Bài giảng điều khiển tương tự và số

Hệ thống điều chỉnh theo chương trình là hệ thống có lượng vào là các hàm đã biết trước, có thể dưới dạng chương trình.Thí dụ hệ điều khiển đường bay định trước của máy bay không người [r]

(1)

BÀI GIẢNG

(2)

KHÁI NIỆM VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

1.1 Các khái niệm bản

Để hiểu khái niệm hệ thống điều khiển tự động trước hết ta xem ví dụ sau

Hình 1.1: Sơ đồ điều khiển lò để phát điện

Điều khiển tập hợp tất tác động có mục đích nhằm điều khiển q trình hay trình theo quy luật hay chương trình cho trước

Điều khiển học môn khoa học nghiên cứu nguyên tắc xây dựng hệ điều khiển

Quá trình điều khiển điều chỉnh thực mà khơng có tham gia trực tiếp người, gọi q trình điều khiển điều chỉnh tự động

Tập hợp tất thiết bị mà nhờ q trình điều khiển thực gọi hệ thống điều khiển

T

u

ốc

b

in

Máy phát điện

O2 T P

Máy tính

Khống chế tốc độ LÒ HƠI

Van

Van Van

Đo thông

số điện

U, I

(3)

Tập hợp tất thiết bị kỹ thuật, đảm bảo ĐK ĐC tự động trình gọi hệ thống ĐK ĐC tự động (đôi gọi tắt hệ thống tự động – HTTĐ)

1.2 Các phần tử hệ thống điều khiển tự động

Đối tượng điều khiển (Object), Thiết bị điều khiển (Controller ), Thiết bị đo lường (Measuring device)

- Sơ đồ tổng quát

Hình 1.2: Sơ đồ tổng quát hệ thống điều khiển tự động

Mọi hệ thống điều khiển tự động bao gồm phận : - Thiết bị điều khiển C (Controller device)

- Đối tượng điều khiển (Object device) - Thiết bị đo lường (Measuring device)

u(t) tín hiệu vào ; e(t) Sại lệch điều khiển ; x(t) Tín hiệu điều khiển ; y(t) Tín hiệu ; z(t) Tín hiệu phản hồi

1.3 Các nguyên tắc điều khiển bản

Có nguyên tắc điều khiển :

-Nguyên tắc điều khiển theo sai lệch (Hình 1.3)

Hình 1.3: Sơ đồ nguyên tắc điều khiển theo sai lệch

Tín hiệu y(t) đưa vào so sánh với tín hiệu vào u(t) nhằm tạo nên tín hiệu tác động lên đầu vào điều khiển C nhằm tạo tín hiệu điều khiển đối tượng O

-Nguyên tắc điều khiển theo phương pháp bù nhiễu (Hình 1.4) O

C

M

u(t) e(t) x(t) y(t)

z(t)

-O C

M

u(t) e(t) x(t) y(t)

(4)

-Hình 1.4: Sơ đồ nguyên tắc điều khiển bù nhiễu

Nguyên tắc bù nhiễu sử dụng thiết bị bù K để giảm ảnh hưởng nhiễu nguyên nhân trực tiếp gây hậu cho hệ thống (hình 1.4)

-Nguyên tắc điều khiển theo sai lệch bù nhiễu (Hình 1.5)

Hình 1.5: Sơ đồ nguyên tắc điều khiển hỗn hợp

Nguyên tắc điều khiển hỗn hợp phối hợp hai nguyên tắc trên, vừa có hồi sai lệch vừa dùng thiết bị để bù nhiễu

1.4 Phân loại hệ thống điều khiển tự động. 1.4.1 Phân loại theo nguyên lý xây dựng.

Các phần tử phân chia thành loại: hệ thống ĐK theo mạch hở, hệ thống ĐK theo mạch kín hệ thống ĐK hỗn hợp

Ngoài nguyên lý trên, từ năm 60 kỷ XX, sở áp dụng điều khiển học thể sống vào kỹ thuật đời loại hình hệ thống tự động mơ hoạt động thể sống: hệ tự chỉnh, thích nghi Ngun lý tự chỉnh thích nghi khơng địi hỏi phải biết đầy đủ đặc tính trình điều khiển trình làm việc, hệ thống tự chỉnh thích nghi với điều kiện bên thay đổi

Lý thuyết hệ ĐK tự chỉnh thích nghi trở thành nhánh phát triển quan trọng lý thuyết ĐKTĐ

Vì hầu hết hệ thống ĐKTĐ kỹ thuật hệ mạch kín q trình điều khiển thiết bị kỹ thuật lại trình điều chỉnh

O C

u(t) e(t) x(t) y(t)

O C

K

u(t) e(t) x(t) y(t)

y1(t )

M z(t)

(5)

-tham số nó, đề cập đến phân loại hệ thống ĐKTĐ mạch kín lý thuyết hệ

1.4.2/ Phân loại theo tính chất lượng vào.

Tuỳ theo tính chất tác động đầu vào, hệ thống ĐKTĐ có loại:

Hệ thống ổn định tự động (điều chỉnh theo số) hệ thống có lượng vào khơng đổi Nhiệm vụ hệ thống trì một vài đại lượng vật lý giá trị không đổi Thí dụ hệ thống ĐKTĐ tốc độ động nhiệt, hệ thống ĐKTĐ điện áp, tần số máy phát, hệ ổn định đường bay máy bay góc lái khơng thay đổi

Hệ thống điều chỉnh theo chương trình hệ thống có lượng vào hàm biết trước, dạng chương trình.Thí dụ hệ điều khiển đường bay định trước máy bay không người lái, hệ thống điều khiển máy cơng cụ: bào, phay với chương trình định trước nhớ máy tính

Hệ tự động bám, gọi tắt hệ bám hệ thống có lượng vào hàm thời gian khơng biết trước, thay đổi theo quy luật Nhiệm vụ hệ bảo đảm lượng phải "bám" theo thay đổi lượng vào Thí dụ hệ hệ bám đồng góc, hệ bám vô tuyến điện tử đài radar

1.4.3/ Phân loại theo dạng tín hiệu sử dụng hệ thống.

Theo dạng tín hiệu sử dụng hệ thống, có tác động liên tục hệ thống gián đoạn (hay hệ rời rạc)

Hệ tác động liên tục (gọi tắt hệ liên tục) hệ mà tất phẩn tử hệ có lượng hàm liên tục theo thời gian

Tín hiệu dạng hàm liên tục tín hiệu chiều (chưa biến điệu) tín hiệu xoay chiều (đã biến điệu) tương ứng có hệ ĐKTĐ chiều (DC) hệ thống ĐKTĐ xoay chiều (AC) (thí dụ hệ thống bám đồng cơng suất nhỏ dùng động chấp hành p ha)

(6)

Tuỳ theo tính chất gián đoạn lượng ra, hệ gián đoạn phân chia thành loại: hệ thống ĐKTĐ xung, hệ thống ĐKTĐ kiểu rơ le hệ thống ĐKTĐ số

Nếu gián đoạn tín hiệu xẩy qua thời gian xác định (ta gọi gián đoạn theo thời gian) tín hiệu vào thay đổi, ta có hệ ĐKTĐ xung

Nếu gián đoạn tín hiệu xẩy tín hiệu vào qua giá trị ngưỡng xác định (chúng ta gọi gián đoạn theo mức), ĐKTĐ kiểu rơle Hệ rơle thực chất hệ phi tuyến, đặc tính tĩnh hàm phi tuyến Đây đối tượng nghiên cứu phần quan trọng lý thuyêt ĐK

Nếu phần tử gián đoạn có tín hiệu dạng mã số (gián đoạn theo mức theo thời gian), ta có hệ ĐKTĐ số Hệ thống ĐKTĐ số hệ chứa thiết bị số (các biến đổi A/D, D/A, máy tính điện tử (PC), vi xử lý

1.4.4/ Phân loại theo dạng phương trình tốn học mơ tả hệ thống.

Về mặt tốn học, hệ thống ĐKTĐ mơ tả phương trình tốn học: phương trình tĩnh phương trình động Dựa vào tính chất phương trình, phân biệt hệ thống ĐKTĐ tuyến tính hệ ĐKTĐ khơng tuyến tính (phi tuyến)

Hệ thống ĐKTĐ tuyến tính hệ thống mơ tả phương trình tốn học tuyến tính Tính chất tuyến tính phần tử hệ thống ĐKTĐ tính chất lý tưởng Vì vậy, phương trình tốn học hệ thống phương trình tuyến tính hố, tức thay phụ thuộc gần tuyến tính

Hệ tuyến tính có phương trình động học với tham số khơng thay đổi gọi hệ ĐKTĐ tuyến tính có tham số khơng thay đổi, hay hệ ĐKTĐ tuyến tính dừng, cịn hệ thống có phương trình với tham số thay đổi gọi hệ

ĐKTĐ tuyến tính có tham số biến thiên, hay hệ ĐKTĐ tuyến tính khơng dừng

(7)

1.4.5/ Phân loại theo tính chất tác động bên ngồi.

Các tác động bên vào hệ tự động có quy luật thay đổi biết trước mang tính chất ngẫu nhiên

Hệ thống tiền định hệ có tác động bên ngồi tiền định, tức biết trước quy luật thay đổi (thí dụ xét hệ thống với tác động điển hình)

Hệ thống khơng tiền định (hay hệ ngẫu nhiên) hệ xem xét nghiên cứu tác động bên tín hiệu ngẫu nhiên

1.4.6/ Phân loại theo số lượng đại lượng cần điều khiển.

Tuỳ theo số lượng cần điều khiển (lượng hệ) có: hệ chiều hệ nhiều chiều

Hệ thống ĐKTĐ chiều có chứa đại lượng cần điều khiển, cịn hệ ĐKTĐ nhiều chiều hệ có chứa từ hai đại lượng cần điều khiển trở lên Thí dụ hệ nhiều chiều hệ thống ĐKTĐ máy phát điện, hệ thống ĐKTĐ lúc điều khiển tự động điện áp tần số

Ngồi cách phân loại xét trên, tuỳ thuộc vào tồn sai số hệ trạng thái cân bằng, phân biệt hai loại hệ thống: hệ thống tĩnh (có sai số tĩnh) hệ phiếm tĩnh (khơng có sai số tĩnh) Tuỳ thuộc vào quy luật (định luật) điều khiển (tức dạng tín hiệu điều khiển x(t) cấu điều khiển tạo ra), phân biệt điều khiển tỷ lệ (bộ điều khiển P), điều khiển tỷ lệ vi phân (bộ điều khiển PD), điều khiển vi phân - tích phân (bộ điều khiển PID)

1.5 Q trình thiết lập hệ thống điều khiển

-

(8)

-

Câu hỏi ơn tập chương 1

1 Hệ thống điều khiển tự động phân loại nào? Hệ thống điều khiển có phần tử bản?

3 Hãy nêu quy tắc điều khiển cở để điều khiển hệ thống điều khiển?

(9)

CHƯƠNG 2:

CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN

Mỗi hệ thống chia làm nhiều phần thuận tiện phần sẽ biễu diễn hàm toán học gọi hàm truyền đạt (transfer function)

Hình 2.1 : Sơ đồ phân chia hệ hệ thống điều khiển thành hệ thống

2.1 Các khâu bản

Ta có hệ thống điều khiển:

Hình 2.2 : Sơ đồ hệ thống điều khiển tổng quát

Đa phần mạch phản hồi hệ thống điều khiển mạch phản hồi âm Khi tiến hành phân tích hệ thống tốt hay xấu hay thiết kế điều khiển cho hệ thống phải xuất phát từ mơ hình tốn học hệ thống hay nói cách khác ta phải tìm quan hệ đầu vào đầu hệ thống

2.1.1 Khâu khuếch đại

Hình 2.3 : Sơ đồ khâu khuếch đại tĩnh

- Khâu khuếch đại tín hiệu đầu khuếch đại tín hiệu đầu vào

y = K.x

(2.1) đó: K hệ số khuếch đại

Hệ thống (System)

Đầu vào Đầu

Hệ thống

(subsystem) Hệ thống con(subsystem) Hệ thống

Hệ thống (subsystem) Hệ thống Đầu vào

Đầu

Bộ điều khiển

R C

Chấp hành

Đối tượng

Đo lường

E

C1 ±

x y

(10)

( Khuếch đại tĩnh có tín hiệu đầu vào tìm tín hiệu đầu ra)

- Cũng có hệ thống có khuếch đại nhiều tầng

Hình 2.4: Sơ đồ khâu khuếch đại tầng

2.1.2 Khâu tích phân

+y0

x (t )dt (¿)

y (t)=1 Ti

∫

t

t ¿

(2.2)

Với Ti thời gian tích phân 2.1.3 Khâu vi phân

y=TD

dx dt

(2.3) TD số thời gian vi phân

2.1.4 Khâu bậc nhất

Tdy

dt +y= K x (2.4)

trong đó: K hệ số truyền khâu

T số thời gian khâu

Phản ứng hệ thống tốt hay xấu phụ thuộc vào hệ số K, nhanh hay chậm phụ thuộc vào T

2.1.5 Khâu b c haiậ

T2dy

dt +2 ζT

dy

dt +y (t)=Kx(t) (2.5)

Trong đó: K hệ số khuếch đại

T số thời gian ξ độ suy giảm tín hiệu Đây mơ hình tốn học mạch RLC

2.1.6 Khâu bậc n

a0 d

n

y

dtn +a1

dn− 1y

dtn −1 + +an− 1

dy

dt +an y (t)=b0

dmx

dtm +b1

dm −1x

dtm −1 + +bm −1

dx

dt +bmx (t) (2.6)

thông thường n≥m

x y

(11)

2.2 Mơ hình miền tần sơ

2.2.1 Khái niệm phép biến đổi Laplace ứng dụng 2.2.1.1 Khái niệm chất phép biến đổi Laplace :

Khi sử dụng phép biến đổi tín hiệu hệ thống từ miền thời gian sang miền khác để thuận tiện việc xử lý tín hiệu Như hệ thống liên tục người ta hay sử dụng phép biến đổi Lpalace để biến đổi từ miền thời gian sang miền tần số phức Các phương trình vi tích phân chuyển đổi thành phương trình đại số thông thường

Trong hệ thống rời rạc người ta hay sử dụng phép biến đổi Z để chuyển tín hiệu tự miền thời gian sang miền tần số phức Trong thực tế người ta sử dụng phép biến đổi khác để xử lý tín hiệu giải tương quan, mã hố có hiệu quả, chống nhiễu,…

Thực phép biến đổi có cơng cụ tốn học máy tính số, cơng cụ phổ biến hiệu phần mềm Matlab hay thực biến đổi tay

a) Biến đổi Laplace thuận

Định nghĩa: Gọi F(s) biến đổi Laplace hàm f(t), ta có:

F(s)=L[f (t)]=

∫

0

∞

f (t)e− stdt

(2.7) đó:

-

s=σ + jω

-

e−st

-

Để thực biến đổi Laplace hàm f(t) phải hàm thực thoả mãn số điều kiện sau:

- f(t) hàm gốc thoả mãn điều kiện sau: f(t) = t <

2 f(t) liên tục t≥0, khoảng hữu hạn cho trước có hữu hạn đỉêm cực trị

(12)

- Nếu f(t) hàm gốc có số tăng α tích phân I=

∫

0

+∞

e− stf (t)dt hội tụ

trong miền Re(s) = σ > α Khi I=

∫

0

+∞

e− stf (t)dt=F (s) hàm phức

Ví dụ 1: Tìm ảnh hàm gốc sau

Áp dụng cơng thức biến đổi ta có

F(s)=

∫

0

+∞

e−stf (t)dt=

∫

0

e−stf (t)dt −

∫

2

e−stf (t)dt=−1 se

−st ¿02+1

se

−st ¿23=1

s(1− e

− p

+e− p)

Ví dụ 2: Cho hàm

Tìm biến đổi Laplace? Giải

F(s)=

∫

0

+∞

e−stf (t)dt=−e

−st

s ¿0

+∞

=1

s

Ví du 3: Tìm ảnh Laplace hàm f(t) = 4t2 Từ bảng biến đổi Laplace ta có

Áp dụng biến đổi tìm ảnh Laplace hàm f(t) = 4t2

b) Biến đổi Laplace ngược:

Biến đổi Laplace ngược xác định tín hiệu f(t) từ ảnh Laplace F(s) Gọi f(t) gốc ảnh F(s) Khi ta có:

f(t)

t

1

(13)

L−1[F(s)]=f (t)= 2 πjc − j ∞

∫

c+ j ∞

F (s)estds

(2.8) cơng thức (2.8) dùng, ta hay áp dụng phương pháp biến đổi ngược hàm F(s) có dạng hàm hữu tỷ

Giả sử f(t) có ảnh Laplace dạng sau

F(s)=B (s ) A(s)=

b0+b1s+⋯+bms m

a0+a1s+⋯+ansn (2.9)

với n ≥ m

Các bước thực sau:

Bước 1: Phân tích F(s) thành tổng hàm phân thức tối giản

s −a¿i ¿

s−σk¿2+ωk2 ¿ ¿

Bk(s − σk)+Ckωk ¿

¿

Aki

¿

∑

i=1 rk

¿

F (s)= A+

∑

k=1 l

¿

(2.10)

trong A, Aki, Bk, Ck số ak điểm cực thực bội rk σk+jωk

điểm cực phức F(s), nói cách khác chúng điểm mà F(s) = ± ∞

Bước 2: Xác định hàm gốc cho phần tử.

