Đề cương ôn tập Toán 8 học kì 1 - Giáo viên Việt Nam

- Học sinh nắm được cách giải và giải thành thạo phương trình bậc nhất một ẩn - Cách giải phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.. - Có kỹ năng giải bài toán bằng cách lập ph[r]

Chủ đề 1: Nhân đa thức A Mục tiêu:

- Nắm quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức - Học sinh biết trình bày phép nhân đa thức theo cách khác B Thời lượng: tiết (từ đến 3)

C Thực hiện: Tiết 1:

Câu hỏi

1: Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức 2: Phát biểu quy tắc nhân đa thức với đa thức * Bài tập v ề nhân đơn thức với đa thức

Bài 1: Thực phép nhân.

(−2 x2).(x3− x2− x +1) a (−10 x3+2

5 y − z).(−

1

2xy) b

Giải:

(−2 x2).(x3− x2− x +1)

−2 x5+6 x4+2 x3− x2 a = (−10 x3+2

5 y − z).(−

1

2xy) 5 x

4 y −1

5xy

2

+1

6xyz b =

Bài 2: Chứng tỏ đa thức không phụ thuộc vào biến.

x (2 x+1)− x2(x+2 )+(x3− x +3) a

4 (x −6 )− x2(2+3 x)+ x (5 x − 4)+3 x2(x −1) b

Giải:

x (2 x+1)− x2

(x+2 )+(x3− x +3) a =

2 x2

+x − x3−2 x2+x3− x +3=3 =

Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x

4 (x −6 )− x2(2+3 x)+ x (5 x − 4)+3 x2(x −1) b =

4 x −24 − x2+3 x3+5 x2− x +3 x3− x2=− 24 =

Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x

Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau thực phép toán.

3 x(10 x2− x +1)−6 x(5 x2− x − 2) a với x = 15 5 x(x − y)− y(y − x) x=−1

5; y =−

2 b với xy(xy − y2)−8 x2(x − y2)

Giải:

3 x(10 x2− x +1)−6 x(5 x2− x − 2) a = 30 x3−6 x2+3 x −30 x3+6 x2+12 x=15 x =

15 x=15 15=225 Thay x = 15 ta có:

5 x(x − y)− y(y − x) b 5 x2−20 xy − y2+20 xy =

5 x2− y2 = x=1

2; y=2 (− 5)

2

−4(−1

2)

2

=1

5−1=−

4

5 Thay ta có: xy(xy − y2)−8 x2(x − y2)

+5 y2(x2− xy) c = 6 x2y2− xy3−8 x3+8 x2 y2

+5 x2y2− xy3 = = 19 x2y2− 11xy3− x3 =

x=1

2; y=2 19 ( 2)

2

22−11.(1

2)

3 − (1

2)

3

=19 −44 −1=− 26 Thay ta có:

Tiết 2:

Bài 4: Điền vào chỗ dấu * để đẳng thức đúng.

36 x3y4−=(4 x2y −2 y3) a ab2+¿

¿

−2 a3b

¿ b Giải:

x2y =36 x3 y4=9 xy3 x2y a Vì nên dấu * vỊ phải 9xy3

Vì * vế trái tích 9xy3 với 2y3 nên phải điền vào dấu * biểu thức xy3.2 y3=18 xy6 ta có đẳng thức đúng.

36 x3y4−18 xy6=9 xy3.(4 x2y −2 y3)

b Lý luận tương tự câu a

−2 a3b (4 ab2−1

2a

2

b)=− a4b3+a5b2 Đẳng thức là:

Bài 5: Chứng minh đẳng thức sau: a a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = -2ac b a(1 - b) + a(a2 - 1) = a.(a2 - b)

c a.(b - x) + x.(a + b) = b.(a + x) Giải:

⇒ = -2bc = VP đpcm b VT = a.(1 - b) + a.(a2 - 1)

= a - ab + a3 - a

⇒ = a3 - ab = a.(a2 - b) = VP đpcm. c VT = a.(b - x) + x.(a + b)

= ab - ax + ax + xb

⇒ = ab + xb = b(x + a) = VP đpcm Bài 6: Tìm x biết

a 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100 b 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 Giải:

a 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100

⇔ 60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100

⇔ 50x = - 100

⇔ x = -

b 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138

⇔ 0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138 ⇔ - 0,6x = 0,138

⇔ x = 0,138 : (- 0,6)

⇔ - 0,2

* Bài tập v ề nhân đa thức với đa thức Bài 1: Làm tính nhân.

a (x2 + 2)(x2 + x+ 1)

b (2a3 - + 3a)(a2 - + 2a) Giải:

a (x2 + 2)(x2 + x+ 1)

= x4 + x3 + x2 + 2x2 + 2x + 2 = x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2 b (2a3 - + 3a)(a2 - + 2a)

= 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + - 2a + 3a3 - 15a + 6a2 = 2a5 + 4a4 - 7a3 + 5a2 - 17a + 5

Tiết 3:

Giải: (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)

= 3x4 - 2x3 + x2 + 6x3 - 4x2 + 2x + 9x2 - 6x + - 3x4 - 6x2 - 4x3 + 4x = 3 Kết số Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến Bài 3: Cho x = y + Tính

a x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 b x2 + y(y - 2x) + 75

Giải:

a x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65

⇒ Từ giả thiết x = y + x - y = Ta có: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65

= x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65 = x2- xy + y2 - xy + 2x - 2y + 65 =x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65 = (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65 = (x - y)2 + 2(x - y) + 65 = 52 - 2.5 + 65 = 100 b x2 + y(y - 2x) + 75

= x2 + y2 - 2xy + 75 = x(x - y) - y(x - y) + 75 = (x - y) (x - y) + 75 = 5.5 + 75 = 100 Bài 4: Tính giá trị biểu thức. a A = x3 - 30x2 - 31x + x = 31

b B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x x = 14 Giải:

a Với x = 31

A = x3 - 30x2 - 31x + = x3 - (x - 1)x2 - x.x +1 = x3 - x3 + x2 + = 1

b Với x = 14

B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13

= x5 - (x + 1)x4 + (x + 2)x3 - (2x + 1)x2 + x(x - 1) = x5 - x5 - x4 + x4 + 2x3 - 2x3 - x2 + x2 - x = -x = - 14 Bài 5: CMR với số nguyên n thì

Giải:

a Ta có: (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + 2 = n3 + 3n2 - n + 2n2 + 6n - - n3 + 2

⋮ ∀ = 5n2+ 5n = 5(n2 + n) n n

b (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1)

= 6n2 + n + 30n + - 6n2 - 10n + 3n + 5

⋮2 ∀ = 24n + 10 = 2(12n + 5) n

Chủ đề 2: Tứ giác A Mục tiêu:

- Học sinh nắm định nghĩa tứ giác, tứ giác lồi, tổng góc tứ giác lồi - Biết vẽ, gọi tên yếu tố, biết tính số đo góc tứ giác lồi

B Thời lượng: tiết (tiết 4) Tiết 4:

C Thực hiện: Câu hỏi

1: Thế tứ giác, tứ giác lồi? 2: Tổng góc tứ giác bằng?

Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC cạnh AD Chứng minh cạnh BC nhỏ đường chéo BD

Giải: C

Gọi O giao điểm hai đường chéo B Trong tam giác AOD ta có:

AD < AO + OD (1) O

Trong tam giác BOC ta có

BC < OC + BO (2) A D

Cộng vỊ (1) (2) ta có: AD + BC < AC + BD (3)

⇒ Theo đề ra: AC = AD nên từ (3) BC < BD (®pcm) Bài 2: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA

a CMR: BD đường trung trực AC b Chã biết góc B = 1000, góc D = 700

A Giải:

a BA = BC (gt)

DA = DC (gt) B D

⇒ BD đường trung trực AC

C

Δ ABD=Δ CBD b (c.c.c)

⇒ Góc <BAD = <BCD (hai góc tương ứng) ta lại có: Góc <BAD + <BCD = 3600 - <B - <D = 3600 - 1000 - 70 0 = 1900

Do đó: Góc <A = <C = 1900 : 2 = 95

Bài 3: Tính góc tứ giác: ABCD biết Góc <A : <B : <C : <D = : : : Giải:

Theo tính chất dãy tỉ số tổng góc tứ giác ta có:

A

1=

B

2=

C

3=

D

4 =

A +B+C+D

1+2+3+4 =

3600

10 =36

0

Do đó: góc <A = 360; < B= 720; <C = 1080 ; <D = 1440

Chủ đề 3: Hình thang A Mục tiêu:

- Nắm định nghĩa hình thang, hình thang vng, hình thang cân - Biết vẽ tính số đo góc hình thang

B Thời lượng: tiết (Tiết 5, 6, 7, 8) C Thực hiện:

Tiết : Câu hỏi:

1 Thế hình thang, hình thang vng, hình thang cân Hình thang có tính chất nào?

3 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Bài 1: Tính góc hình thang ABCD (AB//CD) biết góc <A = 3<D; <C = 300.

