Đang tải... (xem toàn văn)
Đường thẳng y = yo là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn. - Cách tìm tiệm cận đứng:[r]
(1)Toán 12 Giải tập trang 45, 46, 47 SGK Giải tích lớp 12: Ơn tập chương - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Bài (trang 45 SGK Giải tích 12): Phát biểu điều kiện đồng biến và nghịch biến hàm số Tìm khoảng đơn điệu hàm số. y = -x3 + 2x2 - x - 7;
Lời giải:
- Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định K, hàm số f(x):
+ Đồng biến (tăng) K x1, x2∀ K: x1∈ < x2 => f(x1) < f(x2)
+ Nghịch biến (giảm) K x1, x2∀ K: x1∈ < x2 => f(x1) > f(x2)
- Xét hàm số y = -x3 + 2x2 - x - 7, ta có:
D = R
y' = -3x2 + 4x -
y' = => x = ; x = 1/3
y' > với x (1/3; 1) y' < với x (-∞; 1/3) (1; +∞)∈ ∈ ∪
Vậy hàm số đồng biến (1/3; 1) nghịch biến (-∞; 1/3) (1; ∪ +∞)
Lưu ý: Bạn nên kẻ bảng biến thiên để thấy đơn điệu rõ ràng
(2)Ta có: D = R \ {1}
=> Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 1) (1; +-∞)
Bài (trang 45 SGK Giải tích 12): Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm Tìm cực trị hàm số:
y = x4 - 2x2 +
Lời giải:
- Cách tìm cực đại, cực tiểu hàm số nhờ đạo hàm:
Quy tắc 1:
1 Tìm tập xác định
2 Tính f'(x) Tìm điểm f'(x) f'(x) khơng xác định
3 Lập bảng biến thiên
4 Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị
Quy tắc 2:
1 Tìm tập xác định
2 Tính f'(x) Giải phương trình f'(x) = kí hiệu xi (i = 1, 2, 3, ) nghiệm
3 Tính f"(x) f"(xi)
4 Nếu f"(xi) > xi điểm cực tiểu
Nếu f"(xi) < xi điểm cực đại
- Xét hàm số y = x4 - 2x2 + 2, ta có:
y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)
(3)y" = 12x2 -
Dựa vào Quy tắc 2, ta có:
y"(0) = -4 < => x = điểm cực đại
y"(-1) = y"(1) = > => x = ±1 hai điểm cực tiểu
Bài (trang 45 SGK Giải tích 12): Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận dứng đồ thị hàm số Áp dụng để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số:
Lời giải:
- Cách tìm tiệm cận ngang:
Đường thẳng y = yo tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn
- Cách tìm tiệm cận đứng:
Đường thẳng x = xo tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn
(4)=> Đồ thị có tiệm cận đứng x =
=> Đồ thị có tiệm cận ngang y = -2
Bài (trang 45 SGK Giải tích 12): Nhắc lại sơ đồ khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải:
Hàm số y = f(x)
Các bước khảo sát hàm số:
(5)2 Sự biến thiên
- Xét chiều biến thiên:
+ Tính đạo hàm y'
+ Tìm điểm y' khơng xác định
+ Xét dấu đạo hàm y' suy chiều biến thiên hàm số
- Tìm cực trị
- Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên
3 Vẽ đồ thị hàm số
Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ đồ thị
Bài (trang 45 SGK Giải tích 12): Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m - 1 có đồ thị (Cm), m tham số.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = -1
b) Xác định m để hàm số:
i) Đồng biến khoảng (-1; +∞)
ii) Có cực trị khoảng (-1; +∞)
c) Chứng minh (Cm) ln cắt trục hồnh hai điểm phân biệt với m
Lời giải:
a) Với m = -1 ta hàm số: y = 2x2 + 2x
- TXĐ: D = R, hàm số khơng có tiệm cận
- Sự biến thiên:
(6)y' = => x = -1/2
+ Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến (-∞; -1/2), đồng biến (-1/2; +∞)
+ Cực trị: Hàm số có điểm cực tiểu (-1/2; 3/2)
- Đồ thị:
Ta có: 2x2 + 2x = 2x(x + 1) = 0⇔
=> x = 0; x = -1
+ Giao với Ox: (0; 0); (-1; 0)
(7)b) Xét hàm số y = 2x2 + 2mx + m -
y' = 4x + 2m = 2(2x + m)
y' = => x = -m/2
Ta có bảng xét dấu y':
=> hàm số có cực trị x = -m/2
- Hàm số đồng biến khoảng (-1; +∞)
(8)c) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (Cm) trục Ox là:
2x2 + 2mx + m - = (1)
Δ' = m2 - 2(m - 1) = m2 - 2m +
= (m + 1)2 + > m R∀ ∈
=> Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt, nghĩa đồ thị cắt trục hoành hai điểm phân biệt với m (đpcm)
Bài (trang 45 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số:
f(x) = -x3 + 3x2 + 9x +
b) Giải phương trình f'(x - 1) >
c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0, biết f'(x0) = -6
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số f(x) = -x3 + 3x2 + 9x +
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: f'(x) = -3x2 + 6x +