- L

A

Aδ(t)

- L

s− a¿i

¿=Aki

ti − 1eakt

(i−1)!1(t)

Aki

¿ ¿

- L

s − σk¿2+ωk2

¿=Bkeσktcos(ω

kt)1(t)

Bk(s− σk)

(14)

- L

s −σk¿2+ωk2

¿=Ckeσktsin (ω

kt)1(t)

Ckωk ¿ ¿

Ví dụ 1: Tìm hàm gốc f(t) ảnh Laplace sau

F(s)= s2

(s+1)

Giải:

Bước 1: Phân tích thành tổng phân thức tối giản

F(s)= s+1−

1

s+

1

s2

Bước 2: Xác định hàm gốc cho thành phần

f(t) = (e – t – + t)1(t) Ví dụ 2:

F(s)=s3+2 s2+6 s +7 s2+s+2

Ta thực chia tử số cho mẫu số số dư cịn lại có bậc tử nhỏ bậc mẫu

F(s)=s +1+ s2+s+2

Thực biến đổi Laplace ngược có sử dụng bảng biến đổi Laplace

f (t)=dδ (t)

dt +δ(t)+ L

−1

{

s

+s+5

}

Sử dụng phương pháp phân tích X (s)=

s2+s+5 thành tổng phân thức

đơn giản

Ta xét số trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nghiệm mẫu thức T(s) thực riêng biệt Giả sử nghiệm

của mẫu thức T(s) có hai nghiệm s1 = -1 s2 = -

X (s)=

(s+1)(s+2)

Nghiệm mẫu thức riêng biệt nên phân thức có bậc

X (s)=

(s+1)(s+2)=

K1 s +1+

K2 s +2

Để tìm K1 ta nhân (2.) với (s+1) để tách K1 riêng

(s+2)=K1+

(s +1) K2

(15)

Sau cho s → - 1, rút K1 = Làm tương tự cho s → - ta rút K2 = -

Lúc

X (s)=

(s+1)(s+2)=

s +1−

2

s +2

Thực biến đổi Laplace ngược X(s) ta

x (t)=(2 e− t−2 e−2 t)u (t)

Một cách tổng quát mẫu số F(s) cos nghiệm thực riêng biệt, ta thực sau:

F(s)=B (s) A(s)=

B (s)

(s+ p1)(s+ p2)⋯(s+ pm)⋯(s+ pn)

¿= K1

(s + p1)

+ K2

(s+ p2)

+⋯+ Km

(s+ pm)

+⋯+ Kn

(s+ pn)

(2.11) Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu ta thực tìm hệ số Ki sau:

-

Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm thực lặp lại Giả sử nghiệm mẫu thức

T(s) có ba nghiệm s1 = -1 s2,3 = - Lúc ta phân tích X(s) sau:

s+2¿2 ¿

s+2¿2 ¿ ¿

(s +1)¿

X (s)=2¿

Tìm hệ số K1, K2 K3

s+2¿2 ¿ ¿

K1=2

¿

Để tìm K2 ta nhân hai vế (2.) với (s + 2)2

s +2¿2K1 ¿ ¿

2

(s+1)=¿

Khi cho s → - ta tìm K2 = -

(16)

s +1¿2 ¿

s +1¿2 ¿ ¿ ¿

−2

¿

Cho s → - ta rút K3 = - Thay K1, K2 K3 ta có

s+2¿2 ¿

s+2¿2 ¿ ¿

(s +1)¿

X (s)=2

¿

Thực biến đổi Laplace ngược ta

x (t)=(2 e− t−2 te− 2t− e− 2t)u(t )

Tổng quát cho trường hợp

s+ p1¿r(s+ p2)⋯(s+ pn)

¿

s+ p1¿r ¿

s+ p1¿

r − 1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

F (s)=B(s) A (s)=

B(s)

¿

(2.12)

(17)

s+ p1¿rB(s)

¿

s+ p1¿r(s + p2)⋯(s+ pn)

¿ ¿ ¿

s+ p1¿rKr +1 ¿

s+ p1¿rKn ¿ ¿

s + p1¿r −1Kr+¿ ¿ ¿ ¿+¿

s+ p1¿

K3+⋯+¿

¿ ¿ ¿

s+ p1¿rF1(s)=¿ ¿

F1(s)=¿

(2.13)

Ta tìm K1 cho s → - p1 Để tìm K2 ta lấy đạo hàm (2.12) theo biến s cho s → - p1 Lần lượt lấy đạo ta tìm K3 đến Kr Cơng thức chung để tìm K1 đến Kr là:

Ki= (i −1)!

di− 1F1(s)

dsi − 1 ¿s → − p1 i=1 ,r !=1

(2.14)

Trường hợp 3: Mẫu thức có nghiệm phức hay nghiệm ảo Giả sử mẫu số của

F(s) có nghiệm phức

F(s)=

s(s2+2 s+5) F(s) phân tích thành phân thức sau

3

s (s2

+2 s+5)=

K1 s +

K2s +K3

s2+2 s+5

Dễ dàng tìm K1 = 3/5 cho s→ Để tìm K2 K3 ta quy đồng phân thức với mẫu số chung nhỏ s (s2+2 s +5) bỏ phân thức

3=

(

K

5

)

s

2

+

(

K

5

)

s+3

Thực đồng thức hai vế ta có

(

K

5

)

−

3

(

K

)

−

Thay hệ số ta

F(s)=

s(s2+2 s+5)=

3

s −

3

s+2

(18)

Từ bảng tra ảnh tích hàm mũ hàm sin cos

s+a¿2+ω2

¿

L{Ae−atcos ωt}

=A(s+a)

¿

Và

s+a¿2+ω2

¿

L{Be−atsin ωt}=Bω

¿

Công hai công thức ta có

s+ a¿2+ω2

¿

L{Ae−atcos ωt +Be− atsin ωt}

=A (s+a)+ Bω

¿

Ta đưa công thức (2.) dạng

F(s)=

s(s2+2 s+5)=

3

s −

3

(s +1)+ (12) (2)

(s+1 )2+22

Tra bảng ta tìm hàm gốc sau

f (t)=3

5−

3

5e

− t

(

cos 2t +

2sin t

)

Trong trường hợp ta thưc đơn giản cách phân tích thơng thường

¿

F(s)=

s(s2+2 s+5)=

3

s (s +1+ j 2)(s+1− j 2)

¿ ¿ ¿=K1

s + K2

s +1+ j 2+ K3

s +1 − j 2

K1 dễ dàng tính 3/5

K2=

s (s+1 − j2)¿s → −1 − j 2=

3

20(2+ j)

Tương tự ta tìm K3 nghiệm phức liên hợp K2 Ta có

F(s)=3 s +

3

20

(

2+ j

s+1+ j 2+

2 − j

s+1 − j2

)

Từ ta tìm hàm gốc sau

f (t)=3

5−

3

20

[

(2+ j ) e

−(1 +2 j)

+(2 − j ) e−(1 −2 j)t

]

¿=3

5−

3

20 e

−t

[

(

ej 2t

e− j t

2

)

(

ej 2t− e− j2 t

2 j

)

]

(19)

cos θ=e

j 2t

+e− j t

sin θ=e

j t− e− j t

2 j

Suy

f (t)=3

5−

3

5e

− t

(

cos 2t +

2sin t

)

Biến đổi Laplace số hàm đơn giản:

x(t) X(s) X(t) X(s)

(t) tn −1e−αt

(n− 1)!

s +α¿n ¿

1

¿

1(t) 1s sint ω

s2+ω2

tu(t)

s2 cost

s s2+ω2

tnu(t) n!

sn+1 sin(t)e-t

s +α¿2+ω2

¿

ω

¿

e-t

s+α cos(t)e-t

s +α¿2+ω2

¿

s+α

¿

e−at− e− bt b −a

(s+a)(s+b)

ab −

e−at a (b −a)−

e− bt b(b − a)

1

s (s +a)(s+b)

2.2.1.2 Các tính chất phép biến đổi Laplace :

1 Tính chất tuyến tính: L[a.f(t)]= a.L[f(t)] = a.F(s)

2 Tính chất xếp chồng: Nếu f1(t) f2(t) có ảnh biến đổi Laplace F1(s) F2(s) ta có:

(20)

cos at=e jat

+e− jat

2 = 2e jat +1 2e − jat

Thực phép biến đổi Laplace

L{cos at}=L

{

2e

jat

+1

2e

− jat

}

1

s − ja+

1

s +ja=

1

s+ ja+s − ja s2

+a2 =

s s2

+a2

3 Tính chất trễ (Chuyển dịch thời gian -Translation in time):

Nếu f(t) có ảnh F(s), a số thực f(t-a) =0 0<t<a thì: L[ f(t- a ) ] = e-as F(s)

Ví dụ: Tìm ảnh Laplace hàm gốc có đồ thị sau

Ta có f(t) = [h(t)-h(t-1)]+2[h(t-1)-h(t-2)]-[h(t-2)-h(t-3)] Áp dụng tính chất trễ ta có

F(s)=

[

s−

1

se

−s

]

[

se

− s

−1 se

− s

]

−

[

se

−2 s

−

se

−3 s

]

¿=1

s+

1

s e

− s−3

se

−2 s

+1

se

−3 s

¿=1+e

− s

−3 e−2 s+e−3 s

s

4 Tính chất vi phân phức (Complex diffirentiation): Nếu f(t) có ảnh F(s) thì:

L[tf (t)]=− d

ds F (s)

Ví dụ: L[t.e-as] = - dL[e-as]/ds = - d[1/(s+a)]/ds = 1/ (s+a)2

5 Tính chất chuyển dịch ảnh: Nếu f(t) có ảnh F(s), a số thực số phức đó:

L[e-at f(t) ] = F (s + a)

6 Tính chất vi phân thực: Nếu f(t) có ảnh F(s) : L[f ' (t) ] = sF(s) - f(0+).

7 Tính chất tích phân thực Nếu F(s) ảnh f(t)

f (t)dt

∫

F (s)

s +

∫

f (0)

s

L

f(t)

t

1

(21)

8 Tính chất giá trị cuối:

Nếu biến đổi Laplace f(t) F(s) giới hạn f(t) tồn t   đó: lims →0sF(s)=limt → ∞f (t )=f (∞)

9 Tính chất giá trị đầu: Nếu tồn limt → 0f (t)

f (+0)=lim

t →0f (t)=lims →∞sF(s)

2.2.1.3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace

a) Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyết tính.

Khi chuyển phương trình vi phân từ miền thời gian sang miền ảnh phức trở thành phương trình đại số Sau giải nghiệm ta chuyển ngược miền thời gian

Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân sau với sơ kiện không

d2y

dt2 +12

dy

dt +32 y=32 u

chuyển sang miển ảnh Laplace với y(0-) = y (0 −)=0˙

s2Y (s)+12 sY(s)+32Y (s )=32 s

Rút Y(s) ta

Y (s)=32

s (s2+12 s+32)= 32

s (s+ 4)(s+8)

Phân tích Y(s) thành tổng phân thức tối giản

Y (s)=32

s (s+4)(s +8)= K1

s + K2 s+4+

K3 s +8

Tìm hệ số K1, K2 K3

K1= 32

(s+4)(s+8)¿s → 0=1

K1=32

s (s+8)¿s →− 4¿=− 2

K1= 32

(s+4)s¿s →− 8¿=1

Vậy

Y (s)=1 s−

2

s +4+

1

s+8

Thực biến đổi Laplace ngược ta tìm

y (t)=(1 −2 e−4 t+e−8 t)u (t)

Trong cơng thức có chứa u(t) nói lên đáp ứng t = Vì đáp ứng đầu kho t = Để thuận tiện ta bỏ ký hiệu u(t) đi, đáp ứng đầu viết sau

y (t)=1− 2e− t

+e− 8t

Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân toán tử Laplace sau

d2y

dt2 +3

dy

dt +2 y=0

(22)

Chuyển hai vế sang miền ảnh phức nhờ toán tử Laplace

¿

[

s

Y (s )− sy (+0)−

dt

]

sY(s)− y (+0)

⇔(s2

+3 s+2)Y (s )=as+(3 a+b)

⇔Y (s)=as+(3 a+b)

(s2+3 s+2)=

as+(3 a+b) (s+1)(s +2)=

2 a+b

s +1 − a+b s +2

Thực biến đổi Laplace ngược rút y(t)

y (t)=(2 a+b)e−t−(a+b)e− 2t với t ≥0.

Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân sau

d2y

dt2 +2

dy

dt +5 y=3

với sơ kiện y (+0)=dy(+0)

dt =0

Thực biến đổi Laplace

⇔(s2

+2 s+5)Y (s)=3

s s+1¿2+22

¿ ¿

s+1¿2+22 ¿ ¿

5¿

¿

10¿

⇔Y (s)=

s2+2 s +5=

3

5 s−

3× 2

¿

Suy

y (t)=3

5−

3

10e

−tsin (2t )−3

5e

− tcos(2t) với t ≥0.

b) Giải mạch điện

Cho mạch điện sau

Giả sử mạch điện đóng thời điểm t – vC(0) = 1.0V Tìm dịng điện i(t) chạy mạch điện (trong V(t) = 5V, C = 1µF, R = 1kΩ)

Giải:

Ta có phương trình sau

v (t )=Ri+1 C

∫

hay

Cv(t)=RCi+

∫

(23)

5 10− 6=103.10−6i+

∫

⇔ 10− 6

=10− 3i+

∫

Thực phép biến đổi Laplace 10−6

s =10

−3

I +

(

I

s+

[

∫

]

t=0

s

)

Theo đầu vC(0) = 1.0V nên ta có

VC(0)=1

C

[

∫

]

t =0

1

10− 6

[

∫

]

t=0

⇒

[

∫

]

t =0

− 6

Thay vào cơng thức ta có

5 10−6

s =10

−3

I +

(

I

s

10−6

s

)

⇔

(

s+10

−3

)

I =

−6

s −

10−6

s =

4 10−6

s ⇔(1+10−3s)I=4 10− 6

⇔ I= 10−6

1+10−3s=4 10

−3

s+1000

Thực tra bảng biến đổi Laplace ta tìm i(t) sau

i(t)=4 10−3e−1000t

2.2.2 Hàm số truyền hệ thống ĐKTĐ

Nhằm đơn giản hoá phương pháp phân tích tổng hợp hệ thống tự động người ta thường chuyển phương trình động học hệ dạng phương trình vi phân viết với nguyên hàm x(t), y(t) thành phương trình viết dạng hàm số X(s), Y(s) thông qua phép biến đổi Laplace

Ví dụ xét hàm số x(t) – hàm số biến số t (biến số thực, t thời gian) ta gọi nguyên hàm Ta cho phép biến đổi hàm số x(t) thông qua tích phân:

X (s)=

∫

0

∞

x (t ) e−st dt (2.15)

trong đó: s = + j - biến số phức, biến đổi (2.15) hàm x(t) thành hàm biến số X(s) gọi là biến Laplace, X(s) gọi hàm ảnh Như hàm ảnh hàm biến số phức s Phép biến đổi Laplace ký hiệu sau:

L{x(t)}=X(s) x(t)  X(s)

Giả sử nguyên hàm x(t) có điều kiện ban đầu khơng, tức với t=0 giá trị hàm x(t) bậc đạo hàm dix(t) / dti với i = 1, 2, 3, …, (n-1) 0, tính theo tính chất phép biến đổi Laplace (định lý ảnh đạo hàm nguyên hàm) có:

L

{

ai

dix (t)

dti

}

ai s

i

X (s)

i=1 ,2 , 3,⋯,n

(24)

Nhân hai vế phương trình (2.6) với e-st , sau lấy tích phân theo t từ 0 đến , tức lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình, với giả thiết hàm x(t), y(t) có điều kiện ban đầu 0, dựa theo tính chất tuyến tính phép biến đổi Laplace , phương trình (2.6) có dạng:

a0s

n

Y (s)+a1s

n −1

Y (s)+⋯+an −1sY (s )+anY (s )=¿b0s

n

X (s)+b1s

m −1

X (s)+⋯+bm − 1X (s)+bmX (s)

(2.17) Ở đây, Y(s), X(s) – biến đổi Laplace hàm lượng hàm lượng vào hệ

Phương trình (2.17) gọi phương trình động học mơ tả quan hệ vào hệ viết dạng tốn tử Laplace.Đây phương trình đại số, vói n m số mũ biến số s giải phương trình (2.17) ứng với lượng Y(s)

Y (s)=b0s

m

+b1sm − 1+⋯+bm −1s+bm

a0sn

+a1sn − 1+⋯+an− 1s+an X (s ) (2.18)

Chúng ta ký hiệu:

W (s)=b0s

m

+b1sm− 1+⋯+bm−1s +bm

a0sn+a1sn − 1+⋯+an −1s+ an (2.19)

và gọi biểu thức đại số hàm số truyền (hoặc hàm truyền đạt) hệ thống tự động (hay phần tử nó)

Khi Y(s) = W(s)X(s) (2.20)

Hoặc W(s) = Y(s) / X(s) (2.21)

Vậy hàm số truyền (H S T) hệ thống (hay phần tử ) tự động tỷ số hàm ảnh lượng với hàm ảnh lượng vào (qua phép biến đổi Laplace) với giả thiết tất điều kiện không.

Biểu thức (2.19) cho thấy, HST hàm phân số hữu tỷ biến s, có bậc đa thức thoả mãn m  n Giả thiết điều kiện ban đầu hàm lượng vào lượng không phù hợp với điều kiện thường gặp hệ thống ĐKTĐ

Phương trình (2.20) cho phép xác định hàm ảnh lượng biết hàm ảnh lượng vào biểu thức HST hệ Như HST hoàn tồn xác định tính chất động học hệ thống Để xác định nguyên hàm lượng ra, tức xác định y(t) biết x(t) biến đổi ngược Laplace, theo đó:

y (t)=L−1

[Y (s)]=

2 π jσ − jω

∑

σ + jω

Y (s).estds (2.22)

(25)

điển hình, có phụ lục sách nói biến đổi Laplace, để tra cứu nguyên hàm y(t) Nếu hàm ảnh Y(s) hàm phức tạp, cần phân tích chúng thành tổ hợp tuyến tính hàm đơn giản, mà đẵ biết nguyên hàm Nguyên hàm y(t) tổ hợp tuyến tính nguyên hàm thành phần

2.2.3 Hàm truyền đạt mạch điện

Trong mạch điện có phần tử điện trở (R), điện cảm (L) tụ điện (C)

a) Điện trở R

Hình 2.5: Điện trở

Điện áp rơi tỷ lệ thuận với cường độ dòng điện I chạy qua điện trở:

v (t )=Ri¿i(t)=1

Rv (t)¿Z=R

Thông qua phép biến đổi Laplace ta có hàm truyền điện trở

GR= I

U=

1

R (2.23)

b) Điện cảm L

Hình 2.6 : Điện cảm L

(26)

v (t )=Ldi(t)

dt ⇒i(t)=

L

∫

τ

v (t)dt (2.24)

Thông qua biến đổi Laplace ta tính trở kháng Z hàm truyền điện cảm L

Z =Ls¿GL= I

UL=

1

Ls (2.25)

c) Tụ điện C

Hình 2.7 : Tụ điện C

Điện áp rơi điện dung

v (t )=1 C

∫

τ

i(t )dt⇒i(t)=Cdv (t)

dt (2.26)

Trở kháng hàm truyền đạt tụ điện

Z =1

C¿GC=UI C

=Cs (2.27)

d) Các phần tử R, L C mắc nối tiếp

Hình 2.8 : Sơ đồ phần tử mạch điện RLC mắc nối tiếp

UV=Ri+ Ldi dt+Ur

Ur=

1

C

∫

∞

idt⇒i=CdUr

dt ⇒ di dt=C

d2Ur

dt2

⇒ LCd

2U

r

dt2 +RC dUr

dt +Ur=UV

(27)

Thực phép biến đổi Laplace ta có (LCs2 + RCs + 1) U

r = Uv (2.29) Rút hàm truyền là:

G(s)=Ur

UV

= 1/LC

s2+R

Ls+

1 LC

(2.30)

e) Các phần tử mắc song song

Hình 2.9: Sơ đồ phần tử mạch điện RLC mắc song song

Dòng điện mạch điện

I=U

Z (2.31)

Tổng trở mạch song song tính

1

Z=

1

R+

1

Ls +

1

1 /Cs=

RLCs2+Ls+R

RLs (2.32)

Hàm truyền hệ thống

G(s)= I U=

1

Z= s2+

RCs +

1 LC

Cs

(2.33)

(28)

Hình 2.10: Sơ đồ biểu diễn lị xo

trong : K hệ số đàn hồi lò xo

Nếu ta ấn lị xo có chiều dài L, di động lượng X cần lực tác động lên

F(t) = Kx(t)

(2.34)

Thơng qua biên đổi Laplace to có hàm truyền lò xo sau:

Gloxo=F (s)

X (s)=K (2.35)

b) Bộ giảm chấn dầu ép (khơng khí)

Hình 2.11: Sơ đồ biểu diễn giảm chấn dầu ép

Để di động pít tơng với vận tốc v, ta cần tác động lên lực f

f (t)=fvv (t )=fvdx (t )

dt (2.36)

trong fv hệ số giảm chấn

GVD=F (s)

X (s)=fvs (2.37)

(29)

Hình 2.12: Sơ đồ biểu diễn trọng khối

Theo định luật II Newton tổng lực bên tác động vào trọng khối tích trọng khối gia tốc ta có

∑

f =Ma=Mdv(t)

dt =M

d2x (t)

dt2 (2.38)

Thực phép biến đổi Laplace ta có hàm truyền trọng khối

GM=F(s)

X (s )=Ms

2 (2.39)

d) Thiết bị giảm chấn

Thiết bị giảm chấn bao gồm trọng khối – lị x0 - giảm chấn

Hình 2.13: Sơ đồ biểu diễn thiết bị giảm chấn

(30)

Hình 2.14: Sơ đồ biểu diễn lực tác độnglên trọng khối

Sử dụng định luật Newton để viết phương trình chuyển động

Md

2 x (t )

dt2 +fv dx(t )

dt +Kx(t )=f (t) (2.40)

Thực phép biến đổi Laplace

(

+fvs+K

)

X (s)=F (s)

Từ ta rút hàm truyền hệ thống

G(s)=X (s) F (s )=

1

Ms2+fvs+K (2.42)

2.2.4.2 Phần tử chuyển động quay

Theo định luật II Newton chuyển động quay gia tốc góc vật quay tỉ lệ thuận với tổng momen tác động lên nó, ta có phương trình sau

ΣM=J d

2

ϕ

dt2 (2.43)

trong :

J mơmen qn tính tác động lên vật

φ vị trí góc quay vật thể

M mô men tác động lên vật

(31)

Nếu ta quay đĩa với mômen xoắn x, trục quay góc φ tạo nên mơmen lò xo xoắn:

M1 = kφ (2.44)

Mômen cần thiết để thắng lực ma sát chất lỏng:

M2=Cdϕ dt

(2.45)

trong C hệ số ma sát chất lỏng

Như ta có phương trình:

∑

M=x − M

− M

J

d

ϕ

dt2

(2.46)

Thay vào ta được:

x=J d

2

ϕ

dt2 +C

dϕ

dt +kϕ (2.47)

2.2.5 Sự tương đương hệ khí với mạch điện

Sự tương đương mạch khí mạch điện

trọng khối = M ↔ điện cảm = M

bộ giảm chấn = fv ↔ điện trở = 1/fv

lò xo = K ↔ điện dung = 1/

K

lực tác động = f(t) ↔ nguồn áp = f(t)

(32)

Hình 2.15: Sơ đồ biểu diễn tương đương mạch khí mạch điện

Khi so sánh với dịng vịng ta có mạch tương đương nối tiếp, dùng phương pháp nút, mạch tương đương đương mạch song song

Phương trình chuyển động

(Ms2

+fvs+K ) X (s)=F (s ) (2.48)

Đối với mạch RLC nối tiếp

(

Ls+R+

Cs

)

I (s)=E(s)

hai cơng thức khơng tương thích với khoảng cách dịng điện khơng tương thích với Ta biến đổi tương thích cách chuyển đổi từ khoảng cách sang vận tốc

Ms2+fvs+K

s sX(s)=(Ms+fv+

K

s )V (s)=F(s) (2.50)

Ta chuyển đổi sang hệ song song

trọng khối = M ↔ điện cảm = M

bộ giảm chấn = fv ↔ điện trở = 1/fv

lò xo = K ↔ điện dung = 1/ K

lực tác động = f(t) ↔ nguồn dòng = f(t)

vận tốc = v(t) ↔ điện áp nút = v(t) Công thức mạch song song

(Cs+1

R+

1

(33)

2.2.6 Hàm truyền phần tử điện tử

Hình 2.16 : Biểu diễn phần tử khuếch đại thuật toán

- Sai lệch điện áp đầu vào: v2(t) – v1(t) - Trở kháng đầu vào cao: Z1 = ∞ (lý tưởng) - Trở kháng đầu thấp: Z0 = (lý tưởng) - Hệ số khuếch đại cao A = ∞ (lý tưởng) Điện áp đầu tính

v0(t) = A(v2(t) – v1(t))

(2.52) Nếu v2(t) nối đất khuếch đại gọi khuếch đại đảo

Lúc v0(t) = –A v1(t)

Trong hình 2.16 c, trở kháng đầu vào cao ta có Ia(s) = suy I1 (s)=-I2(s) Khi hệ số khuếch đại A lớn, v1(t) = I1(s) = V1(s)/Z1(s) - I2(s) = -V0(s)/Z2(s)

Cho hai dòng điện ta có

V0(s)

Z2(s)=−

V1(s)

Z1(s)

V0(s)

V1(s)=−

Z2(s)

Z1(s) (2.53)

Ví dụ : Tìm hàm truyền mạch khuếch đại đảo sau

Hình 2.17 Sơ đồ hệ thống khuếch đại đảo

Tổng trở Z1(s)

Z1(s)=

C1s +

R1

=

5 x 10−6s +

360 x 103

=360 x 10

3

(34)

Tổng trở Z2(s)

Z2(s)=R2+

C2s

=220 x 103+10

7

s

Thay Z1(s) Z2(s) vào công thức

V0(s)

V1(s)=−

Z2(s)

Z1(s)=− 232

s2+45 951 s +22 547

s

2.3 Mơ hình tốn học miền thời gian 2.3.1 Khái niệm trạng thái biến trạng thái 2.3.1.1 Khái niệm trạng thái

Khái niệm trạng thái có sở cách tiếp cận đại mô tả động học hệ thống Turing lần đưa năm 1936 Sau khái niệm nhà khoa học Nga Mỹ ứng dụng rộng rãi để giải toán điều khiển tự động

Trạng thái hệ thống đặc trưng lượng thông tin tối thiểu về hệ, cần thiết để xác định hành vi hệ tương lai biết tác động vào.

