TỔNG HỢP CƠNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN KIẾN THỨC CƠ BẢN A HÌNH HỌC PHẲNG Các hệ thức lượng tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao, AM đường trung tuyến Ta có: B A 1 = + , AH = HB.HC 2 AH AB AC 2AM = BC B BC = AB + AC AH BC = AB AC AB = BH BC , AC = CH CB C M H Các tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vuông: Cạnh huyền Cạnh đối α Cạnh kề α Chọn Chọn góc góc nhọn nhọn là α cạnh đố i ñi sinα α == D (Đi Học) ; sin ÷ cạnh huyề n học H K cạnh kề khô ng cos (Khơng Hư) cosα α == ; ÷ H cạnh huyề n hư D cạnh đố i đoà n tan tanα α == K (Đồn ;Kết) ÷ cạnh kề kế t K h kề t cot α = cạn kế (Kết Đồn) cot α = D ; cạnh đố i đoà n÷ Các hệ thức lượng tam giác thường: a Định lý cosin: A b2 + c2 - a2 * a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Þ cosA = 2bc a + c2 - b2 b 2 c * b = a + c - 2ac cosB Þ cosB = 2ac a + b2 - c2 2 * c = a + b ab cos C Þ cos C = a 2ab B C b Định lý sin: A c b (R bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) R a B c C Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến: A K B AB + AC BC * AM = 2 BA + BC AC * BN = N M C * CK = CA2 + CB AB 2 TỔNG HỢP CƠNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN d Cơng thức tính diện tích tam giác: A c 1 b = ch c SD ABC = a.ha = bh 2 1 SD ABC = absinC = bc sin A = ac sin B 2 abc , SD ABC = pr SD ABC = 4R p = p ( p − a) ( p − b) ( p − c) b B C a p - nửa chu vi r - bán kính đường tròn nội tiếp Định lý Thales: A M N * B AM AN MN = = =k AB AC BC ổ AM ữ ỗ ữ =ỗ = k2 ữ ữ ỗ ốAB ứ * MN / / BC Þ C SD AMN SDABC (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đờng dạng) Diện tích đa giác: B a Tam giác vuông: Diện tich tam ị giỏcSvuụng bngAB ẵ tich AC cnh D ABC = góc vng C A ìï ïï SD ABC = a 32 ïï đều: S (cạnh) Diện tích tamÞgiác =4 í D ïï h a h = ïï C tam giác Chiều cao ïỵ đều: (cạnh) b Tam B giác đều: a A A h B c Hình vng ïìï SHV = a ïí Diện tích hình Þ vng bằng cạnh bình phương O ïï AC = BD = a Đường chéo hìnhïỵ vng bằng cạnh nhân a D = D C A d Diện tích hình thang: SHình Thang = (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao D Þ S= B ( AD + BC ) AH C H B e Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc: A Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc CÞ D SH Thoi = AC BD TỔNG HỢP CƠNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN bằng ½ tích hai đường chéo Hình thoi có hai đường chéo vng góc trung điểm của mỗi đường f Tam giác vuông cân Diện tích tam giác vuông cân bằng B CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng : ïï ïï d Ë (a) ü d ^ d 'ü ü ï ïï ï b P ( a ) ( ) ï d P d¢ ý Þ d P (a) (a) ^ d 'ïý Þ d P (a) ý Þ d P (a) ï ï d è (b) ùù ùỵ dÂè (a)ùùù d ậ (a) ùùù þ þ Chứng minh hai mặt phẳng song song: ïï ïï (a) É a,a P (b)ü (a) ¹ (b)ü ïï ïï ï (a) P (Q)ü (a) É b,b P (b) ý Þ (a) P (b) (a) ^ d ïý Þ (a) P (b) ý Þ (a) P (b) ïï ù (b) P (Q) ùù ỵ a ầb =O (b) ^ d ùùù ùù ỵ ỵ Chng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng định lí sau Hai mặt phẳng (a),( b) có điểm chung S v S ẻ (a) ầ ( b) ỹ ïï ï lần lượt chứa đường thẳng song song a,b thì (a) É a, ( b) É bïý Þ (a ) Ç ( b) = Sx ( P a Pb) ïï giao tuyến của chúng qua điểm S cựng song a Pb ùù ỵ song vi a,b Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ïï a P (a),a Ì ( b) ü (a) Nếu mặt phẳng (b) chứa a cắt (a) ý ị bP a (a) ầ ( b) = b ïï theo giao tuyến b thì b song song vi a ùỵ Hai mt phng cựng song song với đường ü ïï (a) P (b) thẳng thì giao tuyến của chúng song song với ý Þ (P ) ầ (b) =d Â,d ÂP d (P ) ầ (a) = dùù ng thng ú ỵ Hai ng thẳng phân biệt vng góc với ïï d ¹ d¢ ü mặt phẳng thì song song với ù d ^ (a) ùý ị d ^ d  ù dÂ^ (a)ùùù ỵ S dung phng phỏp hinh học phẳng Đường trung bi nh, định lí Talét đảo, … Chứng minh đường thẳngvng góc với mặt phẳng: Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt ïï d ^ a Ì (a)ü ï nằm mặt phẳng thì vng góc với mặt d ^ b Ì (a ) ïý Þ d ^ ( a ) ïï phẳng a Ç b = {O}ùù ỵ Cho hai ng thng song song Mặt phẳng vng góc với đường thẳng thì vng góc với đường thẳng d P d ¢ ùỹ ù ị d^ a ý ( ) dÂ^ (a)ùù þ Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt phẳng thì vng góc với mặt phẳng ( a ) P ( b) ỹùù ị ý d ^ ( b) ùù ùỵ d ^ ( a) TỔNG HỢP CƠNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba ( a ) ^ ( P ) üïïï ( b) ^ ( P ) ïýï Þ ( a ) ầ ( b) = dùùùỵ d ^ (P ) Nếu hai mặt phẳng vng góc thì bất cứ đường thẳng nào nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng ( a ) ^ ( P ) üïïï a = ( a ) Ç ( P ) ïý Þ ï d Ì ( a ) ,d ^ ạïï þ d ^ (P ) Chứng minh hai đường thẳng vng góc: Cách 1: Dùng định nghĩa ( ) a ^ b Û a¶,b = 900 r r Hay a ^ b Û ar ^ b Û ar.b = r r r r Û a b cos a,b = ( ) ïï b//c ü ýÞ a ^b a ^ cùù ỵ ùù a ^ ( a)ü ý Þ a ^ b b Ì ( a ) ùù ùỵ ỹ a ' = hcha (P )ùù ý Þ b ^ a Û b ^ a ' ùù bè (P ) ùỵ Cỏch 2: Nu mt đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song thì phải vng góc với đường Cách 3: Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng thì vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm mặt phẳng ( P ) a đường thẳng không thuộc (P ) đồng thời không vuông góc với ( P ) Gọi a’ hình chiếu vng góc của a ( P ) Khi b vng góc với a chỉ b vng góc với a’ Chứng minh mp( a ) ^ mp( b) : Cách 1: Theo định nghĩa: ( a ) ^ ( b) Û (·( a ) ,( b) ) = 90 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 90° Cách 2: Theo định lý (Trang 108 SGK HH11): ( a ) ^ ( P ) üïïï a = ( a ) ầ ( P ) ùý ị d ^ ( P ) ï d Ì ( a ) ,d ^ aùùù ỵ ...TỔNG HỢP CƠNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN d Cơng thức tính diện tích tam giác: A c 1 b = ch c SD ABC = a.ha = bh 2 1 SD... vuông góc: A Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc CÞ D SH Thoi = AC BD TỔNG HỢP CÔNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN bằng ½ tích hai đường chéo Hình thoi có hai đường chéo vng góc trung... mặt phẳng thì vng góc với mặt phẳng ( a ) P ( b) üïï Þ ý d ^ ( b) ùù ùỵ d ^ ( a) TỔNG HỢP CƠNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của