http://dethithpt.com – Website chuyênđề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊTHỨCNEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhịthức Newton: Với n∈N với cặp số a, b ta có: n (a + b) n = ∑ Cnk a n −k b k k =0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n k n−k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) k n− k 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cn = Cn n k −1 k k 5) Cn = Cn = , Cn + Cn = Cn +1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhịthức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn ⇒Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n n n −1 n n n n (x–1)n = Cn x − Cn x + + (−1) Cn ⇒Cn − Cn + + (−1) Cn = Từ khai triển ta có kết sau n n * Cn + Cn + + Cn = 2 n n * Cn − Cn + Cn − + (−1) Cn = B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊTHỨCNEWTON Phương pháp: n ( ax p + bxq ) = ∑ Cnk ( ax p ) n k =0 n−k n ( bx q ) = ∑ Cnk a n−k bk x np − pk +qk k k =0 Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np − pk + qk = m m − np Từ tìm k = p−q k n−k k Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cn a b với giá trị k tìm m Nếu k khơng ngun k > n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển P ( x ) = ( a + bx p + cx q ) viết dạng a0 + a1 x + + a2 n x n n Ta làm sau: n p q k n −k p q * Viết P ( x ) = ( a + bx + cx ) = ∑ Cn a ( bx + cx ) ; n k k =0 * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng ( bx p + cx q ) thành đa thức theo luỹ thừa k x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhịthức Niutơn Ta làm sau: Trang http://dethithpt.com – Website chuyênđề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak −1 ≤ ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển ( 2a − b ) , hệ số số hạng thứ bằng: A −80 B 80 C −10 D 10 n+6 Câu 2: Trong khai triển nhịthức ( a + ) , ( n ∈ ¥ ) Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 D 12 Câu 3: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số số hạng là: 10 4 B −3 C10 4 A C10 5 C C10 Câu 4: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số số hạng chứa x5 y là: A −22400 B −40000 C −8960 5 D −3 C10 D −4000 Câu 5: Trong khai triển x + ÷ , hệ số x , ( x > ) là: x A 60 B 80 C 160 D 240 1 Câu 6: Trong khai triển a + ÷ , số hạng thứ là: b −4 A 35.a b B −35.a b −4 C 35.a b −5 Câu 7: Trong khai triển ( 2a − 1) , tổng ba số hạng đầu là: D −35.a b A 2a − 6a + 15a C 64a − 192a + 480a ( Câu 8: Trong khai triển x − y A −16 x y15 + y ) B 2a − 15a + 30a D 64a − 192a + 240a 16 , tổng hai số hạng cuối là: C 16 xy15 + y B −16 x y15 + y D 16 xy15 + y Câu 9: Trong khai triển 8a − b ÷ , hệ số số hạng chứa a 9b3 là: A −80a b B −64a b3 C −1280a b3 D 60a b Câu 10: Trong khai triển x + ÷ , số hạng không chứa x là: x A 4308 B 86016 C 84 10 Câu 11: Trong khai triển ( x − 1) , hệ số số hạng chứa x8 là: A −11520 B 45 C 256 Câu 12: Trong khai triển ( a − 2b ) , hệ số số hạng chứa a b là: A 1120 B 560 C 140 Câu 13: Trong khai triển ( x − y ) , số hạng chứa x y là: D 43008 D 11520 A −2835 x y B 2835x y C 945x y D 70 D −945 x y Câu 14: Trong khai triển ( 0,2 + 0,8 ) , số hạng thứ tư là: A 0, 0064 B 0, 4096 C 0, 0512 D 0, 2048 Câu 15: Hệ số x3 y khai triển ( + x ) ( + y ) là: A 20 B 800 C 36 D 400 Trang http://dethithpt.com – Website chuyênđề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Câu 16: Số hạng khai triển ( 3x + y ) là: B ( 3x ) 2 A C4 x y ( 2y) 2 2 C 6C4 x y 2 D 36C4 x y Câu 17: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số số hạng chứa x8 y 11 B − C11 A C11 C −C11 D C11 Câu 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x ) = (1 − x )10 A −15360 B 15360 C −15363 D 15363 Câu 19: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x) = x(2 + x) A 489889 B 489887 C −489888 D 489888 Câu 20: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: g ( x) = (1 + x) + (1 − x) + (2 + x)9 A 29 B 30 C 31 D 32 10 Câu 21: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x ) = (3 + x ) A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831 Câu 22: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x) = x(1 − x) A −4608 B 4608 C −4618 D 4618 10 Câu 23: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = (3x + 1) A 17010 B 21303 C 20123 D 21313 2 Câu 24: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) = − x ÷ x A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000 12 3 x Câu 25: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) = + ÷ x 2 297 29 27 97 A B C D 512 51 52 12 10 Câu 26: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = (1 + x + x ) A 37845 B 14131 C 324234 D 131239 8 Câu 27: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = 8(1 + x ) − 9(1 + x) + 10(1 + 10 x )10 8 8 A 8.C8 − C9 + 10.C10 10 8 8 B C8 − C9 + C10 10 8 8 C C8 − 9.C9 + 10.C10 10 8 8 D 8.C8 − 9.C9 + 10.C10 10 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x) = 8(1 + x )8 + 9(1 + x)9 + 10(1 + x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển ( x + xy ) A 2080 B 3003 15 là: C 2800 D 3200 18 Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển x + là: x 10 A C18 B C18 C C18 D C18 Câu 31: Khai triển ( 1− x) , hệ số đứng trước x là: 12 A 330 B – 33 C –72 D –792 12 (x ≠ 0) Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f ( x ) = ( x − ) x A 59136 B 213012 C 12373 D 139412 17 ( x > 0) Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: g ( x) = ( + x ) x Trang http://dethithpt.com – Website chuyênđề thi tài liệu file word A 24310 B 213012 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 C 12373 D 139412 n Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhịthức Niutơn + x ÷ biết x n +1 n Cn + − Cn +3 = ( n + 3) A 495 B 313 C 1303 D 13129 n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức − ( x + x ) với n số x nguyên dương thoả mãn Cn3 + 2n = An2+1 ( Cnk , Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử) A −98 B 98 C −96 D 96 40 Câu 36: Trong khai triển f ( x ) = x + ÷ , tìm hệ số x 31 x A 9880 B 1313 C 14940 D 1147 18 1 Câu 37: Hãy tìm khai triển nhịthức x + ÷ số hạng độc lập x x A 9880 B 1313 C 14940 12 x 3 Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển − ÷ 3 x 55 13 621 A B C 113 Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển ( x + xy ) D 48620 D 1412 3123 15 A 300123 B 121148 C 3003 D 1303 20 Câu 40: Cho đa thức P ( x ) = ( + x ) + ( + x ) + + 20 ( + x ) có dạng khai triển P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 B 130414 Câu 41: Tìm số hạng khai triển ( 3+ A 4536 B 4184 20 Câu 42: Xét khai triển f ( x) = (2 x + ) x Viết số hạng thứ k + khai triển k 20 − k 20 − k A Tk +1 = C20 x k 20 − k 20 − k x C Tk +1 = C20 2 Số hạng khai triển không chứa x 10 10 10 A C20 B A20 ) C 511313 D 412674 số nguyên C 414 12 D 1313 k 20 − k 20 − k B Tk +1 = C10 x k 20 − k 20 − k D Tk +1 = C20 x 10 C C20 10 10 D C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x ) = (3x + x + 1)10 A 8089 B 8085 C 1303 D 11312 2n Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2 − x) , biết n số nguyên dương thỏa n +1 mãn : C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = 1024 A 2099529 B −2099520 C −2099529 D 2099520 Trang http://dethithpt.com – Website chuyênđề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Câu 45: Tìm hệ số x9 khai triển f ( x) = (1 + x )9 + (1 + x )10 + + (1 + x )14 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 10 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x ( − x ) + x ( + 3x ) A 3320 B 2130 C 3210 D 1313 8 Câu 47: Tìm hệ số cuả x khai triển đa thức f ( x) = 1 + x ( − x ) A 213 B 230 Câu 48: Đa thức P ( x ) = ( + x + x ) 10 C 238 D 214 = a0 + a1 x + + a20 x Tìm a15 20 10 5 A a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 10 5 6 7 B a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 10 5 6 7 C a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 10 5 6 7 D a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 3.2 n n −1 n −2 Câu 49: Tìm hệ số không chứa x khai triển sau ( x − ) , biết Cn + Cn = 78 với x x>0 A −112640 B 112640 C −112643 D 112643 n − Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n −3 hệ số x khai triển thành đa thức n n ( x + 1) ( x + 2) Tìm n để a3n−3 = 26n A n=5 B n=4 C n=3 D n=2 n 7 26 Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhịthứcNewton + x ÷ , biết x n 20 C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = − A 210 B 213 C 414 D 213 n n Câu 52: Cho n ∈ ¥ * (1 + x) = a0 + a1 x + + an x Biết tồn số nguyên k ( ≤ k ≤ n − ) a a a cho k −1 = k = k +1 Tính n = ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 10 Câu 53: Trong khai triển ( + x) thành đa thức 3 10 a0 + a1 x + a2 x + + a9 x + a10 x , tìm hệ số ak lớn ( ≤ k ≤ 10 ) 210 210 210 210 B C D a = 3003 a = 3003 a = 3003 315 315 315 315 n n Câu 54: Giả sử (1 + x) = a0 + a1 x + a2 x + + an x , biết a0 + a1 + + an = 729 Tìm n số lớn số a0 , a1 , , an A a10 = 3003 A n=6, max { ak } = a4 = 240 B n=6, max { ak } = a6 = 240 C n=4, max { ak } = a4 = 240 D n=4, max { ak } = a6 = 240 Câu 55: Cho khai triển (1 + x) = a0 + a1 x + + an x , n ∈ ¥ * Tìm số lớn số a a a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0 + + + nn = 4096 2 A 126720 B 213013 C 130272 D 130127 n Trang n http://dethithpt.com – Website chuyênđề thi tài liệu file word n DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG ∑a C b k =0 k k n k Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhịthứcNewton (a + b) n = Cn0 a n + a n −1bCn1 + a n − 2b 2Cn2 + + b nCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: k n− k * Cn = C n n n * Cn + Cn + + Cn = n * ∑ (−1) C k k =0 k n =0 n n k =0 k =0 2k k −1 * ∑ C n = ∑ C2 n = n * ∑C k =0 k n 2n k ∑ C2 n k =0 a k = (1 + a ) n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số không chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn n Câu 1: Tổng T = Cn + Cn + Cn + Cn + + Cn bằng: A T = 2n B T = 2n – C T = 2n + D T = 4n Câu 2: Tính giá trị tổng S = C6 + C6 + + C6 bằng: A 64 B 48 C 72 D 100 5 Câu 3: Khai triển ( x + y ) thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S = C5 + C5 + + C5 A 32 B 64 C D 12 n n Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn + 2Cn + 4Cn + + Cn = 243 A B 11 C 12 D 5 Câu 5: Khai triển ( x + y ) thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S = C5 + C5 + + C5 A 32 C B 64 Câu 6: Khai triển ( + x + x + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 4 A a10 = C5 + C5 + C5 C5 4 B a10 = C5 C5 + C5 C5 + C5 C5 4 C a10 = C5 C5 + C5 C5 − C5 C5 4 D a10 = C5 C5 − C5 C5 + C5 C5 b) Tính tổng T = a0 + a1 + + a15 S = a0 − a1 + a2 − − a15 A 131 B 147614 C Câu 7: Khai triển ( + x + x a) Hãy tính hệ số a4 A a4 = C10 ) 10 = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 4 B a4 = C10 20 b) Tính tổng S = a1 + 2a2 + 4a3 + + a20 Trang D 12 D 20 C a4 = C10C10 4 D a4 = C10 C10 http://dethithpt.com – Website chuyênđề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 A S = 1710 B S = 1510 C S = 17 20 1 1 ( −1) n n Cn Câu 8: Tính tổng sau: S = Cn − Cn + Cn − Cn + + 2( n + 1) A B C 2(n + 1) n −1 n−2 n −3 n Câu 9: Tính tổng sau: S = Cn + 2Cn + 3Cn + + nCn A n.4n −1 B C 1 1 Cnn Câu 10: Tính tổng sau: S1 = Cn + Cn + Cn + + n +1 n +1 n +1 +1 −1 2n +1 − A B C +1 n +1 n +1 n +1 n Câu 11: Tính tổng sau: S = Cn + 2Cn + + nCn A 2n.2n −1 B n.2n +1 C 2n.2n +1 D S = 710 D (n + 1) D 4n −1 D 2n +1 − −1 n +1 D n.2n −1 n Câu 12: Tính tổng sau: S3 = 2.1.Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + + n(n − 1)Cn A n(n − 1)2n − B n(n + 2)2n− Câu 13: Tính tổng S = Cn0 + C n(n − 1)2 n −3 D n(n − 1)2n + 32 − 1 3n +1 − n Cn + + Cn n +1 4n +1 − 2n +1 n +1 n +1 − 2n +1 C S = +1 n +1 4n +1 + 2n +1 −1 n +1 4n +1 − 2n +1 D S = −1 n +1 A S = B S = 22 − 1 n +1 − n Cn + + Cn n +1 3n +1 − 2n+1 3n − 2n +1 3n +1 − 2n 3n +1 + 2n +1 A S = B S = C S = D S = n +1 n +1 n +1 n +1 2 n n +1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C2 n +1 − 2.2C2 n +1 + 3.2 C2 n +1 − + (2n + 1)2 C2 n +1 = 2005 A n = 1001 B n = 1002 C n = 1114 D n = 102 n −1 n −1 n−2 n−2 n −1 0 Câu 16: Tính tổng 1.3 Cn + 2.3 Cn + + n.3 Cn Câu 14: Tính tổng S = Cn0 + A n.8n −1 B ( n + 1).8n −1 C (n − 1).8n n Câu 17: Tính tổng S = 2.1Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + + n (n − 1)Cn A n(n + 1)2n − B n(n − 1)2n − Câu 18: Tính tổng ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( Cnn ) n A C2 n 2 n −1 B C2 n C n(n − 1)2n D (n − 1)2n − n C 2C2 n n −1 D C2 n −1 n n −1 n −1 n −2 n−2 n Câu 19: Tính tổng sau: S1 = Cn + 3.Cn + Cn + + Cn A 28n B + 8n C 8n −1 2 2010 2010 Câu 20: S = C2011 + C2011 + + C2011 32011 + 3211 − B 2 Câu 21: Tính tổng S3 = Cn1 + 2Cn2 + + nCnn A A 4n.2n −1 Trang B n.2n −1 D n.8n C 32011 + 12 C 3n.2n −1 D 8n D 32011 − D 2n.2n −1 http://dethithpt.com – Website chuyênđề thi tài liệu file word Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI Kính mời q thầy tham khảo thêm HƯỚNG DẪN GIẢI Ở ĐÂY ĐÂY LÀ LINK RÚT GỌN, QUÝ THẦY CÔ BỎ RA 10S ĐỂ CÓ TÀI LIỆU CHẤT LƯỢNG STT TÊN TÀI LIỆU LINK TẢI: NhịThứcNewton có lời giải – Đặng Việt Đơng Nhấn ctrl + chuột trái: http://123link.pro/lky4EY Xác Suất có lời giải – Đặng Việt Đông Nhấn ctrl + chuột trái: http://123link.pro/H5i09 Trang ... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A 24310 B 213012 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 C 12373 D 139412 n Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn + x ÷ biết... hệ số x khai triển thành đa thức n n ( x + 1) ( x + 2) Tìm n để a3n−3 = 26n A n=5 B n=4 C n=3 D n=2 n 7 26 Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton + x ÷ , biết x n... Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a + b) n = Cn0 a n + a n −1bCn1 + a n − 2b 2Cn2 + + b nCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử