Chuyên đề phương trình chứa ẩn ở mẫu - THCS.TOANMATH.com

Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.. Giải các phương trình sau:a[r]

(1)

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình, (tức tìm giá trị ẩn làm tất mẫu thức phương trình khác 0) Viết tắt: ĐKXĐ

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế phương trình khử mẫu Bước 3: Giải phương trình vừa nhận

Bước 4: (Kết luận) Trong giá trị tìm bước 3, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho

 Chú ý Nếu A x 0 xx1 xx2

 

A x  xx1 xx2

II.BÀI TẬP MINH HỌA A.DẠNG BÀI CƠ BẢN

Phương Pháp

Vận dụng phương pháp giải phưng trình chứa ẩn mẫu, đưa phương trình bậc biết Ví dụ Giải phương trình sau:

a

7

x x

x  x ;

b 1 24

1 1

x x

x x  x 

Ví dụ Giải phương trình sau:

a

  

6 18 1

5 8

x x  x x  ;

b

  

3

1 2

x x  x x ;

c 2 32

3

x x x x x

x x  x

Ví dụ Giải phương trình sau: a

 

1

2x3x x2 3 x ;

b

 x13x2   x12x3  x21x3 Ví dụ Giải phương trình sau:

a 2 1 2 x2 1

x x

 

 

    

(2)

b x 1 x 1

x x

   

       

   

 

   

Ví dụ Giải phương trình sau: a 33 2

1 1

x x

x x  x  x ;

b

x3 213x72x17 x36x3

Ví dụ Với giá trị x biểu thức sau có giá trị

a 3

3x x

A

x x

 

  ;

b 10

3 4x 12 6x 18 B

x  x 

  

 

LỜI GIẢI DẠNG BÀI CƠ BẢN

Ví dụ Giải phương trình sau:

c

7

x x

x  x ;

d 1 24

1 1

x x

x x   x 

Lời giải

a

7

x x

x  x (1)

ĐKXĐ phương trình (1)

2

x  x  7

Mẫu số chung (MSC) phương trình x 7 2 x3 Khi đó:

  1 3 2 3 6 1 7

7

x x x x

   

 

   

2

6x 9x 4x 6x 42x x

       

1

56

x x

     

So với ĐKXĐ ta thấy

56

x   thỏa mãn,

56

x   nghiệm phương trình cho

b 1 24

1 1

x x

x x  x  (2)

ĐKXĐ phương trình (2) x  1

Mẫu số chung phương trình   x1 x1 Khi đó:

     2      12

1 1

x x

x x x x

  

 

   

2 2 1 2 1 4

x x x x

      

4x x

   

(3)

Vậy phương trình cho vơ nghiệm

  

6 18 1

5 8

x x  x x  ;

b

  

3

1 2

x x  x x ;

c 2 32

3

x x x x x

x x x

   

  

Lời giải

a ĐKXD phương trình x 5,x 8

Mẫu số chung hai vế phương trình x5x8 Với điều kiện phương trình trở thành

      

6 x 8 x   5 18 x x 8 Phương trình tương đướng với x x   5 Phương trình cuối có hai nghiệm x 0 x 5 So với điều kiện giá trị x 5 bị loại

Vậy phương trình cho có nghiệm x 0 b ĐKXĐ phương trình x  1,x 2

Mẫu số chung hai vế phương trình  x1 x2

Với điều kiện phương trình trở thành 3x   2 x 9, hay 2x 16

Phương trình có ngiệm x 8, giá trị thỏa mãn điều kiện nên nghiệm phương trình cho

c ĐKXĐ phương trình x  3

Mẫu số chung hai vế phương trình x3x  3 x2 9 Với điều kiện phương trình trở thành

x2x x  3 x x2  3 7x23x 0 Biến đổi phương trình trở thành 0

Phương trình nghiệm với giá trị x thỏa mãn điều kiện nên nghiệm phương trình cho x  3

 

1

2x3x x2 3 x ;

b

 x13x2   x12x3  x21x3

Lời giải

(4)

Mẫu số chung hai vế phương trình x x 2 3

Với điều kiện phương trình trở thành x 3 2 x 3 0, hay 9x 12

Phương trình có nghiệm x x

 , giá trị thỏa mãn điều kiện nên nghiệm phương trình cho

b ĐKXĐ phương trình x 1,x 2,x 3

Mẫu số chung hai vế phương trình  x1 x2x3

Với điều kiện có phương trình trở thành 3x 3 2 x  2 x 1, hay 0x 4 Phương trình cuối vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm

Ví dụ Giải phương trình sau: a.2 1 2 x2 1

x x

 

 

    

 ;

b x 1 x 1

x x

   

       

   

 

   

Lời giải

a ĐKXD phương trình x 0

Với điều kiện phương trình trở thành x2

x

 

  

 

  , hay x1 2 x0

Phương trình có nghiệm x 0

2

x   Chỉ có giá trị

2

x   thỏa mãn điều kiện nên nghiệm phương trình cho

b ĐKXD phương trình x 0

Với điều kiện phương trình trở thành x 1 x 1

x x

   

        

   

 

   

Biến đổi phương trình trở thành 2x x

 

  

 

  , hay x  1

Phương trình có nghiệm x  1, giá trị thỏa mãn điều kiện nên nghiệm phương trình cho

Ví dụ Giải phương trình sau: a 33 2

1 1

x x

x x  x  x ;

b

x3 213x72x17 x36x 3

Lời giải

a 33 2

1 1

x x

x x  x  x

Ta có 1  1  1 , 1 0

2

x   x x  x x    x x   

 nên ĐKXD phương trình

(5)

Với điều kiện đó, MSC x3  1  x 1 x2 x 1 Quy đồng mẫu số, ta có

3

1

1 1

x x

x x  x  x

      

2

1

1 1

x x

x x x

x x x x x x

   

 

     

  

2

4x 3x 4x x

       

1 1;

4

x x

   

So với ĐKXĐ giá trị x 1 bị loại, phương trình cho có nghiệm

4 x  

b

x3 213x72x17x36x3

ĐKXĐ phương trình 3;

x   x   Với điều kiện này, ta có

x3 213x 72x17 x36x3

    

       

13 3

3 3

x x x x

x x x x x x

    

 

     

2

13x 39 x 12x 42

     

  

2 12 0 3 4 0

x x x x

       

3;

x x

   

So với ĐKXĐ giá trị x 3 bị loại, phương trình cho có nghiệm x  4

Ví dụ Với giá trị x biểu thức sau có giá trị

a 3

3x x

A

x x 

 

  ;

b 10

3 4x 12 6x 18 B  x  x Lời giải

a Ta thấy ĐKXĐ biểu thức A 3, x   x   Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức A trở thành:

     

  

3 3

3

x x x x

A

x x

    



 

   

  

2

3 3

3

x x x x

x x

    



 

  

2

6

3

x

x x

 

 

(6)

  

2

6 2

3

x

x x

 

  , hay 6x2 6 3 x1x3

Tức 6x2 6 6x2 20x6, hay 20x  12, nghĩa

5 x   Giá trị c thỏa mãn điều kiện đặt

Vậy với

5

x   biểu thức A có giá trị b Ta thấy ĐKXĐ biểu thức B x  3 Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức B trở thành:

     

 

40 3

12

x x x

B

x

    





  17 7

40 1120 14

12 12

x

x x x

x x



    

 

 

Để biểu thức có giá trị 2, ta có:

 

17

2

12

x x

 

 , hay 7x 47, tức 47

7 x 

Giá trị x thỏa mãn điều kiện đặt Vậy với 47

7

x  biểu thức B có giá trị

B.DẠNG NÂNG CAO

Ví dụ1 Cho     

 

2

6

2

x x x

A x

x x x

  



     

 

2

3

6

3 6

x x x

B x

x x x

  

  

a) Tìm x để giá trị hai biểu thức A(x) B(x) nhau;

b) Tìm x để  

 

A x B x 

Ví dụ Cho phương trình ẩn x:

5

1

5

2

x m

x

x m x



  

 

 (với m số)

a) Giải phương trình với m = 5;

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x10;

c) Giải phương trình với tham số m

Ví dụ Giải phương trình:

a) 2 9 4 1  11 2  1

8 9

x x

x x x x

x x

     

 

           

b) 2 22 2 2

2 9

x x x

x x x x x x x x

 

  

(7)

Ví dụ Cho phương trình  

 2

5

1

4

a a x x

x

x a x a x a x a

  

   

 

      với a số

a) Tìm a để phương trình có nghiệm nghiệm phương trình

2

3 29

5 25

x x x



 

   ;

b) Giải phương trình với a =

Ví dụ Giải phương trình

a

 

3

3 2 0

1

x x

x

x x

   

 

b 2 2 2 2 1

5 12 20 x 11 30

x  x x  x x  x   x 

HƯỚNG DẪN DẠNG BÀI NÂNG CAO

Ví dụ1 Cho     

 

2

6

2

x x x

A x

x x x

  



     

 

2

3

6

3 6

x x x

B x

x x x

  

  

c) Tìm x để giá trị hai biểu thức A(x) B(x) nhau;

d) Tìm x để  

 

A x B x 

Lời giải

a) Để A(x) = B(x)   

     

2

6

2 2

x x x x x x

     



   

ĐKXĐ: x x 2  2x 2 0 3x36x2 2x 0 hay 3x x 2  2x 2 0

Do 2  2

2 1 0,

x       x x x nên ĐKXĐ x0

Từ phương trình suy ra: 3x2 x 6x5x2 x 6x4

x2 x 6 3 x 15 x2 x 6x 4 0

        

x2 x 6 3 x   15 x 4 0



   

3

0

2

3 2 11

1 5,5

x x x x

x

x x

x

   

 

    

      

   

 

 

(8)

Vậy với x 2;x3;x5,5 A(x) = B(x)

b)  

 

A x

B x  nghĩa

  

    

2

3

2

6

:

3 6

2

x x x x x x

x x x

     



 

Hay   

       

2

6 2

*

2

x x x x x x

    



    

Do x2   2x 2 x 121 0, x, nên ta có

  22      

3

* 5

2

6 5

3

6

x x x x x

x x x x

x x x

x x

     

 



     

ĐKXĐ: x0;x2;x3;x4

Từ ĐKXĐ phương trình suy 3x 5 5 x 4

3x 15 5x 20 2x x 2,5

         thỏa mãn ĐKXĐ

 Nhận xét: Từ    

   

3

5

x x x x

  

 

  suy 3x 5 5 x 4 0

Ta hiểu sau: Do x0;x2;x3; nên x x 2x 3 Do chia tử

mẫu cho số khác ta có  

 4

3

5 x

x 

 với x4 ta phương trình tương đương

 5 5 4

3 x  x 0

Hoặc hiểu sau:

Từ    

   

3

5

x x x x

 

    với x0;x2;x3;x4 ta có:

       

3x x2 x3 x5 5x x2 x3 x4

 2 3 3 5 5 4 x x x  x  x 

   

      

3 x 5 x x x x

       

Ví dụ Cho phương trình ẩn x:

5

1

5

2

x m

x

x m x



  

 

 (với m số)

d) Giải phương trình với m = 5;

e) Tìm m để phương trình có nghiệm x10;

(9)

Lời giải

5

1

2 2

5

2

x m x m

x

x x

m x x x m

 

    

   

  

a) -Khi m = ta có: 10 1 

0

5

x x

x x

   

Với ĐKXĐ x5 x10

từ  1 x2100x2 25 2x230x100

30x 225 x 7,5

    (thỏa mãn ĐKXĐ)

b) Nếu x10 ta có (10 15 2 

5 10

m

m 

 

Với ĐKXĐ m5 2 100 4m27510020m

2

4m 20m 75 

2 2 5 7,5

2

15 15

2,5

m m

  

 

    

  

 

  



c) Điều kiện nghiệm có x5 x2m

Biến đổi phương trình

2

2 x

x m

x  

  thành

x2m x 2m  x5x5 2 x5x2m

2

2 4m2 x 25 2x 4m 10x 20

x      x  m

 

     2

0 20 25 2 5 *

4mx x m m x m m

        

Nếu m2,5 m

x  Giá trị nghiệm phương trình

2

2 2,5

2 m

m m m m

      

và 5 10 5,

m      m m

 Nếu m2,5 (*) có dạng 0x0 Phương trình nghiệm   x

Kết luận: Nếu m 2,5 phương trình có nghiệm m

x 

Nếu m2,5 phương trình vơ nghiệm;

(10)

Nhận xét: Câu b) có cách giải khác sau:

2

10 15

2 100 100

5 10 m 75

m

m m

      

 

2

100 4m 20m 25

  

 2

2 5

5

2 15 7,5

10

2 2,5

m m m

m

m m m

    

  

    

 

  

 

     

Ví dụ Giải phương trình:

c) 2 9 4 1  11 2  1

8 9

x x

x x x x

x x

     

 

           

d) 2 22 2 2

2 9

x x x

x x x x x x x x

 

  

       

Lời giải

a) Hai vế có nhân tử chung Ta chuyển vế đưa dạng A x B x    0

ĐKXĐ:

9

x Biến đổi phương trình thành   1 0

8

2

2 24 x

x x

x

 

  

 

    

 Với 2 24   6

6

0 x x x

x x

x 

      



   



 Với 2

9

1

8 x

x x

x      x

   

Cả ba giá trị x thỏa mãn ĐKXĐ nên tập nghiệm phương trình S  4;1;6

b) Các mẫu số phức tạp nên khơng dễ tìm ĐKXĐ Nếu ta chuyển vế cộng, trừ phân thúc mẫu ta thấy xuất nhân tử chung x5

Từ có cách giải sau: Biến đổi phương trình dạng:

2

5

2

x x

x x x x

   

   

  2     

5

1

5

4

0

7

2 2

x

x x x

x

x x x

x

x x

   

     

  



    



 

Xét tử số x5 4 4x0 x x5

 Với x1 2x2   9x 7 0 phương trình khơng xác định

(11)

Vậy nghiệm phương trình x5

Ví dụ Cho phương trình  

 2

5

1

4

a a x x

x

x a x a x a x a

  

   

 

      với a số

c) Tìm a để phương trình có nghiệm nghiệm phương trình

2

3 29

5 25

x x x



 

   ;

d) Giải phương trình với a =

Lời giải

a.ĐKXĐ: x a

Với ĐKXĐ ta biến đổi phương trình thành:

 

2 2

2 15

4

x x a ax

x a x a x a



 

   Quy đồng khử mẫu phương trình

   

4x x a 8x x a 5a 15ax

  

2 2

12x 11ax 5a 012x 4ax 15ax 5a 0 3x a 4x 5a

         

Giải phương trình 292

5 25

x x x



 

   với x 5 ta có nghiệm x4

Với x4 ta có: 12 16  1, 3,

a a

a a  

   

  

b.Khi a6   

6

,5

3x x x

x   

 

 



 

 thỏa mãn ĐKXĐ

a

 

3

2

1

x x

x

x x

    



b 2 2 2 2 1

5 12 20 x 11 30

x  x x  x x  x   x 

Lời giải

a.Từ a b 3  a3 b3 3ab a  b a3b3 a b33ab a b  

Áp dụng để giải phương trình Ta có ĐKXĐ: x1

3 2

3

1 1

x x x x

PT x x x

x x x x

   

 

(12)

3 2

2

3 +3 1

1 1

x x

   

   

      

      

 

 

  

 Đặt

2

1 x y

x 

 ta có

 

2

3 3 3 1 1 0 1 1 2

y  y    y  y  y

Hay 2 2 2 2 2

1 x x

x

x x

x        

Phương trình cho vơ nghiệm x2    2x 2 x 12 10 x

b.ĐKXĐ: x2;3; 4;5;6

 21 3  31 4  41 5  51 6 18 PT

x x x x x x x x

    

       

1 1 1 1 1

3

x x x x x x x x

        

       

  

2

1 1

8 2

6 x x 0 x x 0

x x

          

 

2 x

   x10 Tập nghiệm S  2;10

a  

3

56 21

22 4

7

x x

x

 

 

 

b

 2

1

2

1

x x  x 

Lời giải

a.ĐKXĐ:

7

x x32

   

3

56 21 22 56 21 22

4

4 7

x x x x x x

x x x x

   

      

   

3

56 35 21 22

4

0

x x x x x

x x

     

  

 

 

3

1

21

4

2

x x

 



       

 Xét x321x   20 0 x 1x5x 4 0 ta tìm được: x4;x 1;x5 thỏa mãn

ĐKXĐ

 Xét 31

4 7 xx 20 biến đổi thành

3 7 6 0

(13)

x 1x 2x 3

     ta tìm x 3;x1;x2 thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy tập nghiệm phương trình S    4; 3; 1;1; 2;5

b

ĐKXĐ: x0 x 1

 2  2

2

1 3

2 1

1 1

x x  x     x x  x

 

   

 

3 3

2

1

x x x

x x x x

 

    

   

   

 

Với x0 x1    

 

3 3

3

1

0

1 x x x x

x x

  

  

     

  



 Với x   1 x thỏa mãn ĐKXĐ

 Với 1 3 1 3

2

0

x x x x x x x

             thỏa mãn ĐKXĐ

Tập nghiệm 1;1 S  

 

 

C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

1 Giải phương trình sau:

a 62

1 4 x 4x1 16 xx1;

b

  

3

5x1 5  x  5 x x3

a 2

1 2

x

x  x x  x  ;

b

 

2

5 1

8 16

4 2

x x

x

x x x x

    



 

3 Giải phương trình sau: a 22 23 61

5 30

x x x x

     

    ;

b 2 32

3

x x x x x

x x  x

a 21 32 2

2 x

(14)

b 22 23 61

5 30

x x x x

     

   

a 1 12 3

2

x x

 

  ;

b 2 3  5

2 7x 7x

x x

     

   

         

   

6 Giải phương trình sau với a tham số:

a 1

1  ax a;

b 28 2

2a xx 2a xa x  x a4a

HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

1

a xét phương trình: 62

1 4 16

x

x x x



 

  

Điều kiện:

4 x  

Với điều kiện phương trình tương đương với:

     

3 4x  1 4 x  8 6x , hay 14x 7, tức

2 x 

Ta thấy giá trị

2

x  thỏa mãn điều kiện

4

x   nên nghiệm phương trình cho

b.Xét phương trình:

  

3

5x1 5  x  5 x x3

Điều kiện: 1,

5

x  x 

   

3 5 x 2 5x 1 4, hay 5x 3, tức

5 x 

5

x  không thỏa mãn điều kiện

5

x  nên bị loại Vậy phương trình cho vơ nghiệm

2

a xét phương trình: 2

1 2

x

x  x x  x 

Điều kiện: x 2,x  1

  

2 3 1

1 2

x

x  x  x x 

Tức phương trình x2x 2 3 x   1 x 2 x1 , hay 4x 2, nghĩa

(15)

2

x  thỏa mãn điều kiện x 2,x  1nên nghiệm phương trình cho

b.Xét phương trình:

 

2

5 1

8 16

4 2

x x

x

x x x x

    



 

Điều kiện: x 2,x 0

     

5 1

8

4 2

x x

x x x x x

    

   , tức phương trình

     

2 5 x 7x x  2 x 1 x, hay 7x2  3x 2 0, nghĩa x 1,x 2 So với điều kiện, ta thấy giá trị x 2 không thỏa mãn nên bị loại

Vậy phương trình cho có nghiệm x 1

a xét phương trình: 22 23 61

5 30

x x x x

     

   

Điều kiện: x 5,x  6

  

2

6 23 61

5 6

x x x x

     

    , tức phương trình    

2 2

6 23 61

x  x  x  x , hay

21x 0, nghĩa x 0

Ta thấy giá trị x 0thỏa mãn điều kiện x 5,x  6 nên nghiệm phương trình cho

b.xét phương trình: 2 32

3

x x x x x

x x x

   

  

Điều kiện: x  3

  

2 7 3

3 3

x x x x x

x x x x

   

   

Hay x2x3 x x x2  3 7x23x, nghĩa 0 0

Ta thấy giá trị x thỏa mãn điều kiện x  3 thỏa mãn phương trình cho Vậy x  3 nghiệm phương trình

4

a ta có x2   x 2  x 1 x2, nên ĐKXĐ phương trình x  1,x 2 Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:

 

2 2

2

4 3 2

2

x x x x

     



   

Hay 4x 2, tức

2 x 

So với điều kiện ta thấy

2

x  thỏa mãn nên nghiệm phương trình cho

Vậy phương trình có nghiệm

2 x 

(16)

Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:

  2 2

2

6 2 23 61

30 30

x x x x

    



    , hay 21x 0, tức x 0

So cới điều kiện ta thấy x 0 thỏa mãn nên nghiệm phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x 0

5

a Ta có 8  x3 x 2x2 2x 4, nên ĐKXĐ phương trình x  2 Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:

3

8    x x 2x 12x  x 2x 0

 2 0  1 2 0

x x x x x x

       

Phương trình cuối có nghiệm x 0,x 1,x  2

Chỉ có giá trị x 0,x 1thỏa mãn điều kiện đặt nên nghiệm phương trình cho

b Ta có ĐKXĐ phương trình

7 x 

2x 3 10 4  x  x 10 4  x 2 2 x x  8 Phương trình cuối có nghiệm ,

2

x  x   , giá trị thỏa mãn điều kiện đặt nên nghiệm phương trình cho

Vậy phương trình cho có hai nghiệm ,

x  x  

a Ta có ĐKXĐ phương trình x 1

  

1  a a 1x , hay x a  1 2a

Nếu a 1 phương trình có dạng 0x 2, trường hợp phương trình vơ nghiệm Nếu a 1 phương trình cho có nghiệm

1 a x

a 



b.ta có ĐKXĐ phương trình x  2a Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:

  

2

2 2

x a x a

x a x a x a x a



 

   

   2 2 2

2 12

x x a a x a ax a

       

Nếu a 0 phương trình có dạng 0x 0, trường hợp phương trình nghiệm với giá trị x 0

Vậy a 0 phương trình cho có nghiệm x 0

Nếu a 0 phương trình có nghiệm x  2, giá trị thỏa mãn điều kiện x  2avới

1 a  

Vậy phương trình cho có nghiệm x  2 với a  1