Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 54 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
54
Dung lượng
5,72 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC Kỹ năng: Phương Phương Phương Phương pháp pháp pháp pháp đại số hình học bđt modun casio Một số tính chất cần nhớ Mơđun số phức: Số phức z a bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài uuuur véctơ OM gọi mơđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b Tính chất uuuur z a2 b2 zz OM z �0, z ��, z � z z.z' z z ' z z , z' �0 z' z ' z z' �z �z' �z z ' kz k z , k�� 2 Chú ý: z2 a2 b2 2abi (a2 b2 )2 4a2b2 a2 b2 z z z.z Lưu ý: z1 z2 �z1 z2 dấu xảy � z1 kz2 k �0 z1 z2 �z1 z2 dấu xảy � z1 kz2 k �0 z1 z2 � z1 z2 dấu xảy � z1 kz2 k �0 z1 z2 � z1 z2 dấu xảy � z1 kz2 k �0 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z z z z 2 2 z a bi z c di (2) z �� 2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax by c (1) x a y b Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng :ax by c (2) Đường trung trực đoạn AB với A a,b , B c,d R2 Đường tròn tâm I a; b , bán kính R �R2 Hình trịn tâm I a; b , bán kính R z a bi R x a y b z a bi �R r � x a y b �R2 r �z a bi �R Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I a; b , bán kính r , R CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Parabol � y ax bx c c �0 � x ay2 by c � x a y c 1 1 1 b2 d2 z a1 bi z a2 b2i 2a x a b2 y c d2 Elip Elip 2a AB , A a1 ,b1 , B a2 ,b2 Đoạn AB 2a AB Hypebol 2 1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm z Min Khi ta có Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a;b � 1 2 z Min z0 a b � � 2 � �z a b i � 2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Tìm z Ta có Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn A B với A a;b ,B c;d z Min d O , AB a2 b2 c2 d2 a c b d 2 Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Khi ta biến đổi z a bi z c di � z a bi z c di Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi z c di Khi ta biến đổi iz a bi iz c di � z a bi c di z � z b z d ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z z0 R Tìm z Max , z Min Ta có Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z đường trịn tâm I a;b bán kính R 2 �z � Max OI R a b R z0 R � 2 �z Min OI R a b R z0 R � Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R � z a bi R (Chia hai vế i i cho i ) � z b R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R � z a bi R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện c di z a bi R � z cadibi Hay viết gọn z0z z1 R � z R R c di c d2 z1 R (Chia hai vế cho z0 ) z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a, a c Khi ta có x2 Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z Elip: a y2 1 a2 c2 �z � Max a � 2 � �z Min a c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z1 z z2 2a Thỏa mãn 2a z1 z2 Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ) Ta có CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z z1 z z2 2a, z1 z2 2a z1 ,z2 ��c, �ci ) Tìm Max, Min P z z0 � �z1 z2 2c 2 �b a c Đặt � Nếu z0 z1 z2 0 � PMax a (dạng tắc) � PMin b � � z z PMax z0 a � � � z z � PMin z0 a � � z z PMax z0 a � z1 z2 a �z0 Nếu � � z0 z1 k z0 z2 � � z1 z2 a �z0 Nếu � � z0 z1 k z0 z2 � Nếu z0 z1 z0 z PMin z0 z1 z2 b PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Sử dụng tính chất modun – bđt đại số Phương pháp : Xem hướng dẫn lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học Xem hướng dẫn lớp Dạng 3: Tả phí lù Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong số phức thỏa mãn điều kiện z 3i z i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? A z 1 2i 2 B z i C z i 5 5 Hướng dẫn giải D z 1 2i Chọn C Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z x yi x, y �� z 3i z i � x y 3 i x 2 y 1 i � x2 y 3 x 2 y 1 2 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC � 6y 4x 2y � 4x 8y � x 2y 1 � x 2y � 2� z x y 2y 1 y 5y 4y 5�y � � � 5� 5 2 Suy z 2 y � x 5 i 5 Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z x yi x, y �� Vậy z z 3i z i � x y 3 i x 2 y 1 i � x2 y 3 x 2 y 1 2 � 6y 4x 2y � 4x 8y � x 2y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z 3i z i đường thẳng d : x 2y Phương án A: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2 �d nên loại A � 2� �d nên loại B Phương án B: z i có điểm biểu diễn � ; � 5 � 5� Phương án D: z 1 2i có điểm biểu diễn 1;2 �d nên loại B �1 � �d i có điểm biểu diễn � ; � 5 �5 � (Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng ta tiếp tục so sánh modun, nên thay z vào kiện ban đầu khơng nên biến đổi) Cách 3: Tính nhanh Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình : x 2y 1 Vậy z d O , 2 2 Cách 4: Cơng thức tính nhanh BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z Tìm z ? Phương án C: z � 1 2 z z a b � � Min 2 � �z a b i � 2 BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Tìm z ? z Min a2 b2 c2 d2 a c b d 2 Câu 2: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z z Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M m CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC B C Hướng dẫn giải A D Chọn B Cách : Đại số Gọi z x yi với x; y �� z �= z 3 z z Ta có = 2z z Do M max z Mà z z � x 3 yi x 3 yi � x 3 y2 x 3 y2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 2 2 x 3 y2 x 3 y2 � 12 12 � x 3 y2 x 3 y2 � � � ۣۣ � � 2x2 2y2 18 �x�� y2 �۳ x2 y2 2x2 2y2 18 z 64 Do M z Vậy M m Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip) � � �F1 3;0 , F2 0,3 � � � x2 y2 � � � 1� a Tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip � � 16 � � � 2 2 � � � b a c � � � � �z Max a � M m Do � z b � � Min Cách 3: Tổng quát Cho số phức z thỏa mãn z c z c 2a, a c ta ln có y2 x2 Tập hợp điểm biểu diễn z Elip 2 a a c �z � Max a � 2 � �z Min a c Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i Giá trị lớn z 1 i A 13 B C Hướng dẫn giải D 13 Chọn D Cách 1: Gọi z x yi ta có z 3i x yi 2 3i x 2 y 3 i CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Theo giả thiết x 2 y 3 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm 2 đường trịn tâm I 2;3 bán kính R Ta có z 1 i x yi 1 i x 1 1 y i Gọi M x; y H 1;1 HM x 1 y 1 x 1 y 1 2 Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường trịn �x 2 3t Phương trình HI : � , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: �y 3 2t � � � � 2 ;3 ,M � 2 ;3 nên M � � � 13 13 13 � � 13 13 � � Tính độ dài MH ta lấy kết HM 13 9t2 4t2 � t � Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i