Tải Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án - Chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức và đáp án

Chøng tá ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m. 2.[r]

Bài tập đáp án Bài tập 1: Giải phơng trình bậc hai sau:

TT PTBH TT PTBH

1 x2 - 11x + 30 = 0 41 x2 - 16x + 84 = 0

2 x2 - 10x + 21 = 0 42 x2 + 2x - = 0

3 x2 - 12x + 27 = 0 43 5x2 + 8x + = 0

4 5x2 - 17x + 12 = 0 44 2

√3+√¿ ¿ √6 x

2 – 2(x + = 0

5 3x2 - 19x - 22 = 0 45 11x2 + 13x - 24 = 0

6 √2 √2 x2 - (1+)x + = 0 46 x2 - 11x + 30 =

7 x2 - 14x + 33 = 0 47 x2 - 13x + 42 = 0

8 6x2 - 13x - 48 = 0 48 11x2 - 13x - 24 = 0

9 3x2 + 5x + 61 = 0 49 x2 - 13x + 40 = 0

10 √3 √6 x2 - x - - = 0 50 3x2 + 5x - =

11 x2 - 24x + 70 = 0 51 5x2 + 7x - = 0

12 x2 - 6x - 16 = 0 52

√3 3x2 - 2x - = 0

13 2x2 + 3x + = 0 53

√2 x2 - 2x + = 0

14 x2 - 5x + = 0 54

(√3− 1) √3 x2 - 2x - = 0

15 3x2 + 2x + = 0 55 11x2 + 13x + 24 = 0

16 2x2 + 5x - = 0 56 x2 + 13x + 42 = 0

17 x2 - 7x - = 0 57 11x2 - 13x - 24 = 0

18 √3 3x2 - 2x - = 0 58 2x2 - 3x - =

19 -x2 - 7x - 13 = 0 59 x2 - 4x + = 0

20 √2 √3− 1¿ √2 x2 – 2(x -3 = 0 60 x2 - 7x + 10 =

21 3x2 - 2x - = 0 61 4x2 + 11x - = 0

22 x2 - 8x + 15 = 0 62 3x2 + 8x - = 0

23 2x2 + 6x + = 0 63 x2 + x + = 0

24 5x2 + 2x - = 0 64 x2 + 16x + 39 = 0

25 x2 + 13x + 42 = 0 65 3x2 - 8x + = 0

26 x2 - 10x + = 0 66 4x2 + 21x - 18 = 0

27 x2 - 7x + 10 = 0 67 4x2 + 20x + 25 = 0

28 5x2 + 2x - = 0 68 2x2 - 7x + = 0

29 4x2 - 5x + = 0 69 -5x2 + 3x - = 0

30 x2 - 4x + 21 = 0 70

√3 x2 - 2x - = 0

31 5x2 + 2x -3 = 0 71 x2 - 9x + 18 = 0

32 4x2 + 28x + 49 = 0 72 3x2 + 5x + = 0

33 x2 - 6x + 48 = 0 73 x2 + = 0

34 3x2 - 4x + = 0 74 x2 - = 0

35 x2 - 16x + 84 = 0 75 x2 - 2x = 0

36 x2 + 2x - = 0 76 x4 - 13x2 + 36 = 0

37 5x2 + 8x + = 0 77 9x4 + 6x2 + = 0

38 √3+√2¿ √6 x2 – 2(x + = 0 78 2x4 + 5x2 + =

39 x2 - 6x + = 0 79 2x4 - 7x2 - = 0

40 3x2 - 4x + = 0 80 x4 - 5x2 + = 0

Bài tập Tìm x, y trờng hợp sau:

a) x + y = 17, x.y = 180 e) x2 + y2 = 61 , x.y = 30

b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40

c) x + y = 30, x2 + y2 = 650 g) x - y = 5, x.y = 66

d) x + y = 11 x.y = 28 h) x2 + y2 = 25 x.y = 12

2 2 5 0

2 5 0

x  x q  b) Phương trình có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai.

2 7 0

x  x q  c) Cho phương trình: , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm của phương trình

2 50 0

x  qx  d) Tìm q hai nghiệm phương trình : , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm

Bài giải:

1

x  a) Thay v phương trình ban đ ầu ta đ ợc :

4

4

p p

    

1 x x 

1 5 x x  

T suy

x  b) Thay v phương trình ban đ ầu ta đ ợc 25 25   q q50

1 50 x x 

1 50 50 10 x x     

T suy

1 11

x  x  x1x2 7

1

1 2

11

7

x x x

x x x

  

 



 

  

  c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử theo VI-ÉT ta có , ta giải hệ sau:

1 18

q x x  Suy 2

x  x x x 1 2 50d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử theo VI-ÉT ta có Suy ra

2 2

2

2

2 50

5 x x x x         

x  x 1 10 Với th ì

x  x 1 10 Với th ì

x  x 2

Bµi tËp Cho ; lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

1

1 S x x P x x

  

 



x x1; 2Bài giải: Theo h thc VI-ÉT ta có nghiệm phương trình có dạng:

2

0

x  Sx P   x  x 

2 3 2 0 x  x  x x1;

1 1 y x

x

  2 1

2 y x

x  

Bµi tËp Cho phương trình : có nghiệm phân biệt . Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn :

Bài giải: Theo h th c VI- ẫT ta c ó:

1

1 2 1 2

1 2

1 1

( ) ( )

2 x x

S y y x x x x x x

x x x x x x

  

               

 

1 2 1

1 2

1 1

( )( ) 1 1

2

P y y x x x x

x x x x

            

2 0

y  Sy P  Vậy phương trình cần lập có dạng: 9 0 2 9 9 0

2

y  y   y  y 

hay

  Bµi tËp Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab = 4

  x23x 0 Vì a + b = ab = nên a, b nghiệm phương trình :

1

x  x 2 4giải phương trình ta

 Vậy a = b = 4  nếu a = b = 1

Bµi tËp Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41

 2 a b = ab = 36

3 a2 + b2 = 61 v ab = 30

H

ướ ng d ẫ n : 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích

của a v b

   

2

2 2 2 81

9 81 81 20

2 a b a b   a b   a  ab b   ab   

T

2

2 20

5 x x x x        

 Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = b =

nếu a = b =

2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b

  Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = a.c = 36

1

2 36

9 x x x x        

 Suy a,c nghiệm phương trình :

  Do a = c = nên b = 9  nếu a = c = nên b = 4

a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 24ab169

Cách 2: Từ  2 132 13

13 a b a b a b            13 a b 

1

2 13 36

9 x x x x        

 *) Với ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :

 9 Vậy a = b =

13

a b 

1

2 13 36

9 x x x x        

 *) Với ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : Vậy a = b =

3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:

a b2 a2 b2 2ab 61 2.30 121 112

         11 11 a b a b       

 T ừ: a2 + b2 = 61

11

a b 

1

2 11 30

6 x x x x        

 *) Nếu ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình:

 665 Vậy a = b = ; a = b =

11 a b 

1

2 11 30

6 x x x x        

 *) Nếu ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : Vậy a = b = ; a = b =

2 4 3 8 0

2

1 2

3 2

6 10

Q

5

x x x x

x x x x

 





 

2 2

1 2 2

3 2

1 2 1 2 1 2 1 2

6 10 6( ) 6.(4 3) 2.8 17

Q

5 5 2 5.8 (4 3) 2.8 80

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

    

   

       

 

  HD:

m1x2 2mx m  0 x x1; 2 x x1; 2

Bµi tËp Cho phương trình : có nghiệm Lập hệ thức liên hệ giữa cho chúng không phụ thuộc vào m.

HD : Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì :

2

1

1

4

' ( 1)( 4)

5 m m

m m

m m

m m m

                            

Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

1 2

1 2

2

2 (1)

1

4

(2)

1

m

x x x x

m m

m

x x x x

m m                            

Rút m từ (1) ta có :

1

1

2

2

1 x x m

m      x x  (3) Rút m từ (2) ta có :

1

1

3

1

1 x x m

m       x x (4)

Đồng vế (3) (4) ta có:

 2    2

1 2

2

2 3

2 x x x x x x x x

x x    x x          

1;

x x m 1x2 2mx m 4 0

     A3x1x22x x1 2 8

Bµi tËp 10 Gọi nghiệm phương trình : Chứng minh biểu thức không phụ thuộc giá trị m.

HD: Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì :

2

1

1

4

' ( 1)( 4)

5 m m

m m

m m

m m m

                             

Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :

1 2 m x x m m x x m            

 thay v A ta c ó:

 2

2 8( 1)

3 8

1 1

m m m m m

A x x x x

m m m m

                   m  m 

   

2 2 2 1 0

x  m x m  x x1; 2 x x1; 2 x x1; 2

Bµi tËp 11Cho phương trình : có nghiệm Hãy lập hệ thức liên hệ cho độc lập m.

m 22 2 m 1 m2 4m m 22

           

H

ướ ng d ẫ n: Dễ thấy

do phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có

1 2 2 2(1)

(2)

2 m x x x x m

x x

x x m m

                   Từ (1) (2) ta có:

 

1

1 2

1

2

2 x x

x x     x x  x x  

   

2 4 1 2 4 0

x  m x m 

Bµi tËp 12 Cho phương trình :

1

x x2Tìm hệ thức liên hệ cho chúng không phụ thuộc vào m.

2

(4m 1) 4.2(m 4) 16m 33

        H ướ ng d ẫ n: Dễ thấy phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2

Theo hệ thức VI- ÉT ta có

1 2

1 2

(4 1) ( ) 1(1)

2( 4) 16(2)

x x m m x x

x x m m x x

                

Từ (1) (2) ta có:

1 2 2

(x x ) 2x x 16 2x x (x x ) 17

         

   

2 6 1 9 3 0

mx  m x m 

Bµi tËp 13 : Cho phương trình :

1

x x2 x1x2 x x1 2 Tìm giá trị tham số m để nghiệm thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l :

     

0 0 0

' 9 27 ' 1

' 21 9( 3)

m m m m

m m m m m

m m m

                                             2 6( 1) 9( 3) m x x m m x x m           

 x1x2 x x1 2Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: v t gi ả thi ết: Suy ra: 6( 1) 9( 3)

6( 1) 9( 3) 6 27 21

m m

m m m m m m

m m

 

            

(thoả mãn điều kiện xác định )

1

x x2 x1x2 x x1 2Vậy với m = phương trình cho có nghiệm thoả mãn hệ thức :

 

2 2 1 2 0

x  m x m  

Bµi tËp 14 Cho phương trình :

1

1&

x x Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm :

2

' (2m 1) 4(m 2)

     

2

4m 4m 4m

     

7

4 m m      2 2

x x m

x x m

  

 

 

 3x x1 2 5x1x2 7 0Theo hệ thức VI-ÉT ta có: và từ giả thiết Suy ra

2

2

3( 2) 5(2 1) 10

2( )

3 10 4

( ) m m m m m TM m m m KTM                      

x x23x x1 2 5x1x2 7 0Vậy với m = phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức :

Bµi tËp 15

 

2 2 4 7 0

mx  m x m   Cho phương trình :

1

x x2 x1 2x2 0 Tìm m để nghiệm thoả mãn hệ thức :

 

2 1 5 6 0

x  m x m 

2 Cho phương trình :

x x24x13x2 1 Tìm m để nghiệm thoả mãn hệ thức:

   

2

3x  3m x 3m1 0

3 Cho phương trình :

x x23x1 5x2 6 Tìm m để nghiệm thoả mãn hệ thức : HD:

16 &

15 m m

BT1: - ĐKX Đ:

1 2 ( 4) (1) m x x m m x x m            

 -Theo VI-ÉT:

1 2 x  x 

1 2

1 2

1

3

2( )

2( )

x x x

x x x x

x x x

 



  



 

 - Từ Suy ra: (2)

2

1

127 128 1; 128

m  m   m  m  - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: 22 25 0 11 96 11 96

m m m

          BT2: - ĐKXĐ:

1

1

(1)

5

x x m

x x m    



 

 - Theo VI-ÉT:

1 4x 3x 1

   

1

1 2

2

2

1 2

1 3( )

1 3( ) 4( ) 4( )

7( ) 12( )

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

              

0 12 ( 1)

1 m m m m       

 - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ)

2 2

(3m 2) 4.3(3m 1) 9m 24m 16 (3m 4)

           BT3: - Vì với số thực m nên phương

trình ln có nghiệm phân biệt

1 2 3 (1) (3 1) m x x m x x            

 - -Theo VI-ÉT:

1 3x  5x 6

   

1

1 2

2

2

1 2

8 5( )

64 5( ) 3( )

8 3( )

64 15( ) 12( ) 36

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

              

      - Từ giả thiết: Suy ra: (2)

0

(45 96) 32

15 m m m m        

 - Thế (1) vào (2) ta phương trình: (thoả mãn )

2 0

ax bx c  Bµi tËp 16 Cho phương trình: (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm ….

Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu nghiệm x1 x2 S x1x2 P x x  Điều kiện chung

trái dấu   P < 0   0   ; P < 0.

cùng dấu,   P >     ; P >

cùng dương, + + S > P >     ; P > ; S >

cùng âm   S < P >     ; P > ; S < Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình:

 

2

2x  3m1 x m  m 0

có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu

2

2

(3 1) 4.2.( 6)

0 ( 7)

2

6

0 ( 3)( 2)

2

m m m

m m

m

m m

P P P m m

                                     

2 m

   Vậy với phương trình có nghi ệm trái dấu.

 

2 2 1 0

x  m x m 

Bµi tËp 17 Cho phương trình :

1

x x2 Gọi nghiệm phương trình Tìm m để : 2

1

A x x  x x có giá trị nhỏ nhất.

1

1

(2 1)

x x m

x x m

  

 



 Bài giải: Theo VI-ÉT:

 2

2

1 2 A x x  x x  x x  x x

Theo đ ề b ài :

 2

2

2

2

4 12

(2 3) 8

minA8 2m 0 hay

3 m 

Suy ra:

2 1 0

x  mx m   Bµi tËp 18Cho phương trình :

x x2 Gọi nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau:

 

1 2

1 2

2

2

x x B

x x x x  

  

1

1 x x m x x m

 

 

 

 Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT :

 

1 2

2 2 2

1 2

2 3 2( 1)

2 ( ) 2

x x x x m m

B

x x x x x x m m

    

    

      

Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn

Ta biến đổi B sau:

   2

2

2

2 1

1

2

m m m m

B m m               2

1 0

2 m m B m         Vì

max B=1  Vậy m = 1

Với cách thêm bớt khác ta lại có:

       

2 2 2

2 2

1 1

2 4 2 1

2 2

2 2 2

m m m m m m m

B

m m m

                     2 2

2 0

2 2 m m B m         Vì 2

B  m

Vậy

Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để

phương trình cho ln có nghiệm với m.

2

2

2 m

B Bm m B

m 

     

 (Với m ẩn, B tham số) (**)

2 B B(2 1) 2B B

       Ta có:

Để phương trình (**) ln có nghiệm với m  

   

2

2B B 2B B 2B B            

hay

2 2

1 1

1

2 1

2 1 B B B B B B B B B                                              

max B=1  Vậy: m = 1

min

2

B  m

Bài 19: (Bài toán tổng quát)

Vô nghiệm   <

Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau)   = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   >

Hai nghiệm dấu   P >

Hai nghiệm trái dấu   > P <  a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0)   0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0)   0; S < P > Hai nghiệm đối   S =

10.Hai nghiệm nghịch đảo   P =

11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn  a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn

 a.c < S >

a b 

a c

(ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = )

Bài 20: Giải phương trình (giải biện luận): x2- 2x+k = ( tham số k) Giải

’ = (-1)2- 1.k = – k

Nếu ’<  1- k <  k >  phương trình vơ nghiệm

Nếu ’=  1- k =  k =  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu ’>  1- k >  k <  phương trình có hai nghiệm phân biệt

k 

1 1 k x1 = 1- ; x2 = 1+ Kết luận:

Nếu k > phương trình vơ nghiệm Nếu k = phương trình có nghiệm x=1

k 

1 1 k Nếu k < phương trình có nghiệm x1 = 1- ; x2 = 1+

Bài 21: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó?

c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? tìm nghiệm cịn lại(nếu có)? Giải

2

a) + Nếu m-1 =  m = (1) có dạng 2x - =  x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2

3

(1) có nghiệm  ’ = 3m-2   m 

2

+ Kết hợp hai trường hợp ta có: Với m  phương trình có nghiệm

2

b) + Nếu m-1 =  m = (1) có dạng 2x - =  x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

3

(1) có nghiệm  ’ = 3m-2 =  m = (thoả mãn m ≠ 1) 3 1       m

Khi x =

2

+Vậy với m = phương trình có nghiệm x =

3

4

(m-1)22 + 2.2 - =  4m – =  m =

3 

Khi (1) phương trình bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) 12 3         x m

Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 =

4

Vậy m = nghiệm lại x2 =

Bài 22: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – – m = ( ẩn số x) a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm

 d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x12+x22 10. e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2 Giải 15 2         m

a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– – m ) = 2         m 0 15 

Do với m;   > với m  Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c <  – – m <  m > -3 Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm

Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi phương trình có hai nghiệm âm  S < P >

3 ) ( ) (                    m m m m m Vậy m < -3

d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3)

Khi A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo A  10  4m2 – 6m   2m(2m-3) 

                                                   3 0 0 m m m m m m m m m m

Vậy m  m 

e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm

                   2 ) ( ) ( 2 2 m x x m x x m x x m x x

Theo định lí Viet ta có:  x1 + x2+2x1x2 = -

2 2 x x x    

f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = -  x1(1+2x2) = - ( +x2) 

2 1 2

8 x x x     2  x

Vậy ()

Bài 23: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 =

2 1 x x y  

1 2 x x y  

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn ; với x1; x2 nghiệm phương trình

Giải

a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m

Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo 2 1 '                        m m m m m P

Vậy m =

b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m

Phương trình có nghiệm     – m   m  (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bài: 3x1+2x2 = (3)

2 2 5

1 2 1

3 1 2 1 2 1 2 2

x x x x x x

x x x x x x x

                               

    Từ (1) (3) ta có:

Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 giá trị cần tìm

d) Với m  phương trình cho có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2)

1 1 2 2

2

1 2 1 1

1 2

x x m

y y x x x x

x x x x m m

 

          

 

Khi đó: (m≠1)

1 1

( )( ) 2

1 2 1 1

2 1

m

y y x x x x m

x x x x m m

             (m≠1) m m  2  m m

 y1; y2 nghiệm phương trình: y2 - y + = (m≠1) Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

Bài 24: Giải biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0 Gi¶i.

Δ❑

Ta cã = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

Δ❑ ⇔ ⇔ + Nếu > m2 – > m < - m > Phơng trình cho có nghiệm phân biệt:

√m2−9

√m2−9 x1 = m + - x2 = m + + Δ❑ ⇔ ± + NÕu = m = 3

- Với m =3 phơng trình có nghiệm x1.2 = - Với m = -3 phơng trình có nghiệm x1.2 = -2 + NÕu < -3 < m < phơng trình vô nghiệm

Kết kuận:

Với m = phơng trình có nghiệm x =  Víi m = - th× phơng trình có nghiệm x = -2

Với m < - m > phơng trình có nghiệm phân biệt

Với -3< m < phơng trình vô nghiệm

Bài 25: Giải biện luận phơng trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – = 0

Híng dÉn

 ⇔ Nếu m – = m = phơng trình cho có dạng

⇔

2 - 6x – = x = -

⇔ Δ❑ * Nếu m – m Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

Δ❑ ⇔ ⇔ - NÕu = 9m – 18 = m = phơng trình có nghiệm kép

b

a =

2 −3 x1 = x2 = - = -

Δ❑ ⇔ - NÕu > m >2 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

m± 3√m −2

m −3 x1,2 =

Δ❑ ⇔ - NÕu < m < Ph¬ng trình vô nghiệm

1

2 Kết luận:

Với m = phơng trình có nghiệm x = - Với m = phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

m± 3√m −2

m 3 Với m > m phơng trình có nghiệm x1,2 = Với m < phơng trình vô nghiệm

Bài 26: Gọi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x2 3x = a) TÝnh:

|x1− x2| A = x12 + x22 B =

x1−1+

x2− 1 C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

a)

x1−1

1

x21 lập phơng trình bậc có nghiệm Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 – 3x – = cã tÝch ac = - < , suy ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23

|x1− x2| √S2

− p=√37 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = =

x1−1+ x2− 1

(x1+x2)−2 (x1−1)(x2− 1)=

S −2 p − S +1=−

1

9 + C = =

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta cã :

1 x1−1+

1 x2− 1=−

1

9 S = (theo c©u a)

(x1−1)(x2− 1)

=

p − S +1=− p =

x1−1

1

x21 Vậy nghiệm hơng trình :

⇔

9

9 ⇔ X

2 – SX + p = X2 + X - = 9X2 + X - = 0

Bài 27 : Cho phơng trình :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)

3 Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > 0 Gii.

1 Phơng trình (1) phơng trình bậc hai có:

5

5 = (k -1)

2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 - k + ) 25 36 25 36

5 = 5(k

2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > víi mäi giá trị k Vậy ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p <

⇔ ⇔

2

7

4 - k

2 + k – < - ( k2 – 2.k + + ) < 0

⇔

2

4 -(k - )

2 - < ln với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với k

3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiệm víi mäi k Theo hƯ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

5

87

16 = (k – 1)[(2k - ) 2 + ]

⇔

4 87

16 Do x1

3 + x23 > (k – 1)[(2k - )2 + ] >

⇔ 54 8716 k – > ( v× (2k - )2 + > víi mäi k)

⇔ k > Vậy k > giá trị cần tìm Bài 28:

Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m tham số) Giải phơng trình (1) với m = -5

2 Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 ph©n biƯt víi mäi m

3 |x1− x2| Tìm m để đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phơng trình (1) nói phần 2.)

Gi¶i

1 Víi m = - phơng trình (1) trở thành x2 + 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x1 = , x2 = - Δ❑ Cã = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m +

1 19 19

4 = m

2 + 2.m + + = (m + )2 + > víi mäi m VËy ph¬ng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phơng trình có nghiệm với m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4)

2 19

4 = 4m

2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]

|x1− x2| m+ 2¿ +19 ¿ √¿

2√19

4 √19

1

2 ⇔

1

2 => = = m + = m = -

|x1− x2| √19

2 Vậy đạt giá trị nhỏ m = -

Bµi 29 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m – = (m lµ tham sè)

1)

2 Giải phơng trình m = -

2) Chứng minh phơng trình cho có nghiệm với m

Gi¶i:

1)

2 Thay m = - vào phơng trình cho thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = 0

phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2=

2) + Nếu: m + = => m = - phơng trình cho trở thành;

⇔ 5x – = x =

+ Nếu : m + => m - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số :

Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt

2 m− 1+5 2(m+2)

2 m+4 2 m+4=1

2 m− 1− 5 2(m+2) =

2(m− 3) 2(m+2)=

m− 3

m+2 x1 = = x2 =

Tóm lại phơng trình cho ln có nghiệm với m

3)Theo câu ta có m - phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp

⇔ m−3

m+2

2 Trờng hợp : 3x1 = x2 = giải ta đợc m = - (đã giải câu 1)

⇔ m−3

m+2 ⇔ ⇔

11

2 Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 1= m + = 3m m = (thoả mÃn điều kiện m - 2)

11

2 Kiểm tra lại: Thay m = vào phơng trình cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + = phơng trình có hai nghiệm

5 15

1

3 x1 = , x2 = = (thoả mÃn đầu bài)

Bài 30: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m = (1) víi m lµ tham sè BiƯn ln theo m sù cã nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (1)

2 Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải

⇔

4 + NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = x = Δ❑ + NÕu m LËp biÖt sè = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m = - m +

Δ❑ ⇔ ⇔ < - m + < m > : (1) v« nghiƯm

Δ❑ ⇔ ⇔ = - m + = m = : (1) cã nghiÖm kÐp

b❑

a = m−2

m = 4 − 2

2 =

2 x1 = x2 =

-Δ❑ ⇔ ⇔ > - m + > m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt

m−2 −√− m+4 m

m−2+√− m+4

m x1 = ; x2 = VËy : m > : phơng trình (1) vô nghiệm

1

2 m = : phơng trình (1) Có nghiÖm kÐp x = m < : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

m−2 −√− m+4 m

m−2+√− m+4

m x1 = ; x2 =

4 m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

⇔ c

a ⇔

m−3

⇔

¿m− 3>0 m<0 ¿ ¿ ¿ m −3<0 ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿m>3 m<0 ¿ ¿ ¿ m<3 ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m>3 m<0 {

Trờng hợp không tho¶ m·n

¿ m<3 m>0 ¿{

¿

⇔ Trêng hỵp < m <

3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm Δ❑ ⇔ 0 m (*) (ở câu a có)

- Thay x = vào phơng trình (1) ta có :

⇔ ⇔

4 9m – 6(m – 2) + m = 4m = m = -9

4 - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả mÃn

4 9 9

4 ⇔ *) Cách 2: Không cần lập điều kiện mà thay x = vào (1) để tìm đợc m = -.Sau thay m = - vào phơng trình (1): -x2 – 2(- - 2)x - - = -9x2 +34x – 21 =

Δ❑

x1=3

¿

x2=

7 ¿ ¿ ¿ ¿

cã = 289 – 189 = 100 > =>

9

4 Vậy với m = - phơng trình (1) có nghiệm x= *)Để tìm nghiệm thứ ,ta có cách làm

9

7

9 Cách 1: Thay m = - vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2 = (Nh phần làm)

9

4 Cách 2: Thay m = - vào công thức tÝnh tỉng nghiƯm: 2(m−2) m = 2(−9 4−2) −9 =34

9 x1 + x2 =

 34

9 34

9

9 x2 = - x1 = - =

m−3 m =

−9 4− 3 −9 =21 21 21

9 x1x2 = => x2 = : x1 = : = Bài 31: Cho phơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2 Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10

Giải.

1.Phơng trình (1) có nghiÖm kÐp = k2 – (2 – 5k) =

⇔ Δ k2 + 5k – = ( cã = 25 + = 33 > )  − −√33

2

− 5+√33

2 k1 = ; k2 = − −√33

2

− 5+√33

2 Vậy có giá trị k1 = k2 = phơng trình (1) Có nghiệm kép 2.Có cách giải

Cỏch 1: Lp iu kin phng trình (1) có nghiệm:

Δ❑ ⇔ k2 + 5k – (*) Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

b

a= Với điều kiện(*) , áp dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - - 2k vµ x1x2 = – 5k ⇔ VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – = 0

7

2 (Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = -

Δ❑ Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào = k2 + 5k – 2 Δ❑

+ k1 = => = + – = > ; tho¶ m·n Δ ❑ 49 − 35 −2=

49 −70 −8 =−

29

8 + k2 = - => = không thoả mÃn Vậy k = giá trị cần tìm

Cách : Không cần lập điều kiện Cách giải là:

7

2 Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = - (cách tìm nh trên) Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 = 3

2 39

2 Δ + Víi k2 = - (1) => x

2- 7x + = (cã = 49 -78 = - 29 < ) Ph¬ng trình vô nghiệm Vậy k = giá trị cần tìm

Bài 32

Cho phơng trình: x2 - 4x + m + = 0. a/ Gi¶i phng tr×nh m =

b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm

c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x13 + x23 = 34

Gi¶i

a/ Khi m = PT  x2 - 4x + = a + b + c =  x1 = 1, x2 = 3. b/ ' = - m - = - m, phơng trình có nghiÖm  - m   m  3. c/ Để phơng trình có nghiệm phải cã    m 

Khi đó: x12 + x22 = 10  (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10  16 - 2(m + 1) = 10  m = 2 d/ Để phơng trình có nghiệm phải có    m 

x13 + x23 = 34  (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34  4[16 -3(m + 1)] =34  m +1 =10  m = 9

Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - - m = 0.

a/ Chứng minh phơng trình ln có nghiệm với m b/ Tìm để phơng trình có nghiệm x = 2, tìm nghiệm

c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22  10

d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 cho P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Gi¶i

a/ ' = m2 - 2m + + m + = m2 - m + = (m- 1/2)2 + 15/4 >  với m phơng trình có nghiệm

b/ x = thay vào phơng trình ta có: 5m =  m = Khi phơng trình có dạng: x2 - =  x = ẩ x = -2

c/ x12 + x22  10  (x1 + x2)2 - 2x1x2  10  [2(m - 1)]2 + 2(m + 3)  10 

 4m2 -8m + + 2m +  10  4m2 - 6m   m(2m - 3)   m  3/2 È m  0. d/ P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 =

(2m - 3/2)2 + 31/4  Pmin = 31/4  m = 3/4.

Bµi 34

Cho phơng trình: x2 - 2mx + 2m -1 = 0.

a/ Chứng minh phơng trình có nghiệm víi mäi m

b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27. c/ Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm

d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 = x22

Gi¶i

a/ ' = m2 - 2m + = (m + 1)2   víi mäi m phơng trình có nghiệm.

b/ 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27  2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 5x1x2 = 27  2(x1 + x2)2 - 9x1x2 = 27  8m2 - 9(2m + 1) = 27  8m2 - 18m - 18 =  4m2 - 9m - = 0

 m = ẩ m = -3/4

c/ Giả sử phơng tr×nh cã nghiƯm: x1 = 2x2  ta cã:

x1 + x2 = 3x2 =2m  x2 =2m/3 (1) vµ x1x2 = 2x22 = 2m - 1x22 = (2m - 1)/2 (2). Tõ (1) vµ (2)  4m2/9 = (2m - 1)/2  8m2 - 18m + =  m = 3/4 È m = 3/2 d/ Ta cã: x = m + m + = 2m + È x = m - m - = -1

NÕu x1 = 2m + 1, x2 = -1 th× ta cã: 2m + =  m =

NÕu x1 = -1, x2 = 2m + th× ta cã: -1 = (2m + 1)2 v« lý. VËy m = 0.

Bài 35

Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0.

a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt trái dấu c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt âm d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt dng

Giải

a/ Phơng rình có nghiệm kÐp  m  vµ ' =  m2 - 2m + + m2 - m = 0  2m2 - 3m + =  (m - 1)(2m - 1) =  m = È m = 1/2

c/ Phơng trình có nghiệm phân biệt âm 

d/ Phơng trình có nghiệm phân biệt dơng 

Lo¹i

Vậy khơng tồn m để phơng trình có nghiệm phân biệt dơng

Bµi 36

Cho phơng trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0.

a/ Chứng minh phơng trình ln có nghiệm m thay đổi b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: < x1 < x2 <

                                            ' 1 2 m 1

m 1 m 1

m 1 / 2 m 0 0 (m 1)(2m 1) 0

m 1 m 0

x x 0 m

0 m 1

m 1                                               ' 2 m 1

m 1 (m 1)(2m 1) 0

m 1

0 m

0 m 1 / 2

m 1 / 2

0

x x 0 m 1

0 m 1

2(m 1)

x x 0

0 m 1                                                  ' 1 2 1 2

m 1 m 1

m 1 (m 1)(2m 1) 0

m 1 / 2

0 m

0 m 1 0

x x 0 m 1

2 0 2(m 1)

x x 0

Gi¶i

a/  = 4m2 - 12m + - 4m2 + 12m = > phơng trình có nghiệm.

b/ x1 = ; x2 =

Víi mäi m ta lu«n cã: m - < m  < m - < m <  < m <

Bµi 37

Cho phơng trình: 3x2 - mx + = Tìm m để pt có nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 - 2.

Giải

ĐK:

Bài 38

Gọi a, b nghiệm phơng trình: x2 + px + = 0 c, d lµ nghiƯm cđa phơgn trình: x2 + qx + = 0 a/ Chøng minh r»ng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)2 b/ Chøng minh r»ng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 - p2

Gi¶i

 

 

2m 3

m 3 2

 

 2m 3

m 2        È   È                                  

1 2 2

1 2

1 2

m 24 0 m 2 6 m 2 6 m 2 6 m 2 6 3x x 2x 2 2 2x 2 x 2

Theo định lý Viét ta có:

a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a2 - ad - ac + cd)(b2 - bc - bd + cd) = [a2 - a(c + d) + cd][b2 - b(c + d) + cd] = (a2 + aq + 1)(b2 + bq + 1) = a2b2 + a2bq + a2 +ab2q + abq2 + aq + b2 + bq + =

1 + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)2 - 2ab] + q2 + =

2 + q(a + b) - pq + p2 - + q2 + = p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 = VP.

b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c2][ab + d(a + b) + d2] = (1 + cp + c2)(1- dp + d2) = 1-dp + d2 + cp - cdp2 + cd2p + c2 - c2dp + c2d2 =

= 1- dp + d2 + cp - p2 + dp + c2 - cp + = (c + d)2 - 2cd - p2 + = q2 - p2 = VP. x2

+(m+1) x+5− m=0 Bài 39 Cho phơng trình: (1) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm -1 Tìm nghiệm cịn lại b) Giải phơng trình m = -6

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

❑1 x2 d) Với m tìm đợc câu c, viết hệ thức xvà độc lập m Lời giải

a) Phơng trình (1) có nghiệm -1 nªn:

−1¿2+(m+1)(−1)+5 −m=0⇒ m=5 ¿

x2+7 2x +

5 2=0⇒

5

2 Khi ta có phơng trình: nghiệm cịn lại PT là:

x2−5 x +11=0 Δ=−19<0 ⇒ b) Víi m = -6 ta có PT: có phơng trình vô nghiệm

Δ=m2+6 m− 19 c) Ta cã:

Δ=m2

+6 m 19 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biÖt >0

Δ Ta xÐt dÊu

−3 −2√7 √7 m -3+2 Δ + - +

−3 −2√7 √7 Vậy m < m > -3+2 phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1+x2= m 1 x1x2=− m d) Ta cã: (1); (2) − x1x2+5 x1+x2=x1x2−6 Tõ (2) suy ra: m = , thay vµo (1):

x1+x2 x1x2+6=0 Vậy hệ thức cần tìm là: Bài 40 Giải phơng trình sau:

x44 x2+3=0 x+ x¿

2− 4(x +1

x)+3=0 ¿

a) b) Lêi gi¶i

x2=t (ĐK: t ≥0) t2− t+3=0 a) Đặt Khi phơng trình đẫ cho trở thành: t1=1, t2=c

a=3 Vì a + b + c = 0, nên phơng trình có hai nghiệm: (TMĐK)

 

 

 

 

a b p c d q

t1=1⇒ x2=1⇒ x=± 1 * Víi

t2=3 x2=3 x=3 * Với

3;3 Vậy phơng trình cã nghiÖm : x = -1; 1;

x 0 x+1

x=t b) ĐK: Đặt t2− t+3=0 t

1=1, t2= c

a=3 Ta đợc: Theo câu a/ t1=1⇒ x+

1

x=1 * (PT v« nghiƯm) t2=3⇒ x+1

x=3⇔ x

− x +1=0 ⇔ x1= 3+√5

2 ; x2= 3−√5

2 * x2−2 (m− 1) x +m2 2=0 Bài 41: Cho phơng trình (I)

a) Giải phơng trình (I) m = -2

b) Tìm m để phơng trình (I) có nghiệm? Có hai ngiệm phân biệt? c) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu ?

d) x1; x2 x12+x22=4 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện e) x1; x2 x1=2 x2 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu

g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm h) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng

i) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại

j) x1; x2 2 x1−4 x2=−3 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện Lời giải

x2+6 x +2=0 a) Khi m = -2, phơng trình (I) trở thành: '=b'

2

ac=32 2=7 >0 Ta có phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt x1=− 3+√7

1 =−3+√7 ; x2=

−3 −√7

1 =− −√7 ⇔ Δ'≥ 0⇔(m −1)2− 1.

(m2− 2

)≥ 0⇔−2 m+3 m3

2 b) Phơng trình (I) có nghiệm Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biÖt

⇔ Δ'

>0⇔(m− 1)2− 1.(m2− 2)>0⇔− 2m+3>0 ⇔ m<3 ⇔c

a<0⇔m

−2<0⇔−√2<m<√2 c) Phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu

x1; x2 m≤3

2 d) Điều kiện để phơng trình có nghiệm là: x1+x2=

−b

a =2 (m−1) ; x1x2= c a=m

2

− 2 Khi theo hệ thức Vi-et ta có:

x12+x22=4 ⇔(x 1+x2)

2

− xxx2=4⇔[2( m−1)]2−2 (m2−2)=4⇔ m2

−4 m+2=0 Do

⇔(x −1)2=0⇔ x =1 (TM§K)

x1; x2 m≤3

2 e) Điều kiện để phơng trình có nghiệm là: ¿

x1+x2=2 (m− 1) (1) x1x2=m2−2 (2) x1=2x2 (3)

¿{ { ¿

x2=2 (m− 1) ; x1=

4 (m −1)

m=−8+3√10 ¿

m=− −3√10 ¿

¿ ¿ ¿

¿

2 (m− 1)

4 (m− 1) =m

2

−2⇔ 8( m−1)2

=9(m2−2)⇔ m2

+16 m −26=0 ⇔

¿

Từ (1) (3) ta có thay vào (2) ta đợc ⇔

Δ'≥ 0

c a>0

⇔

¿m≤3 m>√2

¿ m<−√2

¿ ¿⇔

¿

√2<m≤3 ¿ ¿ m<−√2

¿ ¿{

¿ ¿ ¿

f) Ph¬ng tr×nh (I) cã nghiƯm cïng dÊu

⇔ Δ'≥0 − b

a <0 c a>0

⇔

¿m ≤3 m− 1<0

¿ m2−2>0

⇔

¿m ≤3 m<1 m>√2

¿ m<−√2

¿ ¿⇔m<−√2

¿ ¿ ¿

⇔ Δ'≥ 0

− b a >0 c a>0

⇔

¿m≤ m>1

¿ m>√2

¿ m<−√2

¿

¿⇔√2<m≤3 ¿ ¿

h) Phơng trình (I) có hai nghiệm d¬ng

⇔ a+b+c =0 ⇔1− (m−1)+m2−2=0⇔m2− 2m+1=0⇔ (m− 1)2=0m=1 i) Phơng trình (I) có nghiệm

x2=c a=

m2−2 =

12− 2

1 =−1 Khi nghiệm cịn lại

2 x14 x2=3 j) Phơng trình (I) có nghiệm thoả ĐK: m3

2 K: ( phng trỡnh cú nghiệm) ¿

x1+x2=2(m −1) (1) x1x2=m2− (2) 2x1-4x2= -4 (3)

¿{ { ¿

Theo hệ thức Vi-et yêu cầu toán, ta cã:

x1=4 m− 6 ;x2=

2 m

4 m −6

2 m =m

2

−2⇔2 m( m− 6)=9(m2−2)⇔ m2

+12 m− 18=0⇔ m=− 6+3√6

¿ m=−6 −3√6

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Tõ (1) vµ

(3) ta có thay vào (2), ta đợc (TM)

Bài 42 : Xác định m để phơng trình a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt Híng dÉn :

2

5 3 1 0

0

0

a

ac

 



 

1 0,

3 1 0

m m

 

 

 

 1

VËy m < phơng trình có hai nghiệm trái dấu

b) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt <=> <=>

0 0

0 0

a

P S

 



  



 

 



1 0,

12 29 0

3 1 0

5 0,

m m

m

m

 

 

  

 

  

   

<=> <=>

Vậy phơng trình có hai nghiệm âm phân biÖt

29 12

1 3

m

m

 

 

 



29 1

3  m  12

29 1

Bµi 43: Cho phơng trình (1)

Tỡm m (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Giải: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2

mx  (m 1)x  2 0, m 0

1 2

x , x12 22

x  x 2

1 2

<=> <=> <=>

<=> m > hc m <

- Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã:

0

 2

m  10m 12   0

(m 5)  24  0

55 6 2 6

1 2 1 2

m 1 2

x x ; x x

m m



- Theo đề <=>

<=> <=> (*)

Giải phơng trình (*) ta đợc

§èi chiÕu với điều kiện tham số m => m1 (loại) vµ m2 (nhËn)

VËy m =

2 2

1 2

x  x 2

 x1  x2  2  2x x1 2 2

 m 1  2 2. 2 2

m m

  

2

m  6m 1 0

1 2

m  10  3,m  10  3

Bài 44: Cho phơng trình

x1 v x2 hai nghiệm phân biệt phơng trình Khơng giải phơng trình, tìm giá trị m để :

a)

b)

c)

d)

2

3 0

x  x  m 

1 2 6

x12  x22 34

x  x 

2 2

1 2 30

x  x 

1 2 2

e)

Híng dÉn:

1 2

9 4 m 0

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 <=> <=> m <

Khi đó, theo định lí Vi – ét ta có:

a) <=> <=>

<=> <=> – 4m = 36 <=> m = VËy :

1 2

1 2

3

S x x

P x x m

  

 

 



1 2 6

x  x 

 x1  x2  2 36

2 2

1 2 1 2 2 36 x  x x  x 

 x1 27x2  2  4 x x1 2 936

4 4

 27

4

b) <=> Từ tìm đợc m =

VËy :

2 2

1 2 34

x  x 

 x1 25x2  2  2 x x1 2 934

2 4

 

25 2

c) <=> <=>

<=> <=>

<=> <=> - 4m = 100 <=> m = VËy :

d) Giải hệ Ta đợc

2 2

1 2 30

x1 2 x1 2

( x  x )( x  x ) 30

1 2 10

x  x 

2 1 10

x2  2   x 

1 2 2 1 2 100 (gi¶ sư x > x )2 1

x x x x

 x1 91x2  2  4 x x1 2 9100

4 4

 

91 4

m1  2

1 2

3 2

x x

x x

  



 

1

2

2 1

x x

 



Theo định lí Vi- ét: m = Vậy m =

e) Giải hệ Ta đợc

1 2

9 2

4

x x  

1 2

1 2

3 2 20

3

x x

x x

 

 

   1

2

26

29

x x

 



Theo định lí Vi- ét: m = Vậy m = - 754

Bài 45: Xác định giá trị tham số m để phơng trình

cã hai nghiƯm tháa m·n :

a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị

1 2

9 754

4

x x  

2

( 5) 6 0

x  m  x  m  

1 , 2

b)

Hớng dẫn:

Phơng trình có hai nghiệm <=>

<=> Sau giải bất phơng trình đợc kết quả: (*)

a) Gi¶ sư

1 2

2 x  3 x 13

1 , 2

x xm2 14 m 1 0

    

(m m  77 hc m 4 )( m  7 )- + 30

2 1 2 1 1 2

1 2

1 (1)

ta cã hÖ 5 (2)

6 (3)

x x

x x x x m

x x m

 

 

    

  

(1) + (2) => Thay vµo (1) =>

Thay vµo (3) => m = m = -14 thỏa mÃn điều kiện (*) VËy m = hc m = -14

b) Ta có hệ Từ hệ tìm đợc m = m =

2

6 2

m

x1   4 2

m

x  

1 , 2

x x1 2 1 2

1 2

2 3 13

5 6

x x

x x m x x m

 

 

  



 

Bài 46: Cho phơng trình bËc hai

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Tính ?

2

3 x  mx  2 0

1 , 2

x x1 2 1

3 x x 2 x  2

1 , 2

Hớng dẫn: Phơng trình có hai nghiệm <=> <=>

Ta có: Tìm đợc

1 , 2

x xm2 24 m 0

   

2 hc 2 6

m  m 

1 2 1 1 2

1 2

3 2 2

3 2

3

x x x

m x x

x x



  

 

  



 

 

1 2

1

2, , 7

3

Bài 47: Cho phơng trình bậc hai

Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thc

Hớng dẫn: Ta cần có điều kiện (*)

Theo định lí Vi - ét

2

7 0

x  ax  a  

1 , 2

x x12 22 10

x  x 

2

4 28 0

a a

    

1 2 , 1 2 7

T tỡm c

không thỏa mÃn điều kiện (*) thỏa mÃn điều kiện (*)

Vậy a = -

Bài 48: Cho phơng trình bậc hai a) TÝnh vµ theo m

2 2

1 2 10

x1 6,x 2  4

a  a 

1 6

a 2 4

a 

2

7 0

x  2mx  m  2

1 2

x13  x23

b) Tìm giá trị m để

c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm - tính nốt nghiệm thứ hai Hớng dẫn:

a) =

Theo Vi - ét ta tính đợc =

2 2

1 2 10

x  x 

2 2

1 2

x2 2 x 14

m  m 

3 3 2 2 2

1 2 ( 1 2 )( 1 1 2 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 3 1 2

x  x  x  x x  x x  x  x  x  x  x  x x 

 

3 3

1 2

x  x

2

( 3 21)

b) => m = -

c) m = 11 vµ

Bài 49: Cho phơng trình

a) Tỡm giá trị m để phơng trình có nghiệm

b) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm - Tìm nốt nghiệm Hng dn:

1 6( loại ) m = - (nhËn)2

m 

1 2, 2 9

x  x 

2

3 0

a) Phơng trình có nghiệm <=>

b) Thay x1 = - vào phơng tr×nh ta cã: - - m = <=> m = - tháa m·n

Theo định lí Vi – ét Ta có:

Bµi 50: Víi giá trị b phơng trình

a) cã mét nghiÖm b»ng

9 0

4

m 

   

9 4

m  

2 1 3 ( 2) 1

x S  x    

2

b) cã mét nghiÖm b»ng

c) cã mét nghiÖm b»ng Tính nghiệm lại Kết quả:

a) b = - b) b = c) b = 14 x2 = Bài 51: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 3)x + m2 + 4m + = 0 Tìm m để phơng trình có nghiệm

Tỉng qu¸t:

2 2

15 7 0

b x  x  

2

( b  1) x  ( b  1) x  72 0

4 7 7

 24

Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = (a0) cã nghiệm x = x1

Cách giải:

Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c = Giải phơng trình có ẩn tham số

Bài 52:

Cho phơng trình: x2 – (3m + 2n + 4)x + 4m + 10n + 38 =

Tìm m để phơng trình có nghiệm Tổng quát:

Cho phơng trình ax2 + bx + c = (1) (a0) cã hai nghiÖm x = x1; x = x2

C¸ch 1:

Thay x = x1; x = x2vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:

Giải hệ phơng trình có ẩn tham sè C¸ch 2:

 

    



   



2

1 1

2

2 2

Theo hÖ thøc Vi- et

Thay x = x1; x = x2vào hệ giải ta đợc giá trị tham số Bài 53: Lập phơng trình bậc hai nhận hai số làm nghiệm Hớng dẫn: Phơng trình có dạng (x - 2)(x - 3) = <=> x2 – 5x + = 0 Bài 54:

 

  

 

  



1 2 1 2

b x x

a c

x x

Lập phơng trình biết phơng trình có hai nghiÖm: x1 = - ; x2 = +

Bài 55: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm liên lạc với hệ thức

2 2 2 2

1 , 2

Víi m

Đặt S = , P = Từ hệ ta tìm đợc S = P = m –

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) (1) 1 ( ) (2)

x x x x m x x m x x

   



   

1 

1 2

x  x

1 2

ĐK:

Phơng trình cần tìm là: với

Bi 56: Tỡm h thc độc lập với m nghiệm số phơng trình

Híng dÉn:

2 2 5

4 1 4( 1)

4

S  P   m   m 

2

1 0

x  x  m  5

1

4

m

  

2

2( 1) 2 3 0

- Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 <=>

<=>

0 ' 0

a 

 

  

  

 

  

 2

1 0,

2 0

m

m

2 hc m 2

- Theo định lí Vi – ét, ta có : <=> => S - P = -

Hay , hệ thức độc lập với m nghiệm số phơng trình

Bài 57: Cho phơng trình Tìm hệ thức độc lập với k nghiệm số phơng trình

2( 1)

2 3

S m P m

 

 

 



2 2

2 3

S m

P m

 

 

 



1 2 1 2 1 0

x  x  x x  

2

Híng dÉn: §Ĩ phơng trình có nghiệm, ta phải có: <=>

Theo Vi – Ðt:

, hệ thức độc lập với k nghiệm số phơng trình Bi 58:

