Trong mp (SBD) kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD tại E và F.. b) Một đa giác đều có 24 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018
(Đề thi có 01 trang)
Mơn thi: TOÁN - Lớp: 11
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu (3,0 điểm)
a Tính tổng nghiệm phương trình: sinx 5 6cos2x đoạn ;
.
b Giải phương trình: 3cosx 4 cos x3 3sin x3 Câu (4,0 điểm)
a Xét tính tăng giảm bị chặn dãy un biết:
1 1
(n N*)
1 2
n u
n n n
.
b Cho dãy un biết u 1 n
n n
u u với n N *
Tìm số hạng tổng quát dãy un Tính
lim n n u u . Câu (4,0 điểm)
a Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số ( khơng thiết đơi khác ) thành lập từ chữ số 2,0,1,8 Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập X Tính xác suất để phần tử chọn số chia hết cho
b Trên đường thẳng song song và d , ta gắn vào m điểm n điểm
sao cho m n 17 (m n N, *) Tìm m , n để số tam giác có đỉnh điểm 17 điểm phân biệt lớn
Câu (2,0 điểm) Cho hàm số
2
6
2
| |
5
x x
khi x
f x x
khi x
Xét tính liên tục hàm số f x điểm x 2 Câu (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x2 y2 2x4y 0 điểm
1 ( 3, )
A Gọi I tâm đường tròn C M là điểm thay đổi C cho ba điểm A M I, , không thẳng hàng Tia phân giác góc AIM cắt đường thẳng AM N Gọi K tập hợp điểm N M thay đổi C Viết phương trình đường K Câu (4,0 điểm)
(2)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BD a Cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng ABCD SA a
a Tính cosin góc đường thẳng SB AD
b Gọi ( ) mặt phẳng qua A song song với BD cắt cạnh SC M cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( ) hình chóp S ABCD
––––––––––– Hết ––––––––––––
(3)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN Lớp : 11
Đáp án gồm 05 trang
()
Câu Nội dung Điểm
1
a Tính tổng nghiệm phương trình: sinx 5 cos2x đoạn ;
. 1,5 2
sinx 5 6cos x 6sin xsinx1 0
1
sinx ; sinx
2 sinx
( x[ , ]
) x =6
sinx
( x[ , ]
) x =
1 arcsin
3 , x =
1 arcsin 0.25 0.25 0.25 0.25
Tổng nghiệm phương trình [ , ]
6
+
1 arcsin
3+
1 arcsin
3 =
6
0.5
b/ Giải phương trình: 3cosx 1 = 4cos3x 3 sin3x. 1,5
3cosx 1 = 4cos3x 3 sin3x 1 = 4cos3x 3cosx 3 sin3x 1 = cos3x sin3x sin3x cos3x =1
sin ( 3x 6
) =
1
2 sin ( 3x 6
) = sin
3x 6
=
+ k2 3x
=
5
+ k2 ( k )
0.25 0.25 0.25 0.25 +0,5 2
a Xét tính tăng giảm bị chặn dãy (un) biết
1 1
1 2
n u
n n n
. 1.5
Ta có: < un =
1 1
1
n
n n n nn , n N*
(un) bị chặn
1
1 1 1 1 1
( )
2 2 2
1 1 1
0
2 2( 1) 2( 1)
n n
u u
n n n n n n n n n
n n n n n
(un) dãy tăng
0,25 + 0,25
0.25
(4)0.25
b Cho dãy (un) biết u1 =
n
n n
u u với n N*.
Tìm số hạng tổng quát dãy (un) Tính
lim n n u
u 2,5
+ Tìm số hạng tổng quát dãy (un)
Ta có:
n
n n
u u (1)
Tìm số α : 3.( )
n n
n n
u u
(2)
1
(1),(2) (3.4n ) 4n n
(2) viết lại: 3.( )
n n
n n
u u
Xét dãy (vn) với v1=2, vn+1= 3vn ( n 1) - =un4n. Khi = 2 3n1 un4n = 2 3n1 un = 4n 2 3n1
0.5 0.25
0.25 0.5 0.5
+ Tính
lim n n u u
1
1
1
4 2.3
lim lim lim
4 2.3 4
n n n
n
n n n
n u u
0.5
3 a Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số ( không thiết đôi một khác ) thành lập từ chữ số 2,0,1,8. Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập X Tính xác suất để phần tử chọn số chia hết cho 3
2,0
Gọi số chọn a a a a 1 ( 0)
Tính số phần tử khơng gian mẫu: n 3.4.4 48
0.5
Gọi A biến cố: ‘‘ số chọn số chia hết cho ’’
1
a a a chia hết cho khi: a1a2a3 chia hết cho 3.
Liệt kê số gồm: 111,222,888, hoán vị số (2;2;8); (8;8;2); (1;2;0) ;
(1;8;0) (Lưu y, chữ số a 1 0)
Do số kết thuận lợi để có A n A 17
Vậy xác suất cần tìm:
(A) 17 ( ) 48
n P A
n
0.5
0.5
0.5
b Trên 2đường thẳng song song d, ta gắn vào m điểm và
n điểm cho m n 17 (m n N, *) Tìm m , n để số tam giác có 3 đỉnh là
3 điểm 17 điểm phân biệt cho lớn nhất.
2.0
Mỗi tam giác cần xác lập có đỉnh nằm đường thẳng đỉnh nằm đường thẳng lại
Trường hợp 1: Một hai số m n chẳng hạn m =1, n =16
(5)Trường hợp 2: m, n lớn Số tam giác có từ 17 điểm
2
2
2
2
( 1) ( 1)
2 15 ( 2) 2 15 15
.4 [( ) ( ) ]
8
15
.[17 ( ) ]
15 15
(17 ) 288 540
8
n m
n n m m
m C nC m n
mn
m n mn
mn m n m n
m n
Dấu xảy |mn| =1, m,n N* m=9 , n=8 ngược lại
Kết luận : Số tam giác lớn m=9, n=8 ngược lại
0.5 0,25 0.25 0.25 0.25 4
Cho hàm số
2
6
2 | |
5
x x
khi x
f x x
khi x
Xét tính liên tục hàm số f x điểm x 2.
2,0
2
2 2
2
2
6
lim ( ) lim lim
| |
( 2)( 3) lim
( 2) lim ( 3)
x x x
x
x
x x x x
f x x x x x x x 0.25 0.25 0.25 2
2 2
2
2
6
lim ( ) lim lim
| |
( 2)( 3) lim
2 lim ( 3)
x x x
x
x
x x x x
f x x x x x x x 0.25 0.25 0.25
Vì xlim ( )2 f x xlim ( )2 f x nên hàm số giới hạn x=2 nên khơng thể liên tục
x=2
0.5
5
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn
2
: 4
C x y x y
điểm
1 ( 3, )
A Gọi I tâm đường tròn C .M là điểm thay đổi C cho
điểm A M I, , không thẳng hàng Tia phân giác góc AIM cắt đường thẳng AM tại
N Gọi K là tập hợp điểm N M thay đổi C Viết phương trình
(6)đường K
Hình vẽ:
(C) có tâm I(1,2) bán kính R =3 Tính IA =
Vì IN tia phân giác góc AIM nên
3
MN IM
AN IA
3
5
MN AN AM
AN AN
5
AN AM
(*) (do N nằm A M )
Vậy phép vị tự tâm A, tỉ số
5
k
biến điểm M thành điểm N
0.5
0.5 0.25 0.25
Gọi P,Q giao điểm đường thẳng IA (C)
Do M chạy khắp đường trịn (C) ( M P, M Q) N chạy khắp (K) với (K)
đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A tỉ số
5
k
( trừ điểm ảnh P,Q qua phép vị tự trên)
Viết phương trình đường trịn (C’)
Gọi I’ tâm đường tròn (C’), ta có:
5 '
8
AI AI
1 ' ;
2
I
R’ bán kính đường trịn (C’), ta có: R’ =
5 15
8R 8
Vậy phương trình đường trịn (C’) :
2 2
1 15
2 8
x y
0.5
0.5
0.25 0.25
6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, biết BD a; cạnh
bên SA vng góc với mặt phẳng ABCD SA a a Tính cosin góc đường thẳng SB AD
b Gọi ( ) mặt phẳng qua A song song với BD cắt cạnh SC M sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) 3 lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( ) hình chóp
S ABCD.