f'(x) = -3x2⇔ + 6x + = x = -1; x = 3⇔
+ Giới hạn:
(9)Hàm số đồng biến (-1; 3) nghịch biến (-∞; -1) (3; +∞)
+ Cực trị:
Hàm số đạt cực đại (3; 29);
Hàm số đạt cực tiểu (-1; -3);
- Đồ thị:
b) Ta có: f'(x - 1) >
⇔ -3(x - 1)2 + 6(x - 1) + >
(10)⇔ -3x2 + 6x - + 6x - + >
⇔ -3x2 + 12x > -x2⇔ + 4x >
⇔ x(4 - x) > 0 < x < 4⇔
c) Ta có: f"(x) = -6x +
Theo bài: f"(xo) = -6 => -6xo + = -6 => xo =
Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) điểm xo = là:
y = f'(2)(x - 2) + f(2)
y = (-3.22 + 6.2 + 9)(x - 2) + (-23 + 3.22 + 9.2 + 2)
y = 9(x - 2) + 24 = 9x +
Bài (trang 45-46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:
y = x3 + 3x2 +
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m:
x3 + 3x2 + = m/2
c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C)
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 +
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 3x2 + 6x = 3x(x + 2)
y' = x = ; x = -2⇔
(11)+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến khoảng (-∞; -2) (0; +∞)
Hàm số nghịch biến khoảng (-2; 0)
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (0; 1)
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (-2; 5)
- Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; 1)
(12)b) Số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + = m/2 số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y = m/2
(13)Cách làm: Dịch chuyển song song đường thẳng (d) với trục Ox từ xuống (hoặc từ lên trên) dựa vào số giao điểm (d) (C) để biện luận
Ngoài ra, làm bài, bạn khơng cần vẽ lại hình, cần vẽ (d) lên đồ thị vừa vẽ
Biện luận: Từ đồ thị ta có:
+ m/2 < m < 2: phương trình có nghiệm.⇔
+ m/2 = m = 2: Phương trình có nghiệm.⇔
+ < m/2 < < m < 10: phương trình có nghiệm.⇔
+ m/2 > m > 10: phương trình có nghiệm số.⇔
Vậy:
+ Nếu m < m > 10 phương trình có nghiệm
+ Nếu < m < 10 phương trình có nghiệm
+ Nếu m = m= 10 phương trình có nghiệm
c) Điểm cực đại A(-2; 5) điểm cực tiểu B(0; 1)
Phương trình đường thẳng AB là:
2.(x - 0) + 1.(y - 1) = (lấy tọa độ B)
=> y = -2x +
Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu là: y = -2x +
Bài (trang 46 SGK Giải tích 12): Cho hàm số:
f(x) = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + (m tham số)
(14)b) Với giá trị tham số m hàm số có cực đại cực tiểu?
c) Xác định m để f"(x) > 6x
Lời giải:
a) TXĐ: D = R
f'(x) = 3x2 - 6mx + 3(2m - 1)
f'(x) = 3x2⇔ - 6mx + 3(2m - 1) = (1)
Δ' = (-3m)2 - 3.3(2m - 1) = 9(m2 - 2m + 1)
= 9(m - 1)2
Để hàm số đồng biến D f'(x) ≥
⇔ Δ' ≤ 9(m - 1)2⇔ ≤ => m =
b) Hàm số có cực đại cực tiểu phương trình (1) có nghiệm phân biệt
⇔ Δ' > 9(m - 1)2⇔ > => m ≠
c) Ta có: f"(x) = 6x - 6m
f"(x) > 6x 6x - 6m > 6x⇔
⇔ - 6m > ⇔ m <
Bài (trang 46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số:
(15)c) Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: x4 - 6x2 + = m
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: f'(x) = 2x3 - 6x = 2x(x2 - 3)
f'(x) = 2x(x2⇔ - 3) = x = 0; x = ±√3⇔
+ Giới hạn vô cực:
+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến (-√3; 0) (√3; +∞)
Hàm số nghịch biến (-∞; -√3) (0; √3)
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số đạt cực đại (0; 3/2)
(16)- Đồ thị:
b) Ta có: f"(x) = 6x2 - = 6(x2 - 1)
f"(x) = 6(x2⇔ - 1) x = ±1 => y = -1⇔
Phương trình tiếp tuyến (C) (-1; -1) là:
y = f'(-1)(x + 1) - => y = 4x +
Phương trình tiếp tuyến (C) (1; -1) là:
y = f'(1)(x - 1) - => y = -4x +
c) Ta có: x4 - 6x2 + = m
Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y = m/2
(17)+ m/2 < - m < -6: phương trình vơ nghiệm.⇔
+ m/2 = -3 m = -6 : phương trình có ngiệm.⇔
+ -3 < m/2 < 3/2 -6 < m < 3: phương trình có nghiệm.⇔
+ m/2 = 3/2 m = 3: phương trình có nghiệm.⇔
+ m/2 > 3/2 m > 3: phương trình có nghiệm.⇔
Vậy:
+) m < - phương trình vơ nghiệm
+) m = - m > PT có nghiệm
+) m = PT có nghiệm
+) – < m < PT có nghiệm
Bài 10 (trang 46 SGK Giải tích 12): Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 2m + (m tham số)
có đồ thị (Cm)
a) Biện luận theo m số cực trị hàm số
d) Với giá trị m (Cm) cắt trục hồnh?
c) Xác định để (Cm) có cực đại, cực tiểu
Lời giải:
a) y' = -4x3 + 4mx = 4x(m - x2)
y' = (1) 4x(m - x2) = => x = 0; x2⇔ = m
- Nếu m ≤ phương trình (1) có nghiệm => hàm số khơng có cực trị
- Nếu m > phương trình (2) có nghiệm => hàm số có cực trị
b) Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) với trục hoành:
(18)Đặt x2 = t (t ≥ 0) phương trình (2) tương đương với:
-t2 + 2mt - 2m + = (3)
(Cm) cắt trục hồnh phương trình (2) có nghiệm Điều tương đương với phương trình (3) có nghiệm khơng âm Có hai trường hợp:
- TH1: Phương trình (3) có nghiệm trái dấu:
- TH2: Phương trình (3) có nghiệm khơng âm:
Kết hợp TH1 TH2 ta có với m đồ thị (Cm) ln cắt trục hồnh
c) (Cm) có cực đại, cực tiểu phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
⇔ x2 = m có nghiệm phân biệt
⇔ m >
(19)b) Chứng minh với giá trị đường thẳng y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt M N
c) Xác định m cho độ dài MN nhỏ
d) Tiếp tuyến điểm S C cắt hai tiệm cận C P Q Chứng minh S trung điểm PQ
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số:
- TXĐ: D = R \ (-1)
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
Hàm số nghịch biến D
+ Cực trị: Hàm số khơng có cực trị
+ Tiệm cận:
=> Đồ thị có tiệm cận đứng x = -1
=> Đồ thị có tiệm cận ngang y =
(20)- Đồ thị:
+ Giao với Ox: (-3; 0)
+ Giao với Oy: (0; 3)
(21)Dễ thấy x = -1 không nghiệm phương trình (1)
Ta có: Δ = (m + 1)2 - 8(m - 3) = m2 - 6m + 25
Δ = (m - 3)2 + 16 > m∀
=> Phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt khác -1
Vậy đường thẳng y = 2x + m cắt (C) điểm phân biệt M N
c) Giả sử M(x1; y1), N(x2; y2) với x1, x2 nghiệm phương trình (1) y1 = 2x1 + m, y2 = 2x2+ m
MN nhỏ MN2⇔ nhỏ 20
Dấu "=" xảy m - = m = 3⇔ ⇔
Khi độ dài MN nhỏ = √20 = 2√5
d) Gọi S(xo; yo) (C).∈
(22)- Giao điểm (d) với tiệm cận đứng x = -1 là:
- Giao điểm (d) với tiệm cận ngang y = là: Q(2xo + 1; 1)
- Trung điểm PQ I(x1; y1) có tọa độ là:
Suy S(xo; yo) trung điểm PQ (đpcm)
Bài 12 (trang 47 SGK Giải tích 12): Cho hàm số
a) Giải phương trình f'(sin x) =
b) Giải phương trình f"(cos x) =
c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f"(x) =
Lời giải:
a) Ta có: f'(x) = x2 - x -
=> f'(sinx) = sin2x - sinx - = 0⇔
Vì sin2x ≤ 1; -sinx ≥ x R∀ ∈
(23)=> sin2x - sinx - ≤ -2 x R∀ ∈
Do phương trình f'(sinx) = vơ nghiệm
b) Ta có: f"(x) = 2x -
=> f"(cosx) = 2cosx - = 0⇔
c) f"(x) =
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số x = 1/2 là: