Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa lấy D sao cho BD = BA và BD vuông góc BA.. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy E sao cho CE = CA và CE vuông góc CA.[r]
(1)ĐỀ KIỂM TRA CUỐI TUẦN TOÁN 7 TUẦN 34
-Ôn tập chương IV đại số
-Tính chất ba đường cao tam giác I.HỎI ĐÁP NHANH
1.Giá trị sau nghiệm đa thức f(x) = x4 + 2x3 + 2x2 + x – 156?
A x= -1 B x = C x= D.x =
2.Biết x = nghiệm đa thức f(x) Hỏi x = có nghiệm đa thức g(x) = f(x) + x – hay không?
………
3 Trên hình a trực tâm tam giác HBC điểm nào?
……… Trên hình b đường thẳng HK có qua H khơng? Tại sao?
………
(2)II.LUYỆN TẬP
1.Cho đơn thức A= 1 14 x2y ( −5
6 xy)0 (-2 xy)
a.Thu gọn đơn thức A
b.Tìm hệ số bậc đơn thức
2 Cho đa thức
P(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 -
4 x, Q(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 –
a.Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến
b.Tính P(x) + Q(x) P(x) – Q(x) c.Tính P(1), Q(0)
3.Tìm nghiệm đa thức x2 – 5x
4 Chứng minh đa thức 10x2014 + 9x2016 + 2017 khơng có nghiệm R
5 Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c (với a, b, c số)
Chứng minh rằng:
a.Nếu a + b + c = đa thức f(x) có nghiệm x = b.Nếu a – b + c = đa thức f(x) có nghiệm x = -1 c Áp dụng câu a b để tìm nghiệm đa thức sau: h(x) = -4x2 – 5x – 1
(3)6* Cho đa thức M(x) N(x) có nghiệm Có thể khẳng định đa thức M(x) + N(x) ln có nghiệm hay khơng? Cho ví dụ minh họa
7* Biết x =1 nghiệm đa thức f(x) Tính giá trị đa thức. H(x) = f(x) + x – x =
8 Cho tam giác vuông cân B Trên cạnh AB lấy điểm H Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BH = BD Chứng minh rằng:
a.DH vng góc AC b CH vng góc AD
9 Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH Lấy điểm I trung điểm của AC
a.Chứng mimh I giao điểm ba đường trung trực cuat tam giác AHC b.Gọi K D trung điểm AH HC Chứng minh KD //AC
c.Chứng minh BK vng góc AD
d.Trong hình vẽ K trực tâm tam giác nào? A trực tâm tam giác nào?
10 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho
^
ABD = ^DBE = ^EBC Trên BD kéo dài lấy điểm F cho DE = BC
Chứng minh tam giác CDF câ
(4)12 Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa lấy D cho BD = BA BD vng góc BA Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy E cho CE = CA CE vng góc CA
Chứng minh đường thẳng AH, BE , CD đồng quy
13 Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H Chứng minh rằng:
a.AB + AC > HA + HB + HC
b AB + BC + CA > 32 (HA + HB + HC)
14* Cho tam giác ABC, vẽ đường cao AH Lấy điểm E F cho AB đường trung trực HE, AC đường trung trực HF Nối EF cắt AB M AC N
Chứng minh CM, BN, AH đồng quy
Áp dụng: Cho tam giác ABC nhọn Hãy tìm tam giác nội tiếp tam giác ABC, tức tam giác có ba đỉnh nằm ba cạnh ∆ ABC, có chu vi nhỏ
15* Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Đường thẳng vng góc với AM A đường thẳng vng góc với AC B cắt E Lấy điểm F đối xứng với E qua A Chứng minh CF vng góc với AB
ĐÁP ÁN TUẦN 34 1.
a.Thu gọn A = - 3512 x3y2
(5)2
a P(x) = x5 + 7x4 – 9x3 – 2x2 -
Q(x) = -x5 + 5x4 – 2x3 + 4x2 -
b.P(x) + Q(x) = 12x4 – 11x3 + 2x2- -
1
P(x) – Q(x) = 2x5 + 2x4 – 7x3 – 6x2 -
4 x +
c.Tính P(1) = - 134 Tính Q(0) = - 14
3.
Ta có: x2 – 5x = 0
x (x – 5) = x = x =
Nghiệm đa thức
4 Ta có 10x2014 ≥ 9x2016 ≥ với x thuộc R
Vậy 10x2004 + 9x2006 + 2017 > nên đa thức cho khơng có nghiệm R.
5.
a.Xét f(1) = a.12 + b.1 + c = a + b + c
(6)b.Xét f(-1) = a.(-1)2 + b.(-1) + c = a – b + c.
Mà a – b + c = (theo giả thiết) nên f(-1) = Vậy x = -1 nghiệm đa thức f(x)
c Xét đa thức h(x) = -4x2 – 5x – 1
Ta thấy a – b + c = -4 –(-5) – = nên đa thức h(x) có nghiệm x= -1 Xét đa thức g(x) = -3x5 + 5x – 2
Ta thấy a + b + c = -3 + – = nên đa thức g(x) có nghiệm x =1 Ta khơng thể khẳng định đa thức M(x) + N(x) ln có nghiệm Chẳng hạn:
Giả sử: M(x) = 2x2 – N(x) = -2x2 + 16
Cả hai đa thức có nghiệm
Nhưng M(x) + N(x) khác với x nên M(x) + N(x) khong có nghiệm
7 h(1) = -1
8
a ∆ ABC vuông cân B, C^ = 45 ° ∆ HBD có B^ = 90 ° (giả
thiết)
BH = BD (giả thiết)
(7)Xét ∆ DIC có ^D = 45 ° ; C^ = 45 ° (chứng minh trên)
Vậy C^ + ^D = 90 ° .
^DIC = 90 °
Vậy DH vng góc AC
b.Tam giác ADC có AB vng góc BC (giả thiết); DI vng góc AC (chứng minh câu a)
Vậy H trực tâm ∆ ADC, suy CH đường cao thứ ba ∆ ADC, CH vng góc AD
9.
a.Dễ dàng chứng minh AI = AC = HI = 12 AC
Vậy I giao ba đường trung trực ∆ AHC
b Xét ∆ KHD ∆ DIK có KD chung AH vng góc BC
DI vng góc BC AH // DI
^HKD = ^KDI (hai góc so le)
(8) KI // BC
^HDK = ^IKD (hai góc so trong)
Vậy ∆ KHD = ∆ DIK (g.c.g) HK = ID; HD = KI
Xét ∆ KHD ∆ IDC vuông H D có HK = ID (chứng minh trên) HD = DC (DI trung trực HC)
Vậy ∆ KHD = ∆ IDC (hai cạnh góc vng)
^D1 = C^ (góc tương ứng)
DK // AC (hai góc đồng vị nhau)
c KD // AC (chứng minh b) AB vuông góc AC (giả thiết)
KD vng góc AB
d Trong ∆ ABD có AH vng góc BD (giả thiết), KD vng góc AB (chứng minh câu c)
Suy K giao điểm ba đường cao ∆ ABD
Xét ∆ BKD có A thuộc đường cao KH; A thuộc đường cao qua đỉnh B Vậy A trực tâm ∆ BKD
(9)Đặt đoạn BG = BC G nằm D F BD = GF
Tam giác BCG cân có BE đường cao, BE vng góc với CG H Ta có: ^CDG = ^CGD (=90 ° -
3 B^ )
Suy CD = CG
Hai tam giác CDB CGF có :
CD = CG, BD = GF, CDB^ = CGF^ nên hai tam giác nhau, suy
CB = CF, CF = DF Vậy tam giác CDF cân F
11
Ta thấy BÂC^ ≠ 90 ° , trái lại H ≡ A
AH=0 (vơ lí)
Trường hợp 1: BAC^ < 90 °
Xét hai tam giác vuông AKH BKC có: AH = BC (giả thiết)
^HAK = ^KBC (=90 ° - C^ )
Do ∆ AKH = ∆ BKC (cạnh huyền-góc nhọn) =>AK = BK (hai cạng tương ứng)
(10)Trường hợp 2: BAC^ > 90 °
Chứng minh tương tự trương hợp ta KH = BK từ đs suy ^BHK = 45 °
Vì A trực tâm ∆ BHC nên CA vng góc HB
Hai góc BAC^ BHC^ có cạnh tương ứng vng góc
Lại BAC^ > 90 ° nên BAC^ + BHC^ = 180 °
Từ suy BAC^ = 135 °
12.
Trên tia đối tia AH lấy điểm F cho AF = BC
Dễ dàng chứng minh ∆ DBC = ∆ BAF ∆ BCE = ∆ FAC (c.g.c) Suy BF vng góc CD CF vng BE
Ta có AH, BE CD đường cao ∆ FBC, chúng đồng quy
(11)a.Qua H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB F, đường thẳng song song với AB cắt AC E Dễ dàng chứng minh AF = EH, AE = FH
Vì BH vng góc AC FH // AC nên BH vng góc FH =>BF > BH ?(quan hệ đường xiên – đường vng góc ) Tương tự, ta có CE > CH
Xét ∆ AEH có AE + EH > HA (bất đẳng thức tam giác) Từ AB + AC = AE + AF + FB + EC > HA + HB + HC b.Sử dụng kết câu a
14.
a.(hình a) Nếu ^A = 90 ° : hiển nhiên M, N trùng với A
b.(hình b) Nếu ^A < 90 °
∆ NHF cân nên ^N 1 = ^N 2
Vì AC phân giác ngồi ∆ HMN
Tương tự ta có AB phân giác ∆ HMN
Suy AH phân giác ∆ HMN (AH qua giao điểm hai phân giác ∆ HMN)
Suy BC đường phân giác ∆ HMN BC vng góc AH Ta có phân giác ngồi góc nên MC vng góc AB
(12)c Nếu ^A > 90 ° : tương tự trường hợp trên
Áp dụng: tam giác có chu vi nhỏ tam giác có ba đỉnh chân đường cao tam giác
15
Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AN = AB Dễ thấy ∆ AFN = ∆ AEB (c.g.c)
Suy : ^AFN = ^AEB hai góc vị trí so le nên FN // BE.
Theo giả thiết:
CA vng góc BE suy CA vng góc FN (1)
Vì AB = AN, MB = MC nên theo kết quen thuộc ta có AM // NC Vì FE vng góc AM nên FE vng góc NC (2)