Giải:

⇒ Từ <A + <D = 1800, <A = 3<D <D = 450, <A = 1350 Từ <B + <C = 1800, <B - <C = 300

2180

0 − 300

❑ =75

0 Ta tính được: <C =

<B = 1800 - 750 = 1050

Bài 2: Tứ giác ABCD có BC = CD DB tia gica góc D CMR ABCD là hình thang

Giải:

ΔBCD ⇒ ΔBCD có BC = CD tam giác cân B

C

⇒ <D1 = <B1

⇒ Theo gt <D1 = <D2 <B1 = <D2 Do BC // AD

Vậy ABCD hình thang

A D Bài 3: Chứng minh hình thang tia phân giác hai góc kÌ một cạnh bên vng góc với

Giải: Xét hình thang ABCD có AB // CD A B

1

2 Ta có: <A1 = <A2 = <A

2 <D1 = <D2 = <D E

mà <A + <D = 1800 D C Nên <A1 + <D1 = 900

Δ ADE Trong có <A1+ <D1 = 900 ⇒ <AED = 900 Vậy AE DE

Tiết 6:

Bài 4: Cho hình thang vng ABCD có <A = <D = 900; AB = AD = 2cm, DC = 4cm Tính góc hình thang

Giải: A B Kẻ BH vuông góc với CD Hình thang ABHD

⇒ có hai cạnh bên AD// BH AD = BH, AB = DH

Δ ⇒ BHC vuông H <C = 450 D

C

⇒ <ABC = 1350

Bài 5: Hình thang cân ABCD có AB // CD O gia điểm hai đường chéo

CMR: OA = OB, OC = OD A B

Giải:

Vì ABCD hình thang cân nên

AD = BC, <ADC = <BCD

Δ ADC=ΔBCD (c.g.c) D C

⇒ ⇒ ΔOCD ⇒ <C1 = <D1 cân OC = OD Ta lại có: AC = BD nên OA = OB

Bài 6: Cho tam giác ABC cân A cạnh bên AB, AC lấy điểm M, N cho BM = CN

a Tứ giác BMNC hình gì? Vì sao?

b Tính góc tứ giác BMNC biết <A = 400. Giải:

a Tam giác ABCD cân A A

⇒ 1800− A

2 <B = <C =

⇒ Lại có BM = CN (gt) AM = AN M N

⇒ Δ AMN cân A

1800− A

2 <M1 = <N1 =

⇒ <B = <M1 đó: MN //BC B

C

Vậy tứ giác BMNC hình thang Lại có: <B = <C nên BMNC hình thang cân

b <B = <C = 700, <M

2 = <N2 = 1100 Tiết 7:

Bài 7: Cho hình thang cân ABCD có O giao điểm hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC E giao điểm hai đường chéo CMR OE đường trung

trực hai đáy

Giải: O

⇒ ΔODC ⇒ cân OD = OC

⇒ ⇒ mà AD = BC (gt) OA = OB A B

Vậy O thuộc đường trung trực hai đáy E

⇒ Δ ADC=ΔBCD (c.c.c)

⇒ ⇒ <C1 = <D1 ED = EC (1) D C

Lại có: AC = BD nên EA = EB (2)

⇒ Từ (1) (2) E thuộc đường trung trực hai đáy Vậy OE đường trung trực hai đáy

Bài 8:

a Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a Đường cao AH

a− b

2

a+b

2 CMR: HD = , HC = (a, b có đơn vị đo)

b.Tính đường cao hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm, cạnh bên 17cm Giải:

a KỴ đường cao BK

Δ AHD=Δ BKC (cạnh huyền góc nhọn)

⇒ HD = KC A B

Hình thang ABKH có cạnh bên AH, BK song song nên AB = HK Ta có: a - b = DC - AB = DC - HK

= HD + KC = 2HD D H K C

a− b

2 Vậy HD = ,

a− b

2

a+b

2 HC = DC - HD = =

b Xét hình thang cân ABCD có đáy AB = 10cm, đáy CD = 26cm, cạnh bên AD = 17cm

Trước hết ta có: HD = 8cm

⇒ AH2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225 = 152 Vậy AH = 15cm

1

2 Bài 9: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC cho AD = DC Gọi M

Gọi E trung điểm DC D

ΔBDC Vì có BM = MC, DE = EC I

⇒ Nên BD // ME DI // EM E

Δ AME Do có AD = DE, DI // EM Nên AI = IM

B

M C

Tiết 8:

Bài 10: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ thù trung điểm AD, BC, AC CMR

a EI // CD, IF // AB

b AB+CD

2 b EF <

Giải:

Δ ADC Xét có: AE = ED

1

2DC AI = IC nên EI // DC, EI =

Δ ABC Tương tự có: AI = IC, BF = FC B

1

2 Nên IF // AB, IF = AB A

ΔEFI b Trong ta có: EF EI + IF K

⇒ CD

2 + AB

2 EF E F

AB+CD

2 Vậy EF D C

Dấu “=” xảy E, I, F thẳng hàng, tức AB // DC

Bài 11: Cho hình thang ABCD (AB // CD) M trung điểm AD, N trung điểm BC Gọi I, K theo thứ tự giao điểm MN BD, MN AC Cho biết AB = 6cm, AD = 14cm Tính độ dài MI, IK, KN

Giải:

Vì MN đường trung bình

hình thang ABCD nên MN // AB // DC A B

Δ ADC Xét có AM = MD, MK // DC

DC

2 =

14

2 =7 cm Do đó: MK = I K

Δ ABD Tương tự: có AM = MD, MI // AB D C

nên BI = ID

1

2AB=

6

2=3 cm Do đó: MI =

Từ ta có: IK = MK - MI = - = 4cm

Δ ABC Xét có BN = NC, NK // AB

⇒ 12AB=6

2=3 cm AK = KC Vậy KN =

Bài 12: Dùng hình thang ABCD (AB // CD), biết <D = 900, AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm

Giải: B B/ x * Cách dùng: A

- Dựng tam giác ABC, biết hai cạnh góc xen

AD = 2cm, CD = 4cm, <D = 900

- Dựng tia Ax AD (Ax C thuộc D C nửa mặt phẳng bê AD)

- Dựng cung trịn tâm C có bán kính 3cm, cắt tia Ax B - KỴ đoạn thẳng BC

* Chứng minh:

Tứ giác ABCD hình thang vì: AB // CD Hình thang ABCD có <D = 900, AD = 2cm, CD = 4cm, Cb = 3cm

Vậy hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu toán * Biện luận:

Ta dùng hai hình thang thoả mãn điều kiện tốn: ABCD, AB/CD

Bài 13: Dùng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, <C = 500, <D = 700 A B B x Giải:

* Phân tích

Giả sử dùng hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu toán Qua A kẻ

Song song nên EC = AB = 2cm Do đó: DE = 2cm

Tam giác ADE dùng biết cạnh góc kÌ Từ dùng điểm C B

* Cách dùng:

- Dựng tam giác ADE biết DE = 2cm, <D = 700, <E = 500 - Trên tia DE dựng điểm C cho DC = 4cm

- Dựng tia Ax // EC, Cy // EA Chóng cắt B * Chứng minh:

ABCD hình thang vì: AB // CD

⇒ Ta có: <D = 700, DC = 4cm, <C = <ABD <C = 500 Hình thang ABCE có hai cạnh bên AE, BC song song Nên AB = EC = - = 2cm

Chủ đề 4: Các đẳng thức đáng nhớ A Mục tiêu:

- Học sinh nắm đẳng thức đáng nhớ

- Biết vận dụng đẳng thức vào việc giải toán B Thời lượng: tiết (tiết 9, 10, 11)

C Thực hiện: Tiết 9:

Bài 1: Biểu diễn đa thức sau dạng bình phương tổng. a x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1

b u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2 Giải:

a x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 = x2 +2x(y + 1) + (y + 1)2 = (x + y + 1)2

b u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2

= (u2 + 2u + 1) + (v2 + 2v + 1) + 2(u + 1)(v + 1) = (u + 1)2 + (v + 1)2 + 2(u + 1)(v + 1)

= (u + + v + 1)2 = (u + v + 2)2

Bài 2: Điền đơn thức thích hợp vào dấu * a 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3

c x3 - * + * - * = (* - 2y)3 Giải:

a 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3

⇔ (2x)3 + * + * + (3y)3

⇔ 8x3 + 3(2x)2.3y + 3(2x).(3y)2 + (3y)2 = (2x + 3y)3

⇔ 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3 b 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3

⇔ (2x)3 + 3(2x)2y + 3.2x (y)2 + y3 = (2x + y)3

⇔ 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 c x3 - * + * - * = (* - 2y)3

⇔ x3 - 3x2 2y + 3x(2y)2 - (2y)3 = (x - 2y)3

⇔ x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x - 2y)3 Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a (a - b + c + d)(a - b - c - d) b (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)

c (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1) d (x + y)3 - (x - y)3

e (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1) Giải:

a (a - b + c + d)(a - b - c - d)

[(a −b )+(c +d )].[(a − b) −(c +d )] =

= (a - b)2 - (c + d)2

= a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2 = a2 + b2 - c2 - d2 - 2ab - 2cd b (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)

[( x+ z )+2 y].[( x+ z ) −2 y] =

= (x + 2z)2 - (2y)2 = x2 + 6xz + 9z2 - 4y2

c (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1) = (x3 - 1) (x3 + 1) = x6 - 1

d (x + y)3 - (x - y)3

e (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)

[(x2

+3 x +1) (3 x −1)]2 =

= (x2 + 3x + - 3x + 1)2 = (x2 + 2)2 Tiết 10:

Bài 4: Chứng minh rằng

a (a2 + b2) (x2 + y2) = (ay - bx)2 + (· + by)2

b (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 c (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2

Giải:

a (a2 + b2) (x2 + y2) = (ay - bx)2 + (· + by)2 VP = (ay - bx)2 + (· + by)2

= ay2 - 2abxy + b2x2 + a2x2 + 2abxy + b2y2 = a2y2 + a2x2 + b2x2 + b2y2

= a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)

⇒ = (a2 + b2) (x2 + y2) = VT ®pcm

b (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 VP = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2

= a2 + 2ab + b2 + b2 + 2bc + c2 + c2 + 2ac + a2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2 ⇒ = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = VT ®pcm c (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2

VT = (x + y)4 + x4 + y4

= x2 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 + x4 + y4 = 2(x4 + y4 + x2y2 + 2x3y + 2xy3 + 2x2y2)

⇒ = 2(x2 + y2 + xy)2 = VP ®pcm Bài 5: Trong hai số sau, số lớn hơn.

a A = 1632 + 74 163 + 372 bà B = 1472 - 94 147 + 472 b C = (22 + 42 + + 1002) - (12 + 32 + + 992) c D = 38 78 - (214 + 1)

x − y x+ y

x2− y2 x2+y2

d E = H = với x > y > Giải:

Vậy A > B

b C = (22 - 12) + (42 - 32) + + (1002 - 992)

(3+199) 50

2 =5050 = + + + 199 =

D = (3 7)8 - (218 - 1) = 1 Vậy D < C

x + y¿2 ¿ ¿

x − y x+ y=

(x − y )(x+ y)

¿

c E = = H

(Vì x > y > 0) Tiết 11:

Bài 6: Xác định hệ số a, b cho đa thức sau viết dạng bình phương đa thức

a x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b b x4 + ax3 + bx2 - 8x + 1 Giải:

a Giả thiết rằng: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2 Xét trường hợp: x4 + c2x2 + d2 + 2cx3 + 2dx2 + 2cdx

= x4 + 2cx3 + x2(c2 + 2d) + 2cdx + d2 Sử dụng phương pháp đồng hệ số ta có:

¿

2 c=2

c2

+2 d=3 2 cd=a

b=d2

¿{ { {

¿

⇒

¿

c=1 d =1 a=2 b=1

¿{ { {

¿

Xét trường hợp x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (- x2 + cx + d)2 Ta được: a = 2; b = 1; c = d =

Vậy x4 + 2x3 + 2x + = (x2 + x + 1)2 = (- x2 - x - 1)2 Bài 7: Tìm giá trị lớn đa thức:

a C = - 8x - x2 b D = - 3x(x + 3) - Giải:

⇒ Vậy giá trị lớn C 21 x + = x = - b D = - 3x(x + 3) - = - 3x2 - 9x - 7

3 2+

9 4−

9

4 = - 3(x

2 + 2x ) - 7 (x −3

2)

2

+27

4 −7 = -

(x +3

2)

2 −1

4 = -

(x +3

2)

2

≥ 0∀ x ⇒−3(x+3

2)

2

≤ 0∀ x Vì

−3(x+3

2)− 4≤ −

1

4 Do đó:

−1

4 x+

3

2=0⇒ x =−

2 Vậy giá trị lớn D

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ đa thức. a A = x2 + 5x + 8

b B = x(x - 6)

5 2+

25

25

4 +8 Giải: A = x

2 + 5x + = x2 + x

(x +5

2)

2

+7

4 =

(x +5

2)

2

≥ 0∀ x (x +5

2)

2

+7 4≥

7

4 Vì nên

4 x+

5

2=0⇒ x=−

2 Vậy A có giá trị nhỏ

b B = x(x - 6) = x2 - 6x

= x2 + 6x + - = (x - 3)2 - 9

6∀ x −9 Vì (x - 3)2 nên (x - 2)2 -

⇒ Vậy B có giá trị nhỏ - x - = x =

Chủ đề 5: Phân tích đa thức thành nhân tư A Mục tiêu:

- Ôn tập cho học sinh tính chất phân phối phép nhân phép cộng: a(b + c) = ab + ac

- Ôn tập cho học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư + Đặt nhân tư chung

+ Nhóm hạng tư

+ Phối hợp nhiều phương pháp

Ngoài cho học sinh làm quen với nhiều phương pháp khác như: + Tách hạng tư thành nhiều hạng tư

+ Thêm bớt hạng tư thích hợp + Phương pháp đặt biến phụ

B Thời lượng: tiết (tiết 12, 13, 14) C Thực hiện:

Tiết 12:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tư phương pháp đặt nhân tư chung. a 12xy - 4x2y + 8xy2

b 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y) c 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y) d 3x(a - x) + 4a(a - x) Giải:

a 12xy - 4x2y + 8xy2 = 4xy(3 - x + 2y) b 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)

= (x - 2y) (4x - 8y) = 4(x - 2y) (x - 2y) = 4(x - 2y)2

c 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y) = 25x2(y - 1) + 5x3(y - 1)

= (y - 1) (25x2 + 5x3) = 5x2(y - 1) (5 - x) d 3x(a - x) + 4a(a - x) = (a - x) (3x + 4a)

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tư phương pháp dùng đẳng thức.

1 36 a

2−1

4b

2 a

b (x + a)2 - 25

c x2 + 2x + - y2 + 2y - 1 d - 125a3 + 75a2 - 15a + 1 Giải:

1 36 a

2 −1

4b

2

(16a)

2 −(1

2b)

2

=(1 6a+

1 2b).(

1 6a−

1

2b) a =

= (x + y) (x - y + 2)

d - 125a3 + 75a2 - 15a + = (1 - 5a)3 Tiết 13:

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tư phương pháp nhóm hạng tư. a 4x2 - 9y2 + 4x - 6y

b x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3 c a2x + a2y - 7x - 7y

d x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2 Giải:

a 4x2 - 9y2 + 4x - 6y

= (4x2 - 9y2) + (4x - 6y) = (2x + 3y) (2x - 3y) + 2(2x - 3y) = (2x - 3y) (2x + 3y + 2)

b x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3 = x3 + y - 3x2y + 3xy2 - x - y3 = (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - (x - y) = (x - y)3 - (x - y)

[( x − y )2−1] = (x - y) = (x - y) (x - y + 1) (x - y - 1)

c a2x + a2y - 7x - 7y

= (a2x + a2y) - (7x + 7y) = a2(x + y) - 7(x + y) = (x + y) (a2 - 7)

d x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2

[x ( x +1)2− (x +1)2

]+x (x −5 ) = = (x + 1)2 (x - 5) + x(x - 5)

[( x+ 1)2+x] = (x - 5) = (x - 5) (x2 + 3x + 1)

Bài 4: Phân tích đa thức thnµh nhân tư cách phối hợp nhiều phương pháp. a x4 + x2y2 + y4

b x3 + 3x - 4 c x3 - 3x2 + 2 d 2x3 + x2 - 4x - 12 Giải:

a x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 )2 - (xy)2 = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy)

b x3 + 3x - = x3 - 3x2 + 3x - + 3x2 - 3

[( x − 1)2+3 ( x +1)] = (x - 1) = (x - 1) (x2 + x + 4)

c x3 - 3x2 + = x3 - 3x2 + 3x - - 3x + 3

[( x − 1)2−3] = (x - 1)3 - 3(x - 1) = (x - 1)

= (x - 1) (x2 - 2x - 2)

d 2x3 + x2 - 4x - 12 = (x2 - 4x + 4) + (2x3 - 16)

= (x - 2)2 + 2(x3 - 8) = (x- 2)2 + 2(x - 2) (x2 + 2x + 4)

[(x − 2)+2(x2+2 x+4)] = (x - 2) = (x - 2) (2x2 + 5x + 6)

Tiết 14:

Bài 5: Tính cách hợp lÝ giá trị biểu thức

5 19(3

4 5

1 3+4

2

3 3,8) a

b a2 - 86a + 13 với a = 87 c a2 + 32a - 300 với a = 68

d a3 - b 3 - 3ab(a - b) với a = - 27, b = - 33 Giải:

5 19(3

4 5

1 3+4

2 3,8)

5 19

19

5 (5+4 + 3+

2

3)=10 a =

b a2 - 86a + 13 = 87(87 - 86) + 13 = 87 + 13 = 100

c a2 + 32a - 300 = 68(68 + 32) - 300 = 68 100 - 300 = 6500 d a3 - b 3 - 3ab(a - b) = (a - b) (a2 + ab + b2 - 3ab)

= (a - b)3 = (- 27 + 33)3 = 63 = 216 Bài 6: Tìm x biết:

a (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - = b (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2 Giải:

a (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - =

⇔ (x - 2) (x - + 1) - =

⇔ (x - 2)2 - = 0

⇔ (x - + 1) (x - - 1) =

⇔ (x - 1) (x - 3) =

⇔ x = x =

Vậy nghiệm phương trình: x1 = 1, x2 = b (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2

⇔ (x + + x + 1) (x + - x - 1) - 2x(2x + 3) =

⇔ (2x + 3) - 2x(2x + 3) =

⇔ (2x + 3) (1 - 2x) =

⇔

2

2 x = - x =

2

2 Vậy nghiệm PT: x1 = - , x2 =

Chủ đề 6: Hình chữ nhật A Mục tiêu:

- Ôn tập cho học sinh tính chất hình chữ nhật - Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

- Rèn luyện khả vẽ hình, chứng minh tốn B Thời lượng: tiết (tiết 15, 16, 17)

C Thực hiện: A B Tiết 15:

Bài 1: Tìm x hình bên (®v đo: cm) Giải:

KỴ BH CD Tứ giác ABHD có

góc vng nên hình chữ nhật, đó: D

H C

DH = AB = 16cm

⇒ HC = DC - DH = 24 - 16 = 8cm

ΔBHC Xét vuông theo định lý Pitago

√BC2−HC2=√172− 82=√225=15 cm BH =

Vậy x = 15cm

Bài 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH kµ hình gì? Vì sao?

Giải:

Tam giác ABC có AE = EB, BF = FC B

⇒ EF = AC (1)

Chứng minh tương tự: HG // AC (2)

⇒ Từ (1), (2) EF // HG (*) A C

Chứng minh tương tự: EH // FG (**)

H G

⇒ Từ (*) (**) EFGH hình bình hành

⇒ EF // AC, BD AC EF BD

D

⇒ EF BD, EH // BD EF EH

Hình bình hành EFGH có góc E = 900

⇒ hình chữ nhật

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân A, AC = 4cm, Điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC

a Tứ giác EDME hình gì? tính chu vi tứ giác

b Điểm M vị trí cạnh BC đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ Giải:

a Tứ giác ADME có góc <A = <D = <E = 900 B

Vậy tứ giác ADME hình chữ nhật D

M

- Chu vi hình chữ nhật ADME bằng:

2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB = = 8cm

A

C

b Gọi H trung điểm BC, ta có AH BC

⇒ ADME hình chữ nhật DE = AM Ta có: DE = AM > AH

Dấu “=” xảy M H

Tiết 16:

Bài 4: Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến BM, CN cắt G Gọi D điểm đối xứng với G qua M Gọi E điểm đối xứng với G qua N Tứ giác BEDC hình gì? Vì sao?

A

Giải:

E D

⇒ D đối xứng với G qua M GD = 2GM G trọng tâm tam giác ABC

⇒ ⇒ BG = 2GM BG = GD

chứng minh tương tự: CG = GE

B C Tứ giác BEDC có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành

ΔCBM= ΔBCN ⇒ (c.g.c) <B1 = <C1

⇒ ⇒ BG = CG BD = CE

Hình bình hành BEDC có hai đường chéo nên hình chữ nhật

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A Điểm D thuộc cạnh AC Gọi E, F, G theo thứ tự trung điểm BD , BC, DC Chứng minh tứ giác EFEG hình thang cân

B

Giải:

Vì EF đường trung bình tam giác BDC

nên EF // DC

Do đó: AEFG hình thang

Do FG đường trung bình tam giác BDC A D G C

⇒ Nên FG // BD góc <G1 = <D1 (đồng vị)

BD

2 =ED trung tuyến nên AE = ⇒ Do đó: tam giác AED cân E góc <A1 = <D1

Từ góc <G1 = <A1

Hình thang AEFG có hai góc kÌ đáy nên hình thang cân Tiết 17:

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường trung tuyến AM a CMR: Góc <HAB = <MAC

b Gọi D, E thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AC CMR AM vng góc với DE

A Giải:

a Ta có góc <A1 = <C (cùng phụ với <HAC) E AM trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ tam giác ABC AM = MC D O

⇒ ⇒ góc <C = <A2 góc <A1 = <A2

b Gọi O giao điểm AH DE B

H M C

I giao điểm AM DE

Tứ giác ADHE hình chữ nhật (có góc vng)

⇒ ⇒ OA = OE góc <E1 = <OAE (1)

Δ Ta lại có: AHC vng

⇒ góc <C + <OAE = 900 (2) ta có: góc <C = <A2 (3) (cm câu a)

⇒ Từ (1), (2), (3) góc <E1 + <A2 = 900

⇒ Góc <AIE = 900 tức AM DE

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AC

a CMR: AH = DE

Giải:

a Tứ giác ADHE có góc vng nên hình chữ nhật A Do đó: AH = DE

b Gọi O giao điểm AH DE

E ADHE hình chữ nhật

⇒ ⇒ OH = OE góc <E1 = <H1 (1) D

Tam giác EHC vng có EK đường B C

trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ ⇒ HK = EK góc <E2 = <H2 (2)

⇒ ⇒ Từ (1), (2) góc <E1 + <E2 = <H1 + <H2 = <AHC = 900 Do đó: góc DEK = 900

Chứng minh tương tự ta có: góc EDI = 900 Vậy DI // EK (®pcm)

Chủ đề 7: Hình thoi A Mục tiêu: Giúp học sinh

- Hiểu rõ định nghĩa hình thoi, tính chất hình thoi, dấu hiệu nhận biết tứ giác hình thoi

- Rèn luyện khả tính tốn, khả chứng minh toán B Thời lượng: tiết (tiết 18, 19, 20)

C Thực hiện: Tiết 18:

Câu hỏi:

1 Thế hình thoi? Nêu tính chất hình thoi Nêu dấu hiệu nhận biết hình thoi Bài 1:

a Cho hình thoi ABCD, kỴ đường cao AH, AK CMR: AH = AK

A Giải:

Δ Δ a Xét AHB AKD có:

AB = AD (vì ABCD hình thoi)

⇒ Δ Δ Góc <B = <D (t/c hình thoi)

B D vuông AHB = AKD (cạnh huyền góc nhọn) H

K

⇒ AH = AK (2 cạnh tương ứng)

C

b Xét tam giác vuông AHB AKD có: AH = AK (gt)

Góc <B = <D (t/c hình bình hành)

⇒ Δ AHB=Δ AKD tam giác (cạnh góc vng- góc nhọn kÌ)

Vậy AB = AD (2 cạnh tương ứng)

Hình bình hành ABCD có cạnh kÌ nên hình thoi

Bài 2: Hình thoi ABCD có góc <A = 600 kẻ hai đường cao BE, BF Tam giác BÌ tam giác gì? Vì sao?

B Giải:

Δ AEB ΔCFB Xét có:

A C

AB = CB (®/n hình thoi)

Góc <A = <C (t/c hình thoi) E F

Δ AEB ΔCFB = (cạnh huyền- góc nhọn)

D

Vậy tam giác BEF cân

3600−1200

2 =120

0 Lại có: góc <B =

Mà góc <B = <B2 = 300

⇒ <B3 = 600

⇒ Vậy tam giác BEF

Tiết 19:

Bài 3: Cho hình thoi ABCD, O giao điểm hai đường chéo Gọi E, F, G, H theo thứ tự chân đường góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?

Giải:

B Ta có; OF AB, OG CD

E F

Mà AB // CD (t/c hình thoi)

⇒ E, O, G thẳng hàng

A C Chứng minh tương tự ta có điểm

F, O, H thẳng hàng

H G

- Điểm O thuộc tia phân giác góc B D nên cách cạnh góc đó: OE = OF Tương tự ta có: OF = OG, OG = OH

Vậy tứ giác EFGH có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình chữ nhật

Giải:

Ta có: Tam giác ABD cân tai A

Và <A = 600 nên tam giác ABC tam giác đều.

⇒ AB = BD

B góc <ABD = <D1 = 600 (t/c hình thoi)

Xét tam giác ABM DBN có: A

C

AB = BD (chứng minh trên)

N Góc <A = <D2 (chứng minh trên) M

AM = DN (gt) D

⇒ Δ ΔDBN ABM = (c.g.c)

⇒ BM = BN, <B1 = <B3 Ta lại có: góc, <B1 + <B2 = 600

⇒ <B3 + <B2 = 600

Tam giác BMN cân có góc MBN = 600 nên tam giác đều.

Bài 5: Hình thoi ABCD có chu vi 16 đường cao AH 2cm Tính góc hình thoi

Giải:

Gọi M trung điểm AD, ta có:

A

HM = MA = MD = 2cm

Theo đề ta có: AH = 2cm B

D

Do đó: tam giác AHM tam giác

⇒ ⇒ Góc <MAH = 600 <D = 300

C

Tiết 20:

Bài 6: Tứ giác ABCD có toạ độ đỉnh sau: A(0, 2); B(3, 0); C(0, - 2); D(- 3, 0)

Tứ giác ABCD hình gì? Tính chu vi tứ giác Giải:

Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành

Lại có hai đường chéo vng góc với nên hình thoi Cạnh hình thoi

√OA2+OB2 AB =

A

√22+32=√4+9=√13 AB =

4√13 Vậy chu vi hình thoi: -

D

O B

C

Bài 7: Cho hình thoi ABCD, có AB = AC, kỴ AE BC, AF CD a Chứng minh tam giác AEF tam giác

b Biết AB = 4cm Tính độ dài đường chéo hình thoi Giải:

Tam giác ABC có AB = BC (®/n hình thoi) AB = AC (gt)

⇒ ⇒ Tam giác ABC góc <B = 600

A đó: góc <D = 600

Δ Δ xét ABE ADE có:

AB = AD (®/n hình thoi) D B

⇒ Δ ABE=Δ ADE (cạnh huyền- góc nhọn)

C

⇒ ⇒ AE = AF (2 cạnh tương ứng)

Vậy tam giác AEF cân A

- Trong tam giác ABC, AOC có AE AF đường cao nên phân giác góc <BAC <OAD

⇒ đó: góc <EAC = <FAC = 300 góc <EAF = 600 Tam giác cân AEF có góc <EAF = 600 nên tam giác đều.

Chủ đề 8: Hình vng A Mục tiêu:

- Học sinh hiểu định nghĩa hình vng, thấy hình vng dạng đặc biệt hình chữ nhật hình thoi

- Biết chứng minh tứ giác hình vng

- Biết vận dụng kiến thức hình vng tốn chứng minh, tính tốn tốn thực tế

B Thời lượng: tiết (tiết 21, 22, 23) C Thực hiện:

Tiết 21 : Câu hỏi:

1 Thế hình vng?

2 Vì hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi? Nêu dấu hiệu nhận biết hình vng?

4 Hình vng có tâm đối xứng, có trục đối xứng khơng? Nếu có ghi rõ

Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm I nằm B C Qua I vấ ng thng song song vi AB căt AC H Qua I vÊ đường thẳng song song với AC căt AB K a T giỏc AHIK l hình gì?

b Điểm I vị trí cạnh BC tứ giác AHIK hình thoi c Tam giác ABC có điều kiện tứ giác AHIK hình chữ nhật Giải:

⇒ tứ giác AHIK hình bình hành K b Hình bình hành AHIK hình thoi

⇔ AI đường phân giác góc A B

C Vậy I giao điểm tia phân giác góc A với cạnh BC AHIK hình thoi

A

c Hình bình hàng AHIK hình chữ nhật

⇔ góc <A = 900

H Vậy tam giác ABC vng A K

AHIK hình chữ nhật

B

C

Bài 2: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm của AB, CD Gọi H giao điểm AQ DP Gọi K giao điểm CP BQ

Chứng minh PHQK hình vng

Giải: A P

Q Tứ giác APCQ có AP // QC AP = QC

Nên tứ giác APCQ hình bình hành H

K (dấu hiệu nhận biết)

⇒ AQ // PC (1)

Chứng minh tương tự ta có: BQ // PD (2) D

Q C

Lại có tứ giác APQD hình bình hành có AP // DQ , AP = DQ

Hình bình hành APQD có góc <A = 900

⇒ hình chữ nhật

Hình chữ nhật APQD có AP = AD nên hình vng

⇒ góc <PHQ = 900 PH = HQ

Hình bình hành PHQK có góc <PHQ = 900 PH = HQ nên hình vng

Tiết 22:

Bài 3: Cho tam giác vuông cân A, cạnh BC lấy điểm H, G cho

BH = HG = GC Qua H G kẻ đường vng góc với BC, chóng cắt AB, AC theo thứ tự E F Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?

