi ∫ f ( x ) dx tích phân f đoạn [ a; b ] a b) Hiệu số F ( b ) − F ( a ) cịn kí hiệu F ( x ) b b a Khi : ∫ f ( x ) dx = F ( x ) b a = F ( b) − F ( a ) a c) Tích phân khơng phụ thuộc biến số (điều mang lại lợi ích cho ta để tính số tích phân đặc biệt), tức b b b a a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = = F ( b ) − F ( a ) 2) Tính chất: Cho k số a b a ) ∫ f ( x) dx = b) ∫ f ( x)dx = − a b c) ∫ k f ( x)dx = k a a b ∫ f ( x)dx b b d ) ∫ [ f ( x) + g ( x) ]dx = ∫ f ( x)dx a c ∫ f ( x)dx = a ∫ a b b a a ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a b e) Tính chất chèn cận: a b f ( x)dx + ∫ f ( x)dx (chèn cận c ) c B CÁC DẠNG TOÁN TỰ LUẬN DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN Câu 1: Tính tích phân sau: a ) I = ∫ x dx b) I = ∫ 1 dx x ln c) I = ∫ dx x Lời giải a ) I = ∫ 3x dx = x b) I = ∫ 31 = − = dx = x = ( − 1) = x π d ) I = ∫ sin xdx 1 2x 1 c ) I = ∫ dx = = 21 − 20 ) = ( ln ln ln x π π   d ) I = ∫ sin xdx = − cos x 04 = −  − 1÷ = −   x Câu 2: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e Tính F ( 2ln2 ) − F ( ln2 ) Lời giải x Vì hàm số f ( x ) = e liên tục đoạn [ ln 2; ln 2] nên ta có: F ( ln ) − F ( ln ) = ln ∫ f ( x ) dx = ln ln ∫ e dx = e x x ln ln Câu 3: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ln =2 thỏa điều kiện F ( 1) = Tính F ( e ) x Lời giải liên tục đoạn [ 1;e ] nên ta có: x e e e F ( e ) − F ( 1) = ∫ f ( x ) dx = ∫ dx = ln x = x 1 Suy ra: F ( e ) = + F ( 1) = + = Vì hàm số f ( x ) = ) ( Câu 4: Chứng minh F ( x ) = ln x + x + nguyên hàm hàm số f ( x ) = tích phân I = ∫ x2 + 1 x2 + Từ tính dx Lời giải Ta có: ( x+ F′( x) = x2 + )′ = 1+ x + x +1 Do đó: I =∫ x2 + ( x dx = ln x + x + Câu 5: Chứng minh F ( x ) = x +1 = x + x2 + ) x2 + ( = f ( x) ) = ln + 1 ax + b ln nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( ax + b ) ( cx + d ) Từ ad − bc cx + d 1 dx x + x + ( ) ( ) tính tích phân I = ∫ Lời giải Ta có: F′( x) = 1  a c  ln ax + b − ln cx + d ) ′ = − = f ( x) (  ÷= ad − bc ad − bc  ax + b cx + d  ( ax + b ) ( cx + d ) Do đó: 1 1 2x + 3 I =∫ dx = ln = ln − ln1 = ln x + 1) ( x + 1) −1 x +1 2 ( DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Câu 6: Tính tích phân sau: π 1  b) I = ∫  3x − ÷dx x 1 I = ∫ ( x3 − e x ) dx = c) I = ∫ ( sin x + 2cos x ) dx Lời giải a ) I = ∫ ( x − e x ) dx = x − e x = − ( e − 1) = − e 1 0 2 1 3x  b) I = ∫  3x − ÷dx = − ln x = ( − 3) − ln = − ln x ln ln ln 1 π c) I = ∫ ( sin x + 2cos x ) dx = − cos x + 2sin x = π π 2 t Câu 7: Tính I = ∫ e ln xdx + ∫ e ( − ln t ) dt x 1 Lời giải 2 I = ∫ e ln xdx + ∫ e ( − ln x ) dx = ∫ e x dx = e − e x x 1 π π t u u Câu 8: Tính I = ∫ sin ln tdt + ∫ sin  lnu − sin ÷du 2 2 π π Lời giải π π 2 x x x I = ∫ sin ln xdx − ∫ sin  ln x − sin ÷dx 2 2 π π π π π π 2 x − cos x 1 π = ∫ sin dx = ∫ dx = x − sin x = + π 2 π π π 2 DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHÈN CẬN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối b a) Yêu cầu: Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx a b) Phương pháp: + Bước 1: Xét dấu f ( x ) khoảng ( a; b ) - Giải phương trình f ( x ) = ⇔ x = xi ∈ ( a; b ) - Lập bảng xét dấu f ( x ) khoảng ( a; b ) + Bước 2: Chèn cận xi đồng thời bỏ dấu b xi b a a xi (căn vào BXD) ta tích phân I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx b Chú ý: Nếu f ( x ) không đổi dấu đoạn [ a; b ] I = ∫ f ( x ) dx = a b ∫ f ( x ) dx a Câu 9: Tính tích phân: a ) I = ∫ x − dx b) I = ∫ x − x dx c ) ∫ x + x − dx 2 −4 d ) ∫ x − x + dx −2 Lời giải 2 0 1 a ) I = ∫ x − dx = ∫ x − dx + ∫ x − dx = − ∫ ( x − 1) dx + ∫ ( x − 1) dx = x = ( l) b) Xét khoảng ( 0;3) ta có: x − x = ⇔  x = BXD: x x2 − x − + Suy ra: I = − ∫ ( x − x ) dx + ∫ ( x − x ) dx = 1 14 29 + = 6  x = −3 c) Xét khoảng ( −2; ) ta có: x + x − = ⇔  x = BXD: Suy ra: x −4 −3 x2 + 2x − + − + 1 + = 2 −3 ∫(x I= −4 2 + x − 3) dx − ∫ ( x + x − ) dx + ∫ ( x + x − ) dx = −3 32 46 + + = 3 3 d) Xét khoảng ( −2; ) ta có: x + = ⇔ x = −1 BXD: x −2 −1 x +1 − + Suy ra: ∫ I= −2 2 x + x + dx + ∫ x − x − dx = 1 ∫ −2 3x + dx + ∫ x − dx = I1 + I Ta có: −2 − − ∫ 3x + dx = − ∫ ( 3x + 1) dx + ∫ ( 3x + 1) dx = I1 = −2 41 I = ∫ x − dx = ∫ ( x − 1) dx = 1 41 22 Vậy: I = + = π Câu 10: Tính I = ∫ − cos xdx Lời giải π I =∫ π π π π + cos x dx = ∫ cos x dx = ∫ cos x dx = ∫ cos xdx − ∫ cos xdx = + = 2 π 0 π − sin x Câu 11: Tính I = dx ∫0 Lời giải Ta có: π π π  − cos  − x ÷ 2 2  dx = sin  π − x dx = sin  x − π  dx I =∫  ÷ ∫0 ∫0  ÷ 4  π π  π  Xét khoảng  0; ÷, ta có: sin  x − ÷ = ⇔ x = 4  2  BXD: π x π π − + π  sin  x − ÷ 4  Suy ra: π π π π π π π4 π2     I = − ∫ sin  x − ÷dx + ∫ sin  x − ÷dx = cos  x − ÷ − cos  x − ÷ = − 4 4 0 4π     π 4 Tích phân hàm min, max b b a a a) Yêu cầu: Tính tích phân I = ∫ { f ( x ) ; g ( x ) } dx ; I = ∫ max { f ( x ) ; g ( x ) } dx b b a a b) Phương pháp: Tính I = ∫ { f ( x ) ; g ( x ) } dx ( I = ∫ max { f ( x ) ; g ( x ) } dx tương tự) + Bước 1: Xét dấu f ( x) − g ( x ) khoảng ( a; b ) - Giải phương trình f ( x) − g ( x ) = ⇔ x = xi ∈ ( a; b ) - Lập bảng xét dấu f ( x) − g ( x ) khoảng ( a; b ) + Bước 2: Chèn cận xi chọn hàm { f ( x ) ;g ( x ) } sau: - Nếu f ( x ) − g ( x ) > khoảng K { f ( x ) ;g ( x ) } = g ( x ) - Nếu f ( x ) − g ( x ) < khoảng K { f ( x ) ; g ( x ) } = f ( x ) Từ đó, ta tích phân { } Câu 12: Tính I = ∫ x; x dx Lời giải x = ( l) Xét khoảng ( 0; ) , ta có: x − x = ⇔  x =  BXD: x x − x2 + − Ta có: 2 x − x > với x ∈ ( 0;1) nên { x; x } = x x − x < với x ∈ ( 1; ) nên { x; x } = x Suy ra: 2 11 I = ∫ { x; x } dx + ∫ { x; x } dx = ∫ x dx + ∫ xdx = + = 1 2 Câu 13: Tính I = ∫ max { e x ; x } dx −1 Lời giải Xét khoảng ( −1;1) , ta có: e x − x = ⇔ x = BXD: x −1 ex − 2x − + Ta có: x e x − x < với x ∈ ( −1;0 ) nên max { x; x } = x e x − x > với x ∈ ( 0;1) nên max { x; x } = e Suy ra: 0 1 2x I = ∫ max { e ; } dx + ∫ max { e ; } dx = ∫ dx + ∫ e dx = + ex = + e − ln 2 ln −1 −1 −1 x x x x x x Tích phân hàm số xác định khoảng  x x ≥ Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) =  Biết hàm số f liên tục ¡ − x x ≤ Tính I = ∫ f ( x) −1 Lời giải Ta có: I= 1 −1 −1  ( x − 1) Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) =  x  2 − −1 x ≥ x ≤ Biết hàm số f liên tục ¡ Tính I = ∫ f ( x ) dx −2 Lời giải Ta có: ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ − xdx + ∫ x dx = + = I= ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) d x = ∫ ( −2 x −2 − 1) dx + ∫ ( x − 1) dx = + 78 2ln −  ( x + 1) x ≤ Xác định k để k − x x ≥ ( )  Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) =  ∫ f ( x ) dx = −1 Lời giải Ta có: 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ −2 ( x + 1) dx + ∫ k ( − x ) dx −1 −1 −1 0 ⇔ k = 3 Một số dạng khác ⇔ = −1 + k Câu 17: Cho 5 ∫ f ( x ) dx = 3, ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx Lời giải 5 1 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = + = Câu 18: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) Biết ∫ f ( x ) dx = 12, ∫ f ( x ) dx = F ( ) = Tính F ( ) Lời giải Ta có: 0 F ( ) − F ( ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 3 = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 12 − = 10 Suy ra: F ( ) = F ( ) − 10 = − 10 = −3 Câu 19: Cho hàm số f x liên tục đoạn 0;10 thỏa mãn ( ) [ ] 10 ∫ 10 biểu thức P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx f ( x ) dx = ; ∫ f ( x ) dx = Tính giá trị Lời giải 10 ∫ 10 f ( x ) dx = ⇔ = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⇔ = P + ⇔ P = DẠNG 4: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN VÀO CÁC BÀI TỐN KHÁC Câu 20: Cho hàm số g ( x ) = x2 t sin tdt xác định với x > Tìm g ′ ( x ) ∫ x Lời giải Gọi F ( t ) nguyên hàm hàm số f ( t ) = t sin t Suy ra: F ′ ( t ) = f ( t ) Ta có: g ( x) = x2 ∫ f ( t ) dt = F ( t ) x2 x = F ( x2 ) − F x ( x) ( *) Lấy đạo hàm hai vế (*) theo biến x ta được: 1 g ′ ( x ) = x.F ′ ( x ) − F ′ x ⇔ g ′ ( x ) = x f ( x ) − f x x ( ) ⇔ g ′ ( x ) = x.x sin x − x x sin x ⇔ g ′ ( x ) = x sin x − ( x) x sin x 3x t2 −1 dt Tìm g ′ ( x ) Câu 21: Cho hàm số g ( x ) = ∫ t + 2x Lời giải t −1 Gọi F ( t ) nguyên hàm hàm số f ( t ) = Suy ra: F ′ ( t ) = f ( t ) t +1 Ta có: g ( x) = 3x ∫ f ( t ) dt = F ( t ) 2x 3x 2x = F ( 3x ) − F ( x ) ( *) Lấy đạo hàm hai vế (*) theo biến x ta được: g ′ ( x ) = 3.F ′ ( x ) − F ′ ( x ) ⇔ g ′ ( x ) = f ( 3x ) − f ( x ) ⇔ g′ ( x ) = 9x2 − x2 −1 −2 9x2 + 4x +1 x Câu 22: Cho hàm số f số thực a > thỏa mãn điều kiện: ∫ a f ( t) dt + = x với x > t2 Tìm a f Lời giải Gọi F ( t ) nguyên hàm hàm số Ta có: f ( t) t2 Suy ra: F ′ ( t ) = f ( t) t2 f ( t) x dt = F ( t ) a = F ( x ) − F ( a ) ( *) t a Lấy đạo hàm hai vế (*) theo biến x ta được: x x −6 = ∫ f ( x) 1 = F′( x) ⇔ = ⇔ f ( x) = x x x x x Với f ( x ) = x x , ta có: x x t t ∫a t dt + = x ⇔ ∫a t dt + = x x ⇔ t + = x ⇔ −2 a + = ⇔ a = a DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN b Yêu cầu : Tính tích phân I = ∫ f1 ( x ) f ( x ) dx a Phương pháp: b + Biến đổi dạng I = ∫ f u ( x )  u ′ ( x ) dx a + Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ′ ( x ) dx + Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) = t1 ; x = b ⇒ t = u ( b ) = t + Khi đó: I = t2 ∫ f ( t ) dt tính phân đơn giản t1 Một số dấu hiệu cách chọn t = u ( x ) Dấu hiệu Cách chọn t Hàm số chứa mẫu số t mẫu số ( Hàm số chứa f x, u ( x) ) t căn: t = u ( x) Hàm số có dạng [ f ( x) ] (xấu)lũy thừa t biểu thức (xấu) lũy thừa, t = f ( x) Hàm số lượng giác có góc xấu t góc xấu Hàm số mũ, mà mũ xấu t mũ xấu Hàm số log u mà u xấu t =u n Hàm số f ( x) = Hàm f ( x ) = a sin x + b cos x c sin x + d cos x + e ( x + a) ( x + b) t = tan x x    cos ≠ ÷   + Với x + a > ∧ x + b > , đặt t = x+a + x+b Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Bài giải B Sai bước III C Sai từ bước II Lời giải D Sai từ bước I Chọn B Câu 65: [2D3-3] Cho tích phân dx m Đặt t = x + 3, ta I = dt ∫ x + x + ( ) t +n I =∫ (với m, n ∈¢ ) Tính T = 3m + n A T = B T = C T = Lời giải D T = Chọn D dx I = ∫ Tính 2x + ( x + 1) 2tdt = 2dx dx = tdt   Đặt t = x + 3, ta t = x + ⇒  t2 − ⇒  t −1 x = x + =     3 dx tdt 2dt I =∫ =∫ =∫ t −1 2x + t −1 ( x + 1) t 2 Vậy: m = 2, n = −1 , T = 3m + n = 3.2 − = Câu 66: [2D3-2] Tích phân I = π sin xdx ∫ 2sin x + cos x = aπ + b ln a + b bằng: Lời giải B A D C Chọn D π   1 cos x − sin x ÷ sin xdx 2 ( sin x − cos x ) − ( cos x − sin x ) I=∫ = ∫ dx =  ∫ 2dx − ∫ 2sin x + cos x dx ÷ sin x + cos x sin x + cos x 0 ÷   Đặt t = 2sin x + cos x ⇒ dt = ( cos x − sin x ) dx π π π π ⇒t = 2 2 1 π dt  1 1 I =  x 02 − ∫ ÷ = π − ln t = π − ln ⇒ a = , b = − 5 t  5 5 Vậy a + b = Đổi cận: x = ⇒ t = , x = ) ( Câu 67: [2D3-3] Cho hàm số f ( x ) liên tục [ −1; + ∞ ) ∫ ( f A I = C I = 16 Lời giải B I = ) x + dx = Tính I = ∫ x f ( x ) dx D I = Chọn D t = x + Đặt t = x + ⇒  dx =2t dt Đổi cận: Với x = ⇒ t = , Với x = ⇒ t = 2 Khi đó: = ∫ f ( ) 2 1 x + dx = ∫ 2t f ( t ) dt = ∫ x f ( x ) dx = I Vậy I = = x3 1 dx = − ln Tính a Câu 68: [2D3-2] Biết ∫ x + a + A a = B a = C a = Lời giải D a = Chọn A Tính ∫x x dx Đặt t = x + ⇒ x = t − ⇒ dt = xdx Khi x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = +1 Khi I = ∫ 2 x3 t −1  1 1 1 dx = ∫ dt = ∫ 1 − ÷dt = ( t − ln t ) = − ln = − ln 2 x +1 21 t 1 t  2 2 1+1 Vậy a = π Câu 69: [2D3-2] Cho I = sin x cos xdx u = sin x Mệnh đề đúng? ∫ 1 A I = ∫ u du B I = ∫ udu D I = − ∫ u du C I = − ∫ u du −1 0 Lời giải Chọn A Với u = sin x ta có du = cos xdx Đổi cận: x π u 1 Do đó: I = ∫ u du π xf x d x = ( ) ∫ I = Câu 70: [2D3-4] Cho biết ∫ sin xf ( sin x ) dx Tính tích phân π B I = A I = π Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx ; đổi cận x = 1 2 C I = Lời giải D I = Chọn D π π ⇒ t = ;x = ⇒ t =1 2 I = tf t d t = xf x d x = = ( ) ( ) ∫ ∫ Nên 6+ 2 −4 x + x − dx = a + b + cπ + Với a , b , c số nguyên ∫1 x +1 Khi biểu thức a + b + c có giá trị A 20 B 241 C 196 D 48 Lời giải Chọn B Câu 71: [2D3-4] Tính tích phân Ta có 6+ 2 ∫ −4 x + x − dx = x4 + ( 6+ 2 ∫  x2 +  − +  ÷dx = −4 x4 +1   ) 6+ 2 ∫ dx + 6+ 2 ∫ x2 + dx = I + J x +1 6+ 2 Tính I = −4 ∫ dx = −4 x 6+ 2 = −2 − 2 + 1 x +1 x2 J = d x = Tính ∫1 x + ∫1 ∫1  2 dx x− ÷ +2 x  x = ⇒ t = 1    Đặt t = x − ⇒ dt = 1 + ÷dx Đổi cận:  6+ x  x  ⇒t = x =  6+ 2 ∫ Khi J = 6+ 2 dt t2 + ( 2) x dx = x2 + x 1+ 6+ 2 1+ Đặt:  −π π  t = tan u , u ∈  ; ÷⇒ dt = ( + tan u ) du 2  t = ⇒ u =  Đổi cận  π t = ⇒ u = π Suy J = ∫ ( + tan u ) ( + tan u ) π 2 du = u = π ∫ 2 du = 6+ 2 π a = b = −16 −4 x + x − dx = −16 − 16 + π + ⇒  ∫1 x +1 c = Vậy a + b + c = 241 Vậy ( ) π Câu 72: [2D3-2] Tính I = sin x cos xdx ∫ A I = − B I = − C I = D I = Lời giải Chọn C π π Ta có: I = sin x cos xdx = sin xd ( sinx ) = sin x ∫0 ∫0 m Câu 73: [2D3-3] Cho m số thực dương thỏa mãn   7 2  3 B m ∈  0; ÷  2 A m ∈  3; ÷ ∫ π = x ( 1+ x ) dx = 16 Mệnh đề sau đúng? 3  C m ∈  ;3 ÷ 2  Lời giải 7  D m ∈  ;5 ÷ 2  Chọn B d ( 1+ x ) 1 dx = ∫ =− Ta có I = ∫ 3 2 ( + x2 ) ( + x2 ) ( 1+ x ) m x m m 1 =− + ( + m2 ) 1 2 I = ⇒ − + = ⇔ + m = ⇔ + m = ⇔ m = ⇔ m = ±1 ( ) Mà 16 (1+ m ) 16 Do m số thực dương nên m = x Câu 74: [2D3-3] Tập hợp nghiệm bất phương trình A ( −∞;0 ) Hướng dẫn giải x Ta có t ∫ t +1 ⇔ dt > ⇔ t2 +1 B ( −∞; +∞ ) 1 d ( t + 1) >0 ⇔ ∫ t2 +1 x t ∫ dt > (ẩn x ) C ( −∞; +∞ ) \ { 0} D ( 0; +∞ ) Chọn C ( t2 +1 ) x > 0.⇔ ) ( x2 + −1 > x2 + > ⇔ x > ⇔ x ≠ b Câu 75: [2D3-3] Biết ∫ dx = , a, b số dương Tính tích phân x a A I = ln C I = B I = ln eb ∫ x ln xdx ea D I = Lời giải Chọn B Đặt t = ln x ⇒ dt = b dx Đổi cận: x = e a ⇒ t = a; x = eb ⇒ t = b x b 1 Vậy I = ∫ dt = ∫ dx=2 t x a a sau đúng? A I = F ( ) − F ( ) B I = F ( ) − F ( ) 3x e ex dx Khẳng định ( 0; +∞ ) I = ∫ x x Câu 76: [2D3-3] Giả sử F ( x ) nguyên hàm f ( x ) = C I = F ( ) − F ( ) Lời giải D I = F ( 3) − F ( 1) Chọn C 3 3x 3x e e dx = ∫ d ( 3x ) Đặt t = 3x ⇔ dt = 3dx , đổi cận: x = ⇒ t = , x = ⇒ t = x 3x 1 I=∫ 9 et ex Vậy I = ∫ dt = ∫ dx = F ( ) − F ( 3) t x 3 ∫ ( 2 Câu 77: [2D3-3] Cho số nguyên dương n , đặt I n = x − x ) n dx J n = ∫ x ( − x ) dx Xét khẳng n định 1 (2) J n > (3) I n ≤ J n = ( n + 1) ( n + 1) ( n + 1) Các khẳng định khẳng định A Chỉ (1) (3) B Chỉ (1), (2) C Chỉ (2), (3) D Cả (1), (2) (3) Lời giải (1) I n ≤ Chọn A Đặt t = − x ⇒ dt = −2 xdx ⇒ J n = Chú ý: Đến ta chọn đáp ánA ( n + 1) ( Ta có: x ≤ x − x ≥ với x ∈ [ 0;1] nên x − x Suy ra: ) n ≤ x ( − x ) với x ∈ [ 0;1] n ∫ x ( 1− x ) n dx ≤ ∫ x ( − x ) dx ⇔ I n ≤ J n n Trong lời giải trên, ta sử dụng BĐT: Nếu f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục đoạn [ a; b ] f ( x ) ≤ g ( x ) với x ∈ [ a; b ] b ∫ a b f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx a f ( x) dx = hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn [ −1;1] , lúc Câu 78: [2D3-3] Cho ∫ + 2x −1 A B 16 C D Lời giải Đặt t = − x ta có = t ∫ f ( x ) dx -1 Chọn D f ( x) f ( −t ) f ( t) f ( x) d x = − d t = d t = ∫ + 2x ∫1 + 2−t ∫ + 2t ∫ + x dx −1 −1 −1 −1 1 x 1 1 x + 1) f ( x ) f ( x) 2x f ( x ) ( Suy + = ∫ d x + d x = d x = ∫ + 2x ∫ + 2x ∫ f ( x ) dx + 2x −1 −1 −1 −1 Câu 79: [2D3-3] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Biết ∫ A I = C I = B I = f ( x ) xdx = , tính I = ∫ f ( x ) dx D I = Lời giải Chọn A dt  Đổi cận: x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 4 dt f x x d x = ⇒ f t = ⇔  Khi ∫ ( ) ∫0 ( ) ∫0 f ( t ) dt =  Đặt t = x ⇒ dt = xdx ⇒ xdx =  Vậy ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = a ex dx = ln Câu 80: [2D3-3] Tìm a để ∫ x e +1 A a = B a = D a = ln Chọn C a d ( e + 1) a ex ea + x d x = = ln e + = ln ( ) ∫0 e x + ∫0 e x + x a Ta có C a = ln Lời giải Do ln ea + = ln ⇒ e a + = ⇔ ea = ⇔ a = ln 2 Câu 81: [2D3-3] Cho f ( x ) hàm số liên tục ¡ ∫ f ( x ) dx = −2, A I = B I = C I = Lời giải ∫ f ( x ) dx = 10 Tính I = ∫ f ( x ) dx D I = Chọn B +) Xét ∫ ( x ) dx 6  x = 1, t = ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = 10 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 20 Đặt t = x ⇒ dt = 2dx ⇒  22  x = 3, t = 2 +) Xét I = ∫ f ( x ) dx 6   x = 0, t = 1 t = x ⇒ d t = 3d x ⇒ ⇒ I = f t d t = f t d t + f ( t ) dt  ( ) ( ) Đặt  ∫ ∫ ∫ 30 0  x = 2, t =   1 I =  ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx  = ( −2 + 20 ) = 0  Câu 82: [2D3-3] Cho tích phân I = π sin x ∫ cos4 x + sin x dx Nếu đặt t = cos x mệnh đề sau mệnh đề ? A I = −1 ∫ t + dt B I = ∫ 1 t +1 1 C I = ∫ dt t +1 dt D I = ∫ 2 t +1 dt Lời giải Chọn B Ta có: I = π π sin x ∫ cos4 x + sin x dx = ∫ ⇔I= π 2sin x π ( sin sin x 2 x + cos x ) 2 dx − 2sin x cos x 2sin x ∫ − sin ( x ) dx = ∫ + cos2 ( x ) dx 0 x = ⇒ t =1 Đặt t = cos x ⇒ π x= ⇒t =0 , suy I = ∫ 1+ t dt x dx Nếu đặt t = x + I = ∫ f ( t ) dt , đó: x +1 1+ Câu 83: [2D3-3] Cho tích phân I = ∫ A f ( t ) = t + t B f ( t ) = 2t + 2t C f ( t ) = t − t Lời giải D f ( t ) = 2t − 2t Chọn D x dx x +1 1+ Xét I = ∫ Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx ; đổi cận x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2 t −1 ⇒I =∫ 2tdt = ∫ ( 2t − 2t ) dt Vậy f ( t ) = 2t − 2t 1+ t 1 e Câu 84: [2D3-3] Cho số thực m thoả mãn đây? A −5 ≤ m ≤ B m ≥ −1 + m ln t dt = , giá trị tìm m thỏa mãn điều kiện t ∫ C −6 < m < −4 Lời giải D m < −2 Chọn A e e e + m ln t m m   dt = ∫ ( + m ln t ) d ( ln t ) =  ln t + ln t ÷ = + = ⇔ m = −2 ∈ [ −5;0 ] t 2  1 1 ∫ π ∫ Câu 85: [2D3-3] Xét tích phân I = A I = sin x dx Nếu đặt t = + cos x , ta được: + cos x 4t − 4t ∫ t dt B I = −4t + 4t ∫ t dt 2 C I = ∫ ( t − 1) dt D I − ∫ ( t − 1) dt 1 Lời giải Chọn C Áp dụng công thức: t = + cos x ⇒ t = + cos x ⇒ 2tdt = − sin xdx Đổi cận: π x = ⇒ t = ; x = ⇒ t =1 Suy ra: π I=∫ π 2 sin x 2sin x cos x dx = ∫ dx = ∫ ( t − 1) dt + cos x + cos x e Câu 86: [2D3-3] Cho I = ln x ∫ x ( ln x + ) dx có kết dạng I = ln a + b với a, b Ô Khng nh no sau õy đúng: A 2a + 3b = B − b = a C 4a + 9b = 11 D 2ab = Lời giải Chọn B Đặt: t = ln x + ⇒ dt = dx Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = e ⇒ t = x 3 t −2 2  I = ∫ dt =  ln t + ÷ = ln − t t 2  Suy ra: a = ; b = − Câu 87: [2D3-3] Cho I = π ∫ sin S = a + b + c A S = cos x dx = a ln + b với a, b số hữu tỉ, c > Tính tổng x − 5sin x + c B S = C S = Lời giải Chọn B Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx 1 1 t−2 I =∫ dt = ∫ dt = − ln t − 5t + t − ) ( t − 3) t +3 0 ( = ln Suy ra: c = ; a = ; b = Vậy S = e ∫ Câu 88: [2D3-2] Tính I = x e + x dx kết quả: ( A e + e ) e + e2 − e e D S = B e e + e − e e C 1 e + e2 ) e + e − e e  (   ) ( e e + e2 − e e Lời giải D Chọn C e ( e 1 e + x2 d ( x2 + e ) = ( e + x2 ) e + x2 ∫ 20 I = ∫ x e + x dx = Câu 89: [2D3-3] Tích phân I = x ∫e = ( e + e ) e + e − e e   3 2016 +1 x −2 A ) e dx có giá trị là: 22018 2017 B 22017 2017 Lời giải C D 22018 2018 Chọn C 2016 2016 Vì f ( x ) = x hàm số chẵn đoạn [ −2; 2] nên I = ∫ x dx = 2017 2017 Phần 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN e Câu 90: [2D3-2] Cho tích phân I = ∫ x ln xdx Mệnh đề dây đúng? e e A I = x ln x + ∫ x ln xdx 1 e e e e B I = x ln x − ∫ x ln xdx e 2 C I = x ln x − ∫ x ln xdx D I = e 2 x ln x − ∫ x ln xdx 1 Lời giải Chọn D  du = ln xdx  u = ln x  x ⇒ Đặt  dv = xdx v = x  2 e Nên I = e 2 x ln x − ∫ x ln xdx 1 π 2 Câu 91: [2D3-2] Cho tích phân I = ∫ x cos x dx u = x , dv = cos x dx Khẳng định sau đúng? A I = x sin x π C I = x sin x π π − 2∫ x sin x dx B I = x sin x π 0 π + ∫ x sin x dx D I = x sin x π 0 π − ∫ x sin x dx π + ∫ x sin x dx Lời giải Chọn A Ta có: u = x ⇒ du = xdx , dv = cos x dx ⇒ v = sin x 2 Suy I = x sin x π Câu 92: [2D3-2] Biết π − 2∫ x sin x dx ∫ x cos xdx = (a sin + b cos + c) với a, b, c ∈¢ Mệnh đề sau đúng? A 2a + b + c = −1 B a + 2b + c = C a − b + c = Lời giải D a + b + c = Chọn C  du = dx u = x  ⇒ Đặt  sin x dv = cos xdx v =  1 x sin x 1 x cos x d x = | − sin xdx = ( 2sin + cos − 1) Khi ∫ ∫ 20 Vậy a − b + c = Câu 93: [2D3-3] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 f ( 1) − f ( ) = Tính B I = A I = −12 ∫ f ( x ) dx C m = Lời giải D I = −8 Chọn D 1 u = x + du = dx ⇒ Khi I = ( x + 1) f ( x ) − ∫ f ( x ) dx dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) Đặt  1 0 Suy 10 = f ( 1) − f ( ) − ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = −10 + = −8 Vậy ∫ f ( x ) dx = −8 Câu 94: [2D3-3] Biết I = ∫ e x +1 S = a+b A S = 10 a dx = e với a , b số thực thỏa mãn a − b = −2 Tính tổng b B S = C S = Lời giải D S = Chọn A Đặt t = x + ⇒ t = 3x + ⇒ 2tdt = 3dx Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2 t x +1 I = e d x = te dt Ta có: ∫0 ∫1 2 u = t du = dt t 2 t 2 2 ⇒ I = te − e dt = ( tet ) − et = e Đặt  nên  ( ) t t ∫ 1 31 3  d v = e dt  v = e a a =  = ⇒ ⇒ a + b = 10 Vậy  b b =    a − b = −2 Câu 95: [2D3-2] Cho tích phân I = π ∫ ( x − 1) sin xdx Tìm đẳng thức A I = − ( x − 1) cos x π π + ∫ cos xdx π π C I = − ( x − 1) cos x 04 + cos xdx 2 ∫0 π B I = − ( x − 1) cos x − cos xdx ∫ π π D I = − ( x − 1) cos x 04 − cos xdx 2 ∫0 Lời giải Chọn C π  du = dx π u = x −  1 ⇒ Đặt  ta có I = − ( x − 1) cos x + ∫ cos xdx  20  dv = sin xdx v = − cos x  Câu 96: [2D3-2] Biết I = ln ( x + 1) dx = a ln + b , (vi a , b Ô ) Tính S = 3a − b ∫ A S = B S = 11 C S = Lời giải D S = Chọn D  u = ln ( x + 1) dx   du = ⇒ 3x + Đặt   dv = dx  v = x Ta có: 1 3x dx x + I = ∫ ln ( x + 1) dx = ( x.ln ( x + 1) ) − ∫ 0 1     = ln − ∫  − ÷dx = ln −  x − ln 3x + ÷ = ln − 3x +   0 0 Suy a = , b = −1 Vậy S = 3a − b = ln x b b Câu 97: [2D3-3] Biết ∫ dx = + a ln (với a số thực, b, c số nguyên dương phân số tối x c c giản) Tính giá trị 2a + 3b + c A B − C D Lời giải Chọn A  du = d x u = ln x    x ⇒ Đặt  dv = x dx v = −  x 2 ln x 1 1 1 ∫1 x dx = − x ln x − ∫1 − x dx = − ln − x = − ln Suy b = 1; c = 2; a = − Nên 2a + 3b + c = 2 e Câu 98: [2D3-2] Tích phân I = ∫ x ln xdx bằng: 1 A I = B I = e2 − e2 + Lời giải C D e2 − Chọn C Phương pháp: Sử dụng máy tính để tính tích phân Vì máy tính số lẻ nên bạn cần phải kiểm tra đáp án Ngoài bạn cũng co thê giải bằng phương pháp tích phân từng phần dx x2 I = uv − vdu |1e Đặt ln x = u; xdx = dv Suy = du; v = x Câu 99: [2D3-2] Tính K = e−4 ∫ ( x + ) ln ( x + ) dx −3 A K = e2 − B K = e2 − C K = D K = e2 + Lời giải Chọn D  du = dx  u = ln ( x + )  x+4 ⇒ Đặt  v = ( x + ) dv = ( x + )  Khi : e − e− 1 I = ( x + ) ln ( x + ) − ∫ ( x + ) dx −3 2 −3 I= e−4 1 e2 + 2 e−4 − ( x + 4) = ( x + ) ln ( x + ) −3 −3 4 e Câu 100: [2D3-3] Ta có tích phân I = ∫ x ( + ln x ) dx = a.e + b ; với a , b số nguyên Tính M = ab + 4(a + b) A M = −5 C M = Lời giải B M = −2 D M = −6 Chọn C e e Ta có: I = ∫ x ( + ln x ) dx = 2∫ ( + ln x ) d ( x ) 1  e   e2  = ( + ln x ) x − ∫ x × dx  =  2e − − + ÷ = 3e − 1 x  2   Nên a = 3, b = −1 nên M = e Câu 101: [2D3-2] Biết ∫ ln ( x + 1) dx = a ln + b ln + c với a , b , c số nguyên Tính S = a + b + c A S = B S = C S = Lời giải D S = −2 Chọn B  u = ln ( x + 1) dx du = ⇒ x +1 Đặt  dv = dx v = x + 2 Khi đó: ∫ ln ( x + 1) dx = ( x + 1) ln ( x + 1) − ∫ dx = 3ln − ln − 1 Vậy a = 3; b = −2; c = −1 ⇒ S = a + b + c = Câu 102: [2D3-2] Cho ∫ ln ( x + 1) dx = a + ln b , ( a, b ∈ ¢ ) Tính ( a + 3) b A 25 B C 16 D Lời giải Chọn C  u = ln ( x + 1) dx  d u = ⇒ x +1 Đặt   dv = dx  v = x + 1 I = ∫ ln ( x + 1) dx = ( x + 1) ln ( x + 1) − ∫ ( x + 1) 0 = ln − x = ln − = −1 + ln ⇒ a = −1, b = ⇒ ( a + 3) = 16 b dx x +1 Câu 103: [2D3-2] Biết π x ∫ cos A P = Câu 104: [2D3-2] Biết π π + ln Tính P = a + b x a b B P = C P = dx = D P = ∫ x cos xdx = a + bπ , với a, b số hữu tỉ Tính S = a + 2b A S = C S = B S = D S = Lời giải Chọn A du = dx u = x  ⇒ Ta dùng tích phân phần, ta đặt:  dv = cos xdx v = sin2x  Theo cơng thức tích phân phần suy ra: π π π π 1 1 π I = x sin2x − ∫ sin2xdx =x sin2x + cos2x = − 2 0 0   a = − ⇒ a + 2b = Ta có  b =  π Câu 105: [2D3-2] Giá trị tích phân I = x cos xdx biểu diễn dạng a.π + b ( a, b Ô ) Khi tích a.b A B − 32 16 Lời giải C − u = x  du = dv   ⇒  Đặt  + cos x 1 dx v = x + sin x dv = cos xdx =   π π 1 1  1  Vậy I = x  x + sin x ÷ − ∫  x + sin x ÷dx 4 2  02  π π2 1  = −  x − cos x ÷ 4 0 1π2  1 − − ( −1 − 1) ÷ = π − 4  16  a=   16 ⇒ a.b = − Theo giả thiết I = a.π + b ⇒  64 b = −   = π2 D − 64 Chọn D π sin x ∫ Câu 106: [2D3-2] Biết − + x6 + x3 π a+b+c+d A a + b + c + d = 28 I= π ∫ − π sin x 1+ x + x dx = π3 3π + + cπ + d với a, b, c, d số nguyên Tính a b dx = B a + b + c + d = 16 π ∫ − π ( ) 1+ x − x D a + b + c + d = 22 Chọn A + x − x3 sin x C a + b + c + d = 14 Lời giải dx = π ∫( − ) + x − x sin xdx π π π  x =− ⇒t =   3 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận  x = π ⇒ t = − π  3  − I= π ∫( π π ) + t + t sin ( −t ) ( −dt ) = − ∫ Suy I = π ∫ ( −2 x π − 3 sin x ) dx ⇔ I = π − π ) ( ∫x π + t + t sin tdt = − ∫ π − ( ) + x + x sin xdx sin xdx π − x3 (+) + sin x 3x (–) − cos x 6x (+) − sin x + cos x (–) I = ( − x sin x + 3x cos x + x sin x − 6sin x ) π π − = π 3π − − 2π + 27 3 + sin x Suy ra: a = 27, b = −3, c = −2, d = Vậy a + b + c + d = 28 π Câu 107: [2D3-2] Biết A P = x ∫ sin x dx = mπ + n ln (m, n ∈ ¡ ) , tính giá trị biểu thức P = 2m + n π B P = 0, 75 C P = 0, 25 Lời giải D P = Chọn A u=x   du =dx  ⇔ Đặt  , ta có v = − cot x dv = sin x dx π π π x + cot xdx = − x.cot x d x = − x cot x ( ) ( ) ∫ π π∫ π sin x 4 1 ⇒ m = ;n = π π 2 + ln sin x = π + ln π π 4 1 P = 2m + n = + = x Câu 108: [2D3-2] Kết tích phân I = ∫ ( x + ) e dx viết dạng I = ae + b với a, b số hữu tỉ Tìm khẳng định A a − b = B a + b3 = 28 C ab = Lời giải D a + 2b = Chọn D 1 0 I = ∫ ( x + 3) e x dx = ∫ ( x + 3) d ( e x ) = ( x + 3) e x − ∫ e x dx = 5e − − 2e + = 3e − 1 Vậy a = 3, b = −1 nên a + 2b = Câu 109: [2D3-2] Biết tích phâ π x ∫ cos x dx = aπ − ln , a ∈ ¡ Phần nguyên a − B −2 A C Lời giải D −1 Chọn D u = x  du = dx  ⇒ Đặt  dv = dx v = tan x  cos x  Suy ra: π π I = x tan x − ∫ tan xdx = π + ln cos x π = π − ln 3 Vậy [ a − 1] = −1 Chú ý: x − < [ x ] ≤ x Suy ra: a = ∫ 2x Câu 110: [2D3-2] Tính tích phân I = 3x.e dx 3e + 16 A B 2e + 3e + Lời giải C D e2 + Chọn C du = 3dx u = x  ⇒ Đặt  2x 2x  d v = e dx  v = e  Suy ra: 1 2x 2x 3e 3e2 + I = xe − ∫ e dx = − ( e − 1) = 20 4 ∫ ( ) Câu 111: [2D3-2] Tính giá trị K = x ln + x dx A K = ln − B K = ln − C K = ln + Lời giải D K = − ln + Chọn B 2x  du = + x dx u = ln ( + x ) ⇒ Đặt  v = x + dv = xdx  Suy ra: 1 x2 + 1 I= ln ( x + 1) − ∫ xdx = ln − 2 0 Câu 112: [2D3-4] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa f ( 1) − f ( ) = x Tính I = ∫  f ( x ) ln + f ′ ( x )  dx A I = B I = C I = Lời giải D I = −1 Chọn A I = ∫  x f ( x ) ′ dx = f ( 1) − f ( ) = 1 2017 + 2017 x 2016 ) e x dx Câu 113: [2D3-3] Tính giá trị K = ∫ ( x A K = e 2017 B K = e C K = e − Lời giải D K = e + Chọn B K = ∫ ( x 2017 e x ) ′ dx = x 2017 e x = e 0 Câu 114: [2D3-3] Tính giá trị K = π ∫ ( + tan x + tan x ) e dx x A K = π B K = C K = e Lời giải D K = e Chọn C π K = ∫ ( tan x.e x ) ′ dx = tan x.e x π π = e4  2x +1  x 3 ÷e dx = a.e + b.e , với a , b số nguyên Tính S = a + b x  B S = C S = D S = Lời giải ∫ Câu 115: [2D3-3] Biết K =  A S = Chọn B 4 ( )  x  x ′ x K = K = ∫ x + ÷e dx = ∫ x e dx = x e = 2e − e x 1 Suy ra: a = , b = −1 Vậy S = -///