4.0
(7)
a Tính cosin góc đường thẳng SB AD 1.5
Tính góc SBC
SAB vuông cân A SB = a
Gọi O tâm hình thoi ABCD AC = AO = a SA =a, AC = a SC = 2a
Ta có: SC2 = SB2+BC22SB.BC cos B
4a2 = 2a2+ a2 2.a2 2 cos B cosB =
1 2
Gọi góc SB BC , ta có: cos =
1 2
0.25 0.25 0.25
0.5 0.25
b Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( ) hình chóp S ABCD 2.0
Ta có: AC = a SA =a SC =2a
d(C, α) = d(S, α) SM =
1
3
a CM SC
Gọi I giao điểm SO AM
Trong mp (SBD) kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD E F Thiết diện tạo (α) hình chóp S.ABCD tứ giác AEMF
Ta có BD ^ (SAC) EF ^ (SAC) EF ^ AM ( SAEMF = ½ AM EF.) Tính AM, EF
Xét SAM , tính AM theo hệ thức cosin ta AM = a
3
(có thể kiểm chứng AM ^ SC … AM = a
3 )
Xét SAC – Kẻ ON // AM O trung điểm AC N trung điểm CM
0.25
0.5 0.25
(8)MN =
1
2CM =
1 3
2 4SC8SC SN = SI+MN =
1
4SC8SC = 8SC
ON // AM
1
2
5
8
SC SI SM
SO SN SC
Xét SBD, EF // BD
EF
5
SE SI
BDSC SO EF =
2
5
a BD
SAEMF =
1
2 AM EF=
2
1 3
2 10
a
a a
0.25
0.25
0.25
Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang
(9)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 CẤP TỈNHNăm học 2016 – 2017 Môn thi : TỐN
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi : 25/3/2017
Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau:
a)
2cos 2sin
3
x x
b) 3(sin 2xcos ) cos 2x x sinx2
Câu (4,0 điểm)
a) Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp quy nạp: nn1(n1)n , n N n, 3.
b) Cho dãy số ( )un thỏa:
1
*
1
2
4 n n n n 0,
u
u u u u n N
Tìm số hạng tổng quát ( )un tính limun
Câu (4,0 điểm)
a) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên thỏa: số có chữ số, có chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt lần
b) Một đa giác có 24 đỉnh, tất cạnh đa giác sơn màu xanh tất đường chéo đa giác sơn màu đỏ Gọi X tập hợp tất tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác Người ta chọn ngẫu nhiên từ X tam giác, tính xác suất để chọn tam giác có ba cạnh màu
Câu (2,0 điểm) Cho hàm số
35 3 2 1
1 ( )
.sin 2017
x x
x f x
x
m
khi 1
khi 1 x
x
Tìm giá trị m để hàm số f x( ) liên tục x 1 Câu (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;0) trực tâm H Phương trình đường trịn qua ba trung điểm ba cạnh HA,HB,HC
2
5 25
6 18
x y
Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu (4,0 điểm)
(10)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, AB a BC a , 3,
3
SA a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABCD); M trung điểm OB
a) Gọi góc đường thẳng SO mặt phẳng (SCD) Tính sin b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CM theo a
–––––––––––– Hết ––––––––––––
(11)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 CẤP TỈNHNăm học 2016 – 2017 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Mơn thi: TỐN
(Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang)
Câu (3,0 điểm)
a 2cos 2 x32sinx1 0
1,5
2 cos 2sin
3
x x
cos cosx sin sinx 2sinx
cos 2x 3.sin 2x 2sinx
2sin2x sin cosx x2sinx0
2sin (sin 3.cos 1)
sin
sin 3.cos
x x x
x
x x
0.25
0.25
0.25
sinx 0 x k
1
sin 3.cos sin( )
3
x x x
.2
.2
x k
x k
Vậy phương trình có nghiệm là: x k ,x k.2 ,x k.2
0.25
0.25
0.25
b 3(sin 2xcos ) cos 2x x sinx2 1,5
3(sin 2xcos ) cos 2x x sinx2
2
3(2.sin cosx x cos ) (2cosx x 1) sinx
2
2 3.sin cosx x cosx sinx 2cos x
2
(3.cos x cos sinx x sin x) ( cosx sin ) 0x
2
( cosx sin )x ( cosx sin ) 0x
0.25
0.25
0.25
3 cos sin
3 cos sin
x x
x x
* cosx sinx cos(x 6) x k
(12)
1
3.cos sin cos( )
6
x x x
.2 2 x k x k 0.25
Vậy phương trình có nghiệm là: x k ,x k.2 ,x k.2
0.25
Câu (4,0 điểm)
a Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp quy nạp:
nn1(n1)n , n N n, 3. 2,0 - Xét n 3: Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 81 64 (đúng).
- Giả sử bất đẳng với số tự nhiên k tùy ý (k 3) tức là: kk1 (k1)k
+ Ta chứng minh bất đẳng thức cho với n k 1, tức chứng minh
2
(k 1)k (k 2)k
(1)
Từ giả thiết quy nạp ta có:
1
1 ( 1) 1
( 1) k k k k k k k k
Do để chứng minh (1), ta cần chứng minh:
1
2
( 1) ( 2)
( 1) k k k k k k k k (2)
Ta có:
1
1
2 2
( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
( 1)
k
k
k k k
k
k
k k k k k
k 1
2 2
(k 1) k k k( 2) k (k 2k 1)k (k )k k
(đúng) Suy (1) đúng, hay bất đẳng thức cho với n k 1.
Vậy bất đẳng thức cho với số thự nhiên n thỏa n 3
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b
Cho dãy số ( )un thỏa:
1
*
1
2
4 n n n n 0,
u
u u u u n N
Tìm số hạng tổng quát ( )un tính limun
2,0
1 1
6
4 (4 )
4
n
n n n n n n n n
n u
u u u u u u u u
u
Dễ dàng chứng minh un 0, n N*.
0.25
(13)Do
1
1
6 1 1
4
n n
n n n
u u
u u u
(1).
Đặt
1
n n v
u
; từ (1) suy ra:
1
1
2 2
3 3
n n
n n n
v v v v
Suy ra:
1
1
1
2
2
n
n n
n
u u
.
0.5
0.5
Do
1
1
lim lim
1
2
n n
u
(14)
Câu (4,0 điểm)
a Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên thỏa: số có chữ số, có chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà mỗi chữ số chẵn có mặt lần
2,0
* Bước 1: Xét số có chữ số , có hai chữ số lẻ khác chữ số chẵn
khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần (kể số có chữ số đứng đầu).
- Từ 10 chữ số chọn chữ số khác gồm số lẻ số chẵn có C C52 53cách chọn.
+ Với cách chọn ta có: số số có chữ số có chữ số lẻ khác
và chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần
8! 2!2!2! số.
+ Vậy với C C52 53 cách chọn ta tạo 5
8!
504000
2!2!2!
C C
số (kể số đứng đầu tiên)
* Bước 2: Xét số thoả mãn điều kiện bước mà có chữ số đứng đầu
- Từ số cho (bỏ số 0) chọn số khác gồm số lẻ số chẵn (vì có số 0
đứng đầu) có C C52 42cách chọn.
+ Với cách chọn ta có: số số có chữ số có số đứng đầu, có mặt chữ số lẻ khác nhau, chữ số chẵn khác chữ số chẵn khác có mặt
hai lần
7! 2!2! số.
+ Vậy với C C52 42cách chọn ta tạo 2
7!
75600
2!2!
C C
số ( bước 2) * Từ bước suy số số thoả đề là: 504000 75600 428400 số
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b b) Một đa giác có 24 đỉnh, tất cạnh đa giác sơn màu xanh tất đường chéo đa giác sơn màu đỏ Gọi X tập hợp tất tam giác có ba đỉnh là đỉnh đa giác Người ta chọn ngẫu nhiên từ X tam giác, tính xác suất để chọn tam giác có ba cạnh màu.
2,0
Gọi đa giác A1A2 A24
Số phần tử không gian mẫu n(Ω)= C =2024324
Gọi A biến cố chọn tam giác có ba cạnh màu, ba cạnh màu đỏ Gọi B biến cố chọn tam giác có cạnh màu xanh (cạnh đa giác)
Giả sử xét cạnh màu xanh A1A2, ta có 20 cách chọn đỉnh Ai ( Ai {A4; A5; ;A23})
Nên số phần tử B n(B) = 24.20 = 480
0.25 0.25
0.25 0.25 Gọi C biến có chọn tam giác có hai cạnh màu xanh, tam giác có hai
cạnh hai cạnh liên tiếp đa giác, nên n(C) = 24 Ta có n(A) + n(B) + n(C) = n()
Suy số phần tử biến cố A
n A = n( ) n(B) n C 2024 480 24 1520
Vậy xác suất biến cố A
n(A) 190 P(A)=
n(Ω) 253
0.25 0.25
0.25
0.25
(15)Cho hàm số
35 3 2 1
1 ( )
.sin 2017
x x
x f x
x
m
khi 1
khi 1 x
x
Tìm giá trị m để hàm số f x( ) liên tục x 1
(1) sin 2017
f m m
0,25
1
lim ( )
x f x m
0,25
3
1 1
( 2) ( 1) 2
lim ( ) lim lim
1 1
x x x
x x x x
f x
x x x
0,25
+ Tính được:
1
5
lim
1 12
x
x x
0,5
+ Tính được:
2 1
lim
1
x
x x
0,25
Suy
11 lim ( )
12
x f x
Để f x( ) liên tục x 1 xlim ( ) lim ( )1 f x x 1 f x f(1)
0,25
Suy ra:
11 12
m
giá trị cần tìm
0,25
Câu (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;0) trực tâm H Phương trình đường trịn qua ba trung điểm ba cạnh HA,HB,HC là
2
5 25
6 18
x y
(16)- Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB - Gọi I, E, F trung điểm cạnh HA, HB, HC + CH ^IE CH / /ME Suy ME ^IE (1).
+ Tương tự, chứng minh MF ^IF (2).
Từ (1) (2) suy M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF
0.5 0.25
0.25
- Tương tự, N P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF Suy sáu điểm: M, N, P, I, E, F nằm đường tròn
Như đường tròn qua I;E;F qua ba trung điểm ba cạnh Do xét phép vị tự tâm G tỉ số k 2 biến đường tròn (IEF) thành đường trịn (ABC)
Ta có đường trịn (IEF) có tâm 5 1 ( ; )
6 6
O
bán kính 5 3 2 R
0.25 0.25
0.25
0.25
Gọi O2 tâm đường trịn (ABC) ta có: GO2 2GO1
, ta tìm
4 1
( ' )
3 3
O
Bán kính
5 2 3
R
Khi phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
là:
2
4 1 50
3 3 9
x y
0.5
0.25
0.25
Câu (4,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, AB a BC a , 3, SA3a.
Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABCD); M trung điểm của OB
(17)
(Hình vẽ phục vụ câu a - 0,5 điểm)
a Gọi góc đường thẳng SO mặt phẳng (SCD) Tính sin. 1,5
+ Lập luận SA vng góc với (ABCD) 0,25
+ Gọi H là hình chiếu vng góc A lên SD + Chứng minh AH vng góc với (SCD)
0,25
+ Gọi E trung điểm CH Suy OE^(SCD) + Suy hình chiếu vng góc SO lên (SCD) SE
+ Suy góc SO (SCD) góc OSE, hay OSE.
0,25
+Trong tam giác vng SOE E có:
sin sinOSEOE OS
+ 2 2 2
1 1 1 3a 3a
= + = + = AH= OE=
AH AS AD 9a 3a 9a
0,25
2
AC= AB +BC =2a AO=a; SO= SA +AO =a 102 0,25
Suy
sin sin
10 OSE
4 0,25
b Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CM theo a. 2,0
+ Qua B dựng đường thẳng d song song với CM, hạ AK vng góc với d K + Đường thẳng CM cắt AB AK N F
Chứng minh NA=2NB 0,25
+ Suy ra:
1
d CM,SB =d(CM,(SKB))=d(N,(SKB))= d(A,(SKB))
3 0,25
(18)2
ΔANC ΔABC ABCD
2 2
S = S = S a.a
3 3
a
,
2 2a
CN= BC +BN =
3 0,25
Suy ra:
a AF=
7 ;
3 a 3a
AK= AF= =
2 7 0,25
Tính được:
3a AP=
31 hay
3a d(A,(SKB))=AP=
31 0,5
Suy
1 a
d CM,SB = d(A,(SKB))=
3 31 0,25
Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm
cho phù hợp với Hướng dẫn chấm
https://vndoc.com/ 024 2242 6188