Giải:

A Tam giác AGC có góc <C = 450

Nên tam giác FGC vuông cân

E F Do đó: GF = GC

Chứng minh tương tự EH = HB

Do BH = CG = HG nên EH = HG = GF B

C Tứ giác EHGF có EH // FG

(cùng vng góc với BC)

EH = FG (c/m trên)

⇒ Tứ giác EHGF hình bình hành

⇒ Hình bình hành EHGF có góc <H = 900 hình chữ nhật

Bài 4: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD lấy điểm F, cạnh DC lấy điểm E cho AF = DE Chứng minh AE = BF AE BF

Giải:

AF = DE (gt)

A B

⇒ Δ ADE=Δ BAF (2 cạnh góc vng)

⇒ AE = BF (2 cạnh tương ứng)

F Góc <A1 = <B1 (2 góc tương ứng)

Ta lại có: <A1 + <A2 = 900 Nên góc <B1 + <A2 = 900

D E

C Gọi H giao điểm AE BF

Thì góc <H = 900 Vậy AE BF Tiết 23:

AE Bài 5: Cho hình vng ABCD, gọi E điểm nằm C D Tia

phân giác góc DAE cắt CD F KỴ FH AE (H), FH cắt BC G Tính số đo góc FAG

Giải: A B

Δ ADF Δ AHF Xét tam giác có:

Góc <A1 = <A2 (gt) G

AF cạnh chung

⇒ Δ ADF= ΔAHF (cạnh huyền góc nhọn) D C

⇒ AD = AH (2 cạnh tương ứng)

⇒ Ta lại có: AD = AB AB = AH

Δ ABG Δ AHG Xét có:

AB = AH (c/m trên)

⇒ góc <A3 = <A4 (2 góc tương ứng)

1

2(DAH+< HAB)= 90

0

=450 ta có: góc <FAG = <A2 + <A3 =

Bài 6: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, tia phân giác góc ABE cắt AD K

CMR: AK + CE = BE A B Giải:

Trên tia đối CD lấy điểm M K cho CM = AK

Ta có: D

AK + CE = CM + CE = ME E C M Xét tam giác ABK tam giác CBM có:

AB = BC (gt) AK = CM (gt)

⇒ Δ ABC=ΔCBM (2 cạnh góc vng)

⇒ góc MK1 = <M, <B1 = <B4 ⇒ Ta lại có: <B1 = <B2 <B2 = <B4

Từ ta có: góc <EBM = <B3 + <B4 = <B3 + <B2 = <KBC Mà <KBC = <K1 (so le trong)

Và <K1 = <M (c/m trên)

Do đó: BE = MC + CE = AK + CE (®pcm)

Chủ đề 9: Phương trình bậc ẩn A Mục tiêu:

- Học sinh nắm cách giải giải thành thạo phương trình bậc ẩn - Cách giải phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu thức

- Có kỹ giải tốn cách lập phương trình

- Rèn luyện cho học sinh kỹ tính tốn, tính cẩn thận cách lập luận toán B Thời lượng: tiết (tiết 24, 25, 26, 27, 28)

C Thực hiện: Tiết 24 :

Câu hỏi:

3 Phương trình tích có dạng nào? Nêu cách giải phương trình tích Nêu bước giải phương trình có ẩn mẫu

5 Nêu bước giải tốn cách lập phương trình Bài 1: Giải phương trình sau:

a - 2x + 14 = b 0,25x + 1,5 =

4 3−

5 6=

1 c

d 3x + = 7x + 11 e 11 - 2x = x - Giải:

⇔ ⇔ a - 2x + 14 = 14 = 2x x =

⇔ ⇔ − 1,5

0 , 25 ⇔ b 0,25x + 1,5 = 0,25x = - 1,5 x = x = -

3x − 6=

1

2 ⇔

4 x=

1 2+

5

6 ⇔

4 3x=

8

6 ⇔ x=

8

3

4 ⇔ c x =

⇔ ⇔ ⇔ d 3x + = 7x + 11 3x - 7x = - 11 - 1- 4x = - 12 x =

⇔ ⇔ ⇔ e 11 - 2x = x - - 2x - x = - 1- 11 - 3x = - 12 x =

Bài 2: Chứng tỏ phương trình sau vơ nghiệm. a a(x + 1) = + 2x

b 2(1 - 1,5x) + 3x =

|x|=− 1 c

Giải:

a a(x + 1) = + 2x

⇔ 2x + = + 2x

⇔ 2x - 2x = -

⇔ ⇒ 0x = phương trình vô nghiệm

b 2(1 - 1,5x) + 3x =

⇔ - 3x + 3x =

⇔ ⇒ 0x = - phương trình vơ nghiệm

|x|=− 1 ⇒ c VT phương trình khơng âm , VP âm phương trình vơ

Bài 3: Tìm giá trị x cho biểu thức A B cho sau có giá trị bằng

a A = (x - 3)(x + 4) - 2(3x - 2); B = (x - 4)2

b A = (x + 2)(x - 2) + 3x2; B = (2x + 1)2 + 2x c A = (x - 1)(x2 + x + 1) - 2x; B = x(x - 1)(x + 1) d A = (x + 1)3 - (x - 2)3; B = (3x - 1)(3x + 1) Giải:

⇔ a A = B (x - 3)(x + 4) - 2(3x - 2) = (x - 4)2 ⇔ x2 + 4x - 3x - 12 - 6x + = x2 - 8x + 16

⇔ ⇔ 3x = 24 x =

⇔ b A = B (x + 2)(x - 2) + 3x2 = (2x + 1)2 + 2x

⇔ x2 - 2x + 2x - + 3x2 = 4x2 + 4x + + 2x

⇔ ⇔

6 6x = - x = -

⇔ c A = B (x - 1)(x2 + x + 1) - 2x = x(x - 1)(x + 1)

⇔ x3 - - 2x + x3 - x ⇔ ⇔ - x = x = -

⇔ d A = B (x + 1)3 - ( x - 2)3 = (3x - 1)(3x + 1) ⇔ x3 + 3x2 + 3x + - (x3 - 6x2 + 12x - 8) = 9x2 - 1

⇔ ⇔ 10

9 - 9x = - 10 x =

Bài 4: Giải phương trình tích sau: a (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1) b 3x(25x + 15) - 35(5x + 3) = c (2 - 3x)(x + 11) = (3x - 2)(2 - 5x) d (2x2 + 1)(4x - 3) = (2x2 + 1)(x - 12) e (2x + 1)2 + (2 - x)(2x - 1) = 0

f (x + 2)(3 - 4x) = x2 + 4x + 4

Giải: a (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1)

⇔ (x - 1)(5x + 3) - (3x - 8)(x - 1) =

⇔ (x - 1)(5x + - 3x + 8) =

⇔ ⇔ 11

2 (x - 1)(2x + 11) = x = x = -

{1, −11

2 } Vậy S =

⇔ 15x(5x + 3) - 35(5x + 3) =

⇔ (5x + 3)(15x - 35) =

⇔ 35 73 x = - x =

{−3

5;

3} Vậy S =

c (2 - 3x)(x + 11) = (3x - 2)(2 - 5x)

⇔ (2 - 3x)(x + 11) + (2 - 3x)(2 - 5x) =

⇔ - 3x)(x + 11 + - 5x) =

⇔ (2 - 3x)(- 4x + 13) =

⇔ 32 134 x = x =

{23; 13

4 } Vậy S =

d (2x2 + 1)(4x - 3) = (2x2 + 1)(x - 12)

⇔ (2x2 + 1)(4x - 3) - (2x2 + 1)(x - 12) = 0

⇔ (2x2 + 1)(4x - - x + 12) = 0 ⇔ (2x2 + 1)(3x + 9) = 0

⇔ x = -

{−3} Vậy S =

e (2x + 1)2 + (2 - x)(2x - 1) = 0

⇔ (2x - 1)(2x - + - x) =

⇔ (2x - 1)(x + 1) =

⇔

2 x = x = -

{12;− 1} Vậy S =

f (x + 2)(3 - 4x) = x2 + 4x + 4 ⇔ (x + 2)(3 - 4x) - (x + 2)2 = 0

⇔ (x + 2)(3 - 4x - x - 2) =

⇔ (x + 2)(-5x + 1) =

⇔

5 x = - x =

{− ;1

5} Vậy S =

Bài 5: Cho phương trình (3x + 2k - 5)(x - 3k + 1) = k số a Tìm giá trị cØa k cho nghiệm phương trình x = b Với giá trị k tìm câu a, giải phương trình cho

Giải:

a Với x = ta có phương trình (3 + 2k - 5)(1 - 3k + 1) =

⇔ ⇔ 32 (2k - 2) - 3k + 2) = k = k =

3 Vậy với k = k = thị phương trình cho có nghiệm x

=

b Với k = ta có pt: (3x - 3)(x - 2) =

⇔ x = x =

2

3 Với k = ta có pt:

(3 x −11

3 ) ( x − 1)=0 ⇔ 11

9 x = x =

Bài 6: Giải phương trình có ẩn mẫu.

