Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều. Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều. Như vậy bài toán trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rất nhiều các [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: TÍNH NHANH
Dạng Vận dụng tính chất giao hốn tính chất kết hợp phép cộng
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau: A = 1+ + + + + + + + Giải:
Ta có: A = 1+ + + + + + + +
= ( + 9) + ( + 8) + (3 + 7) + ( + 6) + = 10 + 10 + 10 + 10 + = 55
Dạng Vận dụng tính chất dãy số cách đều Ví dụ : Tính nhanh tổng sau:
S = + + + + + … + 100 + 101 Giải: Cách
S = + + + + + … + 100 + 101
S = 101 + 100 + 99 + 98 + 97 +…+ + Cộng vế với vế ta có:
x S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + (4 + 98) + … + (100 + 2) + (101 + 1)
x S = 102 + 102 + 102 + 102 + … + 102 + 102 (có 101 số 102) x S = 102 x 101 = 10 302
S = 10 302 : = 5151
Cách Viết thêm số vào tổng cho S = + + + + + +…+ 100 + 101
= (0 + 101) + (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 101 + 101 + 101 + … + 101
Tổng có 102 số hạng nên số cặp ghép là: 102 : = 51 (cặp) Vậy S = 101 x 51 = 5151
Cách Viết thêm số 102 vào tổng cho S = + + + + + … + 100 + 101
(2)S + 102 = 103 x 51 = 5253 S = 5253 - 102 = 5151
Cách Tách số hạng đứng S = + + + + + … + 100 + 101
S = + (2 + 101) + (3 + 100) + (4 + 99) + … + (51 + 52) S = + 103 + 103 + 103 + … + 103 S = + 103 x 50 = + 5150 = 5151
Cách Tách số hạng cuối đứng S = + + + + + … + 100 + 101
S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) + 101 S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101
S = 101 x 50 + 101 = 101 x 51 = 5151
Cách Tách riêng số hạng đứng S = + + + + + … + 100 + 101
S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + … + (50 + 52) + 51 S = 102 + 102 + 102 + … + 102 + 51
= 102 x 50 + 51 = 5100 + 51 = 5151
Dạng Vận dụng tính chất giao hốn tính chất kết hợp phép nhân
Ví dụ : Tính nhanh:
B = x x 125 x x x 25 Giải: B = x x 125 x x x 25 B = (5 x 2) x (8 x 125) x (4 x 25) = 10 x 1000 x 100 = 000 000
Dạng Vận dụng quy tắc nhân số với tổng Ví dụ : Tính cách nhanh nhất:
254 x 99 + 254 Giải: 254 x 99 + 254 = 254 x 99 + 254 x
(3)Dạng Vận dụng quy tắc nhân số với hiệu Ví dụ : Cho A = 93 x 427 B = 437 x 93
Tính hiệu B - A mà khơng tính riêng tích A tích B
Giải: B - A = 477 x 93 - 93 x 427 = 93 x (437 - 427) = 93 x 10 = 930
Dạng Một vế 0
Ví dụ : A = ( 18 - x 2) x ( + + + + 10 )
Giải: A = ( 18 - x 2) x ( + + + + 10 )
= ( 18 – 18) x ( + + + + 10 ) = x ( + + + + 10 ) Ví dụ : Tính giá trị biểu thức:
A = 181 + - - + + - - + 10 + 11 - 12 - 13 + 14 + 15 - 16 - 17 + 18 + 19
Ta nhóm lại sau:
A = 181 + (3 + 6) + (7 + 10) + (11 12 13 + 14) + (15 16 -17 + 18) + 19
= 181 + ( + – – 5) + ( + 10 – – 9) + ( 11 + 14 – 12 – 13) +( 15 + 18 – 16 – 17) + 19 = 181 + + + + + 19 = 200
CÁC BÀI TẬP ĐỂ THỰC HÀNH
1 24 x + 24 x + 24 x
= 24 x ( + + 2) = 24 x 10 =240 24 x + 24 x + 24
= 24 x ( + + 1) = 24 x 10 = 240 217 x 45 + 50 x 217 + 207 x
= 217 x ( 45 + 50 + ) = 217 x 100 = 21700 456 x 36 + 456 x 61 + x 456 + 456
= 456 x ( 36 + 61 + + 1) = 456 x 102 = 46512
5 (16 x 6+ 16 x3 + 16) - (12 x + 12 x + x12)
(4)= 16 x ( + + 1) – 12 x ( + +2) = 40 213 x 37 + 213 x 39 + 23 x 213 + 213
= 213 x ( 37 + 39 + 23 + 1) = 213 x [( 37 + 23) + ( 39 + 1)] = 213 x 100 + x + 18 : x
= + x + x = x ( + + 6) = 90 2007 x 16 - 2007 x 14 - 2007 x + 2007 = 2007 x ( 16 – 14 – + 1) = 2007
10 x + 18 x + x +
= x + ( x 2) x + x + = x + 9x + x + = x( + + +1) = x 10=90
11 ( 145 x 99 + 145) - ( 143 x 101 - 143 )
= 145 x 100 – 143 x 100 = 100 x ( 145 – 143) = 200 12 2006 x ( 43 x 10 - x 43 x 5) + 100
= 2006 x [ 43 x ( 10 – x 5) + 100 = 2006 x [ 43 x ( 10 – 10) + 100 = 2006 x 43 x + 100 = 100
13 64 x + 18 x + x
= 64 x + 18 x + x ( x 2) = x ( 64 + 18 + 18) = x 100 = 400 14 44 x + 18 x 10 + 20 x
= ( 22 x 2) x + 18 x 10 + 10 x x 5= 10 x ( 22 + 18 +10) = 10 x 50 = 500
15 x + x + x + 18
= x ( + ) + 18 + 18 = x + 18 x ( + 1) = 36 + 36 = 36 x = 72 16 x + x + x
=5 x ( + 7) + x = x + x = x ( + 3)= 72 17 15 : + 27 : + :
( 15 + 27 + 8) : = 50 : = 10 18 99 : - 26 : - 23 :
= ( 99 – (26 + 23)) : = 50 : = 10 19.( x - 56 ) : ( + + + + 112 ) = ( 56 – 56) : ( + + + +12) =
(5)= ( + 125 + + 145 +112 ) x =
21.( 12 x - 12 x - 12 x ) x ( 347 + 125 ) = 12 x ( – -2) x ( 347 +125) =
22.(a x + a x - a x 15) : ( + + + + 10)
= ( a x + a x – a x 15): ( + + + …+10) = a x ( + -15) : ( + +…+10) =
23 58 - 58 x( + 54 - 60) = 58 – 58 x = 58 24.32 + 63 x a x ( a x - a : 1) + 32 x + 32
= 32 + 63 x a x + 32 x + 32 = 32 x ( + + 1) = 320 25.( + + + + + ) x ( 21 x - 21 - x21) = ( 1+ +3+4+ ….+9) x 21 x( – – 4) =
26.( x + x - 15 x ) : ( + + + + + 17 + 19 ) = x ( + – 15) : ( + + … + 19) =
27.( + + + + + 20 ) x ( 56 x - 72 : x 21)
= ( + + + …+ 20) x ( 56 x – x x 3) = ( + + + …+20) x ( 56 x – 56 x 3) =
28 x 20 x x = ( x 2) x 20 x = 10 x 20 x = 800 29 94 + 87 + 81 - 71 - 77 – 84
= ( 94 – 84 ) + ( 87 – 77) +( 81 – 71) = 10 + 10 +10 = 30
30 1999 - 2000 + 2999 - 3000 + 3999 - 4000 + 4999 - 5000 + 5999 – 1000
= (1999 – 1000) + ( 2999- 2000) + ( 3999 – 3000) + ( 4999 – 4000) + ( 5999 – 5000) = 999 + 999 + 999 + 999 + 999 = ( 999 + 1) + ( 999 + 1) + ( 999 + 1) + ( 999 + 1) + ( 999 + 1) – = 1000 x – = 5000 – = 4995
31 + + + + + - 777 ( Cã 111 sè ) = x 111 – 777 =
32 - + - + 10 - 12 + 14 - 16 + 18 - 20 + 22
= ( + + 10 + 14 + + 18 + 22) – ( + + 12 + 16 + 20) =[ ( + 18) + ( 6+ 14) + 10 + 22) – [ ( + 16) + ( + 12) + 20) = ( 20 + 20 + 10 + 20 + 2) – ( 20 + 20 + 20) = 12
(6)= ( 10 + 80) + ( 12 + 78) + …( 44 + 46) = 90 + 90 + …+ 90 ( Có 18 số 90)
= 90 x 18 = 1620
34 60 - 61 + 50 - 51 + 40 - 41 + 30 - 31 + 20 - 21 + 10 - 11 + 70
(7)CHUYÊN ĐỀ: ĐỌC, VIẾT SỐ I Đọc số
Để đọc số tự nhiên, học sinh phải nắm cách đọc số:
- Tách số thành lớp, lớp hàng theo thứ tự từ phải sang trái - Đọc số dựa vào cách đọc số có ba chữ số kết hợp với đọc tên lớp
đó (trừ lớp đơn vị) Ví dụ:
Số: 123 456 789
triệu nghìn đơn vị
Đọc số: Một trăm hai mươi ba triệu bốn trăm năm mươi sáu nghìn bảy trăm tám mươi chín
1 Trường hợp số có chữ số tận 1.
- Đọc “một” chữ số hàng chục nhỏ Ví dụ:
201: Hai trăm linh một. 811: Tám trăm mười một.
6827901: Sáu triệu tám trăm hai mươi bảy nghìn chín trăm linh một. - Đọc “mốt” chữ số hàng chục lớn 2, nhỏ
(đọc “mốt” kết hợp với từ “mươi” liền trước) Ví dụ:
6381: Sáu nghìn ba trăm tám mươi mốt.
50621: Năm mươi nghìn sáu trăm hai mươi mốt.
608561: Sáu trăm linh tám nghìn năm trăm sáu mươi mốt. 2 Trường hợp số có chữ số tận 4.
- Đọc “bốn” chữ số hàng chục nhỏ Ví dụ:
(8)89514: Tám mươi chín nghìn năm trăm mười bốn.
6281304: Sáu triệu hai trăm tám mươi mốt nghìn ba trăm linh bốn. - Đọc “tư” chữ số hàng chục lớn 2, nhỏ
(đọc “tư” kết hợp với từ “mươi” liền trước) Ví dụ:
324: Ba trăm hai mươi tư (Ba trăm hai mươi bốn)
1944: Một nghìn chín trăm bốn mươi tư (Một nghìn chín trăm bốn mươi bốn)
9764: Chín nghìn bảy trăm sáu mươi tư.
(* Lưu ý: Có thể đọc “bốn” chữ số hàng chục 4)
3- Trường hợp số có chữ số tận 5.
- Đọc “lăm” chữ số hàng chục lớn 0, nhỏ (đọc “lăm” kết hợp với từ “mươi” “mười” liền trước)
Ví dụ:
1115: Một nghìn trăm mười lăm.
