bai tap hinh hoc nang cao lop 7

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh rằng: · a) ∆ABE = ∆ADC b) BMC = 1200 Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền ngồi tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM Bài 3:Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi ∆APQ · = 450 Chứng minh : PCQ Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB E D a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh ∆MAB; MAC tam giác vuông cân c) Từ A D vẽ đường thẳng vng góc với BE, đường thẳng cắt BC K H Chứng minh KH = KC Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC ) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đường thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Bài 6: Cho tam giác vuông ABC: µA = 900 , đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC Bài 7: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm a) ∆ABC ∆ ? Chứng minh điều b) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB Bài 8: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM · BME µ = 200 , vẽ tam giác DBC (D Bài 9: Cho tam giác ABC cân A có A nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC Bài 10: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh CD Tia phân giác góc ABE cắt AD K Chứng minh AK + CE = BE Đáp án BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh rằng: · a) ∆ABE = ∆ADC b) BMC = 1200 Giải: a) Xét ∆ABE ∆ADC : AB = AD; AE = AC ( tam giác đều) · · · BAE = DAC = 600 + BAC nên ∆ABE = ∆ADC ( c - g - c) · · · b) Ta có : BMC ( t/c góc ngồi) = MCE + MEC · · · = MCA + ACE + MEC Từ ∆ABE = ∆ADC · · ( cặp góc tương ứng) MCA = MEA 0 · · · · nên BMC = ·ACE + MEC + MEA = ACE + ·AEC = 60 + 60 = 120 Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM Giải: a) Ta có : ∆AHB = ∆EMA ( ch - gn) · Vì ·AHB = EMA = 900 AB = AE ( gt) ·BAH = ·AEM ( phụ với MAE · ) Suy : EM = AH (1) Tương tự: ∆AHC = ∆FNA ( ch - gn) ⇒ HC = NA (2) Từ (1) (2) Suy : EM + HC = AH + NA = NH b) Từ ∆AHC = ∆FNA ⇒ AH = NF ( 3) Từ (1) (3) Ta có : EM = MF mặt khác : EM // NF ( vng góc với AH) Ta suy : EN // FM Bài 3: Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi ∆APQ · = 450 Chứng minh : PCQ Giải: Trên cạnh AB lấy điểm P Vẽ đường trịn(P; PB) đường trịn ( C;CB) Cắt I Gọi J = PI ∩ AD Ta có : ∆APQ có chu vi cm Thật vậy: ∆PBC = ∆BIC (c − c − c ) · · (*) ⇒ ICP = BCP · · Nên PIC = PBC = 900 Suy : ∆QIC = ∆QDC (ch − cgv) · · ⇒ IQ = QD ; ICQ = DCQ (**) Vậy Chu vi ∆APQ = AP + PQ + AQ = AP + PI + IQ + AQ = AP+ PB + QD + AQ = AB + AD = Từ (*) (**) Ta có : · · · ICB + ICD BCD 900 · · · PCQ = PCI + ICQ = = = = 450 2 Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB E D a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh ∆MAB; MAC tam giác vuông cân c) Từ A D vẽ đường thẳng vng góc với BE, đường thẳng cắt BC K H Chứng minh KH = KC 450 · · = 22,50 Giải:a) Ta có: ABE = ACD = ∆ ACD = ∆ ABE ( g − c − g ) Nên ⇒ BE = CD ; AD = AE b) Vì ∆ABC vng cân A nên AM đường trung tuyến AM đường cao Suy : ∆MAB; MAC tam giác vng Có góc 450 tam giác vng cân c) ∆ABK có BE vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên ∆ABK cân B Suy : BE đường trung trực Nên EK = EA ⇒ ∆AEB = ∆KEB(c − c − c) · · ⇒ EKC = 900 ; KCE = 450 nên ∆EKC vuông cân · nên KC = KE CEK = 450 (*) nên EK // AM Suy : ∆EKH vuông cân K µ = 900 ; ( Vì K Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vuông g?c với BC kẻ t? D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đường thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC · · Giải: a) Ta có : ∆DMB = ∆ENC ( g-c-g) ( Vì MBD ·ACB ) = NCE Nên MD = NE µ =E µ = 900 , MD = NE ( cmt) b) Xét ∆DMI ∆ENI : D · · ( Hai góc đối đỉnh) MID = NIE Nên ∆DMI = ∆ENI ( cgv - gn) ⇒ MI = NI c) Từ B C kẻ đường thẳng vng Góc với AB AC cắt J Ta có : ∆ABJ = ∆ACJ( g − c − g ) ⇒ JB = JC Nên J thuộc AL đường trung trực ứng với BC Mặt khác : Từ ∆DMB = ∆ENC ( Câu a) Ta có : BM = CN BJ = CJ ( cm trên) · · MBJ = NCJ = 900 Nên ∆BMJ = ∆CNJ ( c-g-c) ⇒ MJ = NJ hay đường trung trực MN Luôn qua điểm J cố định Bài 6: Cho tam giác vng ABC: µA = 900 , đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC a) Ta có : ∆AMB = ∆DMC (c − g − c) ⇒ AB = DC Suy ∆ABC = ∆CDA(c − c − c) Mặt khác : ∆ACI : ·ACI = 900 ; AC = CI : vuông cân ∆ACJ = ∆ICJ ( CH -CGV) · ¶ hay CJ phân giác ·ACI hay ∆ACJ vuông cân J ⇒ ACJ = ICJ Nên AJ = AC · · Xét ∆EJA ∆ABC : BAC = JAE = 900 ; AJ = AC ( cmt); · · · EAJ = BAC (= BAH ) Nên ∆EJA = ∆ABC ( g-c-g) ⇒) AE = BC ... Vì ∆ABC vuông cân A nên AM đường trung tuyến AM đường cao Suy : ∆MAB; MAC tam giác vng Có góc 450 tam giác vng cân c) ∆ABK có BE vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên ∆ABK cân B Suy : BE đường... BMC = ·ACE + MEC + MEA = ACE + ·AEC = 60 + 60 = 120 Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng... hay đường trung trực MN Luôn qua điểm J cố định Bài 6: Cho tam giác vng ABC: µA = 900 , đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I