Cho phơng trình x2 - 2(m + 5)x + 4m - = 0

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Kết quả: b) Bài 59:

Cho phơng trình x2 2(m + 1)x + m2 + 2m = 0

k 1 0

' 0       

4 k 1 5  

S

2k k (S 2) S

S 2

k 1 S P 4 3S 2P 8 0 S 2 P 1

k 4 P 4

P k ( P 1) k 1 P 1

                               

1 2 1 2

Hay 3( x  x ) 2x x  8 0

1 2 1 2

T×m hƯ thøc liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Kết quả:

Bài 60 : Cho phơng trình a) Giải phơng trình

2

1 2 1 2 1 2

4x x  ( x  x  2)  4( x  x ) 8 0

2 4 1 0

x  x  

b) Gäi x1; x2

là hai

nghiệm phơng trình HÃy tính giá trị biểu thức

Giải:

a) Xét ph-ơng trình Ta có:

Phơng trình có nghiệm phân biệt ;

 113 23

B x  x

2 4 1 0

x  x  

 1

2

' 4 4.1.1 16 12 0       



1

4 3

2 3 2.1

x2   4 3  2 3

2.1

b) áp dụng định lí Vi – ét ta có:

Mµ: = =

1 2 1 2

4 . 1

x x x x

  



 

3 3 1 2

x  x

 3 2 2 3   2 2 

1 3 1 1 3 1 2 2 3 1 1 3 1 2

x  x x  x x  x  x x  x x

= VËy = - 52

Bµi 61 Cho phơng trình gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình 1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị biểu thức sau:

  4 3  3.1 4    64 12  52

3 3 1 2

x  x

2

a) ; b) c)

1 2

x  x

1 . 2

x x13 23

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận nghiệm Gii:

1) Xét phơng trình Ta có:

Phơng trình có nghiệm phân biệt ;

2

1 2

xx22  xx1

2

2 x   7 x  4 0

2

7 4.2.4 49 32 17 0

       

áp dụng định lí Vi – ét, ta có:

1 2

1 2

7 2

. 2

x x

x x



 

 

 

b) Ta cã: = =

3 3 1 2

x  x

 3 2 2 3   2 2 

1 3 1 1 3 1 2 2 3 1 1 3 1 2

x  x x  x x  x  x x  x x

= = VËy =

3

7 7

3.2.

2 2

   



   

   

343 42 343 168 175

8 2 8 8



 3  3

1 2

x175 x

c) =

2) Đặt u = v =

1 2

x  x

1 14 8 2

2 

2

1 2

Ta cã: u + v = += - =-

= =

 2 

1 2

x  x

 2 

2 1

x2  x 2

1 2

x  x

 x1  x2 

 x1  x2  2  2 x x1 2

 x1  x2 

2

7 7

2.2

2 2

 

 

   

49 7 49 16 14 19 4

4 2 4 4  

u + v

19

Mµ: u v = =- + = - +

 2 

1 2

x  x

 2 

2 1

x 2  x 2

1 . 2

x x

 3 3 

1 2

x  x

1 . 2

x x

 x x1 2  2

 3 3 

1 2

x  x

1 . 2

= 22 - + =

175 8

175 48 175 127

6

8 8 8

 

u v

127

8 

Vì số u v có tổng u + v tích u v Nên u ; v nghiệm phơng trình bậc hai:

19 4



127 8

 

2 19 127 0

4 8

  

VËy ph¬ng trình cần tìm là:

Bài 62: Cho phơng trình gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình 1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau:

a) ; b)

2 19 127 0

4 8

   

X 2 X

8 X  38 X  127 0

2

2 x  9 x  6 0

1 2

x  x

1 . 2

x x13 23

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận nghim

Giải:

1) Xét phơng trình Ta có:

Phơng trình có nghiệm phân biÖt ;

1 2

22 xx2  33xx1

2

2 x   9 x  6 0

2

9 4.2.6 81 48 33 0

       



1

x2

áp dụng định lí Vi – ét, ta có:

1 2

1 2

9 2

. 3

x x

x x



 

 

 

b) Ta cã: = =

= =

3 3 1 2

x  x

 3 2 2 3   2 2 

1 3 1 1 3 1 2 2 3 1 1 3 1 2

x  x x  x x  x  x x  x x

 x1  x2  3  3 x x x1 2  1  x2 

3

9 9

3.3.

2 2

   



   

   

729 81 729 324 405 8 2 8 8



VËy =

3 3 1 2

x405 x

2) Đặt u = v =

1 2

Ta cã: u + v = += + = -= u + v =

 2 x1  3 x2 

222xxxx112293x33x2xx121

2 9

Mµ: u v = =- + =

=

 2 x1  3 x2 

 2 x2  3 x1 

1 2

4  x x12 22 

6 x  x

1 2

9 25 x xx x1 2

2 1 2

6 x x

 

2

9 243 150 243 93 25.3 6 75

2 2 2 2    

u v

93

2 

Vì số u v có tổng u + v = vµ tÝch u v

9 2

 93

2 

Nên u; v nghiệm phơng trình bậc hai:

Vậy phơng

trình cần tìm là: Bài 63:

Cho phơng trình a) Giải phơng trình

2 9 93 0

2 2

  

X X

2 9 93 0

2 2

  

X X

2

2 x  5 x  6 0

b) Gäi x1; x2

là hai

nghiệm phơng trình HÃy tính giá trị biểu thức: B = Giải:

a) Xét ph-ơng trình

1

3 3 1 2

x  x

2

2 x  5 x  6 0

Ta cã:

Ph¬ng trình có nghiệm phân biệt

2

5 4.2 6 25 48 73 0

       

 73  



1

5 73 5 73 2.2 4

x2   5 73  5 73 2.2 4

b) áp dụng đinh lí Vi ét ta có:

1 2

1 2

5 2

. 3

x x

x x



  



 

Mµ: =

=

=

3 3 1 2

x  x

 3 2 2 3   2 2 

1 3 1 1 3 1 2 2 3 1 1 3 1 2

x  x x  x x  x  x x  x x

 x1  x2  3  3 x x x1 2  1  x2 

 

3

5 5 125 45 125 180 305 3

2 2 8 2 8 8       

           

VËy =

Bµi 64: Cho phơng trình gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình

3 3 1 2

x 305 x

8 

2

Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị biểu thức sau:

a) ; b)

Giải:

a) Xét phơng trình

- Ta có: Ph-ơng trình có nghiƯm ph©n biƯt ;

1 2

x  x

1 . 2

x xx1  x2

2

2 x  7 x  1 0

 7 2 4.2.1 49 41 0

       

- áp dụng đinh lí Vi Ðt ta cã: ;

1 2

1 2

7 2 1

.

2

x x

x x



 

  

 

 



1 0;

x x 12. 2 00

; ;

b) Đặt A =

( A > 0)

x x 11.2 2 0;00

x x 1 2 0

x  x 

1 1

x  x



 2  

2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

( V× A > )

VËy =

Bµi 65: Chøng minh với giá trị k, phơng trình:

a) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu



2 7 1 7 2 7 2

A 2 2.

2 2 2 2 2



    

7 2 A

2 

x7 21  x2

2 

2

b) có hai nghiệm dơng

c) có nghiƯm b»ng KÕt qu¶:

a) ac < 0,=> phơng trình có hai nghiệm trái dấu

2 2

12 x  70 x  k  1 0

2

( 1) 0

x  k  x  k 

k

b) Ta có S = , nên phơng trình có hai nghiệm dơng

c) Thay x = vào phơng trình thấy thỏa mÃn => phơng trình có nghiệm

Bài 66: Cho phơng trình

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm trái dấu với m

70 0 12

 k 

  

k

  

2 2

( 1) 2 0

b) Gọi hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn:

a) TÝnh ac = < , nªn phơng trình có hai nghiệm trái dấu với m

1 , 2

x x12 22

x  x

 1  2 7

2 4

m

 

    

 m

b) TÝnh =>

2 2 2

1 2

2 11 ( 3 )

3 3

x 2x  m2 

1 2

11 3

2 2

1 2

x3 m  x23

Vậy đạt giá trị nhỏ = <=> m =

Bài 67 Cho phơng trình x2 2(m – 4)x – 2m – = 0 a) Chøng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b) Cho A = x2(x2 – 2) + x1(x1 – 2) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn:

a) TÝnh

b) MinA = 32 <=> m =

Bài 68 Cho phơng trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = a) Chứng minh phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt

b) Cho B = Tìm m để B đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn:

11 3

2

(m 3) 15 0, m

     

 

2 2

1 2

a) => phơng trình có hai nghiệm phân biÖt

2

b) B = = =>

MinB = <=> m =

2 2

1 2

x  x

2

(2m 3)  3 3

Bài 69 Cho phơng trình bậc hai a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Cho biểu thức P = Tìm m cho P đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị Hớng dẫn:

a)

b) Tính đợc P =

Khi

Khi

VËy MinP = 32 <=> m = -

Bài 70 Cho phơng trình x2 – 2(m – 6)x – 2m – = 0 a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt

b) Cho P = x12 + x22 26x1x2 - x12 x22 Chứng minh giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào tham số m

Kết quả: b) P = 196 => giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào tham sè m

2

x  2(m 1)x  2m 10 0

2 2 1 2 1 2

6x x  x  x

m  3 hc m 3

2

4(m  2)  28  2

m  3  m  2  1  m  2  1 P 32

 2

Bµi 71 Cho phơng trình a) Giải phơng trình m =

b) Chứng minh phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m

c) Chứng minh biểu thức A = không phụ thuộc vào giá trị tham số m Kết quả:

a)

b) , víi mäi m

c) A = 10 => Giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị tham số m

Bi 72 Cho phơng trình Tìm m cho hai nghiệm phơng trình thỏa mãn A = đạt giá trị nh nht.