5555: Năm nghìn năm trăm năm mươi lăm. 20395: Hai mươi nghìn ba trăm chín mươi lăm.
- Đọc “năm” hàng chục kết hợp với từ tên hàng, từ “mươi” liền sau
Ví dụ:
6805: Sáu nghìn tám trăm linh năm.
687586: Sáu trăm tám mươi bảy nghìn năm trăm tám mươi sáu. 505155: Năm trăm linh năm nghìn trăm năm mươi lăm.
II Viết số:
Để viết số tự nhiên, học sinh phải nắm cách viết số: - Viết số theo lớp (từ trái sang phải)
(9)- Xác định lớp (chữ tên lớp).
- Xác định số thuộc lớp (nhóm chữ bên trái tên lớp)
(Lưu ý: đọc số khơng đọc tên lớp đơn vị nên nhóm chữ bên phải lớp nghìn nhóm chữ ghi lời đọc số thuộc lớp đơn vị.).
Ví dụ: Viết số sau:
- Năm mươi sáu triệu chín trăm mười hai nghìn ba trăm bốn mươi bảy => Giáo viên cần hướng dẫn học sinh xác định sau:
- Năm mươi sáu triệu chín trăm mười hai nghìn ba trăm bốn mươi bảy.
56 (tên lớp) 912 (tên lớp) 347
=> Viết số: 56 912 347 Ví dụ :
+ Viết số, biết số gồm:1 trăm triệu, triệu, trăm nghìn, chục nghìn, nghìn, chục đơn vị
=> Giáo viên cần hướng dẫn học sinh xác định sau:
+ Li t kê h ng theo th t t l n ệ ứ ự đến bé
trăm triệu chục triệu triệu trăm nghìn chục nghìn nghìn trăm chục đơn vị
1
1 trăm triệu triệu trăm nghìn chục nghìn nghìn chục 8
đơn vị
(10)CHUYÊN ĐỀ CẤU TẠO, PHÂN TÍCH SỐ I Những kiến thức cần nhớ:
1 Một số tự nhiên cấu tạo từ chữ số: 0, 1, 2, … ,9 Số số tự nhiên nhỏ nhất, khơng có số tự nhiên lớn
- Các số có tận 0, 2, …, số chẵn - Các số có tận 1, 3, …, số lẻ Phân tích cấu tạo số:
ab = a x 10 + b ( a>0)
abc = a x 100 + b x 10 + c = ab x 10 + c
3 Hai số tự nhiên liên tiếp (đứng liền nhau) đơn vị - Hai số tự nhiên lẻ chẵn liên tiếp nhau đơn vị Quy tắc so sánh số tự nhiên:
- Số tự nhiên có nhiều chữ số số lớn
- Nếu số có chữ số số có chữ số kể từ bên trái lớn lớn hơn( so sánh theo hàng đơn vị)
II Các dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Viết số tự nhiên từ chữ số cho trước. Ví dụ: Cho bố số: 0, 2, 6, 9.
a Viết tất số có chữ số
b Viết tất số có chữ số khác từ bốn số cho c Tìm số lớn nhất, nhỏ có chữ số khác từ bốn số cho d Tìm số lẻ, chẵn lớn có chữ số khác từ bốn số cho
Giải:
- Điều kiện toán: Hàng trăm số tự nhiên số có chữ số > a
(11)+ Hàng chục có cách lựa chọn số( ko phân biệt số lựa chọn có giống có giống với số hàng trăm hay ko)
+ Hàng đơn vị có cách lựa chọn(vì ko phân biệt số lựa chọn có giống có giống với số hàng trăm, hàng chục hay ko)
- Vậy có tất số việt là: x x = 48 ( số) b
- Lần lượt chọn chữ số từ hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị sau: + Hàng trăm có cách lựa chọn số( theo điều kiện toán)
+ Hàng chục có cách lựa chọn số( chữ số chọn phải khác với số hàng trăm chọn)
+ Hàng đơn vị có cách lựa chọn(vì chữ số chọn phải khác với số hàng trăm, hàng chục chọn)
- Vậy có tất số việt là: x x = 18 ( số) c
- Theo thì: 0< 2< <
- Số lớn có chữ số khác viết từ số( 0,2,6,9) phải có số hàng nghìn lớn chữ số cho Vậy chữ số hàng nghìn - Chữ số hàng chục số lớn số lại
- Chữ số hàng đơn vị số lớn số lại Số lơn là: 962
Số nhỏ 206 Vì:
- Chữ số hàng trăm 2( theo điều kiện hàng trăm >0 nhỏ ba chữ số lại)
- Chữ số hàng chục 0( nhỏ ba chữ số lại) - Chữ số hàng đơn vị 6( nhỏ ba chữ số lại) d
(12)Số chẵn lớn nhất: 962 Số lẻ lớn nhất: 629
Dạng 2: Các tốn phân tích số.
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái ta số lớn gấp 13 lần số cho
Giải: Gọi số phải tìm ab ( a>0)
Viết thêm chữ số vào bên trái số cho ta số 9ab Theo ta có:
9ab = 13 x ab Ta phân tích cấu tạo số vế ta 900 + ab= 13 x ab Bớt ab vế ta có:
900 = 12 x ab ab = 900: 12 = 75 Số cần tìm là: 75
Ví dụ 2: Tìm số có chữ số Biết thêm chữ số vào bên phải số ta số số cũ 759 đơn vị
Giải
Gọi ab số phải tìm( a>0)
Do thêm vào bên phải ta số mới: ab3 Theo ta có:
ab3 = ab + 759
ab x 10 + = ab + 759 Bớt hai vế (ab + 3) đơn vị ta ab x = 756
ab = 756 : = 84 Số cần tìm 84
(13)- Chữ số tận tổng = tổng chữ số tận số tổng
- Chữ số tận tích = tích chữ số tận số tích
- Tổng + +3 +…+ có chữ số tận
- Tích x x x x có chữ số tận ( số lẻ nhân với tận 5)
- Tích x x x x có chữ số tận 0( số chẵn nhân với tận 0)
- Tích a x a khơng thể tận 2; 3; 7;
Ví dụ 1: Khơng tích cho biết chữ số tận kết sau: a ( 11+ 12 + … + 19) – ( + + + … + 9)
b 21 x 23 x 25 x 27 x 29 – 12 x 14 x 15 x 16 x 18 Giải
a chữ số tận tổng: ( 11 + 12 + … + 19) ( 1+ + + ….+ 9)đều chữ tận tổng + + … + Nên tận hiệu
b Xét tích 21 x 23 x 25 x 27 x 29 có chữ số tận tích x x 5x 7x9
Xét tích 12 x 14 x 15 x 16 x 18 có chữ số tận tích x x x x
Vậy tận hiệu tích là:
Ví dụ 2: Khơng đặt tích, cho biết kết sai. a 136 x 136 – 84 = 1090
Giải
(14)BÀI TẬP TỰ GIẢI: Cho chữ số: 3, 5, 6,
Từ chữ số lập tất số có chữ số khác
2 Tìm số có chữ số, biết viết thêm số 21 vào bên trái ta số gấp 31 lần số phải tìm
3 Tìm số có chữ số, biết thêm chữ số vào bên phải số cho số số đa cho 230 đơn vị
4 khơng làm tính cho biết số tận kết sau: a ( 1999 + 2378 + 4545 + 7956) – ( 315 + 598 + 736 + 89) b 56 x 66 x 76 x 86 – 51 x 61 x 71 x 81
5 Khơng làm tính cho biết kết phép tính hay sai? Giải thích
a abc x abc – 853447 =
(15)CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Các kiến thức cần nhớ:
Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số chẵn lại đến số lẻ lại đến số chẵn… Vì vậy, nếu:
- Dãy số số lẻ kết thúc số chẵn số lượng số lẻ số lượng số chẵn
- Dãy số số chẵn kết thúc số lẻ số lượng số chẵn số lượng số lẻ
- Nếu dãy số số lẻ kết thúc số lẻ số lượng số lẻ nhiều số chẵn số
- Nếu dãy số số chẵn kết thúc số chẵn số lượng số chẵn nhiều số lẻ số
a Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số số lượng số dãy số giá trị số cuối số
b Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số khác số số lượng số dãy số hiệu số cuối dãy số với số liền trước số
2 Các loại dãy số:
+ Dãy số cách đều: - Dãy số tự nhiên - Dãy số chẵn, lẻ
- Dãy số chia hết không chia hết cho số tự nhiên
+ Dãy số không cách
(16)- Dãy có tổng (hiệu) hai số liên tiếp dãy số + Dãy số thập phân, phân số:
3 Cách giải dạng toán dãy số:
Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số Trước hết ta cần xác định lại quy luật dãy số:
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước cộng (hoặc trừ) với số tự nhiên a
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước nhân (hoặc chia) với số tự nhiên q khác
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng số hạng đứng liền trước
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng số hạng đứng trước cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự số hạng
+ Số hạng đứng sau số hạng đứng trước nhân với số thứ tự + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở a lần số liền trước nó. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, số liền sau a lần số liền trước cộng (trừ ) n (n khác 0)
Các ví dụ:
Bài 1: Điền thêm số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……
Muốn giải toán trước hết phải xác định quy luật dãy số sau:
Ta thấy: + = 3 + = + = 5 + = 13
(17)Ba số hạng là: 21 + 34 = 55; 34 + 55 = 89; 55 + 89 = 144 Vậy dãy số viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144 Bài 2: Viết tiếp số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27
Ta nhận thấy: = + + 27 = 4+ + 15
15 = + +
Từ ta rút quy luật dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng ba số hạng đứng liền trước
Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169 Bài 3: Tìm số hạng dãy số sau biết dãy số có 10 số hạng
a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 b) , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 Giải:
a) Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 : 1024 = 512 x Số hạng thứ : 512 = 256 x Số hạng thứ : 256 = 128 x Số hạng thứ : 128 = 64 x ………
Từ ta suy luận quy luật dãy số là: số hạng dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước
Vậy số hạng dãy là: x = b) Ta nhận xét :
(18)………
Từ ta suy luận quy luật dãy số là: Mỗi số hạng số thứ tự số hạng nhân với 11
Vậy số hạng dãy : x 11 = 11 Bài 4: Tìm số cịn thiếu dãy số sau :
a 3, 9, 27, , , 729 b 3, 8, 23, , , 608 Giải :
Muốn tìm số cịn thiếu dãy số, cần tim quy luật dãy số
a Ta nhận xét : x = 9 x = 27
Quy luật dãy số là: Kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng gấp lần số liền trước
Vậy số cịn thiếu dãy số là:
27 x = 81 ; 81 x = 243 ; 243 x = 729 (đúng) Vậy dãy số thiếu hai số : 81 243
b Ta nhận xét: x – = ; x – = 23
Quy luật dãy số là: Kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng lần số liền trước trừ Vì vậy, số cịn thiếu dãy số là:
23 x - = 68 ; 68 x – = 203 ; 203 x – = 608 (đúng) Dãy số thiếu hai số là: 68 203
(19)giảm 1km Người từ B cuối 15km, trước lại giảm 1km Tính qng đường AB
Giải:
2 chiều 14h ngày
2 người đến đích số là: 14 – =
Vận tốc người từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10,
Vận tốc người từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Nhìn vào dãy số ta nhận thấy có số hạng giống quãng đường AB là: + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84
Đáp số: 84km
Bài 6: i n s thích h p v o ô tr ng cho t ng s ô liên ti pĐ ề ố ợ ố ổ ố ế u b ng 2010
đề ằ
783 998
Giải:
Ta ánh s th t ô nh sau:đ ố ứ ự
783 998
Ô1 Ô2 Ô3 Ô4 Ô5 Ô6 Ô7 Ô8 Ô9 Ô10
Theo điều kiện đề ta có: 783 + Ơ7 + Ô8 = 2010
Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2010
Vậy Ơ9 = 783; từ ta tính được:
Ô8 = Ô5 = Ô2 = 2010 - (783 + 998) = 229
Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998
Ô3 = Ô6 = 783
i n s v o ta c dãy s :
(20)998 229 783 998 229 783 998 229 783 998 Một số lưu ý giảng dạy Toán dạng là: Trước hết phải xác định quy luật dãy dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ Từ mà học sinh điền số vào dãy cho
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: 13, 19, 25, 31,……, Dãy số vừa viết Ba số viết tiếp ba số nào?
Số suy nghĩ thấp cao? Đố em, đố bạn kể liền?
Bài 2: Tìm viết số hạng thiếu dãy số sau: a 7, 10, 13,…, …, 22, 25
b 103, 95, 87,…, …, , 55, 47
Bài 3: Điền số thích hợp vào trống, cho tổng số ô liền bằng:
a n = 14,5
2,7 8,5
b n = 23,4
8,7 7,6
Bài 4: Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau : a) 1; 3; 4; 7; 11; 18;
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; c) ; 3; 7; 12; d) 1; 2; 6; 24;
(21)Cách giải dạng toán này: - Xác định quy luật dãy;
- Kiểm tra số A có thoả mãn quy luật hay khơng? Các ví dụ:
Bài 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,……
a Dãy số viết theo quy luật nào?
b Số 2009 có phải số hạng dãy khơng? Vì sao? Giải:
a Ta nhận thấy: Số hạng thứ 1: = x Số hạng thứ 2: = x Số hạng thứ 3: = x …
Số hạng thứ n: ? = x n
Quy luật dãy số là: Mỗi số hạng nhân với số thứ tự số hạng
b Ta nhận thấy số hạng dãy số chẵn, mà số 2009 số lẻ, nên số 2009 số hạng dãy
Bài 2: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,…… - Viết tiếp số hạng vào dãy số trên?
- Số 2009 có thuộc dãy số không? Tại sao? Giải:
- Ta thấy: – = 3; 11 – = 3; ………
Dãy số viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ trở đi, số hạng số hạng đứng liền trước cộng với
(22)Dãy số viết đầy đủ là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26
- Ta thấy: : = dư ; : = dư ; : = dư ;
Vậy dãy số mà số hạng chia cho dư Mà:
2009 : = 669 dư Vậy số 2009 có thuộc dãy số chia cho dư
Bài 3: Em cho biết:
a Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay khơng? b Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay khơng?
c Số số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích sao?
Giải:
a Cả số 60, 483 khơng thuộc dãy cho vì: - Các số hạng dãy cho lớn 60
- Các số hạng dãy cho chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho
b Số 2002 khơng thuộc dãy cho số hạng dãy chia cho dư 2, mà 2002 chia dư
c Cả số 798, 1000, 9999 không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì: - Mỗi số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) gấp đơi số hạng liền trước nhận nó; số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước số chẵn, mà 798 chia cho = 399 số lẻ
- Các số hạng dãy chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho
- Các số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) chẵn, mà 9999 số lẻ
(23)Nếu viết tiếp số 34,6 có thuộc dãy số không? Giải:
- Ta nhận xét: 2,2 - = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2; ……
Quy luật dãy số là: Từ số hạng thứ trở đi, số hạng số hạng liền trước 1,2 đơn vị:
- Mặt khác, số hạng dãy số trừ chia hết cho 1,2 Ví dụ: (13 - 1) chia hết cho 1,2
(3,4 - 1) chia hết cho 1,2 Mà: (34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư
Vậy viết tiếp số 34,6 thuộc dãy số Bài 5: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49.
Các số sau có phải số hạng dãy không? 100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009? Giải:
Nhận xét: Đây dãy số cách đơn vị
Trong dãy số này, số lớn 1996 số bé 49 Do đó, số 2009 khơng phải số hạng dẫy số cho lớn 1996
Các số hạng dãy số cho số chia cho dư Do đó, số 100 số 1900 số hạng dãy số
Các số 123, 456, 789 chia hết số khơng phải số hạng dãy số cho
Số 1436 chia cho dư nên số hạng dãy số cho
* Bài tập lự luyện:
(24)b Số 31 có phải số hạng dãy khơng? c Số 2009 có thuộc dãy khơng? Vì sao? Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012.
Hỏi số 1004 1760 có thuộc dãy số hay không? Bài 3: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…,
a Nêu quy luật dãy số viết tiếp số hạng b Trong số 1999 2009 số thuộc dãy số? Vì sao? Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,……
Có số tự nhiên có chữ số tận mà thuộc dãy số không? Bài 5: Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……
a Số 1997 có phải số hạng dãy số hay không? b Số 561 có phải số hạng dãy số hay khơng?
Dạng 3: Tìm số số hạng dãy
* Cách giải dạng là:
Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (toán trồng cây) Ta có cơng thức sau :
Số số hạng dãy = số khoảng cách+ 1.
Đặc biệt, quy luật dãy : Mỗi số hạng đứng sau số hạng liền trước cộng với số khơng đổi d thì:
Số số hạng dãy = ( Số hạng lớn – Số hạng nhỏ ) : d + 1.
Các ví dụ:
Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17; ;65; 68.
(25)Ta có : 14 - 11= 3; 17 - 14 = 3;
Vậy quy luật dãy số số hạng đứng liền sau số hạng đứmg liền trước cộng với Số số hạng dãy số là:
( 68 - 11 ) : + = 20 ( số hạng )
Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992
Hãy xác định dãy số có số hạng? Giải:
Ta thấy: – = ; – =
– = ; ………
Vậy, quy luật dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng trước cộng với Nói khác: Đây dãy số chẵn dãy số cách đơn vị
Dựa vào công thức trên:
(Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1 Ta có: Số số hạng dãy là:
(1992 - 2) : + = 996 (số hạng)
Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 số hạng thứ dãy số này? Giải thích cách tìm?
(Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981) Giải:
Ta thấy:
Số hạng thứ bằng: = + x Số hạng thứ hai bằng: = + x Số hạng thứ ba bằng: = + x ………
(26)Vì vậy, số 1981 số hạng thứ 991 dãy số Bài 4: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,…
a Tìm số hạng thứ 100 dãy
b Số 11703 số hạng thứ dãy? Giải:
a Số hạng thứ nhất: = + 15 x Số hạng thứ hai: 18 = + 15 x
Số hạng thứ ba: 48 = + 15 x + 15 x
Số hạng thứ tư: 93 = + 15 x + 15 X + 15 x
Số hạng thứ năm: 153 = + 15 x + 15 x + 15 x + 15 x ………
Số hạng thứ n: + 15 x1 + 15 x +15 x + …… + 15 x (n - 1)
Vậy số hạng thứ 100 dãy là:
3 + 15 x + 15 x + …… + 15 x (100 - 1)
= + 15 x (1 + + + …… + 99) (Đưa số nhân với tổng = + 15 x (1 + 99) x 99 : = 74253
b Gọi số 11703 số hạng thứ n dãy: Theo quy luật phần a ta có:
3 + 15 x + 15 x + 15 x + …… x (n – 1) = 11703
3 + 15 x (1 + + + ……+ ( n – 1)) = 11703 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) : = 11703
15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x = 23400 n x (n – 1) = 23400 : 15 = 1560
(27)Bài 5: Trong số có ba chữ số, có số chia hết cho 4? Lời giải :
Ta nhận xét : Số nhỏ có ba chữ số chia hết cho 100 số lớn có ba chữ số chia hết cho 996 Như số có ba chữ số chia hết cho lập thành dãy số có số hạng nhỏ 100, số hạng lớn 996 số hạng dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) số hạng đứng liền trước cộng với
Vậy số số có ba chữ số chia hết cho : ( 996 – 100 ) : = 225 ( số )
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008
Tìm xem dãy số có số hạng ? Bài 2: Tìm số số hạng dãy số sau:
a 1, 4, 7, 10, ……,1999
b 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0 Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, ………, 789.
Dãy có số hạng?
Bài 4: Có số chia cho dư mà nhỏ 2010 ?
Bài 5: Người ta trồng hai bên đường đoạn đường quốc lộ dài 21km Hỏi phải dùng để đủ trồng đoạn đường ? Biết trồng cách 5m
Dạng 4: Tìm số hạng thứ n dãy số
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, Hỏi số hạng thứ 100 dãy số số
(28)Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là: 98 - = 99
Mỗi khoảng cách - = - = Số hạng thứ 100 + 99 = 199 Công thức tổng quát:
Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách (Số số hạng - 1) Bài tốn 2: Tìm số hạng thứ 100 dãy số viết theo quy luật:
a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1) b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2) c) 1, 3, 6, 10, 15,… (3)
Giải: a) Dãy (1) viết dạng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,… Mỗi số hạng dãy (1) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy có số hạng thứ 100 100
Số hạng thứ 100 dãy (1) bằng: 100x102 = 10200
b) Dãy (2) viết dạng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,… Mỗi số hạng dãy (2) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: + (100 – ) x = 298 Số hạng thứ 100 dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400
c) Dãy (3) viết dạng:
1 2 ;
2 ;
2 3
2 ;
3 4
2 ;
4 5
2
(29)* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, Tìm số hạng thứ 1998 dãy số
Bài 2: Cho dãy số : 5, 8, 11, 14, a) Tìm số hạng thứ 200 dãy số
b) Nếu viết tiếp số : 1000 ; 2009 ; 5000 có số hạng dãy khơng ? Tại
Bài 3: Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên mà chia cho thì dư bát đầu từ số thành dãy số Viết đến số hạng thứ 100 phát viết sai Hỏi bạn viết sai số ?
Dạng 5: Tìm số chữ số dãy biết số số hạng
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, 150 Hỏi để viết dãy số người ta phải dùng chữ số
Giải:
Dãy số cho có : ( - 1) : + = số có chữ số Có ( 99 - 10 ) : + = 90 số có chữ số
Có ( 150 - 100) : + = 51 số có chữ số Vậy số chữ số cần dùng :
+ 90 + 51 = 342 chữ số
Bài toán 2: Một sách có 234 trang Hỏi để đánh số trang sách người ta phải dùng chữ số
Giải:
(30)( - 1) : + = số có chữ số Có: ( 99 - 10) : + = 90 số có chữ số Có: ( 234 - 100) : + = 135 số có chữ số Vậy người ta phải dùng số chữ số là:
9 + 90 + 135 = 594 chữ số * Bài tập tự luyện:
Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành số lớn Hỏi số có chữ số
Bài 2: Trường Tiểu học Thành Cơng có 987 học sinh Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường người ta phải dùng chữ số
Bài 3: Cần chữ số để đánh số trang sách có tất là: a) 752 trang
b) 1251 trang
Dạng 6: Tìm số số hạng biết số chữ số
Bài toán 1: Để đánh số trang sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi sách có trang?
Giải:
Để đánh số trang sách đó, người ta phải viết liên tiếp số tự nhiên thành dãy số Dãy số có
số có chữ số có 90 số có chữ số
Để viết số cần số chữ số + 90 = 189 chữ số Số chữ số lại là:
(31)Số chữ số lại dùng để viết tiếp số có chữ số 100 Ta viết
246 : = 82 số
Số trang sách 99 + 82 = 181 ( trang) Bài toán 2:
Để đánh số trang sách người ta phải dùng tất 600 chữ số Hỏi sách có trang?
Giải: 99 trang đầu cần dùng 9x1 + 90x2 = 189 chữ số.
999 trang đầu cần dùng: 9x1 + 90x2 + 900x3 = 2889 chữ số
Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối phải có chữ số Số chữ số để đánh số trang có chữ số la: 600 - 189 = 411 (chữ số)
Số trang có chữ số 411: = 137 trang Vậy sách có tất là: 99 + 137 = 236 trang
Bài toán 3:Để ghi thứ tự nhà đường phố, người ta dùng số chẵn 2, 4, 6, để ghi nhà dãy phải số lẻ 1, 3, 5, để ghi nhà dãy trái đường phố Hỏi số nhà cuối dãy chẵn đường phố bao nhiêu, biết đánh thứ tự nhà dãy này, người ta dùng 367 lượt chữ số thảy
Giải:
Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (8 - 2) : + = (nhà) Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (98 - 10) : + = 45 (nhà) Số lượt chữ số để đánh số thự tự nhà có chữ số là:
+ 45 = 94 (lượt)
(32)Tổng số nhà dãy chẵn là: + 45 + 91 = 140 (nhà) Số nhà cuối dãy chẵn là: (140 - 1) + = 280
Bài toán 4: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, , n Hãy tìm số n để số chữ số dãy gấp lần số số hạng dãy
Giải:
Để tìm số n cho số chữ số dãy gấp ba lần số số hạng dãy đó, ta giả sử trung bình số lẻ liên tiếp dãy có chữ số Do đó:
- Từ đến gồm số lẻ có chữ số là: (9 - 1): + = (số)
Môi số cần phải viết thêm chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: x = 10 (chữ số)
Các số lẻ gồm hai chữ số (99 - 11): + = 45 (số)
Mỗi số cần phải viết thêm chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: x 45 = 45 (chữ số)
Các số lẻ gồm chữ số là: ( 999 - 101) : + = 450 (số)
Các số có chữ số đảm bảo số chữ số dãy gấp ba lần số số hạng dãy
Từ 1001 trở đi, số cần bớt chữ số Số chữ số cần thêm phải số chữ số cần bớt bằng:
10 + 45 = 55 (chữ số)
Vì số phải bớt chữ số nên số số lẻ có chữ số là: 55 : = 55 (số)
Ta có:
(33)(n - 1001) : = 55 - = 54 (n - 1001) = 54 x = 108 n = 108 + 1001 = 1109
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp người ta dùng hết 756 chữ số Hỏi số hạng cuối dãy số
Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số Hỏi trường có học sinh ?
Bài 3: Tính số trang sách Biết để đánh số trang sách người ta phải dùng 3897 chữ số?
Bài 4: Để đánh số trang sách, người ta phải dùng trung bình trang chữ số Hỏi sách có trang?
Dạng 7: Tìm chữ số thứ n dãy
Bài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 chữ số ? Giải:
Dãy số cho có số có chữ số Có 90 số có chữ số
Để viết số cần
+ 90 = 189 chữ số Số chữ số lại
200 - 189 = 11 chữ số
Số chữ số cịn lại dùng để viết số có chữ số 100 Ta viết
11 : = số (dư chữ số)
(34)99 + = 102
Còn dư chữ số dùng để viết tiếp số 103 viết 10 Vậy chữ số thứ 200 dãy chữ số số 103
Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, Hỏi chữ số thứ 2010 dãy chữ số nào?
Giải:
Dãy số cho có số có chữ số Có (98 - 10) : + = 45 số có chữ số Có (998 - 100) : + = 450 số có chữ số Để viết số cần:
+ 45 + 450 x = 1444 chữ số Số chữ số lại là:
2010 - 1444 = 566 chữ số
Số chữ số lại dùng để viết số có chữ số 1000 Ta viết được:
566 : = 141 số (dư chữ số)
Nên có 141 số có chữ số viết , số có chữ số thứ 141 là: (141 - 1) x + 1000 = 1280
Còn dư chữ số dùng để viết tiếp số 1282 viết 12 Vậy chữ số thứ 2010 dãy chữ số hàng trăm số 1282
Bài toán 3: Tìm chữ số thứ 2010 phần thập phân số thập phân bằng
phân số
7
(35)Số thập phân phân số
7là: : = 0,14285714285
Đây số thập phân vơ hạn tuần hồn Ta thấy chữ số lập thành nhóm 142857 Với 2010 chữ số có số nhóm là:
2010 : = 335 (nhóm) Vậy chữ số thứ 2010 phần thập phân số thập
phân phân số
7 chữ số
Bài tốn 4: Cho số có chữ số, dãy số tạo nên cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị số cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục với số vừa nhận (Ví dụ dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ) Tìm số thứ 2010 dãy số thứ 14
Giải:
Ta lập dãy số sau:
14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, Ta thấy hết 18 số dãy số lại lặp lại dãy 18 số đầu
Với 2010 số có số nhóm là:
2010 : 18 = 111 nhóm (dư12 số)
12 số dó số nhóm thứ 112 là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, Vậy số thứ 2010 dãy số
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, Hãy tìm chữ số thứ 200 dãy số đó. Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, Bạn Minh tìm chữ số thứ 2010 của dãy chữ số 0, hỏi bạn tìm hay sai?
Bài 3: Bạn Minh viết phân số
13 dạng số thập phân Thấy bạn
(36)Dạng 8: Tìm số hạng thứ n biết tổng dãy số
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, , n Hãy tìm số n biết tổng dãy số 136
Giải:
Áp dụng cơng thức tính tổng ta có :
1 + + + + n =
)
( n n
136
Do đó: (1 + n ) n = 136 = 17 = 16 17 Vậy n = 16
Bài toán 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, , n Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + + n = 4840 Giải:
Nếu cộng thêm vào tổng tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 20 ta có tổng sau:
+ + + + 21 + 22 + 23 + + n Áp dụng cơng thức tính tổng ta có
(1 + n) n : = + + + 20 + 4840 = ( + 20) 20 : + 4840 = 210 + 4840 = 5050 ( 1+ n) n = 5050
(37)Vậy n = 100 * Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho biết: + + + + n = 345 Hãy tìm số n. Bài 2: Tìm số n biết rằng
98 + 102 + + n = 15050
Bài 3: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x Tìm x để tổng dãy số 5106
Dạng 9: Tính tổng dãy số
Các tốn trình bày chun đề phân hai dạng chính, là:
Dạng thứ nhất: Dãy số với số hạng số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách
Dạng thứ hai: Dãy số với số hạng không cách đều. Dạng 1: Dãy số mà số hạng cách đều. Xuất phát từ Toán sau:
Tính: A = + + + + 98 + 99 + 100
Ta thấy tổng A có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, nhóm có tổng 101 sau:
A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50 x 101 = 5050
Đây Toán mà lúc lên tuổi nhà Tốn học Gauxơ tính nhanh tổng số Tự nhiên từ đến 100 trước ngạc nhiên thầy giáo bạn bè lớp
(38)tìm số, so sánh, chứng minh Để giải dạng tốn cần phải nắm quy luật dãy số, tìm số hạng tổng quát, cần phải kết hợp cơng cụ giải tốn khác
Cách giải:
Nếu số hạng dãy số cách tổng hai số hạng cách đầu số hạng cuối dãy số Vì vậy:
Tổng số hạng dãy tổng cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu cuối nhân với số hạng dãy chia cho
Viết thành sơ đồ:
Tổng dãy số cách = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2)
Từ sơ đồ ta suy ra:
Số đầu dãy = tổng x : số số hạng – số hạng cuối Số cuối dãy = tổng x : số số hạng – số đầu
Sau số tập phân thành thể loại, phân thành hai dạng trên:
Bài 1: Tính tổng 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên. Giải:
19 số lẻ liên tiếp là:
1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 Ta thấy: + 37 = 38 ; + 33 = 38
1 + 35 = 38 ; + 31 = 38
Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu số vào, ta cặp số có tổng số 38
Số cặp số là:
(39)Số hạng dư số hạng dãy số số 19 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là:
39 x + 19 = 361
Đáp số: 361.
Nhận xét: Khi số số hạng dãy số lẻ (19) cặp số dư lại số hạng gữa số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng việc tìm số hạng cịn lại khó khăn
Vậy ta làm cách sau:
Ta bỏ lại số hạng số dãy số có: 19 - = 18 (số hạng) Ta thấy: + 37 = 40 ; + 33 = 40
5 + 35 = 40 ; + 31 = 40
……… ………
Khi đó, ta xếp cặp số từ đầu dãy số gồm 18 số hạng vào cặp số có tổng 40
Số cặp số là: 18 : = (cặp số) Tổng 19 số lẻ liên tiếp là:
1 + 40 x = 361
Chú ý: Khi số hạng số lẻ, ta để lại số hạng đầu dãy số (số đầu, số cuối) để lại số chẵn số hạng cặp; lấy tổng cặp nhân với số cặp cộng với số hạng để lại tổng dãy số
Bài 2: Tính tổng số tự nhiên từ đến n. Giải:
(40)Khi n chẵn, ta có S = n x (n + 1) : 2 Khi n lẻ, n – chẵn ta có:
1 + + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : Từ ta có:
S = (n – 1) x n : + n = (n - 1) x n : + x n : = [(n – 1) x n + x n] : = (n – + 2) x n : = n x (n + 1) :
Khi học sinh làm quen thực thành thạo hướng dẫn học sinh áp dụng công thức mà không cần nhóm thành cặp số có tổng
Tổng dãy số cách = (số đầu + số cuối) x số số hạng : 2 Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 100
Lời giải
Ta đưa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta có:
100 x E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 1000 Áp dụng cơng thức tính tổng ta tính tổng E = 4954,95 Hoặc giải sau:
Ta thấy: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = = 1,01 Vậy dãy số cách 1,01 đơn vị
Dãy số có số số hạng : (100 - 10,11) : 1,01 + = 90 số hạng Tổng dãy số : (10,11 + 100) x 90 : = 4954,95
(41)Ta viết lại dãy số bổ sung thêm số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy: 0, 1, 2, 3, ……,
10, 11, 12, 13, ……, 19
90, 91, 92, 93, ……, 99
100, 101, 102, 103, ……, 109
Vì có 200 số dịng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng) Tổng chữ số hàng đơn vị dòng là:
1 + + + …… + = x 10 : = 45 Vậy tổng chữ số hàng đơn vị là:
45 x 20 = 900
Tổng chữ số hàng chục 10 dòng đầu tổng chữ số hàng chục 10 dòng sau bằng:
1 x 10 + x 10 + …… + x 10 = (1 + + …… + 9) x 10 = 45 x 10 = 450
Vậy tổng chữ số hàng chục là: 450 x = 900
Ngoài dễ thấy tổng chữ số hàng trăm là: 10 x 10 = 100 Vậy tổng chữ số dãy số là:
900 + 900 + 100 = 1900
Từ suy tổng chữ số dãy ban đầu là:
(42)dịch quy nạp hoàn toàn để kiểm tra đắn kết luận Khi dạy học tiểu học, điều nói lưu ý
Bài 5: Tính tổng tất số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số:
Giải:
Các số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số là: 9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tức có 1000 số
Tổng tất số dãy số là: (9,000 + 9,999) x 1000 : = 9499,5
Đáp số: 9499,5
Bài 6: Phải thêm vào tổng số hạng dãy số: 2, 4, 6, 8, , 246 nhất đơn vị để số chia hết cho 100 ?
Giải:
Đây dãy số chẵn liên tiếp hay dãy số cách đơn vị Dãy số có số số hạng là: (246 - 2) : + = 123 số hạng Tổng dãy số là: (246 + 2) x 123 : = 12252
Vì 100 - 52 = 48 nên phải thêm vào tổng dãy số 48 đơn vị
* Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tổng:
a) Của tất số lẻ bé 100 b) + + + 16 + …… + 169 Bài 2:
(43)Dãy số có mười số hạng
Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh
Tìm phương pháp tính nhanh tài. Bài 3: Hãy tính tổng dãy số sau:
a) 1, 5, 9, 13, 17, …Biết dãy số có 80 số hạng b) , 17, 27, 44, 71, 115 Biết dãy số có số hạng Bài 4: Tính nhanh:
a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77
b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19
Dạng 10: Dãy chữ
Khác với dạng toán khác, toán dạng dãy chữ khơng địi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp Ngược lại để giải toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo kiến thức toán học đơn giản, hiểu biết xã hội, từ mà vận dụng dạng toán vào đời sống hàng ngày mơn học khác
Các v í dụ:
Bài tốn 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI…… hỏi chữ thứ 2009 dãy chữ nào?
Giải:
Ta thấy nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ Giả sử dãy chữ có 2009 chữ có:
(44)Vậy chữ thứ 2009 dãy chữ HOCSINHGIOITINH chữ N của tiếng TINH đứng vị trí thứ 14 nhóm chữ thứ 134.
Bài toán 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG thành dãy THIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG …… Hỏi:
a Chữ thứ 2002 dãy chữ gì?
b Nếu người ta đếm dãy số có 50 chữ H dãy có chữ A? Bao nhiêu chữ N?
c Bạn Hải đếm dãy có 2001 chữ A Hỏi bạn đếm hay đếm sai? Giải thích sao?
d Người ta tô màu chữ dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM,… hỏi chữ thứ 2001 dãy tơ màu gì?
Giải:
a Nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG có 13 chữ cái: 2002 : 13 = 154 (nhóm)
Như vậy, kế từ chữ đến chữ thứ 2002 dãy, người ta viết 154 lần nhóm THIXAHAIDƯƠNG, chữ thứ 2002 dãy chữ G tiếng DƯƠNG.
b Mỗi nhóm chữ THIXA HAIDƯƠNG có chữ H có chữ A chữ N Vì vậy, người ta đếm dãy có 50 chữ H tức người viết 25 lần nhóm nên dãy phải có 50 chữ A 25 chữ N
c Bạn đếm sai, số chữ A dãy phải số chẵn d Ta nhận xét:
+ 2001 chia cho dư
(45)Vậy chữ thứ 2001 dãy tô màu XANH
Bài toán 3: Bạn Hải cho viên bi vào hộp theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bi vàng lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng Hỏi:
a) Viên bi thứ 100 có màu gì?
b) Muốn có 10 viên bi đỏ phải bỏ vào hộp viên bi? Giải:
a) Ta thấy, viên bi lập thành nhóm màu: xanh, đỏ, vàng 100 viên bi có số nhóm là: 100 : = 33 nhóm (dư viên bi)
Như vậy, bạn Hải cho vào hộp 33 nhóm, cịn dư viên nhóm thứ 34 viên bi nhóm Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh
b) Một nhóm có viên bi, muốn có 10 viên bi đỏ cần bỏ vào hộp: x 10 = 30 viên bi Nhưng viên bi màu đỏ viên bi thứ nhóm Vậy cần bỏ vào hộp số viên bi là: 30 - 1= 29 viên
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy: TOANNAMTOANNAMTOAN…… Hỏi:
a Chữ thứ 2010 dãy chữ gì?
b Nếu người ta đếm dãy có 50 chữ N dãy có chữ A? Bao nhiêu chữ O?
c Một người đếm dãy có 2009 chữ A, hỏi người đếm hay sai? Giải thích sao?
(46)Bài 2: Người ta viết chữ D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T,…… thành dãy: DAYTOTHOCTOTDAYTOT… màu xanh, đỏ, tím, tiếng màu Hỏi chữ thứ 2010 chữ gì? Màu gì?
Bài 3: Bạn Dương viết liên tiếp nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU Hỏi:
a) Chữ thứ 1954 chữ gì?
b) Nếu dãy viết có 2010 chữ E có chữ H?
Bài : Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM … Hỏi:
a) Chữ thứ 1975 dãy chữ gì?
b) Người ta đếm dãy có 50 chữ T dãy có chữ O? Bao nhiêu chữ I?
c) Bạn An đếm dãy có 1945 chữ O Hỏi bạn đếm hay sai? Vì sao?
d) Người ta tô màu vào chữ dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, …Hỏi chữ thứ 2010 tơ màu gì?
4- Một số lưu ý giải tốn “dãy số”
Trong toán dãy số thường người ta khơng cho biết dãy số (vì dãy số có nhiều số khơng thể viết hết được) vậy, phải tìm quy luật dãy (mà có nhiều quy luật khác nhau) tìm số mà dãy số khơng cho biết Đó quy luật dãy số cách đều, dãy số không cách dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm quy luật
(47)Ở dạng 4: Học sinh phải tự tìm cơng thức tổng qt, vận dụng cách thành thạo biết biến đổi công thức để làm tốn khác Ở dạng 9: Có yêu cầu:
+ Tìm tổng số hạng dãy + Tính nhanh tổng
Khi giải: Sau tìm quy luật dãy, ta xếp số theo cặp cho có tổng nhau, sau tìm số cặp tìm tổng số hạng dãy Chú ý: Khi tìm số cặp số mà cịn dư số hạng tìm tổng ta phải cộng số dư vào
Nếu tính nhanh tổng phân số phải dựa vào tính chất phân số
Ở dạng 10: Đó dãy chữ giải phải dựa vào quy luật dãy, sau có thể xem nhóm chữ có tất chữ tìm có tất nhóm phần trả lời toán
CHUYÊN ĐỀ 5: GIẢI TỐN TÌM X Ở LỚP 3
I Một số lưu ý cần nhớ giải tốn tìm X:
Để giải tốn tìm X cần thành phần kết của: phép cộng: Số hạng + số hạng = tổng
(48)Cách tìm thành phần chưa biết phép tính: Để (tìm số hạng; tìm số bị trừ ;tìm số từ; tìm số chia ) ta làm nào?
Nêu lại cách tính giá trị biểu thức có dấu ngoặc đơn( khơng có dấu ngoặc đơn)
Sau tuỳ theo dạng tìm X mà hướng dẫn học sinh tìm cách giải nhanh
II.Các dang tìm X thường gặp lớp 3: 1.Dạng 1(Dạng bản)
Các tìm X mà vế trái tổng, hiệu, tích, thương số với chữ, cịn vế phải số
Ví dụ: Tìm X:
549 + X = 1326
X = 1326 - 549 X = 777
X - 636 = 5618 X = 5618 + 636 X = 6254
2.Dạng ( Dạng nâng cao)
Những tìm X mà vế trái tổng, hiệu, tích, thương số với chữ , vế phải tổng, hiệu, tích, thương hai số
Ví dụ: Tìm X
X : = 45 : X : =
X = x X = 54 3.Dạng
Các tìm X mà vế trái biểu thức có phép tính khơng có dấu ngoặc đơn, vế phải số
Ví dụ: Tìm X:
736 - X : = 106
X : = 736 - 106 ( dạng 2) X : = 630 (dạng 1) X = 630 x
X = 1890 4.Dạng 4:
Các tìm X mà vế trái biểu thức có phép tính có dấu ngoặc đơn, vế phải số
(49)( 3586 - X) : = 168 ( 3586 - X) = 168 x
3586 - X = 1176
X = 3586 - 1176 X = 2410 5.Dạng 5:
Các tìm X mà vế trái biểu thức có chứa phép tính khơng có dấu ngoặc đơn , cịn vế phải tổng, hiệu, tích, thương hai số
Ví dụ: Tìm X
125 x - X = 43 + 26 125 x - X = 69 500 - X = 69 X = 500 - 69 X = 431
6.Dạng 6:
Các tìm X mà vế trái biểu thức có chứa phép tính có dấu ngoặc đơn , cịn vế phải tổng, hiệu ,tích, thương hai số
Ví dụ: Tìm X
( X - 10) x = 100 - 80 ( X - 10) x = 20( dạng 5)
( X - 10) = 20 : X - 10 = X = + 10 X = 14 Các tập thực hành
1 X x + 122 + 236 = 633 320 + x X = 620
3 357 : X = dư X : = 1234 dư
5 120 - ( X x ) = 30 x 357 : ( X + ) = dư
7 65 : x = 21 dư 64 : X = dư
9 ( X + 3) : = + 10 X x - 22 = 13 x
11 720 : ( X x + X x ) = x 12 X+ 13 + x X = 62
(50)14 X + ( X + ) x = 75
15 < X x < 10
16 36 > X x > x 17 X + 27 + x X = 187
18 X + 18 + x X = 99
19 ( + X ) x + X = 108 20 ( X + 15 ) : = x
21 ( X : 12 ) x + = 36 22 X : x = 252
23 ( 1+ x) +( + x) + ( + x) + ( + x ) + ( + x) = 10 x 24 ( x 18 - x 18 - 18 x ) x X + x X = x + 24
CHUYỀN ĐỀ 6: HÌNH HỌC
(51)Ví dụ Cho tam giác ABC, cạnh BC ta lấy điểm D, E, M, N Nối đỉnh A với điểm vừa lấy Hỏi đếm tam giác hình vẽ?
Cách 1 (Phương pháp liệt kê)
- Có tam giác chung cạnh AB ABD, ABE, ABM, ABN, ABC - Có tam giác chung cạnh AD là: ADE, ADM, AND, ADC
- Có tam giác chung cạnh AE là: AEM, AEN, AEC - Có tam giác chung cạnh AM là: AMN, AMC - Có tam giác chung cạnh AN là: ANC
(Các tam giác đếm ta không đếm lại nữa) Vậy số tam giác ta đếm hình vẽ là: + + + + = 15 (tam giác) Cách (Phương pháp lắp ghép)
- Có tam giác đơn: (1), (2), (3), (4), (5).
- Có tam giác ghép đôi: (1) + (2), (2) + (3), (3) + (4), (4) + (5). - Có tam giác ghép là: (1) +(2) +(3), (2) +(3) +(4), (3) +(4) +(5). - Có tam giác ghép là: (1) + (2) + (3) +(4), (2) + (3) + (4) + (5). - Có tam gíac ghép là: (1) + (2) + (3) + (4) + (5).
Vậy số tam giác đếm là:
+ + + + = 15 (tam giác) Cách 3:
Ta nhận xét:
A
B C
D E M N
(52)Nối đầu mút đoạn thẳng tạo thành cạnh đáy BC với đỉnh A ta tam giác Vậy số tam giác đếm hình vẽ số đoạn thẳng cạnh đáy BC Trên cạnh đáy BC có tất điểm B, C, D, E, M N
Áp dụng kết ví dụ (phương pháp quy nạp) ta có số đọan thẳng đếm là:
x (6 – 1) : = 15 (đoạn thẳng) Vậy ta đếm 15 tam giác hình vẽ Ta nhận xét:
Nối đầu mút đoạn thẳng tạo thành cạnh đáy BC với đỉnh A ta tam giác Vậy số tam giác đếm hình vẽ số đoạn thẳng cạnh đáy BC Trên cạnh đáy BC có tất điểm B, C, D, E, M N
Áp dụng kết ví dụ (phương pháp quy nạp) ta có số đọan thẳng đếm là:
x (6 – 1) : = 15 (đoạn thẳng) Vậy ta đếm 15 tam giác hình vẽ Cách (Phương pháp quy nạp)
Ta nhận xét:
* Nếu cạnh BC, lấy điểm nối với điểm A ta đếm được: - Có tam giác đơn là: (1), (2)
- Có tam giác ghép đơi là: (1) + (2) Tổng số tam giác đếm là: + = (tam giác)
* Nếu BC, ta lấy điểm nối với đỉnh A ta đếm được: - Có tam giác đơn là: (1), (2), (3)
- Có tam giác ghép đơi là: (1) +(2), (2) +(3) - Có tam giác ghép là: (1) + (2) + (3)
Tổng số tam giác đếm là: + + = (tam giác)
A
B C
D
(1) (2)
A
B C
D E
(53)Vậy quy luật là: Nếu cạnh đáy BC ta lấy n điểm nối chúng với đỉnh A ta đếm (n + 1) tam giác đơn số tam giác đếm là: + + +…+ (n + 1) = (n + 2) x (n +1) : (tam giác)
Áp dụng:
Trên cạnh đáy BC lấy điểm số tam giác đơn đếm số tam giác đếm là:
(4 + 2) x (4 + 1) : = 15 (tam giác)
Ví dụ 2 Cần điểm để nối chúng lại ta đoạn thẳng?
Ta nhận xét:
- Nếu có điểm nối chúng lại ta đoạn thẳng - Nếu có điểm nối chúng lại ta được:
x (4 – 1) : = (đoạn thẳng)
Vậy để nối lại đoạn thẳng ta cần điểm
II Các tốn cắt ghép hình Loại Các tốn cắt hình
Cơ sở để thực toán dựa vào tính chất sau: Tổng diện tích của hình cắt diện tích hình ban đầu.
Ta thường gặp hai dạng sau:
+ Dạng 1: Cắt hình cho trước thành hình nhỏ có kích thước và hình dạng cho trước
+ Dạng 2: Cắt hình cho trước thành hình nhỏ có hình dạng tùy ý.
• Dạng 1: Cắt hình cho trước thành hình nhỏ có kích thước và hình dạng cho trước.
(54)Cách 1: Trên cạnh BC ta lấy điểm I cho BI = IC Nối AI dùng kéo cắt theo chiều mũi tên Ta có: SABI = SAIC (vì chung đường cao hạ từ A đáy BI = CD)
Tương tự, ta có cách sau:
• Dạng 2: Cắt hình cho trước thành hình nhỏ có hình dạng tùy ý.
Ví dụ: Cho mảnh bìa hình tam giác Hãy cắt mảnh bìa thành mảnh bìa có diện tích nhau.
Lấy điểm M cạnh đáy BC Chia đoạn AM thành phần cắt theo đường nối từ B C đến điểm chia hình vẽ Bài tốn có vơ số cách giải
A
B C
M A
B C
N
A
B C
(55)Loại Các tốn ghép hình
Cơ sở để thực toán dựa vào tính chất sau: Tổng diện tích hình đem ghép diện tích hình ghép Vì vậy, dựa vào tổng diện tích hình đem ghép, ta xác định kích thước hình cần ghép
Ví dụ:
Cho mảnh gỗ hình chữ nhật, mảnh gỗ hình vng lớn mảnh gỗ hình vng nhỏ có kích thước hình vẽ Hãy ghép mảnh gỗ nói để được hình vng.
Tổng diện tích mảnh gỗ là:
2 x x + x x + x x = 25 (cm ) Vậy cạnh hình vng ghép 5cm Dưới số cách giải:
2cm
3cm
2cm
2cm
1cm
(56)Loại Các toán cắt ghép hình
Ví dụ Cho mảnh bìa hình vng Hãy cắt mảnh bìa thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta hình vng.
• Trước hết ta xét trường hợp hình vng có kích thước Cách 1:
Cách 2:
(57)Ví dụ Cho mảnh bìa hình chữ nhật Hãy cắt mảnh bìa thành 2 mảnh nhỏ để ghép lại ta hình tam giác.
Ta có cách chia sau:
III Toán chu vi, diện tích hình vng, hình chữ nhật 1 Một số kiến thức cần lưu ý:
- Công thức chu vi( ký hiệu CV: P)
+ Cơng tổng qt tính chu vi: Chu vi hình tổng cạnh xung quanh hình
+ Cơng thức tính chu vi hình vng cạnh a: P = a x
+ Cơng thức tính chu vi hình chữ nhật cạnh a, b: P = (a + b) x
- Cơng thức tính diện tích( Ký hiệu diện tích)
+ Cơng thức tính diện tích hình vng cạnh a: S = a x a
+ Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật có cạnh a b (cùng đơn vị đo): S = a x b
2 Các dạng tốn hình học thường gặp lớp 3: Dạng 1: Các toán đơn giản:
(1)
(2) (1)
(1)
(1) (1)
(1) (2)
(1)
(2)
(58)Ví dụ Tính diện tích hình vng, biết chu vi hình vng 16 cm
Gợi ý:
Hình vng cho có cạnh bằng: 16 : = (cm) Diện tích hình vng là: x = 16 (cm)
Ví dụ Tìm hình chữ nhật có số đo cạnh số tự nhiên có chu vi 16 cm
Gợi ý:
Các hình chữ nhật có chu vi 16 cm có chu vi bằng: 16 : = (cm)
Ta có: = + = + = + = + Các hình chữ nhật có chu vi 16 cm là:
Hình chữ nhật có chiều dài băng 7cm chiều rộng 1cm Hình chữ nhật có chiều dài băng 6cm chiều rộng 2cm Hình chữ nhật có chiều dài băng 5cm chiều rộng 3cm Hình chữ nhật có chiều dài băng 4cm chiều rộng 4cm
Ví dụ Tìm diện tích hình vng có chu vi chu vi hình chữ nhật có chiều dài 12 cm, chiều rộng cm
Gợi ý:
Chu vi hình vng chu vi hình chữ nhật là: (12 + ) x = 36 (cm)
Cạnh hình vng là: 36 : = (cm) Diện tích hình vng là: x = 81 (cm)
Dạng Các tốn thêm bớt cạnh hình vng, cạnh hình chữ nhật. Ví dụ Có hình vng chu vi 16 cm, mở rơng phía thêm 2cm để hình chữ nhật diện tích hình chữ nhật bao nhiêu?
(59)Cạnh hình vng chiều rộng hình chữ nhật là: 16 : = (cm)
Chiều dài hình chữ nhật: 36 : = (cm) Diện tích hình chữ nhật là: x = 24 (cm)
Ví dụ Có hình vng mở rộng bên phải 2cm mở rộng bên trái 4cm hình chữ nhật có chu vi 48cm Tính diện tích hình vng
Gợi ý:
4cm 2cm
Chu vi hình chữ nhật chu vi hình vng là: (4 + ) x = 12 (cm) Chu vi hình vng là: 48 – 12 = 36 (cm) Cạnh hình vng làg: 36 : = (cm) Diện tích hình vng : x = 81 (cm)
Ví dụ Có sân hình vng có chu vi 20 m Người ta mở rộng bên phải 2m mở rộng bên trái 1m Hỏi sau mở rộng chu vi sân bao nhiêu?
Gợi ý:
1cm 2cm
(60)Sau mở rộng , sân trở thành hình chỡ nhật có chiều rộng cạnh hình vng bằng:
20 : = (m)
Chiều dài sân sau mở rrộng: + + = (m) Chu vi sân sau mở rộng: (8 + ) x = 26 (m)
Ví dụ Cho hình chữ nhật, ta tăng chiều rộng thêm 3cm giảm chiều dài 3cm hình vng có chu vi 36cm Hỏi diện tích hình chữ nhật cm2?
Gợi ý: Cạnh hình vng bằng: 36 : = (cm) Chiều dài hình chữ nhật là: + = 12 (cm) Chiều rộng hình chữ nhật là: – = (cm) Diện tích hình chữ nhật là: 12 x = 72 (cm)
Ví dụ Cho hình chữ nhật có chu vi 44cm, biết tăng chiều dài thêm 1cm tăng chiều rộng thêm 7cm hình vng Hãy tính diện tích hình chữ nhật
Gợi ý:
Nửa chu vi hình chữ nhật là: 44 : = 22 (cm)
Nếu tăng chiều dài thêm 1cm tăng chiều rộng thêm 7cm hình vng có nửa chu vi bằng: 22 + + = 30 (cm)
Cạnh hình vng là: 30 x : = 15 (cm) Chiều dài hình chữ nhật : 15 – = 14 (cm) Chiều rộng hình chữ nhật: 15 – = (cm) Diện tích hình chữ nhật : 14 x = 112 (cm)
Ví dụ Có hình vng, mở rộng hình vng thêm 3cm nên phải diện tích tăng thêm 21 cm2 Hỏi hình vng cho có diện tích bằng
bao nhiêu?
Gợi ý: 3cm
(61)Cạnh hình vng cho là: 21 : = (cm) Diện tích hình vng cho: x = 49 (cm)
Ví dụ Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 3cm, biết bớt chiều dài 2cm diện tích giảm 18 cm2 Hỏi miếng bìa có
diện tích cm2?
Gợi ý:
2cm
18 cm2
Chiều rộng miếng bìa là: 18 : = (cm) Chiều dài miếng bìa là: + = 12 (cm) Diện tích miếng bìa: 12 x = 108 (cm)
Dạng Các toán chia, ghép hình
Ví dụ Một hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng có diện tích 75 cm2 Tính chu vi hình chữ nhật đó.
Gợi ý:
Nếu chia hình chữ nhật thành phần theo chiều dài ta phần hình vng có diện tích là:
75 : = 25 (cm2)
(62)Vậy cạnh hình vng (cũng chiều rộng hình chữ nhật) 5cm, chiều dài hình chữ nhật là:
x = 15 (cm) Chu vi hình chữ nhật là:
(5 + 15 ) x = 40 (cm)
Ví dụ Một hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng có diện tích 50 cm2 Tìm chu vi hình chữ nhật.
HS giải tương tự BT1
Ví dụ Cho hình vng có chu vi 96 cm Chia hình vng đó thành hình chữ nhật có hiệu hai chu vi 12 cm Tìm chu vi hình chữ nhật
Gợi ý:
1
2
Cạnh hình vng là: 96 : = 24 (cm)
Hình chữ nhật hình chữ nhật có chiều dài cạnh hình vng
Hiệu chu vi 12 cm nên 12 cm hiệu tổng hai chiều rộng hình chữ nhật trừ tổng hai chiểu rộng hình chữ nhật
Chiều rộng hình chữ nhậy chiều rộng hình chữ nhật là: 12 : = (cm)
Ta có: Chiều rộng hình chữ nhật 1:
Chiều rộng hình chữ nhật 2: 6cm 24 cm Chiều rộng hình chữ nhật 1: (24 – ) : = (cm)
(63)Ví dụ Có hình vng chu vi 48 cm, người ta chia hình vng thành hai hình chữ nhật có hiệu hai chu vi 4cm Tìm chu vi hình chữ nhật
Tương tự Ví dụ 3.
Ví dụ Một hình chữ nhật có chu vi 70cm, chia thành phần một đoạn thẳng song song với chiều rộng cho phần thứ hình vng, phần thứ hai hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng Tìm diện tích hình chữ nhật ban đầu
Gợi ý:
Nữa chu vi hình chữ nhật : 70 : = 35 (cm)
1
Chiều rộng hình chữ nhật ban đầu: 35 : = (cm) Chiều dài hình chữ nhật ban đầu: x = 28 (cm) Diện tích hình chữ nhật ban đầu: 28 x = 196 (cm2)
Dạng Các toàn tổng, hiệu chiều dài chiều rộng
Ví dụ Một hình chữ nhật có chu vi 28cm, chiều dài chiều rộng 2cm Tính diện tích hình chữ nhật
Gợi ý: Nữa chu vi hình chữ nhật: 28 : = 14 (cm) Ta có: Chiều rộng :
Chiều dài: 2cm 14 cm Chiều rộng hình chữ nhật : (14 – ) : = (cm) Chiều dài hình chữ nhật: + = (cm)
Diện tích hình chữ nhật: x = 48 (cm)
Ví dụ Một hình chữ nhật có chu vi 40cm, chiều dài chiều rộng 4cm Tìm diện tích hình chữ nhật
HS giải tương tự BT1
(64)Gợi ý: Chiều dài hình chữ nhật: + = (cm)
Diện tích hình chữ nhật diện tích hình vng cho bằng: x = 36 (cm2)
Ta có: 36 = x
Vậy cạnh hình vng 6cm
Chu vi hình vng là: x = 24 (cm)
Ví dụ Tìm diện tích hình vng có chu vi chu vi hình chữ nhật có chiều dài 8cm chiều rộng chiều dài 2cm
Gợi ý: Chiều rộng hình chữ nhật: – = (cm)
Chu vi hình chữ nhật chu vi hình vng bằng: (8 + ) x = 28 (cm) Cạnh hình vng: 28 : = (cm)
Diện tích hình vng: x = 49 (cm2)
Dạng Tổng chu vi: M
Ví dụ A B
Q O N
D P C
Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Hãy tìm tổng chu vi tất hình vng có hình
Gợi ý:
Trong hình có hình vng, gồm hình vng nhỏ là: AMOQ, MBNO, ONCP, QOPD hình vuông lớn ABCD
(65)Tổng chu vi hình vng là: 32 + 16 = 48 (cm)
Ví dụ Cho hình vng ABCD có cạnh 8cm Hãy tính tổng chu vi hình vuộng 1, hình vng 2, hình vng
1
Gợi ý:
Gọi cạnh hình vng a chu vi a x Cạnh hình vng b chu vi b x Cạnh hình vng c chu vi c x
Tổng chu vi hình vng 1, hình vng 2, hình vng là: a x + b x + c x =(a + b+ c) x
Ta có a + b + c = cạnh hình vng ABCD, nên a + b + c = Vậy tổng chu vi cần tìm là: x = 16 (cm)
Bài tập thực hành phân diện tích chu vi:
1 Cho hình chữ nhật, ghép hình chữ nhật lại với ta hình vng có chu vi 84 cm Tính diện tích hình chữ nhật
2 Tính chu vi hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng có diện tích 196 cm2.
3 Cho hình chữ nhật có chiều rộng
2
chiều dài, biết tăng
chiều dài cm diện tích tăng 72 cm2 Tính chu vi hình chữ nhật đó.
1
(66)CHUYÊN ĐỀ 7: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA LIÊN QUAN ĐẾN RÚT VỀ ĐƠN VỊ.
I PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN RÚT VỀ ĐƠN VỊ : Bước : tóm tắt.
Bước – lời giải thứ : tìm giá trị đơn vị.
Bước – lời giải thứ hai : tìm giá trị theo yêu cầu tốn hỏi. II MỘT SỐ VÍ DỤ:
Bài 1: Có can đựng đầy tất 50 lít dầu hoả Hỏi: a) can đựng lít dầu hoả?
b) Nếu đổ đầy số lít dầu hoả đựng can vào can loại lít cho đầy can lít vậy?
Giải Bước 1: Tóm tắt
5 can : 50 lít a, can : ? lít
b, Số lít can phần a : ? can lít Bước 2: tìm giá trị đơn vị.
Số lít dầu hoả có can là: 50 : = 10 (l)
Bước 3: tìm giá trị theo u cầu tốn hỏi.
a, Số lít dầu hoả có can là: 10 x = 70 (l)
b, Số can lít dùng để đựng số dầu hoả can là: 70 : = 14 ( can)
(67)b, 14 can
Bài 2: Bạn An đếm số bút chì đựng hộp Nếu đếm theo chục được chục bút chì Hỏi đếm theo tá tá bút chì?
Giải Bước 1: Tóm tắt
Số bút : chục Số bút : ? tá
Bước 2: tìm giá trị đơn vị.
Theo ra: chục bút = 10 x = 60 bút
Vậy số bút có hộp là: 60 (bút) Bước 3: tìm giá trị theo yêu cầu tốn hỏi.
Số tá bút chì có hộp là: 60 : 12 = ( tá bút)
ĐS: tá bút
III BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1: Người ta xay 100 kg thóc 70 kg gạo Hỏi: a) Xay 200 kg thóc ki - lơ - gam gạo?
b) Để xay 7kg gạo cần dùng ki-lơ-gam thóc?
Bài 2: Có hai chuống nuôi thỏ Bạn Huy đếm chuồng thứ nhất có 24 chân thỏ chuồng thứ hai có 24 tai thỏ Hỏi chuồng có nhiều thỏ gấp số thỏ chuồng lần?
(68)Bài 4: Huy đố Hiếu: “Cả gà thỏ đếm 24 chân Biết số đầu gà gấp đơi số đầu thỏ Đố bạn biết có gà thỏ?” Em giúp Hiếu giải toán
Bài 5: Huy đố bạn: “Cả gà thỏ đếm 24 chân Biết số đầu gà số đầu thỏ Đố bạn biết có gà thỏ?” Em giúp bạn giải toán
Bài 6: Lúc đầu nhà trường thuê xe ôtô chở vừa đủ 120 học sinh khối Ba tham quan Sau có thêm 80 học sinh khối Bốn Hỏi phải thuê tất xe loại để chở học sinh khối Ba khối Bốn tham quan?
Bài 7: Đầu năm nhà trường tuyển vào lớp học phổ cập 40 học sinh đóng đủ 10 bàn ghế để em học Sau lại vận động thêm số em vào lớp nên nhà trường phải đóng tất 12 bàn ghế để em học Hỏi số học sinh vận động thêm vào lớp em?
Bài 8: Có 24 bánh nướng đựng hộp Cô giáo mua về cho lớp mẫu giáo hộp bánh chia cho cháu, cháu nửa Hỏi lớp mẫu giáo có cháu?
Bài 9: Có gói kẹo Bạn Huy lấy gói 10 gói kẹo thấy số kẹo cịn lại gói số kẹo gói nguyên Hỏi gói kẹo có cái?
Bài 10: Để cưa khúc gỗ thành hai đoạn phải 10 phút Hỏi muốn cưa khúc gỗ thành đoạn phải phút?
Bài 11: Trong nửa Huy làm bơng hoa, cịn Hiếu để làm 10 hoa phải 40phút Hỏi làm hoa nhanh hơn?
(69)DẠNG TOÁN 8: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN “TÌM MỘT PHẦN MẤY CỦA MỘT SỐ”
I PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Bước 1: Tóm tắt
Bước 2: Tìm Một phần số( Muốn tìm phần bằng số ta lấy số chia cho số phần.)
II Các ví dụ:
Ví dụ: Mẹ mang chợ bán 25 cam 75 quýt Buổi sáng mẹ bán số cam số quýt, lại 1/5 số cam 1/5 số quýt để chiều bán nốt Hỏi mẹ bán cam, quýt?
Giải Bước 1: Tóm tắt.
Số cam:
Số quýt:
Bước 2: Tìm Một phần số
Số cam lại để chiều mẹ bán là: 25 : = ( quả)
Số cam mẹ bán vào buổi sáng là: 25 – = 20 ( quả)
Số quýt lại để chiều mẹ bán là: 75 : = 25 ( quả)
Số quýt mẹ bán vào buổi sáng là: S camố
còn l iạ
?
S quýtố Còn l iạ
(70)75 – 25 = 50 ( quả)
ĐS: Cam: 20 Quýt: 50 III BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Lớp 3A có 45 học sinh kiểm tra Tốn, có 1/3 số học sinh lớp đạt điểm 10, 1/5 số học sinh lớp đạt điểm 9, 1/9 số học sinh lớp đạt điểm 8, lại đạt điểm Hỏi lớp 3A có em đạt điểm 10? em đạt điểm 9? đạt điểm 8? đạt điểm 7?
Bài 2: Thi chạy 60 m, An chạy hết ¼ phút, Huy chạy hết 16 giây cịn Hiếu chạy hết 1/5 phút Hỏi chạy nhanh hơn?
Bài Anh từ nhà đến trường hết 1/6 Em từ nhà đến trường hết 1/3 Hỏi nhanh hơn? Nếu em học mà trước anh phút anh có đuổi kịp em khơng? Nếu có đuổi kịp chỗ nào?
Bài 4Biết 1/3 vải đỏ dài ¼ vải xanh, hai vải dài là 84 m Hỏi vải dài mét?
Bài Túi thứ đựng 8kg gạo 1/3 túi thứ hai Hỏi túi thứ hai đựng nhiều túi thứ ki -lô - gam gạo? Số gạo hai túi gấp lần số gạo đựng túi thứ nhất?
Bài Có hai ngăn sách Cơ thư viện cho lớp 3A mượn 1/3 số sách ở ngăn thứ nhất, cho lớp 3B mượn 1/5 số sách ngăn thứ hai Như lớp mượn 30 Hỏi số sách lại ngăn thứ hai gấp lần số sách lại ngăn thứ nhất?
Bài Trong vườn có 35 gồm vải, nhãn hồng xiêm Số hồng xiêm 1/7 số vườn Số nhãn gấp đôi số vải Hỏi loại có cây?
Bài Bạn Huy 1/3 gói kẹo nhỏ, bạn Hiếu 1/5 gói kẹo to, hai bạn số kẹo Biết số kẹo gói to số kẹo gói nhỏ 20 Hỏi gói có kẹo?
Bài Tổ lớp 3A có 12 bạn, số bạn nam ½ số bạn nữ. Hỏi tổ nam nữ người?
(71)Bài 11: An hỏi Huy: “Bây chiều?”, Huy trả lời: “Thời gian từ lúc 12 trưa đến 1/3 thời gian từ đến hết ngày (tức 12 đêm hơm nay)” Em tính xem giờ?
CHUN ĐỀ 9: DẠNG TỐN TÍNH TUỔI LỚP 3
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Thường dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải Hiệu số tuổi người không thay đổi theo thời gian II CÁC DẠNG TỐN TÍNH TUỔI THƯỜNG GẶP Ở LỚP 3:
Ở lớp tốn tính tuổi cịn đơn giản nên phân làm 3 dạng toán thường gặp sau: Tuổi nay, Tuổi trước đó, Tuổi sau đó.
Dạng 1: Tuổi nay
Bài toán 1: Ba năm trước tuổi mẹ gấp lần tuổi con.Biết tuổi 10 tuổi.tính tuổi mẹ
Giải
Tuổi năm trước : 10 – = (tuổi) Tuổi mẹ năm trước : x = 35 (tuổi) Tuổi mẹ là: 35 + = 38 (tuổi) Đáp số : 38 tuổi Dạng 2: Tuổi trước đó
Bài tốn 2: năm tuổi Tuổi mẹ gấp lần tuổi Hỏi ba năm trước hai mẹ tuổi
(72)– = (tuổi)
Tuổi mẹ ba năm trước là: 32 + = 36 (tuổi)
Đáp số: 36 tuổi Dạng 3: Tuổi sau đó
Bài tốn 3: Mẹ sinh năm 24 tuổi tuổi mẹ gấp lần tuổi mẹ tuổi, tuổi
Bài giải:
Mẹ sinh năm 24 tuổi có nghĩa mẹ 24 tuổi
Tuổi lúc 24: (4-1) = (tuổi) Tuổi mẹ lúc x = 32 (tuổi)
Đáp số: Mẹ: 32 tuổi Con: tuổi III BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tuổi bố Huy, mẹ Huy tuổi Huy cộng lại 70 tuổi. Mẹ Huy có tất 35 tuổi Bố Huy 30 tuổi Hỏi tuổi người?
Bài 2: Tuổi Huy sau năm gấp lần tuổi Huy trước 3 năm Hỏi Huy tuổi?
Bài 3: Tuổi Hiếu 1/10 tuổi bố 1/8 tuổi mẹ. Bố mẹ tuổi Hỏi Hiếu tuổi?
Bài 4: Hiện tuổi, tuổi mẹ gấp lần tuổi Hỏi trước đây năm tuổi 1/5 tuổi mẹ?
Bài 5: Hiện mẹ 25 tuổi, hỏi năm mẹ bao nhiêu tuổi?
(73)Bài 7: Năm (năm 2011) Huy 10 tuổi em Huy tuổi Hỏi Huy sinh năm nào? Đến năm 2018 em Huy tuổi?
Bài 8: Hiện em tuổi anh 10 tuổi Hỏi năm tuổi anh gấp đôi tuổi em?
Bài 9: Hiện tuổi anh gấp lần tuổi em Hỏi tuổi em tăng lên gấp đơi tuổi anh gấp lần tuổi em?
CHUYÊN ĐỀ 10: TOÁN TRỒNG CÂY LỚP 3
(74)1.1 Kiến thức cần nhớ:
- Số = Độ dài đoạn đường : Khoảng cách +
- Độ dài đoạn đường = (Số – ) x Khoảng cách - Khoảng cách gữa = Độ dài đoạn đường : (Số – )
1.2 Ví dụ:
Bài tốn 1: Người ta trồng hai bên đường đoạn đường dài 1500m Biết khoảng cách 2m đầu đoạn đường có trồng Tính số phải trồng bên đoạn đường
Phân tích: Để tính số phải trồng bên đường ta cần tính số cây trồng bên đường Từ khoảng cách độ dài đoạn đường ta áp dụng cơng thức tính số trồng đầu đường tìm số trồng bên đường Ta giải tốn sau:
Giải
Số phải trồng bên đoạn đường là: 1500 : + = 751 (cây )
Số phải trồng bên đoạn đường là: 751 x = 1502 (cây )
Đáp số: 1502 2 Dạng 2: Trồng đầu:
2.1 Kiến thức cần nhớ:
Số = Độ dài đoạn đường : Khoảng cách
Hoặc
(75)Khoảng cách gữa = Độ dài đoạn đường : Số 2.2 Ví dụ:
Bài tốn 1: Đoạn đường từ nhà Huy đến cầu trường dài 1500m Người ta trồng hai bên đường đoạn đường Biết khoảng cách 2m chỗ nhà Huy có trồng cịn cầu trường khơng có trồng, tính số trồng đoạn đường
Phân tích: Bài tốn u cầu tính số phải trồng đoạn đường chính số bên đường Từ khoảng cách cây, độ dài đoạn đường trồng chỗ nhà Huy mà không trồng cầu trường nên ta tìm số trồng bên đường sau:
Giải:
Số phải trồng bên đoạn đường là: 1500 : = 750 (cây )
Số phải trồng bên đoạn đường là: 750 x = 1500 (cây )
Đáp số: 1500 3 Dạng 3: Không trồng đầu:
3.1 Kiến thức cần nhớ:
Số = Độ dài đoạn đường : Khoảng cách –
Độ dài đoạn đường = (Số + ) x Khoảng cách Khoảng cách gữa = Độ dài đoạn đường : (Số + ) 3.2 Ví dụ:
(76)Phân tích: Vì đầu tường không trồng sứ nên từ khoảng cách giữa sứ độ dài đoạn tường ta áp dụng cơng thức tính số khơng trồng đầu đường tìm số sứ đoạn tường giậu sau:
Giải: Đổi: 15m = 1500cm
Số sứ có đoạn tường giậu là: 1500 : 15 – = 99 (cây )
Đáp số: 99 4 Dạng 4:
4.1 Kiến thức cần nhớ:
- Trồng khép kín: Số = số khoảng
4.2 Ví dụ: Bài 1:
Một miếng đất hình chữ nhật có trồng bạch đàn xung quanh tất 64 Biết hai liền cách 2m, chiều dài chiều rộng 8m Tính diện tích miếng đất?
Phân tích: Vì số trồng theo hình kép kín nên ta áp dụng cơng thức: số = số khoảng; Mỗi khoảng cách hai 2m Vậy bải toán giải sau:
(77)Chu vi miếng đất hình chữ nhật: x 64 = 128 (m)
Nửa chu vi miếng đất: 28 : = 64 (m) Ta có sơ đồ:
Dài: | _| |
Rộng: | _| .8m
Hai lần chiều rộng miếng đất: 64 – = 56 (m) Chiều rộng miếng đất: 56 : = 28 (m) Chiều dài miếng đất: 64 – 28 = 36 (m) Diện tích miếng đất: 36 x 28 = 1008 (m2)
Đáp số: 1008 m2
II BÀI TẬP TỰ GIẢI:
1 Đường từ nhà An đến trường dài 1km8hm, người ta trồng hai bên đường, cách 9m Hỏi số phải trồng biết cổng trường có cịn cửa nhà An khơng có cây?
2 Để đánh số thứ tự trang sách người ta phải dùng tất 87 chữ số Cuốn sách có số trang là:
3 Để đánh số thứ tự trang sách người ta phải dùng tất 91 chữ số Cuốn sách có số trang là:
4 Một ruộng hình chữ nhật có chiều dài 10m, chiều dài gấp lần chiều rộng Tính số cọc cần đóng quanh ruộng biết khoảng cách hai cọc 6dm
(78)5 Người ta đóng cọc rào quanh khu vườn hình vng có chu vi chu vi hình chữ nhật có chiều dài 92m, chiều dài gấp đơi chiều rộng Tính số cọc rào cần đóng biết cọc cách cọc 4m
6 Người ta chuẩn bị trồng cột đèn xung quanh sân vận động
hình chữ nhật có chiều dài 150m, chiều dài chiều rộng chiều dài Biết khoảng cách đèn 5m Tính số cột đèn cần trồng
8 Dọc đường từ quan đến bệnh viện người ta dựng cột đèn, cột cách cột 10m Biết số cột đèn cần lắp 41 Tính quãng đường từ quan đến bệnh viện biết cổng bệnh viện cổng quan có đèn
9 Đường từ nhà An đến trường dài 1km8hm, người ta trồng hai bên đường, cách 9m Hỏi số phải trồng biết cổng trường có cịn cửa nhà An khơng có cây?
10 Để đánh số thứ tự trang sách người ta phải dùng tất 87 chữ số Cuốn sách có số trang là?
11 Một ruộng hình chữ nhật có chiều dài 10m, chiều dài gấp lần chiều rộng Tính số cọc cần đóng quanh ruộng biết khoảng cách hai cọc 6dm
12 Người ta đóng cọc rào quanh khu vườn hình vng có chu vi chu vi hình chữ nhật có chiều dài 92m, chiều dài gấp đơi chiều rộng Tính số cọc rào cần đóng biết cọc cách cọc 4m
13 Người ta chuẩn bị trồng cột đèn xung quanh sân vận động
hình chữ nhật có chiều dài 150m, chiều dài chiều rộng chiều dài Biết khoảng cách đèn 5m Tính số cột đèn cần trồng
(79)quãng đường từ quan đến bệnh viện biết cổng bệnh viện cổng quan có đèn
https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/