PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN THỚI LAI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN NĂM HỌC 2016-2017 Khóa ngày: / / 2016 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3,0 điểm) Tính giá trị biểu thức P = x2 + y2 biết x, y số thực dương thỏa mãn x �y, xy = � �� � �1 � x + y x + x y + y3 � 1� 1�� � � � � � � + + + � :� = � � � � � � � 3 � � � x + y x y �� �x � y x y + y x � � � � � Câu (4,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : y = (2m + 3)x - 4m + m + 10 d2 : y = mx - 2m + 4m + 1(m tham số thực) Tìm tất giá trị nguyên tham số m để d1 d2 vng góc với Khi đó, với A(x0;y0) giao điểm d1 d2, tính giá trị 2 biểu thức T = x0 + y0 - 3x0y0 + 2x0 + y0 Câu (5,0 điểm) � 13 � - 23 3x - 2y - = � � � 2x + 3y + 11 + (x, y ��) a) Giải hệ phương trình � � 13 � + 3x - 2y - = � � 2 x + y + 11 + � � b) Tìm tất cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn điều kiện: 2x2 - 2y2 + 3xy - 13x + 4y + = Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) AB dây cung cố định Gọi M điểm � , lấy điểm C tùy ý cung nhỏ MB � Vẽ tia Ax vng góc với tia CM H cắt cung nhỏ AB đường thẳng BC K � a) Chứng minh CM tia phân giác góc ACK � = 300 Chứng minh tích b) Tia KM cắt tia AB E cắt (O) điểm thứ hai F Giả sử MAB � ME MF không đổi C di chuyển cung nhỏ MB Câu (2,0 điểm) Trong phịng học lớp 9A có bóng đèn quạt trần Mức tiêu thụ điện mỗi bóng đèn 40W quạt trần 100W Mỗi tháng lớp 9A học 26 ngày, ngày học Biết 1kW = 1000W a) Nếu sử dụng tất thiết bị ngày tháng lớp 9A sử dụng hết kWh điện? b) Nếu ngày sử dụng đèn quạt trần tháng lớp 9A tiết kiệm kWh điện? Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a3 b3 c3 + + (b + c)2 (a + c)2 (a + b)2 HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ ký giám thị Chữ ký giám thị Câu HƯỚNG DẪN CHẤM Cách giải Tính giá trị P = x + y biết x, y số thực dương thỏa mãn Điểm x �y, xy = � �� � �1 � x + y x + x y + y3 � 1� 1�� � � � � � � + + + : � � � �� � �= � � 3 � x y � � � � �� x y x + y x y + y x � � � � �� 3,0 điểm Ta có : � � �x + y� � x( x + y + y( x + y)� � x + y �� � � � � � � � (*) � � + : = � � � � � � � � � xy �� � � xy � � � x + y xy ( x + y ) � � � � � Câu (3,0 đ) � xy + x + y �� � (x + y)( x + y)� � � � � � � � �� :� = � � � � � � xy(x + y) � xy �� � � � �� � � xy 0,5 �x + y� � � � :� = � � � � � � xy � � 0,5 = 5� x + y = 0,5 ( x + y)2 xy x+ y 0,5 Khi x + y = ( ) x + y - xy = - = 0,5 Vậy P = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = - = 0,5 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : y = (2m + 3)x - 4m + m + 10 d2 : y = mx - 2m + 4m + 1(m tham số thực) Tìm tất giá trị nguyên tham số m để d1 d2 vng góc với Khi đó, với A(x0;y0) giao điểm 4,0 điểm Câu (4,0 đ) 2 d1 d2, tính giá trị biểu thức T = x0 + y0 - 3x0y0 + 2x0 + y0 d1 d2 vng góc với (2m + 1)m = - � 2m + 3m + = � (2m + 1)(m + 1) = � m=- � � � � m = � � Vì m số nguyên nên m = - Với m = - 1, ta có : d1 : y = x + d2 : y = - x - Xét phương trình hồn độ giao điểm x + = - x - � x = - Giao điểm hai đường thẳng A(- 5;0) Suy T = 15 � 13 � - 23 3x - 2y - = � � � 2x + 3y + 11 + (x, y ��) a) Giải hệ � � 13 � + 3x - 2y - = � � 2 x + y + 11 + � � 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2,5 điểm Câu (5,0 đ) Điều kiện : 2x + 3y + 11 �0 � � u= � 2x + 3y + 11 + (u > 0) Đặt � � � � v = 3x - 2y - � � � 13 � 3u - 2v = � � Khi hệ cho trở thành � � 13 � 2u + 3v = � � � � � u= �� � � � v=2 � � � 1 � � u= = � 2x + 3y = - � � � x + y + 11 + � Khi đó: � � � 3x - 2y = 10 � � v = x y = � � � x=2 �� � (thỏa mãn điều kiện) � y =- � 0,25 Vậy nghiệm hệ cho (2 ;-2) b) Tìm tất cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn điều kiện: 0,25 Ta có: (1) � 2x2 + (3y - 13)x - 2y2 + 4y + = 2 D = (3y - 13) - 8(- 2y + 4y + 6) = (5y - 11) Phương tình cho viết lại (2x - y - 1)(x + 2y - 6) = � � 2x - y - = 2x - y - = � � � Vì (x;y) nguyên nên � � � x + 2y - = x + 2y - = � � � � 2x - y - = - 2x - y - = - � � � � � � x + 2y - = - x + 2y - = - � � � 2x - y - = 19 � �x= * Với � � x + 2y - = � � � 2x - y - = x=3 � �� � * Với � � x + 2y - = � y=4 � � � 2x - y - = - � �x =* Với � � x + 2y - = - � � 2x - y - = - 1 � �x= * Với � � x + 2y - = - 5 � Câu (4,0 đ) 0,25 0,5 0,5 0,5 2,5 điểm 2x2 - 2y2 + 3xy - 13x + 4y + = (1) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy cặp số cần tìm (3;4) Cho đường tròn (O;R) AB dây cung cố định Gọi M điểm � , lấy điểm C tùy ý cung nhỏ MB � Vẽ tia Ax vng góc với tia 4,0 điểm cung nhỏ AB CM H cắt đường thẳng BC K � a) Chứng minh CM tia phân giác góc ACK 2,0 điểm 0,25 Ta có �CM = MAB � K � � � Mà ACM = ABM = MAB � �CM Suy ACM =K 0,25 0,5 0,5 � 0,5 Vậy CM tia phân giác góc ACK � = 300 b) Tia KM cắt tia AB E cắt (O) điểm thứ hai F Giả sử MAB 2,0 điểm � Chứng minh tích ME MF không đổi C di chuyển cung nhỏ MB � chung MFB � = MAB � � Xét hai tam giác MEB MBF có EMB nên = MBA chúng đồng dạng ME MB = � ME MF = MB = MA MB MF � � Vẽ đường cao ON tam giác OAM , ta có AON = ABM = 300 , � AM = 2AN = 2OA.sin AON = 2.R.sin300 = R Suy 0,5 0,5 0,5 0,5 Suy ME MF = MA = R (đpcm) Trong phòng học lớp 9A có bóng đèn quạt trần Mức tiêu thụ điện mỗi bóng đèn 40W quạt trần 100W Mỗi tháng lớp 9A 2,0 điểm học 26 ngày, ngày học Biết 1KW = 1000W a) Nếu sử dụng tất thiết bị ngày tháng lớp 9A sử dụng hết bao 1,0 điểm nhiêu kWh điện? 0,5 Lượng điện tiêu thụ bóng đèn: 8.40.8.26 = 66560W = 66,56 kWh Lượng điện tiêu thụ quạt trần: 4.100.8.26 = 83200W = 83,2 kWh Câu Lượng điện tiêu thụ tháng là: 149,76 kWh (2,0 điểm) b) Nếu ngày sử dụng đèn quạt trần tháng lớp 9A tiết kiệm kWh điện? Lượng điện tiêu thụ bóng đèn: 8.40.3.26 = 24960W = 24,96 kWh Câu (2,0 đ) 0,25 0,25 1,0 điểm 0,25 Lượng điện tiêu thụ quạt trần: 4.100.5.26 = 52000W = 52 kWh 0,25 Lượng điện tiêu thụ tháng là: 76,96kWh 0,25 0,25 Lượng điện tiết kiệm là: 149,76- 76,96 = 72,8 kWh Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ 2,0 điểm biểu thức: P = a3 b3 c3 + + (b + c)2 (a + c)2 (a + b)2 a3 b+c b+c a3 b + c b + c 3 + + �3 = a Ta có 2 8 (b + c) (b + c) b3 a +c a +c b3 a + c a + c 3 + + �3 = b; 2 8 (a + c) (a + c) 3 c a + b a +b c a + b a +b + + �33 = c 2 8 (a + b) (a + b) a +b +c � (a + b + c) P � (a + b + c) = Suy P + Vậy P = a = b = c = 2 Chú ý: Mọi cách giải khác điểm tối đa 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5