Giá trị lớn w z 1 i Ta có z 2 3i � z 3i � z 1 i 3 2i � w 3 2i (Đường tròn tâm I 3, 2 , R ) Vậy w Max OI R 32 22 1 13 Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z a bi R 0, ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn I a,b ,bk R ) 2 �z � Max OI R a b R � 2 �z Min OI R a b R � Ngoài ta ln có cơng thức biến đổi z a bi z a bi Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z �1 Đặt A 2z i Mệnh đề iz sau đúng? A A �1 C A B A �1 D A Hướng dẫn giải Chọn A 2 Cách 1: Đặt Có a a bi , a, b�� � a b �1 (do z �1) 2a 2b 1 i 4a2 2b 1 2z i A 2 iz 2 b 2 b a2 Ta chứng minh 4a2 2b 1 2 b a2 2 �1 Thật ta có 4a2 2b 1 2 b CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC �1 � 4a2 2b 1 � b a2 � a2 b2 �1 a2 Dấu “=” xảy a2 b2 Vậy A �1 Cách : Trắc nghiệm z1 A Chọn � z 2z i iz 34 1 17 A Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z Tìm giá trị lớn biểu thức A 1 A 5i z B C D Hướng dẫn giải 5i 5i �1 1 Khi z i � A Cách 1: Ta có: A 1 z z z � Chọn đáp án C z 5i 5i z 5i Cách 2: A 1 z z Theo z � z 5i 5i 1� z 5i Max 52 1 Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M z z z A M max 5; M B M max 5; M C M max 4; M D M max 4; M Hướng dẫn giải Ta có: M �z z 1 z , z 1� M � M max 1 z3 1 z3 1 z3 1 z3 1 z3 1 z � � 1, Mặt khác: M 2 1 z z 1� M 1� M � Chọn đáp án A Câu 7: Cho số phức z thỏa z � 2 Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P z i z A B C 2 D Hướng dẫn giải i i 1 � Mặt khác: 1 �1 � Ta có P 1 �1 z | z| z | z| CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Vậy, giá trị nhỏ P là , xảy z 2i; giá trị lớn P 2 xảy z 2i � Chọn đáp án A Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i Tìm mơđun lớn số phức z 2i A B C 26 17 D 26 17 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z x yi; x ��; y �� � z 2i x y 2 i Ta có: 26 17 26 17 z 1 2i � x 1 y 2 2 0;2 � Đặt x 1 3sin t; y 2 3cost; t �� � � � z 2i 1 3sin t 4 3cost 26 6 sin t 4cost 26 17sin t ; �� 2 � 26 17 �z 2i � 26 17 � z 2i max 26 17 3 17 � Chọn đáp án A Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i Tìm mơđun lớn số phức z 2i Ta có z 1 2i � z 2i 1 4i � z Max 12 42 3 17 (đáp án A) Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z Tìm giá trị lớn biểu thức P 1 z 1 z A 15 B C 20 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z x yi; x ��; y �� Ta có: D 20 z 1� x2 y2 1� y2 1 x2 � x �� 1;1� � � 1 x y 1 x y 2 1 x 2 1 x 1;1� 2 1 x 2 1 x ; x �� 1;1� � Hàm số liên tục � � �và với � Ta có: P 1 z 31 z Xét hàm số f x x x � 1;1 ta có: f � Ta có: ff 1 2; 2 1 x � 4� 1 6; f � � � Chọn đáp án D Cách 2: (Casio) � � 2 � x � 1;1 2 1 x 20 � Pmax 20 �x sin t Từ z 1, đặt z x yi � � Thay vào P dùng mode đáp án D �y cost Cách 3: Hình học (Xem video live thầy) Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z z z Tính giá trị M m CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC A 13 B 39 C 3 D 13 Hướng dẫn giải Gọi z x yi; x ��; y �� Ta có: z � z.z 0;2� Đặt t z , ta có z 1�z �z 1 � t �� � � t2 Ta có t 1 z 1 z 1 z.z z z 2x � x 2 Suy z2 z z2 z z.z z z 1 z 2x 1 2x t2 0;2� Bằng cách dùng đạo hàm, suy Xét hàm số f t t t ,t �� � � 13 13 ; f t � M n 4 � Chọn đáp án A Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z Khẳng định sau max f t đúng? A 31 3 �z � 6 B 1�z � 21 21 �z � 3 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức u v �u v , ta C 1�z � D z � 4�� z2 4 2 z z��� z2 z2 Vậy, z nhỏ z z z 2 2z 2z z z 5 1, khi z i i z lớn 1, khi z i i � Chọn đáp án B Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i Tìm mơđun lớn số phức z A D 5 6 Hướng dẫn giải 2 Cách 1: Gọi z x yi; x ��; y �� Ta có: z 1 2i � x 1 y 2 B C 11 0;2 � Đặt x 1 2sin t; y 2 2cost; t �� � � Lúc đó: z 1 2sin t 2 2cost 4sin t 8cost 42 82 sin t ; �� 2 2 � z 9 5sin t � z �� 5; 9 � � � � � � zmax 9 đạt z � Chọn đáp án A 5 10 i 5 10 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC a bi a bi 3 4i � a2 b2 a 3 b 4 2 � 6a 8b 25 � a 25 8b Mô đun số phức z là: �25 8b� 100 b 2 225 �15 z a2 b2 � b � � � 36 Số phức z � b � a Câu 67: �P3 Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i Tìm số phức z có môđun nhỏ A z 1 i B z 2 2i C z 2i D 3 2i Lời giải Chọn C Gọi số phức z có dạng z a bi z thỏa mãn z 2 4i z 2i � a b 4 i a b 2 i � a 2 b 4 a2 b 2 2 � a2 4a b2 8b 16 a2 b2 4b � 4a 4b 16 � a b Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 16 a b � 12 12 a2 b2 � z a2 b2 �8 2 z �2 �a b � Dấu xảy � �1 � a b � z 2i � a b � Câu 68: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i Số phức z có mơ đun bé A B C 2 D Lời giải Chọn C Đặt z x yi x, y �� Khi z 2 4i z 2i � x yi 4i x yi 2i 40 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC � x 2 y 4 x2 y 2 � 4x 4y 16 � x y 2 Số phức có mơ đun nhỏ khoảng cách từ O đến đường thẳng : x y z d O; Câu 69: 2 (Đề Star Education) Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 Giá trị lớn biểu thức P z1 z2 là: A 26 B 26 D C Lời giải Chọn A Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 uuuur uuur uur Từ giả thiết : z1 z2 � OM ON � OI với I trung điểm đoạn thẳng MN uuuu r uuur z1 z2 � OM ON � MN Ta OI có � OM ON 2OI MN 13 P z1 z OM ON P 1 OM ON MN 12 OM ON 26 Vậy Pmax 26 Câu 70: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z1 z2 Khi mơ đun số phức M m.i : A 76 Lời giải Chọn A B 76 C 10 D 11 41 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 uuuur uuur uur Từ giả thiết : z1 z2 � OM ON � OI với I trung điểm đoạn thẳng MN uuuu r uuur z1 z2 � OM ON � MN Ta có OI OM ON MN MN 20 � OM ON 2OI P z1 z OM ON P 1 12 OM ON 40 Vậy max P 10 M uuuu r uuur uuuu r uuur P z1 z OM ON �OM ON Vậy P m Suy M m.i 40 36 76 Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn i.z A Giá trị lớn biểu thức P 2z 4i z 5i là: B.3 C D Lời giải Chọn C Ta gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z i.z � 5� 5 I (0;3); R � x y 3 Suy M ( x; y ) �C � � � 2� 2 � � Khi đó: uuur uuur P 2z 4i z 5i z 2i z 5i MA MB , �1 � ; B 1;5 với A � ; � �2 � uu r �1 uur uu r �uur ; 1�; IB 1; suy IB 2.IA Ta có: IA � �2 � � 5� 2 MB MI Theo định lý Stewart ta có: 5MA � � �� 2MA MB 15 2 � � � (Hoặc chứng minh theo phương pháp véc tơ uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MI MA AB MA AB MA MB MA MA MB 3 3 Suy ra: uuur uuur 4 4 � MI MA2 MB MA.MB.cos MA, MB MA2 MB MA.MB.cos AMB 9 9 9 �MA2 MB AB � 4 2 2 2 MA MB MA.MB � � MA MB AB 9 9 � 2.MA.MB � 2 � 2MA2 MB 3MI AB 15 ) 42 uuur uuur P MA MB Vậy CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC 2.MA MB � 12 2MA2 MB 45 3i 3i Gọi z số phức