BÀI TOÁN MAX MIN PHỨC

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC Kỹ năng: • Phương • Phương • Phương • Phương pháp pháp pháp pháp đại số hình học bđt modun casio Một số tính chất cần nhớ Mơđun số phức:  Số phức z = a+ bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài uuuur véctơ OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b  Tính chất uuuur • z = a2 + b2 = zz = OM • z ≥ 0, ∀z ∈ £ , z = ⇔ z = • z.z' = z z' z z = ,( z' ≠ 0) z' z ' • • z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z ' • kz = k z , k∈ ¡ 2  Chú ý: z2 = a2 − b2 + 2abi = (a2 − b2 )2 + 4a2b2 = a2 + b2 = z = z = z.z Lưu ý: • z1 + z2 ≤ z1 + z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≥ 0) • • z1 − z2 ≤ z1 + z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≤ 0) z1 + z2 ≥ z1 − z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≤ 0) • z1 − z2 ≥ z1 − z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≥ 0) • z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 • z = z z= z 2 2 ( z − a− bi = z − c − di (2) ) ∀z ∈ £ 2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax + by + c = (1) ( x − a) + ( y − b) Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng ∆:ax + by + c = (2) Đường trung trực đoạn AB với A ( a,b) , B( c,d) ( ) = R2 Đường trịn tâm I ( a; b) , bán kính R ≤ R2 Hình trịn tâm I ( a; b) , bán kính R z − a− bi = R ( x − a) + ( y − b) z − a− bi ≤ R r ≤ ( x − a) + ( y − b) ≤ R2 r ≤ z − a− bi ≤ R Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I ( a; b) , bán kính r , R  y = ax + bx + c ( c ≠ 0)   x = ay + by + c ( x + a) ( y + c) + Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Parabol ( 1) = 1( 1) b2 d2 z − a1 − bi + z − a2 − b2i = 2a ( x + a) b2 ( y + c) − d2 Elip ( 2) Elip 2a > AB , A ( a1 ,b1 ) , B( a2 ,b2 ) Đoạn AB 2a = AB Hypebol =1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z , tìm z Min Khi ta có ( )  Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A ( a;b)  1 2  z Min = z0 = a + b   z = a + bi  2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a− bi = z − c − di Tìm z Ta có ( )  Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A ( a;b) ,B( c;d )  z Min = d( O , AB) = a2 + b2 − c2 − d2 ( a− c) + ( b− d) 2 Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1:  Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a− bi = z − c − di Khi ta biến đổi z − a− bi = z − c − di ⇔ z − a+ bi = z − c − di  Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz − a− bi = z − c − di Khi ta biến đổi iz − a− bi = iz − c − di ⇔ z + −a− bi −c − di = z+ ⇔ z + b+ = z + d + ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 ( ) TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − a − bi = R > z − z0 = R Tìm z Max , z Min Ta có ( ) ( )  Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z đường tròn tâm I a;b bán kính R 2 z  Max = OI + R = a + b + R = z0 + R   2  z Min = OI − R = a + b − R = z0 − R  Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = R ⇔ z + −a − bi R = (Chia hai i i vế cho i ) ⇔ z + b + = R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − a − bi = R ⇔ z − a + bi = R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( c + di ) z − a − bi = R ⇔ z + −ca+−dibi Hay viết gọn z0z − z1 = R ⇔ z − = R R = c + di c + d2 z1 R = (Chia hai vế cho z0 ) z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip ( ) TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − c + z + c = 2a, a > c Khi ta có x2  Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z Elip: + ( ) a y2 =1 a2 − c2 z  Max = a   2  z Min = a − c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − z1 + z − z2 = 2a Thỏa mãn 2a > z1 − z2 Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ) Ta có Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 ( ) Khi đề cho Elip dạng không tắc z − z1 + z − z2 = 2a, z1 − z < 2a z1 ,z2 ≠ ± c, ±ci ) Tìm Max, Min P = z − z0  z1 − z2 = 2c 2  b = a − c Đặt  Nếu z0 − z1 + z2 =0 PMax = a (dạng tắc)  PMin = b  z1 + z2 +a PMax = z0 −   P = z − z1 + z2 − a  Min  z +z PMax = z0 − + a  z1 + z2 >a  z0 − Nếu  z − z = k ( z − z )   z1 + z2 c) ta ln có y2 x2  Tập hợp điểm biểu diễn z Elip + 2 = a a −c z  Max = a   2  z Min = a − c Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn z + 1+ i A 13 + C Hướng dẫn giải B D 13 + Chọn D Cách 1: Gọi z = x + yi ta có z − − 3i = x + yi − − 3i = x − 2+ ( y − 3) i Theo giả thiết ( x − 2) + ( y − 3) = nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm 2 đường tròn tâm I ( 2;3) bán kính R = Ta có z + 1+ i = x − yi + 1+ i = x + 1+ ( 1− y) i = Gọi M ( x; y) H ( −1;1) HM = ( x + 1) + ( y − 1) ( x + 1) + ( y − 1) 2 Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường tròn  x = + 3t Phương trình HI :  , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn:  y = 3+ 2t     ;3+ ;3− nên M  + ÷, M  − ÷ 13 13 13  13 13    Tính độ dài MH ta lấy kết HM = 13 + 9t2 + 4t2 = ⇔ t = ± Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn w = z + 1+ i ( ) Ta có z − 2− 3i = 1⇔ z − 2+ 3i = 1⇔ z + 1+ i − 3+ 2i = 1⇔ w − 3+ 2i = (Đường tròn tâm I ( 3, −2) , R = ) Vậy w Max = OI + R = 32 + 22 + 1= 1+ 13 Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z − a− bi = R > 0, ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn I ( a,b) ,bk = R ) 2 z  Max = OI + R = a + b + R  2  z Min = OI − R = a + b − R  Ngồi ta ln có công thức biến đổi z − a− bi = z − a+ bi Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z ≤ Đặt A = 2z − i Mệnh đề + iz sau đúng? A A ≤ B A ≥ C A < D A > Hướng dẫn giải Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Chọn A 2 Cách 1: Đặt Có a = a+ bi , ( a, b∈ ¡ ) ⇒ a + b ≤ (do z ≤ 1) 2a+ ( 2b− 1) i 4a2 + ( 2b+ 1) 2z − i A = = = 2 + iz − b+ ( 2− b) + a2 Ta chứng minh 4a2 + ( 2b+ 1) ( 2− b) + a 4a + ( 2b+ 1) ( 2− b) + a Thật ta có 2 2 2 ≤ ≤ ⇔ 4a2 + ( 2b+ 1) ≤ ( − b) + a2 ⇔ a2 + b2 ≤ 2 Dấu “=” xảy a2 + b2 = Vậy A ≤ Cách : Trắc nghiệm z=1 2z − i = ⇒ A ≤1 Chọn 1⇒ A = + iz 34 < z= 17 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = 1+ A 5i z B C D Hướng dẫn giải 5i 5i ≤ 1+ = 1+ = Khi z = i ⇒ A = Cách 1: Ta có: A = 1+ z z z ⇒ Chọn đáp án C z + 5i 5i = = z + 5i Cách 2: A = 1+ z z Theo z = ⇔ z + 5i − 5i = 1⇔ z + 5i Max = 52 + 1= Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M = z + z + + z + A M max = 5; M = B M max = 5; M = C M max = 4; M = D M max = 4; M = Hướng dẫn giải Ta có: M ≤ z + z + 1+ z + = , z = 1⇒ M = ⇒ M max = Mặt khác: M = 1− z3 1− z + 1+ z ≥ 1− z3 + 1+ z3 ≥ 1− z3 + 1+ z3 = 1, z = −1⇒ M = 1⇒ M = ⇒ Chọn đáp án A Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Câu 7: Cho số phức z thỏa z ≥  2 Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P= z+ i z A B D C Hướng dẫn giải i i 1 ≤ Mặt khác: 1+ ≥ 1− ≥ Ta có P = 1+ ≤ 1+ z | z| z | z| Vậy, giá trị nhỏ P  là , xảy z = −2i ;  giá trị lớn P xảy z = 2i ⇒ Chọn đáp án A Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z − 1+ 2i = Tìm mơđun lớn số phức z − 2i A B C 26 + 17 D 26 − 17 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2i = x + ( y − 2) i Ta có: 26 + 17 26 − 17 z − 1+ 2i = ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 2 Đặt x = 1+ 3sin t; y = −2 + 3cost; t ∈ 0;2π ⇒ z − 2i = ( 1+ 3sin t ) + ( −4+ 3cost ) = 26 + 6( sin t − 4cost ) = 26 + 17sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡ ) 2 ⇒ 26 − 17 ≤ z − 2i ≤ 26 + 17 ⇒ z − 2i max = 26+ 17 = 3+ 17 ⇒ Chọn đáp án A Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 1+ 2i = Tìm mơđun lớn số phức z − 2i Ta có z − 1+ 2i = ⇔ ( z − 2i ) − 1+ 4i = ⇒ z Max = 12 + 42 + = 3+ 17 (đáp án A) Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1+ z + 1− z A 15 B C 20 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) Ta có: D 20 z = 1⇒ x2 + y2 = 1⇒ y2 = 1− x2 ⇒ x∈ −  1;1 Ta có: P = 1+ z + 1− z = ( 1+ x) + y2 + ( 1− x) + y2 = 2( 1+ x) + 2( 1− x) Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Xét hàm số f ( x) = 2( 1+ x) + 2( 1− x) ; x ∈ −  1;1  1;1 Hàm số liên tục − − = ⇔ x = − ∈ ( −1;1) với x ∈ ( −1;1) ta có: f ′ ( x) = 2( 1+ x) 2( 1− x) Ta có: ff( 1) = 2; ( −1) = 6; f  − 45 ÷ =  ⇒ Chọn đáp án D Cách 2: (Casio)  20 ⇒ Pmax = 20  x = sin t Từ z = 1, đặt z = x + yi ⇒  Thay vào P dùng mode đáp án D  y = cost Cách 3: Hình học (Xem video live thầy) Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Tính giá trị M m A 13 B 39 C 3 D 13 Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) Ta có: z = ⇔ z.z = Đặt t = z + , ta có = z − 1≤ z + ≤ z + 1= ⇒ t ∈ 0;2 Ta có t2 = ( 1+ z) ( 1+ z ) = 1+ z.z + z + z = 2+ 2x ⇒ x = Suy z2 − z + = z2 − z + z.z = z z − 1+ z = t2 − ( 2x − 1) = 2x − = t2 − Xét hàm số f ( t ) = t + t − ,t ∈ 0;2 Bằng cách dùng đạo hàm, suy 13 13 ; f ( t ) = ⇒ M n = 4 ⇒ Chọn đáp án A Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + = z Khẳng định sau max f ( t ) = đúng? A 3−1 3+ ≤ z≤ 6 B − 1≤ z ≤ + 2−1 ≤ z≤ Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức u + v ≥ u + v , ta C − 1≤ z ≤ + D 2+1 2 z + −4 = z2 + + −4 ≥ z ⇒ z − z − ≤ ⇒ z ≤ + 2 z + z = z2 + + − z2 ≥ ⇒ z + z − ≥ ⇒ z ≥ − 10 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Câu 67: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z = −1+ i B z = −2+ 2i C z = + 2i D 3+ 2i Lời giải Chọn C Gọi số phức z có dạng z = a+ bi z thỏa mãn z − 2− 4i = z − 2i ⇔ a− 2+ ( b− 4) i = a+ ( b− 2) i ⇔ ( a− 2) + ( b− 4) = a2 + ( b− 2) 2 ⇔ a2 − 4a+ + b2 − 8b+ 16 = a2 + b2 − 4b+ ⇔ 4a+ 4b = 16 ⇔ a+ b = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ( )( ) 16 = ( a+ b) ≤ 12 + 12 a2 + b2 ⇒ z = a2 + b2 ≥ 2 z ≥2 a b  = Dấu = xảy ⇔  1 ⇔ a = b = ⇒ z = + 2i a+ b = Câu 68: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Số phức z có mơ đun bé B A C 2 D Lời giải Chọn C Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Khi z − − 4i = z − 2i ⇔ x + yi − − 4i = x + yi − 2i ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = x2 + ( y − 2) ⇔ −4x − 4y + 16 = ⇔ x + y − = 2 Số phức có mơ đun nhỏ khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ : x + y − = 42 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z = d( O; ∆ ) = Câu 69: = 2 (Đề Star Education) Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 = Giá trị lớn biểu thức P = z1 + z2 là: A 26 B 26 D − C Lời giải Chọn A Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 uuuur uuur uur Từ giả thiết : z1 + z2 = ⇔ OM + ON = ⇔ OI = với I trung điểm đoạn thẳng MN uuuu r uuur z1 − z2 = ⇔ OM − ON = ⇔ MN = Ta OM + ON MN OI = − có MN = 13 ⇔ OM + ON = 2OI + 2 2 ( )( ) P = z1 + z2 = OM + ON ⇒ P ≤ 12 + 12 OM + ON = 26 Vậy Pmax = 26 Câu 70: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z1 + z2 Khi mơ đun số phức M + m.i : A 76 B 76 C 10 Lời giải Chọn A Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 uuuur uuur D 11 uur Từ giả thiết : z1 + z2 = ⇔ OM + ON = ⇔ OI = với I trung điểm đoạn thẳng MN 43 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 uuuu r uuur z1 − z2 = ⇔ OM − ON = ⇔ MN = MN OM + ON MN 2 2 = 20 Ta có OI = − ⇔ OM + ON = 2OI + 2 ( )( P = z1 + z2 = OM + ON ⇒ P ≤ 12 + 12 OM + ON ) = 40 Vậy max P = 10 = M uuuu r uuur uuuu r uuur P = z1 + z2 = OM + ON ≥ OM + ON = Vậy P = = m Suy M + m.i = 40 + 36 = 76 Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn i.z + = Giá trị lớn biểu thức P = 2z + − 4i + z − − 5i là: A B.3 C D Lời giải Chọn C Ta gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z i.z + =  5 5 ⇔ x + ( y − 3) = Suy M ( x; y ) ∈ C  I (0;3); R = ÷ 2÷ 2   Khi đó: uuur uuur P = 2z + − 4i + z − − 5i = z + − 2i + z − − 5i = MA + MB ,   với A  − ; ÷; B ( 1;5 )   uu r  uur uu r  uur Ta có: IA =  − ; −1÷ ; IB = ( 1; ) suy IB = −2.IA    5 MB = 5÷ Theo định lý Stewart ta có: 5MA +  MI + ⇒ 2MA2 + MB = 15 ÷ 2   (Hoặc chứng minh theo phương pháp véc tơ uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = MA + AB = MA + MB − MA = MA + MB MI = MA + AB 3 3 Suy ra: uuur uuur 4 4 · MI = MA2 + MB + MA.MB.cos MA, MB = MA2 + MB + MA.MB.cos AMB 9 9 9 ( ( ) )  MA2 + MB − AB  4 2 2 MA2 + MB + MA.MB  ÷ = MA + MB − AB 9 MA MB 3   2 ⇒ 2MA2 + MB = 3MI + AB = 15 ) = 44 uuur uuur Vậy P = MA + MB = Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 ( ) 2.MA + MB ≤ ( )( ) + 12 2MA2 + MB = 45 = 3i 3i Gọi z số phức thỏa mãn 3z − 3i = Đặt + , z2 = − + 2 2 M ,n giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ biểu thức T = z + z − z1 + z − z2 Tính modun số phức w = M + ni Câu 72: Cho hai số phức z1 = 21 Lời giải A B 13 C 3 D  3 Giả sử z = x + yi ,( x, y ∈ R ) Ta có 3z − 3i = ⇔ x +  y − ÷ = 1(C)  ÷    3  3 ,B − ; z, z1 , z2 ÷ Gọi K ( x; y) , A  ; ÷  2 ÷ ÷ điểm biểu diễn số phức 2     Ta tìm Max – Min T = OK + OA + OB Ta có A , B,O thuộc đường tròn (C) ∆ABO ⇒ TMin = 2OA = » Ta có KA.OB = OA.BK + ABOK ⇔ KA = KB + OK Gọi K thuộc cung OB ⇒ T = 2KA ≤ 2.2R = = TMax  3 21 ⇒ w =  + 22 =  ÷ ÷   Câu 73: ? Cho số phức z thỏa mãn z − i = z + 1− 3i + z − 1+ i Tìm giá trị lớn M z − + 3i A M = 10 B M = 1+ 13 C M = D M = Lời giải Chọn D Gọi A ( −1;3) , B( 1; −1) ,C ( 0;1) ⇒ C trung điểm AB Suy MC = MA + MB2 AB2 − ⇒ MA + MB2 = 2MC + 10 Mặt khác z − i = z + 1− 3i + z − 1+ i ⇒ 5MC = MA + 3MB ≤ 10 MA + MB2 ( ) ⇒ 25MC ≤ 10 2MC + 10 ⇒ MC ≤ Mà z − 2+ 3i = z − i + ( −2 + 4i ) ≤ z − i + −2+ 4i ≤ MC + ≤ Dấu “ = “ xẩy z = −2+ 5i 45 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46] Cho số phức z thỏa mãn z + 1− 2i + z − 1− 2i = Tìm giá trị nhỏ biểu thức z − 2i P = z − 2i A P = B P = C D Lời giải Chọn A 2 Áp dụng tính chất: z + z1 + z − z1 = z + z1 Ta có: 2 2 = z + 1− 2i + z − 1− 2i ≤ 2 z − 2i + + z − 2i −  = z − 2i +   z − 2i ⇔ z − 2i + z − 2i − ≥ ⇒ P = z − 2i ≥ [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều Câu 75: kiện z1 + i = z1 − z1 − 2i z2 − i − 10 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1 − z2 ? A 10 + B − C 101 + D 101 − Lời giải Chọn B +) Gọi z1 = a+ bi ; ( a,b∈ ¡ ) Nên z1 + i = z1 − z1 − 2i ⇔ a2 + ( b− 1) = ( 2b+ 2) ⇔ b = Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 Parabol y = a2 x2 +) Gọi z2 = a+ bi , ( a,b∈ ¡ ) Khi z2 − i − 10 = ⇔ ( a− 10) + ( b− 1) = 2 Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 đường tròn ( C ) ( x − 10) + ( y − 1) = tâm I ( 10;1) 2 bamns kính r = 46 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z1 − z2 nhỏ MN nhỏ Ta có: MN + IN ≥ IM ⇒ MN ≥ IM − IN = IM − Nên MN nhỏ IM nhỏ 2  x2   x2  Ta có: IM = ( x − 10) +  − 1÷ =  − 4÷ + ( x − 4) + 45     2 ⇒ IM ≥ 45 = Do MN ≥ − Vậy z1 − z2 = MN ≥ − 1⇒ z1 − z2 = − Câu 76: [2D4-4] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + 1− i = z2 = iz1 Tìm giá trị lớn m biểu thức z1 − z2 A m= 2 + B m= + D m= C m= 2 Lời giải Chọn A Ta có z1 − z2 = z1 − iz1 = 1− i z1 = z1 Đặt z1 = a+ bi với ( a, b∈ ¡ ) theo đề ta có ( a+ 1) + ( b− 1) = (*) Ta cần tìm GTLN 2 m= a2 + b2 Đặt t = a2 + b2 Ta có: (*) ⇔ = a2 + 2a+ 1+ b2 − 2b+ 1⇒ 2(a− b) = − t ( )( ) 2 2 Mà ( a− b) ≤ + (−1) a + b (**) nên ( 2− t) ≤ 4(a− b)2 ≤ 8t ⇔ t2 − 12t + ≤ ⇔ − ≤ t ≤ 6+ Kết hợp với t = a2 + b2 ≥ suy ≤ t ≤ 6+ Suy m= 2t ≤ 12 + = 2 + a b ⇔ a = −b Kết hợp (*) ta z1 = −1± ( 1− i ) Dấu "=" xảy (**) xảy = −1 Vậy giá trị lớn m 2 + ( Câu 77: ) [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 − 3i + = 47 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 iz2 − 1+ 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 2iz1 + 3z2 A 313 + 16 B 313 C 313 + Lời giải D 313 + Chọn A Ta có z1 − 3i + = ⇒ 2iz1 + + 10i = Suy điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm đường trịn ( T1 ) có tâm I ( −6; −10) có bán kính R1 = Mặt khác, iz2 − 1+ 2i = ⇒ −3z2 − 6− 3i = 12 nên điểm biểu diễn số phức −3z2 điểm N nằm đường tròn ( T2 ) có tâm I ( 6;3) có bán kính R2 = 12 Ta thấy 2iz1 + 3z2 = 2iz1 − ( −3z2 ) = MN T lớn MN lớn nhất, bốn điểm M , I , I , N theo thứ tự thẳng hàng Vậy giá trị lớn MN = I 1I + R1 + R2 = 313 + 16  z − 3− 2i ≤ z , w Cho hai số phức thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức w + + i ≤ w − − i  Câu 78: P = z− w A Pmin = 2− B Pmin = + C Pmin = 2− D Pmin = 2− Lời giải Chọn C Cách : Giả sử z = a+ bi ( a,b∈ ¡ ) , w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z − 3− 2i ≤ ⇔ ( a− 3) + ( b− 2) ≤ (1) 2 48 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 2 2 w + 1+ 2i ≤ w − − i ⇔ ( x + 1) + ( y + 2) ≤ ( x − 2) + ( y − 1) Suy x + y = P = z− w = ( a− x) + ( b− y) 2 = ( a− x) + ( b+ x) 2 Từ (1) ta có I ( 3;2) , bán kính r = Gọi H hình chiếu I d : y = − x  x = 3+ t Đường thẳng HI có PTTS   y = 2+ t M ∈ HI ⇒ M ( 3+ t;2 + t )  t = M ∈ ( C ) ⇔ 2t2 = ⇔   t = −   1  5+ t = ⇒ M  3+ ;2+ ÷, MH = 2   1  5− t = ⇒ M  3− ;2 − ÷, MH = 2  Vậy Pmin = 2− Cách : z − 3− 2i ≤ điều cho thấy M ( z) nằm hình trịn tâm I ( 3;2) bán kính w + 1+ 2i ≤ w − − i điều cho thấy N ( w) thuộc nửa mặt phẳng tạo đường thẳng ∆ trung trực đoạn AB với A ( −1; −2) , B( 2;1) ∆ : x + y = (Minh hoạ hình vẽ) 49 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 P = z − w = MN Pmin = d( I , ∆ ) − R = Câu 79: 3+ 2 − 1= 2− [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1 = a+ bi z2 = c + di số phức thỏa mãn: z1 = z1 ( c + d) = 10 Gọi M giá trị lớn biểu thức T = ac + bd + cd Hãy chọn khẳng định M A M ∈ ( 11;15) ( ) B M ∈ 15;17 C M ∈ ( 11;12) D Không tồn M Lời giải Chọn A  z12 = a2 + b2 = ⇔ Ta có  c + d =  z1 ( c + d) = 10 Khi đó: T = ac + bd + cd ≤ ( a + b ) ( c + d ) + c(5− c) = 2 2 c2 + ( 5− c) + 5c − c2 Đặt f (c) = 2c2 − 10c + 25 + 5c − c2 Ta có f ′ ( c) =  − 2c2 − 10c + 25  + 5− 2c = ( 2c − 5)  ÷ ⇔ c= 2  2c − 10c + 25 2c − 10c + 25 ÷   4c − 10 Bảng biến thiên: 50 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 −∞ c + f ′ ( c) f ( c) +∞ − 2+ Dựa thiên ta −∞ 25 −∞ vào bảng biến có 25 ≈ 13,3 a = b =  Dấu xảy  c = d =  M = 2+ Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn z3 + ( 1 ≤ M = max z + Khẳng định sau đúng? z z  ) 7 2 A M ∈ −1;2 B M ∈  2; ÷  5 C M ∈  1; ÷  2 D M + M <  Lời giải Chọn C 3  1  1  1  1 Ta có  z + ÷ = z3 + + 3 z + ÷ ⇔ z3 + =  z + ÷ − 3 z + ÷ z z z z z z     3  1  1  1  1 ⇔ z + =  z + ÷ − 3 z + ÷ ⇔  z + ÷ − 3 z + ÷ ≤ z z z z z     3 Mặt khác:  1  1 1  z + z ÷ − 3 z + z ÷ ≥ z + z − z + z     1 Suy ra: z + − z + ≤ Đặt t = z + ≥ ta được: z z z t3 − 3t − ≤ ⇔ ( t − 2) ( t + 1) ≤ ⇔ t ≤ Vậy M = 2 Cho số phức z = x + yi với x, y số thực không âm thỏa mãn Câu 81: z− = biểu thức z − 1+ 2i 2 + i  z2 − z ÷ z ( 1− i ) + z ( 1+ i )  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ    P Môđun M + mi P = z −z 51 A Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 C D B Lời giải Chọn B Ta có z− = ⇔ z − = z − 1+ 2i ⇔ x + y = z − 1+ 2i P = z −z 2 + i  z2 − z ÷ z ( 1− i ) + z ( 1+ i )  = 16x2y2 − 8xy(x + y) = 16x2y2 − 8xy    x + y) Đặt t = xy ta có ≤ t ≤ ( = 4  1 Tính giá trị lớn nhỏ P = 16t2 − 8t , với t ∈ 0;  ta Pmax = 0; Pmin = −1  4 Vậy M + mi = Câu 82: z1 = (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức 3 + i , z2 = − + i Gọi z số phức thỏa mãn 3z − 3i = Đặt M , m giá trị lớn 2 2 nhỏ biểu thức T = z + z − z1 + z − z2 Tính mơ đun số phức w = M + mi A 21 B 13 C 3 D Lời giải Chọn A Giả sử M , A , B biểu diễn số phức z = x + yi , z1 , z2 2 ) = Từ giả thiết 3z − 3i = ta có: x + (y − 3   Nên M thuộc đường tròn tâm I  0; ÷, R = 3  Ta có T = MO + MA + MB Để Tmin M trùng O , A , B nên 2  1   Tmin = 2OA =  ÷ +  = ÷  ÷ 2     Để Tmax OM max (MA + MB)max nên OM = 2R M nằm   » M  0; cung nhỏ AB ÷ Do 3  2  1   Tmax = OM + 2MA = +2  ÷ + − = ÷ 3÷     52 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404   21 Vậy w = M + m =  ÷ +2 =  3 2 Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện sau:  iz − 2i − ≤ z −   max w + − 2i , w ≤ Tìm giá trị nhỏ z − w Câu 83: { A 13 B } Lời giải C D Chọn B Gọi M , N điểm biểu diễn z, w với M ( x; y) Ta có iz − 2i − ≤ z − ⇔ z − + 2i ≤ z − ⇔ ( x − 2) + ( y + 2) ≤ ( x − 1) + y2 ⇔ −2x + 4y + ≤ 2 Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ ∆ : −2x + 4y + = không chứa O , kể bờ Ta có max w + − 2i , w ≤ suy { }  w + − 2i ≤  NI ≤ , I ( −2; 2) ⇒   w ≤  NO ≤ Do đó, N thuộc phần chung hai hình ( ) ( ) trịn I ; O; Dễ thấy hai hình trịn tiếp xúc điểm E ( −1; 1) Do đó, N ( −1; 1) Ta thấy z − w = MN nên z − w nhỏ MN ngắn nhất, M hình chiếu N ∆ −2( −1) + 4.1+ 13 d N , ∆ = = ( ) Ta có 2 ( −2) + 42 Vậy z − w = 13 [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1 − 3i + = Câu 84: iz2 − 1+ 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 2iz1 + 3z2 A 313 + 16 B 313 C 313 + Lời giải D 313 + Chọn A 53 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Đặt 2iz1 = a+ bi , −3z2 = c + di ( a; b; c; d∈ ¡ ) , gọi A ( a; b) , B( c; d) Có z1 − 3i + = ⇔ a+ bi 2 − 3i + = ⇔ ( a+ 6) + ( 10 + b) i = ⇔ ( a+ 6) + ( b+ 10) = 16 2i nên A ∈ ( I ) có tâm I ( −6; − 10) bán kính R = Có iz2 − 1+ 2i = ⇔ i c + di 2 − 1+ 2i = ⇔ ( 3− d) + ( c − 6) i = 12 ⇔ ( c − 6) + ( d − 3) = 122 −3 nên B ∈ ( J ) có tâm J ( 6; 3) , bán kính R′ = 12 Có T = 2iz1 + 3z2 ( a− c) + ( b− d) = ( a− c) + ( b− d) 2 = AB Do A ∈ ( I ) , B ∈ ( J ) , IJ = 313 > R + R′ = 16 nên ABMax = R + R′ + IJ = 16 + 313 Câu 85: Xét số phức z = a+ bi ,(a,b∈ ¡ ) thỏa mãn z − 3− 2i = Tính a+ b biết biểu thức S = z + 1− 2i + z − − 5i đạt giá trị nhỏ A + B + C − Lời giải: D Chọn A 2 Giả thiết z − 3− 2i = ⇔ (T ) :(a− 3) + (b− 2) = Gọi A(−1;2), B(2;5), M (a; b) điểm biểu diễn số phức z1 = −1+ 2i , z2 = 2+ 5i , z3 = a+ bi Bài toán trở thành: Tìm M ∈ (T ) cho biểu thức S = MA + 2MB nhỏ Ta có MA = (a+ 1)2 + (b− 2)2 = a2 + b2 + 2a− 4b+ = a2 + b2 − 4a− 4b+ = (a− 2)2 + (b− 2)2 = 2MC với C(2;2) 54 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Ta có MA + 2MB = 2(MB + MC) ≥ 2BC dấu “=”xảy B, M , C theo thứ tự thẳng hàng Phương trình đường thẳng BC : x = M giao của BC (T ) ⇒ M (2;2 + 3) ⇒ a+ b = + Câu 86: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z1 − z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z + z − z1 + z − z2 A P = + B P = + C P = + D P = 2+ Lời giải Chọn C Chọn A , B, M điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z , Dựa vào điều kiện z1 = z2 = z1 − z2 = ⇒ OA = OB = 6, AB = Suy ta có tam giác OAB vuông cân O Phép quay tâm B góc quay −600 ta có: Q B,−600 : A a A′ ( ) M a M′ Do tam giác ∆ BMM ′ ⇒ AM = A ′M ′ , BM = MM ′ Suy P = z + z − z1 + z − z2 = OM + AM + BM = OM + MM ′ + A ′M ′ ≥ OA ′ Dấu " = " xảy O , M , M ′ , A ′ thẳng hàng · Khi tam giác OBA ′ có OB = , BA ′ = BA = OBA ′ = 1050 Từ suy OA ′ = OB2 + BA ′2 − 2OB.BA ′.cos1050 = + Vậy P = + Câu 87: Cho hai số phức z,ω thỏa mãn z − = z + 3− 2i ; ω = z + m+ i với m∈ ¡ tham số Giá trị 55 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 m để ta ln có ω ≥ là:  m≥ A   m≤  m≥ B   m ≤ −3 C −3 ≤ m< D ≤ m≤ Lời giải Chọn B Đặt z = a+ ib,( a,b∈ ¡ ) có biểu diễn hình học điểm M ( x; y) z − = z + 3− 2i ⇔ x − 1+ iy = x + 3+ ( y − 2) i ⇔ ( x − 1) + y2 = ( x + 3) + ( y − 2) 2 ⇔ −2x + = 6x + − 4y + ⇔ 2x − y + = Suy biểu diễn số phức z đường thẳng ∆ :2x − y + = Ta có: ω ≥ ⇔ z + m+ i ≥ ⇔ x + m+ + ( y + 1) i ≥ ( x + m) + ( y + 1) Mà ta có MI ≥ d( I , ∆ ) ⇔ ≥ ⇔ MI ≥ với I ( −m; −1) Nên MI ≥ ⇔ d( I , ∆ ) ≥ ⇔ −2m+ ≥ ⇔ −2m+ ≥ 10 −2m+ ≥ 10  m≤ −3 ⇔ ⇔ − m + ≤ − 10 m ≥   Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn z−1 = Tìm giá trị lớn biểu thức z + 3i P = z + i + z − + 7i A 20 B 10 C 12 D Lời giải Chọn A Gọi z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ) z−1 = ⇔ z − = z + 3i ⇔ z + 3i ⇔ x2 + y2 − 4x − 6y − = Ta có ( x − 1) + y2 = x2 + ( y + 3) 2 2 Lại có P = z + i + z − + 7i = x2 + ( y + 1) + ( x − 4) + ( y − 7) = 4x + 8y + + −4x − 8y + 72 Mặt khác ( ) 4x + 8y + + −4x − 8y + 72 ≤ 5.80 ⇒ 4x + 8y + + −4x − 8y + 72 ≤ 20 Suy P ≤ 20 56 ... ±ci ) Tìm Max, Min P = z − z0  z1 − z2 = 2c 2  b = a − c Đặt  Nếu z0 − z1 + z2 =0 PMax = a (dạng tắc)  PMin = b  z1 + z2 +a PMax = z0 −   P = z − z1 + z2 − a  Min  z +z PMax = z0... = 1⇔ z + 5i Max = 52 + 1= Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M = z + z + + z + A M max = 5; M = B M max = 5; M = C M max = 4; M = D M max = 4; M =... i ) − = nên max z = r1 + r2 = 1+ = Chọn B Câu 28: (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện ( 1+ i ) z + 1− 7i = Tìm max z A max z = B max z = C max z = D max z = Hướng