Hớng dẫn: Để phơng trình có hai nghiƯm th×

2

x  2(m 1)x  m 4 0

1 2 2 1

x (1 x )  x (1 x )

1 2

x  2 7 , x  2 7

2 19

1

' (m ) 0

2 4

    

2

x  2(m 1)x  2m 102  20

1 2 1 2

10x x  x  x

=

Khi m => m + => => A

2 2

1 2 1 2

10x x4(m 3) 2 x 48x48

3 0

 m 3  2 0

Khi m => m + => => A => MinA = 48 <=> m = -

Bµi 73 Tìm hai số x, y trờng hợp sau:

a) x + y = 11 vµ xy = 28 b) x – y = vµ xy = 66 c) Híng dÉn:

a) Hai số x, y hai nghiệm phơng trình bậc hai

3 6 

 m 34.36 482 19236

  

2 2

x  y 25 vµ xy 12

2

giải phơng trình ta đợc

Do x, y có vai trị nh nên có hai cặp số (x , y) thỏa mãn b) Đặt Y = - y, ta có x + Y = 5, xY = - 66 Giải nh câu a tìm đợc

Hay c) T×m x + y =

KÕt qu¶:

1 2

X 4, X 7

x 4 x 7

hc

y 7 y 4

 

 

 

 

 

x 11 x 6 hc

Y 6 Y 11  

   

   

x 11 x 6 hc

y 6 y 11           7 

x 3 x 4 x 3 x 4 hc hc hc

y 4 y 3 y 4 y 3        

   

Bài 74: Tìm giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai sau có nghiệm chung, tìm nghiệm chung :

Giải: Cách 1:

- Hai phơng trình có nghiƯm chung vµ chØ hƯ cã nghiƯm

- Trừ vế với vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình: (m - 1)x = m - (*) +) NÕu m = Thay trùc tiếp vào hai phơng trình ta có:

Hai phơng trình vơ nghiệm nên khơng có nghiệm chung

2 2

x  mx 1 0 vµ x + x + m = 0

2

2

x mx 1 0

x + x + m = 0    

   

2 2

+)

Nếu Từ phơng trình (*) => x = 1, nghiệm chung hai phơng trình Thay x = vào hai phơng trình ta đợc m = -

- Vậy m = - hai phơng trình có nghiƯm chung x = C¸ch 2: XÐt hai trêng hợp

Nếu x = 0, ta thấy phơng trình thứ <=> = (vô lí) Vậy x = không nghiệm ph-ơng trình thứ => không nghiệm chung hai phph-ơng trình

Nếu Từ hai phơng trình rút

m11

xx2 1 02

m , m x x

x

 

Ta có: <=> , nghiệm chung hai phơng trình => m = - Vậy m = - hai phơng trình có nghiệm chung x =

Bài 75: Tìm giá trị tham số k để hai phơng trình bậc hai sau có nghiệm chung, tìm nghiệm chung :

Giải:

- Hai phơng trình có nghiệm chung vµ chØ hƯ

cã nghiƯm

- Trừ vế với vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình: (k + 2)x =

+) Nếu k = - Thay vào phơng tr×nh (1), ta cã:

Giải phơng trình ta đợc hai nghiệm

2

2

x 1 x x x

   

2 3 2 3

x  1 x  x  x  1 x 1

2 2

2x  (3k 1)x 9  0 vµ 6x + (7k - 1)x -19 = 0

2 2

2x (3k 1)x 9 0 (1) 6x + (7k - 1)x -19 = 0 (2)     

   

2

2x  5x  9 0

1 2

5 97 5 97

x , x

4 4

 

Thay k = - vào phơng trình (2), ta có:

Gii phơng trình ta đợc hai nghiệm

=> k = - hai phơng trình nghiệm chung

+) Nếu Từ phơng trình (*) => x = Thay vào phơng trình (1), ta cã:

2

6x  15x 19 0

3 4

15 681 15 681 x , x

12 12  

 

k 4 2

=> (tháa m·n )

Với , phơng trình (1) <=> có hai nghiệm

và phơng trình (2) <=> có hai nghiệm

2

3k  8 k  4 0

1 2 2

k 2, k

3  

k  2

1

k2 2

2x  7x  9 0

5 6 9

x 1, x

2 

 

2

=> th× hai phơng trình có nghiệm chung x =

7 8 19

x 1, x

2 

 

1

T¬ng tự với , hai phơng trình có nghiệm chung x = - KÕt luËn:

k = th× hai phơng trình có nghiệm chung x =

2 2

k

3 

k = hai

phơng trình có nghiệm chung x =

2 3

Bµi 76: Cho hai phơng trình sau:

Tỡm m để hai phơng trình cho có nghiệm chung Hng dn:

- Hai phơng trình có nghiệm chung vµ chØ hƯ

cã nghiƯm - Rút m từ phơng trình (2) thay vào phơng trình (1), ta cã

Phơng trình = vơ nghiệm => Nghiệm chung x = - 2, m = - Bài 77 Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung

Híng dÉn:

- Hai phơng trình có nghiệm chung hÖ

cã nghiÖm

2 2

x  (2m 3)x  6 0 (1) vµ 2x + x + m - = (2)

2 2

x (2m 3)x 6 0 (1) 2x + x + m - = (2)     

   

3 2 2

4x  3x  7x  6  0 ( x  2)(4x  5x 3) 0

2

4x  5x  3

2 2

2x (2 3a )x  4 a 0 vµ 2x 3(1 a )x 2a   0

2

2

2x (2 3a )x 4 a 0 2x 3(1 a )x 5 2a 0      

 

- Trõ vÕ víi vÕ cđa hai phơng trình, ta có: x = a Thay vào ph-ơng trình thứ nhất, ta nhận đ-ợc a = - Thay a = vào hai phơng trình, tìm nghiệm kết luận nghiệm chung ? - Thay a = - vào hai

ph-ơng trình, tìm nghiệm kết luận nghiệm chung ? - Tóm

li: a = hai phơng trình có nghiệm chung Bài 78 Tìm k để hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung Hớng dẫn: 2  2  2 2

- Hai phơng trình cã nghiƯm chung vµ chØ hƯ cã nghiƯm

- Trừ vế với vế hai phơng trình, ta cã: (k + 3)x = - (k + 3) (*)

+) Nếu k = - 3, thay vào hai phơng trình nhận thấy hai phơng trình vơ nghiệm nên khơng có nghiệm chung

+) Nếu k => x = - 1, nghiệm chung hai phơng trình Thay vào hai phơng trình thu đợc k =

Bµi 79 : Chứng minh hệ số hai phơng trình bậc hai:

liên lạc với hệ thức

2 2

x 3x k 0

x kx 3 0

   

 

   



3 

2 2

1 1 2 2

th× cã Ýt nhÊt mét hai phơng trình có nghiệm Giải:

Cách 1: Gọi lần lợt biệt thức hai phơng trình

Ta cã:

1 2 1 2

a a 2( b  b )

1 , 2

 

2 2 2 2 2 2

1 2 a1 4 b1 a2 4b2 a1 a2 4( b1 b )2 a1 a2 2a a1 2

=> hc hc VËy Ýt hai ph-ơng trình có nghiệm

Cách 2: Giả sử hai phơng trình vơ nghiệm Khi hay:

=>

1 2

   

 a1  a02  2

01

02

1 , 2

0

1 0, 2 0

   

2 2

1 1 2 2

a  4 b vµ a  4 b

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

,

=> Phải có hai biệt thức không âm Vậy có hai ph ơng trình có nghiệm

Bài 80: Cho phơng trình a) Giải phơng trình a = -

 a1 a2  2 0 ( v« lÝ)

  

 a1  a2  2 0

2

b)

Xác định a biết phơng trình có nghiệm - Tìm nốt nghiệm 3

c) Chøng minh r»ng víi a + b có hai phơng trình sau có nghiệm Hớng dẫn:

a) x = hc x = -

b)

c) TÝnh tæng:

2 

2 2

x  2ax  b 0, x  2bx  a 0

2

13 1 a ; x

10 5 

 

2 2 1 2

2 2 1 2

' ' (a 2a 1) ( b 2b 1) (a b 2) ' ' (a 1) ( b 1) (a b 2) 0

=> hc hc

Vậy hai phơng trình có nghiệm Bài 81: Tìm m để hai phơng trình tơng đơng

a)

b)

Híng dÉn:

a)

1 '

 02 '

 01 ', 2 '

 

0 

(m 1)x 8  4x  m vµ mx - 3x = víi m 3

2 2

x  x  m 0 vµ x  mx 1 0

=> x =

=> x =

(m 1)x 8  4x  m

m (m 3) m 3

 



Hai phơng trình tơng đơng <=> = => m = - Vậy m = - hai phơng trình tơng đơng

b)

 Tr êng hỵp : Hai phơng trình có nghiệm chung

m 8

m 3 



2

m 3

2 2

- Hai phơng trình có nghiệm chung hệ cã nghiƯm

- Trõ vÕ víi vÕ cđa hai phơng trình hệ ta có phơng trình: (m - 1)x = m - (*) +) NÕu m = Thay trực tiếp vào hai phơng trình ta có:

Hai phơng trình vơ nghiệm nên khơng có nghiệm chung

+)

Nếu Từ phơng trình (*) => x = 1, nghiệm chung hai phơng trình Thay x = vào hai phơng trình ta đợc m = -

- VËy m = - th× hai phơng trình có nghiệm chung x =

2

2

x mx 1 0

x + x + m = 0    

   

2 2

x  x 1 0 vµ x  x 1 0

-Víi m = - 2, phơng trình thứ : Tập nghiệm S =

- Víi m = - 2, ph¬ng trình thứ hai :