thỏa mãn 3z 3i Đặt , z2 2 2 M ,n giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ biểu thức T z z z1 z z2 Tính modun số phức w M ni Câu 72: Cho hai số phức z1 21 Lời giải A B 13 C 3 D � 3� Giả sử z x yi , x, y �R Ta có 3z 3i � x �y 1(C) � � � � � �1 � � � ; ,B ; z, z1 , z2 Gọi K x; y , A � �2 � � � �2 � �lần lượt điểm biểu diễn số phức � � � � Ta tìm Max – Min T OK OA OB Ta có A , B,O thuộc đường tròn (C) ABO � TMin 2OA � Ta có KA.OB OA.BK ABOK � KA KB OK Gọi K thuộc cung OB � T 2KA �2.2R TMax �4 � 2 21 �w � 2 �3 � � � � Câu 73: ? Cho số phức z thỏa mãn z i z 1 3i z 1 i Tìm giá trị lớn M z 3i A M 10 B M 1 13 C M D M Lời giải Chọn D Gọi A 1;3 , B 1; 1 ,C 0;1 � C trung điểm AB Suy MC MA MB2 AB2 � MA MB2 2MC 10 Mặt khác z i z 1 3i z 1 i � 5MC MA 3MB � 10 MA MB2 25MC 10 2MC 10 MC Mà z 3i z i 2 4i �z i 2 4i �MC �4 Dấu “ = “ xẩy z 2 5i Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46] 43 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i z 1 2i Tìm giá trị nhỏ biểu thức z 2i P z 2i A P B P C D Lời giải Chọn A 2 Áp dụng tính chất: z z1 z z1 z z1 Ta có: 2 2 z 1 2i z 1 2i � 2� z 2i z 2i � z 2i � � z 2i � z 2i z 2i �0 � P z 2i � [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều Câu 75: kiện z1 i z1 z1 2i z2 i 10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1 z2 ? A 10 B C 101 D 101 Lời giải Chọn B +) Gọi z1 a bi ; a,b�� Nên z1 i z1 z1 2i � a2 b 1 2b 2 � b Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 Parabol y a2 x2 +) Gọi z2 a bi , a,b�� Khi z2 i 10 � a 10 b 1 2 Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 đường tròn C x 10 y 1 tâm I 10;1 2 bamns kính r 44 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC z1 z2 nhỏ MN nhỏ IN �IM Ta có: MN MN IM IN IM Nên MN nhỏ IM nhỏ 2 �x2 � �x2 � Ta có: IM x 10 � 1� � 4� x 4 45 �4 � �4 � 2 IM 45 Do MN �3 Vậy z1 z2 MN �3 1� z1 z2 [2D4-4] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 1 i z2 iz1 Tìm giá trị lớn m biểu Câu 76: thức z1 z2 A m 2 B m D m C m 2 Lời giải Chọn A Ta có z1 z2 z1 iz1 1 i z1 z1 Đặt z1 a bi với ( a, b��) theo đề ta có a 1 b 1 4(*) Ta cần tìm GTLN 2 m a2 b2 Đặt t a2 b2 Ta có: (*) � a2 2a 1 b2 2b 1� 2(a b) 2 t 2 2 Mà a b � (1) a b (**) nên 2 t �4(a b)2 �8t � t2 12t �0 � �t �6 Kết hợp với t a2 b2 �0 suy �t �6 Suy m 2t � 12 2 a b � a b Kết hợp (*) ta z1 1� 1 i Dấu "=" xảy (**) xảy 1 Vậy giá trị lớn m 2 [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 3i Câu 77: iz2 1 2i Tìm giá trị lớn biểu thức T 2iz1 3z2 A 313 16 B 313 C 313 Lời giải D 313 Chọn A 45 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Ta có z1 3i � 2iz1 10i Suy điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm đường tròn T1 có tâm I 6; 10 có bán kính R1 Mặt khác, iz2 1 2i � 3z2 3i 12 nên điểm biểu diễn số phức 3z2 điểm N nằm đường tròn T2 có tâm I 6;3 có bán kính R2 12 Ta thấy 2iz1 3z2 2iz1 3z2 MN T lớn MN lớn nhất, bốn điểm M , I , I , N theo thứ tự thẳng hàng Vậy giá trị lớn MN I 1I R1 R2 313 16 � �z 3 2i �1 Cho hai số phức z, w thỏa mãn � Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức �w 1 2i �w i Câu 78: P z w A Pmin 2 B Pmin C Pmin 2 D Pmin 2 Lời giải Chọn C Cách : Giả sử z a bi a,b�� , w x yi x, y �� z 3 2i �1 � a 3 b 2 �1 (1) 2 2 2 w 1 2i �w i � x 1 y 2 � x 2 y 1 Suy x y P z w a x b y 2 a x b x 2 46 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Từ (1) ta có I 3;2 , bán kính r Gọi H hình chiếu I d : y x �x 3 t Đường thẳng HI có PTTS � �y t M �HI � M 3 t;2 t � t � 2 M � C � 2t � � � t � � � 1 � 5 t 2� M � 3 ;2 �, MH 2� � � 1 � 5 t 3� M � 3 ;2 �, MH 2� � Vậy Pmin 2 Cách : z 3 2i �1 điều cho thấy M z nằm hình trịn tâm I 3;2 bán kính w 1 2i �w i điều cho thấy N w thuộc nửa mặt phẳng tạo đường thẳng trung trực đoạn AB với A 1; 2 , B 2;1 : x y (Minh hoạ hình vẽ) P z w MN Pmin d I , R Câu 79: 3 2 1 2 [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1 a bi z2 c di số phức thỏa mãn: z1 z1 c d 10 Gọi M giá trị lớn biểu thức T ac bd cd Hãy chọn khẳng 47 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC định M A M � 11;15 c C M � 11;12 � f� c Lời giải Chọn A f c B M � 15;17 � M 0D Không tồn 2 � Ta có � a2 b2 �� c d � Khi đó: 25 � � �z1 � � �z1 c d 10 T ac bd cd � a2 b2 c2 d2 c(5 c) c2 5 c 5c c2 Đặt f (c) 2c2 10c 25 5c c2 c Ta có f � �2 2c2 10c 25 � 5 2c 2c 5 � �� c 2 � � 2c 10c 25 � 2c 10c 25 � 4c 10 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có M 25 �13,3 � a b � Dấu xảy � c d � � Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn z3 1 �2 M max z Khẳng định sau đúng? z z � 7� � 2� A M � 1;2 2; � B M �� � 5� 1; � C M �� � 2� D M M Lời giải 48 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Chọn C 3 � 1� � 1� � 1� � 1� Ta có �z � z3 3�z �� z3 �z � 3�z � z z � z� � z� � z� � z� � 1� � 1� � z �z � 3�z � � z � z� � z� 3 � � � 1� �z z � 3�z z ��2 � � � � 3 � 1� � 1� 1 �z z � 3�z z ��z z z z � � � � Mặt khác: 1 Suy ra: z z �2 Đặt t z �0 ta được: z z z t3 3t �0 � t 2 t 1 �0 ۣ t Vậy M 2 Cho số phức z x yi với x, y số thực không âm thỏa mãn Câu 81: z biểu thức z 1 2i 2 �z 1 i z 1 i � Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ i� � �z z �� � �� P Môđun M mi A B C D 2 P z2 z Lời giải Chọn B Ta có z � z z 1 2i � x y z 1 2i P z z 2 2 �z 1 i z 1 i � 16x2y2 8xy(x y) 16x2y2 8xy i� � �z z �� � �� x y Đặt t xy ta có �t � 4 � 1� 0; �ta Pmax 0; Pmin 1 Vậy Tính giá trị lớn nhỏ P 16t2 8t , với t �� � 4� M mi Câu 82: z1 (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức 3 i , z2 i Gọi z số phức thỏa mãn 3z 3i Đặt M , m giá trị lớn 2 2 nhỏ biểu thức T z z z1 z z2 Tính mơ đun số phức w M mi A 21 B 13 C 3 D Lời giải Chọn A 49 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Giả sử M , A , B biểu diễn số phức z x yi , z1 , z2 2 ) Từ giả thiết 3z 3i ta có: x (y 3 � � 0; ,R Nên M thuộc đường tròn tâm I � � � 3� Ta có T MO MA MB Để Tmin M trùng O , A , B nên Tmin �1 � � � 2OA � � � � � �2 � � �2 � Để Tmax OM max (MA MB)max nên OM 2R M nằm � � � M � 0; cung nhỏ AB � Do � 3� 2 �1 � � � Tmax OM 2MA � � � � 3� �2 � � �2 � 2 �4 � 21 Vậy w M m � � 22 � 3� 2 Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện sau: � �iz 2i �z � max w 2i , w � � � Tìm giá trị nhỏ z w Câu 83: A 13 B Lời giải C D Chọn B Gọi M , N điểm biểu diễn z, w với M x; y Ta có iz 2i �z � z 2 2i �z � x 2 y 2 � x 1 y2 � 2x 4y �0 2 Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ : 2x 4y không chứa O , kể bờ Ta có max w 2i , w � suy � �NI � , I 2; 2 �w 2i � � � � � w � NO � � � � � Do đó, N thuộc phần chung hai hình tròn I ; O; 50 CHUN ĐÊ SỐ PHỨC Dễ thấy hai hình trịn tiếp xúc điểm E 1; 1 Do đó, N 1; 1 Ta thấy z w MN nên z w nhỏ MN ngắn nhất, M hình chiếu N 2 1 4.1 13 d N , Ta có 2 2 42 Vậy z w 13 [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1 3i Câu 84: iz2 1 2i Tìm giá trị lớn biểu thức T 2iz1 3z2 A 313 16 B C 313 Lời giải 313 D 313 Chọn A Đặt 2iz1 a bi , 3z2 c di a; b; c; d�� , gọi A a; b , B c; d Có z1 3i � a bi 2 3i � a 6 10 b i � a 6 b 10 16 nên 2i A � I có tâm I 6; 10 bán kính R Có iz2 1 2i � i c di 2 1 2i � 3 d c 6 i 12 � c 6 d 3 122 nên 3 B � J có tâm J 6; 3 , bán kính R� 12 Có T 2iz1 3z2 a c b d a c b d 2 AB IJ 16 313 Do A � I , B � J , IJ 313 R R� 16 nên ABMax R R� Câu 85: Xét số phức z a bi ,(a, b��) thỏa mãn z 3 2i Tính a b biết biểu thức S z 1 2i z 2 5i đạt giá trị nhỏ 51 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC B C Lời giải: A D Chọn A 2 Giả thiết z 3 2i � (T ) :(a 3) (b 2) Gọi A(1;2), B(2;5), M (a; b) điểm biểu diễn số phức z1 1 2i , z2 2 5i , z3 a bi Bài tốn trở thành: Tìm M �(T ) cho biểu thức S MA 2MB nhỏ Ta có MA (a 1)2 (b 2)2 a2 b2 2a 4b a2 b2 4a 4b (a 2)2 (b 2)2 2MC với C(2;2) Ta có MA 2MB 2(MB MC) �2BC dấu “=”xảy B, M , C theo thứ tự thẳng hàng Phương trình đường thẳng BC : x M giao của BC (T ) � M (2;2 3) � a b Câu 86: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z z z1 z z2 A P B P C P D P 2 Lời giải Chọn C Chọn A , B, M điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z , Dựa vào điều kiện z1 z2 z1 z2 � OA OB 6, AB Suy ta có tam giác OAB vng cân O Phép quay tâm B góc quay 600 ta có: Q B,600 : A a A � 52 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC M a M� M� Do tam giác BMM �đều � AM A � , BM MM � A� M� �OA � Suy P z z z1 z z2 OM AM BM OM MM � , A �thẳng hàng Dấu " " xảy O , M , M � � � Khi tam giác OBA �có OB , BA� BA OBA 1050 Từ suy OA � OB2 BA� 2OB.BA� cos1050 2 Vậy P 2 Cho hai số phức z, thỏa mãn z z 3 2i ; z m i với m�� tham số Giá trị Câu 87: m để ta ln có �2 là: � m A � m�3 � � m B � m�3 � C 3 �m D �m�7 Lời giải Chọn B Đặt z a ib, a,b�� có biểu diễn hình học điểm M x; y z z 3 2i � x 1 iy x 3 y 2 i � x 1 y2 x 3 y 2 2 � 2x 6x 4y � 2x y Suy biểu diễn số phức z đường thẳng :2x y Ta có: �2 � z m i �2 � x m y 1 i �2 x m y 1 Mà ta có MI �d I , � �2 ۳ MI Nên MI �2 � d I , �2 ۳ với I m; 1 2m 5 � 2m �10 � 2m �10 � m �� �� m � 10 m � � � Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn z1 Tìm giá trị lớn biểu thức z 3i P z i z 4 7i A 20 B 10 C 12 D Lời giải Chọn A Gọi z x yi , x, y �� 53 CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC z1 � z z 3i � z 3i � x2 y2 4x 6y Ta có x 1 y2 x2 y 3 2 2 Lại có P z i z 7i x2 y 1 x 4 y 7 4x 8y 4x 8y 72 Mặt khác 4x 8y 4x 8y 72 �5.80 � 4x 8y 4x 8y 72 �20 Suy P �20 54 ... 1� z 5i Max 52 1 Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M z z z A M max 5; M B M max 5; M C M max 4; M D M max 4; M ... ĐÊ SỐ PHỨC Vì i nên max z r1 r2 1 Chọn B Câu 28: (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện 1 i z 1 7i Tìm max z A max z B max z C max z... LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức z thỏa mãn z 2z z 1 2i z 3i 1 Tính min| w| , với số phức w z 2i A min| w| B min| w| C min| w| D min| w| Lời giải Ta có z