Tài liệu học bất đẳng thức THCS hay

Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: bc ca ab 1      2a 2b 2c a bc b ca c ab       Phân tích lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy a  b  c Có thể nói bất đẳng thức hay nhiên khơng thực khó Quan sát bất đẳng thức ta có cách tiếp cận toán sau Cách 1: Từ chiều bất đẳng thức, ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Nhưng bên vế a2 bc phải lại chứa nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số, ta cần triệt tiêu đại lượng a bc ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho bao nhiều số? Để ý bên vế trái bất đẳng thức có chứa Chú ý đến bảo tồn dấu đẳng thức ta có đánh giá sau bc bc bc bc     4bc a a2 b  c a b  c 4bc     Thực tương tự ta có ca ca ab ab   ;   4ca b c ab 4ab c b ca     Cộng theo vế bất đẳng thức ta bc ca ab bc ca ab 1         4bc 4ca 4ab a b c a2 b  c b2 c  a c2 a  b  Để ý      b  c c a a  b 11 1        , lúc ta thu 4bc 4ca 4ab 2a b c bc ca ab 1 11 1           a b c 2a b c a2 b  c b2 c  a c2 a  b       bc ca ab 1      2a 2b 2c a bc b ca c ab Hay       Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Cách 2: Ý tưởng thứ hai áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta     ab  bc  ca bc ca ab    a2 b  c b2 c  a c2 a  b abc a b  c  b c  a  c a  b              Bất đẳng thức chứng minh ta  ab  bc  ca  1    abc a  b  c   b  c  a   c  a  b   2a 2b 2c   Biến đổi vế trái ta ab  bc  ca  ab  bc  ca      abc a  b  c   b  c  a   c  a  b   2abc  ab  bc  ca  2a 2b 2c   Điều có nghĩa bất đẳng thức chứng minh Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông Cách 3: Ý tưởng sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh toán Chú ý đến phép bc ab  bc  ca , ta thu bất đẳng thức cần chứng sau   a a2 b  c a bc biến đổi     ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  1         Biến đổi vế trái ta lại 2a b c a2 b  c b ca c ab       1   ab  bc  ca  Đến lúc ta đưa toán cần chứng minh thành     2a  b  c 2abc 1    2abc a bc b ca c ab       Đến ta biến đổi bất đẳng thức cách nhân hai vế với tích abc ta bc ca ab    ab  ca bc  ab ca  bc Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Neibitz Điều đồng nghĩa với việc bất đẳng thức chứng minh Cách 4: Ta tiếp tục phân tích tìm lời giải với ý tưởng đổi biến, quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bc  a2 b  c   , bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 1 1 a    b c 1 11 1         1 1 1 1 1 2a b c a    b2    c2    b c c a a b 1 Đến ta đặt x  ; y  ; z  Khi bất đẳng thức trở thành a b c x2 y2 z2 xyz    yz zx xy Bất đẳng thức cuối làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức  x  y  z  x  y  z x y z    y  z z  x x  y  x  y  z 2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c   1 b  2c c  2a a  2b Phân tích lời giải Cũng tốn ta dự đoán đẳng thức xẩy a  b  c Với bất đẳng thức ta có số ý tưởng tiếp cận tốn sau Cách 1: Ý tưởng đánh giá bất đẳng thức theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Khi ta    abc a b c a2 b2 c2       b  2c c  2a a  2b ab  2ca bc  2ab ca  2bc ab  bc  ca  Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông  a  b  c   , đánh giá  ab  bc  ca  Bài tốn hồn tất ta a  b  c    ab  bc  ca Đây bất đẳng thức quen thuộc Như bất đẳng thức chứng minh Cách 2: Ta tiếp tục đánh giá bất đẳng thức với ý tưởng đổi biến Quan sát bất đẳng thức ta hướng đến việc đổi biến làm đơn giản mẫu phân số Cho nên tự nhiên ta thực phép đặt x  b  2c; y  c  2a; z  a  2b , suy x, y, z  Thực biểu diễn biến cũ theo biến ta a  4y  z  2x 4z  x  2y 4x  y  2z ;b ;c 9 Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 4y  z  2x 4z  x  2y 4x  y  2z   1 9x 9y 9z 4y z x 1z x y         1 9x y z 9x y z Hay Dễ dàng nhận y z x z x y    3;    theo bất đẳng thức Cauchy Do ta x y z x y z 4y z x 1 z x y            1 9x y z 9x y z 3 3 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Cách 3: Bây ta thử đánh giá bất đẳng thức theo hướng đánh giá mẫu các phân thức xem   sau Quan sát ta nhận thấy b  2c  b  2a  a  b  c , lại theo bất đẳng thức Cauchy ta thấy 2a  2b  2c    b  2c  b  2a    abc   tự nhiên ta thực phép đánh giá sau   a b  2a a b  2a a   b  2c b  2c b  2a abc  Thực tương tự ta          b c  2b c a  2c b c  ;  c  2a a  2b abc abc  Lúc ta thu bất đẳng thức          a b  2a  b c  2b  c a  2c a b c    b  2c c  2a a  2b abc  Để ý      a  b  c a b  2a  b c  2b  c a  2c   a     b2  c2  ab  bc  ca a  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a b c   1 1 b a 1 c b 1a c  1 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thơng Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán đẳng thức xẩy a  b  c  bất đẳng thức cần chứng minh thành Trước hết ta áp dụng giả thiết viết lại a b c    Đây bất đẳng thức c  2b a  2c b  2a 2, ta chứng minh bất đẳng thức theo cách Ngoài ta cịn có thêm giả thiết a  b  c  , ta thử phân tích xem cịn có thêm ý tưởng khác khơng?  Cách 1: Để ý a  b  c  ta có a  b  c đại lượng a c  2b abc  b ; a  2c a c  2b c ; b  2a    Khi ta cần biến đổi a  b  c làm xuất Với nhận định ta biến đổi sau  a c  2b  b a  2c  c  b a  2c   c b  2a b  2a  Khi ta  a b c  a c  2b  b a  2c  a  2c b  2a  c  2b a  b  c     c b  2a      Để ý theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta   a b c a c  2b  b a  2c  c b  2a   a  2c b  2a  c  2b   a b c      a c  2b  b a  2c  c b  2a  c  2b a  2c b  2a                  abc a b c    Như lúc ta c  2b a  2c b  2a ab  bc  ca  Rõ ràng đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Điều đồng nghĩa với toán chứng minh Cách 2: Cũng từ giả thiết a  b  c  ta  b  a  0, suy  Dễ thấy  a  b   a  1 ba  a 1  a  b    a    a 1a b  , ta có 1 ba 1 ba   Ta thực tương tự b c  b 1 b c ;  c 1ba 1 c b 1a b     Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c    a 1a b  b 1 b c  c 1 c a 1 b a 1 c b 1a c  Bài tốn hồn tất ta            a 1a b  b 1 b c  c 1 c a  Hay   a  b  c  a  b2  c2  ab  bc  ca  Chú ý đến đánh giá a  b2  c2  ab  bc  ca ta thấy đánh giá cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông a2 b2 c2   abc bca ca b a bc Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán dấu đẳng thức xẩy a  b  c Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có b  c  a  0; c  a  b  0; a  b  a  Chú ý đến hình thức phát biểu tốn ta có số ý tưởng chứng minh sau Cách 1: Cách phát biểu vế trái bất đẳng thức làm ta liên tưởng đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có kết   abc a2 b2 c2    abc bca ca b a bc bca ca ba bc Đây điều ta cần phải chứng minh Cách 2: Ý tưởng thứ hai sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi ta a2 b2 c2  b  c  a  2a;  c  a  b  2b;  a  b  c  2c bca cab abc Cộng theo vế bất đẳng thức ta a2 b2 c2   abc 2 abc bca ca b a bc a2 b2 c2   abc bca ca b a bc  Hay  Vậy bất đẳng thức chứng minh a2  3a  b  c Cách 3: Trước hết ta chứng minh bca   Thật vậy, với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên bất đẳng thức tương đương với      4a  b  c    b  c  a  b  c  a 3a  b  c     a  3a 2    2a  b  c     Bất đẳng thức cuối ln đúng, bất đẳng thức chứng minh Áp dụng tương tự ta b2 c2  3b  c  a ;  3c  a  b cab abc     Do ta a2 b2 c2    a bc 2 a bc  a bc bca ca b a bc     Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a3 b  c b3 c  a c3 a  b       Phân tích lời giải Dễ dàng dự đoán đẳng thức xẩy a  b  c  Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có số ý tưởng tiếp toán sau Cách 1: Ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Cauchy Ở ta phân tích xem nên sử dụng cho số Đầu tiên ta ý đến đại lượng bên vế trái nên tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy cho a3 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông ba số, ta cần phải làm triệt tiêu Để ý đến bảo tồn dấu đẳng thức ta có đánh giá bc bc    2a a bc   Áp dụng tương tự ta có ca ab    ;    2b c a  b 2c b ca     Lúc cộng theo vế bất đẳng thức 1 a b c 3 3          2 2 2a 2b 2c a3 b  c b3 c  a c3 a  b       1 1 1       a b c a bc b ca c ab Hay       1 1    3 3 a b c abc 1    a3 b  c b3 c  a c3 a  b Để ý tiếp ta lại thấy Do ta       Như toán chứng minh Cũng sử dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương ta thực không? Ta ý đến đại lượng 1 bên vế trái, muốn đánh giá ta cần khử a a bc a bc     ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương  a bc  Khi ta       a bc a bc 1     4 a a3 b  c a3 b  c   Áp dụng tương tự ta     b ca c ab 1 1   ;   3 b c ab c b ca     Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 ab  bc  ca 1       a b c a bc b ca c ab     Để ý đến giả thiết abc  ta   1 1 1 1        2a b c a3 b  c b3 c  a c3 a  b       Đến ta thực tương tự Cách 2: Chú ý đến giả thiết abc  ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh a bc   Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông 1    a bc b ca c ab       abc abc abc 1 2 a  b  c2  Hay 1 1 1    b c c a a b 1 Đến để đơn giản hóa ta đặt x  ; y  ; z  , suy xyz  bất đẳng thức cần a b c chứng minh viết lại thành x2 y2 z2    yz zx xy Đến ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức Hướng 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức bất đẳng thức Cauchy ta   xyz x2 y2 z2 x  y  z 3 xyz       yz zx xy xyz 2   Hướng 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x2 yz x2 y  z  2  x yz yz y2 zx y2 z  x  2  y zx zx z2 xy z2 xy  2  z xy xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta x2 y2 z2 xyz     xyz yz zx xy Hay x2 y2 z2 x  y  z 3 xyz     1 yz zx xy 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a5 b5 c5 a  b3  c3    a  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a Phân tích lời giải Quan sát cách phát biểu tốn ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta   a  b3  c a5 b5 c5    a  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a a  b3  c3  a 2b  ab2  b2c  bc2  c2a  ca Như ta cần  a  b3  c  a  b3  c  a  b3  c3  a 2b  ab2  b2c  bc2  c2a  ca Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông   a  b3  c3  a 2b  ab2  b2c  bc2  c2a  ca Hay      Dễ thấy a  b3  ab a  b ; b3  c3  bc b  c ; c3  a  ca c  a  Cộng theo vế bất đẳng thức ta   a  b3  c3  a 2b  ab2  b2c  bc2  c2a  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Ý tưởng thứ hai sử dụng bất đẳng thức Cauchy, để ý đến đại lượng a5 bên vế trái a  ab  b2 a3 bên vế phải, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng Cauchy cho hai số dương, để ý đến dấu đẳng thức xẩy a  b  c cần triệt tiêu a  ab  b2 nên ta chọn hai số a a  ab  b2 a5 ; Khi ta a  ab  b2 đại lương       a a  ab  b2 a a  ab  b2 a5 a5 2a  2   9 a  ab  b2 a  ab  b2 Áp dụng tương tự ta có     b b2  bc  c2 c c2  ca  a b5 2b3 c5 2c3   ;   c2  ca  a b2  bc  c2 5 a b c A   Để đơn giản hóa ta đặt 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Cộng theo vế bất đẳng thức ta A Hay  a a  ab  b2 A   b b  bc  c2   c c  ca  a   a 9 3 2 a  b  c  a b  ab  b c  bc2  c2a  ca       a  b3  c3  a 2b  ab2  b2c  bc2  c2a  ca    Phép chứng minh hoàn tất ta 2 a b c  b3  c3 3   a b  ab2  b2c  bc2  c2a  ca a  b3  c3 Đến ta thực tương tự cách Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1 1     30 2 ab bc ca a b c Phân tích lời giải Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy a  b  c  Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy biến nằm mẫu nên tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki dạng phân thức Cách 1: Trước hết ta tiếp cận bất đẳng thức với ý tưởng đánh giá bất đẳng thức Cauchy Để ý đến bảo tồn dấu đẳng thức ta có a  b2  c2  ab  bc  ca nên để tạo đại lượng ab  bc  ca ta có đánh giá quen thuộc 1    ab bc ca ab  bc  ca Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thơng Do ta có bất đẳng thức 1 1      a  b2  c2 ab bc ca a  b2  c2 ab  bc  ca Như ta cần phải chứng minh   30 2 ab  bc  ca a b c Lại ý đến đánh giá tương tự ta cần cộng mẫu cho viết thành a  b  c   điều có nghĩa ta cần đến ab  bc  ca Đến ta hai hướng là: - Thứ đánh giá  1  2   2 a b c ab  bc  ca abc         , Tuy nhiên đánh giá không xẩy dấu đẳng thức - Thứ hai đánh giá 1    2 ab  bc  ca ab  bc  ca a b c abc  Bất đẳng thức chứng minh ta a  b  c Tuy nhiên, dễ thấy   21 ab  bc  ca   ab  bc  ca  ab  bc  ca   21 ab  bc  ca Do ta Vậy bất đẳng thức chứng minh Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, ý đến dấu đẳng thức xẩy ta 1 1 16     2 2 3ab 3bc 3ca a  b  c  ab  bc  ca a b c 16   12 2 abc  abc       Bất đẳng thức chứng minh ta 2 1      18   ab bc ca  Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 2 1  6       ab bc ca  ab  bc  ca abc    18 Vậy bất đẳng thức chứng minh Cách 3: Theo đánh giá quen thuộc ta có 1    ab bc ca ab  bc  ca Do ta có bất đẳng thức 1 1      2 2 ab bc ca a  b  c ab  bc  ca a b c Áp dụng tiếp đánh giá ta Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức, tài liệu phổ thông   1 2     a  b  c  2ab  2bc  2ca  2 ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b c  9 Hay 2 ab  bc  ca a b c  21 Mặt khác ta lại có ab  bc  ca   Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 1     30 a  b2  c2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  b b c  c a 3 Phân tích lời giải Trước hết để dấu ta đặt x  a; y  b; z  c , từ giả thiết ta có x2  y2  z2  bất đẳng thức viết lại thành x2 y2 z2    Quan sát bất đẳng thức dự y z x đoán dấu đẳng thức xẩy x  y  z  , ta có số ý tưởng tiếp cận tốn sau Cách 1: Từ cách phát biểu vế trái ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Tuy nhiên cần ý đến giả thiết x2  y2  z2  , ta có đánh giá   x  y  z2 x y z2 x4 y4 z4        y z x x y y z z x x y  y z  z2 x x y  y 2z  z x Ta quy toán chứng minh    x y  y z  z2 x 2 x yy zz x Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta x  xy2  2x2 y; y3  yz2  2y2z; z3  zx2  2z2 x  Do ta có x  y3  z3  x2 y  xy2  x2z  xz2  y2z  yz2  x2 y  y2z  xz2  Mà ta có đẳng thức quen thuộc x  y2  z2  x  y  z  x Do ta x  y  z2  y3  z3  x2 y  xy2  x2z  xz2  y2z  yz2   x  y  z    x y  xz 2  y2z  Để ý tiếp đến giả thiết x2  y2  z2  , ta có x  y  z  x2 y  y2z  xz2 Mà ta có x  y  z    x2  y2  z2  suy  x2 y  y2z  z2 x Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Cách 2: Cũng từ cách phát biểu vế trái ta nghĩ đến đánh giá bất đẳng thức Cauchy, nhiên áp dụng trực tiếp ta cần ý làm triệt tiêu mẫu số đánh giá bình phương biến Do ta đánh sau ... bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Cách 2: Dễ thấy bất đẳng thức có bâc hai biến ta viết lại bất đẳng thức dạng đa thức biến a, cịn b c đóng vai trò tham số Ta viết lại bất đẳng. .. dấu đẳng thức xẩy a  b  c , Quan sát bất đẳng thức ta có số nhận xét sau: - Bất đẳng thức có ba biến có b, c có vai trị nhau, ta cố gắng quy bất đẳng thức hai biến phép đặt ẩn phụ - Bất đẳng thức. .. Cách 1: Dự đốn dấu đẳng thức xẩy a  b  c , suy nghĩ quan sát bất đẳng thức tìm cách làm bậc hai biểu thức, nhiên để ý đến chiều bất đẳng thức ta thấy làm tử thức bất đẳng thức Cauchy cịn mẫu