2

x  2x 1  0 x 1

 1

2

1 2

TËp nghiÖm S’ =

=> S Vậy m = - hai phơng trình khơng tơng đơng

 1; 2 

 Tr ờng hợp : Hai phơng trình vô nghiÖm <=>

<=>

1

2

0

0  

  

  



2

1

1 4m 0 m 1

4 m 2 4

m 4 0 2 m 2 

 

 

 

     

 

 

Kết luận : hai phơng trình tơng đơng

Bài 82: Tìm m n để hai phơng trình sau tơng đơng

Híng dÉn:

- Nhận thấy phơng trình thứ hai có ac < nên có hai nghiệm phân biệt x1 x2

- Vậy để hai phơng trình tơng đơng nghiệm x1 x2 phơng trình thứ hai nghiệm phơng trình thứ

- áp dụng vi - ét cho hai phơng trình, ta có: - Kết quả: m = n =

1 m 2

4  

2 2

x  (2m  n )x 3m 0 vµ x - (m + 3n)x - = 0

1 2 1 2

x x 2m n m 3n x x 3m 6

     

 

  

Bµi 83: Cho hai phơng trình Biết

Chứng minh có hai phơng trình có nghiệm

Híng dÉn: TÝnh

2 2

x  bx  c 0 vµ x + cx + b = 0

1 1 1

b  c  2

2 2

1 2 b c 4( b c )

Theo đề => b + c = Từ => (đpcm) Bài 84: Cho ba phơng trình sau:

Chøng minh ba phơng trình có phơng trình có nghiệm

1 1 1

b bc c  2

2

2

1 2 ( b c ) 0

     

2 2 2

Hớng dẫn: Chứng minh

Bài 85 Cho phơng tr×nh:

Tìm m n để phơng trình có hai nghiệm x1 = x2 =

2 2 2

1 2 3 (a 2) ( b 2) ( c 2) 0

           

2

KÕt qu¶: m = , n =

Bài 86: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm :

a) vµ

b) Híng dÉn:

1 2

a) Ta cã: S = + vµ P =

3 1

21  21

Hai sè hai nghiệm phơng trình:

1 2

2 2 3 1 2

x Sx P 0 x x 0 2x 3x 1 0 2 2

b) Tơng tự:

Bài 87 Cho phơng trình Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị biểu thức

a) b) c)

2

x  2x  4 0

2

x  5x  2 0

2 2

1 2

d) e) Híng dÉn:

a) 21 b) - c) 433 d) - 20 e)

2 3 3 2 1 2 1 2

x .x  x .x

1 2

x  x

Bài 88: Gọi hai nghiệm phơng trình:

Tìm giá trị lớn biểu thức A = Híng dÉn:

§K:

Tính đợc A =

1 2

x , x

2 2

2x  2(m 1)x  m  4m 3 0

1 2 1 2

x x  2x  2x

5 m 1   

   

2 m m 7

m 8m 7

2 2

Với điều kiện th×

   

2

2 9 (m 4)

m 8m 7 9 m m 7 0 A

2 2 2

    

VËy MaxA = <=> m = -

Bài 89Cho phơng trình bậc hai

1 Chứng tỏ phơng trình có hai nghiệm với m

2 Đặt A =

a) Chứng minh A = b) T×m m cho A = 27

3 Tìm m cho phơng trình có nghiệm b»ng hai nghiƯm Híng dÉn:

1

2 a) Theo vi – ét tính đợc A =

2

x  2mx  2m 1 0

2 2

1 2 1 2

2( x  x ) 5x x

2

8m  18m  9

2

(m 1) 0, m

    

2

b)

3 Phơng trình có nghiệm hai nghiệm kia, giả sử

=>

Bài 90Cho phơng trình

a) Xỏc nh m phơng trình có hai nghiệm âm

1 2 3

m 3,m

4 

 

2 1

x 2x

1 3 2 3

m ,m

2 4

 

2 2

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn Hớng dẫn:

3 3

1 2

' 0 P 0

S 0  

 

 

a) §K: => m < -

b) Tính đợc

<=>

<=>

Giải hai phơng trỡnh trờn ta c

Bài 91 Cho phơng trình

25 0.  1 2 

x m 3, x m 2

3 3

1 2

x  x 50

3 3

(m 3)  (m 2) 50

2 2

2

3m 3m 7 10 3m 3m 7 10

3m 3m 7 10    

    

    

1 5 1 5 m hc m =

2 2     

2

a)

Giải phơng tr×nh m = -

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

Híng dÉn:

a)

b) m < -

c) m = m = -

Bài 92 Cho phơng tr×nh

a) Xác định m để phơng trình vô nghiệm

1 2

x , x

2 1 2 2 1

x (1 2x )  x (1 2x ) m

1 2

1 3 1 3 x , x

2 2  

 

2 2

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Hớng dẫn:

a) Xét hai trờng hợp m = m

Phơng trình vô nghiệm <=> m > hc

1 2

x  x 1

0

b) Để phơng trình có hai nghiệm phân biệt => m < - hc < m <

<=> => (tháa m·n)

a 0

' 0

 



  

1 2

x 1  x2 2 1

( x1  x )2 1

9 273 9 273

m ,m

8 8

   

Bµi 8: Cho phơng trình Không giải phơng trình, hÃy tính:

a)

;

c)

d)

2

x  3x 1 0

1 2

x 1 x 2

b)x xx12  x22

1 2

x1 2 1 x 2

e)

f) g)

h)

2 2

1 2

x1 1  2x 2

x1 x2  x 2 x1 x 3x  x x3

1 2

i) k)

m)

n)

3 3

1 2

x14  x 24 x 12  x22

2 2

2 1

x x

x x



2 3 3 2 1 2 1 2

o)

p)

q)

KÕt qu¶:

2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

x x x x (x x ) x (x 1) x (x 1)

     

4 4

1 2

x  x

2 2

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

6x 5x x 6x 8x x 8x x

 

a)

b) vµ

c)

d) e) f)

g) h)

i) 18 k) 47 m) 47 n)

o)

p) 21

q)

1

Bài 93 a) Cho phơng trình Tìm giá trị m để (1) có nghiệm tha

b) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là: Kết quả:

a) K phơng trình có hai nghiệm :

Tìm đợc

b) Phơng trình :

2

x (m 3)x  2(m  2) 0 (1)

1 2

x 2x

1 3 2 vµ

3 2 



m  2 2  1 hc m 2 + 1

1 2

3 5 3 5

m ,m

2 2

 

 

2

Bµi 94 Cho phơng trình a)

Chứng minh phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m

b) Tìm m để phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phơng trình c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

2

(m 1)x  2mx  m 1 0

1 

1 2

x , x12 12

x x 5

KÕt quả:

a) =>

phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m

b) m =

c)

' 1 0   

1 

1 2

3 ,x x 6

2  

1 2 1 2

d) m =

Bài 95 Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn

1 3 

2

x  mx  m 1 0

1 2 1 2

KÕt qu¶: m =

Bài 4: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn Kết quả: k =

Bài 96 Cho phơng trình

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m

c) Xỏc nh m cho phơng trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Kết quả:

b)

c) Phơng trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu

2

( k 1)x  2( k  2)x  k 3 0

1 2

(4x  1)(4x  1) 18

2

x  2(m 1)x  m 3 0

1 2 1 2

§K: <=> m =

(Lu ý HS: Phơng trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu hai nghiệm hai số đối nhau)

Bài 97 Cho phơng trình bậc hai

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt âm Kết quả:

1 2

1 2

' 0, m x x 0

x x 0   

 

 

   

2

a) XÐt hai trêng hỵp m = m => kết là: b) - < m <

Bài 98 Cho phơng trình

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng Kết quả:

0 

m  1

2 2

a) b)

Bài 99 Cho phơng trình Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị c¸c biĨu thøc sau: a) b) c) d)

2 m

3

 2

m

3 

2

x  3 x  5 0

1 2

1 1

x  x

2 2

1 2

x 2  x 2

1 2

1 1

x x



3 3

1 2

KÕt qu¶: a) b) c) d)

Bài 100 Cho phơng trình

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phơng trình có nghiệm tính nghiệm

15 5

3 53 5

5 

3 (1 5 )  

2

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn

1 2

7

1 1

KÕt quả: a) b) m = - x2 = c) m = -

1 m 3

  

Bµi 10: Cho phơng trình

a) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghiệm dơng

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn

2

2x  6x  m 0

1 2

2 1

x x

KÕt qu¶: a) < m b) m =

Bµi101 : Cho phơng trình

9 2

18

5

2

a) Chøng minh r»ng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mäi

b) Tìm m để

Hớng dẫn: b) Kết hợp vi – ét = với , tìm đợc => m = ?

m  1

1 2 1 2

x x  0 vµ x = 2x

1 2

x2(m 1) x

m 1 



1 2

=> m < - hc m >

Kết toán: m = m = -

Bài 102 Cho phơng tr×nh 1) Cho n =

a) Chứng tỏ phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phơng trình có nghiệm

2) Tìm m n để hai nghiệm phơng trình (1) thỏa mãn :

1 2

x x  0

2

x  mx  n 3 0

1 2

x , x1 2

2 2 1 2

x x 1

x x 7

 

  

 

KÕt qu¶: 1) a Thay n = vào phơng trình, ta có => b m =

2) Từ điều kiện đề

ViÕt hƯ thøc vi – Ðt vµ suy m = - ; n = 15

Bµi 103 Cho phơng trình

a) Chứng tỏ phơng trình cã nghiƯm

b) Tìm m để A = đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Kt qu:

a) Phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt víi mäi m

2

x  mx 30, m 0

1 2

1 2 2 2

1 2

x x 1

x 4 vµ x = 3 x x 7

  



  

  



2

x  (2m 3)x  m 3 0

1 2

b) A = =>

VËy MinA = 17 <=> m = -

 x1  x2  2 (2m  2)2  17 17

1 2