Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Tuần Chương 3: Không gian vevtor Không gian vector, Không gain vector I Khái niệm Định nghĩa Cho V = ∅ với phần tử v ∈ V gọi vector K trường Phép cộng vector: u, v ∈ V ⇒ u + v ∈ V Giả sử V có Phép nhân só với vector: k ∈ K, v ∈ V ⇒ kv ∈ V V gọi không gian vector (KGVT) K thỏa mãn điều kiện sau (1) (Giao hoán) x + y = y + x (2) (Kết hợp) x + (y + z) = (x + y) + z (3) (Phần tử trung hịa) Có vector khơng θ: θ + v = v + θ = x (4) (Phần tử đối xứng) Có vector đối (−v): v + (−v) = (−v) + v = θ (5) k(x + y) = kx + ky (6) (k1 + k2 )x = k1 x + k2 x (7) (k1 k2 )x = k1 (k2 x) (8) 1x = x VD (1) V tập hợp vector hình học, với phép cộng vector vfa phép nhân vector với số V không gian vector R (2) Với tập số phức C, xét Cn = (x1 , x2 , , xn ) xi ∈ C, ∀i = 1, n Trang bị phép toán + sau: Với x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Cn y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Cn x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) ∈ Cn kx = (kx1 , kx2 , , kxn ) Dễ kiểm tra tính chất KGVT thỏa mãn, Cn KGVT C Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Các tính chất đơn giản Tính chất V K-KGVT, vector θ Tính chất V K-KGVT, (1) θx = kθ = θ (2) (−1)x = −x k = (3) kx = θ ⇒ x=θ II Không gian vector Định nghĩa Không gian vector Cho V K-KGVT, ∅ = W ⊂ V Với phép toán V áp dụng cho W mà W trở thành KGVt W gọi KGVT Đóng kín Cho W ⊂ V (1) W gọi đóng kín với phép cộng x, y ∈ W x + y ∈ W (2) W gọi đóng kín với phép nhân với số x ∈ W , k ∈ R kx ∈ W Định lý V K-KGVT, ∅ = W ⊂ V Điều kiện cần đủ để W KGVT V (1) Đóng kín phép cộng vector (2) Đóng kín phép nhân số với vector VD Trong R3 , cho W = (x1 , x2 , 0) x1 , x2 ∈ R Hiển nhiên W = ∅ Dễ thấy với x = (x1 , x2 , 0) y = (y1 , y2 , 0) x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , 0) ∈ W Do W đóng kín với phép tốn cộng Ta có W đóng kín với phép tốn nhân với số Vậy W KGVT Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Không gian sinh vector Tổ hợp tuyến tính Với V K-KGVT, xét hệ vector {v1 , v2 , , }, vi ∈ V Ta gọi v ∈ V tổ hợp tuyến tính {v1 , v2 , , } tồn k1 , k2 , , kn ∈ K cho n v = k1 v1 + k2 v2 + + kn = ki vi i=1 Định lý Trong KGVT V , gọi W tập hợp tổ hợp tuyến tính hệ vector cho {v1 , v2 , , } Khi W KGVT V Khơng gian sinh hệ vector Trong KGVT V cho hệ {v1 , v2 , , } Không gian W gồm tổ hợp tuyến tính hệ vector cho gọi không gian sinh hệ vector {v1 , v2 , , } Kí hiệu: W = span{v1 , v2 , , } VD Trong R3 cho e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) Chứng minh R3 = span{e1 , e2 , e3 } Giải Để chứng minh R3 = span{e1 , e2 , e3 }, ta chứng minh R3 ⊂ span{e1 , e2 , e3 } R3 ⊃ span{e1 , e2 , e3 } R3 ⊂ span{e1 , e2 , e3 } Giả sử x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Khi ta viết x = (x1 , x2 , x3 ) = x1 (1, 0, 0) + x2 (1, 0, 1) + x3 (0, 0, 1) = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 Do x ∈ span{e1 , e2 , e3 } Vậy R3 ⊂ span{e1 , e2 , e3 } R3 ⊃ span{e1 , e2 , e3 } Giả sử x ∈ span{e1 , e2 , e3 }, hay x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 Thay e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), ta x = x1 (1, 0, 0) + x2 (1, 0, 1) + x3 (0, 0, 1) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Vậy R3 ⊃ span{e1 , e2 , e3 } Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream ... đơn giản Tính chất V K -KGVT, vector θ Tính chất V K -KGVT, (1) θx = kθ = θ (2) (−1)x = −x k = (3) kx = θ ⇒ x=θ II Không gian vector Định nghĩa Không gian vector Cho V K -KGVT, ∅ = W ⊂ V Với... mà W trở thành KGVt W gọi KGVT Đóng kín Cho W ⊂ V (1) W gọi đóng kín với phép cộng x, y ∈ W x + y ∈ W (2) W gọi đóng kín với phép nhân với số x ∈ W , k ∈ R kx ∈ W Định lý V K -KGVT, ∅ = W ⊂ V... tính Với V K -KGVT, xét hệ vector {v1 , v2 , , }, vi ∈ V Ta gọi v ∈ V tổ hợp tuyến tính {v1 , v2 , , } tồn k1 , k2 , , kn ∈ K cho n v = k1 v1 + k2 v2 + + kn = ki vi i=1 Định lý Trong KGVT V , gọi