Tải Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án - Chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức và đáp án

41 28 0
Tải Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án - Chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức và đáp án

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chøng tá ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m. 2.[r]

(1)

Bài tập đáp án Bài tập 1: Giải phơng trình bậc hai sau:

TT PTBH TT PTBH

1 x2 - 11x + 30 = 0 41 x2 - 16x + 84 = 0

2 x2 - 10x + 21 = 0 42 x2 + 2x - = 0

3 x2 - 12x + 27 = 0 43 5x2 + 8x + = 0

4 5x2 - 17x + 12 = 0 44 2

√3+√¿ ¿ √6 x

2 – 2(x + = 0

5 3x2 - 19x - 22 = 0 45 11x2 + 13x - 24 = 0

6 √2 √2 x2 - (1+)x + = 0 46 x2 - 11x + 30 = 0

7 x2 - 14x + 33 = 0 47 x2 - 13x + 42 = 0

8 6x2 - 13x - 48 = 0 48 11x2 - 13x - 24 = 0

9 3x2 + 5x + 61 = 0 49 x2 - 13x + 40 = 0

10 √3 √6 x2 - x - - = 0 50 3x2 + 5x - = 0

11 x2 - 24x + 70 = 0 51 5x2 + 7x - = 0

12 x2 - 6x - 16 = 0 52

√3 3x2 - 2x - = 0

13 2x2 + 3x + = 0 53

√2 x2 - 2x + = 0

14 x2 - 5x + = 0 54

(√3− 1) √3 x2 - 2x - = 0

15 3x2 + 2x + = 0 55 11x2 + 13x + 24 = 0

16 2x2 + 5x - = 0 56 x2 + 13x + 42 = 0

17 x2 - 7x - = 0 57 11x2 - 13x - 24 = 0

18 √3 3x2 - 2x - = 0 58 2x2 - 3x - =

19 -x2 - 7x - 13 = 0 59 x2 - 4x + = 0

20 √2 √3− 1¿ √2 x2 – 2(x -3 = 0 60 x2 - 7x + 10 = 0

21 3x2 - 2x - = 0 61 4x2 + 11x - = 0

22 x2 - 8x + 15 = 0 62 3x2 + 8x - = 0

23 2x2 + 6x + = 0 63 x2 + x + = 0

24 5x2 + 2x - = 0 64 x2 + 16x + 39 = 0

25 x2 + 13x + 42 = 0 65 3x2 - 8x + = 0

26 x2 - 10x + = 0 66 4x2 + 21x - 18 = 0

27 x2 - 7x + 10 = 0 67 4x2 + 20x + 25 = 0

28 5x2 + 2x - = 0 68 2x2 - 7x + = 0

29 4x2 - 5x + = 0 69 -5x2 + 3x - = 0

30 x2 - 4x + 21 = 0 70

√3 x2 - 2x - = 0

31 5x2 + 2x -3 = 0 71 x2 - 9x + 18 = 0

32 4x2 + 28x + 49 = 0 72 3x2 + 5x + = 0

33 x2 - 6x + 48 = 0 73 x2 + = 0

34 3x2 - 4x + = 0 74 x2 - = 0

35 x2 - 16x + 84 = 0 75 x2 - 2x = 0

36 x2 + 2x - = 0 76 x4 - 13x2 + 36 = 0

37 5x2 + 8x + = 0 77 9x4 + 6x2 + = 0

38 √3+√2¿ √6 x2 – 2(x + = 0 78 2x4 + 5x2 + = 0

39 x2 - 6x + = 0 79 2x4 - 7x2 - = 0

40 3x2 - 4x + = 0 80 x4 - 5x2 + = 0

Bài tập Tìm x, y trờng hợp sau:

a) x + y = 17, x.y = 180 e) x2 + y2 = 61 , x.y = 30

b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40

c) x + y = 30, x2 + y2 = 650 g) x - y = 5, x.y = 66

d) x + y = 11 x.y = 28 h) x2 + y2 = 25 x.y = 12

2 2 5 0

(2)

2 5 0

xx q  b) Phương trình có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai.

2 7 0

xx q  c) Cho phương trình: , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm của phương trình

2 50 0

xqx  d) Tìm q hai nghiệm phương trình : , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm

Bài giải:

1

x  a) Thay v phương trình ban đ ầu ta đ ợc :

4

4

p p

    

1 x x 

1 5 x x  

T suy

x  b) Thay v phương trình ban đ ầu ta đ ợc 25 25   q q50

1 50 x x 

1 50 50 10 x x     

T suy

1 11

xxx1x2 7

1

1 2

11

7

x x x

x x x

  

 

 

  

  c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử theo VI-ÉT ta có , ta giải hệ sau:

1 18

q x x  Suy 2

xx x x 1 2 50d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử theo VI-ÉT ta có Suy ra

2 2

2

2

2 50

5 x x x x         

x  x 1 10 Với th ì

x  x 1 10 Với th ì

x  x 2

Bµi tËp Cho ; lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

1

1 S x x P x x

  

 

x x1; 2Bài giải: Theo h thc VI-ÉT ta có nghiệm phương trình có dạng:

2

0

xSx P   xx 

2 3 2 0 xx  x x1;

1 1 y x

x

  2 1

2 y x

x  

Bµi tËp Cho phương trình : có nghiệm phân biệt . Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn :

Bài giải: Theo h th c VI- ẫT ta c ó:

1

1 2 1 2

1 2

1 1

( ) ( )

2 x x

S y y x x x x x x

x x x x x x

  

               

 

1 2 1

1 2

1 1

( )( ) 1 1

2

P y y x x x x

x x x x

            

2 0

ySy P  Vậy phương trình cần lập có dạng: 9 0 2 9 9 0

2

yy   yy 

hay

  Bµi tËp Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab = 4

(3)

  x23x 0 Vì a + b = ab = nên a, b nghiệm phương trình :

1

x  x 2 4giải phương trình ta

 Vậy a = b = 4  nếu a = b = 1

Bµi tËp Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41

 2 a b = ab = 36

3 a2 + b2 = 61 v ab = 30

H

ướ ng d ẫ n : 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích

của a v b

   

2

2 2 2 81

9 81 81 20

2 a b a b   a b   aab b   ab   

T

2

2 20

5 x x x x        

 Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = b =

nếu a = b =

2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b

  Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = a.c = 36

1

2 36

9 x x x x        

 Suy a,c nghiệm phương trình :

  Do a = c = nên b = 9  nếu a = c = nên b = 4

a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 24ab169

Cách 2: Từ

 2 132 13 13 a b a b a b            13 a b 

1

2 13 36

9 x x x x        

*) Với ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :

 9 Vậy a = b = 13

a b 

1

2 13 36

9 x x x x        

*) Với ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : Vậy a = b =

3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:

a b2 a2 b2 2ab 61 2.30 121 112

         11 11 a b a b       

 T ừ: a2 + b2 = 61

11

a b 

1

2 11 30

6 x x x x        

 *) Nếu ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình:

 665 Vậy a = b = ; a = b =

11 a b 

1

2 11 30

6 x x x x        

 *) Nếu ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : Vậy a = b = ; a = b =

2 4 3 8 0

(4)

2

1 2

3 2

6 10

Q

5

x x x x

x x x x

 

 

2 2

1 2 2

3 2

1 2 1 2 1 2 1 2

6 10 6( ) 6.(4 3) 2.8 17

Q

5 5 2 5.8 (4 3) 2.8 80

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

    

   

       

 

  HD:

m1x2 2mx m  0 x x1; 2 x x1; 2

Bµi tËp Cho phương trình : có nghiệm Lập hệ thức liên hệ giữa cho chúng không phụ thuộc vào m.

HD : Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì :

2

1

1

4

' ( 1)( 4)

5 m m

m m

m m

m m m

                            

Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

1 2

1 2

2

2 (1)

1

4

(2)

1

m

x x x x

m m

m

x x x x

m m                            

Rút m từ (1) ta có :

1

1

2

2

1 x x m

m      xx  (3) Rút m từ (2) ta có :

1

1

3

1

1 x x m

m       x x (4)

Đồng vế (3) (4) ta có:

 2    2

1 2

2

2 3

2 x x x x x x x x

xx    x x          

1;

x xm 1x2 2mx m 4 0

     A3x1x22x x1 2 8

Bµi tËp 10 Gọi nghiệm phương trình : Chứng minh biểu thức khơng phụ thuộc giá trị m.

HD: Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì :

2

1

1

4

' ( 1)( 4)

5 m m

m m

m m

m m m

                             

Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :

1 2 m x x m m x x m            

 thay v A ta c ó:

 2

2 8( 1)

3 8

1 1

m m m m m

A x x x x

m m m m

                   m  m 

(5)

   

2 2 2 1 0

xmxm  x x1; 2 x x1; 2 x x1; 2

Bµi tËp 11Cho phương trình : có nghiệm Hãy lập hệ thức liên hệ cho độc lập m.

m 22 2 m 1 m2 4mm 22

           

H

ướ ng d ẫ n: Dễ thấy

do phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có

1 2 2 2(1)

(2)

2 m x x x x m

x x

x x m m

                   Từ (1) (2) ta có:

 

1

1 2

1

2

2 x x

xx     xxx x  

   

2 4 1 2 4 0

xmxm 

Bµi tËp 12 Cho phương trình :

1

x x2Tìm hệ thức liên hệ cho chúng không phụ thuộc vào m.

2

(4m 1) 4.2(m 4) 16m 33

        H ướ ng d ẫ n: Dễ thấy phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2

Theo hệ thức VI- ÉT ta có

1 2

1 2

(4 1) ( ) 1(1)

2( 4) 16(2)

x x m m x x

x x m m x x

                

Từ (1) (2) ta có:

1 2 2

(x x ) 2x x 16 2x x (x x ) 17

         

   

2 6 1 9 3 0

mxmxm 

Bµi tËp 13 : Cho phương trình :

1

x x2 x1x2 x x1 2 Tìm giá trị tham số m để nghiệm thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l :

     

0 0 0

' 9 27 ' 1

' 21 9( 3)

m m m m

m m m m m

m m m

                                             2 6( 1) 9( 3) m x x m m x x m           

x1x2 x x1 2Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: v t gi ả thi ết: Suy ra: 6( 1) 9( 3)

6( 1) 9( 3) 6 27 21

m m

m m m m m m

m m

 

            

(thoả mãn điều kiện xác định )

1

x x2 x1x2 x x1 2Vậy với m = phương trình cho có nghiệm thoả mãn hệ thức :

 

2 2 1 2 0

xmx m  

Bµi tËp 14 Cho phương trình :

1

(6)

1&

x x Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm :

2

' (2m 1) 4(m 2)

     

2

4m 4m 4m

     

7

4 m m      2 2

x x m

x x m

  

 

 

 3x x1 2 5x1x2 7 0Theo hệ thức VI-ÉT ta có: và từ giả thiết Suy ra

2

2

3( 2) 5(2 1) 10

2( )

3 10 4

( ) m m m m m TM m m m KTM                      

x x23x x1 2 5x1x2 7 0Vậy với m = phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức :

Bµi tËp 15

 

2 2 4 7 0

mxmx m   Cho phương trình :

1

x x2 x1 2x2 0 Tìm m để nghiệm thoả mãn hệ thức :

 

2 1 5 6 0

xmxm 

2 Cho phương trình :

x x24x13x2 1 Tìm m để nghiệm thoả mãn hệ thức:

   

2

3x  3mx 3m1 0

3 Cho phương trình :

x x23x1 5x2 6 Tìm m để nghiệm thoả mãn hệ thức : HD:

16 &

15 mm

BT1: - ĐKX Đ:

1 2 ( 4) (1) m x x m m x x m            

 -Theo VI-ÉT:

1 2 xx

1 2

1 2

1

3

2( )

2( )

x x x

x x x x

x x x

 

  

 

 - Từ Suy ra: (2)

2

1

127 128 1; 128

mm   mm  - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: 22 25 0 11 96 11 96

m m m

          BT2: - ĐKXĐ:

1

1

(1)

5

x x m

x x m    

 

 - Theo VI-ÉT:

1 4x 3x 1

   

1

1 2

2

2

1 2

1 3( )

1 3( ) 4( ) 4( )

7( ) 12( )

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

              

(7)

0 12 ( 1)

1 m m m m       

 - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ)

2 2

(3m 2) 4.3(3m 1) 9m 24m 16 (3m 4)

           BT3: - Vì với số thực m nên phương

trình ln có nghiệm phân biệt

1 2 3 (1) (3 1) m x x m x x            

 - -Theo VI-ÉT:

1 3x  5x 6

   

1

1 2

2

2

1 2

8 5( )

64 5( ) 3( )

8 3( )

64 15( ) 12( ) 36

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

              

      - Từ giả thiết: Suy ra: (2)

0

(45 96) 32

15 m m m m        

 - Thế (1) vào (2) ta phương trình: (thoả mãn )

2 0

axbx c  Bµi tËp 16 Cho phương trình: (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm ….

Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu nghiệm x1 x2 Sx1x2 P x x  Điều kiện chung

trái dấu   P < 0   0   ; P < 0.

cùng dấu,   P >     ; P >

cùng dương, + + S > P >     ; P > ; S >

cùng âm   S < P >     ; P > ; S < Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình:

 

2

2x  3m1 x m  m 0

có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu

2

2

(3 1) 4.2.( 6)

0 ( 7)

2

6

0 ( 3)( 2)

2

m m m

m m

m

m m

P P P m m

                                     

2 m

   Vậy với phương trình có nghi ệm trái dấu.

 

2 2 1 0

xmx m 

Bµi tËp 17 Cho phương trình :

1

x x2 Gọi nghiệm phương trình Tìm m để : 2

1

A x xx x có giá trị nhỏ nhất.

1

1

(2 1)

x x m

x x m

  

 



 Bài giải: Theo VI-ÉT:

 2

2

1 2 A x xx xxxx x

Theo đ ề b ài :

 2

2

2

2

4 12

(2 3) 8

(8)

minA8 2m 0 hay

3 m 

Suy ra:

2 1 0

xmx m   Bµi tËp 18Cho phương trình :

x x2 Gọi nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau:

 

1 2

1 2

2

2

x x B

x x x x  

  

1

1 x x m x x m

 

 

 

 Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT :

 

1 2

2 2 2

1 2

2 3 2( 1)

2 ( ) 2

x x x x m m

B

x x x x x x m m

    

    

      

Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn

Ta biến đổi B sau:

   2

2

2

2 1

1

2

m m m m

B m m               2

1 0

2 m m B m         Vì

max B=1  Vậy m = 1

Với cách thêm bớt khác ta lại có:

       

2 2 2

2 2

1 1

2 4 2 1

2 2

2 2 2

m m m m m m m

B

m m m

                     2 2

2 0

2 2 m m B m         Vì 2

B  m

Vậy

Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để

phương trình cho ln có nghiệm với m.

2

2

2 m

B Bm m B

m

     

(Với m ẩn, B tham số) (**)

2 B B(2 1) 2B B

       Ta có:

Để phương trình (**) ln có nghiệm với m  

   

2

2B B 2B B 2B B            

hay

2 2

1 1

1

2 1

2 1 B B B B B B B B B                                              

max B=1  Vậy: m = 1

min

2

B  m

Bài 19: (Bài tốn tổng qt)

(9)

Vơ nghiệm   <

Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau)   = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   >

Hai nghiệm dấu   P >

Hai nghiệm trái dấu   > P <  a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0)   0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0)   0; S < P > Hai nghiệm đối   S =

10.Hai nghiệm nghịch đảo   P =

11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn  a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn

 a.c < S >

a b

a c

(ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = )

Bài 20: Giải phương trình (giải biện luận): x2- 2x+k = ( tham số k) Giải

’ = (-1)2- 1.k = – k

Nếu ’<  1- k <  k >  phương trình vơ nghiệm

Nếu ’=  1- k =  k =  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu ’>  1- k >  k <  phương trình có hai nghiệm phân biệt

k

1 1 k x1 = 1- ; x2 = 1+ Kết luận:

Nếu k > phương trình vơ nghiệm Nếu k = phương trình có nghiệm x=1

k

1 1 k Nếu k < phương trình có nghiệm x1 = 1- ; x2 = 1+

Bài 21: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó?

c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? tìm nghiệm cịn lại(nếu có)? Giải

2

a) + Nếu m-1 =  m = (1) có dạng 2x - =  x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2

3

(1) có nghiệm  ’ = 3m-2   m 

2

+ Kết hợp hai trường hợp ta có: Với m  phương trình có nghiệm

2

b) + Nếu m-1 =  m = (1) có dạng 2x - =  x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

3

(1) có nghiệm  ’ = 3m-2 =  m = (thoả mãn m ≠ 1) 3 1       m

Khi x =

2

+Vậy với m = phương trình có nghiệm x =

3

(10)

4

(m-1)22 + 2.2 - =  4m – =  m =

3 

Khi (1) phương trình bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) 12 3         x m

Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 =

4

Vậy m = nghiệm lại x2 =

Bài 22: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – – m = ( ẩn số x) a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm

 d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x12+x22 10. e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 khơng phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2 Giải 15 2         m

a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– – m ) = 2         m 0 15 

Do với m;   > với m  Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c <  – – m <  m > -3 Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm

Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi phương trình có hai nghiệm âm  S < P >

3 ) ( ) (                    m m m m m Vậy m < -3

d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3)

Khi A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo A  10  4m2 – 6m   2m(2m-3) 

                                                   3 0 0 m m m m m m m m m m

Vậy m  m 

e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm

                   2 ) ( ) ( 2 2 m x x m x x m x x m x x

Theo định lí Viet ta có:  x1 + x2+2x1x2 = -

(11)

2 2 x x x    

f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = -  x1(1+2x2) = - ( +x2) 

2 1 2

8 x x x     2  x

Vậy ()

Bài 23: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 =

2 1 x x y  

1 2 x x y  

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn ; với x1; x2 nghiệm phương trình

Giải

a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m

Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo 2 1 '                        m m m m m P

Vậy m =

b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m

Phương trình có nghiệm     – m   m  (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bài: 3x1+2x2 = (3)

2 2 5

1 2 1

3 1 2 1 2 1 2 2

x x x x x x

x x x x x x x

                               

    Từ (1) (3) ta có:

Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 giá trị cần tìm

d) Với m  phương trình cho có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2)

1 1 2 2

2

1 2 1 1

1 2

x x m

y y x x x x

x x x x m m

 

          

 

Khi đó: (m≠1)

1 1

( )( ) 2

1 2 1 1

2 1

m

y y x x x x m

x x x x m m

             (m≠1) m m  2  m m

 y1; y2 nghiệm phương trình: y2 - y + = (m≠1) Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

Bài 24: Giải biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0 Gi¶i.

Δ

Ta cã = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

Δ + Nếu > m2 – > m < - m > Phơng trình cho có nghiệm phân biệt:

m2−9

m2−9 x1 = m + - x2 = m + + Δ ± + NÕu = m = 3

- Với m =3 phơng trình có nghiệm x1.2 = - Với m = -3 phơng trình có nghiệm x1.2 = -2 + NÕu < -3 < m < phơng trình vô nghiệm

Kết kuận:

Với m = phơng trình có nghiệm x = Với m = - phơng tr×nh cã nghiƯm x = -2

 Víi m < - m > phơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt

(12)

 Với -3< m < phơng trình vô nghiệm

Bài 25: Giải biện luận phơng trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – = 0

Híng dÉn

Nếu m – = m = phơng trình cho có dạng

2 - 6x – = x = -

Δ❑ * Nếu m – m Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

Δ - NÕu = 9m – 18 = m = ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp

b

a =

2 −3 x1 = x2 = - = -

Δ - NÕu > m >2 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

m 3m −2

m −3 x1,2 =

Δ - Nếu < m < Phơng trình v« nghiƯm

1

2 KÕt ln:

Víi m = phơng trình có nghiệm x = - Với m = phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

m± 3m −2

m −3 Với m > m phơng trình có nghiệm x1,2 = Với m < phơng trình vô nghiệm

Bài 26: Gọi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x2 3x = a) TÝnh:

|x1− x2| A = x12 + x22 B =

x1−1+

x2− 1 C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

a)

x1−1

1

x21 lập phơng trình bậc có nghiệm Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 – 3x – = cã tÝch ac = - < , suy phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23

|x1− x2| √S2

− p=√37 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = =

x1−1+ x2− 1

(x1+x2)−2 (x1−1)(x2− 1)=

S −2 p − S +1=

1

9 + C = =

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta cã :

1 x1−1+

1 x2− 1=

1

9 S = (theo c©u a)

(x1−1)(x2− 1)

=

p − S +1= p =

x1−1

1

x21 Vậy nghiệm hơng trình :

9

9 X

2 – SX + p = X2 + X - = 9X2 + X - = 0

Bài 27 : Cho phơng trình :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)

(13)

3 Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > 0 Gii.

1 Phơng trình (1) phơng trình bậc hai có:

5

5 = (k -1)

2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 - k + ) 25 36 25 36

5 = 5(k

2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > víi mäi gi¸ trị k Vậy ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p <

2

7

4 - k

2 + k – < - ( k2 – 2.k + + ) < 0

2

4 -(k - )

2 - < với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với k

3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiệm với mäi k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

5

87

16 = (k – 1)[(2k - ) 2 + ]

4 87

16 Do x1

3 + x23 > (k – 1)[(2k - )2 + ] >

54 8716 k – > ( v× (2k - )2 + > víi mäi k)

k > Vậy k > giá trị cần tìm Bài 28:

Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m tham số) Giải phơng tr×nh (1) víi m = -5

2 Chøng minh phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 ph©n biƯt víi mäi m

3 |x1− x2| Tìm m để đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phơng trình (1) nói phần 2.)

Gi¶i

1 Víi m = - phơng trình (1) trở thành x2 + 8x = vµ cã nghiƯm lµ x1 = , x2 = - Δ❑ Cã = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m +

1 19 19

4 = m

2 + 2.m + + = (m + )2 + > với m Vậy phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phơng trình có nghiệm với m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4)

2 19

4 = 4m

2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]

|x1− x2| m+ 2¿ +19 ¿ √¿

2√19

4 √19

1

2

1

2 => = = m + = m = -

|x1− x2| √19

2 Vậy đạt giá trị nhỏ m = -

Bài 29 : Cho phơng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m lµ tham sè)

1)

2 Giải phơng trình m = -

2) Chứng minh phơng trình cho có nghiệm với m

(14)

Gi¶i:

1)

2 Thay m = - vào phơng trình cho thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = 0

phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2=

2) + Nếu: m + = => m = - phơng trình cho trở thành;

5x – = x =

+ Nếu : m + => m - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số :

Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt

2 m− 1+5 2(m+2)

2 m+4 2 m+4=1

2 m− 1− 5 2(m+2) =

2(m− 3) 2(m+2)=

m− 3

m+2 x1 = = x2 =

Tóm lại phơng trình cho ln có nghiệm với m

3)Theo câu ta có m - phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp

m−3

m+2

2 Trờng hợp : 3x1 = x2 = giải ta đợc m = - (đã giải câu 1)

m−3

m+2

11

2 Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 1= m + = 3m m = (thoả mÃn điều kiện m - 2)

11

2 Kiểm tra lại: Thay m = vào phơng trình cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + = phơng trình có hai nghiệm

5 15

1

3 x1 = , x2 = = (thoả mÃn đầu bài)

Bài 30: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m = (1) víi m lµ tham sè Biện luận theo m có nghiệm phơng trình (1)

2 Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải

4 + NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = x = Δ❑ + NÕu m LËp biÖt sè = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m = - m +

Δ < - m + < m > : (1) v« nghiƯm

Δ = - m + = m = : (1) cã nghiÖm kÐp

b

a = m−2

m = 4 − 2

2 =

2 x1 = x2 =

> - m + > m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt

m−2 −− m+4 m

m−2+− m+4

m x1 = ; x2 = VËy : m > : phơng trình (1) vô nghiệm

1

2 m = : phơng trình (1) Có nghiệm kÐp x = m < : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

m−2 −− m+4 m

m−2+− m+4

m x1 = ; x2 =

4 m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

c

a

m−3

(15)

¿m− 3>0 m<0 ¿ ¿ ¿ m −3<0 ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿m>3 m<0 ¿ ¿ ¿ m<3 ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m>3 m<0 {

Trờng hợp không thoả m·n

¿ m<3 m>0 ¿{

¿

Trêng hỵp < m <

3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm Δ 0 m (*) (ở câu a có)

- Thay x = vào phơng trình (1) ta có :

4 9m – 6(m – 2) + m = 4m = m = -9

4 - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả mÃn

4 9 9

4 *) Cách 2: Không cần lập điều kiện mà thay x = vào (1) để tìm đợc m = -.Sau thay m = - vào phơng trình (1): -x2 – 2(- - 2)x - - = -9x2 +34x – 21 =

Δ

x1=3

¿

x2=

7 ¿ ¿ ¿ ¿

cã = 289 – 189 = 100 > =>

9

4 Vậy với m = - phơng trình (1) có nghiệm x= *)Để tìm nghiệm thứ ,ta có cách làm

9

7

9 Cách 1: Thay m = - vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2 = (Nh phần làm)

9

4 Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tỉng nghiƯm: 2(m−2) m = 2(−9 4−2) −9 =34

9 x1 + x2 =

 34

9 34

9

9 x2 = - x1 = - =

(16)

m−3 m =

9 4− 3 9 =21 21 21

9 x1x2 = => x2 = : x1 = : = Bài 31: Cho phơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2 Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10

Giải.

1.Phơng trình (1) có nghiệm kÐp = k2 – (2 – 5k) =

Δ k2 + 5k – = ( cã = 25 + = 33 > )  − −√33

2

− 5+√33

2 k1 = ; k2 = − −√33

2

− 5+√33

2 Vậy có giá trị k1 = k2 = phơng trình (1) Có nghiệm kép 2.Có cách gi¶i

Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

Δ k2 + 5k – (*) Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

b

a= Với điều kiện(*) , áp dụng hÖ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - - 2k vµ x1x2 = – 5k VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – = 0

7

2 (Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = -

Δ❑ Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào = k2 + 5k – 2 Δ

+ k1 = => = + – = > ; tho¶ m·n Δ ❑ 49 35 −2=

49 −70 −8 =

29

8 + k2 = - => = không thoả mÃn Vậy k = giá trị cần tìm

Cách : Không cần lập điều kiện Cách giải là:

7

2 Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = - (cách tìm nh trên) Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 = 3

2 39

2 Δ + Víi k2 = - (1) => x

2- 7x + = (cã = 49 -78 = - 29 < ) Phơng trình vô nghiệm Vậy k = giá trị cần tìm

Bài 32

Cho phơng trình: x2 - 4x + m + = 0. a/ Gi¶i phng tr×nh m =

b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm

c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x13 + x23 = 34

Gi¶i

a/ Khi m = PT  x2 - 4x + = a + b + c =  x1 = 1, x2 = 3. b/ ' = - m - = - m, phơng trình có nghiệm  - m   m  3. c/ Để phơng trình có nghiệm phải có    m 

Khi đó: x12 + x22 = 10  (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10  16 - 2(m + 1) = 10  m = 2 d/ Để phơng trình có nghiệm phải có    m 

x13 + x23 = 34  (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34  4[16 -3(m + 1)] =34  m +1 =10  m = 9

(17)

Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - - m = 0.

a/ Chứng minh phơng trình ln có nghiệm với m b/ Tìm để phơng trình có nghiệm x = 2, tìm nghiệm

c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22  10

d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 cho P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Gi¶i

a/ ' = m2 - 2m + + m + = m2 - m + = (m- 1/2)2 + 15/4 >  víi m phơng trình có nghiệm

b/ x = thay vào phơng trình ta có: 5m =  m = Khi phơng trình có dạng: x2 - =  x = ẩ x = -2

c/ x12 + x22  10  (x1 + x2)2 - 2x1x2  10  [2(m - 1)]2 + 2(m + 3)  10 

 4m2 -8m + + 2m +  10  4m2 - 6m   m(2m - 3)   m  3/2 È m  0. d/ P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 =

(2m - 3/2)2 + 31/4  Pmin = 31/4 m = 3/4.

Bài 34

Cho phơng tr×nh: x2 - 2mx + 2m -1 = 0.

a/ Chứng minh phơng trình có nghiệm với mäi m

b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27. c/ Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm

d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 = x22

Gi¶i

a/ ' = m2 - 2m + = (m + 1)2   víi mäi m ph¬ng trình có nghiệm.

b/ 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27  2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 5x1x2 = 27  2(x1 + x2)2 - 9x1x2 = 27  8m2 - 9(2m + 1) = 27  8m2 - 18m - 18 =  4m2 - 9m - = 0

 m = ẩ m = -3/4

c/ Giả sử phơng trình cã nghiÖm: x1 = 2x2  ta cã:

x1 + x2 = 3x2 =2m  x2 =2m/3 (1) vµ x1x2 = 2x22 = 2m - 1x22 = (2m - 1)/2 (2). Tõ (1) vµ (2)  4m2/9 = (2m - 1)/2  8m2 - 18m + =  m = 3/4 È m = 3/2 d/ Ta cã: x = m + m + = 2m + È x = m - m - = -1

NÕu x1 = 2m + 1, x2 = -1 th× ta cã: 2m + =  m =

NÕu x1 = -1, x2 = 2m + th× ta cã: -1 = (2m + 1)2 v« lý. VËy m = 0.