1 − x

x+1+3=

2 x +3

x+1 a

(x +2)2 2 x − 3− 1=

x2+10 2 x −3 b 5 x −2

2− x+ 2 x −1

2 =1 −

x2+x −3

1 − x c

5 − x

3 +

( x − 1)( x +1)

3 x −1 =

( x+2 )(1 −3 x )

9 x − 3 d

2 x +1

x −1 =

5 ( x − 1)

x+1 e

1

x −1+

2 x2−5 x3− 1 =

4

x2+x+1 f

Giải:

1 − x

x+1+3=

2 x +3

x+1 a §KX§: x - ⇔ 1 − x +3(x +1)

x+1 =

2 x+3

x +1

⇔ ⇔ - x + 3x + = 2x + 0x = -

(x +2)2 2 x − 3− 1=

x2+10 2 x −3

3

2 b §KX§: x =

⇔ x+2

¿2−2 x +3 ¿ ¿ ¿

⇔ x2 + 4x + - 2x + = x2 + 10

⇔ ⇔

2 2x = x = (loại)

Vậy PT vô nghiệm

5 x −2 2− x+

2 x −1

2 =1 −

x2+x −3

1 − x c §KX§: x

⇔

1 − x− 2(x

+x − 3)

¿

2¿

5 x −2(¿2 x −1)(1 − x)

2(1 − x ) =¿

¿

⇔ 5x - + 2x - 2x2 - 1+ x = - 2x - 2x2 - 2x + 6

⇔ ⇔ 11

12 12x = 11x = (thoả mãn ®kx®)

{1112} Vậy S =

5 − x

3 +

( x − 1)( x +1)

3 x −1 =

( x+2 )(1 −3 x ) 9 x − 3

1

3 d §KX§: x

⇔ (5 −2 x)(3 x − 1)+3 (x −1)(x +1)

3(3 x − 1) =

(x +2)(1− x) 3(3 x −1)

⇔ 15x - - 6x2 + 2x + 3x2 + 3x - 3x - = x - 3x2 +2 - 6x

⇔ ⇔ 10

22=

11 22x = 10 x =

{115 } Vậy S =

2 x +1

x −1 =

5 ( x − 1)

x+1 ± e §KX§: x

⇔ (2 x+1)(x +1)

(x −1)(x+1)=

5(x − 1)(x −1) (x −1)(x +1)

⇔ (2x + 1)(x + 1) = (5x - 5)(x - 1)

⇔ 2x2 + 2x + x + = 5x2 - 5x - 5x + 5 ⇔ 3x2 - x - 12x + = 0

⇔ x(3x - 1)(x - 4) =

⇔

{13;4} Vậy S =

x −1+

2 x2−5 x3− 1 =

4

x2+x+1 f §KX§: x

⇔ x 2+x+1+2 x

− 5 x −1 =

4( x −1)

x3−1 ⇔ x2 + x + + 2x2 - = 4x - 4

⇔ 3x2 - 3x = 0 ⇔ 3x(x - 1) =

⇔ x = (thoả mãn) x = (loại)

{0} Vậy S =

* Giải toán cách lập phương trình Tiết 27:

Bài 7: Thùng dầu thứ chứa gấp đôi thùng dầu thứ hai Nếu chuyển từ thùng dầu thứ sang thùng dầu thứ hai 25 lít lượng dầu hai thùng Tính lượng dầu thùng lúc đầu

Giải:

Gọi số lượng dầu ban đầu thùng thứ hai x (®k: x > 0)

⇒ lượng dầu thùng thứ 2x Khi số lượng dầu thùng thứ hai là: x + 25 Theo gt: 2x - 25 = x + 25

⇔ 2x - x = 25 + 25

⇔ x = 50

Vậy lúc đầu lượng dầu thùng thứ 100 lít thùng thứ hai 50lít Bài 8: Học sinh khối nhắt 65kg kim loại vơn Trong đồng nhiều hơn nhơm 15kg, kẽm tổng số khối lượng nhôm đồng 1kg Hỏi khối nhặt kg loại

Giải:

Gọi số lượng nhôm nhặt x (kg) (x > 0) Số lượng đồng nhặt x + 15 (kg)

Số lượng kẽm nhặt x + x + 15 - = 2x + 14 (kg) Tổng số kim loại vôn nhặt

x + x + 15 + 2x + 14 = 4x + 29

+ 15 = 24 kg đồng + 24 - = 32 kg kẽm

Tiết 28:

Bài 9: Một xí nghiệp dệt thảm giao làm số thảm xuất 20 ngày Xí nghiệp tăng suất 20% nên sau 18 ngày làm xong số thảm giao mà làm thêm 24 Tính số thảm xí nghiệp làm 18 ngày

Giải:

Gọi số thảm xí nghiệp làm 18 ngày x (x nguyên dương)

x

18 Một ngày làm

Số thảm xí nghiệp giao 20 ngày là: x - 20

x −24

20 Một ngày phải làm

Do tăng suất 20% nên ngày số thảm xí nghiệp làm so với số thảm xí nghiệp phải làm 100% + 20% = 120% = 1,2

Theo ta có phương trình:

x

18=1,2

x −21

20

Giải PT tìm x = 324

Vậy số thảm xí nghiệp làm 18 ngày 324

Bài 10: Một lớp học tham gia trồng lâm trường thời gian định với suất 300 ngày Nhưng thực tế người trồng thêm 100 nên trồng thêm tất 600 hồn thành kế hoạch trước ngày Tính số dù định trồng

Giải:

Gọi số dù định trồng x (x nguyên dương)

x

300 Khi số ngày dự định để trồng : ngày

Nhưng thực tế ngày trồng 400 (vì thêm 100 cây)

x +600

400 Nên số trồng tất x + 600 số ngày là:

Theo ta có phương trình:

x

300=

x +600

400 +1

Vậy số dù định trồng 3000

Chủ đề 10: Tam giác đồng dạng A Mục tiêu:

- Học sinh hiểu biết vận dụng định lý Ta lét, định lý Ta lét đảo hệ định lý ta lét vào giải toán

- Nắm trường hợp đồng dạng tam giác vận dụng tốn thực tế

B Thời lượng: tiết (tiết 39, 30, 31, 32, 33, 34) C Thực hiện:

Tiết 29: Câu hỏi:

1 Hãy phát biểu định lý Ta lét, định lý Ta lét đảo, hệ định lý Ta lét Thế hai tam giác đồng dạng, tính chất hai tam giác đồng dạng Nêu trường hợp đồng dạng hai tam giác

Bài 1: Cho hình thang ABCD, có đáy lớn CD, đáy nhỏ AB Qua A k ng thng song song vi BC căt ng chộo BD E, qua B kẻ đường thẳng song song vi AD căt ng chộo AC F

a Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân

b Tính độ dài đoạn EF biết AB = 5cm, CD = 10cm Giải:

a Do AE // BC (gt)

OE

OE=

OA

OC Theo định lý TalÐt ta có: (1)

Do BF // AD (gt) Theo định lý ta lét ta có:

OB

OD=

OF

OA (2)

⇒ OE

OB OB

OD=

OA OC

OF OA

OE

OD=

OF

OC Từ (1) (2) hay

Theo định lý đảo định lý TalÐt ta lại có: EF // DC

⇒ Tứ giác DEFC hình thnag (dấu hiệu nhận biết) Xét tam giác ABC tam giác BAD có: AB cạnh chung BC = AD (gt); AC = BD (gt)

⇒ góc <C1 = <D1 (2 góc tương ứng) mà góc <D = <C (gt) nên <C2 = <D2

Hình thang DEFC có hai góc kÌ đáy nên hình thang cân b Theo câu a, ta có: EF // CD mà CD // AB (gt)

⇒ EF // CD // AB

Do EF // AB Theo định lý Ta lét ta có:

AB EF = OB OE OB OE= OC OA ⇒ AB EF = OC

OA mà (3) DC

AB=

OC

OA Do CD // AB, theo định lý Ta lét ta có: (4)

⇒ AB

AF =

DC

AB ⇒ Từ (3), (4) AB

2 = EF DC

AB2

CD =

52 10=

25

10=2,5 Do đó: EF = cm

Tiết 30:

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 14cm, CD = 35cm, AD= 17,5cm Trên cạnh AD lấy điểm E cho DE = 5cm Qua E vÊ đường thẳng song song với AB cắt BC F Tính độ dài EF D A

Giải:

Gọi giao điểm AC với EF I

Do IE // CD F E

EI

CD=

AE

AD Theo định lý TalÐt ta có: C B

⇒ CD AE

AD =

35 12 , 5

17 , 5 =25 cm EI =

Do IF // AB theo định lý TalÐt ta có

IF AB= CI CA CI CA= DE DA=

17 , 5 mà IF

AB=

5

17 , 5 ⇒

14

17 , 5=4 cm Do đó: IF =

Vậy EF = EI + IF = 25 + = 29cm

AF

FC =

2

3 Bài 3: Cho hình thang cân ABCD (AD //BC) Đường cao BE cắt đường

chéo AC F Hai đường thẳng AB CD cắt M Tính độ dài đoạn BM, biết AB= 20cm,

Giải: B C

Vì ABCD hình thang cân nên ta

2 AE

BC =

4

3 Từ suy ra: A E D AE+BC BC = 4+3 AD BC =

3 Do đó: hay

Mặt khác tam giác MAD, BC // AD nên ta có:

MA MB = AD BC = ⇒ MB+MA MB =

⇒ Mà AB = 20 MB = 15cm Tiết 31:

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm cạnh CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC

a Chứng minh: IK // AB

b Đường thẳng IK cắt AD BC theo thứ tự E F Chứng minh: EI = IK = KF

Gii: A B

ĐặtAB = m, MC = MD = n E F a Do AB // CD ta có:

MI IA =

MD

AB =

n

m (1) D M C

MK

KB =

MC

AB =

n

m (2)

⇒ MI

AI = MK

KB Từ (1), (2)

Theo định lý đảo định lý talÐt tam giác MAB ta có: IK // AB b Do EF // CD ta có:

IE DM= AI AM EI n = AI

AM hay (3) IK MC= IM AM IK n = AI

AM hay (4)

⇒ Từ (3), (4) EI = IK

KF

MC=

AI

AM Tương tự ta có:

Từ ta có: EI = IK = KF (®pcm)

DG GC = BK KC=

2 Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi G điểm trên

cạnh CD, K điểm cạnh CB cho

Giải: A B

DE

EB=

DG

AB Do DG // AB nên K

mà AB = CD E

DE

EB=

DG

DC =

1

3 ⇒

DE

DB=

1

4 D G C

4 Vậy DE = DB = 6cm

8 Tương tự: BF = BD = 9cm

Từ ta có: EF = 9cm Tiết 32:

Bài 6: Qua trọng tâm G tam giác ABC, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB BC D E Tính độ dài đoạn DE, biết AD + EC = 16cm, chu vi tam giác ABC 75cm

Giải: A

KG

BK =

1

BG

BK=

2

3 Ta có: , D

AD

AB =

EC BC=

GK

BG =

1

3 Do đó: DE // AC nên K

⇒ AD+EC

AB+BC=

1

⇒ Vì AD + EC = 16cm AB + BC = 75 - AC B E C

⇒ 16

75 − AC=

3 Từ ta có:

Do AC = 27cm

DE

AC=

2

DE

27 =

2

3 ⇒ Ta lại có: hay DE = 18cm

Bài 7: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2,5cm, AD = 3,5cm, BD = 5cm và góc <DAB = <DBC

a Chứng minh: tam giác ADB đồng dạng với tam tam giác BCD b Tính độ dài cạnh BC, CD

Giải:

a Ta có: góc <ABD = <BDC (2 góc so le trong)

Góc <DAB = <DBC (gt) A B

Δ ABD ΔBDC Vậy đồng dạng với (c.c.c)

AB

BD=

AD

BC =

BD

DC b Ta có: 2,5

5 =

3,5

BC=

5

CD ⇒

5

2,5=10 cm hay DC = D

C

5 3,5

2,5 =7 cm BC =

c Vẽ hình thang ABCD

- B1: Vẽ tam giác ABD theo độ dài cho trước cạnh

- B2: Lấy B làm tâm quay cung trịn có bán kính 7cm, lấy D làm tâm quay trịn có bán kính 10cm, hai cung trịn cắt điểm C (khác phía với A so với BD)

Tiết 33:

FD FA=

EA

EC Bài 8: Cho tam giác vng ABC (góc A = 90

0) Dựng AD vng góc với BC (D thuộc BC) đường phân giác BE cắt AD F Chứng ming:

Giải: Do BE đường phân giác tam giác ABD

(tại đỉnh B) nên ta có: A

FD FA=

BD

BA (1) E

BE đường phân giác tam giác ABC đỉnh B dã ta có:

EA

EC =

BA

BC (2) B D C

Tam giác DBA đồng dạng với tam giác ABC (g.g)

BD

AB=

BA

BC ⇒

FD FA=

EA

EC Ta lại có: (3) Từ (1), (2), (3)

Bài 9: Đường cao tam giác vng xuất phát từ đỉnh góc vng chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài 9cm 16cm Tính độ dài cạnh tam giác vng

Giả sử tam giác ABC vng A, có đường cao AH

Và BH = 9cm, CH = 16cm A

Δ Δ Xét tam giác vng HBA HAC có:

Góc <BAH + <HAC = 1v (1) Góc <HCA + <HAC = 1v (2)

⇒ Từ (1) (2) <BHA = <HCA

⇒ Δ ΔHAC HBA đồng dạng với (g.g) B H

C

⇒ HB

HA=

HA

HC ⇒ nên HA

2 = HB HC = 16 = 144

⇒ HA = 12cm

áp dụng định lý Pitago ta vào tam giác vuông HBA, HAC ta có:

⇒ √225 AB2 = HB2 + HA2 = 92 + 122 AB = = 15cm

⇒ √400 AC2 = HC2 + HA2 = 162 + 122 = 400 AC = = 20cm

BC = BH + CH = + 16 = 25cm Tiết 34:

Bài 10:Cho hình thang vng ABCD (<A = <D = 900), AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm Trên cạnh AD đặt đoạn thẳng AE = 8cm Chứng minh góc

<BEC = 900. Giải:

Ta có: DE = AD - AE = 17 - = 9cm A B

AB

DE =

AE DC

6 9=

8

12 Từ ta có: (vì )

Δ ABE ΔDEC Vậy đồng dạng với E

Do đó: góc <AEB = <DEC (1) Góc <ABE = <DEC (2)

⇒ Từ (1), (2) góc <AEB + DEC = 900 D C nên <BEC = 900

Bài 11: Cho hình bình hành ABCD Qua A kẻ đường thẳng tuỳ ý cắt BD, BC, CD E, K, G Chứng minh:

a AE2 = EK EG

1

AE=

1

AK +

1

AG b

Giải:

EK

AE =

BE

ED a Do BK // AD nên (1) AE

EG=

BE

ED Do AB // DG nên (2)

⇒ EK

AE =

AE

EG Từ (1) (2)

Do : AE2 = EK EG

AE

EK =

DE

EB ⇒

AE

AK=

DE

DB b Ta có: (3) AE

AG=

BE

BD Tương tự: (4)

Cộng vỊ với vỊ (3) (4) ta có:

AE

AK +

AE

AG=

DE DB+

BE

BD=

BD

BD=1

c Đặt AB = a, AD = b

BK

KC=

a

CG

KC

b =

CG

DG Như vậy: (*); (**)

Nhân vỊ với vỊ (*) (**) ta có:

BK

b = a

DG ⇒ BK - DG = ab không đổi

Chủ đề 11: Bất phương trình bậc ẩn A Mục tiêu

- Học sinh nắm liên hệ thứ tự phép cộng, thứ tự phép nhân - Biết cách giải bất phương trình bậc ẩn phương trình chứa giá trị tuyệt đối

- Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tập B Thời lượng: tiết (tiết 35, 36, 37, 38, 39, 40) C Thực hiện:

Tiết 35 : Câu hỏi:

1 Nhắc lại liên hệ thứ tự phép cộng, liên hệ thứ thù phép nhân

2 Thế bất phương trình bậc ẩn? Hai bất phương trình gọi tương đương?

5 Nêu định nghĩa giá trị tuyệt đối số Bài 1: Cho a, b hai số bất kỳ, chứng tỏ rằng

(a+b )2 ≥ ab

⇔ Giải: Ta có: (a - b)2 a2 - 2ab + b2

⇔ a2 - 2ab + 4ab + b2 4ab

⇔ a2 + 2ab + b2 4ab

⇔ (a + b)2 4ab

⇔

2

1

2 (a + b)

2 4ab

⇔ (a+b )2

2 ≥ ab

Dấu “=” xảy a - b = hay a - b Bài 2: Chứng minh bất đẳnh thức.

a a2 + b2 + ab + a + b b a2 + b2 + c2 a(b + c) Giải:

a Ta có: (a + b)2 (a - 1)2 0

⇔ ⇔ a2 + b2 2ab (1); a2 + 2a (2) Lại có: (b - 1)2 0

⇔ b2 + 2b (3)

⇔ Cộng vế với vế (2) (3) ta có: 2(a2 + b2 + 1) 2(ab + a + b)

⇔ 12 12 2(a2 + b2 + 1) 2(ab + a + b) ⇔ a2 + b2 + ab + a + b

¿

a −b=0 a −1=0⇒a=b=1

b − 1=0

¿{ {

¿

Dấu “=” xảy

b Ta có: a2 + b2 + c2 a(b + c) ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2ac

⇔ (a - b)2 + (a - c)2 + b2 + c2 (1)

BĐT (1) ln nên ta có đpcm Dấu “=” xảy a = b = c = Tiết 36:

Bài 3: Giải bất phương trình sau: a 3x - > 2(x - 1) + x

b (x + 2)2 - (x - 2)2 > 8x - 2 c 3(4x + 1) - 2(5x + 2) > 8x -

x −3

4 +

x +3

3 d + x -

x +4

5

x −2

2 +

x +3

3 e + < x - 15(x − 1)

2 ≥ f 2x

2 + 2x + - 2x(x + 1) Giải:

a 3x - > 2(x - 1) + x

⇔ 3x - > 2x - + x

⇔ 3x - 3x > - +

⇔ 0x >

Vậy bất PT vô nghiệm b (x + 2)2 - (x - 2)2 > 8x - 2

⇔ x2 + 4x + - x2 + 4x - > 8x - 2 ⇔ 8x - 8x > -

⇔ 0x > -

Vậy bất PT vô số nghiệm

x −3

4 +

x +3

3 d + x -

⇔ 12(1+x)−3(x −3)

12 >

3(x +1)− 4( x −2)

12

⇔ 12(1 + x) - 3(x - 3) > 3(x + 1) - 4(x - 2)

