Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 132 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: bc ca ab 1 2a 2b 2c a bc b ca c ab Phân tích lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Có thể nói bất đẳng thức hay nhiên khơng thực khó Quan sát bất đẳng thức ta có cách tiếp cận toán sau Cách 1: Từ chiều bất đẳng thức, ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Nhưng bên vế a2 bc phải lại chứa nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số, ta cần triệt tiêu đại lượng a bc ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho bao nhiều số? Để ý bên vế trái bất đẳng thức có chứa Chú ý đến bảo tồn dấu đẳng thức ta có đánh giá sau bc bc bc bc 4bc a a2 b c a b c 4bc Thực tương tự ta có ca ca ab ab ; 4ca b c ab 4ab c b ca Cộng theo vế bất đẳng thức ta bc ca ab bc ca ab 1 4bc 4ca 4ab a b c a2 b c b2 c a c2 a b Để ý b c c a a b 11 1 , lúc ta thu 4bc 4ca 4ab 2a b c bc ca ab 1 11 1 a b c 2a b c a2 b c b2 c a c2 a b bc ca ab 1 2a 2b 2c a bc b ca c ab Hay Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Cách 2: Ý tưởng thứ hai áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ab bc ca bc ca ab a2 b c b2 c a c2 a b abc a b c b c a c a b Bất đẳng thức chứng minh ta ab bc ca 1 abc a b c b c a c a b 2a 2b 2c Biến đổi vế trái ta ab bc ca ab bc ca abc a b c b c a c a b 2abc ab bc ca 2a 2b 2c Điều có nghĩa bất đẳng thức chứng minh Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông Cách 3: Ý tưởng sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh toán Chú ý đến phép bc ab bc ca , ta thu bất đẳng thức cần chứng sau a a2 b c a bc biến đổi ab bc ca ab bc ca ab bc ca 1 Biến đổi vế trái ta lại 2a b c a2 b c b ca c ab 1 ab bc ca Đến lúc ta đưa toán cần chứng minh thành 2a b c 2abc 1 2abc a bc b ca c ab Đến ta biến đổi bất đẳng thức cách nhân hai vế với tích abc ta bc ca ab ab ca bc ab ca bc Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Neibitz Điều đồng nghĩa với việc bất đẳng thức chứng minh Cách 4: Ta tiếp tục phân tích tìm lời giải với ý tưởng đổi biến, quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bc a2 b c , bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 1 1 a b c 1 11 1 1 1 1 1 1 2a b c a b2 c2 b c c a a b 1 Đến ta đặt x ; y ; z Khi bất đẳng thức trở thành a b c x2 y2 z2 xyz yz zx xy Bất đẳng thức cuối làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức x y z x y z x y z y z z x x y x y z 2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c 1 b 2c c 2a a 2b Phân tích lời giải Cũng tốn ta dự đoán đẳng thức xẩy a b c Với bất đẳng thức ta có số ý tưởng tiếp cận tốn sau Cách 1: Ý tưởng đánh giá bất đẳng thức theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Khi ta abc a b c a2 b2 c2 b 2c c 2a a 2b ab 2ca bc 2ab ca 2bc ab bc ca Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông a b c , đánh giá ab bc ca Bài tốn hồn tất ta a b c ab bc ca Đây bất đẳng thức quen thuộc Như bất đẳng thức chứng minh Cách 2: Ta tiếp tục đánh giá bất đẳng thức với ý tưởng đổi biến Quan sát bất đẳng thức ta hướng đến việc đổi biến làm đơn giản mẫu phân số Cho nên tự nhiên ta thực phép đặt x b 2c; y c 2a; z a 2b , suy x, y, z Thực biểu diễn biến cũ theo biến ta a 4y z 2x 4z x 2y 4x y 2z ;b ;c 9 Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 4y z 2x 4z x 2y 4x y 2z 1 9x 9y 9z 4y z x 1z x y 1 9x y z 9x y z Hay Dễ dàng nhận y z x z x y 3; theo bất đẳng thức Cauchy Do ta x y z x y z 4y z x 1 z x y 1 9x y z 9x y z 3 3 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Cách 3: Bây ta thử đánh giá bất đẳng thức theo hướng đánh giá mẫu các phân thức xem sau Quan sát ta nhận thấy b 2c b 2a a b c , lại theo bất đẳng thức Cauchy ta thấy 2a 2b 2c b 2c b 2a abc tự nhiên ta thực phép đánh giá sau a b 2a a b 2a a b 2c b 2c b 2a abc Thực tương tự ta b c 2b c a 2c b c ; c 2a a 2b abc abc Lúc ta thu bất đẳng thức a b 2a b c 2b c a 2c a b c b 2c c 2a a 2b abc Để ý a b c a b 2a b c 2b c a 2c a b2 c2 ab bc ca a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a b c 1 1 b a 1 c b 1a c 1 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thơng Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán đẳng thức xẩy a b c bất đẳng thức cần chứng minh thành Trước hết ta áp dụng giả thiết viết lại a b c Đây bất đẳng thức c 2b a 2c b 2a 2, ta chứng minh bất đẳng thức theo cách Ngoài ta cịn có thêm giả thiết a b c , ta thử phân tích xem cịn có thêm ý tưởng khác khơng? Cách 1: Để ý a b c ta có a b c đại lượng a c 2b abc b ; a 2c a c 2b c ; b 2a Khi ta cần biến đổi a b c làm xuất Với nhận định ta biến đổi sau a c 2b b a 2c c b a 2c c b 2a b 2a Khi ta a b c a c 2b b a 2c a 2c b 2a c 2b a b c c b 2a Để ý theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta a b c a c 2b b a 2c c b 2a a 2c b 2a c 2b a b c a c 2b b a 2c c b 2a c 2b a 2c b 2a abc a b c Như lúc ta c 2b a 2c b 2a ab bc ca Rõ ràng đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Điều đồng nghĩa với toán chứng minh Cách 2: Cũng từ giả thiết a b c ta b a 0, suy Dễ thấy a b a 1 ba a 1 a b a a 1a b , ta có 1 ba 1 ba Ta thực tương tự b c b 1 b c ; c 1ba 1 c b 1a b Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c a 1a b b 1 b c c 1 c a 1 b a 1 c b 1a c Bài tốn hồn tất ta a 1a b b 1 b c c 1 c a Hay a b c a b2 c2 ab bc ca Chú ý đến đánh giá a b2 c2 ab bc ca ta thấy đánh giá cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông a2 b2 c2 abc bca ca b a bc Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có b c a 0; c a b 0; a b a Chú ý đến hình thức phát biểu tốn ta có số ý tưởng chứng minh sau Cách 1: Cách phát biểu vế trái bất đẳng thức làm ta liên tưởng đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có kết abc a2 b2 c2 abc bca ca b a bc bca ca ba bc Đây điều ta cần phải chứng minh Cách 2: Ý tưởng thứ hai sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi ta a2 b2 c2 b c a 2a; c a b 2b; a b c 2c bca cab abc Cộng theo vế bất đẳng thức ta a2 b2 c2 abc 2 abc bca ca b a bc a2 b2 c2 abc bca ca b a bc Hay Vậy bất đẳng thức chứng minh a2 3a b c Cách 3: Trước hết ta chứng minh bca Thật vậy, với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên bất đẳng thức tương đương với 4a b c b c a b c a 3a b c a 3a 2 2a b c Bất đẳng thức cuối ln đúng, bất đẳng thức chứng minh Áp dụng tương tự ta b2 c2 3b c a ; 3c a b cab abc Do ta a2 b2 c2 a bc 2 a bc a bc bca ca b a bc Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a3 b c b3 c a c3 a b Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có số ý tưởng tiếp toán sau Cách 1: Ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Cauchy Ở ta phân tích xem nên sử dụng cho số Đầu tiên ta ý đến đại lượng bên vế trái nên tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy cho a3 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông ba số, ta cần phải làm triệt tiêu Để ý đến bảo tồn dấu đẳng thức ta có đánh giá bc bc 2a a bc Áp dụng tương tự ta có ca ab ; 2b c a b 2c b ca Lúc cộng theo vế bất đẳng thức 1 a b c 3 3 2 2 2a 2b 2c a3 b c b3 c a c3 a b 1 1 1 a b c a bc b ca c ab Hay 1 1 3 3 a b c abc 1 a3 b c b3 c a c3 a b Để ý tiếp ta lại thấy Do ta Như toán chứng minh Cũng sử dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương ta thực không? Ta ý đến đại lượng 1 bên vế trái, muốn đánh giá ta cần khử a a bc a bc ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a bc Khi ta a bc a bc 1 4 a a3 b c a3 b c Áp dụng tương tự ta b ca c ab 1 1 ; 3 b c ab c b ca Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 ab bc ca 1 a b c a bc b ca c ab Để ý đến giả thiết abc ta 1 1 1 1 2a b c a3 b c b3 c a c3 a b Đến ta thực tương tự Cách 2: Chú ý đến giả thiết abc ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh a bc Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông 1 a bc b ca c ab abc abc abc 1 2 a b c2 Hay 1 1 1 b c c a a b 1 Đến để đơn giản hóa ta đặt x ; y ; z , suy xyz bất đẳng thức cần a b c chứng minh viết lại thành x2 y2 z2 yz zx xy Đến ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức Hướng 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức bất đẳng thức Cauchy ta xyz x2 y2 z2 x y z 3 xyz yz zx xy xyz 2 Hướng 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x2 yz x2 y z 2 x yz yz y2 zx y2 z x 2 y zx zx z2 xy z2 xy 2 z xy xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta x2 y2 z2 xyz xyz yz zx xy Hay x2 y2 z2 x y z 3 xyz 1 yz zx xy 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a5 b5 c5 a b3 c3 a ab b2 b2 bc c2 c2 ca a Phân tích lời giải Quan sát cách phát biểu tốn ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a b3 c a5 b5 c5 a ab b2 b2 bc c2 c2 ca a a b3 c3 a 2b ab2 b2c bc2 c2a ca Như ta cần a b3 c a b3 c a b3 c3 a 2b ab2 b2c bc2 c2a ca Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông a b3 c3 a 2b ab2 b2c bc2 c2a ca Hay Dễ thấy a b3 ab a b ; b3 c3 bc b c ; c3 a ca c a Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b3 c3 a 2b ab2 b2c bc2 c2a ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ý tưởng thứ hai sử dụng bất đẳng thức Cauchy, để ý đến đại lượng a5 bên vế trái a ab b2 a3 bên vế phải, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng Cauchy cho hai số dương, để ý đến dấu đẳng thức xẩy a b c cần triệt tiêu a ab b2 nên ta chọn hai số a a ab b2 a5 ; Khi ta a ab b2 đại lương a a ab b2 a a ab b2 a5 a5 2a 2 9 a ab b2 a ab b2 Áp dụng tương tự ta có b b2 bc c2 c c2 ca a b5 2b3 c5 2c3 ; c2 ca a b2 bc c2 5 a b c A Để đơn giản hóa ta đặt 2 a ab b b bc c c ca a Cộng theo vế bất đẳng thức ta A Hay a a ab b2 A b b bc c2 c c ca a a 9 3 2 a b c a b ab b c bc2 c2a ca a b3 c3 a 2b ab2 b2c bc2 c2a ca Phép chứng minh hoàn tất ta 2 a b c b3 c3 3 a b ab2 b2c bc2 c2a ca a b3 c3 Đến ta thực tương tự cách Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 1 1 30 2 ab bc ca a b c Phân tích lời giải Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy biến nằm mẫu nên tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki dạng phân thức Cách 1: Trước hết ta tiếp cận bất đẳng thức với ý tưởng đánh giá bất đẳng thức Cauchy Để ý đến bảo tồn dấu đẳng thức ta có a b2 c2 ab bc ca nên để tạo đại lượng ab bc ca ta có đánh giá quen thuộc 1 ab bc ca ab bc ca Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thơng Do ta có bất đẳng thức 1 1 a b2 c2 ab bc ca a b2 c2 ab bc ca Như ta cần phải chứng minh 30 2 ab bc ca a b c Lại ý đến đánh giá tương tự ta cần cộng mẫu cho viết thành a b c điều có nghĩa ta cần đến ab bc ca Đến ta hai hướng là: - Thứ đánh giá 1 2 2 a b c ab bc ca abc , Tuy nhiên đánh giá không xẩy dấu đẳng thức - Thứ hai đánh giá 1 2 ab bc ca ab bc ca a b c abc Bất đẳng thức chứng minh ta a b c Tuy nhiên, dễ thấy 21 ab bc ca ab bc ca ab bc ca 21 ab bc ca Do ta Vậy bất đẳng thức chứng minh Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, ý đến dấu đẳng thức xẩy ta 1 1 16 2 2 3ab 3bc 3ca a b c ab bc ca a b c 16 12 2 abc abc Bất đẳng thức chứng minh ta 2 1 18 ab bc ca Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 2 1 6 ab bc ca ab bc ca abc 18 Vậy bất đẳng thức chứng minh Cách 3: Theo đánh giá quen thuộc ta có 1 ab bc ca ab bc ca Do ta có bất đẳng thức 1 1 2 2 ab bc ca a b c ab bc ca a b c Áp dụng tiếp đánh giá ta Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông 1 2 a b c 2ab 2bc 2ca 2 ab bc ca ab bc ca a b c 9 Hay 2 ab bc ca a b c 21 Mặt khác ta lại có ab bc ca Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 1 30 a b2 c2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a b b c c a 3 Phân tích lời giải Trước hết để dấu ta đặt x a; y b; z c , từ giả thiết ta có x2 y2 z2 bất đẳng thức viết lại thành x2 y2 z2 Quan sát bất đẳng thức dự y z x đoán dấu đẳng thức xẩy x y z , ta có số ý tưởng tiếp cận tốn sau Cách 1: Từ cách phát biểu vế trái ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Tuy nhiên cần ý đến giả thiết x2 y2 z2 , ta có đánh giá x y z2 x y z2 x4 y4 z4 y z x x y y z z x x y y z z2 x x y y 2z z x Ta quy toán chứng minh x y y z z2 x 2 x yy zz x Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta x xy2 2x2 y; y3 yz2 2y2z; z3 zx2 2z2 x Do ta có x y3 z3 x2 y xy2 x2z xz2 y2z yz2 x2 y y2z xz2 Mà ta có đẳng thức quen thuộc x y2 z2 x y z x Do ta x y z2 y3 z3 x2 y xy2 x2z xz2 y2z yz2 x y z x y xz 2 y2z Để ý tiếp đến giả thiết x2 y2 z2 , ta có x y z x2 y y2z xz2 Mà ta có x y z x2 y2 z2 suy x2 y y2z z2 x Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Cách 2: Cũng từ cách phát biểu vế trái ta nghĩ đến đánh giá bất đẳng thức Cauchy, nhiên áp dụng trực tiếp ta cần ý làm triệt tiêu mẫu số đánh giá bình phương biến Do ta đánh sau Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông 4 1 1 1 1 1 1 1 a b c abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 4 1 1 1 1 1 1 1 3 1 a b c a 1 Ta quy toán chứng minh a 4 1 1 1 1 b c 4 1 1 1 1 1 b c abc 1 1 1 1 1 a b c abc Hay 4 3 Để ý abc abc nên 1 1 abc abc 3 abc 3 Do phép chứng minh hoàn tất ta 1 1 1 1 1 a b c abc Đặt x 1 ; y ; z bất đẳng thức trở thành a b c 1 x 1 y 1 z 1 xyz 3 Đây đánh giá chứng minh Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy a b c Bài 88 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: b c a a b c a c b 2 Phân tích lời giải Bất đẳng thức khơng xẩy dấu a b c , không xẩy a b; c nà đẳng thức xẩy a 1; b c hoán vị Do ta nghĩ đến việc thứ tự biến Tuy nhiên ta cần tiệt tiêu dấu bậc hai bên vế trái Ngoài để ý với dấu đẳng thức xẩy b c ta dự đốn b c b c Do ta dự đốn a 2 b c a Nếu chứng minh đánh giá xem toán giải xong Ta xét b c a b c a Từ suy bc b c bc a a a abc 2 bc bc bc 4 b c a Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông b c a Hay a bc Áp dụng tương tự ta a c b b ac ; a b c c ab Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta b c a 2 a c b a b c 2 abc 2 Vậy toán chứng minh xong Bài 89 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 1 1 1 4 a b c abc a b b c c a Phân tích lời giải Bất đẳng thức bất đẳng thức có đại lượng đồng bậc nên ta nghĩ đến phép đổi biến a b c ;y ;z Từ suy x y z Khi nhân hai vế abc abc abc bất đẳng thức với a b c , bất đẳng trở thành 1 1 1 abc 9 abc a b c a b b c c a 1 1 1 4 a b c bc ca ab abc abc abc abc abc abc 1 1 1 4 Hay x y z xy yz zx x Hay Hay x y z x1 y1 1z x y z x 1 y y 1 z z 1 x x xy yz zx y z 4 z x y yz zx x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x x 4x y y 4y z z 4z ; ; y z yz z x xz x y xy Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, ta y z y y z z 4x 4y 4z x x z x x y yz zx xy x xy yz zx y z 4 Hay z x y yz zx x y Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 90 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông bc ca ab a b c a b b c c a abc Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán đươc dấu đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần phải khử bậc hai, ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacopxki Tuy nhiên để áp dụng bất đẳng thức ta cần tạo tích đại lượng Do ta biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh sau b c a b c a c a a b b c a b b c c a a b c abc Chú ý đến chiều bất đẳng thức cần chứng minh áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có a ba c a bc a ba c ac ab , nhiên để ý đến mẫu số ta chọn đánh giá thứ Khi ta b c a b a c b c a a b c Theo bất đẳng thức Cauchy ta có bc a bc b c b c bc a 2bc a b c a b a c b c bc Do ta a Áp dụng tương tự ta b c a b c a c a a b b c a b b c c a a b bc ca ab abc b c a bc ca ab abc a b c Ta cần chứng minh a b c Hay c bc ca ab a b c 2 a b c Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có bc ab ca a b2 c2 a b c c b a bc ab ca abc a c b Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 91 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh 1 a b2 c2 2 a b c Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta liên tưởng đến đánh giá quen thuộc 1 1 1 abc ab bc ca abc a b c Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông a b c a b c abc abc abc a b c ab bc ca 3abc a b c ab bc ca Và lại có 1 Do ta có a b c 2 2 Phép chứng minh hoàn tất ta abc a b2 c2 ab bc ca Hay abc a b2 c2 ab bc ca Dễ thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta a b c a a b c ab bc ca Hay a b c 27 a b c ab bc ca Mà a b c nên ta có a b c 81 a b c Suy a b c a b c ab bc ca 2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca 2 2 2 2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Nhận xét: Ngồi cách chứng minh ta tham khảo thêm cách chứng minh sau Cách 1: Do a, b, c a b c a b c + Trường hợp 1: Giải sử số a, b, c nhỏ Khi tổng 1 , bất đẳng thức trường hợp a b c + Trương hợp 2: Giải sử số a, b, c lớn Do 9 a b c a;b; c 3 a 2 2a 1 Từ ta có a 4a a a2 a 4a Suy a 1 b 4b 4; c 4c Tương tự ta có b c a 1 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta 1 a b2 c2 a b c 2 a b c 1 a b2 c2 2 a b c Hay Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Cách 2: Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông + Trường hợp 1: Với a, b, c 0; Khi ta có 2 a a 4a 4a a 4a a2 1 Áp dụng tương tự ta b 4b 4; c 4c b c a 1 Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 a b c 12 a b c a b c 1 a b2 c2 a b c Hay + Trường hợp 2: Nếu có số a, b, c lớn Khơng tính tổng qt giả sử a b c , suy ra: a 1 b c c Khi ta Từ suy 2 64 2 c 1 Trong a b c a b c a b c 1 a b2 c2 a b c 9 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 92 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b2 c2 Chứng minh rằng: a b b a c a abc Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta thấy có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có a b b c c a a2 a b b2 b c c a a b c a b c c2 a b b c c a Ta quy toán chứng minh a b b c c a abc a b b c c a abc Hay Để ý đến dấu đẳng thức xẩy chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy a b a b 1 ; b c b c 1 ; c a c b 1 Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c ab bc ca Mà lại có a2 b2 c2 a b c a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca Mặt khác a b b c c a Hay a b c ab bc ca Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông a b b c c a Do ta có abcabc a b b c c a abc Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 93 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a bc b c a2 b ac c a b2 c ab a b c2 Phân tích lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Quan sát biểu thức thứ bên vế trái ta thấy tử mẫu chứa đại đại lượng a; b c , nhiên mẫu lại tổng nên đánh giá mẫu tích có hội rút gọn Chú ý đến chiều bất đẳng thức dấu đẳng thức xẩy ta có đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy a bc bc a bc a bc Suy ta a2 b c a bc bc b c 4a 3b 3c 4a 4a 3b 3c b c 4a 3b 3c 4a b c Đại lượng thu đánh giá làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ta có 1 4a a a 92 1 4a 3b 3c 25 4a 3b 3c 25 a b c a a bc 27a 25 a bc 25 a b c Suy ta b2 c a Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta a bc b c c ca 27b ; 25 c2 c a 25 a b c a2 b ac c a b2 27c 25 25 a b c Áp dụng hoàn toàn tương tự ta b ca c ab a b c2 6 25 a b c 25 27 a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Nhận xét: Cũng nhận định trên, ta ý đến phép biến đổi sau b c a a b c a b c 2 2 b c a b c a2 b c a2 1 1 a b c b c c a a b ;y ;z + Nếu ta đặt x , bất đẳng thức viết lại thành a b c a b c Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông x y z 2 1x 1y 1z Để ý đến dấu đẳng thức xẩy x y z , ta có đánh giá x 4x 4x 2 2 3x 1x x 3x 4x 3x x y z 4 Hoàn toàn tương tự ta thu 2 3x 3y 3z 1x 1y 1z 4 3x 3y 3z b c c a a b ;y ;z Đến ta thay lại x vào bất đẳng thức a b c 4a 4b 4c 3b 3c 4a 3c 3a 4b 3a 3b 4c Phép chứng minh hoàn tất ta Và ta chứng minh hoàn toàn + Nếu ta đặt x a b c ;y ;z , bất đẳng thức viết lại b c c a a b x y z x y2 z Và ta chứng minh hoàn toàn tương tự Bài 94 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: a b3 c a b c b a c c a b Phân tích lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta có số nhận xét sau: Vế trái chứa lũy thừa bậc ba vế phải lại chứa bậc hai, với dấu đẳng thức xẩy a b c c3 thức Cauchy cho hai số, nhiên để có đánh giá c3 ab Do ta nghĩ đến bất đẳng c ab 2c a b ta cần tạo đại c ab Chú ý đến giả thiết đánh giá quen thuộc ta có c ab a b a b3 ab a b ab 2 abc c 3 a b ab c3 c3 2c a b Từ ta có c lượng Tương tự ta có b3 a c3 ac b3 c3 bc b3 2b a c; a a3 2a b c b a Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: a b3 c a b c b a c c a b Bài tốn chứng minh xong Ngồi cách chứng minh ta chứng minh tốn cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki sau: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông a bc b ac c ab a b c a b2 c2 abc a b c a b2 c2 Từ ta abc a b c Theo bất đẳng thức quen thuộc ta có a ab bc ca abc a b c a b2 c2 a b2 c2 ab bc ca a 34 bc b ac c ab a Dễ dàng chứng minh b3 c3 34 a b c 34 a b c ab a bc b ac c Hay b2 c2 ab bc ca ab bc ca a b c Do ta có a b c 32 Từ ta bất đẳng thức sau a b3 c a b c b a c c a b Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 95 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a3 a bc b3 b ac c3 c ba 1 Phân tích lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta ý đến phép biến đổi a3 a3 b c 1 b c Khi ta nghĩ đến phép đổi biến x a3 Chú ý a b c x , ta có đánh giá x3 thức viết lại thành x3 Khi thay lại x x 1 x x 1 2 2 x 1 x x 1 x 2 bc vào bất đẳng thức ta a a3 a3 b c 2 b c 2 a 2a 2a b c bc biểu a Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông Theo đánh giá quen thuộc ta b c a3 a3 b c b3 Hồn tồn tương tự ta có b3 a c b2 c2 , ta suy a2 a b2 c2 b2 ; a b2 c2 c3 c3 b a c2 a b2 c2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta a3 a bc b3 b ac c3 c ba 1 Vậy toán chứng minh xong Nhận xét: Ngồi cách làm ta chứng minh toán sau: Thực biến đổi chứng minh b c b c 1 1 2 a a Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với b c b c b c b c 4 a a a 4 a 2 b c 0 a Bất đẳng thức cuối đúng, bất đẳng thức chứng minh Áp dụng tương tự ta quy toán chứng minh b c 1 2 a 1 c a 1 2 b Thật vậy, áp dụng đánh giá quen thuộc x y b c 1 2 a 2a 2a b c 1 a b 1 2 c 1 x y ta có 2a 2a b c a2 a b2 c2 Hoàn toàn tương tự ta suy bất đẳng thức cần chứng minh Bài 96 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 1 1 abc a b c 1 a b c a b b c c a ab bc ca Phân tích lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c Để có đánh giá hợp lý ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại thành abc ab bc ca a b c b c a 33 b c a a b c ab bc ca Quan sát bất đẳng thức ta viết vế trái thành a b c b c a a c b a c a b c c 2a a b b c a a b c abc abc Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông Quan sát vế phải ta nhận thấy cần đánh giá đại lượng a 2c b2a c2a đại lượng a b c để thu gọn hai vế, ý đến chiều bất đẳng thức ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy a 2c a 2c b2a 3 a 5b2c2 3a a 2b2c2 a 2c c2b c2b 3 a 2b2c5 3c a 2b2c2 b2a b2a bc2 3 a 2b5c2 3a a 2b2c2 Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, ta a 2c b2a c2b a b c a b2 c a b c a b2 c a b c a b c Do ta có b c a abc abc b c a abc Hoàn toàn tương tự ta có a b c abc a b c b c a abc b c a a b c abc Suy Phép chứng minh hoàn tất ta 3 a b c a b b c c a abc ab bc ca a b c 81 a b c a b b c c a abc ab bc ca abc 3 Hay Khai triển thu gọn ta abc ab bc ca 2 81 ac bc ca ab ab bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 81 ab bc bc ca ca ab 81 ab bc ca 27 24 ab bc ca 24 ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c 81abc a b b c c a a b c ab bc ca Mặt khác ta lại có ab bc ca a b c Do ta 2 Hay 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c a b c Chứng minh rằng: a bc b ca c2 ab a bc b ca a ab Bài 97 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2 Phân tích lời giải Để có đánh giá hợp lí ta viết lại vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành a2 a bc b2 b ca c2 a ab bc a bc ca b ca ab a a b Để ý ta thấy nhóm có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki nên ta tách áp dụng Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông a a bc b b ca c a b c 2 a ab a ab ac b bc ab c ca bc abc Mà theo đánh giá quen thuộc ab bc ca a b c nên ta a b c a b c a b c 2 a b c ab bc ca a b c a b c a b c ab bc ca 2 Do ta a2 b2 a bc b ca c2 abc a ab Cũng ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki bc a bc ca b ca abc ca ab a a b abc b c ab bc ca abc c a abc a b 3abc a b c abc bc ca ab abc a b c a bc Do ta bc ab b2 ca c2 ab abc a bc b ca a ab 1 a b c nên a b c Lại có a b c 3 2 a bc b ca c2 ab Hay a bc b ca a ab Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 98 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: ab 1 c 1 c bc 1 a 1 a ca 1 b 1 b Phân tích lời giải Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh suy nghĩ cố gắng đơn giản hóa đại lượng dấu tiến tới loại bỏ bậc hai Trước hết ta ta biến đổi đơn giản hóa biểu thức Chú ý đến giả thiết a b c ta viết ab ab c 1 c a b c2 ab a b a b c ab a b a b c Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta c2 c2 ab a b a b2 ab bc ca Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông a b2 ab bc ca ab bc ab ca a b ab Do theo đánh giá quen thuộc ta có ab a b a b2 ab bc ca ab 2 ab bc ab ca ab ab ab bc ab ca 2 a b ac bc Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có ab ab bc ab ca 2 ab Từ ta 1 c 1 c a b ac bc Áp dụng hoàn toàn tương tự ta ab c 1 c bc 1 a 1 a ca 1 b 1 b a b b c c a a c b c b a c a c b a b 2 Ta cần chứng minh a b b c c a ba ca c b a b a c b c Hay a b b c c a 3 ac bc ba ca cb ab Đến ta ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki ta a b b c c a ac bc ba ca cb ab a b b c c a 3 3.3 a c b c ba ca c b a b Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 99 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chưng minh rằng: 1 1 87 2 2 a b c ab a b cb c b ac a c Phân tích lời giải Quan sát bất đẳng ta nhận thấy vế trái có ba phân thức phía sau đồng bậc nên ta đánh giá ba phân thức trước Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 1 1 33 2 ab a b cb c b ac a c a b c a b cb a c Trong biểu thức dước dấu ta ý đến đại lượng a b b c c a đánh giá a b c Như theo bất đẳng thức Cauchy ta Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông a b b c c a abc 27 27 Ngoài ý đến đại lượng a b c mẫu phân thức thứ nhất, để đánh giá vế trái a b c 2 ta cần đánh giá đại lượng a b2c2 ab bc ca Do theo bất đẳng tức Cauchy ta có a 2b2c2 ab bc ca 27 Kết hợp hai bất đẳng thức ta a 2b2c2 a b b c c a ab bc ca 272 1 27 Suy ta ab a b cb c b ac a c ab bc ca Khi ta bất đẳng thức sau 1 1 27 2 2 a b c a b c ab a b cb c b ac a c ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 1 a b2 c2 ab bc ca ab bc ca abc Và ta lại có ab bc ac abc 9 3 Do ta 1 1 27 2 2 a b c a b c ab a b cb c b ac a c ab bc ca 23 23.3 87 9 2 ab bc ca ab bc ca 2 a b c Bài 100 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: Bài toán chứng minh xong, đẳng thức xẩy a b c 1 10 a b2 b2 c2 c2 a Phân tích lời giải Bất đẳng thức không xẩy dấu a b c , ta dự đốn xẩy biến khơng hai biến lại Thay vào bất đẳng thức ta có dấu đẳng thức xẩy a b ; c Trong tình ta nghĩ đến thứ tự biến đánh giá bảo toàn dấu đẳng thức Vì vai trị biến nên ta giả sử c số nhỏ số a, b, c Như đánh giá ta cần ý cho dấu đẳng thức xẩy ta a b ; c Trong đánh giá ta cần xem vai trò a, b so với c Từ phân tích ta có đánh giá sau Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông c2 c2 c c a b a ac b bc a b 4 4 2 2 2 2 c c b c b ; a c2 a 2 2 Tương tự ta có Do ta có bất đẳng thức 1 1 1 2 2 2 a b b c c a c c c c a b b a 2 2 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 2 c c c c b a b a 2 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có c c a b 2 2 c c 2b a 2 2 c c c c c c a b 2b a a b 2 2 2 2 2 6 6 Và c c c c c c 2b a b a 2 2 2 a b 1 10 Kết hợp lại ta 2 2 c c c c a b b a 2 2 2 2 4 1 10 2 a b b c c a2 Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh xong 1 2 Đẳng thức xảy a; b; c ; ; hoán vị Bài 101 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b2 b2 c2 c2 a ab bc ca ab bc ca abc Phân tích lời giải Quan sát bất đẳng thức ta ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Tuy nhiên để a b2 a2 b2 áp dụng ta cần để ý đến phép biến đổi đánh giá quen thuộc ab ab ab 2 a b2 a b Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông a b c ab bc ca a b c a b b c c a a b c a b c a b c ab bc ca b c a a b b c c a a b c a b c 2 2 2 2 Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta a b2 b2 c2 c2 a ab bc ca ab bc ca abc Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta ab bc ca a b2 b2 c2 c2 a ab bc ca ab bc ca 2a 2b 2c a b c 12 ab bc ca abc ab bc ca Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c abc ... bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Cách 2: Dễ thấy bất đẳng thức có bâc hai biến ta viết lại bất đẳng thức dạng đa thức biến a, cịn b c đóng vai trò tham số Ta viết lại bất đẳng. .. dấu đẳng thức xẩy a b c , Quan sát bất đẳng thức ta có số nhận xét sau: - Bất đẳng thức có ba biến có b, c có vai trị nhau, ta cố gắng quy bất đẳng thức hai biến phép đặt ẩn phụ - Bất đẳng thức. .. Cách 1: Dự đốn dấu đẳng thức xẩy a b c , suy nghĩ quan sát bất đẳng thức tìm cách làm bậc hai biểu thức, nhiên để ý đến chiều bất đẳng thức ta thấy làm tử thức bất đẳng thức Cauchy cịn mẫu