Nói cách khác, trạng thái hệ xác định tổ hợp toạ độ mở rộng đặc trưng cho hệ

Trạng thái hệ thống tập hợp nhỏ biến (gọi biến trạng thái) mà biết giá trị biến thời điểm t0 biết tín hiệu vào thời điểm t>t0 ta hồn tồn xác định đáp ứng hệ thống thời điểm t>t0

Hệ thống bậc n có n biến trạng thái Các biến trạng thái chọn biến vật lý biến vật lý

Theo quan điểm phân tích tổng hợp hệ thống thường, người ta chia biến đặc trưng hệ thống hay có quan hệ định với nhóm sau:

- Các biến vào hay tác động vào ui tạo hệ thống nằm hệ xét

- Các biến yi đặc trưng cho đáp ứng hệ theo biến vào định - Các biến trung gian xi đặc trưng trạng thái bên hệ

2.3.1.2 Khái niệm véc tơ trạng thái:

n biến trạng thái hợp thành véc tơ cột

x=

[

x

xn

]

T

gọi véc tơ trạng thái

(35)

Ví dụ ta có biến trạng thái điện áp điện trở vR điện áp tụ điện vC biến hình thành trục không gian trạng thái

Để thuận lợi thao tác với đại lượng nhiều chiều, tổ hợp biến vào trình bày dạng véc tơ tác động vào:

u(t)=

[

u

t) u

t) un

t)

]

T

(2.56 ) Tổ hợp biến trình bày dạng véctơ

y1(t)

t

¿

y2¿

T

¿

y (t)=¿

(2.57 )

Các tổ hợp toạ độ trung gian, đặc trưng nội dung bên hệ viết dạng véc tơ trạng thái hệ

x=

[

x

xn

]

T

Theo định nghĩa trạng thái hệ thời điểm t > t0, trạng thái hệ hàm trạng thái ban đẫu x(t0)và véc tơ vào r(t0,t), tức là:

x(t) = F[x(t0),u(t0,t) ] (2.59) Véc tơ thời điểm t có quan hệ đơn trị với x(t0) u(t0 ,t)

y(t) = [x(t0),u(t0,t)] (2.60) Các phương trình (2.59) (2.60) thường gọi phương trình trạng thái hệ

Nếu hệ thống mơ tả phương trình vi phân tuyến tính ,thì phương trình trạng thái hệ viết dạng sau : (Bằng cách sử dụng biến trạng thái, ta chuyển phương trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất)

˙x (t )= A (t ) x (t )+ B(t ) u(t )

¿

y (t)=C(t ) x (t)+D(t)u(t )

¿ ¿{

¿ ¿ ¿

¿

(2.61)

trong đó: x (n x1) véc tơ biến trạng thái, u (m x 1) véc tơ biến đầu vào

(36)

B(t) - Ma trận điều khiển hay mạ trận đầu vào C(t) - Ma trận

D(t) - Ma trận vịng

Các ma trận có phần tử phụ thuộc vào biến t, có kích thước là: A(n x n), B(n x m), C(r x n ), D(r x m)

Hình 2.18: Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống điều khiển không gian trạng thái

Thực tế hệ thống thức có tính qn tính, D ma trận có phần tử không

2.3.2 Hệ tuyến tính hệ số hằng.

Hệ thống có mơ hình trạng thái là:

u D x C y

u B x A x

 

  

(2.62) Trong ma trận A, B, C D ma trận số

A gọi ma trận hệ thống Nếu s làm cho phương trình det(sI - A) = s gọi giá trị riêng ma trận A (đây điểm cực hệ thống) I ma trận đơn vị, s số phức, det kí hiệu phép tính định thức ma trận

2.3.3 Ứng dụng biểu diễn mơ hình tốn học khơng gian trạng thái

Ứng dụng hệ phương trình trạng thái để biểu diễn hệ vật lý phức tạp Bước chọn véctơ trạng thái, việc lựa chọn phải tuân theo yêu cầu sau:

- Các biến trạng thái phải tối thiểu phải đảm bảo biểu diễn đầy đủ trạng thái hệ thống

(37)

Ví dụ 1: Cho hệ thống vật lý có sơ đồ sau:

Hình 2.19: Sơ đồ mạch RLC mắc hỗn hợp

Xây dựng mơ hình trạng thái cho đối tượng

Giải:

Bước 1: Đặt tên dòng điện nhánh bao gồm iR, iL iC

Bước 2: Chọn biến trạng thái viết phương trình vi phân cho các

phần tử chứa lượng bao gồm tụ điện C điện cảm L

CdvC

dt =iC¿L

di

dt=vL

(2.63) Ta chọn iL vC biến trạng thái, iC vL biến trạng thái nên ta phải viết dạng tổ hợp tuyến tính biến trạng thái iL vC , bién đầu vào v(t)

Bước 3: Sử dụng lý thuyết mạch điện cụ thể viết phương trình dựa vào

định luật Kirchhoff Tại nút ta có

iC=−iR+iL

− RvC+iL

(2.64)

Mặt khác ta có

vL = - vC + v(t) (2.65)

Bước 4: Thay công thức với ta thu công thức sau:

CdvC

dt =−

RvC+iL

Ldi

dt=¿− vC¿+v (t)

(2.66)

hoặc

dvC

dt =−

1

RC vC+

1

CiL

di

dt =¿−

1

LvC¿+

1

Lv (t )

(38)

Bước 5: Rút cơng thức tín hiệu đầu iR(t)

iR=1

RvC (2.68)

kết cuối

[

v

C

i

L

]

=

[

−

RC

C −1

L 0

]

[

vC

iL

]

[

0

L

]

v (t) (2.69)

tín hiệu đầu

iR=

[

1

R 0

]

[

vc

iL

]

(2.70)

Ví dụ 2: Cho mạch điện gồm ba phần tử R, Lvà C mắc nối tiếp

Hình 2.20: Sơ đồ mạch RLC mắc nối tiếp

U1 điện áp đặt vào mạch Tìm mơ hình trạng thái Giải:

Ta có phương trình điện áp mạch là: u1 = uR + uL + uC

(2.71) thay cơng thức tính điện áp phần tử

u1=iR +L di

dt+u2

(2.72)

trong u2=uC=

1

C

∫

(2.73)

Trạng thái mạch định điện áp u2 dòng điện i Ta gọi u2 i biến trạng thái

(39)

i = x2

Từ công thức (2.72 (2.73) ta rút cơng thức tính dịng điện

i=Cdu2

dt di

dt=−

R Li−

1

Lu2+

Lu1

x1=

1

C x2

x2=−1

Lx1−

R Lx2+

1

Lu1

(2.74) Dạng tắc viết sau:

˙x1=0 x1+C1 x2+0 u1

˙x2=−

1

Lx − R Lx +

1

Lu1

(2.75) Viết hệ dạng véctơ ma trận

[

˙x

˙x2

]

=

[

0

C

−1

L −

R

L

]

[

x1

x2

]

+

[

L

]

u1

(2.76) hay viết gọn lại

˙x= A x+ B u

(2.77) gọi phương trình trạng thái hệ thống Khơng gian hai chiều gồm trạng thái dịng điện i = x2 điện áp tụ u2 = x1 gọi khơng gian trạng thái Ví dụ 3:

Hình 2.21: Sơ đồ mạch RLC mắc nối tiếp

Ta có

iR+Ldi

dt+

1

C

∫

idt=v (t)

Thay i(t)=dq

(40)

Ld

2q

dt2 +R

dq

dt +

1

Cq=v (t ) (2.79)

Ta đặt i(t), q(t) biến trạng thái

dq

dt =¿i

di

dt=−

1

LC q −

R Li+

1

Lv (t )

(2.80)

viết dạng véctơ ma trận

[

˙q

i

]

[

0

−

LC −

R

L

]

[

i

q

]

[

0

L

]

v

(2.81) Điện áp vL biến trạng thái đầu

vL=−1

Cq −Ri +v (2.82)

hay vL=

[

−

C − R

]

[

q

i

]

u

(2.83)

2.4 Chuyển từ hàm truyền đạt sang không gian trạng thái ngược lại 2.4.1 Chuyển từ hàm truyền đạt sang không gian trạng thái

Để mơ hệ thống máy tính mơ hình tốn học đối tượng phải biểu diến không gian trạng thái Vì ta đa mơ hình đối tượng biểu diễn hàm truyền đạt ta phải chuyển sang phương trình trạng thái

- Chọn biến trạng thái, biến trạng thái xác định đạo hàm biến trạng thái trước

- Ta xét phương trình vi phân sau:

dny

dtn +an − 1

dn −1y

dtni1 + +a1

dy

dt +a0y =b0u (2.84)

(41)

x1=y

x2=dy dt

x3=d

y

dt2

xn− 1=

dn −1y

dtn− 1

(42)

Lấy đạo hàm hai vế

˙x1=dy

dt

˙x2=d

2

y

dt2

˙x3=

d3 y

dt3

˙xn− 1=

dny

dtn

(2.86) Biểu diễn không gian trạng thái

˙x1=x2

˙x2=x3

˙x3=x4

˙xn −1=xn

˙xn=− a0x1−− a1x2 .− an −1xn+−b0u

(2.87)

Biểu diễn dạng véctơ ma trận

[

˙x

˙x2

˙x3

⋮ ˙xn − 1

˙xn

]

=

[

……

0 0 0 …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮

0 0 0 …

− a0 − a1 − a2 −a3 −a4 − a5 … − an −1

]

[

x1 x2 x3 ⋮

xn −1

xn

]

+

[

b0

]

u

(2.88) Viết phương trình trạng thái đầu

y=[1 0 … 0]

[

x

x2 x3

⋮

xn −1 xn

]

(2.89)

Các bước thực biến đổi từ hàm truyền sang hệ phương trình trạng thái:

- B1: chuyển từ hàm truyền phương trình vi phân thực phép

biến đổi Laplace ngược với điều kiện đầu không

- B2: Thực chọn biến trạng thái biểu diễn không gian

(43)

Ví dụ 1: Một đối tượng có hàm truyền đạt W (s)=C (s) R(s)=

25

s2+5 s +4

Xây dựng mơ hình trạng thái cho đối tượng Xác định giá trị riêng

Giải

Bước 1: Tìm phương trình vi phân

C(s).(s2

+5 s +4 )=5 R(s)⇒ d

2c

dt2 +5

dc

dt +4 c=25 r (2.90)

Bước 2: Lựa chọn biến trạng thái

¿

x1=c

x2=dc

dt = ˙x1

⇒

¿˙x1=x2

˙x2=25 r − x1−5 x2

¿{

¿

(2.91)

Viết đưới dạng véctơ ma trận

¿

0

−4 -5

¿righ ¿ ¿0

25

¿righ ¿

[ ]

˙x=¿

¿ ¿

(2.92)

Tìm giá trị riêng

sI - A =

[

S 00 S

]

−

[

−4 − 5

]

[

s − 1

4 s+5

]

(2.93) det(sI - A) = s(s + 5) + = s2 + 5s + = 0

(2.94)

Δ=25 −16=9

(44)

Ví dụ 2: Cho hàm truyền sau:

G(s)=C(s) R(s)=

24

s3+9 s2+26 s +24

Chuyển đổi sang hệ phương trình trạng thái

Giải:

Bước 1: Tìm phương trình vi phân

Thực phép nhân chéo

(s3+9 s2+26 s+24)C (s)=24 R (s )

(2.96) Chuyển đổi thành phương trình vi phân cách dùng phép biến đổi Laplace ngược với điều kiện đầu

c +9 ăc +26 \{ c+24 c=24 r (2.97)

Bước 2: Lựa chọn biến trạng thái

Chọn biến trạng thái sau:

x1=c

x2= c

x3= ăc

(2.98) Ly đạo hàm hai vế phương trình (2.89) ta thu hệ phương trình trạng thái

˙x1=¿x2

˙x2=¿x3

˙x3=−24 x1−26 x2− x3+24 r

y=c=x1

(2.99) Viết dạng véctơ ma trận

[

˙x

˙x2

˙x3

]

=

[

0

−24 − 26 − 9

]

[

x

x2 x3

]

+

[

0

24

]

r

y=[1 0]

[

x1 x2 x3

]

(45)

(46)

2.4.2 Chuyển từ không gian trạng thái sang hàm truyền đạt

Mơ hình tốn học gian trạng thái biểu diễn sau:

u D x C y

u B x A x

 

  

(2.101) Thực chuyển đổi Laplace với điều kiện đầu

sX(s) = AX(s) + BU(s)

(2.102) Y(s) = CX(s) + DU(s)

(2.103) Từ rút X(s) ra:

(sI – A)X(s) = BU(s)

(2.104) X(s) = (sI – A)-1BU(s)

(2.105) Trong I ma trận đơn vị

Thay X(s) vào (2.94) rút Y(s) = C(sI – A)-1BU(s) + DU(s)

(2.106) Ta gọi [C(sI – A)-1BU(s) + DU(s)] ma trận hàm truyền quan hệ với véctơ biến Y(s) véctơ biến vào U(s)

Nếu U(s) = U(s) Y(s) = Y(s) đại lượng vơ hướng ta tìm hàm truyền sau:

D B A sI C s U

s Y s

T   ( _ )1  )

( ) ( ) (

(2.107)

Vi dụ: Cho phương trình trạng thái biết đầu Y(s) đầu vào U(s)

˙x=

[

0

− −2 −3

]

x +

[

10

0

]

u

y=[1 0]x

(2.108)

(47)

¿

A=

[

−1 − −3

]

¿B=

[

10

0

]

C=[1 0]¿ ¿ ¿D=0

(2.109) Ta tìm (sI - A)-1

(sI− A )=

[

s 0

0 s 0

0 s

]

−

[

0

−1 − −3

]

=

[

s − 1

0 s −1

1 s +3

]

¿

sI − A¿− 1=adj(sI− A )

det (sI− A)=

[

s

3 s+2

s+3

−1 s (s +3) s − s −(2 s+1) s2

]

s3+3 s2+2 s +1

¿

(2.110) Thay (sI - A)-1, B, C, D vào ta hàm truyền

T (s)=10(s

2

+3 s +2)

s3+3 s2+2 s+1

(2.111)

2.5 Tuyến tính hóa

- Các hệ thống mà ta xét với giả thuyết tuyến tính Trên thực tế hầu hết đối tượng phi tuyến

- Trong hệ thống bao gồm đại lượng phi tuyến tuyến tính - Do thực tế yêu cầu người thiết kế phía tuyến tính hóa số đại lượng phi tuyến để sử dụng

- Các bước thực tuyến tính hóa

+ Bước 1: Viết phương trình vi phân hệ thống Với giả thiết tín hiệu đầu vào

nhỏ

+ Bước 2: Tuyến tính hóa phương trình vi phân, dùng biến đổi Laplace với điều

(48)

Bài tập chương 2

1 Tìm hàm truyền hệ thống sau

a) G(s) = V0(s)/Vi(s) b)

G(s) = V0(s)/Vi(s)

c) G(s) = VL(s)/V(s) d) G(s) =

X1(s)/F(s)

e) G(s) = V0(s)/Vi(s)

(49)

d3y

dt3 +3

d2y

dt2 +6

dy

dt =0 với y (+0)=5,

dy (+0)

dt =−2,

d2y (+0)

dt2 =14

3 Tìm hàm truyền G(s) hệ thống biết dạng biểu diễn không gian trạng thái

a) ˙x=

[

0

− − −5

]

x +

[

10

]

r

y =[1 0]x

b)

˙x=

[

2 − 8

0

− − − 4

]

x +

[

6

]

r

(50)

CHƯƠNG 3:

KHẢO SÁT SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

3.1 Khái niệm ổn định hệ thống điều khiển tự động

Định nghĩa:

Ổn định hệ thống khả hệ thống tự trở lại trạng thái xác lập sau tác động phá vỡ trạng thái xác lập có Thực chất nói tới ổn định nói tới đại lượng điều khiển ổn định.

Một hệ thống ĐKTĐ hệ thống động học, thường mơ tả phương trình vi phân bậc cao:

a0d

n

y (t)

dtn +⋯+an− 1

dy (t )

dt +any (t)=b0

dmy (t )

dtm +⋯+bm − 1 dx (t)

dt +bmx (t) (3.1)

Nghiệm phương trình vi phân gồm hai thành phần :

y(t) = yqđ (t) + y0 (t) (3.2)

- yqđ (t): nghiệm tổng quát (3.1) vế phải 0, đặc trưng cho trình độ

- y0 (t): nghiệm riêng (3.1) có vế phải, đặc trưng cho q trình xác lập

Quá trình xác lập trình ổn định, cần xét trình độ Nếu trình độ theo thời gian bị triệt tiêu hệ ổn định, khơng triệt tiêu hệ khơng ổn định Mà nghiệm q độ biểu diễn biểu thức tổng quát sau:

yqd=

∑

i=1 n

Ciesit (3.3)

Trong si nghiệm phương trình đặc trưng :

a0sn + a1sn-1 + + an = (3.4) Từ nhận xét ta kết luận sau: Một hệ thống gọi ổn định trình độ tắt dần theo thời gian Hệ thống không ổn định trình độ tăng dần theo thời gian Hệ thống biên giới ổn định trình độ không đổi dao động không tắt dần

Biểu diễn biểu thức toán học định nghĩa ta có hệ thống ổn định khi:

lim

t → ∞

❑

yqd(t)=lim

∑

i=1 n

Ci ❑

(51)

hệ không ổn định khi:

lim

t → ∞

❑

yqd(t)=lim

∑

i=1 n

Ci ❑

esit=∞ (3.6)

Hệ thống xét hệ dừng, nghĩa hệ số không biến đổi theo thời gian

lim

t → ∞

∑

Cie sit

=lim

t → ∞

∑

Cie

αit=0 (3.7)

Nếu αi < Hệ ổn định, i = hệ biên giới ổn định, i >0 hệ không ổn định

Khi si cặp nghiệm phức liên hợp si = i  j i

αi+jβ

¿¿t ¿

αi+jβ ¿¿t

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Cie¿

(3.8)

Nếu i < Hệ ổn định , i = hệ biên giới ổn định , i >0 hệ không ổn định

3.2 Nhận xét chung :

- Hệ thống ổn định tất nghiệm phương trình đặc tính có phần thực âm (tất nghiệm nằm nửa bên trái mặt phẳng phức).

- Hệ thống biên giới ổn định phương trình đặc tính có nghiệm ảo tất nghiệm khác nghiệm thực âm nghiệm phức có phần thực âm (có nghiệm nằm trục ảo nghiệm lại nẳm nửa trái mặt phẳng phức)

- Hệ thống không ổn định phương trình đặc tính có nghiệm có phần thực dương (có nghiệm nằm nửa phải mặt phẳng phức)

(52)

thực âm để đánh giá tính ổn định hệ Đó tiêu chuẩn ổn định Có hai tiêu chuẩn ổn định:

- Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tìm điều kiện ràng buộc hệ số phương trình đặc tính để hệ ổn định Đó tiêu chuẩn Routh, Hurwitz

- Tiêu chuẩn ổn định tần số: Thơng qua đặc tính tần số hệ thống để xét tính ổn định Đó tiêu chuẩn ổn định Mikhailôp, Nyquist

3.3 Tiêu chuẩn ổn định đại số.

Điều kiện ổn định cần thiết HTĐKTĐ:

Giả sử hệ thống có phương trình đặc tính: a0sn + a1sn-1 + + an-1s + an = 0

Như phương trình đặc tính có hai loại nghiệm :

Có m nghiệm thực (si = -i) (n - m)/2 nghiệm phức (si = -k 

jk )

Với i, k, k dương.

Phương trình đặc tính chuyển sang dạng:

a0

∏

i=1 m

(s+αi).

∏

k=1 n− m

2

(s +αk− jωk)(s +αk+jωk)=0 (3.9)

suy ra:

(s+αk¿2+ω❑k

2 )

¿ ¿

a0

∏

i=1 m

(s+αi).

∏

k=1 n− m

2

¿

(3.10)

Nếu ta khai triển phương trình đa thức có tất hệ số đều dương Như điều kiện cần thiết để hệ thống ổn định tất hệ số

của phương trình đặc tính phải dương (phải dấu).

3.3.1 Tiêu chuẩn Rao (Routh):

- Phát biểu tiêu chuẩn: " Điều kiện cần đủ hệ thống tuyến tính ổn định tất số hạng cột thứ bảng Routh dương "

- Cách thành lập bảng Routh :

Giả sử cho phương trình đặc tính sau:

(53)

a0 a2 a4 a6 … a1 a3 a5 a7 … b0 b2 b4 b6 … b1 b3 b5 b7 … c0 c2 c4 c6 …

b0=−

|

a0 a2

a1 a3

|

a1 =

a1a2− a0a3

a1 ;b2=−

|

a

a1 a5

|

a1 =

a1a4− a0a5

a1

b1=−

|

a

b0 b2

|

b0 =

b0a3− a1b2

b0 ;b3=−

|

a

b0 b4

|

b0 =

b0a5−a1b4

b0

c0=−

|

b0 b2 b1 b3

|

b1

=b1b2−b0b3

b1

;c2=−

|

b0 b4 b1 b5

|

b1

=b1b4− b0b5

b1

Các số hạng hàng

được tính theo biểu thức sau :

Nhận xét :

Mỗi số hạng hàng bảng Routh thương số có:

- Tử số: định thức hạng hai mang dấu âm với cột thứ cột thứ hai hàng đứng sát hàng có số hang tính ,cịn cột thứ hai định thức cột đứng sát bên phải số hạng tính hai hàng

- Mẫu số: tất số hạng hàng có chung mẫu số số hạng đứng cột thứ hàng sát số hạng tính

Ví dụ : Cho phương trình đặc tính hệ thống :

s4 + 2s3 + 8s2 + 4s + = (3.12) Lập bảng Routh :

(54)

Một số tính chất bảng Routh

- Khi lập bảng Routh, để giản đơn tính tốn, nhân hay chia hệ số cột với đại lượng, kết không thay đổi

- Trong trường hợp hệ không ổn định, lần đổi dấu cột có nhiêu nghiệm nửa phải mặt phẳng phức

- Nếu trị số gần cuối cột (C1n = 0) có nghĩa nghiệm kép ảo Trị số cuối khơng tính rn+1 =  Nếu trị số cuối (C1n+1 = 0) phương trình đặc trưng có nghiệm an =

- Nếu hệ số hàng 0, hệ có nghiệm phải cặp nghiệm nằm trục ảo

3.3.2 Tiêu chuẩn Hurwitz

Phát biểu tiêu chuẩn

Điều kiện cần đủ để hệ tuyến tính ổn định hệ số a0 > định thức Hurwitz dương.

Thành lập định thức Hurwtiz

Định thức Hurwitz lập từ ma trận hệ số theo quy tắc sau:

- Theo đường chéo ma trận, viết hệ số từ a1 đến an - Phía đường chéo, hệ số tăng dần, phía giảm dần - Các hệ số nhỏ a0 lớn an

Ma trận có dạng sau:

Δ1 Δ2 Δ3 ⋯ Δn

|

a

a0 a2 a4 ⋯⋯

0 a1 a3 ⋯⋯ 0

⋯

0 ⋯0 ⋯0 ⋯⋯⋯⋯ ⋯an

|

(3.13) Các định thức Hurwitz dương tương ứng với :

Δ1=a1>0

Δ2=

|

a1 a3 a0 a2

|

=a1a2− a0a3>0

Δ3=

|

a1 a3 a5 a0 a2 a4

0 a1 a3

|

(55)

n-1 >

n = an n-1 >

Lưu ý: Khi khảo sát tính ổn định với a0 > 0, có hệ số âm (ai < ) đủ để kết luận hệ không ổn định

Với điều kiện > (i = 0,1,2 n) cần xét i > với i = 2, n-1 được, 1 = a1, n = an n-1

Chú ý: Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz dạng biểu diễn khác tiêu chuẩn

Routh Nó dùng với hệ thống có phương trình đặc tính bậc thấp (dưới bậc 4)

3.3.3 Một số trường hợp tiêu chuẩn Routh – Hurwitz

Hai trường hợp đặc biệt xẩy ra: - Xuất số cột thứ

- Xuất hàng toàn số

a) Trường hợp thứ nhất: Số cột thứ nhất

Nếu có số cột thứ việc tạo hàng chia cho số Để tránh trường hợp ta gán giá trị є để thay số Sau dùng ε để tính tốn xét dấu cho є( ±є)

Ví dụ: Xác định tính ổn định hàm truyền hệ kín sau:

T (s)=10

s5+2 s4+3 s3+6 s2+5 s+3 (3.14)

(56)

Є =+

Є=

-s5 s5 + +

s4 2 6 3 s4 2 + +

s3 0 ≡ є 7/

2

0 s3 0 ≡ є +

-s2

 

6  s2

 

6  - +

s1 − ε2+42 s − 42 ε 12 ε− 14

0 s1 − ε2+42 s − 42 ε 12 ε− 14

+ +

s0 0 s0 + +

Nhìn bảng xét dấu hai trường hợp Є = ± cột thứ đổi dấu hai lần có nghĩa phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo Do hệ thống khơng ổn định

b) Có hàng tồn số không

Khi gặp trường hợp ta ta quay lại hàng phía hàng có tồn số thành lập đa thức phụ mà sử dụng giá trị hàng làm hệ số Đa thức bắt đầu với luỹ thừa s cột kí hiệu s bỏ biến thực hạ bậc đa thức phụ

Ví dụ: Xác định số nghiệm nằm bên phải trục ảo hệ kín sau:

T (s)=10

s5+7 s4+6 s3

+42 s2+8 s +56

(3.15) Lập bảng Routh

s5 1 6 8

s4 1 42 6 56 8 s3 1 12 3 0 0

s2 3 8 0

s1 1/3 0 0

s0 8 0 0

Đa thức phụ : P(s) = s4 + 6s2 + 8

(57)

dP(s)

ds =4 s

3+12 s +0

(3.17) Sử dụng hệ số đa thức 5.17 để thay hàng có tồn số Sau thay tính tốn ta thấy cột hệ số dương khơng có điểm cực nằm bên phải trục ảo

3.3.4 Sử dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz để thiết kế ổn định

Cho hệ thống sau:

Hình 3.1 : Hệ thống có hệ số khuếch đại K chưa biết

Tìm phạm vi hệ số khuếch đại K để hệ thống ổn định, không ổn định hay biên giới ổn định

Giải:

Hàm truyền hệ kín

T (s)= K

s3+18 s2+77 s +K (3.18)

Th nh l p b ng Routhà ậ ả

s3 77

s2 18 K

s1 1386 − K

18

s0 K

Giả thiết K > Các phần tử cột dương ngoại trừ hàng s1 Giá trị dương, âm hay khơng tuỳ thuộc vào giá trị K

Nếu K < 1386 tất phần tử cột dương, khơng có đổi dấu điểm cực nằm bên trái trục ảo Vậy hệ thống ổn định với K < 1386

Nếu K > 1386 phần tử hàng s1 âm cột có đổi dấu hai lần có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo nghiệm nằm bên trái trục ảo Điều có nghĩa hệ thống khơng ổn định K > 1386

)

11

)(

7

(

s



s



s

K

R(s) E(s) C(s)

(58)

Nếu K = 1386 xuất số o hàng s1 quay lại hàng s2 thay K = 1386. Sau lập đa thức phụ

P(s) = 18s2 + 1386 (3.19)

Lấy vi phân

dP(s)

ds =36 s+0

(3.20) Thay h s a th c 5.20 v o b ng Routhệ ố đ ứ ả

s3 1 77

s2 18 1386

s1 36

s0 1386

Nhận xét:

- Các phần tử cột thứ dương khơng có đổi dấu

- Đa thức có bậc chẵn (s2) có hai nghiệm nằm trục ảo nghiệm lại nằm bên trái trục ảo

Do hệ thống biên giới ổn định K = 1386

3.4 Xét ổn định cho hệ có mơ tả tốn học dạng mơ hình trạng thái.

Cho hệ thống có mơ hình trạng thái sau:

˙x= A x + B u

y=C x +D u

(3.21) Điều kiện cần đủ hệ thống ổn định giá trị riêng ma trận A phải nằm bên trái trục ảo mặt phẳng phức

Trong trị riêng ma trận A tìm cách giải phương trình

det(sI - A) = (3.22)

Ví dụ 1: Cho hệ thống có mơ hình trạng thái:

˙x=

[

− −3

]

x +

[

0 5

]

u

y=[1 0]x

(3.23)

Ta có: det(sI− A)=

|

s

[

0 1

]

−

[

0

− −3

]

|

s

−1

2 s+3

|

s(s+3)+2=s

2

(59)

Có hai nghiệm là: s1 = -1 s2 = -2, giá trị riêng ma trận A Vì giá trị riêng nằm bên trái trục ảo hệ thống ổn định

Ví dụ 2: Hệ thống mơ tả tốn học sau:

˙x=

[

0

2

− 10 −5 −2

]

x +

[

10

0

]

u

y=[1 0]x

Tìm xem có điểm cực nằm trên, bên trái bên phải trục ảo

Giải:

Tính det(sI - A):

det(sI− A)=

|

s

[

]

−

[

−10 −5 −2

]

|

=

|

s − 3 −1

− s −8 −1

10 s +2

|

¿ ¿=s3−6 s2−7 s −52=0

Th nh l p b ng Routhà ậ ả

s3 1 -7

s2 -6 -3 -52 -26

s1 -47/3 -1

s0 -26

(60)

1 Cho phương trình đặc tính hệ thống a) A(s) = s5 + 2s4 + 5s3 + 6s2 + 8s + 6

b) A(s) = s4 + 5s3 + 7s2 + 9s + 1

Dùng tiêu chuẩn Routh xét ổn định hệ thống Hệ thống có hàm truyền sau

T (s)=

s4+8 s4+3 s4+11s+9

Dùng tiểu chuẩn Hurwitz xét ổn định hệ thống Xét ổn định hệ thống theo hệ số K

4 Cho hệ thống sau mô tả phương trình trạng thái sau

˙x=

[

0

− −2 −3

]

x +

[

0

]

u

y=[1 0]x

(61)

CHƯƠNG 4:

TỔNG HỢP HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

4.1 Khái niệm

Tổng hợp hệ điều khiển trình chọn cấu trúc điều chỉnh xác định tham số hệ thống làm việc ổn định đáp ứng yêu cầu đặt

Xét hệ thống điều khiển có cấu trúc hình 7.1

Hình 4.1: Cấu trúc hệ thống điều khiển

Hàm truyền đối tượng Gp(s), giả thiết biết Hàm truyền đạt

của hệ kín là: Wk(s)= GC(s).Gp(s) 1+GC(s) Gp(s)

Trong thực tế người ta cố gắng chọn cấu trúc điều khiển GC(s) cho hàm truyền hệ kín có dạng bậc hai sau:

Wk(s)= ω0

s2+2 ζω

0s+ω0

2 hàm độ là:

h(t )=1−

√

1 −ζ

e

ζω0tcos

(

ω

0

√

1 −ζ

2

t +θ

)

⇒tσ= π

ω0

√

1− ζ

σ %=100 e πζ

√1− ζ2

%

tqd≈

ζω0

=4

α ứng với vùng giới hạn a = 2%

Bảng %

 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3

% 0,2 0,5 4,6 9,5 16,3 25,4 37,2

(62)

4.2 Chọn điều chỉnh

4.2.1 Phân loại điều chỉnh a Theo chức năng

+ Bộ điều chỉnh tỷ lệ P: W(s) = kP

+ Bộ điều chỉnh tích phân I: W(s) =1/Tis

+ Bộ điều chỉnh tỷ lệ tích phân PI: W(s) =kP + 1/Tis + Bộ điều chỉnh tỷ lệ vi phân PD: W(s) =kP + Tds

+ Bộ điều chỉnh tỷ lệ vi tích phân PID: W(s) =kP + 1/Tis + Tds b Theo cách ghép nối phần tử.

Theo cách nối ghép phần tử ta phân làm dạng: + Nối tiếp

+ Song song + Hỗn hợp

PI nối tiếp: GC(s) = (T1s +1)/Tis PI song song: GC(s) = kP +1/Tis PI hỗn hợp: GC(s) = kp (1+1/Tis) c Theo chất vật lý

Theo chất vật lý, điều chỉnh phân thành loại sau: + Bộ điều chỉnh điện tử

+ Bộ điều chỉnh khí nén + Bộ điều chỉnh thuỷ lực

+ Bộ điều chỉnh hỗn hợp Bao gồm kết hợp điều chỉnh điện tử, khí nén thuỷ lực

4.2.2 Phương pháp Ziegler- Nichols.

a, Phương pháp Gi s ả đố ượi t ng có h m độ nh hình 7.2 Thamư s c a b i u ch nh ố ủ ộ đ ề ỉ ch n nh sau:ọ

Bộ điều khiển Hàm truyền KP Ti Td

P KP T/

PI KP(1+1/Tis) 0,9T/ 3T/

(63)

Phương pháp sử dụng hiệu thoả mãn điều kiện: 01 < /T < 0,6

Hình 4.2: Đặc tính độ

b, Phương pháp 2.

Cho hệ thống điều khiển có cấu trúc hình 7.3

Thay đổi K điều chỉnh P cho hệ thống làm việc biên giới ổn định, K = kgh Tín hiệu y có dạng dao động với chu kỳ Tgh

Hình 4.3: Sơ đồ cấu trúc có hệ số khuếch đại K

Thông số điều chỉnh PID xác định theo kgh Tgh sau:

Bộ điều chỉnh Hàm truyền KP Ti Td

P KP 0,5kgh

PI KP(1+1/Tis) 0,45kgh 0,83Tgh

PID KP(1+1/Tis +Tds) 0,6kgh 0,5Tgh 0,125Tgh

4.2.3 Tiêu chuẩn phẳng

Giả thiết đối tượng có hàm truyền: G(s)= k

1+sTb

∏

j=1

ns

1

1+sTj

Tj số thời gian trội đối tượng, ns số số thời gian trội đối tượng, Tb tổng số thời gian bé đối tượng

Sơ đồ hệ thống điều khiển có cấu trúc hình 7.4

K G(s)

-x y

G (s) G(s) Y(s)

(64)

Hình 4.4: Cấu trúc điều khiển có phản hồi đơn vị

Cấu trúc điều chỉnh chọn sau: G(s)=

sTi

∏

j=1

nC

(1+sTCj)

Tham số điều chỉnh xác định theo điều kiện: nC = nS TCj = TJ

Sau bù đủ, hệ hở có hàm truyền: Wh(s)= k

sTi(1+sTb)

Hàm truyền hệ kín: Wk(s)=

Wh(s )

1+Wh(s)=

1

1+

Wh(s)

=

1+sTi(1+sTb)

k

Ta có: Wk

2

(jω)=

1+Ti

k

(

Ti

k − 2Tb

)

ω

2+

Điều kiện để hệ tối ưu là:

|

Wk

jω)

|

≈ 1

Bỏ qua thành phần bậc cao , cho thành phần thứ khơng ta có: Ti/k = 2Tb, suy Ti =2kTb

Cấu trúc tham số điều chỉnh xác định theo bảng

ns Bộ điều chỉnh

Hàm truyền Tn TV TV2 Ti

1 PI (sTn+1)/sTi T1 2kTb

2 PID (sTn+1)(sTV +1)/sTi T1 T2 2kTb

3 PID2 (sTn+1)(sTV+1)(sTV2+1)/sTi T1 T2 T3 2kTb

Ví dụ:

Cho đối tượng có hàm truyền đạt

G(s)=10

(50 s+1)(10 s+1)(0,5 s+1)(0 , 01 s+1)

Thiết kế điều khiển theo tiêu chuẩn phẳng

Tổng số thời gian bé là: Tb = 0,5 + 0,01 = 0,51

(65)

Vì đối tượng có hai số thời gian trội ta chọn cấu trúc điều khiển PID Các tham số xác định sau:

Tn = T1 = 50 Tv = T2 = 10

Ti = 2*k*Tb = 2*10*0,51 = 10,2

4.2.4 Phương pháp tổng số thời gian (Kuhn).

Cho đối tượng có hàm truyền: G(s)=kdtB(s) A (s)e

− τs

Trong đó:

B(s)= (1+sTd1) (1+sTd2)…(1+sTdm) A(s) = (1+T1s) (1+T2s)…(1+Tns)

TΣ=

∑

i =1 n

Ti+τ −

∑

i=1 m

Tdi

Cấu trúc tham số điều chỉnh xác định theo bảng sau:

Bộ điều chỉnh Hàm truyền kP Tn TV Ti

PI kP(sTn+1)/sTi 0,5kdt T/2 T/2

PID kP(sTn+1)(sTV+1)/sTi 0,5kdt T/3 T/3 T/3

Ví dụ:

Cho đối tượng có hàm truyền đạt sau: G(s)=10 e

−2 s

(50 s+1)(10 s+1)(5 s+1)

Hằng số thời gian tổng TΣ=50+10+5+2=67 kđt = 10

- Nếu ta chọn điều khiển có cấu trúc PI, tham số điều chỉnh xác định sau:

Kp = 0,5kđt = 0,5*10 = Tn = T/3 = 67/2 = 33,5 TI = T/2 = 67/2 = 33,5

- Nếu ta chọn điều khiển có cấu trúc PID, tham số xác định sau:

(66)

Tn = T/3 = 67/3 = 22,3 TV = T/3 = 67/3 = 22,3 TI = T/3 = 67/3 = 22,3

Trong thiết kế, ta cố gắng chọn cấu trúc điều chỉnh đơn giản tốt, ta chọn cấu trúc điều chỉnh PI, PI không đáp ứng yêu cầu đặt ta chọn cấu trúc PID

4.3 Điều khiển quan sát được

Cho hệ thống có mơ hình trạng thái sau:

˙x= A x + B u

y=C x +D u

Hệ thống gọi điều khiển tồn tín hiệu điều khiển u đưa hệ từ trạng thái ban đầu x(0) tới trạng thái x(T) khoảng thời gian hữu hạn T

Hệ thống điều khiển ma trận P = [B AB A2B An-1B] có hạng n hay ma trận P không suy biến

Hệ thống gọi quan sát biến trạng thái x(0) xác định biết u y thời gian hữu hạn < t < T

Hệ thống quan sát ma trận Q = [CT ATCT (AT)n-1CT] có hạng n hay định thức Q khác không

4.4 Hệ thống điều khiển số 4.4.1 Mở đầu

Máy tính hoạt động bù hay điều khiển hệ thống điều khiển phản hồi Các q trình hệ thống có sử dụng máy tính số, có điều khiển, có thiết bị biến đổi xung thuộc hệ lớp hệ thống xung số Máy tính nhận liệu khoảng thời gian định.Việc phát triển phương pháp để miêu tả phân tích hoạt động hệ thống điều khiển có máy tính cần thiết

(67)

mẫu biến đổi từ miền s sang miền z theo mối quan hệ z = e sT Biến z miền tần số phức có tính chất tương tự miền s Laplace

Ta sử dụng hàm truyền có biến đổi z để phân tích ổn định đáp ứng tức thời hệ thống Vì xác định đáp ứng hệ thống điều khiển có phản hồi máy tính số mà hoạt động bù hay điều khiển Hệ thống điều khiển có sử dung máy tính số sau:

Hình 5.1: Sơ đồ điều khiển phản hổi có sử dụng máy tính

Ngày máy tính số sử dụng rộng rãi cơng nghiệp giữ vai trị quan trong q trình cơng nghiệp, máy tính sử dụng với cấp chấp hành để thực nhiệm vụ điều khiển

Máy tính khơng nối trực tiếp với cấu chấp hành hay trình mà qua biến đổi số tương tự(Digital/Analog Converter) Chúng ta biết tất số truyền vào máy tính hay truyền thực khoảng thời gian thời gian cố định nhau, T gọi chu kỳ lấy mẫu Vì tín hiệu chủ đạo có dạng r(kT) Các biến r(kT), m(kT) u(kT) tín hiệu rời rạc

Bộ lấy mẫu lý tưởng

Bộ trích mẫu

r(t) r*(t)

Tín hiệu trích mẫu Tín hiệu liên tục

Tín hiệu

Cơ cấu chấp hành

Tín hiệu điều

(digital)

Máy tính số

Bộ biến đổi D/A

Quá trình cơng nghệ

Bộ biến

đổi A/D Đo lường

(digital

) ()digital

(analog) (analog g)

(68)

Hình 5.2: Tín hiệu trích mẫu sử dụng máy tính số

Tín hiệu r*(t), nT thời gian lấy mẫu thời giá trị r*(t) r(nT), tổng quát tín hiệu

r*(nT) = r(nT)(t-nT)

(5.1)

Hình 5.3: Tín hiệu r(t) trích mẫu

Tín hiệu khơng liên tục mà ta quan tâm dãy giá trị {rk} cách với rk = r(kT),trong T gọi chu kỳ trích mẫu ( chu kỳ lượng tử hố ) Đây loại tín hiệu có giá trị điểm {t=kT} k số nguyên , ngồi điểm khơng định nghĩa Nếu giá trị rk xem tích r(t)(t-T) tồn dãy {rk} :

Lúc {rk} gọi tín hiệu xung

¿ ¿

(rk)=

∑

k=− ∞

∞

r (t)δ (t − kT)=r (t)

∑

k=−∞ ∞

δ(t −kT)=r (t)s (t)

s(t)=

∑

k=− ∞ ∞

δ (t − kT)

¿

(5.2)

Để hiểu rõ ta xem mơ hình trích mẫu sau

Máy tính số

Bộ biến đổi D/A

Cơ cấu chấp hành

Q trình cơng nghệ

Bộ biến

đổi A/D Đo lường

Tín hiệu điều khiển

r(kT)

u(kT)

m(kT) p(t)

u(t)

r(t)

t r(kT)

T 2T 3T 4T

r(T)

r(2T)

r(3T)

r(4T)

kT T 2T 3T 4T

(69)

Hình 5.4: Tích dạng sóng theo thời gian tín hiệu trích mẫu

f(t) dạng sóng liên tục, s(t) hàm mẫu có độ rộng xung Tw(có biên độ số), f*Tw(t) tín hiệu đầu

fT❑w

(t )=f (t)s (t)=f (t )

∑

k=− ∞ ∞

u(t −kT)−u (t − kT −Tw) (5.3)

k số nguyên chạy từ - ∞ → +∞, T chu kỳ trích mẫu, Tw độ rộng xung

Giả sử Tw nhỏ so với T, f(t) coi số khoảng thời gian trích mẫu f(t) = f(kT)

fT❑w

(t )=

∑

k=−∞ ∞

f (kT)

[

u (t − kT)− u(t − kT −Tw

]

(5.4)

thực biến đổi Laplace

FT❑w

(s)=

∑

k=− ∞ ∞

f (kT)

[

e

−kTs

s −

e− kTs− Tws

s

]

k=− ∞

∑

∞

f (kT)

[

1 − e

− Tws

s

]

e

−kTs (5.5)

(70)

FT❑w

(s)=

∑

k=− ∞ ∞

f (kT)

[

1−

{

1 −Tws+

Tws

2

2 ! −⋯

}

s

]

e

− kTs

(5.6)

Vì Tw bé nên

FT❑w

(s)=

∑

k=− ∞ ∞

f (kT)

[

Tws

s

]

e

− kTs

=

∑

k=− ∞ ∞

f (kT)Twe− kTs

(5.7)

Cuối thực biến đổi miền thời gian

fT❑w

(t )=Tw

∑

k=− ∞ ∞

f (kT)δ (t − kT) (5.8)

4.4.2 Mơ hình giữ mẫu bậc không

(71)

Gh(s)=1

s−

1

se

−Ts

(5.9)

Hình 5.5: Tín hiệu r(t) trích mẫu

4.4.3 Biến đổi Z

Mục đích biến đổi z đưa hàm trưyền đạt chứa đựng thông tin hệ thống mà ta phân tích thiết kế ổn định hệ thống

Thực biến đổi Laplce với trích mẫu lý tưởng

FT❑w

(s)=

∑

k=0 ∞

f (kT)e− kTs

(5.10)

Thay z = e – Ts

F(z)=

∑

k =0 ∞

f (kT)z− k

(5.11)

Ví dụ: xác định hàm truyền z lấy mẫu sườn dốc

Đối với tín hiệu có sườn dốc f(kT) = kT

f❑

(t)=

∑

k=0 ∞

kT δ (t − kT)

(8.12) t

f(t)

t f*(t)

T 2T 3T 4T

f(kT)δ(t-kT)

T 2T 3T 4T

0

t T 2T 3T 4T

fh(t) Bộ trích mẫu

lý tưởng

f(t) f*(t)

ZOH

(72)

F❑

(s)=

∑

k=0 ∞

kT e− kTs

(5.13)

Thực biến đổi z = e – Ts

F(z)=

∑

k =0 ∞

kT e−kz=T

∑

k=0 ∞

k e−kz=T (z− 1+2 z− 2+3 z−3+⋯)

(5.14)

Biến đổi đưa dạng zF(z)

zF(z )=T (1+2 z− 1

+3 z− 2+⋯)

(5.15)

Lấy công thức (8.15) trừ (8.14) ta

zF(z )− F( z)=(z − 1) F(z )=T (1+z−1+z−2+⋯)

(5.16)

Mặt khác

1

1 − z− 1=1+z

−1

+z−2+⋯ (5.17)

Thay (8.17) vào (8.16)

z −1¿2 ¿

F(z)=T z

¿

(5.18)

Nếu muốn thực phép biến đổi z ngược ta có hai cách:

- Phân tích thành phân thức thành phần

- Hạ bậc phân thức

Ví dụ : Tìm f*(t) hàm F(z) sau

F(z )= 0 z

(z −0 5)(z − 7)

(73)

Thực chia cho z phân tích thành phân thức

F (z )

z =

0

(z − 5)(z− 7)=

A

z− 5+

B

z −0 7=

− 5

z−0 5+

2

z −0 7

(5.20)

hay

F(z)= 0 z

(z −0 5)(z − 7)=

−2 z z −0 5+

2 z

z −0 7

(5.21)

Tra ngược lại

f(kT) = -2.5(0.5)k + 2.5(0.7)k

(5.22)

Tìm dạng sóng f*(t) lý tưởng

f❑

(t)=

∑

k=− ∞ ∞

f (kT)δ (t − kT)=

∑

k=− ∞ ∞

[-2 5(0 5)k + (0 7)k]δ (t − kT)

(5.23)

Nếu thay k = 0, 1, ta có số hạng

f ∗(t)=0 δ (t)+0 δ (t − T )+0 δ(t −2 T )+0 545 δ(t − T ) (5.24)

Nếu thực cách chia liên tiếp ta có

¿0 z−1+0 z−2+0 545 z−3

z2− z +0 35 z

¿0 z − 6+0 175 z− 1

¿0 −0 175 z− 1

¿0 −0 720 z− 1+0 21

0 545 z− 1− 21

(5.25)

Sử dụng tử số định nghĩa z

F❑

(s)=0 e−Ts+0 e−2 Ts+0 545 e− Ts+⋯ (5.26)