⇔ 12 + 12x - 3x + > 3x + - 4x +

⇔ 9x + 21 > - x + 11

⇔ 10x > - 10

⇔ x > -

x +4

5

x −2

2 +

x +3

3 e + < x -

⇔ 30 5+6 (x+4)

30 <

30 x −15(x −2)+10(x+3)

30

⇔ 150 + 6x + 24 < 30x - 15x + 30 + 10x + 30

⇔ 6x + 15x - 30x - 10x < 30 + 30 - 150 - 24

⇔ - 19x < - 114

⇔ x >

Vậy nghiệm bất PT x >

15(x − 1)

2 ≥ f 2x

2 + 2x + - 2x(x + 1) ⇔ 2(2 x2+2 x +1)− 15(x − 1)

2 ≥

4 x (x +1)

⇔ 2(2x2 + 2x + 1) - 15(x - 1) 4x(x + 1)

⇔ 4x2 + 4x + - 15x + 15 4x2 + 4x

⇔ 4x2 - 11x - 4x2 - 4x - 17

⇔ - 15x - 17

⇔ 17

15 x 17

15 Vậy nghiệm bất PT x

Tiết 37:

Bài 4: Cho biểu thức sau:

x2+2 x+1

x2−4 x+5

2 x − x +10

x3− x2− x −3 A = B =

a Tìm điều kiện có nghĩa B

b Tìm giá trị bé A giá trị tương ứng x c Tìm giá trị x để A B <

Giải:

a Biểu thức B có nghĩa mẫu thức x3 - x2 - 5x - 0

⇔ x2(x - 3) + 2x(x - 3) + (x - 3)

⇔ (x - 3)(x2 + 2x + 1)

⇔

¿

x − 3≠ 0 x +1 ≠ 0

¿{

¿

⇔

¿

x ≠ 3 x ≠ −1

¿{

¿

Vậy với x 3; x - B có nghĩa

x − 2¿2+1 ¿

( x +1)2

¿

b Ta có: A =

0∀ x ∀ Ta có: (x + 1)2 (x - 2)2 + > x x+1¿2

¿

x − 2¿2+1 ¿ ¿ ¿ ¿

Do đó: hay A

⇔ Dấu “=” xảy x + = x = -

x2+2 x+1 x2−4 x+5

2 x2− x +10

x3− x2−5 x − 3 c Ta có: A B =

x +1¿2 ¿

x +1¿2

(x − 3)¿ ¿ ¿

2

x −3 = =

⇔

¿

2

x −3<0 x ≠ ; x ≠ −1

¿{

¿

⇔

¿

x <3 x ≠ −1

¿{

¿

Do A B <

Vậy với x < x - A B < Bài 5:

− 4

x2−2 x+2−5<0 a Chứng tỏ bất phương trình sau nghiệm với x x2−4 x+1

x2 b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =

Giải:

x −1¿2+1

¿ ¿

− 4

x2−2 x+2−5=

− 4

¿ a

x2−4 x+1

x2 1−

4

x+

1

x2=−3+4 −

4

x+

1

x2 b A = = (2 −1

2)

2

≥ −3 = - +

2−1

x=0

1

2 Dấu “=” xảy hay x =

2 Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ - x =

Tiết 38: Bài 6:

a Chứng tỏ: (x - 1)(x - 3)(x - 4) (x - 6) + 10

x2−2 x+1995

x2 b Tìm x để A có giá trị nhỏ A = với x >

Giải: a VT = (x - 1) (x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10 = (x - 1)(x - 6)(x - 3)(x - 4) + 10 = (x2 - 7x + 6)(x2 - 7x + 12) + 10 = (x2 - 7x + - 3)(x2 - 7x - + 3) + 10 = (x2 - 7x + 9)2 - + 10

1∀ x = (x2 - 7x + 9)2 +

1∀ x Do (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10

1995(x2− x +1995)

1995 x2 =

1995 x2− x 1995+19952

1995 x2 b A =

x −1995¿2 ¿ ¿

1994 x2+x2−2 x 1995+19952

1995 x2 =

1994 1995 +¿

=

x −1995¿2 ¿ ¿

1994 1995 +¿

Ta thấy

Dấu “=” xảy x - 1995 = hay x = 1995

1994

1995 Vậy giá trị nhỏ A x = 1995

Bài 7: Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối sau.

|x − 1|=2 5|x|− 2=x a b

|x − 3|−5 x=7 |x=3|=|5 − x| c d

Giải:

|x − 1|=2

⇔ x − 1=2

¿

x −1=−2

¿

x=3

¿

x=−1

¿ ¿ ¿

⇔¿ ¿ ¿ ¿

a

b Xét trường hợp

x ≥ 0 5|x|− 2=x TH1: Nếu PT trở thành

⇔

2 5x - = x x = (thảo mãn đk x > 0) 5|x|− 2=x TH2: Nếu x < PT trở thành

⇔

3 - 5x - = x x = - (thoả mãn đk x < 0)

2

3 Vậy phương trình có nghiệm: x = x = -

|x − 3|−5 x=7 c

0 - Nếu x - hay x ta có PT

⇔ x - - 5x = x = - 2,5 (không thoả mãn đk x 3)

- Nếu x - < hay x < ta có PT

⇔

3 - x + - 5x = x = - (thoả mãn dk x < 3)

3 Vậy phương trình có nghiệm x = -

|x=3|=|5 − x| d Hai vế khơng âm bình phương hai vế ta có

⇔ (x + 3)2 = (5 - x)2 x2 + 6x + = 25 - 10x + x2

⇔ x =

Vậy nghiệm PT là: x =

|3 x −14|−|x +2|=5 e

x ≤ −2 - Xét ta có Pt: (14 - 3x) - (- x - 2) =

⇔ 14 - 3x + x + =

14

3 - Xét - < x ta có PT

(14 - 3x) - (x + 2) =

⇔ 14 - 3x - x - =

⇔ ⇔

4 - 4x = - x = (thoả mãn ®k) 14

3 - Xét x > ta có PT

(3x - 14) - (x + 2) =

⇔ 3x - 14 - x - =

⇔ ⇔ 21

2 2x = 21 x = (thoả mãn ®k)

4 21

2 Vậy nghiệm phương trình là: x = x =

Tiết 39:

(2− xx +3 −

3 − x 2+2+

2 − x

x2+5 x+6):(1−

x

x − 1) Bài 8: Cho biểu thức A =

a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị x để A > Giải:

(2− xx +3 −

3 − x 2+2 +

2 − x

x2+5 x+6):(1−

x

x − 1) −2 x ≠ −3 ; x ≠ 1 a A = ®kx®: x ,

(2− xx +3 −

3 − x

x +2+

2 − x (x +3)(x+2)):

x −1 − x

x − 1 A =

(2 − x )( x +2)−(3 − x )( x+ 3)+2 − x (x +3)(x+2)

x −1

−1 A =

4 − x2−9+x2+2 − x (x+3)(x +2)

x − 1

− 1 A = −(x +3)

(x+3)(x+2)

x −1

− 1 A = x −1

x+2 A =

⇔

¿

x ≠ −2 x ≠ −3 x −1

x+2>1(1)

¿{ {

¿

b Để a >1

x −1

x+2>1 ⇔

x −1

x+2− 1>0⇔

x −1 − x −2

⇔ −3

x +2>0 ⇔ ⇔ x + < x < -

¿

x <− 2 x ≠ −3

¿{

¿

Vậy với A >

Bài 9: Tìm giá trị lớn biểu thức. A = - x2 - y2 + xy + x + y Và cá giá trị tương ứng x y Giải:

A = - x2 - y2 + xy + x + y

1

1

1

2 = - (x

2 - 2xy + y2) - (x2 - 2x + 1) - (y2 - 2y + 1) +1

1

y −1¿2

x −1¿2+¿≤ 1

(x − y )2+¿ ¿

= -

¿

x − y=0 x − 1=0 y −1=0

⇔

¿1− 1=0

x=1 y =1 ⇔

¿x =1

y =1

¿{ {

¿

Dấu “=” xảy

⇔ x =1

y=1

¿{

Vậy giá trị lớn là: A =

Tiết 40:

Bài 10: Giải bất phương trình a 3x3 + 4x2 + 5x + > 0

x −3

x +2>2 b

Giải:

a 3x3 + 4x2 + 5x + > 0

⇔ 3x3 - 2x2 + 6x2 - 4x + 9x - > 0

⇔ (3x - 2)(x2 + 2x + 3) > 0

⇔ ⇔

3 Ta thấy x

2 + 2x + > nên 3x - > x > x −3

x +2>2 b ⇔ x −3

x +2− 2>0⇔

x − 3− x − 4 x +2 >0⇔

− x − 7 x+2 >0

⇔

x +7 x+2<0⇔

¿x+7<0

x +2>0

¿ ¿ ¿

x +7>0

¿

x +2<0

¿ ¿ ¿

⇔

¿ ¿ ¿

x<− 7

¿ ¿

x>− 2

¿ ¿ ¿

Vậy bất phương trình cho có nghiệm - < x < - Bài 11: Tìm giá trị x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất.

x+1999¿2 ¿

x

¿

A(x) = với x >

Tìm giá trị lớn Giải:

Đặt a = 1999

x +a¿2 ¿

x+a¿2− · ¿

x +a¿2

4 a¿

x +x¿2−¿ ¿ ¿

x

¿

x − a¿2 ¿

x +a¿2 ¿

x − a¿2 ¿

x +a¿2 ¿

4 a¿ ¿

4 a¿

x+a¿2−¿ ¿ ¿

= (với a> 0, x > 0)

⇒

x − a¿2 ¿

x +a¿2 ¿

4 a¿ ¿ ¿

Vì a > nên 4a(x +a)2 -

1

4 a⇔ x=a A(x) =