Cho hình vuông OACB và một điểm M thuộc OC... Cho tứ giác ABCD..[r]
(1)
Bài Cho ∆ABC vuông tại A có AB=a, BC =2a Tính các tích vô hướng
a/ AB.AC uuur uuur
b/ AC.CB
uuur uuur
c/ AB.BC
uuur uuur Bài Cho ∆ABC đều cạnh bằng a Tính các tích vô hướng
a/ AB.AC uuur uuur
b/ AC.CB
uuur uuur
c/ AB.BC
uuur uuur
Bài Cho ∆ABC vuông cân có AB=AC=a có AH là đường cao Tính các tích vô hướng sau
a/ AB.AC uuur uuur
b/ AH.BC
uuur uuur
c/ AC.CB
uuur uuur
và AB.BC uuur uuur
Bài Cho ∆ABC vuông tại A, có AB.CB=4 uuur uuur
và AC.BC=9 uuur uuur
a/ Tính các cạnh của ∆ABC
b/ Gọi I, J là các điểm thỏa các đẳng thức véctơ IA +2IB=0, 2J B J C- =0
uur uur r uur uur r
Tính IJ uur
theo
hai véctơ BA,BC
uuur uuur
Bài Cho ∆ABC vuông tại A có AB=3, AC=4 Tính tích vô hướng
Ta có thể lựa chọn một các hướng sau
Hướng Sử dụng định nghĩa bằng cách đưa hai véctơ và về cùng gốc để xác định chính xác góc , từ đó:
Hướng Sử dụng các tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai véctơ Hướng Nếu đề bài cho dạng tọa độ
Tính góc:
Chứng minh vuông góc
Ta có thể lựa chọn một các hướng sau
Hướng Nếu đề bài không cho tọa độ, ta sử dụng tính chất của tích vô hướng Đặc biệt:
Hướng Nếu đề bài cho dạng tọa độ thì
(2)a/ Tính các tích vô hướng: AB.BC, BC.CA, CA.AB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b/ Nếu BC=5 cm , CA( ) =7 cm , AB( ) =8 cm( )
Tính ( )
BC,BA uuur uuur
và µB
Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD=3 cm( ) Hãy tính ( )
AD,ACuuur uuur
Bài Cho ∆ABC vuông tại A có BC=a 3, M là trung điểm của BC Biết rằng
2 a AM.BC
2 = uuur uuur
Hãy tính AB, AC
Bài Cho ∆ABC đều cạnh a và AM là trung tuyến của tam giác Tính các tích vô hướng sau
a/ AC 2AB( - 3AC)
uuur uuur uuur
b/ AC AC( - AB)
uuur uuur uuur
c/ AM.AB uuur uuur
d/ (AB- AC AB) ( +AC)
uuur uuur uuur uuur
e/ (CA +BC CA) ( +CB)
uuur uuur uuur uuur
f/ m=AB.BC+BC.CA+CA.AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài Cho ∆ABC có BC =a, CA =b, AB=c Tính các tích vô hướng sau theo a, b, c
a/ BA.BC uuur uuur
b/ CB.CA
uuur uuur
c/ AC.AB
uuur uuur
Bài Cho ∆ABC có AB=3a, AC=a, Aµ =600 Tính AB.AC uuur uuur
Suy độ dài cạnh BC và độ dài
đường trung tuyến AM Bài 10 Cho ∆ABC có
a/ AB=2, AC=3, Aµ =600 Hãy tính đợ dài cạnh BC
b/ AB=3, BC=4, Bµ =450 Hãy tính độ dài cạnh AC
c/ CA =5, BC=6, Cµ =1200 Hãy tính đợ dài cạnh AB
Bài 11 Cho ∆ABC có BC =a, CA =b, AB=c Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1 : a b c 2bccosA : b a c 2accosB : c a b 2abcosC
= +
-= +
-= +
-(Định lý hàm cos)
Bài 12 Cho ∆ABC có AB=5, BC =7, CA =9 a/ Tính cosA, cosB, cosC
b/ Tính AB.BC+BC.CA +CA.AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur
c/ Tính độ dài ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC
Bài 13 Cho tam giác ABC có AB=5, BC =7, AC=8
a/ Tính AB.AC uuur uuur
, suy giá trị của góc A b/ Tính CA.CB
uuur uuur
(3)a/ AB.AC uuur uuur
b/ AC AB( +AD)
uuur uuur uuur
c/ AB.BD uuur uuur
d/ (AB+AD BD)( +BC)
uuur uuur uuur uuur
e/ (AC- AB 2AD AB)( - )
uuur uuur uuur uuur
f/ (AB+AC BC)( +BD+BA)
uuur uuur uuur uuur uuur
g/ (AB+AC+AD DA)( +DB+DC)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
h/ OA.AB uuur uuur
Bài 15 Cho ∆ABC có AB=c, AC=b, AB=a Gọi G là trọng tâm và D, E, F lần lượt là chân đường phân giác của góc A, B, C Tính
a/ Tích vô hướng của các véctơ: AG.BC, BG.AC, CG.AB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b/ Độ dài các cạnh AG, BG, CG
c/ Tính giá trị của S=GB.GC+GC.GA+GA.GB uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 16 Cho tam giác ABC có AB=2, BC=4, CA =3
a/ Tính AB.AC, BC.BA, CA.CB uuur uuur uuur uuur uuur uuur
, suy cosA, cosB, cosC b/ Gọi G là trọng tâm của ABC Tính AG.BC
uuur uuur
c/ Tính giá trị biểu thức S=GA.GB+GB.GC+GC.GA uuur uuur uuur uuur uuur uuur
d/ Gọi AD là phân giác của góc BAC, D BC· ( Ỵ ) Tính AD uuur
theo AB,AC uuur uuur
, suy AD
HD: a/
3 AB.AC = -uuur -uuur , cosA = -b/ AG.BC = uuur uuur c/ 29 S = -
d/ Đường phân giác
AB DB DC AC = uuur uuur
AD AB AC
5
= +
uuur uuur uuur
, 54 AD =
Bài 17 Cho tam giác ABC có AB=2, AC=3, A =600 Gọi M là trung điểm của BC a/ Tính BC, AM
b/ Tính IJ, đó I, J được xác định bởi: 2IA +IB=0, J B=2J C uur uur r uur uur
HD: a/
7 BC 19, AM
2 = = b/ IJ 133 =
Bài 18 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB=2a, đáy lớn BC =3a, đáy nhỏ AD=2a
a/ Tính các tích vô hướng: AB.CD, BD.BC, AC.BD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b/ Gọi I là trung điểm của CD, tính AI.BD
uur uuur
Suy góc của hai véctơ AI uur
và BD uuur
Bài 19 Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB=a 3, canh đáy AD=a, BC=2a
a/ Tính AC.BD uuur uuur
Suy góc nhọn tạo hai đường AC và BD
b/ Gọi G là trọng tâm của ∆BCD và tính AG.AB uuur uuur
Bài 20 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I, cạnh AB=a, AD=b Tính theo a, b các tích vô hướng
a/ AB.AC, BD.AC, AC ( - AB AC)( +AD)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(4)b/ MA.MC+MB.MD uuur uuur uuur uuur
với M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD
Bài 21 Cho tam giác ABC có A 1;2 , B( ) (- 2;6 , C 9;8) ( )
a/ Tính AB.AC uuur uuur
Chứng minh tam giác ABC vuông tại A b/ Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c/ Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC d/ Tính chu vi, diện tích tam giác ABC
e/ Tìm toạ độ điểm M Oy để B, M, A thẳng hàng f/ Tìm toạ độ điểm N Ox để tam giác ANC cân tại N g/ Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật
h/ Tìm toạ độ điểm K Ox để AOKB là hình thang đáy AO
i/ Tìm toạ độ điểm T thoả TA +2TB- 3TC =0 uuur uuur uuur r
k/ Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B
l/ Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác tại đỉnh C của ABC
Bài 22 Cho tam giác ABC có A 0;2 , B 6;9 , C 4;1( ) ( ) ( ) Câu hỏi tương tự bài 302 Bài 23 Xác định hình dạng của tam giác ABC biết
a/ A 1;0 , B 5;0 , C 3;4( ) ( ) ( ) b/ A 1;2 , B( ) (- 2;6 , C 9;8) ( )
c/ A(- 1;0 , B 3;0 , C 1;2 2) ( ) ( ) d/ A 5;7 , B 8; , C 0; 7( ) ( - ) ( - ) Bài 24 Xác định hình dạng của tứ giác biết
a/ A 2;6 , B 3;3 , C( ) ( ) (- 3;1 , D) (- 4;4) b/
( ) ( ) ( ) ( )
A - 2; , B- - 1;3 , C 3;2 , D 2;
-
c/ A(- -2; , B 4; , C 2; , D 1; 3) ( - ) ( - ) (- - ) d/ A 2;1 , B 3;6 , C( ) ( ) (- 2;5 , D) (- 3;0)
Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a=( )1;3 , b=(6; , c- ) =( )x;1
r r r
a/ Chứng minh a^b r r
b/ Tìm x để a^c r r
c/ Tìm x để a
r
cùng phương với c r
d/ Tìm tọa độ véctơ d r
để a^d r r
và
b.dr r =20
Bài 26 Trong mặt phẳng Oxy, cho A 1;4 ,B( ) (- 3;2) và véctơ v=(2m 1;3 4m+ - )
r
a/ Tìm m để v
r
cùng phương với AB uuur
b/ Tìm m để v^AB r uuur
Bài 27 Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm: A 2;3 ,B 9;4 ,C 5;y ,D x; 2( ) ( ) ( ) ( - )
a/ Tìm y để ∆ABC vuông tại C b/ Tìm x để điểm A, B, D thẳng hàng
Bài 28 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(- 3;3 ,B 4;4) ( )
(5)Bài 29 Tính góc giữa hai véctơ a r
và b r
các trường hợp sau
a/ a=( )4;3 ,b=( )1;7
r r
b/ a=( )2;5 ,b=(3; 7- )
r r
c/ a=(6; ,b- ) =(12;9)
r r
d/ a=(2; ,b- ) = -( 3;9)
r r
Bài 30 Cho ∆ABC với A 1;6 ,B 2;6 ,C 1;1( ) ( ) ( )
a/ Tìm tọa độ trực tâm H b/ Vẽ AK ^BC Xác định tọa độ điểm K
Bài 31 Cho tam giác ABC có A 1;–1 , B 5;–3 , C 2;0( ) ( ) ( ) a/ Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC
b/ Tìm toạ độ điểm M biết CM =2AB 3AC -uuur uuur uuur
c/ Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 32 Cho ∆ABC cso A 4;3 ,B 0; ,C( ) ( - ) (- 6; 2- ) a/ Chứng minh ∆ABC vuông tại B
b/ Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c/ Tìm tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 33 Cho ∆ABC biết A 1;2 ,B( ) (- 3; 4- )
a/ Tìm tọa độ hình chiếu của A lên BC b/ Tìm diện tích tam giác ABC
Bài 34 Cho ba điểm A 7;4 ,B 0;3 ,C 4;0( ) ( ) ( ) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên BC Từ
đó suy tọa độ điểm A1 là điểm đối xứng với A qua BC
Bài 35 Cho ∆ABC, biết A 1;2 ,B( ) (- 1;1 ,C 5; 1) ( - )
a/ Tính AB.AC uuur uuur
b/ Tính cos và sin góc A
c/ Tìm tọa độ chân đường cao A1 của ∆ABC d/ Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC
e/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC f/ Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆
g/ Chứng minh rằng I, H, G thẳng hàng
Bài 36 Cho A 0;2 ,B 6;9 ,C 4;1 ,D 2;10( ) ( ) ( ) ( )
a/ Chứng minh: ∆ABC vuông b/ Chứng minh: ABCD là hình chữ nhật c/ Gọi C' thỏa CC '=AB
uuur uuur
Tìm C', suy D đối xứng với C' qua B
Bài 37 Cho ∆ABC có AB=a,AC=2a Gọi D là trung điểm cạnh AC, M là điểm thỏa
BM BC
3 = uuur uuur
Chứng minh BD vuông góc với AM
Bài 38 Cho ∆ABC có góc A nhọn Vẽ bên ngoài ∆ABC các tam giác vuông cân đỉnh A là ∆ABD, ∆ACE Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: AM ^DE
Nếu góc A tù hoặc vuông thì kết còn đúng không ? Tại ?
Bài 39 Cho ∆ABC cân tại A, H là trung điểm của BC và D là hình chiếu của H lên AC, M là trung
(6)a/ Chứng minh: DA.BC+DB.CA +DC.AB =0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b/ Từ đó suy một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao tam giác đồng qui" Bài 41 Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF.
Chứng minh: BC.AD+CA.BE+AB.CF =0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 42 Cho ∆ABC đều, BC, CA, AB lấy các điểm D, E, F thỏa 3DB =BC, 3CE =2CA
uuur uuur uuur uuur
và 15AFuuur=4ABuuur Chứng minh: AD^EF.
Bài 43 Cho hình vuông OACB và một điểm M thuộc OC Kẻ đường PP' qua M và vuông góc với OA, đường QQ' qua M và vuông góc với OB
a/ Chứng minh: AM=PQ b/ Chứng minh: AM ^PQ Bài 44 Cho ba điểm A, B, M Gọi O là trung điểm của AB.
Chứng minh rằng: 4OM2=AB2 Û MA ^MB
Bài 45 Cho ∆ABC có AB=c, BC=a, AC=b Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc là b2+c2=5a2
Bài 46 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là BA.BC=AB2 uuur uuur
Bài 47 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm ( )O Gọi H là điểm xác định OHuuur=OAuuur+OBuuur+OCuuur.
a/ Tính AG.BC uuur uuur
Suy H là trực tâm của tam giác ABC
b/ Tìm hệ thức giữa độ dài ba cạnh tam giác ABC là a, b, c cho AH^AM với M là trung
điểm của BC
Bài 48 Cho hình vuông ABCD.
a/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD Chứng minh AM ^BN
b/ Gọi P, Q tương ứng BC, CD cho
1
BP BC, CQ CD
4
= =
Chứng minhAP ^BQ
Bài 49 Cho hình chữ nhật ABCD có
a/ AB=a, AD=a Gọi K là trung điểm của AD Chứng minh: BK ^AC
b/ AB=a, AD=b Gọi K là trung điểm của AD và L tia DC cho
2 b DL
2a =
Chứng minh: BK ^AL
Bài 50 Cho tứ giác ABCD có AC ^BD tại M Gọi P là trung điểm của AD Chứng minh rằng: MP ^BC Û MA.MCuuur uuur =MB.MDuuur uuur.
Bài 51 Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm AC cho
AC AM
4 =
Gọi N là trung điểm của
DC Chứng minh tam giác BMN là tam giác vuông cân
(7)a/ AC^BD b/ AIB· =900 với I là trung điểm của CD
Bài 53 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB=2a, AD=a, BC=4a
a/ Tính AC.BD uuur uuur
Suy góc giữa AC và BD
b/ Gọi I là trung điểm của CD, J là điểm di động cạnh BC Dùng tích vô hướng để tính BJ
sao cho AJ và BI vuông góc
Bài 54 Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD=a, BC=b, đường cao AB=h Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h để
a/ BD^CI với I là trung điểm của AB b/ AC^DI
c/ BM ^CN với M, N lần lượt theo thứ tự là trung điểm của AC và BD
ĐS: a/ h2=2ab b/ h2=2ab c/ h2=2b2- ab
Bài 55 Cho tứ giác ABCD
a/ Chứng minh: AB2- BC2+CD2- DA2 =2AC.DB uuur uuur
b/ Suy điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
2 2
AB +CD =BC +DA
Bài 56 Cho ∆ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của BC Lấy các điểm B1, C1 AB và AC
sao
cho AB.AB1=AC.AC1 Chứng minh: AM ^B C1 1.
Bài 57 Cho ∆ABC cân đỉnh A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, M là trung điểm của AB, E là
trọng tâm của ∆ACM Chứng minh: OE ^CM
Bài 58 Cho ∆ABC cân đỉnh A, O là tâm đương tròn ngoại tiếp, gọi BB1 và CC1 là đường cao của
tam
giác ABC Chứng minh: OA ^B C1 1.
(8)
Chứng minh đẳng thức tích vô hướng hay về độ dài Chứng minh đẳng thức tích vô hướng hay độ dài
Với các biểu thức về tích vô hướng, ta sử dụng định nghĩa hoặc tích chất của tích vô hướng Cần đặc biệt lưu ý phép phân tích véctơ để biến đổi (quy tắc ba điểm , quy tắc trung điểm, quy tắc hình bình hành, …)
Với các công thức về độ dài, ta thường sử dụng: Cần nắm vững các hình tính của những hình
Xác định điểm, quỹ tích điểm thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài Bài toán: Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài
Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một các dạng sau: Dạng , thì điểm M thuộc đường tròn tâm A, bán kinh Dạng với A, B cố định và k không đổi Khi đó: Gọi I là trung điểm của AB, ta được:
Khi đó:
● Nếu thì M không tồn tại ● Nếu thì là trung điểm của AB
● Nếu thì M thuộc đường tròn tâm I bán kính Dạng với A, B cố định Khi đó:
Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, A len BC, ta được: , có giá trị không đổi và Ao cố định nên Mo cố định
Vậy điểm M thuộc đường vuông góc với BC tại Mo Đặc biệt, thì M thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với BC
Sử dụng tích vô hướng giải bài toán cực trị
đặt
Phương pháp: Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, chẳng hạn như:
với c là hằng số và I cố định đạt được
Lưu ý: Cần nắm vững cách tìm cực trị phần đại số (BĐT Cauchy, BCS,…)
(9)Bài 60 Cho hai điểm A và B Gọi O là trung điểm của AB và M là một điểm tùy ý Chứng minh
rằng: MA.MB =OM2- OA2 uuur uuur
Bài 61 Cho ∆ABC, gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: AB.AC=MA2- MB2 uuur uuur
Bài 62 Cho ∆ABC đều, cạnh a, có đường cao AH và trọng tâm G Tính
GB.GC, AB.GC, GC.BHuuur uuur uuur uuur uuur uuur.
Bài 63 Cho ∆ABC và một điểm M tùy ý Chứng minh: AB.CM+BC.AM+CA.BM =0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 64 Chứng minh rằng:
a/ MA.BC+MB.CA+MC.AB=0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
với mọi điểm M, A, B, C (gọi là hệ thức Euler)
b/ ( )
2 2
1
AB.AC AB AC BC
2
= +
-uuur -uuur
với mọi điểm A, B, C
c/ ( )
2 2
1
MN.PQ MQ NP MP NQ
2
= + -
-uuur -uuur
với mọi điểm M, N, P, Q Bài 65 Cho ∆ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF
Chứng minh: BC.AD+CA.BE+AB.CF =0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 66 Cho I là trung điểm của đoạn AB, M là một điểm tùy ý Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB Chứng minh rằng:
a/ ( )
2
1
MI.AB MB MA
2
=
-uur u-uur
b/
2
MA.MB MI AB
4
=
-uuur -uuur
c/
2 2
MA MB 2MI AB
2
+ = +
d/
2
MA - MB =2IH.AB
Bài 67 Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M tùy ý Chứng minh:
a/ MA.MC =MB.MD uuur uuur uuur uuur
b/ MA2+MC2=MB2+MD2
Bài 68 Cho hai điểm M, N nằm đường tròn đường kính AB=2R Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN
a/ Chứng minh: AM.AI =AB.AI, BN.BI =BA.BI uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur
b/ Tính AM.AI +BN.BI uuur uur uuur uur
theo R
Bài 69 Cho ∆ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC Chứng minh:
2
MH.MA BC
4 = uuur uuur
Bài 70 Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì Chứng minh:
a/ MA2+MC2=MB2+MD2 b/ MA.MC=MB.MD uuur uuur uuur uuur
c/ MA2+MB.MD=2MA.MO uuur uuur uuur uuur
(10)Bài 71 Cho ∆ABC có AA ',BB ',CC ' là các trung tuyến, G là trọng tâm, M là điểm tùy ý Chứng minh rằng:
a/ AA '.BC+BB '.CA+CC '.AB =0 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
b/ MA '.BC+MB '.CA+MC '.AB=0 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
c/ ( )
2 2 2
MA.MB MB.MC MC.MA MA MB MC AB BC CA
2
+ + = + + - + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
d/ ( )
2 2 2
MA.MB MB.MC MC.MA MA ' MB ' MC ' AB BC CA
+ + = + + - + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
e/ ( )
2 2 2 2 2
MA MB MC MA ' MB ' MC ' AB BC CA
4
+ + = + + + + +
Bài 72 Cho ∆ABC có G là trọng tâm và M là điểm tùy ý Chứng minh rằng:
a/ ( )
2 2 2
GA GB GC AB BC CA
3
+ + = + +
b/ ( )
2 2 2 2
MA MB MC 3MG AB BC CA
3
+ + = + + +
c/ MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2 (đẳng thức Leibnizt) Bài 73 Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM
Chứng minh rằng: 2MA2+MB2+MC2=4MI2+2IA2+IB2+IC2
Bài 74 Cho ∆ABC, H là trực tâm, M là trung điểm của BC, I là trung điểm AM Chứng minh rằng:
a/
2 MH.MA BC
4 = uuur uuur
b/
2 2
MH MA AH BC
2
+ = +
Bài 75 Cho ∆ABC đều nội tiếp đường tròn tam O bán kính R, M Ỵ ( )O Chứng minh rằng:
a/ MA2+MB2+MC2=6R2 b/ MA2+2MB.MC=3R2 uuur uuur
c/ MA =MB+MC (M thuộc cung nhỏ BC)
Bài 76 Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng d M và một điểm C d (C khác M) Chứng
minh rằng d là tiếp tuyến của đường tròn (ABC) và MC2=MA.MB
Bài 77 Cho tứ giác ABCD Chứng minh: AB2+CD2=BC2+AD2+2AC.BD uuur uuur
Từ đó suy điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc
Bài 78 Cho ∆ABC và hai điểm M,M ' bất kỳ Gọi I và I', Hvà H', K và K' theo thứ tự là hình chiếu
của M và M' lên BC, CA, AB Chứng minh: BC.II ' CA.HH ' AB.K K '+ + =0 uuur uur uuur uuuur uuur uuuur
(11)Bài 79 Cho hình thoi ABCD có cạnh a và góc A =600 Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có
2 2 2
MA - MB +MC - MD =a .
Bài 80 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O,R) , H là trực tâm của ∆ABC Chứng minh rằng:
( )
2 2 2
OH =9R - a +b +c
với a, b, c là độ dài tương ứng của ∆ABC
Bài 81 Cho MM1 là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R và A là một điểm cố
định, đặt OA =d Giả sử AM cắt ( )O tại N
a/ Chứng minh rằng tích vô hướng AM.AM1
uuur uuuur
có giá trị không phụ thuộc vào điểm M
b/ Chứng minh rằng tích vô hướng AM.AN uuur uuur
có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm M Bài 82 Cho nửa đường tròn đường kính AB, có AC, BD là hai dây cung thuộc nửa đường tròn, cắt
nhau tại E Chứng minh: AE.AC+BE.BD=AB2 uuur uuur uuur uuur
Bài 83 Cho ∆ABC đều cạnh bằng a Gọi M là điểm tùy ý đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Chứng minh rằng: MA4+MB4+MC4=2a4
Tập hợp điểm và cực trị
Bài 84 Cho ∆ABC có AB=3 Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện
a/ MA.MB=6 uuur uuur
b/ AM.AB=8
uuur uuur
Bài 85 Cho AB=a có trung điểm I Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện
a/ 2MA2+MB2=a2 b/ 2MA2- MB2=k (k cho trước)
c/ MA2- 3MB2=a2 d/ MA.MB=k uuur uuur
d/ MA2+MA.MB =0 uuur uuur
e/ 2MA2- MA.MB=k uuur uuur
(k cho trước) Bài 86 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tìm tập hợp điểm M cho
a/ MA.MC+MB.MD=a2 uuur uuur uuur uuur
b/ MA2- MB2+MC2=a2
c/ ( )( )
2
MAuuur+2MBuuur+MC MAuuur uuur- MCuuur =2a
d/ MA.MB+MC.MD=k uuur uuur uuur uuur
(k cho trước)
e/ MA.MB+MC.MD=5a2 uuur uuur uuur uuur
f/ MA2+MB2+MC2=3MD2
g/ ( )( )
2
MAuuur+MBuuur+MC MCuuur uuur- MBuuur =3a
Bài 87 Cho ∆ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện
(12)c/ 2MB2+MB.MC=BC2 uuur uuur
d/ AM.BC=k
uuur uuur
(k cho trước)
e/ (MA+MB MC)( - MB) =0
uuur uuur uuur uuur
f/
2 2
MA.MB MA.MCuuur uuur- uuur uuur =MC - MB +BC .
g/ MA.MB=AB.MC uuur uuur uuur uuur
h/ MA2=MB.MC
uuur uuur
i/ MA2+MB2+MC2=AB2+AC2 k/ 2MA2=MA.MB+MA.MC uuur uuur uuur uuur
l/ (MA- MB 2MB MC)( - ) =0 uuur uuur uuur uuur
m/ 2MA2+MA.MB =MA.MC
uuur uuur uuur uuur
Bài 88 Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Tìm tập hợp điểm M
cho:
2 MA.MB MC.MD IJ
2
+ =
uuur uuur uuur uuur
Bài 89 Cho ∆ABC đều cạnh a Tìm tập điểm M thỏa điều kiện
a/ MA2+MB2+MC2=2a2 b/ MA.MC=MC.MB uuur uuur uuur uuur
c/ MA2+MA.MB+MA.MC=0 uuur uuur uuur uuur
d/
2
2 a
MB.MC MA
= +
uuur uuur
e/
2 5a MA.MB MB.MC MC.MA
2
+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
f/ MA2- 3MB2+2MC2=0
g/ 2MA2+MB2- MC2=a2 h/
2 a MA.MB MB.MC MC.MA
4
+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 90 Cho hình bình hành ABCD Biện luận theo k tập hợp những điểm thỏa mãn:
2 2
MA +MB +MC +MD =k.
Bài 91 Cho ∆ABC có G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.
a/ Chứng minh rằng: MA.MB+MB.CA+MC.AB=0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b/ Chứng minh rằng: MA2+MB2+MC2=GA2+GB2+GC2+3MG2 Từ đó suy
vị trí của điểm M để MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
ĐS: M º G
Bài 92 Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm bất kỳ.
a/ Chứng minh rằng: ( )
2 2 2
MA - MB +MC =MD - OB - OA
b/ Giả sử M di động đường tròn ( )D , tìm các vị trí của M để MA2- MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
(13)Bài 93 Cho ∆ABC đều, cạnh bằng 6 cm( ) Lấy M là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp
∆ABC Đặt S=MA2- MB2- MC2 Tìm vị trí của điểm M để S đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất ?
ĐS:
2
min max
2a S a , S
3
= - =
Bài 94 Cho ∆ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.
a/ Chứng minh rằng véctơ v=MA +MB 2MC -r uuur uuur uuur
không phụ thuộc vào vị trí M b/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh rằng:
2 2
MA +MB - 2MC =2MO.vuuur r.
c/ Giả sử M di động đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Tìm vị trí của điểm M để
2 2
MA +MB - 2MC đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Bài 95 Cho ∆ABC nhọn Tìm điểm M cho MA +MB+MC đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 96 Cho ∆ABC có Aµ =1200 Tìm điểm M cho MA+MB+MC đạt giá trị nhỏ nhất Bài 97 Cho ∆ABC nhọn Tìm các đường thẳng BC, CA, AB các điểm X, Y, Z cho chu vi
∆XYZ đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 98 Cho ∆ABC có M là điểm tùy ý Tìm vị trí M các trường hợp sau
a/ MA2+MB2- MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
b/ M thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và MA2+3MB2- MC2 đạt giá trị lớn nhất Bài 99 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O.
a/ Chứng minh rằng: MA2+MB2+MC2+MD2 =a2 Û M nằm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
b/ Chứng minh rằng: ( )
2 2
MA +MB +MC - 3MD =2MO MAuuur uuur+MBuuur+MCuuur- 3MDuuur