Chuyên đề 3 nhị thức newton

Chuyên đề Nhị thức Newton 60 3.2 Hướng dẫn giải tập Ta có khai triển ( x + 1) 10 10 9 10 = C10 x + C10 x + C10 x + C10 + 2.C10 = 672 Hệ số a5 ứng với x6 nên a5 = C10 Ta có 8  k  S(x) = ∑ C8k (x2 (1− x))k = ∑ C8k x2k (1− x)k = 1+ ∑  C8k x2k ∑ Ckp (−1) p xp ÷ k= k= k=  p=  ( k,p ) Hệ số x khai triển ứng với cặp thỏa mãn: ≤ p ≤ k ≤ 2k + p = Có hai cặp thỏa mãn (3; 2) (4; 0) Vậy hệ số x8 cần tìm a = C83 C32 (−1)2 + C84 C40 (−1)0 = 238 Ta có Cn1 + 2Cn2 + + 2n−1Cnn = 3280 ⇔ Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + + 2n Cnn = 6561 ⇔ (1+2)n = 6561 ⇔ n= Cách giải Tách tổng S thành hai tổng S1 = Cn0 + Cn1 + + Cnn , S2 = 1Cn1 + 2Cn2 + + nCnn Ta có S1 = 2n Xét S2 : Biến đổi số hạng tổng quát k-1 kCnk = nCn-1 Suy n-1 S2 = n(Cn-1 + Cn-1 + + Cn-1 ) =n2n−1 Vậy S = S1 + S2 = (n + 2)2n−1 Cách giải Xét khai triển Nhân hai vế với x ta có (1+ x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn ) x(1+ x)n = Cn0 x + Cn1 x2 + Cn2 x3 + + Cnn xn+1 Lấy đạo hàm hai vế theo biến x ta có (1+ x)n + nx(1+ x)n−1 = Cn0 + 2Cn1 x + 3Cn2 x2 + + (n + 1)Cnn xn Cho x = ta có S = (n + 2)2n−1 Cách giải Ta có k-2 (k − 1)kCnk = n(n − 1)Cn-2 , ∀k = 1; 2; n Suy n-2 S = n(n -1)(Cn-2 + Cn-2 + + Cn-2 ) =n(n -1)2n− Chuyên đề Nhị thức Newton 61 Cách giải Xét khai triển (1+ x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn Lấy đạo hàm cấp hai vế theo biến x ta n(n − 1)(1+ x)n− = 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 x + + n(n − 1)Cnn xn-2 Cho x = ta có S = n(n − 1)2n− Cách giải Đặt S = Cn1 3n−1 + 2Cn1 x + 2Cn2 3n− + 3Cn3 3n− + + nCnn Ta có k-1 kCnk = nCn-1 , ∀ ≤ k ≤ n Suy n−1 n-1 S = n(Cn-1 3n−1 + Cn-1 3n− + + Cn-1 ) =n(3+1)n−1 = n4 Cách giải Xét khai triển (3 + x)n = Cn0 3n + Cn1 3n−1 x + Cn2 3n− x2 + + Cnn xn Lấy đạo hàm hai vế theo biến x ta n(3 + x)n−1 = Cn1 3n−1 + 2Cn2 3n− x + + nCnn xn-1 Cho x = ta có điều phải chứng minh Cách giải Ta có 1 Cnk = C k+ (k +1)(k +2) (n +1)(n +2) n+2 Suy n+2 S= (Cn+ + Cn+ + + Cn+ ) 2 (n +1)(n +2) 1 n+2 = (C + Cn+ + + Cn+ − Cn+ − Cn+ ) 2 2 (n +1)(n +2) n+2 2n+ − n − (n +1)(n +2) Cách giải Xét khai triển = (1+ x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn Lấy tích phân hai vế theo biến x từ đến t ta (n+t)n+1 − t2 tn+1 = Cn0t + Cn1 + + Cnn n +1 n +1 Lấy tích phân hai vế theo biến t từ đến ta 2n+ − n − S= (n +1)(n +2) Cách giải Với k ≥ 2, ta có n! k2Cnk = k (k − 1)!(n − k)! n! = (k − 1+1) (k − 1)!(n − k)! Chuyên đề Nhị thức Newton 62 k-2 = n(n − 1)Cn-2 + nCnk−−11 Suy  n− i   n− 1  S = C + n(n − 1)  ∑ Cn− ÷ + n ∑ Cn− ÷  i=0   i =1  n− n− = n + n(n − 1)2 + n(2 − 1) n = n(n + 1)2n− Cách giải Xét khai triển (1+ x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn Lấy đạo hàm hai vế theo biến x ta có n(1+ x)n− = Cn1 + 2Cn2 x + + nCnn xn− Nhân hai vế với x ta nx(1+ x)n− = Cn1 x + 2Cn2 x2 + + nCnn xn Lấy đạo hàm hai vế theo biến x ta có n(1+ x)n− + n(n − 1)x(1+ x)n− = 11Cn1 + 22 Cn2 x2 + + nCnn xn Cho x = ta S = n2n− + n(n − 1)2n− = n(n + 1)2n− a) Cho x = ta có S = (1+2)12 = 531441 k 2k Để tìm hệ số ak lớn ta xếp lại dãy ( ak ) b) Ta có ak = C12 Xét tỉ số k+ ak +1 C12 2k + 2(12 − k ) = = k k ak k +1 C12 Ta có ak +1 > ak ⇔ k ≥ Do ta có a