Bài 35

Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0.

a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt trái dấu c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt âm d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt dơng

Giải

a/ Phơng rình có nghiệm kép  m  vµ ' =  m2 - 2m + + m2 - m = 0  2m2 - 3m + =  (m - 1)(2m - 1) =  m = È m = 1/2

(18)

c/ Phơng trình có nghiệm phân biệt âm 

d/ Phơng trình có nghiệm phân biệt dơng 

Lo¹i

Vậy khơng tồn m để phơng trình có nghiệm phân biệt dơng

Bµi 36

Cho phơng trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0.

a/ Chứng minh phơng trình ln có nghiệm m thay đổi b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: < x1 < x2 <

                                            ' 1 2 m 1 m 1 m 1

m 1 / 2 m 0 0 (m 1)(2m 1) 0

m 1 m 0

x x 0 m

0 m 1

m 1                                               ' 2 m 1

m 1 (m 1)(2m 1) 0

m 1

0 m

0 m 1 / 2 m 1 / 2

0 x x 0 m 1

0 m 1 2(m 1)

x x 0

0 m 1                                                  ' 1 2 1 2

m 1 m 1

m 1 (m 1)(2m 1) 0

m 1 / 2

0 m

0 m 1

0

x x 0 m 1

2 0

2(m 1)

x x 0

(19)

Gi¶i

a/  = 4m2 - 12m + - 4m2 + 12m = > phơng trình lu«n cã nghiƯm.

b/ x1 = ; x2 =

Víi mäi m ta lu«n cã: m - < m  < m - < m <  < m <

Bµi 37

Cho phơng trình: 3x2 - mx + = Tìm m để pt có nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 - 2.

Gi¶i

ĐK:

Bài 38

Gọi a, b nghiệm phơng trình: x2 + px + = 0 c, d nghiệm phơgn trình: x2 + qx + = 0 a/ Chøng minh r»ng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)2 b/ Chøng minh r»ng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 - p2

Gi¶i

 

  2m 3

m 3 2

 

 2m 3

m 2        È   È                                  

1 2 2

1 2

1 2

m 24 0 m 2 6 m 2 6 m 2 6 m 2 6 3x x 2x 2 2 2x 2 x 2

(20)

Theo định lý Viét ta có:

a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a2 - ad - ac + cd)(b2 - bc - bd + cd) = [a2 - a(c + d) + cd][b2 - b(c + d) + cd] = (a2 + aq + 1)(b2 + bq + 1) = a2b2 + a2bq + a2 +ab2q + abq2 + aq + b2 + bq + =

1 + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)2 - 2ab] + q2 + =

2 + q(a + b) - pq + p2 - + q2 + = p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 = VP.

b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c2][ab + d(a + b) + d2] = (1 + cp + c2)(1- dp + d2) = 1-dp + d2 + cp - cdp2 + cd2p + c2 - c2dp + c2d2 =

= 1- dp + d2 + cp - p2 + dp + c2 - cp + = (c + d)2 - 2cd - p2 + = q2 - p2 = VP. x2

+(m+1) x+5− m=0 Bài 39 Cho phơng trình: (1) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm -1 Tìm nghiệm cịn lại b) Giải phơng trình m = -6

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

❑1 x2 d) Với m tìm đợc câu c, viết hệ thức xvà độc lp i vi m Li gii

a) Phơng trình (1) cã mét nghiƯm b»ng -1 nªn:

−1¿2+(m+1)(−1)+5 −m=0⇒ m=5 ¿

x2+7 2x +

5 2=0

5

2 Khi ta có phơng trình: nghiệm lại PT là:

x2−5 x +11=0 Δ=−19<0 b) Víi m = -6 ta cã PT: có phơng trình vô nghiệm

=m2+6 m 19 c) Ta cã:

Δ=m2

+6 m− 19 Ph¬ng trình (1) có hai nghiệm phân biệt >0

Δ Ta xÐt dÊu

−3 −2√7 √7 m -3+2 Δ + - +

−3 −2√7 √7 VËy m < m > -3+2 phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt

x1+x2=− m− 1 x1x2=− m d) Ta cã: (1); (2) − x1x2+5 x1+x2=x1x2−6 Tõ (2) suy ra: m = , thay vµo (1):

x1+x2− x1x2+6=0 VËy hệ thức cần tìm là: Bài 40 Giải phơng trình sau:

x44 x2+3=0 x+ x

2− 4(x +1

x)+3=0 ¿

a) b) Lêi gi¶i

x2=t (ĐK: t ≥0) t2− t+3=0 a) Đặt Khi phơng trình đẫ cho trở thành: t1=1, t2=c

a=3 V× a + b + c = 0, nên phơng trình có hai nghiệm: (TM§K)

   

 

 

 

 

a b p c d q

(21)

t1=1⇒ x2=1⇒ x=± 1 * Víi

t2=3⇒ x2=3⇒ x=±√3 * Với

3;3 Vậy phơng trình có nghiệm : x = -1; 1;

x ≠ 0 x+1

x=t b) ĐK: Đặt t2 t+3=0 t

1=1, t2= c

a=3 Ta đợc: Theo câu a/ t1=1⇒ x+

1

x=1 * (PT v« nghiÖm) t2=3⇒ x+1

x=3⇔ x

− x +1=0 ⇔ x1= 3+√5

2 ; x2= 3−√5

2 * x2−2 (m− 1) x +m2− 2=0 Bµi 41: Cho phơng trình (I)

a) Giải phơng tr×nh (I) m = -2

b) Tìm m để phơng trình (I) có nghiệm? Có hai ngiệm phân biệt? c) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu ?

d) x1; x2 x12+x22=4 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện

e) x1; x2 x1=2 x2 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu

g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm h) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng

i) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại

j) x1; x2 2 x1−4 x2=−3 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện Lời giải

x2+6 x +2=0 a) Khi m = -2, phơng trình (I) trë thµnh: Δ'=b'

2

− ac=32− 2=7 >0 Ta có phơng trình có nghiệm phân biÖt x1=− 3+√7

1 =−3+7 ; x2=

−3 −√7

1 =− −√7 ⇔ Δ'≥ 0⇔(m −1)2− 1.

(m2− 2

)≥ 0⇔−2 m+3≥ ⇔ m3

2 b) Phơng trình (I) có nghiệm Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt

Δ'

>0⇔(m− 1)2− 1.(m2− 2)>0⇔− 2m+3>0 ⇔ m<3 c

a<0m

2<02<m<2 c) Phơng trình (I) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu

x1; x2 m≤3

2 d) Điều kiện để phơng trình có nghiệm là: x1+x2=

−b

a =2 (m−1) ; x1x2= c a=m

2

− 2 Khi theo hệ thức Vi-et ta có:

x12+x22=4 (x

1+x2)

− xxx2=4[2( m−1)]2−2 (m2−2)=4⇔ m2

−4 m+2=0 Do

(x −1)2=0⇔ x =1 (TM§K)

x1; x2 m≤3

2 e) Điều kiện để phơng trình có nghiệm là: ¿

x1+x2=2 (m− 1) (1) x1x2=m2−2 (2) x1=2x2 (3)

¿{ { ¿

(22)

x2=2 (m− 1) ; x1=

4 (m −1)

m=−8+3√10 ¿

m=− −3√10 ¿

¿ ¿ ¿

¿

2 (m− 1)

4 (m− 1) =m

2

−2⇔ 8( m−1)2

=9(m2−2)⇔ m2

+16 m −26=0

¿

Từ (1) (3) ta có thay vào (2) ta đợc

Δ'≥ 0

c a>0

¿m≤3 m>√2

¿ m<−√2

¿ ¿

¿

2<m≤3 ¿ ¿ m<−√2

¿ ¿{

f) Phơng trình (I) có nghiÖm cïng dÊu

Δ'≥0 − b

a <0 c a>0

¿m ≤3 m− 1<0

¿ m2−2>0

¿m ≤3 m<1 m>√2

¿ m<−√2

¿ ¿⇔m<−√2

¿ ¿ ¿

(23)

Δ'≥ 0

− b a >0 c a>0

¿m≤ m>1

¿ m>√2

¿ m<−√2

¿

¿2<m≤3 ¿ ¿ ¿

(24)(25)

x2=c a=

m2−2 =

12− 2

(26)

2 x1−4 x2=3 j) Phơng trình (I) có nghiệm thoả ĐK: m3

(27)

¿

x1+x2=2(m −1) (1) x1x2=m2− (2) 2x1-4x2= -4 (3)

¿{ { ¿

(28)

x1=4 m− 63 ;x2=2 m3

4 m −6

2 m =m

2

−2⇔2 m( m− 6)=9(m2−2)⇔ m2+12 m− 18=0⇔ m=− 6+3√6

¿ m=−6 −3√6

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Tõ (1) vµ

(29)

Bài 42 : Xác định m để phơng trình 2

5 3 1 0

(30)(31)

0

0

a

ac

 

 

9 4 m 0

(32)

1 0,

3 1 0

m m

 

 

 

 1

(33)(34)(35)

Vậy m <

phơng trình có hai nghiệm trái dấu b) Ph-ơng trình có hai nghiệm ©m ph©n biÖt <=> <=> 0 0 0 0 a P S             1 0,

12 29 0

3 1 0

(36)

<=> <=>

29 12

1 3

m

m

 

 

 

29 1

(37)

VËy phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt

Bài 43: Cho phơng trình (1)

Tỡm m để (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

29 1

3  m  12

2

mx  (m 1)x  2 0, m 0

1 2

x , x12 22

(38)

Giải: Phơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt

<=> <=> <=>

1 2

x , x

0

 2

m  10m 12   0

(39)

<=> m > hc m <

- Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã:

- Theo đề <=>

<=> <=> (*)

55 6 2 6

1 2 1 2

m 1 2

x x ; x x

m m

  

2 2

1 2

x  x 2

 x1  x2  2  2x x1 2 2

 m 1  2 2. 2 2

m m

  

2

(40)

Giải phơng trình (*) ta đợc

§èi chiÕu víi ®iỊu kiƯn cđa tham sè m => m1 (loại) m2 (nhận)

Vậy m =

Bài 44: Cho phơng trình

x1 v x2 l hai nghiệm phân biệt phơng trình Khơng giải phơng trình, tìm giá trị m để :

a)

b)

1 2

m  10  3,m  10  3

10 3

 

2

3 0

xxm

1 2 6

x12  x22 34

(41)

c)

d)

e)

2 2

1 2 30

xx

1 2 2

xx

1 2

(42)(43)(44)

Phơng trình có hai nghiệm phân biƯt x1 vµ x2 <=> <=> m <

Khi đó, theo định lí Vi – ét ta có:

a) <=> <=>

<=> <=> – 4m = 36 <=> m =

1 2

1 2

3

S x x

P x x m

  

 

 

1 2 6

xx

x1  x2  2 36

2 2

1 2 1 2 2 36

xx xx

x1 27x2  2  4 x x1 2 936

4 4

(45)

VËy :

b) <=> Từ tìm đợc m =

27 4

m  

2 2

1 2 34

xx

x1 25x2  2  2 x x1 2 934

2 4

(46)

VËy :

c) <=> <=>

<=> <=>

25 2

m  

2 2

1 2 30

x1 2 x1 2

( xx )( xx ) 30

1 2 10

xx 

2 1 10

x2  2   x 

1 2 2 1 2 100 (gi¶ sư x > x )2 1

(47)

<=> <=> - 4m = 100 <=> m =

VËy :

x1 91x2  2  4 x x1 2 9100

4 4

 

91 4

(48)

d) Giải hệ Ta đợc

Theo định lí Vi- ét: m = Vậy m =

1 2

1 2

3 2

x x

x x

  

  1

2

2 1

x x

 

 

1 2

9 2

4

(49)

e) Giải hệ Ta đợc

Theo định lí Vi- ét: m = Vậy m = - 754

Bài 45: Xác định giá trị tham số m để phơng trình

1 2

1 2

3 2 20

3

x x x x

 

 

 

 1

2

26

29

x x

 

 

1 2

9 754

4

x x 

2

( 5) 6 0

(50)

cã hai nghiÖm tháa m·n :

a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị

b)

Híng dÉn:

1 , 2

x x

1 2

(51)

Phơng trình có hai nghiệm <=>

<=> Sau giải bất phơng trình đợc kết quả: (*)

a) Gi¶ sư

1 , 2

x xm2 14 m 1 0

    

(m m  77 hc m 4 )( m  7 )- + 30

2 1 2 1 1 2

1 2

1 (1) ta cã hÖ 5 (2)

6 (3)

x x

x x x x m x x m

  

(52)

(1) + (2) => Thay vµo (1) =>

Thay vào (3) => m = m = -14 tháa m·n ®iỊu kiƯn (*) VËy m = hc m = -14

2

6 2

m

x1   4

2

m

x  

1 , 2

(53)

b) Ta có hệ Từ hệ tìm đợc m = m =

Bài 46: Cho phơng trình bậc hai

1 2 1 2

1 2

2 3 13

5 6

x x

x x m x x m

 

 

  

  

2

(54)

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

TÝnh ?

1 , 2

x x1 2 1

3 x x 2 x  2

1 , 2

(55)

Híng dÉn: Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm <=>

<=>

1 , 2

x xm2 24 m 0

   

2 hc 2 6

(56)

Ta có: Tìm đợc

Bµi 47: Cho phơng trình bậc hai

1 2 1 1 2

1 2

3 2 2

3 2

3

x x x

m

x x

x x

 

  

 

 

 

 

1 2

1

2, , 7

3

xxm

2

7 0

(57)

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

Híng dÉn: Ta cần có điều kiện (*)

Theo nh lớ Vi - ét

Từ tìm đợc

1 , 2

x x12 22 10

xx

2

4 28 0

a a

    

1 2 , 1 2 7

xx  a x x  a

2 2

1 2 10

x1 6,x 2  4

(58)

không thỏa mÃn điều kiện (*) thỏa mÃn ®iỊu kiƯn (*) VËy a = -

Bµi 48: Cho phơng trình bậc hai

a) Tính vµ theo m

1 6

a 2 4

a 

2

7 0

xmxm  

2 2

1 2

x13  x23

(59)

b) Tìm giá trị m để

c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm - tính nốt nghiệm thứ hai Hớng dẫn:

a) =

Theo Vi - ét ta tính đợc =

2 2

1 2 10

xx

2 2

1 2

x2 2 x 14

mm

3 3 2 2 2

1 2 ( 1 2 )( 1 1 2 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 3 1 2

xxxx xx xxxxxxx x

 

3 3

1 2

xx

2

( 3 21)

(60)

b) => m = -

c) m = 11

Bài 49: Cho phơng trình

a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm

b) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm - Tìm nốt nghiệm Hng dn:

a) Phơng trình có nghiệm <=>

1 6( loại ) m = - (nhËn)2

m 

1 2, 2 9

x  x 

2

3 0

xxm

9 0

4

m

(61)

b) Thay x1 = - vào phơng trình ta có: - - m = <=> m = - tháa m·n

Theo định lí Vi – ét Ta cú:

Bài 50: Với giá trị b phơng trình

a) có nghiệm b»ng

b) cã mét nghiÖm b»ng

9 4

m  

2 1 3 ( 2) 1

xSx    

2

2 xbx  10 0

2 2

15 7 0

(62)

c) cã mét nghiÖm b»ng TÝnh nghiệm lại Kết quả:

a) b = - b) b = c) b = 14 x2 = Bài 51: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 3)x + m2 + 4m + = 0 Tìm m để phơng trình có nghiệm

Tỉng qu¸t:

2

( b  1) x  ( b  1) x  72 0

4 7 7

 24

(63)

Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a0) cã mét nghiÖm x = x1

Cách giải:

Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c = Giải phơng trình cã Èn lµ tham sè

Bµi 52:

Cho phơng trình: x2 (3m + 2n + 4)x + 4m + 10n + 38 =

Tìm m để phơng trình có nghiệm Tng quỏt:

Cho phơng trình ax2 + bx + c = (1) (a0) cã hai nghiÖm x = x1; x = x2

C¸ch 1:

Thay x = x1; x = x2vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:

Giải hệ phơng trình có ẩn tham số Cách 2:

    

   

2

1 1

2

2 2

ax bx c 0

(64)

Theo hÖ thøc Vi- et

Thay x = x1; x = x2vào hệ giải ta đợc giá trị tham số Bài 53: Lập phơng trình bậc hai nhận hai số làm nghiệm Hớng dẫn: Phơng trình có dạng (x - 2)(x - 3) = <=> x2 – 5x + = 0 Bài 54:

 

  

 

 

 

1 2 1 2

b x x

a c

x x

(65)

Lập phơng trình biết phơng trình có hai nghiÖm: x1 = - ; x2 = +

Bài 55: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm liên lạc với hệ thức

2 2 2 2

1 , 2

(66)

Víi m

Đặt S = , P = Từ hệ ta tìm đợc S = P = m –

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) (1)

1 ( ) (2)

x x x x m x x m x x

  

 

  

1 

1 2

xx

1 2

(67)

ĐK:

Phơng trình cần tìm là: với

Bi 56: Tỡm h thức độc lập với m nghiệm số phơng trình

Híng dÉn:

2 2 5

4 1 4( 1)

4

SP   m   m

2

1 0

xxm  5

1

4

m

  

2

2( 1) 2 3 0

(68)

- Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 <=>

<=>

0

' 0

a 

 

  

 

  

 

 2

1 0,

2 0

m

m

2 hc m 2

(69)

- Theo định lí Vi – ét, ta có : <=> => S - P = -

Hay , hệ thức độc lập với m nghiệm số phơng trình

Bài 57: Cho phơng trình Tìm hệ thức độc lập với k nghiệm số phơng trình

2( 1)

2 3

S m

P m

 

 

 

2 2 2 3

S m

P m

  

  

1 2 1 2 1 0

xxx x  

2

(70)

Híng dẫn: Để phơng trình có nghiệm, ta phải có: <=>

Theo Vi – Ðt:

, hệ thức độc lập với k nghiệm số phng trỡnh Bi 58:

Cho phơng trình x2 - 2(m + 5)x + 4m - = 0

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Kết quả: b) Bài 59:

Cho phơng trình x2 2(m + 1)x + m2 + 2m = 0

k 1 0 ' 0       

4 k 1

5  

S

2k k (S 2) S

S 2

k 1 S P 4 3S 2P 8 0 S 2 P 1

k 4 P 4

P k ( P 1) k 1 P 1

                               

1 2 1 2

Hay 3( x  x ) 2x x  8 0

1 2 1 2

(71)

T×m hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Kết quả:

Bài 60 : Cho phơng trình a) Giải phơng trình

2

1 2 1 2 1 2

4x x  ( x  x  2)  4( x  x ) 8 0

2 4 1 0

xx  

(72)

b) Gäi x1; x2

lµ hai

nghiƯm cđa phơng trình HÃy tính giá trị biểu thức

Giải:

a) Xét ph-ơng trình Ta có:

Phơng trình có nghiệm phân biệt ;

 113 23

B x  x

2 4 1 0

xx  

 1

2

' 4 4.1.1 16 12 0

      

1

4 3

2 3

2.1

x2   4 3  2 3

2.1

(73)

b) áp dụng định lí Vi – ét ta có:

Mµ: = =

1 2

1 2

4 . 1

x x x x

  

 

3 3 1 2

xx

 3 2 2 3   2 2 

1 3 1 1 3 1 2 2 3 1 1 3 1 2

xx xx xxx xx x

(74)

= VËy = - 52

Bài 61 Cho phơng trình gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình 1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị c¸c biĨu thøc sau:

  4 3  3.1 4    64 12  52

3 3 1 2

xx

2

(75)

a) ; b) c)

1 2

xx

1 . 2

x x13 23

(76)

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận nghiệm Giải:

1) XÐt phơng trình Ta có:

Phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt ;

2

1 2

xx22  xx1

2

2 x   7 x  4 0

2

7 4.2.4 49 32 17 0        

(77)

áp dụng định lí Vi – ét, ta có:

1 2

1 2

7 2 . 2

x x

x x

  

(78)

b) Ta cã: = =

3 3 1 2

xx

 3 2 2 3   2 2 

1 3 1 1 3 1 2 2 3 1 1 3 1 2

xx xx xxx xx x

(79)

= = VËy =

3

7 7

3.2.

2 2

   

   

   

343 42 343 168 175

8 2 8 8

 3  3

1 2

x175 x

(80)

c) =

2) Đặt u = v =

1 2

x  x

1 14 8 2

2 

2

1 2

(81)

Ta cã: u + v = += - =-

= =

 2 

1 2

xx

 2 

2 1

x2  x 2

1 2

xx

x1  x2 

x1  x2  2  2 x x1 2

x1  x2 

2

7 7

2.2

2 2

 

   

 

49 7 49 16 14 19 4

4 2 4 4  

(82)

u + v

19

(83)

Mµ: u v = =- + = - +

 2 

1 2

xx

 2 

2 1

x 2  x 2

1 . 2

x x

 3 3 

1 2

xx

1 . 2

x x

x x1 2  2

 3 3 

1 2

xx

1 . 2

(84)

= 22 - + =

175 8

175 48 175 127 6

8 8 8

 

(85)

u v

127

8 

(86)

Vì số u v có tổng u + v tích u v Nên u ; v nghiệm phơng trình bậc hai:

19 4

127 8

 

2 19 127 0

4 8

(87)

Vậy phơng trình cần tìm là:

Bài 62: Cho phơng trình gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình 1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị c¸c biĨu thøc sau:

a) ; b)

2 19 127 0

4 8

   

X 2 X

8 X  38 X  127 0

2

2 x  9 x  6 0

1 2

xx

1 . 2

x x13 23

(88)

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận nghiệm

Giải:

1) Xét phơng trình Ta có:

Phơng trình có nghiệm phân biệt ;

1 2

22 xx2  33xx1

2

2 x   9 x  6 0

2

9 4.2.6 81 48 33 0        

1

(89)

áp dụng định lí Vi – ét, ta có:

1 2

1 2

9 2 . 3

x x

x x

  

(90)

b) Ta cã: = =

= =

3 3 1 2

xx

 3 2 2 3   2 2 

1 3 1 1 3 1 2 2 3 1 1 3 1 2

xx xx xxx xx x

x1  x2  3  3 x x x1 2  1  x2 

3

9 9

3.3.

2 2

   

   

   

729 81 729 324 405 8 2 8 8

(91)

VËy =

3 3 1 2

x405 x

(92)

2) Đặt u = v =

1 2

(93)

Ta cã: u + v = += + = -= u + v =

 2 x1  3 x2  222xxxx1122 93x33x2xx121

2

9

(94)

Mµ: u v = =- + =

=

 2 x1  3 x2 

 2 x2  3 x1 

1 2

4  x x12 22 

6 xx

1 2

9 25 x xx x1 2

2

1 2

6 x x

 

2

9 243 150 243 93 25.3 6 75

2 2 2 2    

(95)

u v

93

2 

(96)

Vì số u v cã tỉng u + v = vµ tÝch u v

9 2

 93

2 

(97)

Nên u; v nghiệm phơng trình bậc hai:

Vậy phơng

trình cần tìm là: Bài 63:

Cho phơng trình a) Giải phơng trình

2 9 93 0

2 2

  

X X

2 9 93 0

2 2

  

X X

2

2 x  5 x  6 0

(98)

b) Gäi x1; x2

lµ hai

nghiệm phơng trình HÃy tính giá trị biểu thức: B = Giải:

a) Xét ph-ơng tr×nh

 13 1 23

xx

2

2 x  5 x  6 0

(99)

Ta cã:

Phơng trình có nghiệm phân biệt

2

5 4.2 6 25 48 73 0        

 73

 

1

5 73 5 73 2.2 4

x2   5 73  5 73 2.2 4

(100)

b) áp dụng đinh lí Vi ét ta cã:

1 2

1 2

5 2 . 3

x x

x x

  

(101)

Mµ: =

=

=

3 3 1 2

xx

 3 2 2 3   2 2 

1 3 1 1 3 1 2 2 3 1 1 3 1 2

xx xx xxx xx x

x1  x2  3  3 x x x1 2  1  x2 

 

3

5 5 125 45 125 180 305 3

2 2 8 2 8 8       

           

(102)

Vậy =

Bài 64: Cho phơng trình gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng tr×nh

3 3 1 2

x 305 x

8 

2

(103)

Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị biÓu thøc sau:

a) ; b)

Giải:

a) Xét phơng trình

- Ta có: Ph-ơng trình có nghiệm phân biệt ;

1 2

xx

1 . 2

x xx1  x2

2

2 x  7 x  1 0

 7 2 4.2.1 49 41 0

       

(104)

- áp dụng đinh lí Vi ét ta có: ;

1 2

1 2

7 2 1

.

2

x x

x x

  

 

  

1 0;

x x 12. 2 00

(105)

; ;

b) Đặt A =

( A > 0)

1 0;

x x 1.2 2 00

x x 1 2 0

xx

1 1

xx

 2  

2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

(106)

( V× A > )

VËy =

Bµi 65: Chøng minh với giá trị k, phơng trình:

a) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu

2 7 1 7 2 7 2

A 2 2.

2 2 2 2 2      

7 2 A

2 

x7 21  x2

2 

2

(107)

b) kh«ng thĨ cã hai nghiƯm d¬ng

c) cã mét nghiƯm b»ng Kết quả:

a) ac < 0,=> phơng trình cã hai nghiƯm tr¸i dÊu

2 2

12 x  70 xk  1 0

2

( 1) 0

xkxk

k

  k

(108)

b) Ta cã S = , nên phơng trình có hai nghiệm dơng

c) Thay x = vào phơng trình thấy thỏa mÃn => phơng trình có nghiệm

Bài 66: Cho phơng trình

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm trái dấu với m

70 0 12

k

  

k

  

2 2

( 1) 2 0

(109)

b) Gọi hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn:

a) TÝnh ac = < , nên phơng trình có hai nghiệm trái dấu với mäi m

1 , 2

x x12 22

xx

 1  2 7

2 4

m

 

    

m

(110)

b) TÝnh =>

2 2 2

1 2

2 11 ( 3 )

3 3

x 2xm2 

1 2

11 3

(111)

2 2

1 2

x3 m x23

(112)

Vậy đạt giá trị nhỏ = <=> m =

Bài 67 Cho phơng trình x2 – 2(m – 4)x – 2m – = 0 a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biÖt

b) Cho A = x2(x2 – 2) + x1(x1 – 2) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn:

a) TÝnh

b) MinA = 32 <=> m =

Bµi 68 Cho phơng trình x2 2(m 1)x + 2m = a) Chứng minh phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt

b) Cho B = Tìm m để B đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn:

11 3

2

(m 3) 15 0, m

     

 

2 2

1 2

(113)

a) => phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt

2

' (m 2) 1 0

(114)

b) B = = =>

MinB = <=> m =

2 2

1 2

x  x

2

(2m 3)  3 3

(115)

Bài 69 Cho phơng trình bậc hai a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Cho biểu thức P = Tìm m cho P đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị Hớng dẫn:

a)

b) Tính đợc P =

Khi

Khi

VËy MinP = 32 <=> m = -

Bài 70 Cho phơng trình x2 2(m – 6)x – 2m – = 0 a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b) Cho P = x12 + x22 – 26x1x2 - x12 x22 Chứng minh giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào tham số m

Kết quả: b) P = 196 => giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào tham số m

2

x  2(m 1)x  2m 10 0

2 2 1 2 1 2

6x x  x  x

m  3 hc m 3

2

4(m  2)  28

 2

m  3  m  2  1  m  2  1 P 32

 2

(116)

Bµi 71 Cho phơng trình a) Giải phơng trình m =

b) Chứng minh phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m

c) Chøng minh biểu thức A = không phụ thuộc vào giá trị tham số m Kết quả:

a)

b) , víi mäi m

c) A = 10 => Giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị tham số m

Bi 72 Cho phơng trình Tìm m cho hai nghiệm phơng trình thỏa mãn A = đạt giá trị nhỏ nht.

Hớng dẫn: Để phơng trình có hai nghiệm th×

2

x  2(m 1)x  m 4 0

1 2 2 1

x (1 x )  x (1 x )

1 2

x  2 7 , x  2 7

2 19

1

' (m ) 0 2 4

    

2

x  2(m 1)x  2m 102  20

1 2 1 2

10x x  x  x

(117)

=

Khi m => m + => => A

2 2 1 2 1 2

10x x4(m 3) 2 x 48x48

3 0

 m 3  2 0

(118)

Khi m => m + => => A => MinA = 48 <=> m = -

Bài 73 Tìm hai số x, y trờng hợp sau:

a) x + y = 11 vµ xy = 28 b) x – y = vµ xy = 66 c) Híng dÉn:

a) Hai sè x, y hai nghiệm phơng trình bậc hai

3 6 

 m 34.36 482 19236

  

2 2

x  y 25 vµ xy 12

2

(119)

giải phơng trình ta đợc

Do x, y có vai trị nh nên có hai cặp số (x , y) thỏa mãn b) Đặt Y = - y, ta có x + Y = 5, xY = - 66 Giải nh câu a tìm đợc

Hay c) Tìm x + y =

Kết quả:

1 2

X 4, X 7

x 4 x 7

hc

y 7 y 4

 

 

 

 

 

x 11 x 6

hc

Y 6 Y 11

 

 

 

 

 

x 11 x 6 hc

y 6 y 11           7 

x 3 x 4 x 3 x 4 hc hc hc

y 4 y 3 y 4 y 3        

   

(120)

Bài 74: Tìm giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai sau có nghiệm chung, tìm nghiệm chung :

Giải: Cách 1:

- Hai phơng trình cã nghiƯm chung vµ chØ hƯ cã nghiƯm

- Trừ vế với vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình: (m - 1)x = m - (*) +) NÕu m = Thay trực tiếp vào hai phơng trình ta có:

Hai phơng trình vơ nghiệm nên khơng có nghiệm chung

2 2

x  mx 1 0 vµ x + x + m = 0

2 2

x mx 1 0

x + x + m = 0

   

   

2 2

(121)

+)

Nếu Từ phơng trình (*) => x = 1, nghiệm chung hai phơng trình Thay x = vào hai phơng trình ta đợc m = -

- Vậy m = - hai phơng trình cã nghiƯm chung x = C¸ch 2: XÐt hai trêng hỵp

 NÕu x = 0, ta thÊy phơng trình thứ <=> = (vô lí) Vậy x = không nghiệm ph-ơng trình thứ => không nghiệm chung hai phph-ơng trình

Nếu Từ hai phơng trình rút

m11

xx2 1 02

m , m x x x

 

(122)

Ta có: <=> , nghiệm chung hai phơng trình => m = - Vậy m = - hai phơng trình có nghiệm chung x =

Bài 75: Tìm giá trị tham số k để hai phơng trình bậc hai sau có nghiệm chung, tìm nghiệm chung :

Giải:

- Hai phơng trình có nghiệm chung vµ chØ hƯ

cã nghiƯm

- Trừ vế với vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình: (k + 2)x =

+) Nếu k = - Thay vào phơng tr×nh (1), ta cã:

Giải phơng trình ta đợc hai nghiệm

2

2

x 1 x x x

   

2 3 2 3

x  1 x  x  x  1 x 1

2 2

2x  (3k 1)x 9  0 vµ 6x + (7k - 1)x -19 = 0

2 2

2x (3k 1)x 9 0 (1) 6x + (7k - 1)x -19 = 0 (2)     

   

2

2x  5x  9 0

1 2

5 97 5 97 x , x

4 4

 

(123)

Thay k = - vào phơng trình (2), ta có:

Gii phng trình ta đợc hai nghiệm

=> k = - hai phơng trình nghiệm chung

+) Nếu Từ phơng trình (*) => x = Thay vào phơng trình (1), ta có:

2

6x  15x 19 0

3 4

15 681 15 681

x , x

12 12

 

 

k 4 2

(124)

=> (tháa mÃn )

Với , phơng trình (1) <=> có hai nghiệm

và phơng trình (2) <=> có hai nghiÖm

2

3k  8 k  4 0

1 2 2

k 2, k

3

 

k  2

1

k2 2

2x  7x  9 0

5 6 9

x 1, x

2 

 

2

(125)

=> hai phơng trình có nghiệm chung x =

7 8 19

x 1, x

2 

 

1

(126)

Tơng tự với , hai phơng trình có nghiệm chung x = - KÕt luËn:

k = hai phơng trình có nghiệm chung x =

2 2

k

3 

(127)

k = hai

phơng trình có nghiÖm chung x =

2 3

(128)

Bài 76: Cho hai phơng trình sau:

Tìm m để hai phơng trình cho có mt nghim chung Hng dn:

- Hai phơng trình cã nghiƯm chung vµ chØ hƯ

cã nghiệm - Rút m từ phơng trình (2) thay vào phơng trình (1), ta có

Phng trỡnh = vô nghiệm => Nghiệm chung x = - 2, m = - Bài 77 Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung

Híng dẫn:

- Hai phơng trình có nghiệm chung vµ chØ hƯ

cã nghiƯm

2 2

x  (2m 3)x  6 0 (1) vµ 2x + x + m - = (2)

2 2

x (2m 3)x 6 0 (1)

2x + x + m - = (2)

    

   

3 2 2

4x  3x  7x  6  0 ( x  2)(4x  5x 3) 0

2

4x  5x  3

2 2

2x (2 3a )x  4 a 0 vµ 2x 3(1 a )x 2a   0

2

2

2x (2 3a )x 4 a 0 2x 3(1 a )x 5 2a 0      

 

(129)

- Trõ vÕ với vế hai phơng trình, ta có: x = a Thay vào ph-ơng trình thứ nhất, ta nhận đ-ợc a = - Thay a = vào hai phơng trình, tìm nghiệm kết luận nghiệm chung ? - Thay a = - vào hai

ph-ơng trình, tìm nghiệm kết luận nghiệm chung ? - Tóm

lại: a = hai phơng trình có nghiệm chung Bài 78 Tìm k để hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung Hớng dẫn: 2  2  2 2

(130)

- Hai phơng trình có nghiệm chung hƯ cã nghiƯm

- Trõ vÕ víi vÕ hai phơng trình, ta có: (k + 3)x = - (k + 3) (*)

+) Nếu k = - 3, thay vào hai phơng trình nhận thấy hai phơng trình vơ nghiệm nên khơng có nghiệm chung

+) Nếu k => x = - 1, nghiệm chung hai phơng trình Thay vào hai phơng trình thu đợc k =

Bµi 79 : Chøng minh r»ng hƯ sè cđa hai phơng trình bậc hai:

liên lạc với bëi hÖ thøc

2

2

x 3x k 0

x kx 3 0

   

 

   

3 

2 2

1 1 2 2

(131)

th× có hai phơng trình có nghiệm Giải:

Cách 1: Gọi lần lợt biệt thức hai phơng trình

Ta có:

1 2 1 2

a a 2( b  b )

1 , 2

 

2 2 2 2 2 2

1 2 a1 4 b1 a2 4b2 a1 a2 4( b1 b )2 a1 a2 2a a1 2

(132)

=> hoặc Vậy hai ph-ơng trình có nghiệm

Cỏch 2: Gi s c hai phơng trình vơ nghiệm Khi hay:

=>

1 2

   

 a1  0a2  2

01 02

1 , 2

0

1 0, 2 0

   

2 2

1 1 2 2

a  4 b vµ a  4 b

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

(133)

,

=> Phải có hai biệt thức không âm Vậy có hai ph ơng trình có nghiệm

Bài 80: Cho phơng trình a) Giải phơng trình a = -

a1 a2  2 0 ( v« lÝ)   

 a1  a2  2 0

2

(134)

b)

Xác định a biết phơng trình có nghiệm - Tìm nốt nghiệm

(135)

c) Chøng minh r»ng víi a + b th× cã Ýt nhÊt mét hai phơng trình sau có nghiệm Hớng dẫn:

a) x = hc x = -

b)

c) TÝnh tæng:

2 

2 2

x  2ax  b 0, x  2bx  a 0

2

13 1 a ; x

10 5

 

2 2 1 2

2 2 1 2

' ' (a 2a 1) ( b 2b 1) (a b 2)

' ' (a 1) ( b 1) (a b 2) 0

           

(136)

=> hc hc

Vậy hai phơng trình có nghiệm Bài 81: Tìm m để hai phơng trình tơng đơng

a)

b)

Híng dÉn:

a)

1 '

 02 '

 01 ', 2 '

 

0 

(m 1)x 8  4x  m vµ mx - 3x = víi m 3

2 2

x  x  m 0 vµ x  mx 1 0

(137)

=> x =

=> x =

(m 1)x 8  4x  m

m (m 3) m 3

 

(138)

Hai phơng trình tơng đơng <=> = => m = - Vậy m = - hai phơng trình tơng đơng

b)

 Tr êng hỵp : Hai phơng trình có nghiệm chung

m 8

m 3 

2

m 3

2 2

(139)

- Hai phơng trình cã nghiƯm chung vµ chØ hƯ cã nghiƯm

- Trừ vế với vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình: (m - 1)x = m - (*) +) NÕu m = Thay trực tiếp vào hai phơng trình ta có:

Hai phơng trình vơ nghiệm nên khơng có nghiệm chung

+)

Nếu Từ phơng trình (*) => x = 1, nghiệm chung hai phơng trình Thay x = vào hai phơng trình ta đợc m = -

- Vậy m = - hai phơng tr×nh cã nghiƯm chung x =

2 2

x mx 1 0

x + x + m = 0

   

   

2 2

x  x 1 0 vµ x  x 1 0

(140)

-Víi m = - 2, ph¬ng trình thứ : Tập nghiệm S =

- Với m = - 2, phơng trình thứ hai lµ :

2

x  2x 1  0 x 1

 1

2

1 2

(141)

TËp nghiÖm S’ =

=> S Vậy m = - hai phơng trình khơng tơng đơng

 1; 2 

(142)

 Tr êng hợp : Hai phơng trình vô nghiệm <=>

<=>

1

2

0

0  

  

  

2

1

1 4m 0 m 1

4 m 2 4

m 4 0 2 m 2 

 

 

 

   

 

 

 

(143)

Kết luận : hai phơng trình tơng đơng

Bài 82: Tìm m n để hai phơng trình sau tơng đơng

Híng dÉn:

- Nhận thấy phơng trình thứ hai có ac < nên có hai nghiệm phân biệt x1 x2

- Vậy để hai phơng trình tơng đơng nghiệm x1 x2 phơng trình thứ hai nghiệm phơng trình thứ

- ¸p dụng vi - ét cho hai phơng trình, ta có: - Kết quả: m = n =

1 m 2

4  

2 2

x  (2m  n )x 3m 0 vµ x - (m + 3n)x - = 0

1 2

1 2

x x 2m n m 3n x x 3m 6

     

 

  

(144)

Bµi 83: Cho hai phơng trình Biết

Chứng minh có hai phơng trình có nghiệm

Híng dÉn: TÝnh

2 2

x  bx  c 0 vµ x + cx + b = 0

1 1 1

b  c  2

2 2

1 2 b c 4( b c )

(145)

Theo đề => b + c = Từ => (đpcm) Bài 84: Cho ba phơng trình sau:

Chøng minh ba phơng trình có phơng trình có nghiệm

1 1 1

b bc c  2

2

2

1 2 ( b c ) 0

     

2 2 2

(146)

Hớng dẫn: Chứng minh

Bài 85 Cho phơng tr×nh:

Tìm m n để phơng trình có hai nghiệm x1 = x2 =

2 2 2

1 2 3 (a 2) ( b 2) ( c 2) 0

           

2

(147)

KÕt qu¶: m = , n =

Bài 86: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm :

(148)

a) vµ

b) Híng dÉn:

1 2

(149)

a) Ta cã: S = + vµ P =

3 1

21  21

(150)

Hai sè hai nghiệm phơng trình:

1 2

2 2 3 1 2

x Sx P 0 x x 0 2x 3x 1 0 2 2

(151)

b) Tơng tự:

Bài 87 Cho phơng trình Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị biểu thức

a) b) c)

2

x  2x  4 0

2

x  5x  2 0

2 2

1 2

x13  x23 x14  x 24

(152)

d) e) Híng dÉn:

a) 21 b) - c) 433 d) - 20 e)

2 3 3 2 1 2 1 2

x .x  x .x

1 2

x  x

(153)

Bµi 88: Gọi hai nghiệm phơng trình:

Tìm giá trị lớn biểu thức A = Híng dÉn:

§K:

Tính đợc A =

1 2

x , x

2 2

2x  2(m 1)x  m  4m 3 0

1 2 1 2

x x  2x  2x

5 m 1

  

   

2 m m 7

m 8m 7

2 2

(154)

Với điều kiện

 

2

2 9 (m 4)

m 8m 7 9 m m 7 0 A

2 2 2  

  

(155)

VËy MaxA = <=> m = -

(156)

Bài 89Cho phơng trình bậc hai

1 Chứng tỏ phơng trình có hai nghiệm với m

2 Đặt A =

a) Chøng minh A = b) T×m m cho A = 27

3 T×m m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm Híng dÉn:

1

2 a) Theo vi – ét tính đợc A =

2

x  2mx  2m 1 0

2 2

1 2 1 2

2( x  x ) 5x x

2

8m  18m  9

2

(m 1) 0, m     

2

(157)

b)

3 Phơng trình có nghiệm hai nghiệm kia, giả sử

=>

Bài 90Cho phơng trình

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm âm

1 2 3

m 3,m

4 

 

2 1

x 2x

1 3 2 3

m ,m

2 4

 

2 2

(158)

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn Hớng dẫn:

3 3

1 2

(159)

' 0

P 0

S 0

  

 

 

(160)

a) §K: => m < -

b) Tính đợc

<=>

<=>

Giải hai phơng trỡnh trờn ta c

Bài 91 Cho phơng trình

25 0.

 1 2 

x m 3, x m 2

3 3

1 2

x  x 50

3 3

(m 3)  (m 2) 50

2 2

2

3m 3m 7 10 3m 3m 7 10

3m 3m 7 10    

    

    

1 5 1 5

m hc m =

2 2

   

2

(161)

a)

Giải phơng trình m = -

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

(162)

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

Híng dÉn:

a)

b) m < -

c) m = hc m = -

Bài 92 Cho phơng trình

a) Xỏc nh m để phơng trình vơ nghiệm

1 2

x , x

2 1 2 2 1

x (1 2x )  x (1 2x ) m

1 2

1 3 1 3 x , x

2 2

 

 

2 2

(163)

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Hớng dẫn:

a) XÐt hai trêng hợp m = m

Phơng trình vô nghiệm <=> m >

1 2

x  x 1

0 

3 m 0

(164)

b) Để phơng trình có hai nghiệm phân biệt => m < - hc < m <

<=> => (tháa m·n)

a 0

' 0

 

  

1 2

x 1  x2 2 1

( x1  x )2 1

9 273 9 273

m ,m

8 8

 

(165)

Bài 8: Cho phơng trình Không giải phơng trình, hÃy tính:

a)

;

c)

d)

2

x  3x 1 0

1 2

x 1 x 2 b)x xx12  x22

1 2

x1 2 1 x 2

(166)

e)

f) g)

h)

2 2

1 2

x1 1  2x 2

x1 x2  x 2 x1

x 3x  x x3

1 2

(167)

i) k)

m)

n)

3 3

1 2

x14  x 24 x 12  x22

2 2

2 1

x x

x x

2 3 3 2

1 2 1 2

(168)

o)

p)

q)

KÕt qu¶:

2 2

1 2 1 2 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

x x x x (x x ) x (x 1) x (x 1)

     

4 4

1 2

x  x

2 2

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

6x 5x x 6x 8x x 8x x

(169)

a)

b) vµ

c)

d) e) f)

(170)

g) h)

i) 18 k) 47 m) 47 n)

(171)

o)

p) 21

q)

1

(172)

Bài 93 a) Cho phơng trình Tìm giá trị m để (1) có nghiệm thỏa mãn

b) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là: KÕt qu¶:

a) ĐK để phơng trình có hai nghim l :

Tỡm c

b) Phơng trình :

2

x  (m 3)x  2(m  2) 0 (1)

1 2

x 2x

1 3 2 vµ

3 2 

m  2 2  1 hc m 2 + 1

1 2

3 5 3 5

m ,m

2 2

 

 

2

(173)

Bài 94 Cho phơng trình a)

Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biƯt víi mäi m

b) Tìm m để phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phơng trình c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

2

(m 1)x  2mx  m 1 0

1 

1 2

x , x12 12

x x 5

(174)

KÕt qu¶:

a) =>

phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mäi m

b) m =

c)

' 1 0

  

1 

1 2

3 ,x x 6

2  

1 2 1 2

(175)

d) m =

Bài 95 Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn

1 3 

2

x  mx  m 1 0

1 2 1 2

(176)

KÕt qu¶: m =

Bài 4: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn Kết quả: k =

Bµi 96 Cho phơng trình

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuéc vµo m

c) Xác định m cho phơng trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Kết quả:

b)

c) Phơng trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu

2

( k 1)x  2( k  2)x  k 3 0

1 2

(4x  1)(4x  1) 18

2

x  2(m 1)x  m 3 0

1 2 1 2

(177)

§K: <=> m =

(Lu ý HS: Phơng trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu hai nghiệm hai số đối nhau)

Bµi 97 Cho phơng trình bậc hai

a) Xỏc nh m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt âm Kết quả:

1 2

1 2

' 0, m

x x 0

x x 0

  

 

 

  

2

(178)

a) XÐt hai trêng hỵp m = m => kết là: b) - < m <

Bài 98 Cho phơng trình

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng Kết quả:

0 

m  1

2 2

(179)

a) b)

Bài 99 Cho phơng trình Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị c¸c biĨu thøc sau: a) b) c) d)

2 m

3

 2

m

3 

2

x  3 x  5 0

1 2

1 1 x  x

2 2

1 2

x 2  x 2

1 2

1 1 x x

3 3

1 2

(180)

KÕt qu¶: a) b) c) d)

Bài 100 Cho phơng trình

a) Xỏc định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phơng trình có nghiệm tính nghiệm

15 5

3 53 5

5 

3 (1 5 )

 

2

(181)

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn

1 2

7

1 1

(182)

KÕt qu¶: a) b) m = - vµ x2 = c) m = -

1 m 3

(183)

Bài 10: Cho phơng tr×nh

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn

2

2x  6x  m 0

1 2 2 1

x x

3

(184)

KÕt qu¶: a) < m b) m =

Bµi101 : Cho phơng trình

9 2 18

5

2

(185)

a) Chøng minh r»ng ph¬ng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với

b) Tìm m để

Hớng dẫn: b) Kết hợp vi – ét = với , tìm đợc => m = ?

m  1

1 2 1 2

x x  0 vµ x = 2x

1 2

x2(m 1) x

m 1 

1 2

(186)

=> m < - hc m >

Kết toán: m = m = -

Bài 102 Cho phơng trình 1) Cho n =

a) Chứng tỏ phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phơng trình có nghiệm

2) Tìm m n để hai nghiệm phơng trình (1) thỏa mãn :

1 2

x x  0

2

x  mx  n 3 0

1 2

x , x1 2

2 2

1 2

x x 1

x x 7

 

  

 

(187)

KÕt qu¶: 1) a Thay n = vào phơng trình, ta có => b m =

2) Từ điều kiện đề

ViÕt hƯ thøc vi – Ðt vµ suy m = - ; n = 15

Bµi 103 Cho phơng trình

a) Chứng tỏ phơng trình cã nghiƯm

b) Tìm m để A = đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Kt qu:

a) Phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt víi mäi m

2

x  mx 30, m 0

1 2

1 2 2 2

1 2

x x 1

x 4 vµ x = 3 x x 7

  

  

  

2

x  (2m 3)x  m 3 0

1 2

(188)

b) A = =>

VËy MinA = 17 <=> m = -

 x1  x2  2 (2m  2)2  17 17

1 2

Ngày đăng: 25/12/2020, 08:49

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan