Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 9
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** CỘNG HOÀ XĂ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc o0o SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ tên : PHẠM THỊ CHIẾN Ngày tháng năm sinh : 28/01/1968 Năm vào ngành : 01/10/1990 Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên : TrườngTHCS Phùng Xá- Mỹ Đức-Hà Nội Trình độ chun mơn : Đại học Bộ mơn giảng dạy : Toán học Khen thưởng : Lao động tiên tiến cấp sở Phạm Thị Chiến ******************************* Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** MỤC LỤC TT Nội dung Trang Sơ yếu lí lịch Nội dung đề tài 3 Quá trình thực iện đề tài Các dạng phương trình 5 Một sớ phương pháp giải phương trình vơ ti 6 Phương pháp nâng lên lũy thừa 10 Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đới Phương pháp đưa phương trình tích Phương pháp đặt ẩn phu 8 Phương pháp sử dung bất đẳng thức 13 11 Phương pháp tam thức bậc 15 12 Phương pháp đưa dạng tổng đa thức không âm không 15 13 Giải biện luận phương trình vơ ti 16 14 Một sớ sai lầm giải phương trình vơ tỷ 17 15 Bài tập ôn tập 18 16 Kết luận 19 17 Nhận xét đánh giá hội đồng khoa học 21 Phạm Thị Chiến ******************************* Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI Tên đề tài: Một số kinh nghiệm giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỷ lớp THCS Lí chọn đề tài Toán học những mơn khoa học mang tính trừu tượng, mơ hình ứng dung nó rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sớng xã hội, khoa học lí thuyết khoa học ứng dung Tốn học mơn học giữ vai trị quan trọng śt bậc học phổ thông Tuy nhiên, nó môn học khó, khơ khan địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho Chính vậy, đới với giáo viên dạy tốn việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ đó tìm những biện pháp dạy học có hiệu việc truyền thu kiến thức Toán học cho học sinh công việc cần phải làm thường xuyên Dạy học sinh học Tốn khơng chi cung cấp những kiến thức bản, dạy học sinh giải tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải dạng tốn, từ đó giúp em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hồn thiện nhân cách Giải tốn những vấn đề trung tâm phương pháp giảng dạy, lẽ việc giải toán việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt đối với những học sinh bậc THCS việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Trong chương trình Tốn bậc THCS, chuyên đề phương trình những chuyên đề xuyên suốt năm học học sinh, bắt đầu từ những tốn “Tìm x biết ” dành cho học sinh lớp 6, đến việc cu thể hóa vấn đề phương trình ći năm học lớp hoàn thiện nội dung phương trình đại sớ lớp Đây nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt được có kĩ giải phương trình cách thành thạo Trong những vấn đề phương trình, phương trình vơ ti lại trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ngỡ ngàng bối rối giải loại phương trình Thực ra, cũng những vấn đề khó Đặc biệt, với những học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh phải vượt qua Là giáo viên giảng dạy Tốn bậc THCS, thân tơi lại được nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Tốn tham dự kì thi cấp, cũng trăn trở vấn đề Vấn đề đặt làm có thể giúp cho học sinh giải thành thạo loại phương trình vơ ti? Và gặp dạng tốn phương trình vơ ti em cũng có thể tìm cách giải cách tớt nhất? Với tất những lí nêu Tôi định chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vơ ti” khn khổ chương trình bậc THCS Phạm Thị Chiến ******************************* Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** 2.Phạm vi thời gian thực đề tài - Phạm vi đề tài: Hình thành cho học sinh phương pháp,kỹ giải tốn giải phương trình vô ti -Thời gian thực đề tài: 12 tiết (trong đó có tiết kiểm tra) Phương pháp nghiên cứu Thực đề tài này, sử dung phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp phân tích – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp quan sát – Phương pháp kiểm tra – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Phạm Thị Chiến ******************************* Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** PHẦN III: QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I Khảo sát tình hình thực tê Trong trình giải phương trình vơ ti học sinh cịn lúng túng, kể những học sinh tham gia hai đội tuyển những dạng phương trình vơ ti cũng dạng toán II Nội dung chủ yêu đề tài Để giúp học sinh tiếp thu giải tớt loại tốn này, trước hết tơi đưa cách giải chung loại phương trình Sau đó đưa kiến thức cần thiết sử dung để giải phương trình Tơi phân loại dạng tốn cu thể từ dễ đến khó để học sinh nắm phương pháp giải Cu thể sau: 1.Các bước giải phương trình (dạng chung) - Tìm điều kiện xác định phương trình - Dùng phép biến đổi tương đương đưa dạng phương trình đã học - Giải phương trình vừa tìm được - Đới chiếu kết tìm được với điều kiện xác định kết luận nghiệm Chú ý: Với những phương trình có ĐKXĐ x R (trong q trình biến đổi khơng đặt điều kiện) tìm được nghiệm phải thử lại 2Các kiên thức bản thức - Một số âm không có bậc chẵn - Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế phương trình để được phương trình tương đương phải đặt điều kiện A2 A A B A A2 B A A2 B với A > 0; A2 > B > Các dạng phương trình bản a Dạng 1: Sơ đồ cách giải: f ( x ) g ( x) (1) g x 01 f ( x ) g ( x) f x g x 2 Giải (2) tìm điều kiện ẩn Giải (3) đối chiếu với điều kiện ẩn để kết luận nghiệm f ( x ) g ( x ) h ( x ) b Dạng 2: (1) Tìm điều kiện có nghĩa phương trình: f x 0 g x 0 h x 0 Phạm Thị Chiến (2) ******************************* Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** Với điều kiện (2) hai vế phương trình (1) khơng âm nên bình phương vế phương trình (1) rút gọn ta được: [h( x)] f ( x) g ( x) f ( x ).g ( x) (3) Phương trình (3) có dạng nên giải theo phương pháp dạng Đới chiếu nghiệm tìm được (3) với điều kiện kết luận nghiệm c Dạng 3: f ( x ) g ( x ) h( x ) (Cách giải dạng 2) d Dạng 4: f ( x) g ( x) h( x) p( x) Điều kiện có nghĩa phương trình: f x 0 g x 0 h x 0 p x 0 (1) (2) Bình phương hai vế đưa dạng: F ( x) G( x) H x Tuỳ theo từng trường hợp để giải phương trình vơ tỷ (căn bậc n) e Dạng 5: (1) f ( x) g ( x) n f ( x).g ( x) h( x) f x 0 Điều kiện: g x 0 Đặt ẩn phu a = => f ( x) g ( x) (a > 0) f ( x ).g ( x ) a f ( x) g ( x ) Đưa phương trình (1) phương trình đã biết cách giải giải Một số phương pháp giải phương trình vô ti 10) Phương pháp nâng lên lũy thừa g(x) �0 � a) Dạng 1: f (x) g(x) � f (x) [g(x)]2 � Ví du Giải phương trình: x x (1) �x �1 �x �1 �x �1 � �2 �� Giải: (1) � �x � x x �x 3x Vậy: phương trình đã cho có nghiệm x = b) Dạng 2: f (x) g(x) h(x) Ví du Giải phương trình: x x (1) Giải ĐKXĐ: x ≥ Ta có: (1) x3 x2 5 Phạm Thị Chiến ******************************* Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** 2x (x 3)(x 2) 25 (x 3)(x 2) 12 x �x �12 � �x �12 � �� � x (TMĐK) 25x 150 � �x x 144 x 24x �2 Vậy: phương trình đã cho có nghiệm x = c) Dạng 3: f (x) g(x) h(x) Ví du Giải phương trình: x x 12 x (1) Giải: ĐKXĐ: ≤ x ≤ 12 Ta có: (1) x 12 x x x (12 x)(x 7) 19x x 84 x 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 5x2 – 84x + 352 = 352 � � 42 1764 1764 352 � � 84 �x x � �x � x � 5 � � 25 25 � � � 42 � � 44 � �x � � x �x � (x 8) 5x 44 25 � � � � 44 x1 = ; x2 = (TMĐK) 44 Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = d) Dạng 4: f (x) g(x) h(x) k(x) Ví du Giải phương trình: x x x x (4) Giải: ĐKXĐ: x ≥ Ta có: (4) x x x x 2x x(x 9) 2x (x 4)(x 1) x(x 9) (x 1)(x 4) 49 x 9x 14 x(x 9) x 5x 45 + 14x + 14 x(x 9) = Với x ≥ vế trái phương trình ln sớ dương, VP=0 phương trình vơ nghiệm Phạm Thị Chiến ******************************* Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** 20)Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Ví du Giải phương trình: x 4x x (1) Giải: (1) (x 2) x Với điều kiện x ≤ Ta có: (1) |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) – x = – x 0x= -6 (pt vô nghiệm) – Nếu ≤ x ≤ 8: (1) x – = – x x = (TMĐK ≤ x ≤ 8) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví du Giải phương trình x x x 10 x x x (1) Giải: ĐKXĐ: x ≥ -1 (1) x x x 2.3 x x x x 1 | x | 2.| x 1| Đặt y = x (y ≥ 0) phương trình đã cho trở thành: y 1 | y | | y 1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y y = –1(không TMĐK 0≤ y 3: y + + y – = 2y – 0y= (pt vô nghiệm) Với y = x 3 x + = x = (TMĐKXĐ) Vậy: phương trình đã cho có nghiệm x = 30) Phương pháp đưa phương trình tích Ví du Giải phương trình: 2x x x Giải: ĐKXĐ: x ≥ Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế phương trình: x x x 3 x x x 3 x 3 x x x 3 0 x x 0 x3 � � � 2x x +) x+3=0 => x=-3 ( không TMĐK x ≥ 2) +) x x 1 Do x ≥ nên VT VP=1 => PT vô nghiệm Vậy PT đã cho vô nghiệm Ví du Giải phương trình: x 2(x 1) x x x (1) Giải ĐKXĐ: | x | ≤ 1: Phạm Thị Chiến ******************************* Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** (1) x ( x 1) x x x x x 1 x x x x x 0 =0 x x x 1 x 1 x x 0 x x 0 24 x1 = 0; x2 = 25 Ví du Giải phương trình: x x x x x (1) Giải ĐKXĐ x 1 Chú ý: x4 – = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1) (1) x 1 x x x x 1 x x x 1 0 x x x x 1 x _ 0 x 1 x3 x x x 0 1 x x x 0 +) x 0 x 1 x 2 (TMĐK) +) x x x 0 x x x 1 0 x 0 ( khơng TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm x = 40) Phương pháp đặt ẩn phu a) Sử dụng ẩn phụ Ví du 10 Giải phương trình: x x (1) Giải: ĐKXĐ : x ≥ -1 Đặt x = y (y ≥ 0) y2 = x + x = y2 – x2 = (y2 – 1)2 (1) (y2 – 1)2 + y – = y(y 1)(y2 + y 1) = x y 0 y 0 y 0 y 1 x 0 ( TMĐK) y y 0 y 1 x 1 � 1 � � � Tập nghiệm phương trình là: �0; 1; � � � Ví du 11 Giải phương trình: x x x (1) ĐKXĐ: x ≥ Phạm Thị Chiến ******************************* Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** Đặt x = y (1) x 1 ( x x 1) 0 x 1 1 x 1 1 y3 + y2 – = (y – 1)(y2 + 2y + 2) = y2+2y+2=(y+1)2+1>0 với y => y = x 1 x 0 x = (thoả mãn ĐKXĐ) b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví du 12 Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x (1) Giải: ĐKXĐ: x ≥ 1 Đặt u = x , v = x x (Với u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + (1) 2(u2 + v2) = 5uv (2u v)(u 2v) = 2u = v hoặc u= 2v +) u=2v x 2 x x x+1=4 x -4x+4 4x2-5x+3=0 pt có = -24 ptvn +)2u=v x 1 x x 1 4x x x 1 x x 0 37 37 ; x2= ( TMĐKXĐ) 2 �5 37 37 � ; Vậy pt có tập nghiệm S= � � � � Giải pt ta được x1= Ví du 13 Giải phương trình: x x x 7x 10 (1) Giải ĐKXĐ: x ≥ –2 (1) x x (x 5)(x 2) Đặt: x = a, x = b (a, b ≥ 0) a2 – b2 = (1) (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 (a – b)(1 – a + ab – b) = (a – b)(1 – a)(1 – b) = a = b = x 1 x ( không TMĐK) Hoặc x 1 x ( TMĐK) Vậy x = –1 nghiệm Ví du 14 Giải phương trình: x 3x 2x (1) Phạm Thị Chiến ******************************* 10 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** Giải ĐKXĐ: x ≥ Đặt x = a, 3x = b (a,b ≥ 0): (1) b – a = a2 – b2 (a – b)(a + b + 1) = Mà a + b + > a = b x 3x x (TMĐK) nghiệm phương trình Ví du 15 Giải phương trình: x x 2x (1) x x x 10 Giải ĐKXĐ: x 0 hoặc x Đặt x = u, 2x = v (u, v ≥ 0) x x � 5�� 1� � � 2x � �x � 2x (1) x � � � x � x�� x� x � � Vậy x = u – (v2 – u2) – v = (u – v)(1 + u + v) = Vì + u + b > nên: u = v x 5 x x 2 x x x 4 x 2 x x x x x x=2 ( TMĐK) X=-2 ( không TMĐK) Vậy pt có nghiệm x = c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví du 16 Giải phương trình: x 3x x x x 2x (1) Giải: ĐKXĐ: x ≥ - (1) (x 1)(x 2) x x (x x)(x 3) Đặt: x = a, x = b, x = c (a, b, c ≥ 0): (1) ab + c = b + ac (a – 1)(b – c) = a = hoặc b = c Thay ngược trở lại ta được x = nghiệm phương trình d) Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình Ví du 17 Giải phương trình x 2x ĐKXĐ:x ≥ Giải : Cách 1: Giải tương tự Ta được x = Cách 2: Đặt x u �0 2x v v ≥ Phạm Thị Chiến ******************************* 11 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** �u v Ta có hệ: � �v 2u u2 � x = u 12 � � Ví du 18 Giải phương trình: x x Giải: ĐKXĐ: ≤ x ≤ 25 Đặt x = u , x v (u, v ≥ 0): uv5 � u 2 u 3 hoặc u v 13 v 3 v 2 � x 2 x ( ptvn) x 3 x 3 x 1 x 1 (TMĐK) x 2 �2 Vậy pt có x = nghiệm Ví du 19 Giải phương trình: 25 x x Giải ĐKXĐ: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt 25 x = u, x = v (u, v ≥ 0) uv2 uv 2 � � � �2 � uv 8 u v 16 � � u 5 � � v 3 � 25 x 5 x 0 ( TMĐK) x 3 Vậy pt có x = nghiệm Ví du 20 Giải phương trình: x x Giải ĐKXĐ: – ≤ x ≤ Đặt x u ; x v (u, v ≥ 0) �u v u 1 u 2 hoặc v 2 v 1 �u v x 1 x 0 (TMĐK) x 2 �2 x 2 x (TMĐK) x 1 Hoặc Vậy pt có tập nghiệm S= 1; 3 Ví du 21 Giải phương trình: x x x Giải ĐKXĐ : –2 ≤ x ≤ 2: Đặt x u, x v (u, v ≥ 0) � (u v) 2uv (u v) uv � � Giải ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)} Phạm Thị Chiến ******************************* 12 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** Từ đó ngược trở lại: x = ±2( TMĐK) Ví du 22 Giải phương trình: 97 x x (1) Giải Đặt 97 x = u, x = v (u, v ≥ 0) uv5 � u2 u 3 x 81 � � � �� �� �� v2 x 16 u v 97 �v � � � Ví du 23 Giải phương trình: x 2x 12(x 1) (1) � 4 Giải Đặt x u, 2x v (1) u v 4(u v3 ) � u v3 3uv(u v) 4(u v ) Ví du 24 Giải phương trình : x x x x x x x Giải ĐKXĐ: x ≤ Đặt : u x ; v x ; t x (u ; v ; t ≥ 0) 2 x = − u = − v = − t = uv + vt + tu uv vt tu 2 u uv vt tu 3 v uv vt tu 5 t (u v)(u t) (1) � � Từ đó ta có hệ: �(v u)(v t) (2) � (t u)(t v) (3) � Nhân từng vế (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ nên: (u v)(v t)(t u) 30 (4) Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: � �v t � � � ut � � � uv � � 30 (5) 30 (6) 30 (7) Cộng từng vế (5) ; (6) ; (7) ta có: 2(u v t) 31 30 31 30 � u v t (8) 30 60 Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có: � 30 u � 60 � � 11 30 � 30 � 239 � �x 2� �v �60 � � 60 � � 120 � � 19 30 �t 60 � Phạm Thị Chiến ******************************* 13 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** 50) Phương pháp sử dung bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, đó phương trình vơ nghiệm Ví du 25 Giải phương trình x 5x 3x Cách điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái: x 5x vế trái âm Vế phải: 3x ≥ vế phải ln dương Vậy: phương trình đã cho vơ nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x 5x 3x x 8x (5x 1)(3x 2) 7x (5x 1)(3x 2) Vế trái số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ phương trình vơ nghiệm b) Sử dụng tính đới nghịch ở hai vế Ví du 26 Giải phương trình: 3x 6x 5x 10x 14 2x x (1) � � � � Giải: Ta có (1) �x 2x � �x 2x � (x 2x 1) 5 � � � � 3(x 1)2 5(x 1)2 (x 1) Ta có: Vế trái ≥ Dấu “=” xảy x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy x = –1 Vậy: phương trình đã cho có nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm sớ (tìm nghiệm, chứng minh nghiệm đó là nhất) Ví du 27 Giải phương trình: Giải: ĐKXĐ: x ≥ x7 2x 2x x 1 Dễ thấy x = nghiệm phương trình �x : VT = x7 6 8 1 1 8 x 1 x 1 1 Mà: VP = x x 2.2 2.2 8 – Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x > 2.22 + = – Nếu VT= x7 6 8 1 8 1 8 x 1 x 1 1 Vậy: phương trình đã cho có nghiệm x = d) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví du 28: Giải phương trình Phạm Thị Chiến x 4x 2 x 4x ******************************* 14 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** Giải: ĐKXĐ: x Áp dung bất đẳng thức a b �2 với ab > b a x 4x �2 Dấu “=” xảy x 4x � x 4x x 4x Với điều kiện x � x 4x Nên: x 4x � (x 2) � x � � x � (TMĐK x ) e) áp dụng bất đẳng thức để đánh giá vế của phương trình kết hợp với phương trình cho kết luận nghiệm Ví du 29: Giải phương trình x x x x 1 x x (1) x2 + x - > (*) x - x2 + > áp dung bất đẳng thức Cauchy cho số hạng vế trái (1) ĐKXĐ: Ta có: x x x x 1 x x 1 => x x 1 1 x x x x 1 x 1 Kết hợp với phương trình (1) ta được: x2 - x + < x+1 (x-1)2 < Đẳng thức xảy x=1 (thoả mãn điều kiện (*)) Thử: Thay x=1 vào phương trình (1) ta thấy x=1 nghiệm phương trình (1) 60) Phương pháp tam thức bậc hai: Đưa phương trình đã cho dạng tắc ax2 + bx +c = ) (a 0) Ví du 30: Giải phương trình x2 - 7x + 2(x+2) x 24 (1) ĐKXĐ: x -3 Khi đó (1) x2 + x - 8x - 24 + 2(x+2) x 0 - 8(x +3) + 2(x +2) x + x + x = (2) Đặt y = x (y > 0) , (2) - 8y2 + 2(x + 2)y + x2 + x = ' = (x + 2)2 + 8(x2 + x) = (3x + 2)2 Phạm Thị Chiến ******************************* 15 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** x 3x x x 3x x , y2 = 8 8 x x Với y1 = ta có x x + x 0 4 x +3 + x 0 y1 = ' = + = => < (loại) x x > x +3 = + - Với y2 = x 1 x 1 ta có x 2 x + - x 0 x = - < -3 (loại) x + - x 0 ' = + = (loại) x 1 (TMĐK) x + = + + x = + (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy x = + nghiệm phương trình (1) 70) Phương pháp đưa dạng tổng đa thức khơng âm khơng Ví du 31: Giải phương trình x 1 0 x + y + z + = x 4 y 6 z ĐKXĐ: x > ; y > ; z > (1) (*) (1) (x - - x 1) ( y y 4) ( z z 9) 0 ( x 1) ( y 2) ( z 3) 0 x 0 x 0 z 0 x-2=1 y-3=4 z -5 = x=3 y=7 z = 14 Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm phương trình (1) là: Ví du 32 Giải biện luận phương trình: x x m x = 3; y = 7; z = 14 80) Giải và biện luận phương trình vơ ti �x �m x �m � �� Giải Ta có: x x m � 2 2mx (m 4) �x x 4xm m � – Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm – Nếu m ≠ 0: x Phạm Thị Chiến m2 m2 Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ≥m 2m 2m ******************************* 16 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 m2 ≤ m �2 + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 m2 ≥ m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc < m ≤ 2: phương trình có nghiệm x m2 2m – Nếu –2 < m ≤ hoặc m > 2: phương trình vơ nghiệm Ví du 33 Giải biện luận phương trình với m tham số: x x m Giải �x �m �x �m � � 2 2mx (m 3) �x x m 2mx � Ta có: x x m � � – Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm m2 m2 �m Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 m2 ≤ �m � – Nếu m ≠ 0: x + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 m2 ≥ m ≤ Tóm lại: – Nếu �m � hoặc m � Phương trình có nghiệm: x m2 2m – Nếu m �0 hoặc m : phương trình vơ nghiệm Ví du 34: Giải biện luận theo tham sớ m phương trình: x x m m Giải Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vơ nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x 1) có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với ( x m)( x m 1) �x m �� �x 1 m + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1 m) + Nếu m > 1: phương trình có nghiệm: x = m Một số sai lầm giải phương trình vô tỷ Thường học sinh hay mắc sai lầm giải phương trình vơ tỷ mà có bậc chẵn, đó là: - Khơng tìm tập xác định giải: - Không đặt điều kiện biến đổi tương đương các phương trình Ví du: Giải phương trình: 3x x x (1) Phạm Thị Chiến ******************************* 17 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** Giải sai: Chuyển vế: 3x x x x - = 5x - + 2x - + (5 x 1)(2 x 3) 10 x 17 x x 10 x 17 x 1 x (2) 10x2 - 17x + = + 4x2-4x (3) 6x2 – 13x + = x 2 (x - 2)(6x - 1) = x 1 Vậy nghiệm phương trình (1) x = 2; x = Phân tích sai lầm: học sinh không ý đến điều kiện có nghĩa thức Trong ví du trên: Điều kiện x > 3 Do < nên x = không 6 nghiệm phương trình (1) Để khắc phuc sai lầm ta tìm ĐKXĐ phương trình hoặc giải thử giá trị tìm được ẩn vào phương trình đã cho để kết luận nghiệm - Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương các phương trình ví du trên: phương trình (2) (3) không tương đương mà x 0 Phương trình (2) 10 x 17 x 1 x 2 Như phương trình (3) tương đương với phương trình (2) x< =>x = cũng khơng nghiệm phương trình (1) Giải đúng: ĐKXĐ: x > (*) Ta có: (1) 10 x 17 x 1 x 1 x 0 x 2 10 x 17 x 13 1 x x x 13x 0 x x x 2, x 1 Đối chiếu với điều kiện (*) => phương trình (1) vơ nghiệm Bài tập ơn tập Giải phương trình: a) 25 x 3 x 4 b) x x 3 Phạm Thị Chiến ******************************* 18 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** c) x2 - 4x - = x d) x x x x = e) x = ( x 2).1 x g) h) 97 x x 15 4 (5 ) x (5 ) x 10 i) x x x x 11 k) x + x 9 y y l) x x 2 n) x x 1 P) 36 x y 28 - x y q) 3x 7x x 3x 5x x 3x r) 3x(2 9x 3) (4x 2)(1 x x ) KẾT LUẬN Qua nhiều năm dạy học sinh lớp loại toán này, em gặp loại tập chương trình THCS em vận dung giải tương đối tốt Kết đối chứng sau sẽ chứng tỏ điều đó Trước đề tài thực Lớp Sĩ số 9A 32 Sau thực đề tài Lớp 9A Sĩ số 32 Giỏi Giỏi Khá Khá 13 Trung bình 13 Trung bình 11 Yếu Yếu Ngồi toán gặp kỳ thi chọn học sinh giỏi trường , học sinh giỏi cấp Huyện giải toán đạt kết cao Bài học kinh nghiệm : Với toán cần hướng dẫn cho em nắm phương pháp giải toán , vận dung giải thành thạo dạng loại toán đó sau đó đưa tập nâng cao yêu cầu học sinh phải độc lập suy nghĩ suy nghĩ sáng tạo giải được Cần thường xun ơn lại loại tốn đó Cần hướng dẫn học sinh tìm tịi nhiều cách giải biết chọn cách giải hay để trình bày vào làm Phạm Thị Chiến ******************************* 19 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** Tạo cho học sinh niềm tin khát vọng cớ gắng nỗ lực kết ngày cao Chi giúp đỡ học sinh việc tìm tịi lời giải khơng có giúp đỡ giáo viên em khơng vượt qua được phương pháp gợi mở Tránh giải toán cho học sinh Rèn cho học sinh nếp suy nghĩ khoa học , không thoả mãn với kết đã đạt được Kỹ trình bày lời giải tốn phải chặt chẽ có sở khoa học phạm trù kiến thức cho phép bậc học Trên sớ phương pháp giải phương trình vơ ti khn khổ chương trình cấp THCS, mà cu thể những phương pháp giải phương trình vơ ti lớp Ngồi những phương pháp mà tơi chắt lọc nêu trên, chắn nhiều phương pháp giải khác mà thân tơi, lực cịn hạn chế nên đề tài tơi khơng thể khơng cịn những sơ suất Chính vậy, tơi mong có đóng góp, bổ xung đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Phùng xá ngày 2/5/2013 Xác nhận thủ trưởng quan Tôi xin cam đoan SKKN tự viết không chép Người viết Phạm Thị Chiến Phạm Thị Chiến ******************************* 20 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC I Hội đồng khoa học trường: - Nhận xét: ………………………………………………………… …………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… - Xếp loại: II ………………………………………… ………………………………………… Hội đồng khoa học Phòng Giáo duc: - Nhận xét: …………………………………………………………… …………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… - Xếp loại: III ………………………………………… ………………………………………… Hội đồng khoa học Ngành: - Nhận xét: ………………………………………………………… …………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………… - Xếp loại: Phạm Thị Chiến ………………………………………… ………………………………………… ******************************* 21 Trường THCS Phùng Xá MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI ****************************** Phạm Thị Chiến ******************************* 22 Trường THCS Phùng Xá ... x x x x 2x x(x 9) 2x (x 4)(x 1) x(x 9) (x 1)(x 4) 49 x 9x 14 x(x 9) x 5x 45 + 14x + 14 x(x 9) = Với x ≥ vế trái phương trình ln... ±2( TMĐK) Ví du 22 Giải phương trình: 97 x x (1) Giải Đặt 97 x = u, x = v (u, v ≥ 0) uv5 � u2 u 3 x 81 � � � �� �� �� v2 x 16 u v 97 �v � � � Ví du 23 Giải phương trình:... Sĩ số 9A 32 Sau thực đề tài Lớp 9A Sĩ số 32 Giỏi Giỏi Khá Khá 13 Trung bình 13 Trung bình 11 Yếu Yếu Ngồi tốn gặp kỳ thi chọn học sinh giỏi trường , học sinh giỏi cấp Huyện giải toán đạt