Từ miền thời gian

(74)

4.4.4 Hàm truyền đạt

Ta có dạng tín hiệu

f (t)=

∑

k=− ∞ ∞

f (kT)δ (t − kT)

(5.28)

Tín hiệu trích mẫu đầu vào

r❑

(t)=

∑

n=0 ∞

f (nT)δ(t − nT)

(8.29)

Hình 5.6: Hệ thống tín hiệu trích mẫu

Đáp ứng xung hệ thống G(s) g(t), tín hiệu G(s) viết tổng xung tạo cho tín hiệu tác động đầu vào

c (t)=

∑

n=0 ∞

r(nT)g(t −nT)

(5.30)

Sử dụng cơng thức 8.11 ta có

C( z)=

∑

k =0 ∞

c (kT) z−k

(5.31)

Sử dụng công thức 8.30 với t = kT

c (kT)=

∑

n=0 ∞

r (nT)g(kT − nT)

(5.32) R*(s

)

G(s)

R(s) C(s)

G(s)

R(s) C(s)

R*(s )

G(s)

(75)

Thay công thức 8.32 vào công thức 8.31 ta

C( z)=

∑

k =0 ∞

∑

n=0 ∞

r (nT)g[(k − n)T]z− k

(5.33)

Đặt m = k – n

C (z )=

∑

m+ n=0 ∞

∑

n=0 ∞

r (nT)g[mT]z−(m+ n)

¿=

{

∑

m=0 ∞

g[mT]z− m

}{

∑

n=0 ∞

r (nT)g[mT]z− n

}

(5.34)

Tại giới hạn m + n → m Mặt khác m + n = m < n > Nhưng m < g(mT) = 0, m khơng nhỏ Bên cạnh g(t) = t <

Áp dụng định nghĩa biến đổi z ta có

C( z)=

{

∑

m=0 ∞

g[mT]z− m

}{

∑

n=0 ∞

r(nT)g[mT]z− n

}

G (z)R (z)

Ví dụ: Ta có khâu giữ mẫu bậc không ghép nối tầng với

G1(s )=s+ 2

s+ hay G(s)=

(

1− e− Ts

s

)

s +2

s +1 (5.36)

Tìm hàm truyền G(z) chu kỳ trích mẫu 0.5s

Giải

Vì khâu z.0.h mắc nối tầng với G1(s) nên ta viết sau

G(s)=(1 −e− Ts)G1(s)

s (5.37)

từ

G(z)=(1 − z−1

)z

{

G(s)

s

}

z −1

z z

{

G(s )

s

}

(5.38)

(76)

G2(s )=

G1(s)

s = s+2 s (s+1)=

A s +

B s+1=

2

s+

1

s+1

(5.39)

Biến đổi Laplace ngược

g2(t)=2− e− t

(5.40)

và t = kT

g2(kT)=2− e

− kT

(5.41)

Tra bảng ta tìm G2(z)

G2(z)= 2 z

z −1− z

z− e−T (5.42)

Thay T = 0.5 vào 8.42

G2(z)=

{

G

s )

s

}

2 z

z −1− z z − 607=

z2−0 214 z

(z −1)(z − 607)

(5.43)

Thay vào 8.38 ta tìm G(z)

G(z)=z −1

z G(s)=

z − 214

z −0 607 (5.44)

8.5 Sự ổn định

(77)

Hình 5.7: Mặt phẳng phân bố ổn định

Trong mặt phảng phức s miền ổn định nằm bên trái trục ảo Hệ thống có hàm truyền G(s) chuyển sang miền gián đoạn G(z), miền ổn định xác định sau:

z = esT = e(σ + jω)T = e σTےωT

(5.45)

trong s = σ + jω

Ở bên trái mặt phẳng phức s, σ <0 tương ứng với < z < hệ thống ổn định

Ví dụ: cho hệ thống sau

Hình 8.8: Hệ thống điều khiển phản hồi trích mẫu

Với T =

Gp(s)= K

s(s+1)

(5.46)

Thực biến đổi z ta có

G(z)=K (0 3678 z +0 2644) z2−1 3678 z+0 3678=

K (az +b)

z2−(1+a) z+a (5.47)

A

B

C

A

B

C

Im Im

Re Re

Mặt phẳng s

Mặt phẳng z

e*(t)

G0(s)

r(t) c(t)

(78)

Với a = 0.3678 b = 0.2644

Điểm cực hệ thống kín nghiệm phương trình q(z) = + G(z) =

q(z) = + G(z) = z2 – (1-a)z + a + Kaz + Kb = 0 (5.48)

Khi K =

q(z) = z2 – z + 0.6322

= (z – 0.50 + j0.6182)(z – 0.50-j0.6182) = (5.49)

Hệ thống ổn định nghiệm nằm đường tròn đơn vị

Khi K = 10

q(z) = z2 + 2.310z + 3.012

= (z + 1.155 + j1.295)(z + 1.155 – j1.295) =

(5.50)

Hệ thống khơng ổn định nghiệm nằm bên ngồi đường trịn đơn vị

Với < K < 2.39 hệ thống ổn định

4.4.6 Sai số xác lập

Chúng ta xem ảnh hưởng việc trích mẫu đến sai số xác lập hệ thống số Để đưa kết luận tổng quát sai số xác lập khó vị trí trích mẫu làm thay đổi hàm truyền đạt hệ hở Trong phần ta giả thiết vị trí trích mẫu nằm sau tín hiệu sai lệch

Hình 8.9: Sai số xác lập hệ điều khiển số

Sai số trích mẫu E*(s) = E(z)

Từ sơ đồ ta có

E*(s)

R(s) C(s)

Gp(s) T

1 − e− Ts

(79)

E(z)=R(z )− E(z )G(z )

hay E(z )= R (z)

1+G(z)

(4.51)

Và áp dụng định lý giá trị xác lập

e❑

(∞)=lim

z → 1(1 − z −1

)E (z)=lim

z →1(1 − z

−1

) R (z)

1+G(z) (4.52)

Nếu tín hiệu vào tín hiệu bậc thang đơn vị

R(z)= z z −1

(4.53)

Thay R(z) vào

e❑

(∞)=

1+lim

z →1G(z )

(4.54)

Lúc số sai số tính

Kp=lim z →1G(z )

(4.56)

Viết lại theo Kp

e❑

(∞)=

1+Kp

(4.57)

Nếu tín hiệu vào tín hiệu có sườn dốc

z − 1¿2 ¿

R(z)=Tz

¿

(4.58)

Sai số

e (∞)=

Kv

(80)

trong Kv=1

T limz → 1(z −1)G(z)

(4.60)

Nếu tín hiệu vào đường Parabol

z −1¿3

2¿

R(z)=T

2z(z +1)

¿

(4.61)

Sai số

e (∞)=

Ka

(4.62)

trong

z −1¿2G(z)

Ka=

T2lim

z →1 ¿

(4.63)

Ví dụ: tìm sai số xác lập hệ thống

Gp(s)=10

s(s+1)

(4.64)

Giải

Đầu tiên tìm G(s)

G(s)=10(1 − e

− Ts

)

s2(s+1) =10(1 − e

− Ts

)

[

s2−

1

s+

1

s+1

]

Thực biến đổi z

z − 1¿2 ¿ ¿

Tz

¿ ¿=10

[

Tz

z −1−1+ z −1 z −e−T

]

G(z )=10(1 − z−1)¿

(81)

Đối với tín hiệu bậc thang đơn vị

Kp=lim

z →1G(z)=∞ e

❑

(∞)=

1+Kp=0

(4.67)

Đối với tín hiệu sườn dốc

Kv=1

T limz → 1(z −1)G(z)=10

e (∞)=

Kv=0

(4.68)

Đối với tín hiệu Parabol

z − 1¿2G(z)=0

Ka=

T2limz → 1¿

e (∞)=

(82)

1 Tìm f(kT) hàm truyền z sau: a, F(z )= z (z+1)

(z −0 5)(z − 7) b, F(z)=

(z +1)(z +2)

z (z− 5)(z − 7)

2 Tìm hàm truyền G(z) từ hàm truyền miền phức G(s) với T = 0.5s

a, G(s)= s +5

(s+1)(s+3) b, G(s)=

(s +1)(s +2)

(s+3)(s+ 4)

c, G(s)=s +2

s +1 d, G(s)=

30

(s+2)(s2+4 s +13)

3 Tìm hàm truyền G(z) hệ thống sau:

4 Tìm K để hệ thống sau ổn định

5.Tìm số sai số tĩnh sse hệ thống sau

Nếu tín hiệu đầu vào a, u(t)

b, tu(t)

(83)

4.4 Bộ điều khiển mờ

4.4.1 Tập rõ hàm thành viên

Tập rõ crisp set) tập hợp truyền thống theo quan điểm Cantor (crisp set) Gọi A tập hợp rõ, phần tử x có x  A x  A, Có thể sử dụng hàm  để mơ tả khái niệm thuộc Nếu x  A,  (x) = 1, nguợc lại x  A,  (x) = Hàm  gọi hàm đặc trưng tập hợp A

4.4.2 Tập mờ hàm thành viên

Khác với tập rõ, khái niệm thuộc mở rộng nhằm phản ánh mức độ x phần tử tập mờ A Một tập mờ fuzzy set): A đặc trưng hàm thành viên  cho x phần tử  (x) phản ánh mức độ x thuộc A

Ví dụ: Cho tập mờ High

Lan cao 1.5m,  (Lan)=0.3 Hùng cao 2.0 m,  (Hùng)=0.9

Hình 4.5 Đường biểu diễn hàm đặc trưng hàm thành viên

4.4.3 Các dạng hàm thành viên

Các hàm thành viên tập mờ có dạng là: dạng tăng, dạng giảm dạn chuông

a) Dạng S tăng

 (x)=S(x,  ,  ,  ) =

0 x <= 

(84)

Hình 4.6 Hàm S tăng

b) Dạng S giảm

 (x)=1- S(x,  ,  ,  )

c) Dạng hình chng

 (x;  ,  ) =

S(x;  -  ,  -  /2;  ) if x <=  S(x;  ,  +  /2;  +  ) if x > 

Hình 9.3 Hàm dạng chng 4.4.4 Các phép tốn tập mờ

Cho ba tập mờ A, B , C với  A(x),  B(x), C(x) C=A  B:  C(x) = min( A(x),  B(x)) C=A B :  C(x) = max( A(x),  B(x)) C= A :  C(x) = 1-  A(x)

hệ thống điều khiển mờ tiêu biểu

4.4.5 CÁC HỆ THỐNG MỜ

Hàm thành viên cho biến rời rạc

Cho tập vũ trụ E = Tốc độ =  20,50,80,100  đơn vị Km/g a Xét tập mờ F = Nhanh xác định hàm membership  nhanh: E   0,1 

(85)

Khi ta gán  nhanh (20) = nghĩa tốc độ 20 Km/g xem khơng

nhanh

theo ngun tắc tập mờ nhanh =  (20,0), (50,0.5), (80,0.6), 100, 1)  hay vắn tắt Nhanh =  0,0.5,0.6,1 

Vậy hàm thành viên đánh giá mức độ tốc độ tập vũ trụ E với khái niệm nhanh Hàm có tính chủ quan kinh nghiệm hay thực nghiệm

b Xét tập mờ trung_bình với hàm thành viên xác định sau:

thì tập Trung Bình = { 0.3,1,0.5,0 }

Hàm thành viên không gian biến liên tục

Chẳng hạn tập mờ Nhanh Trung bình định nghĩa hàm

 nhanh (x) = (x/100)2

 trung-bình (x) =

0 if x<=20

(x-20)/30 if 20<=x<=50 (100-x)/50 if 50<=x<=100 }

Trong phần sau xét hàm thành viên có biến liên tục

4.4.6 NGUYÊN LÝ XỬ LÝ CÁC BÀI TOÁN MỜ

(86)

Các liệu nhập qua mờ hoá để biến thành trị mờ Sau giá trị mờ đưa vào lập luận mờ Các kết giá trị mờ ứng với phần kế luật Bộ giải mờ biến đổi trị mờ trở lại trị rõ

Bài toán

Dữ liệu Input giá trị rõ

Ví dụ: Xét tốn mờ xác định luật sau:

Luật 1:if x is A 1 and y is B1 Then z is C1

Luật 2:if x is A2 or y is B2 Then z is C2

Vào: trị x0, y0

-Ra : trị z0 tương ứng

Bài toán giải sau:

Ứng với tập mờ A1 ta có hàm thành viên  A1 (x)

Ứng với tập mờ A2 ta có hàm thành viên  A2 (x)

Ứng với tập mờ B1 ta có hàm thành viên  B1 (y)

Ứng với tập mờ B2 ta có hàm thành viên  B2 (x)

Ứng với tập mờ C1 ta có hàm thành viên  C1 (x)

Ứng với tập mờ C2 ta có hàm thành viên  C2 (x)

Vấn đề cho giá trị Input x = x0 y = y0 tìm hàm thành viên

các luật theo hình vẽ W1 hai giao điểm, W2 max hai giao điểm:

(87)

với  K1i(z) hàm thành viên kết luận cho luật thứ i Từ suy trị Output

z0 hệ thống mờ

Ví dụ: Giải tốn điền khiển tự động mờ cho hệ thống bơm nước lấy nước từ

giếng Trong hồ giếng có nước máy bơm tự động bơm

H.Đầy H.Lưng H.Cạn

N.Cao B.Vừa B.Lâu

N.Vừa B.Vừa B.HơiLâu

N.Ít 0

Với biến ngơn ngữ Hồ có tập mờ hồ đầy (H.Đầy), hồ lưng (H.Lưng) hồ cạn (H.Cạn)

Với biến ngơn ngữ Giếng có tập mờ nuớc cao (N.Cao), nuớc vừa (N.Vừa), nuớc (N.Ít)

Với biến ngôn ngữ kết luận xác định thời gian bơm có tập mờ bơm vừa (B.Vừa), bơm lâu (B.Lâu), bơm lâu(B.HơiLâu)

Các tập mờ xác định hàm thành viên sau: Hàm thành viên Hồ nước:

H.Đầy(x) = x/2 0<=x<=2 H.Lưng(x) = { x if 0<=x<=1

(2-x) if 1<=x<=2 } H.Cạn(x)= 1-x/2 0<=x<=2 Hàm thành viên cho giếng:

N.Cao(y)= y/10 0<=y<=10 N.Vừa(y) = { y/5 if 0<=y<=5

(88)

Hàm thành viên Kết luận cho luật: B.Vừa(z) = { z/15 if 0<=z<=15

(30-z)/15 if 15<=z<=30 } B.lâu(z) = z 0<=z<=30

B.Hơi lâu(z) = { z/20 if 0<=z<=20

1+0.05(z-20) if 20<=z<=30 }

Trong x độ sâu Hồ (0<=x<=2), y độ sâu Giếng (0<=y<=10) z thời gian bơm (0<=z<=30)

Từ bảng ta có luật:

 Luật 1: if x is H.Lưng and y is N.Cao Then z is B.Vừa  Luật 2: if x is H.Cạn and y is N.Cao Then z is B.Lâu  Luật 3: if x is H.Lưng and y is N.Vừa Then z is B.Vừa  Luật 4: if x is H.Cạn and y is N.Vừa Then z is B.Hơi lâu

(89)

Các Wigọi trọng số luật thứ i

Theo lý thuyết hàm thành viên kết luận cho công thức:  C(z) =  Wi K1i(Z) i = …N

 C(z) = W1.B.Vừa(z) + W2.B.Lâu(z) + W3.B.Vừa(z) + W4.B.Hơi

Lâu(z)

 C(z) = 3/10.B.Vừa(z) + 0.5.B.Lâu(z) + 3/5.B.Vừa(z) +

0.5.B.HơiLâu(z)

Bước ta phải giải mờ từ hàm thành viên kết luận cánh tính trọng tâm hàm  C(z)

Moment  C(z)

và

(90)

Do mực nước hồ giếng 1m 3m thời gian cần bơm phút 15 giây

Bài toán 2

Khi trị Input tập mờ tốn giải nào? Xét ví dụ sau:

Luật : If trời nắng Then mở độ nhỏ Sự kiện : Trời nắng

Kết luận : Mở độ bao nhiêu?

Trong trường hợp trị Input tập hợp mờ Rất Nắng trường hợp biến liên tục xác định qua hàm thành viên

Các gia tử tập mờ

Cho F tập mờ tập vũ trụ E

Ta có tập mờ phát sinh từ F sau: Very F =F2

More or less F=F1/2

Plus F= F1.25

Ví dụ: F ={0,0.1,0.5,1 } very F=F2 = {0,0.01,0.25,1 }

Để giải tốn ta xét mơ hình sau: Cho toán mờ xác định quy luật

Luật : if x is A1 and y is B1 Then z is C1

Luật : if x is A2 and y is B2 Then z is C2

Input : x = A’ y = B’

(A’ very A, more or less A, plus A … Cũng cho B)

Kết luận : Trị rõ Output bao nhiêu?

(91)

Trong luật ta tìm trị giao điểm đồ thị A1 A’ với giao điểm

đồ thị B1 B’ trị làm trọngW1 cho luật

Tương tự cho luật lần ta lấy max (vì tốn tử or) ta tìm trọng W2

Khi hàm thành viên Kết luận là:  C(z) =  Wi K1i(z) i = …N

Cuối dùng công thức mờ ta trị rõ

Ví dụ: Trong tốn ta cho liệu Input tập mờ như:

x is H.Khá Cạn (Hồ cạn)

y is N.Hơi nhiều (Nước giếng nhiều)

Giả sử tập mờ xác định hàm thành viên là:  H.KhaCạïn(x) = { x+0.5 if 0<=x<=0.5

( 2-x)/1.5 if 0.5<=x<=2 }  N.HơiNhiều(x) = { y if 0<=y<=8

1+0.25(8-y) if 8<=y<=10 }

Tìm trọng Wi cho luật (lấy giao điểm) Xây dựng hàm thành viên kết luận

 C(z) = W1.B.Vừa(z) + W2.B.Lâu(z) + W3.B.Vừa(z) + W4.B.HơiLâu(z)

(92)

Tóm lại : Muốn giải tốn mờ ta có bước: B1: Xác định luật mờ toán

B2: Xác định hàm thành viên tập mờ có luật B3: Tìm trọng Wi luật

B4: Nhập trị Input tìm hàm thành viên cho kết luận

 C(z) =  iWi K1i(z)

B5: Giải mờ để giá trị rõ Chú thích:

1 Hàm thành viên cho kết uận tính cơng thức: a)  C(z) =  iWi K1i(z)  x E

b)  C(z) =  iMin(Wi, K1i(z))  x E

c)  C(z) =  iMax(Min(Wi, K1i(z))  x E

2 Giải mờ ta áp dụng phương pháp sau: a) Tìm trọng tâm

b) Tìm trị trung bình

c) Defuzzy(z) =( i i.Wi)/  i i

(93)

VÍ DỤ:

Xây dựng điều khiển mờ máy tính

1 Đặt vấn đề

Lý thuyết mờ nhắc đến nhiều năm gần Trên giới Việt Nam có nhiều tác giả nghiên cứu áp dụng thành công lý thuyết mờ lĩnh vực điều khiển sản xuất công nghiệp, sản phẩm gia dụng…vv Tuy nhiên điều khiển mờ thực tế sao? Vấn đề đề cập nhiều sách báo, mà muốn giới thiệu trình xây dựng điều khiển mờ thực tế lấy phương tiện thực máy tính PC

2 Tổng quan điều khiển mờ phương án thực hiện

Cấu trúc điều khiển mờ hình đây:

Hình 1: Cấu trúc điều khiển mờ.

Bộ điều khiển mờ gồm có thành phần sau:

- Khâu mờ hoá: thực biến đổi giá trị rõ đầu vào thành miền giá trị mờ với hàm thuộc biến ngôn ngữ tương ứng

- Khâu thực luật hợp thành: biến đổi giá trị mờ biến ngôn ngữ đầu vào thành giá trị mờ biến ngôn ngữ đầu dựa luật hợp thành xây dựng

- Khâu giải mờ: biến đổi giá trị mờ biến ngôn ngữ đầu thành giá trị rõ để thực điều khiển đối tượng

Việc thiết kế hệ điều khiển mờ thực phương pháp khác thiết kế hệ mềm thiết kế hệ cứng Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng, thiết kế hệ cứng cho phép người thiết kế đánh giá luật mờ cách nhanh chóng việc thiết kế theo cách thường tốn Thiết kế hệ mềm cách tốt để xây dựng nên hệ điều khiển mờ, cách sử dụng phần mềm lập trình có sẵn, mơ hệ thống

Thiết kế hệ mềm sử dụng phần mềm chuyên dụng xử lý mờ Matlab,

FuzzyTech, Winfact,…Việc làm cho phép xây dung nhanh hệ mờ, mô đành giá

được hệ thống Nhưng trở ngại lớn vấn đề kinh tế

Việc thiết kế hệ mềm thực với ngơn ngữ lập trình thông dụng C++,

Delphi, VB, …Việc xử lý mờ thực máy tính bàng phần mềm tự xây dựng Sau là

việc trao đổi liệu với thiết bị chấp hành,và thiết bị đo modul khác đảm nhận.Modul tự xây dựng Modul hãng khác

3 Lựa chọn ngôn ngữ lập trình cơng cụ phát triển

Những nhiệm vụ cần giải quyết:

- Cài đặt Cấu trúc liệu mơ tả tập mờ phép tốn tập mờ

- Cài đặt Cấu trúc liệu mô tả luật suy diễn thao tác xử lý liên quan - Cài đặt vận hành Motor suy diễn mờ

(94)

- Ghép nối máy tính thiết bị điều khiển

- Các thao tác thông dụng lưu trữ công việc, kết xuất liệu, Ta chọn ngôn ngữ lập trình C++, ngơn ngữ cho phép:

- Quản lý tốt mã nguồn

- Thư viện cài đặt cấu trúc liệu giải thuật cung cấp đầy đủ, sử dụng tiện lợi Trên thị trường có nhiều cơng cụ phát triển sử dụng ngơn ngữ lập trình C/C++ như Microsoft Visual C++ Visual Studio, WatCom C++, Borland C++ Builder, Trong ta chọn Borland C++ Builder lý sau:

- Thư viện lớp C++ Builder phong phú dễ dàng mở rộng, thừa kế Đây ưu điểm vượt trội so với công cụ phát triển khác

- C++ Builder khơng ép buộc người lập trình phải theo khung ứng dụng Do vậy, thích hợp cho người lập trình sáng tạo, có u cầu điều chỉnh chi tiết tới thành phần chương trình

4 Các module chương trình

Phân loại Module:

- Nhóm Module cài đặt cấu trúc liệu tập mờ suy diễn mờ - Nhóm Module tiện ích

- Nhóm Module giao diện dồ hoạ C++ Builder tự sinh có chỉnh sửa, bổ sung tơi

(95)

Hình 3: Giao diện chương trình.

6 Module phần cứng thực chức giao tiếp

Thực chất việc thực phần cứng đáp ứng nhiệm vụ truyền thơng với PC-đóng vai trị

Server có nhiều giải pháp Đó modul giao diện I/O tự xây dựng, dùng

những Module hãng cung cấp sẵn thị trường có tích hợp ADC, DAC,…hoặc dùng máy tính khác đóng vai trị thiết bị đo đạc thơng tin xử lý tín hiệu sau giao tiếp với máy Server Như phần cứng thực tạm gọi Client Với hệ mềm xử lý mờ thiết kế ta hồn tồn dùng máy tính khác đóng vai trị thiết bị thu thập thơng tin xử lý liệu Dưới thiết kế thêm modul I/O sử dụng linh kiện điện tử rời rạc, IC tích hợp,vv…để thực chức

Sơ đồ nguyên lý Module I/O sau:

PA2 PB3 -15V ALE +5V D1 1091Q M DO J13_LCD LCD 10 11 12 13 14 15 16 PA6 R_LED6 600 C4 150pF P2 C104_max 10pF PC5 PA1

DO +10V

P3.7 P1.5 PA7 DO +5V P3.2 TA 11.0592 + -U9 O P-07 +5V P3.4 DO P1.2 C105 P1 PA0 +5V P2 P0 C RB1 10K +5V +5V PA3 DO P2 P0.5 PC1 +5V PB4 P3.2 D3 1091QM P1 P2.5 P0 C130pF +10V +5V VR_out D5 1091QM +5V PB6 C7 1uF D6 1091Q M P0.6 DO PA4 P0.3 DO P1.6 R9 -5V P0.0 PC1 R11 J5_AO UT A_O UT +5V P1.3 J4_G ND Ground P1 DO +5V P0.0 J10P3 6nP3.7 P3.6nP3 PC2 R_U_i R_LED4 400 U2 8255 34 33 32 31 30 29 28 27 36 35 40 39 38 37 18 19 20 21 22 23 24 25 14 15 16 17 13 12 11 10 26 D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 RD WR A0 A1 RESET CS PA0 PA1 PA2 PA3 PA4 PA5 PA6 PA7 PB0 PB1 PB2 PB3 PB4 PB5 PB6 PB7 PC0 PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6 PC7 VCC GN D

P2.0 P2

PB0 C104_82 10pF ALE P0.6 VR_ref R_LED3 400 C9 0.1uF C6 1uF +5V P3.3 DO P3.5 R1 100 R2 2K J2_10V 10Volt P2.6 DO SW1 RESET +5V P2.1 PA1 +15V P2.4 PA7 Vref PB2 PB5 P1 P1 P0.1 J3_15V 15Volt -5V P1 PA5 DO J7_REF/2 VREF/2 P2.5 P0 DO R_LED5 600 R3 10K P0.2 PB7 P2 DO P3.4 P2.2 DO U11 LT431P C A REF +5V P3.7 PC0 P0.7 D2 1091Q M P1.7 DO SW2

LCD LI G HT J9_P3 4nP3.5 P3 4nP3

1 P0 PB0 PA2 +5V P0 PB1 P0.4 P0.4 U4 DAC0808 10 11 12 13 14 15 16 D7-MSB D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0-LSB Vcc GN D NC(NO TE) Vee REF(+) REF(-) CO MP Iq J1_5V 5Volt U3 ADC0804 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 +IN -I N GN D VREF/2 GN D DB7 DB6 DB5 DB4 DB3 DB2 DB1 DB0 CLKR VCC /VR EF CLKIN I NTR CS RD WR -5V P2 PB6 R_LED1 200 U1 AT89C51 39 38 37 36 35 34 33 32 21 22 23 24 25 26 27 28 31 18 19 30 29 12 13 14 15 17 16 11 10 40 20 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P0.0/ AD0 P0.0/ AD1 P0.0/ AD2 P0.0/ AD3 P0.0/ AD4 P0.0/ AD5 P0.0/ AD6 P0.0/ AD7 P2 0/A8 P2 0/A9 P2 0/ A10 P2 0/ A11 P2 0/ A12 P2 0/ A13 P2 0/ A14 P2 0/ A15 EA/ VPP XTAL1 XTAL2 RST ALE/PROG PSEN P3 2/INTO P3 3/INT1 P3 4/TO P3 5/T1 P3 7/RD P3 6/ WR P3 1/TxD P3 0/RxD Vcc GN D D4 1091QM C104_373 10pF PA6 +5V PC6 -15V PA4 DO R5 5K + -U12 OP07 P0 P0 DO C104_DA 10pF +5V P3.5 DO P3.6 C2 30pF R_O P07 100 C104_89 10pF MAX232 11 12 14 13 10 16 15 T1I N(TxD-TTL) R1O UT(RxD-TTL) (RxD-RS232)T1O UT (TxD-RS232)R1I N T2I N(TxD-TTL) R2O UT(RxD-TTL) (RxD-RS232)T2O UT (TxD-RS232)R2I N C1+ C1-C2+ C2-V+ V-Vcc GN D +5V +5V P2.3 PB1 DO P1 PC CO MPO RT

5 P1.0 LCD Contrast C3 100uF

P1 DO

J12_LIGHT LI G HT SENSOR

1 J14_Dout D_O UT 10 +5V P2.6 J6_I N+-IN+I N-1 PC7 PA0 PA3 J8_P3.2nP3 P3.2nP3 PB3 PB2 PC3 -10V P0.2 PB7 C5 1uF P2.7 LCD Contrast R_LED2 200 C104_LCD 10pF +5V PA5 P0 +5V PB5 +5V PC0 DO

R_LCD Cont rast 10K PB4 DO P0.1 +5V P3.6 P1.4 U5 74LS373 13 14 17 18 11 12 15 16 19 20 10 D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 OC G Q Q Q Q Q Q Q Q VCC GN D DO P3.3 P1.1 J11_ALEnP2.7 ALEnP2 P1 P2.4 P0.5 P0.7 C104_AD 10pF C8 1uF +5V +5V DO PC4 P0.3 PC2

Hình 4: Sơ đồ nguyên lý Module I/O.

Các khối sơ đồ: - Khối nguồn

- Khối xử lý trung tâm sử dụng vi điều khiển AT89C51 - Khối giao tiếp máy tính sử dụng IC MAX232

(96)

http://www.atmel.com

http://www.maxim-ic.com

http://www.fuzzyTech.com

http://www.datasheetarchive.com

Câu hỏi ôn tập chương 4

1 Tổng hợp điều khiển gì?

2 Có cách phân loại điều khiển? Nêu chi tiết cách

3 Nêu cách tổng hợp điều khiển theo phương pháp Ziegler-Nichols

4 Tại phải xét tính điều khiển quan sát được?

5 Nêu luật mờ “ Nếu … Thì ” dạng tổng quát, Giải thích thành phần luận

(97)

Tài liệu tham khảo

[1] Norman S.Nise, Control System Engineering, Addision-Wesley

Publishing Company, 1995

[2] Richard C.Dorf, Robert H.Bishop, Modern Control System, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005

[3] Nguyễn Doãn Phước, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, Nhà xuất

Khoa học kỹ thuật, 2004

[4] Phạm Công Ngô, Lý thuyết điều khiển tự động, Nhà xuất Khoa học

và kỹ thuật, 2006

[5] Nguyễn Phương, Nguyễn Thị Phương Giang, Cơ sỏ tự động hoá sử dụng ngành khí, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2005

[6] Nguyễn Hoài Nam, Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động, Đại học Kỹ

thuật công nghiệp Thái Nguyên

[7] Lương Thanh Bình, Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động, Đại học Sư